Qu'est-ce que « Sous-espaces affines ; applications affines » ? — Mathématiques

Définition 17.5 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 17 — Espaces affines

Un sous-espace affine est un ensemble $\mathcal{F} = A + F = \{A + u : u \in F\}$ où $F$ est un sous-espace vectoriel (sa direction) ; de manière équivalente, un ensemble non vide stable par barycentres. Les sous-espaces affines de $\R^n$ sont exactement les ensembles solutions des systèmes linéaires $MX = B$ (année 1 : solution particulière plus noyau). Une application $f \colon \mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ est affine lorsqu’elle conserve les barycentres — de manière équivalente lorsque

f(A + u) = f(A) + \varphi(u)

pour une (unique) application linéaire $\varphi = \vec f$ , la partie linéaire. Applications affines de $\R^n$ : $X \mapsto MX + C$ . Les composées sont affines, de parties linéaires composées ; $f$ est bijective si et seulement si $\vec f$ l’est.

Exemples

Exemple 17.9 (Classifier une application affine, de bout en bout)

Soit $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ sur $\R^2$ . Sa partie linéaire est $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$ , dont le spectre $\{2, 3\}$ évite $1$ : par le critère de point fixe démontré plus bas (Proposition 17.17), $f$ a exactement un point fixe, obtenu en résolvant

x = 2x - 1, \qquad y = 3y - 4 \qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = (1, 2).

En recentrant en $\Omega$ (poser $x = 1 + u$ , $y = 2 + v$ ) :

f(1 + u,\ 2 + v) = (1 + 2u,\ 2 + 3v) :

dans le repère en $\Omega$ , $f$ est sa partie linéaire, une dilatation anisotrope d’un facteur $2$ horizontalement et $3$ verticalement à partir du centre $(1, 2)$ . La leçon générale : une application affine est « application linéaire plus donnée de position », et la donnée de position se réduit à une origine bien choisie dès que $1$ n’est pas valeur propre. Réciproquement, translater mal l’origine crée les termes constants : la géométrie affine est l’art de choisir où placer $0$ .

Exemple 17.2 (Un espace affine sans origine naturelle)

Le plan solution $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ n’est pas un sous-espace vectoriel ( $0 \notin \mathcal E$ ), mais c’est un espace affine dirigé par $E = \{x + y + z = 0\}$ : pour $A, B \in \mathcal E$ la différence $\vect{AB} = B - A$ tombe dans $E$ (les sommes s’annulent), Chasles est hérité de $\R^3$ , et $B \mapsto \vect{AB}$ est bijective sur $E$ . Aucun point de $\mathcal E$ n’est distingué — tout choix d’« origine » $O \in \mathcal E$ convient aussi bien, et toutes les identifications $M \mapsto \vect{OM}$ diffèrent par des translations. C’est la situation typique : les ensembles solutions de problèmes linéaires inhomogènes (systèmes linéaires, équations différentielles linéaires au Chapitre 16) sont affines, jamais linéaires, et le slogan « solution particulière plus noyau » est exactement l’énoncé $\mathcal F = A + F$ de la définition suivante.

Exemple 17.18 (Isométries du plan, complétées)

Une isométrie affine du plan euclidien a sa partie linéaire dans $O(2)$ : une rotation $R_\theta$ ou une réflexion (volume de l’année 1). Si $\theta \neq 0$ : $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$ , donc l’application est une rotation autour d’un unique centre (Proposition 17.17). Si la partie linéaire est une réflexion : soit une réflexion d’axe (des points fixes existent), soit une réflexion glissée (réflexion composée avec une translation le long de l’axe, sans point fixe). Avec les translations, c’est la classification complète des isométries du plan.

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Exemples

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