आनत उपसमष्टियाँ; आनत प्रतिचित्रण क्या है?

उदाहरण 17.9 (किसी आनत प्रतिचित्रण का वर्गीकरण, आरंभ से अंत तक)

$\R^2$ पर $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ लीजिए। उसका रैखिक भाग $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$ है, जिसका वर्णक्रम $\{2, 3\}$ $1$ से बचा रहता है: अतः नीचे सिद्ध की गई अचल-बिंदु कसौटी (प्रतिज्ञप्ति 17.17) से $f$ का ठीक एक अचल बिंदु है, जो

हल करने पर मिलता है। $\Omega$ पर पुनःकेंद्रण ($x = 1 + u$, $y = 2 + v$ रखिए):

अर्थात् $\Omega$ वाले ढाँचे में $f$ ही उसका रैखिक भाग है: एक असमदैशिक विस्फारण, जो केंद्र $(1, 2)$ से क्षैतिज दिशा में $2$ और ऊर्ध्वाधर में $3$ गुना खींचता है। सामान्य पाठ: कोई आनत प्रतिचित्रण “रैखिक प्रतिचित्रण जमा स्थान-सूचना” है, और जब भी $1$ अभिलक्षणिक मान न हो तब वह स्थान-सूचना किसी एक अच्छी तरह चुने गए मूल बिंदु पर सिमट जाती है। विलोमतः मूल बिंदु को ग़लत जगह ले जाने से अचर पद बन जाते हैं: आनत ज्यामिति यह चुनने की कला है कि $0$ कहाँ रखा जाए।

उदाहरण 17.2 (बिना स्वाभाविक मूल बिंदु की एक आनत समष्टि)

हल-समतल $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ सदिश उपसमष्टि नहीं है ($0 \notin \mathcal E$), परंतु वह $E = \{x + y + z = 0\}$ से दिशित आनत समष्टि है: $A, B \in \mathcal E$ के लिए अंतर $\vect{AB} = B - A$ $E$ में उतरता है (योग कट जाते हैं), शाल $\R^3$ से विरासत में मिलती है, और $B \mapsto \vect{AB}$ $E$ पर एकैकी आच्छादक है। $\mathcal E$ का कोई बिंदु विशिष्ट नहीं है — “मूल बिंदु” का कोई भी चुनाव $O \in \mathcal E$ उतना ही अच्छा है, और सारी पहचानें $M \mapsto \vect{OM}$ स्थानांतरणों से भिन्न होती हैं। यही विशिष्ट स्थिति है: असमांगी रैखिक समस्याओं (रैखिक निकाय, अध्याय 16 में रैखिक अवकल समीकरण) के हल-समुच्चय आनत होते हैं, रैखिक कभी नहीं; और नारा “विशिष्ट हल जमा केंद्रक” ठीक अगली परिभाषा का कथन $\mathcal F = A + F$ है।

उदाहरण 17.18 (समतलीय समदूरिक प्रतिचित्रण, पूरे)

यूक्लिडीय समतल के किसी आनत समदूरिक प्रतिचित्रण का रैखिक भाग $O(2)$ में होता है: कोई घूर्णन $R_\theta$ अथवा कोई परावर्तन (प्रथम वर्ष का खंड)। यदि $\theta \neq 0$: तो $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$, अतः प्रतिचित्रण किसी अद्वितीय केंद्र के परितः घूर्णन है (प्रतिज्ञप्ति 17.17)। और यदि रैखिक भाग कोई परावर्तन हो: तो या तो किसी अक्ष में परावर्तन (अचल बिंदु विद्यमान) अथवा कोई सर्पी परावर्तन (अक्ष के अनुदिश स्थानांतरण के साथ संयोजित परावर्तन, बिना किसी अचल बिंदु के)। स्थानांतरणों को मिलाकर यही समतलीय समदूरिक प्रतिचित्रणों का पूरा वर्गीकरण है।