Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

19Superficies

Tras las curvas, las superficies: objetos de dos parámetros en $\R^3$ . El cálculo diferencial del Capítulo 15 proporciona todo lo que necesitamos: las derivadas parciales dan los vectores tangentes, el producto vectorial da la normal y los determinantes dan las áreas. Definimos las superficies parametrizadas regulares, sus planos tangentes y la primera forma fundamental, que codifica todas las medidas de longitud y de área sobre la superficie. Las superficies también aparecen como conjuntos de nivel $f(x, y, z) = c$ ; el gradiente dirige entonces la normal.

19.1 Superficies parametrizadas

Definición 19.1 (Superficie parametrizada regular)

Sea $U \subseteq \R^2$ un abierto. Una superficie parametrizada de clase $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) es una aplicación $\sigma \colon U \to \R^3$ , $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ , de clase $\mathcal{C}^k$ . Un punto es regular si los vectores de derivadas parciales

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

son linealmente independientes, es decir, si $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ; la superficie es regular si lo es todo punto.

Ejemplo 19.2 (Las tres descripciones estándar)

Grafo: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ para $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . Siempre regular: $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ y $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ son independientes.
Esfera (coordenadas esféricas): para la esfera de radio $R$ ,

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

con $\theta$ la longitud y $\varphi$ la latitud. Se comprueba que $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : regular fuera de los polos (que esta carta omite).
Conjunto de nivel: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ con $f$ de clase $\mathcal{C}^1$ y $\nabla f \neq 0$ sobre $S$ . Cerca de cada punto, una coordenada puede expresarse como función de las otras dos por el teorema de la función implícita (Capítulo 15), de modo que $S$ es localmente un grafo.

Ejemplo 19.3 (Del conjunto de nivel al grafo)

El teorema de la función implícita del punto 3 merece una ejecución explícita. Tomemos la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ cerca de su polo norte $(0, 0, R)$ : allí $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ , y despejar $z$ da la carta de grafo

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

regular en todo su dominio (abierto), incluido el polo que la carta esférica se dejaba. Cerca de un punto del ecuador como $(R, 0, 0)$ , el mismo teorema despeja $x$ en su lugar ( $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ ). La regla práctica: una superficie de nivel es un grafo sobre el plano coordenado ortogonal a la mayor componente del gradiente, y cubriendo la esfera con seis cartas de grafo de ese tipo se comprueba su regularidad en todas partes sin trigonometría alguna.

19.2 Plano tangente y normal

Definición 19.4 (Plano tangente)

Sea $\sigma$ regular en $(u_0, v_0)$ , y $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . El plano tangente $T_{M_0}S$ es el plano que pasa por $M_0$ y tiene dirección $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (con las parciales en $(u_0, v_0)$ ). La normal unitaria es

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

Proposición 19.5 (Los vectores tangentes son vectores velocidad)

La dirección de $T_{M_0}S$ es exactamente el conjunto de vectores $\gamma'(0)$ , donde $\gamma = \sigma \circ c$ recorre las curvas $\mathcal{C}^1$ trazadas sobre la superficie que pasan por $M_0$ (es decir, $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ es $\mathcal{C}^1$ con $c(0) = (u_0, v_0)$ ).

Demostración. Si $c(t) = (u(t), v(t))$ , la regla de la cadena (Capítulo 15) da

\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v \in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).

Recíprocamente, el vector $a\sigma_u + b\sigma_v$ se alcanza con la curva $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ , que permanece en el abierto $U$ para $\abs t$ pequeño. ∎

Ejemplo 19.6 (El plano tangente del helicoide)

Para el helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , en el punto $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

de modo que el plano tangente es $a\,y = z$ . Contiene toda la generatriz horizontal $\{(t, 0, 0)\}$ (dirección $\sigma_v$ ): como en el cono del Ejercicio 19.1, en una superficie reglada por rectas cada generatriz está dentro del plano tangente a lo largo de ella. La otra dirección tangente $\sigma_u$ es la velocidad de la hélice $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : una carta, dos curvas trazadas y todo el plano tangente queda generado; la Proposición 19.5 en acción.

Proposición 19.7 (Normal de una superficie de nivel)

Sea $S = \{f = c\}$ con $f$ de clase $\mathcal{C}^1$ y $\nabla f(M_0) \neq 0$ . Entonces el plano tangente de $S$ en $M_0$ es el plano que pasa por $M_0$ y es ortogonal a $\nabla f(M_0)$ :

T_{M_0}S :\quad \langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .

Demostración. Para toda curva $\gamma$ trazada sobre $S$ que pase por $M_0$ , $f(\gamma(t)) = c$ idénticamente, de modo que la regla de la cadena da $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : todos los vectores velocidad son ortogonales al gradiente, luego la dirección tangente está contenida en el plano $\nabla f(M_0)^\perp$ . Ambos son subespacios de dimensión $2$ —la dirección tangente porque $S$ es localmente un grafo regular (Ejemplo 19.2), y el complemento ortogonal porque $\nabla f(M_0) \neq 0$ —, luego son iguales. ∎

Ejemplo 19.8

Para la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ , luego el plano tangente en $M_0$ es ortogonal al radio $\vect{OM_0}$ ; el hecho clásico de que el radio y el plano tangente son perpendiculares, con ecuación $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

Ejemplo 19.9 (Plano tangente de un grafo)

Para $z = f(x, y)$ en $(x_0, y_0)$ : aplicando la Proposición 19.7 a $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ,

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

la parte afín del desarrollo de Taylor de primer orden: el plano tangente es el grafo de la diferencial, como debe ser.

Ejemplo 19.10 (El punto más próximo de una superficie)

¿Qué punto del paraboloide $z = x^2 + y^2$ está más cerca de $P = (0, 0, 1)$ ? Minimicemos la distancia al cuadrado sobre la superficie: con $\rho^2 = x^2 + y^2$ ,

g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2, \qquad g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0 \iff \rho^2 = \tfrac12 ,

lo que da la circunferencia de puntos de altura $z = \frac12$ y distancia $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ . La firma geométrica de la minimalidad: en un punto $M$ así, el vector $\vect{MP}$ debe ser normal a la superficie; de lo contrario, deslizarse por una curva trazada con velocidad de componente hacia $P$ disminuiría la distancia. Comprobación: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ en $M = (x, y, \tfrac12)$ , mientras que $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : paralelos, como se predijo. La condición de primer orden “pie de la perpendicular” es la misma que guiará los extremos sobre conjuntos de nivel en el Ejercicio 19.12.

Ejemplo 19.11 (Planos tangentes de las cuádricas: la regla de polarización)

Sean $S : xy + yz + zx = 1$ y $M_0 = (1, 1, 0) \in S$ . Aquí $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$ , luego $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ y el plano tangente es

(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0, \qquad\text{es decir,}\qquad x + y + 2z = 2 .

La misma respuesta sale de la regla de polarización que generaliza el Ejemplo 19.8 y el Ejercicio 19.2: en la ecuación de la cuádrica, sustitúyase $x^2$ por $x_0x$ , y cada producto $xy$ por $\frac{x_0y + y_0x}2$ (y cíclicamente):

\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x + x_0z}2 = 1 \;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\; \frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,

que es de nuevo $x + y + 2z = 2$ . La regla funciona porque el $\nabla$ de una forma cuadrática es la forma bilineal asociada evaluada contra el punto base: la tangencia a una cuádrica es polarización, una cara más del Capítulo 12.

19.3 La primera forma fundamental

Definición 19.12 (Primera forma fundamental)

Sea $\sigma \colon U \to \R^3$ una superficie $\mathcal{C}^1$ regular. Su primera forma fundamental en $(u,v)$ es la forma cuadrática definida positiva sobre $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

donde

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

Observación 19.13

$I$ es la restricción del producto escalar euclídeo ambiente al plano tangente, leída en la base $(\sigma_u, \sigma_v)$ : es definida positiva precisamente porque $\sigma_u, \sigma_v$ son independientes (Capítulo 12). Toda magnitud métrica sobre la superficie —longitudes de curvas trazadas, ángulos entre ellas, áreas— se calcula solo a partir de $E, F, G$ . Dos superficies con los mismos $E, F, G$ en parámetros adecuados son isométricas aunque estén situadas de manera distinta en el espacio: este es el punto de partida de la geometría intrínseca.

Ejemplo 19.14 (Ángulos entre las curvas coordenadas)

La primera forma fundamental mide también ángulos: las curvas coordenadas $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ y $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ se cortan formando el ángulo $\theta$ con

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

el único coeficiente $F$ decide la ortogonalidad de la red de parámetros. Para la carta de la esfera y para el helicoide, $F = 0$ : los meridianos cortan a los paralelos, y las hélices a las generatrices horizontales, en ángulo recto; por eso sus integrandos de área colapsaron a $\sqrt{EG}$ . Para una carta de grafo, $F = f_xf_y$ solo se anula donde lo hace alguna derivada parcial: la red coordenada de un grafo inclinado no es ortogonal, aunque la red $(x, y)$ de abajo sí lo sea. Cuando los cálculos sobre una superficie se ponen pesados, el primer movimiento es buscar una carta con $F = 0$ .

Ejemplo 19.15 (La carta de la silla de montar)

Para la silla de montar $z = xy$ con la carta $\sigma(u, v) = (u, v, uv)$ :

\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u), \qquad E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,

y $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : regular en todas partes. Las dos curvas coordenadas por un punto son rectas de $\R^3$ (fíjese $u$ o fíjese $v$ : las generatrices de la silla doblemente reglada) y, sin embargo, $F \neq 0$ fuera de los ejes: las generatrices por un punto genérico no son ortogonales. Ambas generatrices están en el plano tangente, al que generan, de modo que el plano tangente corta a la superficie a lo largo de dos rectas enteras, el extremo opuesto de la esfera, cuyos planos tangentes tocan en un solo punto. El signo del “contacto de segundo orden” entre una superficie y sus planos tangentes es una historia de curvatura, retomada en el volumen del tercer año.

Proposición 19.16 (Longitud de una curva trazada sobre una superficie)

Si $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ , $t \in [a, b]$ , es $\mathcal{C}^1$ , entonces

L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,

con $E, F, G$ evaluados en $(u(t), v(t))$ .

Demostración. $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ por la regla de la cadena, luego $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ; intégrese $\norm{\gamma'}$ (Definición 18.6). ∎

Ejemplo 19.17 (Por qué los aviones vuelan sobre el polo)

Dos aeropuertos están a la latitud $\varphi_0$ y en longitudes opuestas: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ y $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ sobre la esfera de radio $R$ . A lo largo del paralelo ( $\varphi \equiv \varphi_0$ ), la longitud es $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . Por la ruta sobre el polo (subiendo por el meridiano $\theta = 0$ y bajando por el meridiano $\theta = \pi$ ), es $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . A la latitud $\varphi_0 = \frac\pi3$ (sesenta grados): ruta por el paralelo $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ , ruta polar $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ ; un tercio más corta. De hecho, $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ sobre $\intcc0{\pi/2}$ (la función $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ se anula en ambos extremos y su derivada $2 - \pi\sin\varphi$ cambia de signo una vez, de modo que primero crece y luego decrece, y por tanto es no negativa): la ruta polar nunca pierde. La primera forma fundamental convirtió una cuestión de navegación en dos integrales de una línea; el Ejercicio 19.6 lleva la idea hasta una demostración genuina de minimalidad para los meridianos.

Lema 19.18 (Identidad de Lagrange)

Para todos $a, b \in \R^3$ : $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$ . En particular,

\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.

Demostración. Ambos miembros quedan inalterados si sustituimos $b$ por su componente $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ ortogonal a $a$ (para $a \neq 0$ ; el caso $a = 0$ es trivial): el izquierdo porque $a \wedge a = 0$ , y el derecho desarrollando $\norm{b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ y $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ . Basta, pues, demostrar la identidad para $a, b$ ortogonales, donde se lee $\norm{a \wedge b} = \norm a \norm b$ : cierto, ya que para vectores ortogonales el producto vectorial tiene norma $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ . La fórmula mostrada es el caso $a = \sigma_u$ , $b = \sigma_v$ . ∎

Observación 19.19

La identidad de Lagrange dice que $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ es el determinante de Gram de $(\sigma_u, \sigma_v)$ : el cuadrado del área del paralelogramo que generan. La regularidad, el carácter definido positivo de la primera forma fundamental y la positividad del determinante de Gram son tres formulaciones de una misma condición; por eso el integrando de área de más abajo nunca se anula sobre una carta regular.

Definición 19.20 (Área)

Sea $\sigma \colon U \to \R^3$ una superficie $\mathcal{C}^1$ regular e inyectiva, y $K \subseteq U$ un dominio compacto sobre el que tengan sentido las integrales dobles (Capítulo 20). El área del trozo $\sigma(K)$ es

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

Observación 19.21 (Por qué esta fórmula)

El rectángulo $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ se aplica, a primer orden, sobre el paralelogramo generado por $\sigma_u\,\dd u$ y $\sigma_v\,\dd v$ , cuya área es $\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ : la definición integra el factor local de distorsión de área, exactamente como la longitud de arco integra la rapidez local. La coherencia con los cambios de parámetro es el Ejercicio 19.8; la coherencia con la fórmula del cambio de variables para integrales dobles se discute en el Capítulo 20.

Ejemplo 19.22 (Dos grafos distintos, una misma área)

Sobre el disco unidad, comparemos el cuenco $z = \frac12(x^2 + y^2)$ y la silla de montar $z = xy$ . Sus integrandos de área (Ejercicio 19.5) son

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{y}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

idénticos. Las dos superficies —una que se curva igual en todas las direcciones, la otra con forma de silla— tienen áreas exactamente iguales sobre todo dominio, $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ sobre el disco unidad. El elemento de área solo ve la longitud del gradiente, no la disposición de la flexión; distinguir el cuenco de la silla exige datos de segundo orden (la estructura de signos exhibida en la Figura 19.1), que ninguna medida de área detecta. Primera forma fundamental: métrica, ciega a la forma; la segunda forma, que sí ve la forma, pertenece al tercer año.

Ejemplo 19.23 (Área de la esfera)

Para la carta esférica del Ejemplo 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

luego $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ y $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . De ahí,

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

Ejemplo 19.24 (El cono, contrastado con la fórmula escolar)

Para el cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ sobre la corona $a \leq \rho \leq b$ , la fórmula para grafos del Ejercicio 19.5 da $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (calcúlense $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), luego

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

Comprobación de coherencia con la fórmula de la generatriz $\pi\rho\ell$ del Ejemplo 19.26: los conos completos de radios de base $b$ y $a$ tienen áreas laterales $\pi b\cdot b\sqrt2$ y $\pi a\cdot a\sqrt2$ , cuya diferencia es exactamente $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . Dos cartas, dos fórmulas, un área: la invariancia demostrada en el Ejercicio 19.8, vista en libertad.

Observación 19.25 (Comprobaciones de sensatez para las áreas)

Tres comprobaciones instantáneas cazan la mayoría de los errores en un cálculo de área. Escalado: dilatar una superficie por $\lambda$ multiplica $E, F, G$ por $\lambda^2$ y el área por $\lambda^2$ ; una respuesta cuya dependencia de $R$ no sea cuadrática (como $4\pi R^2$ ) está mal. Positividad del elemento: $\sqrt{EG - F^2}$ ha de ser estrictamente positivo en el interior de la carta; un valor nulo señala una degeneración de la carta, que hay que extirpar como en los polos de la esfera. Simetría: un cálculo sobre un trozo simétrico debe ser coherente con sumar sus partes congruentes; más vale que el hemisferio dé $2\pi R^2$ .

Ejemplo 19.26 (Superficie de revolución)

Gírese la curva $z \mapsto (r(z), 0, z)$ , con $r > 0$ de clase $\mathcal{C}^1$ , en torno al eje $z$ :

\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).

Entonces $E = r(z)^2$ , $F = 0$ , $G = 1 + r'(z)^2$ , luego

\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi} r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z = 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,

la fórmula clásica (la circunferencia $2\pi r$ por el elemento de longitud de la generatriz). Para el cono $r(z) = kz$ , $z \in [0, h]$ : $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ con $\rho = kh$ el radio de la base y $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ la generatriz; la fórmula escolar, ahora deducida en vez de admitida.

Ejemplo 19.27 (El catenoide)

Gírese la catenaria $r(z) = \cosh z$ , $z \in \intcc{-1}{1}$ , en torno a su eje: el catenoide resultante tiene, por la fórmula de revolución y $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ ,

\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\, \dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z = \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},

es decir,

\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .

El factor de la generatriz $\sqrt{1 + r'^2}$ se fundió con el radio en un cuadrado perfecto; la misma identidad que hizo elemental la longitud de arco de la catenaria en el capítulo de curvas. No es un accidente algebraico: entre todas las superficies de revolución que abarcan las dos circunferencias de borde, el catenoide minimiza el área (es la forma de una película de jabón entre dos aros), y esa propiedad variacional es precisamente lo que singulariza a $\cosh$ ; el volumen del tercer año lo demuestra con el cálculo de variaciones.

$La silla de montar z = x2 - y2 cerca del origen, con sus curvas coordenadas (las curvas u en azul, las curvas v en verde), el plano tangente en M_0 = (0,0,0) (a trazos) y la normal unitaria n. La superficie cruza su plano tangente: el análogo bidimensional de una inflexión.$

Figura 19.1. La silla de montar

z = x^2 - y^2

cerca del origen, con sus curvas coordenadas (las curvas

u

en azul, las curvas

v

en verde), el plano tangente en

M_0 = (0,0,0)

(a trazos) y la normal unitaria

n

. La superficie cruza su plano tangente: el análogo bidimensional de una inflexión.

Observación 19.28 (Errores frecuentes)

(i) Las singularidades de una carta no son singularidades de la superficie: la carta esférica degenera en los polos ( $\cos\varphi = 0$ ), pero la esfera es perfectamente regular allí; otra carta (intercambiando los papeles de los ejes) es regular en los polos. Antes de declarar singular un punto, pruébese con una segunda parametrización. (ii) La regularidad de $\sigma$ concierne a la parametrización, no a la imagen: $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ no es regular sobre $u = 0$ aunque su imagen sea un plano. (iii) La fórmula del área exige que $\sigma$ sea inyectiva sobre $K$ : una carta que cubra un trozo dos veces lo cuenta dos veces (con $\theta$ recorriendo $\intcc0{4\pi}$ se duplica el área de la esfera). (iv) La normal unitaria queda definida salvo signo por la superficie, pero la elige la carta (el orden de $u, v$ ); los enunciados sobre orientación deben fijar esa elección. (v) Por último, $EG - F^2 > 0$ no es una hipótesis adicional: es exactamente la regularidad, por la identidad de Lagrange; si se anula en algún punto, el problema es la carta, y allí no se aplica ninguna fórmula de área ni de plano tangente.

Observación 19.29 (Perspectivas dentro de este volumen)

Enlaces hacia delante desde aquí. El elemento de área $\sqrt{EG - F^2}\,\dd u\,\dd v$ es un jacobiano bidimensional disfrazado, y el Capítulo 20 hace exacta la analogía con el teorema del cambio de variables: las integrales de superficie de allí son las áreas de este capítulo con un integrando a bordo. La primera forma fundamental es un campo de formas cuadráticas positivas, tratadas punto a punto con las herramientas del Capítulo 12, cuyo teorema espectral impulsa también la clasificación de cuádricas del problema de fin de semana de este capítulo. Y la recta normal guía los problemas de extremos sobre conjuntos de restricciones (Ejemplo 19.10), el germen geométrico del método de los multiplicadores de Lagrange esbozado con el Teorema 15.11.

Cuatro de las nueve superficies cuádricas clasificadas en el problema de fin de semana, esbozadas mediante sus siluetas y una curva de nivel (en rojo): el elipsoide acotado, el hiperboloide de una hoja doblemente reglado con su garganta, el cuenco del paraboloide elíptico y la silla de montar, cuyas dos secciones parabólicas se doblan en sentidos opuestos.

Observación 19.30 (Dónde se usa)

El elemento de área $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ es la medida de las integrales de superficie del Capítulo 20, donde se encuentra con la fórmula de Green; la primera forma fundamental es el prototipo de un campo de formas cuadráticas, estudiadas punto a punto con las herramientas del Capítulo 12; y el problema de fin de semana de este capítulo clasifica todas las superficies cuádricas con el teorema espectral. El volumen del tercer año vuelve a las superficies con las formas diferenciales y el teorema de la divergencia, y la curvatura intrínseca —lo que $E, F, G$ saben sobre la flexión— es la puerta de entrada a la geometría diferencial propiamente dicha.

19.4 Ejercicios

Ejercicio 19.1 ★

Prueba que los planos tangentes del cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (menos su vértice) pasan todos por el vértice. (Parametriza mediante $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ , $r > 0$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

Con $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0), \qquad \sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),

independientes para $r > 0$ . El plano tangente en $M_0 = \sigma(\theta_0, r_0)$ pasa por $M_0$ con direcciones $\sigma_\theta, \sigma_r$ . Ahora bien, $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ es él mismo una dirección tangente: el vértice $O$ está en el plano tangente. (Este es el comportamiento general de los conos: están reglados por rectas que pasan por el vértice, y un plano tangente contiene la generatriz que pasa por el punto de tangencia.)

Ejercicio 19.2 ★

Halla el plano tangente del elipsoide $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ en un punto $(x_0, y_0, z_0)$ de la superficie.

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

Aplíquese la Proposición 19.7 a $f(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : $\nabla f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ sobre la superficie. El plano tangente es

\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0, \qquad\text{es decir,}\qquad \frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,

usando que $(x_0, y_0, z_0)$ satisface la ecuación del elipsoide: la regla de “desdoblar los cuadrados” que generaliza el $\langle M_0, M \rangle = R^2$ de la esfera.

Ejercicio 19.3 ★

Calcula $E, F, G$ para el helicoide $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ , $a > 0$ , y el área del trozo $0 \leq u \leq 2\pi$ , $0 \leq v \leq 1$ , en forma de integral (evalúala usando $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ y $\sigma_v = (\cos u,\ \sin u,\ 0)$ , luego

E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1, \qquad \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0

(el helicoide es regular en todas partes, incluso sobre su eje $v = 0$ ). Área del trozo:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u = 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2} + a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,

es decir, $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$ .

Ejercicio 19.4 ★★

(Toro) Parametriza el toro obtenido al girar la circunferencia de centro $(R, 0, 0)$ y radio $r < R$ del plano $xz$ en torno al eje $z$ :

\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\ (R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).

Calcula $E, F, G$ , comprueba la regularidad y prueba que el área es $4\pi^2 R r$ (Pappus: la circunferencia media $2\pi R$ por la longitud $2\pi r$ de la circunferencia).

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

Derivadas:

\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ (R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr), \qquad \sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\ -r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).

Entonces

E = (R + r\cos\psi)^2, \qquad F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi) \bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0, \qquad G = r^2 ,

luego $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : regular en todas partes. Área:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi) \,\dd\theta\,\dd\psi = 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr) = 4\pi^2 R r ,

pues el término en $\cos\psi$ integra cero; el teorema de Pappus: área $=$ (longitud de la circunferencia girada) $\times$ (distancia recorrida por su centro).

Ejercicio 19.5 ★★

Prueba que el área del grafo de $f \in \mathcal{C}^1(K)$ es $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ , y calcúlala para el trozo de paraboloide $z = \frac12(x^2 + y^2)$ sobre el disco $x^2 + y^2 \leq 1$ (coordenadas polares, Capítulo 20).

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

Para $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ , $\sigma_y = (0, 1, f_y)$ , de modo que $E = 1 + f_x^2$ , $F = f_xf_y$ , $G = 1 + f_y^2$ y

EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 ,

lo que da la fórmula de área enunciada. Para $f = \frac12(x^2 + y^2)$ sobre el disco unidad: $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$ , y en coordenadas polares ( $x = \rho\cos\alpha$ , $y = \rho\sin\alpha$ , jacobiano $\rho$ , Capítulo 20):

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho \,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1 = \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).

Ejercicio 19.6 ★★

Una curva trazada $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ sobre la esfera de radio $R$ (carta esférica) tiene $u = \theta(t)$ , $v = \varphi(t)$ . Escribe su longitud como integral en $\theta, \varphi$ y demuestra que, entre las curvas que unen dos puntos de un mismo meridiano $\theta = \theta_0$ , el arco de meridiano es la más corta. (Acota el integrando inferiormente por $R\abs{\varphi'}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

Por el cálculo del Ejemplo 19.23, $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ , así que, por la Proposición 19.16,

L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2 + \varphi'(t)^2}\;\dd t .

Sean los extremos $(\theta_0, \varphi_1)$ y $(\theta_0, \varphi_2)$ , con $\varphi_1 < \varphi_2$ . Para cualquier curva que los una,

L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t \geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr| = R\,(\varphi_2 - \varphi_1),

descartando el término no negativo $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ y usando la desigualdad triangular para integrales. El arco de meridiano $\theta \equiv \theta_0$ , con $\varphi$ creciendo de $\varphi_1$ a $\varphi_2$ , tiene longitud exactamente $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ : es el más corto. (Los meridianos son circunferencias máximas; este es el primer caso, elemental, del hecho de que las geodésicas de la esfera son las circunferencias máximas.)

Ejercicio 19.7 ★★★

(Rectas normales de una esfera) Sea $S$ una superficie de nivel regular $\{f = c\}$ , conexa, cuyas rectas normales pasan todas por un punto fijo $\Omega$ . Prueba que $S$ está contenida en una esfera centrada en $\Omega$ . (Prueba que $\norm{M - \Omega}^2$ tiene derivada nula a lo largo de toda curva trazada sobre $S$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

Fíjese una curva $\gamma$ trazada sobre $S$ y sea $g(t) = \norm{\gamma(t) - \Omega}^2$ . Entonces $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) - \Omega\rangle$ . La recta normal en $M = \gamma(t)$ pasa por $\Omega$ por hipótesis, de modo que $\gamma(t) - \Omega$ es un vector normal, ortogonal al plano tangente y, en particular, a la velocidad $\gamma'(t)$ (Proposición 19.5): $g' = 0$ , y $g$ es constante a lo largo de toda curva trazada.

Ahora bien, el conjunto $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ es cerrado en $S$ ; y también es abierto en $S$ : cerca de cualquiera de sus puntos, $S$ es un grafo regular, así que todo punto próximo de $S$ se une a él por una curva trazada (un segmento levantado), a lo largo de la cual $g$ es constante. Como $S$ es conexa y $S_c$ es no vacío para el $c$ adecuado, $S = S_c \subseteq$ la esfera de centro $\Omega$ y radio $\sqrt c$ (Capítulo 4: argumento de conexidad).

Ejercicio 19.8 ★★★

(El área es geométrica) Sea $\Phi \colon U' \to U$ un difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre abiertos de $\R^2$ y sea $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$ . Prueba que

\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} = \abs{\det J_\Phi}\, \norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,

y deduce, usando la fórmula del cambio de variables del Capítulo 20, que el área de la Definición 19.20 no depende de la parametrización regular elegida.

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

Escríbase $\Phi(u', v') = (u, v)$ . Por la regla de la cadena,

\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v, \qquad \tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,

con las parciales de $\sigma$ evaluadas en $\Phi(u',v')$ . Desarrollando el producto vectorial bilinealmente y usando $\sigma_u \wedge \sigma_u = \sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ y $\sigma_v \wedge \sigma_u = -\sigma_u \wedge \sigma_v$ :

\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'} \frac{\partial v}{\partial v'} - \frac{\partial v}{\partial u'} \frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\, \sigma_u \wedge \sigma_v = \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .

Tomando normas se obtiene la identidad. Después, por la fórmula del cambio de variables (Capítulo 20) aplicada a la aplicación $\Phi$ sobre $K' = \Phi^{-1}(K)$ :

\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} \,\dd u'\dd v' = \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\; \abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v' = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :

las dos parametrizaciones asignan la misma área al mismo trozo de superficie.

Ejercicio 19.9 ★

(Teorema de la caja de sombreros de Arquímedes) Sobre la esfera de radio $R$ , la zona comprendida entre las latitudes con $z_1 \leq z \leq z_2$ ( $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$ ) tiene área $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : demuéstralo con la carta esférica y concluye que el área de una zona depende solo de su altura; cortar una naranja en rodajas de igual grosor da cantidades iguales de piel.

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

En la carta esférica, $z = R\sin\varphi$ , y la zona corresponde a $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ con $z_i = R\sin\varphi_i$ . Con el elemento de área $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Ejemplo 19.23):

\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1) = 2\pi R\,(z_2 - z_1) .

El resultado depende solo de la altura $z_2 - z_1$ : las rodajas de igual grosor llevan áreas iguales, se corten en el ecuador o en el polo; el teorema de la caja de sombreros de Arquímedes, y la razón de que el área lateral del cilindro circunscrito ( $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ ) coincida con el área de la esfera.

Ejercicio 19.10 ★★

Prueba que toda recta normal de una superficie de revolución $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ( $r > 0$ de clase $\mathcal C^1$ ) corta al eje de revolución, y localiza el punto de intersección.

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ y $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$ , luego

\sigma_\theta \wedge \sigma_z = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,

un vector normal en $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ . La recta normal es

t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\ z - t\,r\,r'\bigr),

que en $t = -1$ alcanza $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ : toda recta normal corta al eje, a la altura $z + rr'$ . (Esta es la razón tridimensional de que la simetría de rotación sobreviva en el campo normal.)

Ejercicio 19.11 ★★

(Desenrollar el cilindro) La carta $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin u,\ v)$ del cilindro unidad tiene $E = G = 1$ , $F = 0$ : compruébalo y explica por qué toda curva trazada $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ tiene la misma longitud que la curva plana $t \mapsto (u(t), v(t))$ . Deduce que la hélice que va de $(1, 0, 0)$ a $(1, 0, 2\pi c)$ dando una vuelta tiene longitud $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ , y que ninguna curva trazada con los mismos extremos y una vuelta completa es más corta.

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$ , $\sigma_v = (0, 0, 1)$ : $E = 1$ , $F = 0$ , $G = 1$ . Por la Proposición 19.16, la longitud de una curva trazada es $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ : la longitud de su sombra en los parámetros $(u(t), v(t))$ en el plano; la carta es una isometría local (el desenrollado del cilindro). La hélice $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$ , $t \in \intcc0{2\pi}$ , tiene por sombra el segmento de $(0,0)$ a $(2\pi, 2\pi c)$ , de longitud $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ . Toda curva trazada de $(1,0,0)$ a $(1, 0, 2\pi c)$ que dé una vuelta completa tiene una sombra continua que une $(0, 0)$ con $(2\pi, 2\pi c)$ , de longitud en el plano $\geq$ la del segmento recto; y como las longitudes coinciden, la hélice es la más corta.

Ejercicio 19.12 ★★★

Sea $S = \{f = c\}$ una superficie de nivel regular compacta y $M_0 \in S$ un punto a distancia máxima del origen. Prueba que $\nabla f(M_0)$ es colineal con $\vect{OM_0}$ : la normal en el punto más lejano es radial. Aplícalo al elipsoide $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ( $a > b > c > 0$ ): halla todos los puntos donde la normal es radial e identifica los más lejanos.

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

La función $g(M) = \norm{M}^2$ es continua sobre el compacto $S$ , así que alcanza su máximo en cierto $M_0$ . Para toda curva $\gamma$ trazada sobre $S$ con $\gamma(0) = M_0$ , la función $t \mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ tiene un máximo en $t = 0$ , luego su derivada $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ se anula: $M_0$ es ortogonal a todo vector tangente, es decir, normal a $S$ en $M_0$ . Como $\nabla f(M_0) \neq 0$ dirige también la recta normal (Proposición 19.7), $\nabla f(M_0)$ y $\vect{OM_0}$ son colineales. Para el elipsoide, la radialidad significa

\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :

cada coordenada cumple $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ , etc.; y como $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ son distintos, a lo sumo una coordenada es no nula, y las soluciones sobre la superficie son los seis extremos de los ejes $(\pm a, 0, 0)$ , $(0, \pm b, 0)$ , $(0, 0, \pm c)$ . Los puntos más lejanos son $(\pm a, 0, 0)$ , a distancia $a = \max(a,b,c)$ .

19.5 Problema: la clasificación de las cuádricas de $\R^3$

Problema 19.1

Problema de fin de semana — todas las superficies cuádricas, ordenadas por el teorema espectral

Una cuádrica es el conjunto de ceros en $\R^3$ de un polinomio de grado dos

q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c, \qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\ c \in \R .

Las superficies de las figuras de este capítulo —esferas, elipsoides, sillas de montar, conos, cilindros— son todas cuádricas. Este problema las clasifica todas: el teorema espectral (Teorema 12.13) endereza la parte cuadrática, las traslaciones afines (Capítulo 17) absorben la parte lineal, y lo que queda es una lista corta y completa de formas normales.

Parte I — La máquina de reducción.

Sea $X = PY + t$ con $P \in O(3)$ y $t \in \R^3$ (un cambio rígido de coordenadas). Prueba que $q(PY + t) = Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ con

$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad c' = q(t) .$

Deduce que el espectro de $A$ (y por tanto su rango y su signatura) es un invariante rígido de la ecuación, y explica por qué la ecuación de una cuádrica dada solo está determinada salvo un factor escalar no nulo.
Usando el teorema espectral, prueba que tras una rotación la ecuación pasa a ser $\sum_i \lambda_i y_i^2 + 2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ con $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ los valores propios de $A$ .
Para cada $i$ con $\lambda_i \neq 0$ , absorbe $\beta_iy_i$ mediante una traslación ( $y_i \mapsto y_i - \beta_i/\lambda_i$ ). Escribe la ecuación reducida cuando $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
Un centro de la cuádrica de ecuación $q = 0$ es un punto $\Omega$ con $q(2\Omega - X) = q(X)$ para todo $X$ : la simetría central en $\Omega$ conserva la ecuación y, por tanto, la superficie. Prueba que $q(2\Omega - X) - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b, \Omega\rangle$ , y deduce que los centros son exactamente las soluciones de $A\Omega = -b$ ; existen si y solo si $b \in \operatorname{im}A$ , y el centro es único si y solo si $A$ es invertible.

Parte II — Cuádricas con centro ( $\operatorname{rank}A = 3$ ). Aquí la ecuación reducida es $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ .

Multiplicando por $-1$ si hace falta, supóngase que al menos dos $\lambda_i > 0$ . Enumera las posibilidades: signatura $(3, 0)$ con $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; y signatura $(2, 1)$ con $\delta > 0$ , $= 0$ , $< 0$ ; nombra los seis conjuntos resultantes (elipsoide, punto, conjunto vacío, hiperboloide de una hoja, cono, hiperboloide de dos hojas) y pon cada uno en su forma normal euclídea ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ , etc.).
Clasifica $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : prueba que $A = 2J - I$ con $J$ la matriz de unos, calcula el espectro $\{5, -1, -1\}$ e identifica un hiperboloide de dos hojas de revolución en torno al eje $\R(1,1,1)$ .
(Generatrices) Para el hiperboloide de una hoja $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , factoriza

$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$

y produce dos familias uniparamétricas de rectas contenidas en la superficie.
Prueba que por cada punto del hiperboloide de una hoja pasa exactamente una recta de cada familia: la superficie es doblemente reglada.
El cono asintótico del hiperboloide de una hoja es $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . Con $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ , prueba que todo punto del hiperboloide está a distancia a lo sumo $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}}$ de $C$ , de modo que la superficie se abraza a su cono en el infinito. ¿Cuáles son las secciones del hiperboloide por los planos $x = \pm a$ ?

Parte III — Rango $2$ y rango $1$ : paraboloides, cilindros, planos.

Supongamos $\operatorname{rank}A = 2$ , digamos $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$ . Partiendo de la pregunta 3, sepárense dos casos según sea $\beta_3 \neq 0$ (sin centro, por la pregunta 4) o $\beta_3 = 0$ (una recta de centros), y redúzcase a

$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0 \qquad\text{o}\qquad \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$

paraboloides elípticos o hiperbólicos en el primer caso, y cilindros sobre cónicas con centro (o pares de planos que se cortan, una recta, el conjunto vacío) en el segundo.
Prueba que la silla de montar $z = xy$ es un paraboloide hiperbólico: gírese $\pi/4$ en el plano $xy$ para llegar a $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ , la superficie de la Figura 19.1 salvo escala.
Prueba que la silla de montar $z = xy$ lleva las dos familias de rectas $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ y $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ , con exactamente una recta de cada familia por cada punto: la segunda cuádrica doblemente reglada.
Clasifica $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ en $\R^3$ (complétense los cuadrados; identifica un cilindro circular recto y da su eje y su radio).
Sea ahora $\operatorname{rank}A = 1$ , digamos $\lambda_1 \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$ . Girando dentro del plano núcleo y trasladando, redúzcase a

$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0) \qquad\text{o}\qquad \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$

un cilindro parabólico, o bien un par de planos paralelos, un plano doble o el conjunto vacío. Clasifica $(x + y)^2 = z$ por completo (forma normal, eje de invariancia por traslación).

Parte IV — El teorema de clasificación.

Ensambla las partes I–III en un teorema: toda cuádrica de $\R^3$ se lleva mediante un movimiento rígido a exactamente una forma normal. Enumera los diecisiete tipos afines (cuenta las variantes vacías y los conjuntos degenerados) y destaca las nueve superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloides de una y de dos hojas, cono, paraboloides elíptico e hiperbólico, y cilindros elíptico, hiperbólico y parabólico.
Escribe el algoritmo de clasificación: dados $(A, b, c)$ , ¿qué magnitudes calculas, en qué orden y qué rama decide qué tipo? Justifica que cada paso es efectivo (valores propios de una matriz simétrica $3\times3$ , rango, resolubilidad de $A\Omega = -b$ ).
Ejecuta el algoritmo sobre $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 1$ : prueba que $A = 2I - J$ tiene espectro $\{2, 2, -1\}$ y concluye: un hiperboloide de una hoja de revolución en torno a $\R(1,1,1)$ .
Ejecútalo sobre $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : halla el centro e identifica la cuádrica.
Ejecútalo sobre $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : diagonaliza el bloque $xy$ ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) e identifica la cuádrica.
Euclídeo frente a afín. Prueba que dos cuádricas con centro en forma normal son rígidamente equivalentes si y solo si tienen las mismas listas de coeficientes (salvo permutación y un escalar positivo común sobre la ecuación), mientras que afínmente solo sobreviven los datos de la signatura: todo elipsoide es imagen afín de la esfera redonda. ¿Qué teorema garantiza que la signatura no puede cambiar por el camino (Teorema 12.6)?

Parte V — Dividendos.

Prueba que toda sección de una cuádrica por un plano afín es una cónica (posiblemente degenerada) de ese plano. Identifica las secciones de la silla de montar $z = xy$ por los planos $z = c$ ( $c \neq 0$ y $c = 0$ ).
¿Qué superficies cuádricas contienen rectas? Prueba que el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas y el paraboloide elíptico no contienen ninguna (restringe $q$ a una recta y usa la desigualdad de Cauchy–Schwarz para el caso de dos hojas); que el cono y los cilindros están reglados por una familia; y concluye que las superficies cuádricas doblemente regladas son exactamente el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico.
Cuando solo se busca el tipo afín, la reducción de Gauss (Teorema 12.5) sale más barata que diagonalizar. Rehaz la pregunta 17 con el algoritmo de Gauss y comprueba la signatura $(2, 1)$ ; ¿qué información euclídea pierde Gauss?
Todos los valores propios de una matriz simétrica son reales; prueba que, en consecuencia, los signos de los valores propios de $A$ pueden leerse en el polinomio característico mediante la regla de los signos de Descartes, y verifícalo sobre la pregunta 6: $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ tiene exactamente un cambio de signo, luego signatura $(1, 2)$ .
Síntesis. Resume el algoritmo en unas pocas líneas; enuncia el papel exacto que desempeñan (i) el teorema espectral, (ii) la ecuación del centro $A\Omega = -b$ , (iii) el teorema de inercia de Sylvester y (iv) la reducción de Gauss. ¿Qué da la misma máquina en $\R^2$ , y qué cambia en $\R^n$ ?

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. Desarrollando, y usando la simetría de $A$ ( $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$ ):

q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY + 2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At + 2b^{\mathsf T}t + c\bigr),

que es la terna mostrada. $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ es semejante a $A$ : mismo polinomio característico, espectro, rango y signatura. Por último, $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ para $s \neq 0$ , de modo que al conjunto solo va asociada la ecuación salvo un escalar; escalar por $s$ multiplica todos los valores propios por $s$ .

2. El teorema espectral proporciona una $P \in O(3)$ con $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ ; la pregunta 1 con $t = 0$ convierte la ecuación en $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ , donde $\beta = P^{\mathsf T}b$ .

3. Para $\lambda_i \neq 0$ : $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 - \frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ; la traslación $z_i = y_i + \beta_i/\lambda_i$ (y $z_i = y_i$ para $i > r$ ) da

\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0, \qquad c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.

4. $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ; desarrollando y restando $q(X)$ , los términos cuadráticos se cancelan y

q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle + 4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .

Si $A\Omega + b = 0$ , esto se anula idénticamente: la simetría central conserva $q$ y, por tanto, la cuádrica. Recíprocamente, “ $q(2\Omega - X) = q(X)$ para todo $X$ ” dice que la función afín anterior se anula en todo $\R^3$ , lo que fuerza a que su parte lineal $A\Omega + b$ sea nula. Así pues, los centros son las soluciones de $A\Omega = -b$ : un conjunto no vacío si y solo si $b \in \operatorname{im}A$ (un subespacio afín de dirección $\ker A$ ), y un único punto si y solo si $A$ es invertible.

5. Signatura $(3,0)$ (todos los $\lambda_i > 0$ ): $\delta > 0$ da $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ con $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ , etc.: un elipsoide; $\delta = 0$ : el único punto $O$ ; $\delta < 0$ : vacío. Signatura $(2,1)$ ( $\lambda_1, \lambda_2 > 0 > \lambda_3$ ): $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ , el hiperboloide de una hoja; $\delta = 0$ : el cono $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ ; $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , el hiperboloide de dos hojas ( $\abs z \geq c$ : dos componentes).

6. La parte cuadrática tiene matriz $A$ con diagonal $1$ y entradas fuera de la diagonal $2$ : $A = 2J - I$ . Como $J$ tiene espectro $\{3, 0, 0\}$ (con vector propio $(1,1,1)$ para $3$ ), $A$ tiene espectro $\{5, -1, -1\}$ , con el valor propio $5$ llevado por $\R(1,1,1)$ . En las coordenadas giradas: $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$ , es decir, $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : un hiperboloide de dos hojas, de revolución (valores propios $-1$ iguales) en torno al eje $\R(1,1,1)$ .

7. La superficie es $\bigl(\frac xa - \frac zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ . Para $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ defínase la recta

D_{\lambda:\mu} :\quad \lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac yb\Bigr), \qquad \mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)

(dos ecuaciones afines independientes: una recta). Multiplicar las dos ecuaciones muestra que todo punto de $D_{\lambda:\mu}$ está sobre la superficie cuando $\lambda\mu \neq 0$ ; los casos $\lambda = 0$ o $\mu = 0$ se comprueban directamente (por ejemplo, $\lambda = 0$ : $y = b$ , $\frac xa = -\frac zc$ , que satisface la ecuación). La segunda familia $D'_{\lambda:\mu}$ intercambia los dos factores del segundo miembro.

8. Fíjese $M$ sobre la superficie. Las condiciones para que $M \in D_{\lambda:\mu}$ forman un sistema lineal homogéneo $2\times2$ en $(\lambda, \mu)$ cuyo determinante es

\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0

precisamente porque $M$ está sobre la cuádrica: existe una solución no trivial $(\lambda : \mu)$ . La matriz de coeficientes nunca es nula (eso forzaría $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$ ), así que su rango es $1$ y la solución es única salvo escala: por $M$ pasa exactamente una recta de la familia. Lo mismo vale para la segunda familia, y las dos rectas son distintas (en $(a, 0, 0)$ son $\{x = a,\ \frac zc = \frac yb\}$ y $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ ): el hiperboloide de una hoja es doblemente reglado.

9. Sea $M = (x, y, z)$ sobre el hiperboloide, con $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$ . El punto $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ , con $\varepsilon$ el signo de $z$ , cumple $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : $N \in C$ , y

d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho} = c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .

Si $\norm M \to \infty$ , entonces $\rho \to \infty$ (las tres coordenadas están acotadas por múltiplos de $\rho$ ), luego $d(M, C) \to 0$ . La sección $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ , el par de rectas que se cortan de la pregunta 8; e igualmente en $x = -a$ .

10. Con $\lambda_3 = 0$ , la pregunta 3 deja $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . En la base de vectores propios, $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , así que por la pregunta 4 hay centros si y solo si $\beta_3 = 0$ . Si $\beta_3 \neq 0$ : la traslación $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ elimina la constante y deja $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ , es decir, $z_3 = px^2 + qy^2$ tras renombrar: un paraboloide elíptico si $\lambda_1\lambda_2 > 0$ , y un paraboloide hiperbólico si $\lambda_1\lambda_2 < 0$ ; y, en efecto, sin centro. Si $\beta_3 = 0$ : la ecuación $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ no involucra $z_3$ : la cuádrica es un cilindro sobre la cónica plana correspondiente —cilindro elíptico, recta o conjunto vacío cuando $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ; cilindro hiperbólico o par de planos que se cortan cuando $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — con toda una recta de centros $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ .

11. $xy - z = 0$ . Sustituyendo $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$ , $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (rotación de $\pi/4$ ): $xy = \frac{u^2 - v^2}2$ , de modo que la ecuación pasa a ser $z = \frac12(u^2 - v^2)$ : un paraboloide hiperbólico, la silla de montar de la figura salvo el factor $\frac12$ .

12. La recta $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (parametrizada por $y$ ) está claramente sobre $z = xy$ , y lo mismo $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ ; por $(x_0, y_0, x_0y_0)$ pasan las dos. Unicidad: si $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ permanece sobre la superficie, el coeficiente de $t^2$ en $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ da $v_1v_2 = 0$ , luego $v_1 = 0$ o $v_2 = 0$ , y se cae en una de las dos familias: una recta de cada una por cada punto; la segunda cuádrica doblemente reglada.

13. Completando cuadrados: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ , sin condición sobre $z$ : un cilindro circular recto de radio $\sqrt2$ y eje la recta vertical $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$ ; una recta de centros, como predice la pregunta 10.

14. Con $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ , la ecuación reducida es $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . Una rotación del plano núcleo $(z_2, z_3)$ alinea la forma lineal: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ con $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ . Si $\beta \neq 0$ , trasládese $w$ para absorber $c''$ : $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$ , un cilindro parabólico; si $\beta = 0$ : $\lambda_1z_1^2 = -c''$ da dos planos paralelos ( $c'' \lambda_1 < 0$ ), un plano doble ( $c'' = 0$ ) o el conjunto vacío. Para $(x + y)^2 = z$ : con $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ , la ecuación se lee $z = 2u^2$ : un cilindro parabólico, invariante por traslaciones a lo largo de $(1, -1, 0)$ .

15. Toda cuádrica se lleva por una rotación más traslaciones a una de estas: (rango 3) elipsoide, punto, conjunto vacío, hiperboloide de una hoja, cono, hiperboloide de dos hojas; (rango 2) paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico, cilindro elíptico, recta, conjunto vacío, cilindro hiperbólico, par de planos que se cortan; (rango 1) cilindro parabólico, par de planos paralelos, plano doble, conjunto vacío. Contando las tres variantes vacías como tipos afines de ecuación distintos, el recuento es diecisiete; y entre ellos, nueve son superficies honestas: elipsoide, los dos hiperboloides, el cono, los dos paraboloides y los tres cilindros.

16. Algoritmo. (i) Léanse $(A, b, c)$ ; calcúlense el polinomio característico de $A$ , sus valores propios (reales, por el teorema espectral) y $r = \operatorname{rank}A$ . (ii) Resuélvase $A\Omega = -b$ (eliminación gaussiana): tiene o no solución, es decir, hay centros o no. (iii) Si tiene solución, trasládese a un centro: la ecuación pasa a ser $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ con $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$ ; clasifíquese por $r$ , la signatura y el signo de $c''$ usando las preguntas 5, 10 y 14. (iv) Si no tiene solución ( $r \leq 2$ ), gírese y redúzcase como en las preguntas 10 y 14: paraboloide ( $r = 2$ ) o cilindro parabólico ( $r = 1$ ), elíptico o hiperbólico según el signo de $\lambda_1\lambda_2$ . Cada paso es un cálculo finito: raíces de una cúbica con raíces reales, rangos y sistemas lineales.

17. $A$ tiene diagonal $1$ y entradas fuera de la diagonal $-1$ : $A = 2I - J$ , con espectro $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ y el $-1$ sobre $\R(1,1,1)$ . Signatura $(2,1)$ , $b = 0$ , segundo miembro $\delta = 1 > 0$ : $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$ , un hiperboloide de una hoja de revolución en torno al eje $\R(1,1,1)$ .

18. Completando cuadrados: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 + (-1 - 4 + 1 + 4) = 0$ , es decir,

(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :

la constante se anuló; un cono circular recto de vértice (y único centro) $(1, -2, 1)$ y eje paralelo a $Oz$ .

19. La parte cuadrática $x^2 + 4xy + y^2$ tiene matriz $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (en el plano $xy$ ), con valores propios $3$ (sobre $(1,1)$ ) y $-1$ (sobre $(1,-1)$ ): con $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ , $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ vale $3u^2 - v^2$ , y la cuádrica es

z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :

un paraboloide hiperbólico ( $A$ tiene rango $2$ y $b$ tiene componente a lo largo de $\ker A = \R e_z$ : sin centro).

20. Un movimiento rígido transforma los datos de la ecuación mediante $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (mismos valores propios), y las formas normales no tienen más libertad residual que permutar coordenadas y multiplicar toda la ecuación por un escalar ( $> 0$ para conservar la escritura): dos formas normales con centro coinciden salvo isometría si y solo si las listas de coeficientes coinciden salvo permutación y un factor positivo común; para el elipsoide, si y solo si coinciden los semiejes $(a, b, c)$ . Afínmente puede además escalarse cada coordenada por separado ( $z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs {\lambda_i}}$ ), lo que borra los valores propios y deja solo sus signos: todo elipsoide se convierte en $u^2 + v^2 + w^2 = 1$ , la esfera. El teorema de inercia de Sylvester (Teorema 12.6) garantiza que la signatura sobrevive a todo cambio lineal invertible: los tipos afines de la pregunta 15 son genuinamente distintos.

21. Parametrícese el plano afínmente: $M = P + su + tv$ . Entonces $q(P + su + tv)$ es un polinomio de grado $\leq 2$ en $(s, t)$ (desarróllese bilinealmente la forma cuadrática), de modo que la sección $\{q = 0\}$ es una cónica del plano, posiblemente degenerada. Para $z = xy$ y el plano $z = c$ : $xy = c$ , una hipérbola para $c \neq 0$ ; y para $c = 0$ , las dos rectas coordenadas, el par de generatrices por el origen.

22. Elipsoide: acotado, no contiene ninguna recta. Hiperboloide de dos hojas $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : restrínjase a $p + tv$ ; el coeficiente de $t^2$ $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ ha de anularse, luego $v_3 \neq 0$ (si no, $v = 0$ ); el coeficiente de $t$ da $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ , y Cauchy–Schwarz rinde

\frac{p_3^2}{c^2} = \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2 \leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2} = \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},

de modo que el término constante es $\leq 0 \neq 1$ : no hay recta. Paraboloide elíptico $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ : el coeficiente de $t^2$ fuerza $v_1 = v_2 = 0$ , y entonces la ecuación es lineal no constante en $t$ : no hay recta. Cono $x^2 + y^2 = z^2$ : una recta contenida en él cumple $q(p) = q(v) = B(p, v) = 0$ para la forma de Lorentz; la igualdad en el Cauchy–Schwarz plano $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} = \sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ fuerza $(p_1, p_2) \parallel (v_1, v_2)$ y después $p = kv$ : todas las rectas pasan por el vértice; una sola familia. Cilindros: para los cilindros elíptico y parabólico, el coeficiente de $t^2$ fuerza $v_1 = v_2 = 0$ (solo las generatrices); para el cilindro hiperbólico $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , $\frac{v_1}a = \pm \frac{v_2}b$ con $v_2 \neq 0$ lleva, vía el coeficiente de $t$ , a $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ , en contradicción con el término constante $1$ : de nuevo, solo las generatrices verticales. Así pues, las superficies cuádricas doblemente regladas son exactamente el hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico.

23. Gauss: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz$ , luego

q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y + z)^2 :

tres cuadrados independientes con signos $(+, +, -)$ ; signatura $(2, 1)$ , que casa con la pregunta 17, sin calcular ningún valor propio. Gauss pierde los datos métricos: las nuevas coordenadas no son ortonormales, de modo que los valores propios (la forma del hiperboloide, sus ejes y sus longitudes) desaparecen; solo queda el tipo afín.

24. Sean $p$ , $n$ , $z$ los números de valores propios positivos, negativos y nulos, con $p + n + z = 3$ . La regla de Descartes acota $p$ por el número $V$ de cambios de signo de $\chi_A$ , y $n$ por el número $V'$ de cambios de signo de $\chi_A(-\lambda)$ ; además, cada par de coeficientes consecutivos no nulos produce un cambio en exactamente uno de los dos polinomios, así que $V + V' \leq 3 - z$ (las raíces nulas son visibles como coeficientes finales que se anulan). Entonces $p + n = 3 - z \geq V + V' \geq p + n$ : hay igualdad, luego $p = V$ exactamente; los signos de los valores propios pueden leerse. Para $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : los signos $+,-,-,-$ dan $V = 1$ , y $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ tiene signos $-,-,+,-$ : $V' = 2$ . Signatura $(1, 2)$ , coherente con la factorización exacta $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ de la pregunta 6.

25. Algoritmo: diagonalícese ortonormalmente la parte cuadrática (teorema espectral: es el único paso analíticamente profundo, y es lo que hace euclídea la clasificación); resuélvase $A\Omega = -b$ para decidir entre los tipos con centro y los parabólicos y para trasladar y eliminar la parte lineal cuando sea posible (geometría afín); léase el tipo en el rango, la signatura y la constante (Sylvester garantiza que son invariantes); y cuando solo importa el tipo afín, la reducción de Gauss sustituye al teorema espectral a costa de la información métrica. En $\R^2$ , la misma máquina clasifica las cónicas: elipse, hipérbola, parábola, más pares de rectas, una recta, un punto y conjuntos vacíos. En $\R^n$ no cambia nada salvo la contabilidad: los tipos se indexan por la signatura de $A$ , la posición de $b$ respecto de $\operatorname{im}A$ y una constante, y la matriz orlada de dimensión $(n{+}2)$ de $(A, b, c)$ proporciona un invariante compacto.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario

19.1 Superficies parametrizadas

19.2 Plano tangente y normal

19.3 La primera forma fundamental

19.4 Ejercicios

19.5 Problema: la clasificación de las cuádricas de R3\R^3R3

Términos definidos en este capítulo

19.5 Problema: la clasificación de las cuádricas de $\R^3$