Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

19Superficies

Después de curvas, superficies: objetos de dos parámetros en $\R^3$ . el El cálculo diferencial de Capítulo 15 proporciona todo. necesitamos — derivadas parciales dan vectores tangentes, la cruz El producto da lo normal, determinantes da áreas. Nosotros definimos superficies parametrizadas normal, su planos tangentes y el primera forma fundamental, que codifica todos los longitud y área mediciones en la superficie. Las superficies también surgen como conjuntos de niveles. $f(x, y, z) = c$ ; el gradiente luego dirige la normal.

19.1 Superficies parametrizadas

Definición 19.1 (Superficie regular parametrizada)

Sea $U \subseteq \R^2$ abierto. A parametrizado superficie de la clase $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) es un mapa $\sigma \colon U \to \R^3$ , $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ , de clase $\mathcal{C}^k$ . un el punto es regular si los vectores de derivada parcial

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

son linealmente independientes, es decir $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; la superficie es regular si todos los puntos lo son.

Ejemplo 19.2 (Las tres descripciones estándar)

Gráfico: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ para $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Siempre regular: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ y $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ son independientes.
Esfera (coordenadas esféricas): para el ámbito de radio $R$ ,

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

siendo $\theta$ la longitud y $\varphi$ la latitud. uno comprueba $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : regular lejos de los polos (que este gráfico omite).
Conjunto de niveles: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ donde $f$ es $\mathcal{C}^1$ y $\nabla f \neq 0$ en $S$ . Cerca de cada uno punto, una coordenada se puede expresar en función de la otra dos por el teorema de la función implícita (Capítulo 15), por lo que $S$ es localmente un gráfico.

Ejemplo 19.3 (Del nivel establecido al gráfico)

El teorema de la función implícita del punto 3 merece una explicación explícita. correr. Tome la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ cerca de su norte. polo $(0, 0, R)$ : allí $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ , y al resolver $z$ se obtiene el gráfico

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

regular en todas partes de su dominio (abierto) — incluido el polo que la carta esférica pasó por alto. Cerca de un punto del ecuador como $(R, 0, 0)$ , el mismo teorema resuelve $x$ en su lugar ( $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ ). la regla de pulgar: una superficie nivelada es una gráfica sobre el plano de coordenadas ortogonal al componente más grande del gradiente, y cubriendo la esfera con seis de esos gráficos uno comprueba su suavidad en todas partes sin trigonometría en todos.

19.2 Plano tangente y normal

Definición 19.4 (Plano tangente)

Dejemos que $\sigma$ sea regular en $(u_0, v_0)$ , $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . El plano tangente $T_{M_0}S$ es el avión que pasa por $M_0$ dirigido por $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (parciales en $(u_0, v_0)$ ). El unidad normal es

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Proposición 19.5 (Los vectores tangentes son velocidad. vectores)

La dirección de $T_{M_0}S$ es exactamente el conjunto de vectores. $\gamma'(0)$ , donde $\gamma = \sigma \circ c$ abarca el $\mathcal{C}^1$ curvas dibujadas en la superficie hasta $M_0$ (es decir, $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ es $\mathcal{C}^1$ con $c(0) = (u_0, v_0)$ ).

Demostración. Si $c(t) = (u(t), v(t))$ , la regla de la cadena (Capítulo 15) da

\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v \in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).

Por el contrario, el vector $a\sigma_u + b\sigma_v$ se obtiene mediante el curva $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ , que permanece en el conjunto abierto $U$ para $\abs t$ pequeño. ∎

Ejemplo 19.6 (El plano tangente del helicoidal)

Para el helicoidal $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , en el punto $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

entonces el plano tangente es $a\,y = z$ . Contiene todo regla horizontal $\{(t, 0, 0)\}$ (dirección $\sigma_v$ ): como para el cono de Ejercicio 19.1, una superficie regida por Las líneas rectas tienen cada regla dentro del tangente avión a lo largo de ellas. La otra dirección tangente $\sigma_u$ es la velocidad de la hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : un gráfico, dos curvas dibujadas, y se abarca todo el plano tangente — Proposición 19.5 en acción.

Proposición 19.7 (Normal de una superficie nivelada)

Sea $S = \{f = c\}$ con $f$ de clase $\mathcal{C}^1$ y $\nabla f(M_0) \neq 0$ . Entonces el plano tangente de $S$ en $M_0$ es el plano que pasa por $M_0$ ortogonal a $\nabla f(M_0)$ :

T_{M_0}S :\quad \langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .

Demostración. Para cualquier curva $\gamma$ dibujada de $S$ a $M_0$ , $f(\gamma(t)) = c$ es idéntica, por lo que la regla de la cadena da $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : todos los vectores de velocidad son ortogonal al gradiente, por lo que la dirección tangente está contenida en el avión $\nabla f(M_0)^\perp$ . Ambos son $2$ -dimensionales subespacios — la dirección tangente porque $S$ es localmente un gráfico regular (Ejemplo 19.2), el ortogonal complemento porque $\nabla f(M_0) \neq 0$ — por lo tanto son igual. ∎

Ejemplo 19.8

Para la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ , entonces plano tangente en $M_0$ es ortogonal al radio $\vect{OM_0}$ — el hecho clásico de que el radio y plano tangente son perpendiculares, con ecuación $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Ejemplo 19.9 (Gráfica del plano tangente)

Para $z = f(x, y)$ en $(x_0, y_0)$ : aplicando Proposición 19.7 a $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

la parte afín de la expansión de Taylor de primer orden — la plano tangente es la gráfica del diferencial, como debe ser.

Ejemplo 19.10 (El punto más cercano de un superficie)

¿Qué punto del paraboloide $z = x^2 + y^2$ está más cerca de $P = (0, 0, 1)$ ? Minimizar la distancia al cuadrado a lo largo de la superficie: con $\rho^2 = x^2 + y^2$ ,

g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2, \qquad g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0 \iff \rho^2 = \tfrac12 ,

dando el círculo de puntos en la altura $z = \frac12$ y distancia $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ . el firma geométrica de la minimalidad: en tal punto $M$ , el el vector $\vect{MP}$ debe ser normal hacia la superficie — de lo contrario, se desliza a lo largo de una curva dibujada con una velocidad que tiene un componente hacia $P$ disminuiría la distancia. Comprobar: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ en $M = (x, y, \tfrac12)$ , mientras que $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : paralelo, como se predijo. el La condición de primer orden "pie de la perpendicular" es la el mismo que impulsará conjuntos de niveles extremos en Ejercicio 19.12.

Ejemplo 19.11 (Planos tangentes de cuádricas: el regla de polarización)

Sean $S : xy + yz + zx = 1$ y $M_0 = (1, 1, 0) \in S$ . aquí $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$ , entonces $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ y plano tangente son

(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0, \qquad\text{i.e.}\qquad x + y + 2z = 2 .

La misma respuesta proviene del polarización rule que generaliza Ejemplo 19.8 y Ejercicio 19.2: en la ecuación de cuádrico, reemplace $x^2$ por $x_0x$ , y cada producto $xy$ por $\frac{x_0y + y_0x}2$ (y cíclicamente):

\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x + x_0z}2 = 1 \;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\; \frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,

que es $x + y + 2z = 2$ nuevamente. La regla funciona porque $\nabla$ de forma cuadrática es la forma bilineal asociada evaluado contra el punto base — la tangencia a cuádrico es polarización, una cara más de Capítulo 12.

19.3 La primera forma fundamental.

Definición 19.12 (Primera forma fundamental)

Dejemos que $\sigma \colon U \to \R^3$ sea un $\mathcal{C}^1$ normal. superficie. Su primera forma fundamental en $(u,v)$ es el positivo definitivo forma cuadrática en $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

donde

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Observación 19.13

$I$ es la restricción del producto escalar euclidiano ambiental a el plano tangente, leído en la base $(\sigma_u, \sigma_v)$ : es positivo definido precisamente porque $\sigma_u, \sigma_v$ son independiente (Capítulo 12). Cada cantidad métrica en el superficie — longitudes de curvas dibujadas, ángulos entre ellas, áreas — se calcula solo a partir de $E, F, G$ . Dos superficies con el mismo $E, F, G$ en parámetros adecuados son isométrico incluso si se asientan diferente en el espacio: este es el punto de partida de la intrínseca geometría.

Ejemplo 19.14 (Ángulos entre coordenadas curvas)

El primera forma fundamental también mide ángulos: el Las curvas de coordenadas $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ y $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ se encuentran en el ángulo $\theta$ con

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

el coeficiente único $F$ decide la ortogonalidad del red de parámetros. Para el gráfico de esferas y el helicoidal, $F = 0$ : los meridianos cortan paralelos y las hélices cortan la horizontal fallos, en ángulos rectos — por eso su área Los integrandos colapsaron en $\sqrt{EG}$ . Para un gráfico, $F = f_xf_y$ desaparece sólo cuando una derivada parcial: la red de coordenadas de un gráfico inclinado es no ortogonal, aunque la red $(x, y)$ de abajo lo es. cuando Los cálculos en una superficie parecen pesados, el primer paso es busque un gráfico con $F = 0$ .

Ejemplo 19.15 (El gráfico de silla de montar.)

Para el sillín $z = xy$ con tabla $\sigma(u, v) = (u, v, uv)$ :

\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u), \qquad E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,

y $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : regular en todas partes. el dos curvas de coordenadas que pasan por un punto son recto lineas de $\R^3$ (fijar $u$ o arreglar $v$ : las reglas de la silla con doble regla), pero $F \neq 0$ fuera de los ejes: reglas que pasan por un punto genérico no son ortogonales. Ambas sentencias mienten en el plano tangente, que abarcan — por lo que el tangente avión corta la superficie a lo largo de dos líneas enteras, el extremo opuesto de la esfera, cuyo planos tangentes se toca a la vez solo punto. El signo del "contacto de segundo orden" entre una superficie y su planos tangentes es una historia curvatura, retomado en el volumen del Año 3.

Proposición 19.16 (Longitud de una curva dibujada en un superficie)

Si $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ , $t \in [a, b]$ , es $\mathcal{C}^1$ , entonces

L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,

con $E, F, G$ evaluado en $(u(t), v(t))$ .

Demostración. $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ por la regla de la cadena, por lo que $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ; integrar $\norm{\gamma'}$ (Definición 18.6). ∎

Ejemplo 19.17 (¿Por qué los aviones vuelan sobre el polo?)

Dos aeropuertos se encuentran en la latitud $\varphi_0$ y enfrente longitudes: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ y $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ en la esfera de radio $R$ . A lo largo del paralelo ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ), el longitud es $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . En el recorrido sobre el polo (hasta el meridiano $\theta = 0$ , por el meridiano $\theta = \pi$ ), es $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . En la latitud $\varphi_0 = \frac\pi3$ (sesenta grados): ruta paralela $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , polar ruta $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — un tercio más corta. De hecho $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ en $\intcc0{\pi/2}$ (la función $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ se anula en ambos extremos y su derivada $2 - \pi\sin\varphi$ cambia de signo una vez, por lo que primero es creciente luego decreciente, por lo tanto no negativo): la ruta polar nunca pierde. El primera forma fundamental generó una pregunta de navegación. en dos integrales de una línea; Ejercicio 19.6 empuja la idea a una verdadera prueba de minimalidad para los meridianos.

Lema 19.18 (Identidad Lagrange)

Para todos los $a, b \in \R^3$ : $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$ . en particular

\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.

Demostración. Ambos lados no cambian si reemplazamos $b$ por su componente $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ ortogonal a $a$ (para $a \neq 0$ ; el caso $a = 0$ es trivial): el lado izquierdo porque $a \wedge a = 0$ , el lado derecho expandiendo $\norm {b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ y $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ . Por lo que basta con demostrar la identidad para $a, b$ ortogonal, donde se lee $\norm{a \wedge b} = \norm a \norm b$ : verdadero, ya que para vectores ortogonales el El producto cruzado tiene norma $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ . el La fórmula mostrada es el caso $a = \sigma_u$ , $b = \sigma_v$ . ∎

Observación 19.19

La identidad de Lagrange dice que $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ es el Gram determinante de $(\sigma_u, \sigma_v)$ : el área al cuadrado de el paralelogramo que abarcan. Regularidad, positiva precisión del primera forma fundamental y positividad del el Gram determinante son tres frases de una condición — es por eso que el integrando área a continuación nunca desaparece en un gráfico regular.

Definición 19.20 (Área)

Sea $\sigma \colon U \to \R^3$ una inyectiva regular. superficie $\mathcal{C}^1$ y $K \subseteq U$ un dominio compacto en qué integrales dobles tienen sentido (Capítulo 20). el área de la pieza $\sigma(K)$ es

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Observación 19.21 (¿Por qué esta fórmula?)

El rectángulo $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ se asigna a primer orden, en el paralelogramo abarcado por $\sigma_u\,\dd u$ y $\sigma_v\,\dd v$ , cuyo área es $\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ : la definición integra el local factor de distorsión de área, exactamente como longitud del arco integra el local velocidad. La coherencia con cambio de parametros es Ejercicio 19.8; coherencia con el cambio de variables La fórmula para integrales dobles se analiza en Capítulo 20.

Ejemplo 19.22 (Dos gráficas diferentes, una zona)

Sobre el disco unitario, compare el recipiente $z = \frac12(x^2 + y^2)$ y el sillín $z = xy$ . Sus integrandos área (Ejercicio 19.5) son

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{and}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

idéntico. Las dos superficies, una curvada de la misma manera en todas las direcciones, el otro en forma de silla de montar — tienen exactamente igual áreas en cada dominio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre el disco unitario. El elemento área solo ve el longitud del gradiente, no la disposición del flexión; distinguir el cuenco de la silla requiere datos de segundo orden (la estructura de signos exhibida en Figura 19.1), que no tiene cantidad de área la medición detecta. Primera forma fundamental: métrico, ciego dar forma; La segunda forma de ver formas pertenece al año 3.

Ejemplo 19.23 (Área de la esfera)

Para la carta esférica de Ejemplo 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

entonces $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ y $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . Por lo tanto

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Ejemplo 19.24 (El cono, comparado con el fórmula escolar)

Para el cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ sobre el anillo $a \leq \rho \leq b$ , la fórmula gráfica de Ejercicio 19.5 da $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calcule $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), entonces

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Comprobación de coherencia con la fórmula de altura inclinada $\pi\rho\ell$ de Ejemplo 19.26: los conos llenos de base Los radios $b$ y $a$ tienen áreas $\pi b\cdot b\sqrt2$ y $\pi a\cdot a\sqrt2$ , cuya diferencia es exactamente $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Dos gráficos, dos fórmulas, una área — la invariancia probada en Ejercicio 19.8, vista en la naturaleza.

Observación 19.25 (Controles de sanidad para áreas)

Tres comprobaciones instantáneas detectan la mayoría de los errores en un área cálculo. Escalada: dilatando una superficie por $\lambda$ multiplica $E, F, G$ por $\lambda^2$ y área por $\lambda^2$ — una respuesta cuya dependencia de $R$ no es cuadrática (como $4\pi R^2$ ) es incorrecta. Positividad de la elemento: $\sqrt{EG - F^2}$ debe ser estrictamente positivo en el interior del gráfico; un valor que desaparece indica una degeneración del gráfico, para ser extirpado como en los polos de la esfera. Simetría: un El cálculo sobre una pieza simétrico debe ser consistente con sumando sus partes congruentes — sería mejor que el hemisferio proporcione $2\pi R^2$ .

Ejemplo 19.26 (Superficie de revolución)

Girar la curva $z \mapsto (r(z), 0, z)$ , $r > 0$ de clase $\mathcal{C}^1$ , alrededor del eje $z$ :

\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).

Entonces $E = r(z)^2$ , $F = 0$ , $G = 1 + r'(z)^2$ , entonces

\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi} r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z = 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,

la fórmula clásica (circunferencia $2\pi r$ veces la inclinación longitud elemento). Para el cono $r(z) = kz$ , $z \in [0, h]$ : $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ con $\rho = kh$ el radio base y $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ la inclinación altura: la fórmula escolar, ahora derivada en lugar de admitida.

Ejemplo 19.27 (El catenoide)

Girar la catenaria $r(z) = \cosh z$ , $z \in \intcc{-1}{1}$ , alrededor de su eje: el catenoide resultante tiene, por fórmula de revolución y $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ ,

\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\, \dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z = \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},

eso es

\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .

El factor de inclinación $\sqrt{1 + r'^2}$ se fusionó con el radio en un cuadrado perfecto — la misma identidad que hizo el elemental longitud del arco de catenaria en el capítulo de curvas. esto No es casualidad del álgebra: entre todas las superficies de revolución. Al abarcar los dos círculos límite, la catenoide minimiza área (es la forma de una película de jabón entre dos anillos), y Esta propiedad variacional es precisamente lo que distingue $\cosh$ ; el volumen de Year 3 lo demuestra con el cálculo de variaciones.

The saddle z = x2 - y2 near the origin, with its coordinate curves (u-curves in blue, v-curves in green), the plano tangente at M_0 = (0,0,0) (dashed) and the unidad normal n. The surface crosses its plano tangente — the two-dimensional analogue of an inflection. — **Figura 19.1.** The saddle $z = x^2 - y^2$ near the origin, with its coordinate curves ( $u$ -curves in blue, $v$ -curves in green), the plano tangente at $M_0 = (0,0,0)$ (dashed) and the unidad normal $n$ . The surface crosses its plano tangente — the two-dimensional analogue of an inflection.

Observación 19.28 (Errores comunes)

(yo) Las singularidades del gráfico no son singularidades de superficie.: La carta esférica degenera en los polos. ( $\cos\varphi = 0$ ), pero la esfera allí es perfectamente lisa. — otro gráfico (intercambia los roles de los ejes) es regular en los polos. Antes de declarar un punto singular, pruebe con un segundo parametrización. (ii) Regularity of $\sigma$ concerns the parametrization, not the image: $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ no es regular a lo largo de $u = 0$ aunque su imagen es una avión. (iii) La fórmula área requiere $\sigma$ inyectivo en $K$ : un gráfico que cubre una pieza dos veces lo cuenta dos veces ( $\theta$ corriendo sobre $\intcc0{4\pi}$ duplica el área de la esfera). (iv) Se define el unidad normal hasta firmar por la superficie pero es preferido por el gráfico (orden de $u, v$ ); Las declaraciones que involucran orientación deben corregirse. esa elección. (v) Finalmente, $EG - F^2 > 0$ no es un extra Hipótesis: es exactamente regularidad, según Lagrange. identidad — si desaparece en alguna parte, el problema es la gráfico, y allí no se aplica ninguna fórmula área o del plano tangente.

Observación 19.29 (Perspectivas dentro de este volumen)

Enlaces directos desde aquí. El elemento área $\sqrt{EG - F^2}\,\dd u\,\dd v$ es un jacobiano bidimensional en disfrazar, y Capítulo 20 hace que la analogía sea exacta. con el teorema del cambio de variables — la superficie integrales hay áreas de este capítulo con un integrando en tablero. El primera forma fundamental es un campo de positivo. formas cuadráticas, manejado puntualmente por las herramientas de Capítulo 12, cuyo teorema espectral también potencia clasificación de fin de semana de este capítulo de cuádricas. y el La línea normal genera problemas extremos en conjuntos de restricciones. (Ejemplo 19.10), el germen geométrico de la Método del multiplicador de Lagrange esbozado con Teorema 15.11.

Cuatro de las nueve superficies cuádrico clasificadas en el problema de fin de semana, esbozado por sus siluetas y un nivel curva (roja): el elipsoide acotado, el doblemente reglado hiperboloide de una hoja con su cintura, el cuenco del paraboloide elíptico, y la silla, cuyos dos parabólicos las secciones se doblan en direcciones opuestas.

Observación 19.30 (donde se utiliza)

El elemento área $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ es la medida integral de superficie de Capítulo 20, donde cumple con la fórmula de Green; el primera forma fundamental es el prototipo de un campo de formas cuadráticas, estudiado puntualmente con las herramientas de Capítulo 12; y este capitulo El problema de fin de semana clasifica todas las superficies cuádrico con el teorema espectral. El volumen del Año 3 regresa a las superficies con Formas diferencial y el teorema de la divergencia, y las formas intrínsecas. curvatura — lo que $E, F, G$ sabe sobre doblar — es el puerta de entrada a la geometría diferencial propiamente dicha.

19.4 Ceremonias

Ejercicio 19.1 ★

Demuestre que el planos tangentes del cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (menos su vértice) todos pasan a través del vértice. (Parametrize by $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ , $r > 0$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

Con $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0), \qquad \sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),

independiente para $r > 0$ . El plano tangente en $M_0 = \sigma(\theta_0, r_0)$ pasa por $M_0$ con indicaciones $\sigma_\theta, \sigma_r$ . Ahora $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ es en sí mismo un Dirección tangente: el vértice $O$ se encuentra en el plano tangente. (Este es el comportamiento general de los conos: están regidos por líneas que pasan por el ápice, y un plano tangente contiene la línea gobernante a través del punto de tangencia.)

Ejercicio 19.2 ★

Encuentra el plano tangente del elipsoide $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ en un punto $(x_0, y_0, z_0)$ de la superficie.

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

Aplicar Proposición 19.7 a $f(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : $\nabla f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ en la superficie. El plano tangente es

\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0, \qquad\text{i.e.}\qquad \frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,

usando ese $(x_0, y_0, z_0)$ satisface la ecuación del elipsoide — la regla de "dividir los cuadrados" que generaliza el $\langle M_0, M \rangle = R^2$ de la esfera.

Ejercicio 19.3 ★

Calcular $E, F, G$ para el helicoidal $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , $a > 0$ y el área de la pieza $0 \leq u \leq 2\pi$ , $0 \leq v \leq 1$ , como una integral (evaluarlo usando $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ y $\sigma_v = (\cos u,\ \sin u,\ 0)$ , entonces

E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1, \qquad \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0

(el helicoidal es regular en todas partes, incluso en su eje $v = 0$ ). Área de la pieza:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u = 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2} + a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,

es decir, $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$ .

Ejercicio 19.4 ★★

(Toro) Parametriza el toro obtenido al girar el círculo de centro $(R, 0, 0)$ y radio $r < R$ en el plano $xz$ alrededor del $z$ -eje:

\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\ (R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).

Calcule $E, F, G$ , verifique la regularidad y demuestre que área es $4\pi^2 R r$ (Papus: circunferencia media $2\pi R$ veces el círculo longitud $2\pi r$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

Derivados:

\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ (R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr), \qquad \sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\ -r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).

entonces

E = (R + r\cos\psi)^2, \qquad F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi) \bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0, \qquad G = r^2 ,

entonces $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : Regular en todas partes. Área:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi) \,\dd\theta\,\dd\psi = 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr) = 4\pi^2 R r ,

el término $\cos\psi$ integrándose a cero — teorema de Pappus: área $=$ (longitud del círculo girado) $\times$ (distancia recorrida por su centro).

Ejercicio 19.5 ★★

Demuestre que el área de la gráfica de $f \in \mathcal{C}^1(K)$ es $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ , y calcularlo para la pieza paraboloide $z = \frac12(x^2 + y^2)$ sobre el disco $x^2 + y^2 \leq 1$ (coordenadas polares, Capítulo 20).

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

Para $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ , $\sigma_y = (0, 1, f_y)$ , entonces $E = 1 + f_x^2$ , $F = f_xf_y$ , $G = 1 + f_y^2$ y

EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 ,

dando la fórmula área indicada. Para $f = \frac12(x^2 + y^2)$ en el disco unitario: $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$ , y en polar coordenadas ( $x = \rho\cos\alpha$ , $y = \rho\sin\alpha$ , jacobiano $\rho$ , Capítulo 20):

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho \,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1 = \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).

Ejercicio 19.6 ★★

Una curva dibujada $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ en la esfera de El radio $R$ (carta esférica) tiene $u = \theta(t)$ , $v = \varphi(t)$ . Escribe su longitud como una integral en $\theta, \varphi$ y demostrar que entre curvas que unen dos puntos del mismo meridiano $\theta = \theta_0$ , el arco del meridiano es el más corto. (Bound the integrand below by $R\abs{\varphi'}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

Del cálculo de Ejemplo 19.23, $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ , por lo que por Proposición 19.16

L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2 + \varphi'(t)^2}\;\dd t .

Deje que los puntos finales sean $(\theta_0, \varphi_1)$ y $(\theta_0, \varphi_2)$ , $\varphi_1 < \varphi_2$ . Para cualquier curva de unión,

L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t \geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr| = R\,(\varphi_2 - \varphi_1),

eliminando el término no negativo $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ y usando la desigualdad triangular para integrales. El arco meridiano $\theta \equiv \theta_0$ , $\varphi$ aumentando de $\varphi_1$ a $\varphi_2$ , tiene longitud exactamente $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ : es más corto. (Los meridianos son grandes círculos; este es el primero, caso elemental del hecho de que las geodésicas de la esfera son grandes círculos.)

Ejercicio 19.7 ★★★

(Líneas normales de una esfera) Sea $S$ una superficie nivelada regular $\{f = c\}$ , conectado, todas cuyas líneas normales pasan por un punto fijo $\Omega$ . Demuestre que $S$ está contenido en una esfera centrado en $\Omega$ . (Show that $\norm{M - \Omega}^2$ has zero derivative along every curve drawn on $S$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

Fije una curva $\gamma$ dibujada en $S$ y deje $g(t) = \norm{\gamma(t) - \Omega}^2$ . Entonces $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) - \Omega\rangle$ . La línea normal en $M = \gamma(t)$ pasa por $\Omega$ por hipótesis, entonces $\gamma(t) - \Omega$ es un normal vector, ortogonal al plano tangente, en particular al La velocidad $\gamma'(t)$ (Proposición 19.5): $g' = 0$ y $g$ es constante a lo largo de cada curva dibujada.

Ahora el conjunto $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ es cerrado en $S$ ; también es abierto en $S$ : cerca de cualquiera de sus puntos, $S$ es un gráfico regular, por lo que cualquier punto cercano de $S$ está unido a él por una curva dibujada (un segmento elevado), a lo largo de la cual $g$ es constante. como $S$ es conectado y $S_c$ no está vacío para la derecha $c$ , $S = S_c \subseteq$ la esfera de centro $\Omega$ y radio $\sqrt c$ (Capítulo 4: argumento conectividad).

Ejercicio 19.8 ★★★

(Área es geométrico) Sea $\Phi \colon U' \to U$ un $\mathcal{C}^1$ difeomorfismo entre conjuntos abierto de $\R^2$ y $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$ . mostrar eso

\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} = \abs{\det J_\Phi}\, \norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,

y deducir, utilizando la fórmula de cambio de variables de Capítulo 20, que el área de Definición 19.20 no depende del regular elegido parametrización.

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

Escribe $\Phi(u', v') = (u, v)$ . Por la regla de la cadena,

\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v, \qquad \tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,

parciales de $\sigma$ evaluados en $\Phi(u',v')$ . Ampliando el producto cruzado bilinealmente y usando $\sigma_u \wedge \sigma_u = \sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ , $\sigma_v \wedge \sigma_u = -\sigma_u \wedge \sigma_v$ :

\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'} \frac{\partial v}{\partial v'} - \frac{\partial v}{\partial u'} \frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\, \sigma_u \wedge \sigma_v = \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .

Tomar normas da la identidad. Luego, por el cambio de variables fórmula (Capítulo 20) aplicada al mapa $\Phi$ en $K' = \Phi^{-1}(K)$ :

\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} \,\dd u'\dd v' = \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\; \abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v' = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :

las dos parametrizaciones asignan el mismo área a la misma pieza de superficie.

Ejercicio 19.9 ★

(Teorema de la sombrerera de Arquímedes) En la esfera de radio $R$ , el zona entre las latitudes con $z_1 \leq z \leq z_2$ ( $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$ ) tiene área $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : pruébalo con el diagrama esférico y concluye que la superficie de una zona área depende sólo de su altura — cortar una naranja en rebanadas de igual grosor dan cantidades iguales de cáscara.

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

En la carta esférica, $z = R\sin\varphi$ , y la zona corresponde a $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ con $z_i = R\sin\varphi_i$ . Con el elemento área $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Ejemplo 19.23):

\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1) = 2\pi R\,(z_2 - z_1) .

El resultado depende sólo de la altura $z_2 - z_1$ : rodajas de Igual espesor lleva igual áreas, ya sea cortado en el ecuador o en el polo — Teorema de la caja del sombrero de Arquímedes, y la razón el lateral área del cilindro circunscrito ( $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ ) es igual al área de la esfera.

Ejercicio 19.10 ★★

Demuestre que toda recta normal de una superficie de revolución $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ( $r > 0$ de clase $\mathcal C^1$ ) se encuentra con el eje de revolución y localice el punto de intersección.

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ y $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$ , entonces

\sigma_\theta \wedge \sigma_z = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,

un vector normal en $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ . el la línea normal es

t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\ z - t\,r\,r'\bigr),

que en $t = -1$ llega a $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ : cada La línea normal se encuentra con el eje, a la altura $z + rr'$ . (Esto es La razón tridimensional por la que la simetría rotacional sobrevive en el campo normal.)

Ejercicio 19.11 ★★

(Desenrollando el cilindro) El cuadro $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin u,\ v)$ del cilindro unitario tiene $E = G = 1$ , $F = 0$ : verifique esto y explique por qué cada curva dibujada $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ tiene el mismo longitud que la curva plana $t \mapsto (u(t), v(t))$ . Deducir que la hélice de $(1, 0, 0)$ a $(1, 0, 2\pi c)$ dando una vuelta tiene longitud $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ , y que no se ha dibujado ninguna curva con el mismo puntos finales y un giro completo es más corto.

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$ , $\sigma_v = (0, 0, 1)$ : $E = 1$ , $F = 0$ , $G = 1$ . Por Proposición 19.16 el longitud de un sorteo curva es $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — el longitud de su sombra del parámetro $(u(t), v(t))$ en el plano: el gráfico es un isometría local (el desenrollamiento del cilindro). la hélice $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , tiene sombree el segmento de $(0,0)$ a $(2\pi, 2\pi c)$ , de longitud $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ . Cualquier curva dibujada desde $(1,0,0)$ a $(1, 0, 2\pi c)$ que realice una vuelta completa tiene una sombra continuo. uniendo $(0, 0)$ a $(2\pi, 2\pi c)$ , del plano longitud $\geq$ el segmento recto; Dado que longitudes está de acuerdo, la hélice es más corto.

Ejercicio 19.12 ★★★

Sea $S = \{f = c\}$ una superficie nivelada regular compacto y $M_0 \in S$ un punto a la distancia máxima del origen. Mostrar que $\nabla f(M_0)$ es colineal con $\vect{OM_0}$ — el La normal en el punto más lejano es radial. Aplicar al elipsoide. $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ( $a > b > c > 0$ ): encuentra todos los puntos donde la normal es radial, y identificar los más lejanos.

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

La función $g(M) = \norm{M}^2$ es continuo en el compacto $S$ , por lo que alcanza su máximo en algún momento $M_0$ . Para cada curva $\gamma$ dibujada en $S$ con $\gamma(0) = M_0$ , la función $t \mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ tiene un máximo en $t = 0$ , por lo que derivado $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ desaparece: $M_0$ es ortogonal a cada vector tangente, es decir, normal a $S$ en $M_0$ . Como $\nabla f(M_0) \neq 0$ también dirige la línea normal. (Proposición 19.7), $\nabla f(M_0)$ y $\vect{OM_0}$ son colineales. Para el elipsoide, radialidad significa

\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :

cada coordenada satisface $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ , etc.; ya que $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ son distintos, como máximo uno La coordenada es distinta de cero y las soluciones en la superficie son los puntos finales de seis ejes $(\pm a, 0, 0)$ , $(0, \pm b, 0)$ , $(0, 0, \pm c)$ . Los puntos más lejanos son $(\pm a, 0, 0)$ , en distancia $a = \max(a,b,c)$ .

19.5 Problema: la clasificación de las cuádricas de $\R^3$

Problema 19.1

Problema de fin de semana — cada superficie cuádrica, ordenados por el teorema espectral

A cuádrico es el cero establecido en $\R^3$ de un polinomio de grado dos

q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c, \qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\ c \in \R .

Las superficies de las figuras de este capítulo — esferas, elipsoides, sillas de montar, conos, cilindros — son todos cuádricas. Este problema los clasifica todo: el teorema espectral (Teorema 12.13) endereza la cuadrática parte, las traducciones afín (Capítulo 17) absorben parte lineal, y lo que queda es una lista breve y completa de formas normales.

Parte I — The reduction machine.

Deje $X = PY + t$ con $P \in O(3)$ y $t \in \R^3$ (un cambio rígido de coordenadas). Demuestre que $q(PY + t) = Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ con

$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad c' = q(t) .$

Deducir que el espectro de $A$ (de ahí su rango y firma) es un invariante rígido de la ecuación, y explique por qué la ecuación de un cuádrico dado es solo determinado hasta un factor escalar distinto de cero.
Utilizando el teorema espectral, demuestre que después de una rotación la ecuación pasa a ser $\sum_i \lambda_i y_i^2 + 2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ con $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ el valores propios de $A$ .
Por cada $i$ con $\lambda_i \neq 0$ , absorber $\beta_iy_i$ mediante una traducción ( $y_i \mapsto y_i - \beta_i/\lambda_i$ ). Escribe la ecuación reducida cuando $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
Un centro del cuádrico de la ecuación $q = 0$ es un punto $\Omega$ con $q(2\Omega - X) = q(X)$ para todos $X$ : la reflexión del punto en $\Omega$ preserva la ecuación, de ahí la superficie. Demuestre que $q(2\Omega - X) - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b, \Omega\rangle$ y deduzca: los centros son exactamente las soluciones de $A\Omega = -b$ ; ellos existe si $b \in \operatorname{im}A$ , y el centro es único si $A$ es invertible.

Parte II — Central cuádricas ( $\operatorname{rank}A = 3$ ). Aquí la ecuación reducida es $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ .

Multiplicando por $-1$ si es necesario, asume al menos dos $\lambda_i > 0$ . Enumere las posibilidades: firma $(3, 0)$ con $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ , y firma $(2, 1)$ con $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; nombrar los seis conjuntos resultantes (elipsoide, punto, conjunto vacío, hiperboloide de una hoja, cono, dos hojas hiperboloide) y poner cada uno en su normal euclidiana formulario ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ , etc.).
Clasificar $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : muestre $A = 2J - I$ con $J$ la matriz de todos unos, calcular el espectro $\{5, -1, -1\}$ e identificar un Hiperboloide de revolución de dos hojas alrededor del eje. $\R(1,1,1)$ .
(Resoluciones) Para el hiperboloide de una hoja $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , factor

$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$

y producir dos familias de un parámetro de recto líneas que se encuentran en la superficie.
Demuestre que en cada punto de la hoja única El hiperboloide pasa exactamente por una línea de cada familia: la superficie es doblemente gobernado.
El cono asintótico de la hoja única El hiperboloide es $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Con $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ , demuestre que cualquier punto del El hiperboloide está a una distancia máxima de $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}}$ de $C$ , por lo que la superficie abraza su cono en el infinito. ¿Cuáles son las secciones del hiperboloide por los aviones $x = \pm a$ ?

Parte III — Rank $2$ and rank $1$ : paraboloids, cylinders, planes.

Supongamos $\operatorname{rank}A = 2$ , digamos $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$ . A partir de la pregunta 3, dividido en dos casos según $\beta_3 \neq 0$ (sin centro, por pregunta 4) o $\beta_3 = 0$ (una línea de centros), y reducir a

$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0 \qquad\text{or}\qquad \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$

paraboloides elípticos/hiperbólicos en el primer caso, cilindros sobre cónicas centrales (o pares de planos que se cruzan, una línea, el conjunto vacío) en el segundo.
Demuestre que la silla $z = xy$ es hiperbólica. paraboloide: gire $\pi/4$ en el plano $xy$ para llegar a $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , la superficie de Figura 19.1 a escala.
Muestra que la silla $z = xy$ lleva las dos líneas. familias $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ y $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ , con exactamente una línea de cada una hasta cada punto: el segundo gobernó doblemente cuádrico.
Clasificar $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ en $\R^3$ (completa los cuadrados; identifica una circular recta cilindro, y dé su eje y radio).
Ahora digamos $\operatorname{rank}A = 1$ , digamos $\lambda_1 \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$ . Girando dentro del plano del núcleo y traducción, reducir a

$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0) \qquad\text{or}\qquad \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$

un cilindro parabólico, o un par de planos paralelos, un doble plano, o el conjunto vacío. Clasificar $(x + y)^2 = z$ completamente (forma normal, eje de traslación invariancia).

Parte IV — The classification theorem.

Reúna las partes I–III en un teorema: every cuádrico of $\R^3$ is mapped by a rigid motion onto exactly one normal form. Lista los diecisiete afín tipos (cuente las variantes vacías y los conjuntos degenerados), y seleccione los nueve cuádrico superficies: elipsoide, hiperboloides de una y dos hojas, cono, paraboloides elípticos e hiperbólicos, elípticos, Cilindros hiperbólicos y parabólicos.
Escribe la clasificación algoritmo: dado $(A, b, c)$ , ¿qué cantidades calculas, en qué orden, y ¿qué sucursal decide qué tipo? justificar que cada paso sea efectivo (valores propios de un simétrico $3\times3$ matriz, rango, solubilidad de $A\Omega = -b$ ).
Ejecute el algoritmo en $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 1$ : muestre $A = 2I - J$ tiene espectro $\{2, 2, -1\}$ y concluya: un hiperboloide de una hoja de revolución sobre $\R(1,1,1)$ .
Ejecútelo en $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : busque el centro e identifique el cuádrico.
Ejecútelo en $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonalice el Bloque $xy$ ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) e identifique el cuádrico.
Euclidiano versus afín. Muestre que dos centrales cuádricas en forma normal son equivalentes a rígidamente si tienen las mismas listas de coeficientes (hasta permutación y un escalar positivo común en la ecuación), mientras que afinmente, sólo la firma los datos sobreviven: cada elipsoide es una imagen afín de la esfera redonda. ¿Qué teorema garantiza que la la firma no puede cambiar en el camino (Teorema 12.6)?

Part V — Dividends.

Demuestre que cada sección de un cuádrico por un afín El plano es una cónica (posiblemente degenerada) de ese plano. Identifique las secciones del sillín $z = xy$ por el aviones $z = c$ ( $c \neq 0$ y $c = 0$ ).
¿Qué superficies cuádrico contienen líneas rectas? Mostrar que el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas y el el paraboloide elíptico no contiene ninguno (restringir $q$ a una recta y utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para el caso de dos hojas); ese cono y cilindros son gobernado por una familia; y concluir que el doble Las superficies cuádrico rayadas son exactamente de una sola hoja. hiperboloide y el paraboloide hiperbólico.
Cuando sólo se desea el tipo afín, el valor de Gauss la reducción (Teorema 12.5) es más barata que diagonalizar. Rehacer la pregunta 17 con la de Gauss. algoritmo y verifique la firma $(2, 1)$ ; que ¿Qué información euclidiana pierde Gauss?
Todos los valores propios de una matriz simétrico son reales; mostrar que en consecuencia el señales del valores propios de $A$ se puede leer desde polinomio característico por la regla de los signos de Descartes, y verificarlo en pregunta 6: $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ tiene exactamente un cambio de signo, por lo tanto firma $(1, 2)$ .
Síntesis. Resuma el algoritmo en unas pocas líneas; Indique el papel exacto desempeñado por (i) el espectro teorema, (ii) la ecuación central $A\Omega = -b$ , (iii) teorema de inercia de Sylvester, (iv) teorema de Gauss reducción. ¿Cuánto rinde la misma máquina? $\R^2$ , ¿y qué cambios en $\R^n$ ?

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. Expandiendo y usando la simetría de $A$ ( $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$ ):

q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY + 2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At + 2b^{\mathsf T}t + c\bigr),

que es el triple mostrado. $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ es similar a $A$ : mismo polinomio característico, espectro, rango, firma. Finalmente $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ para $s \neq 0$ , por lo que sólo la ecuación hasta un escalar es adjunto al conjunto; escalar por $s$ multiplica todo valores propios por $s$ .

2. El teorema espectral proporciona a $P \in O(3)$ $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ ; La pregunta 1 con $t = 0$ convierte la ecuación en $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ , donde $\beta = P^{\mathsf T}b$ .

3. Para $\lambda_i \neq 0$ : $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 - \frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ; la traducción $z_i = y_i + \beta_i/\lambda_i$ (y $z_i = y_i$ para $i > r$ ) da

\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0, \qquad c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.

4. $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ; expandiéndose y restando $q(X)$ , los términos cuadráticos se cancelan y

q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle + 4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .

Si $A\Omega + b = 0$ esto desaparece de manera idéntica: el punto La reflexión conserva $q$ , de ahí el cuádrico. Por el contrario, “ $q(2\Omega - X) = q(X)$ para todos los $X$ ” dice que el afín La función anterior desaparece en todo $\R^3$ , lo que fuerza su la parte lineal $A\Omega + b$ sea cero. Así centra $=$ soluciones de $A\Omega = -b$ : un conjunto no vacío si $b \in \operatorname{im}A$ (un subespacio afín dirigido por $\ker A$ ) y un único punto si $A$ es invertible.

5. Firma $(3,0)$ (todos $\lambda_i > 0$ ): $\delta > 0$ da $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ con $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ , etc. — an elipsoide; $\delta = 0$ : el punto único $O$ ; $\delta < 0$ : vacío. Firma $(2,1)$ ( $\lambda_1, \lambda_2 > 0 > \lambda_3$ ): $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , el hiperboloide de una hoja; $\delta = 0$ : el cono $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ ; $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , el de dos hojas hiperboloide ( $\abs z \geq c$ : dos componentes).

6. La parte cuadrática tiene matriz $A$ con diagonal $1$ y fuera de diagonal $2$ : $A = 2J - I$ . Desde $J$ tiene espectro $\{3, 0, 0\}$ (vector propio $(1,1,1)$ para $3$ ), $A$ tiene espectro $\{5, -1, -1\}$ , el valor propio $5$ llevado por $\R(1,1,1)$ . En las coordenadas rotadas: $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$ , es decir $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : una hoja de dos hiperboloide, de revolución (igual valores propios $-1$ ) sobre el eje $\R(1,1,1)$ .

7. La superficie es $\bigl(\frac xa - \frac zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ . Para $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ defina la línea

D_{\lambda:\mu} :\quad \lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac yb\Bigr), \qquad \mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)

(dos ecuaciones afín independientes: una recta). multiplicando el dos ecuaciones muestran que cada punto de $D_{\lambda:\mu}$ se encuentra en la superficie cuando $\lambda\mu \neq 0$ ; los casos $\lambda = 0$ o $\mu = 0$ se marcan directamente (por ejemplo, $\lambda = 0$ : $y = b$ , $\frac xa = -\frac zc$ , que satisface la ecuación). el segunda familia $D'_{\lambda:\mu}$ intercambia los dos derechos factores.

8. Fijar $M$ en la superficie. Las condiciones para $M \in D_{\lambda:\mu}$ forman un sistema lineal homogéneo $2\times2$ . en $(\lambda, \mu)$ cuyo determinante es

\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0

precisamente porque $M$ se encuentra en el cuádrico: un no trivial La solución $(\lambda : \mu)$ existe. La matriz de coeficientes es nunca cero (eso forzaría $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$ ), por lo que su rango es $1$ y la solución es única hasta escala: exactamente una línea de la familia pasa por $M$ . Lo mismo se aplica a la segunda familia, y las dos líneas son distintos (en $(a, 0, 0)$ son $\{x = a,\ \frac zc = \frac yb\}$ y $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ ): el de una hoja El hiperboloide está doblemente reglado.

9. Sea $M = (x, y, z)$ en el hiperboloide, $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$ . El punto $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ con $\varepsilon$ el signo de $z$ satisface $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : $N \in C$ , y

d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho} = c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .

Si $\norm M \to \infty$ entonces $\rho \to \infty$ (los tres las coordenadas están limitadas por múltiplos de $\rho$ ), por lo que $d(M, C) \to 0$ . La sección $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ , el par de líneas cruzadas de pregunta 8 — y también en $x = -a$ .

10. Con $\lambda_3 = 0$ , sale la pregunta 3 $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . en la base propia, $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , por lo que según la pregunta existen 4 centros si $\beta_3 = 0$ . si $\beta_3 \neq 0$ : la traducción $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ elimina la constante, dejando $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ , es decir $z_3 = px^2 + qy^2$ después de cambiar el nombre: un paraboloide elíptico si $\lambda_1\lambda_2 > 0$ , un paraboloide hiperbólico si $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — y de hecho no hay centro. si $\beta_3 = 0$ : la ecuación $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ no involucra a $z_3$ : el cuádrico es un cilindro sobre el plano correspondiente cónico — cilindro elíptico, línea o conjunto vacío cuando $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ; hiperbólico cilindro o par de planos que se cruzan cuando $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — con toda una línea de centros $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ .

11. $xy - z = 0$ . Sustituyendo $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$ , $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotación por $\pi/4$ ): $xy = \frac{u^2 - v^2}2$ , entonces la ecuación se convierte en $z = \frac12(u^2 - v^2)$ : un paraboloide hiperbólico — la silla de la figura, hasta el factor $\frac12$ .

12. La línea $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (parametrizada por $y$ ) se encuentra claramente en $z = xy$ , al igual que $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ ; por $(x_0, y_0, x_0y_0)$ pasen los dos. Unicidad: si $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ permanece en la superficie, el coeficiente de $t^2$ en $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ da $v_1v_2 = 0$ , entonces $v_1 = 0$ o $v_2 = 0$ , aterrizando en una de las dos familias: una línea de cada uno a través de cada punto — la segunda doblemente dictaminó cuádrico.

13. Completando cuadrados: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ , sin condición en $z$ : un cilindro circular recto de radio $\sqrt2$ y eje la línea vertical $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$ — una línea de centros, como predice la pregunta 10.

14. Con $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ el reducido La ecuación es $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Una rotación del plano del núcleo $(z_2, z_3)$ alinea el forma lineal: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ con $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ . Si $\beta \neq 0$ , traducir $w$ para absorber $c''$ : $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$ , a cilindro parabólico; si $\beta = 0$ : $\lambda_1z_1^2 = -c''$ da dos planos paralelos ( $c'' \lambda_1 < 0$ ), un plano doble ( $c'' = 0$ ), o el vacío conjunto. Para $(x + y)^2 = z$ : con $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ el la ecuación dice $z = 2u^2$ : un cilindro parabólico, invariante en traducciones a lo largo de $(1, -1, 0)$ .

15. Cada cuádrico es llevado por una rotación más traducciones a uno de: (rango 3) elipsoide, punto, vacío conjunto, hiperboloide de una hoja, cono, hiperboloide de dos hojas; (rango 2) paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, elíptico cilindro, línea, conjunto vacío, cilindro hiperbólico, par de planos que se cruzan; (rango 1) cilindro parabólico, par de planos paralelos, doble plano, conjunto vacío. Identificando el tres variantes vacías como afín types distintas de ecuaciones, la cuenta es diecisiete; entre ellos nueve son honestos superficies: elipsoide, los dos hiperboloides, el cono, los dos paraboloides y los tres cilindros.

Algoritmo 16.. (i) Leer $(A, b, c)$ ; calcular el polinomio característico de $A$ , su valores propios (real, por el teorema espectral) y $r = \operatorname{rank}A$ . (ii) Resolver $A\Omega = -b$ (eliminación gaussiana): solucionable o no — centros o no. (iii) Si tiene solución, trasladar a un centro: la ecuación pasa a ser $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ con $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$ ; ordenar por $r$ , la firma, y el signo de $c''$ usando las preguntas 5, 10, 14. (iv) Si no solucionable ( $r \leq 2$ ), rotar y reducir como en las preguntas 10 y 14: paraboloide ( $r = 2$ ) o cilindro parabólico ( $r = 1$ ), elíptica/hiperbólica según el signo de $\lambda_1\lambda_2$ . Cada paso es un cálculo finito: raíces de un cúbico con raíces reales, rangos, sistemas lineales.

17. $A$ tiene $1$ en diagonal, $-1$ fuera de diagonal: $A = 2I - J$ , espectro $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ con $-1$ en $\R(1,1,1)$ . Firma $(2,1)$ , $b = 0$ , lado derecho $\delta = 1 > 0$ : $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$ , una hoja Hiperboloide de revolución alrededor del eje $\R(1,1,1)$ .

18. Cuadrados completos: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 + (-1 - 4 + 1 + 4) = 0$ , es decir.

(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :

la constante desapareció — una circular recta cono con vértice (y centro único) $(1, -2, 1)$ y eje paralelo a $Oz$ .

19. La parte cuadrática $x^2 + 4xy + y^2$ tiene matriz. $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (en el $xy$ -avión), valores propios $3$ (en $(1,1)$ ) y $-1$ (en $(1,-1)$ ): con $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ es igual a $3u^2 - v^2$ , y el cuádrico es

z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :

un paraboloide hiperbólico ( $A$ tiene rango $2$ y $b$ tiene un componente a lo largo de $\ker A = \R e_z$ : sin centro).

20. Un movimiento rígido transforma los datos de la ecuación en $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (mismo valores propios) y el las formas normales no tienen libertad residual excepto permutar coordenadas y multiplicando toda la ecuación por un escalar ( $> 0$ para preservar la escritura): dos formas normales centrales coincidir hasta la isometría si las listas de coeficientes coinciden hasta permutación y factor positivo común — para el elipsoide, si los semiejes $(a, b, c)$ están de acuerdo. Por último, también se puede escale cada coordenada por separado ( $z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs {\lambda_i}}$ ), lo que borra el valores propios y deja solo sus signos: cada elipsoide se convierte en $u^2 + v^2 + w^2 = 1$ , la esfera. Teorema de inercia de Sylvester (Teorema 12.6) garantiza la firma sobrevive a cualquier cambio lineal invertible: los tipos afín de La pregunta 15 son realmente distintas.

21. Parametrizar el plano de forma afín: $M = P + su + tv$ . Entonces $q(P + su + tv)$ es un polinomio de grado $\leq 2$ en $(s, t)$ (expandir el forma cuadrática bilinealmente), por lo que el la sección $\{q = 0\}$ es una cónica del avión, posiblemente degenerar. Para $z = xy$ y el avión $z = c$ : $xy = c$ , un hipérbola para $c \neq 0$ , y para $c = 0$ las dos coordenadas líneas — el par de reglas que pasan por el origen.

22. elipsoide: acotado, no contiene línea. Hiperboloide de dos hojas $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : restringir a $p + tv$ ; el coeficiente $t^2$ $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ debe desaparecer, por lo que $v_3 \neq 0$ (de lo contrario $v = 0$ ); el coeficiente $t$ da $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ , y Cauchy–Schwarz rendimientos

\frac{p_3^2}{c^2} = \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2 \leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2} = \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},

entonces el término constante es $\leq 0 \neq 1$ : sin línea. paraboloide elíptico $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ : el coeficiente $t^2$ fuerza a $v_1 = v_2 = 0$ , entonces la ecuación es lineal no constante en $t$ : sin línea. Cono $x^2 + y^2 = z^2$ : una línea satisface $q(p) = q(v) = B(p, v) = 0$ para el formulario de Lorentz; igualdad en el avión Cauchy–Schwarz $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} = \sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ fuerza $(p_1, p_2) \parallel (v_1, v_2)$ y luego $p = kv$ : todas las líneas pasan a través del vértice — una familia. Cilindros: para el cilindros elípticos y parabólicos el coeficiente de fuerzas $t^2$ $v_1 = v_2 = 0$ (sólo resoluciones); para el cilindro hiperbólico $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , $\frac{v_1}a = \pm \frac{v_2}b$ con $v_2 \neq 0$ conducen a través del coeficiente $t$ a $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ , contradiciendo la Término constante $1$ : nuevamente solo las reglas verticales. Entonces el Las superficies cuádrico doblemente rayadas son exactamente de una sola hoja. hiperboloide y el paraboloide hiperbólico.

23. Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz$ , entonces

q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y + z)^2 :

tres cuadrados independientes con signos $(+, +, -)$ — firma $(2, 1)$ , pregunta coincidente 17, sin valor propio cálculo. Gauss pierde los datos métricos: las nuevas coordenadas no son ortonormales, por lo que valores propios (la forma del hiperboloide, sus ejes y sus longitudes) han desaparecido; solo el El tipo afín permanece.

24. Sean $p$ , $n$ , $z$ los números de positivo, negativo y cero valores propios, $p + n + z = 3$ . Descartes La regla limita $p$ por el número $V$ de cambios de signo de $\chi_A$ , y $n$ por el número $V'$ de cambios de signo de $\chi_A(-\lambda)$ ; además cada par de consecutivos distintos de cero coeficientes produce un cambio en exactamente uno de los dos polinomios, por lo $V + V' \leq 3 - z$ (las raíces cero son visibles como coeficientes de fuga que desaparecen). Entonces $p + n = 3 - z \geq V + V' \geq p + n$ : igualdad, entonces $p = V$ exactamente — el Se pueden leer los signos del valores propios. Para $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : signos $+,-,-,-$ dé $V = 1$ , y $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ tiene los signos $-,-,+,-$ : $V' = 2$ . Firma $(1, 2)$ — consistente con la factorización exacta $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ de la pregunta 6.

25. Algoritmo: diagonalizar la parte cuadrática ortonormalmente (teorema espectral: este es el único analíticamente paso profundo, y es lo que hace que el clasificación euclidiano); resolver $A\Omega = -b$ para decidir tipos centrales versus parabólicos y traducir la parte lineal cuando sea posible (geometría afín); leer el tipo de rango, firma y la constante (Sylvester garantiza que estos son invariantes); cuando solo el tipo afín importa, la reducción de Gauss reemplaza el teorema espectral en el costo de la información métrica. En $\R^2$ lo mismo La máquina clasifica las cónicas: elipse, hipérbola, parábola y más. pares de rectas, una recta, un punto y conjuntos vacíos. En $\R^n$ nada cambia excepto la contabilidad: los tipos están indexados por el firma de $A$ , la posición de $b$ relativa a $\operatorname{im}A$ , y una constante — con el XXXP0417Matriz bordeada de dimensiones XXX de $(A, b, c)$ proporcionando un invariante compacto.

19.1 Superficies parametrizadas

19.2 Plano tangente y normal

19.3 La primera forma fundamental.

19.4 Ceremonias

19.5 Problema: la clasificación de las cuádricas de R3\R^3R3

19.5 Problema: la clasificación de las cuádricas de $\R^3$