Wat is Affiene deelruimten; affiene afbeeldingen? — Wiskunde

Definitie 17.5 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 17 — Affiene ruimten

Een affiene deelruimte is een verzameling $\mathcal{F} = A + F = \{A + u : u \in F\}$ met $F$ een vectordeelruimte (haar richting); gelijkwaardig: een niet-lege verzameling die stabiel is onder barycentra. De affiene deelruimten van $\R^n$ zijn precies de oplossingsverzamelingen van lineaire stelsels $MX = B$ (bachelorjaar 1: particuliere oplossing plus kern). Een afbeelding $f \colon \mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ heet affien wanneer zij barycentra bewaart — gelijkwaardig wanneer

f(A + u) = f(A) + \varphi(u)

voor een (unieke) lineaire afbeelding $\varphi = \vec f$ , het lineaire deel. Affiene afbeeldingen van $\R^n$ : $X \mapsto MX + C$ . Samenstellingen zijn affien met samengestelde lineaire delen; $f$ is bijectief dan en slechts dan als $\vec f$ dat is.

Voorbeelden

Voorbeeld 17.9 (Een affiene afbeelding klasseren, van begin tot eind)

Zij $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ op $\R^2$ . Haar lineaire deel is $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$ , waarvan het spectrum $\{2, 3\}$ de waarde $1$ vermijdt: volgens het criterium voor vaste punten dat hieronder wordt bewezen (Propositie 17.17) heeft $f$ precies één vast punt, gevonden door

x = 2x - 1, \qquad y = 3y - 4 \qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = (1, 2)

op te lossen. Hercentreren in $\Omega$ (zet $x = 1 + u$ , $y = 2 + v$ ):

f(1 + u,\ 2 + v) = (1 + 2u,\ 2 + 3v) :

in het assenstelsel met oorsprong $\Omega$ is $f$ haar lineaire deel, een anisotrope uitrekking die vanuit het middelpunt $(1, 2)$ horizontaal met $2$ en verticaal met $3$ vermenigvuldigt. De algemene les: een affiene afbeelding is “lineaire afbeelding plus plaatsgegevens”, en die plaatsgegevens klappen ineen tot één goedgekozen oorsprong zodra $1$ geen eigenwaarde is. Omgekeerd maakt de oorsprong slecht verplaatsen de constante termen: affiene meetkunde is de kunst van het kiezen waar je $0$ legt.

Voorbeeld 17.2 (Een affiene ruimte zonder natuurlijke oorsprong)

Het oplossingsvlak $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ is geen vectordeelruimte ( $0 \notin \mathcal E$ ), maar wel een affiene ruimte gericht door $E = \{x + y + z = 0\}$ : voor $A, B \in \mathcal E$ belandt het verschil $\vect{AB} = B - A$ in $E$ (de sommen heffen elkaar op), Chasles wordt van $\R^3$ geërfd, en $B \mapsto \vect{AB}$ is bijectief op $E$ . Geen enkel punt van $\mathcal E$ is onderscheiden — elke keuze van een “oorsprong” $O \in \mathcal E$ werkt even goed, en alle identificaties $M \mapsto \vect{OM}$ verschillen slechts met translaties. Dit is de typische toestand: oplossingsverzamelingen van inhomogene lineaire problemen (lineaire stelsels, lineaire differentiaalvergelijkingen in Hoofdstuk 16) zijn affien, nooit lineair, en de leuze “particuliere oplossing plus kern” is precies de uitspraak $\mathcal F = A + F$ van de volgende definitie.

Voorbeeld 17.18 (Isometrieën van het vlak, voltooid)

Een affiene isometrie van het euclidische vlak heeft haar lineaire deel in $O(2)$ : een rotatie $R_\theta$ of een spiegeling (volume van bachelorjaar 1). Is $\theta \neq 0$ , dan is $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$ , dus is de afbeelding een rotatie om een uniek middelpunt (Propositie 17.17). Is het lineaire deel een spiegeling, dan is zij ofwel een spiegeling in een as (er bestaan vaste punten) ofwel een schuifspiegeling (een spiegeling samengesteld met een translatie langs de as, zonder vast punt). Samen met de translaties is dit de volledige klassering van de isometrieën van het vlak.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen