Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

15Cálculo diferencial

El cálculo de dos variables del volumen del primer año madura hasta convertirse en el cálculo diferencial de aplicaciones entre espacios normados: la diferencial como mejor aproximación lineal, la regla de la cadena en toda su generalidad, el teorema de simetría de Schwarz demostrado, las fórmulas de Taylor y el análisis completo de segundo orden de los extremos. El teorema de la función inversa, corona de la teoría, se enuncia con su estrategia de demostración —un punto fijo de Banach— hecha explícita.

En todo el capítulo, $U$ es un subconjunto abierto de $\R^n$ (o de un espacio normado; el caso de dimensión finita contiene todas las ideas) y $f \colon U \to \R^m$ .

15.1 La diferencial

Definición 15.1

$f$ es diferenciable en $a$ cuando existe una aplicación lineal (continua) $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ con

f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h) \qquad (h \to 0).

La aplicación $\dd f_a$ , la diferencial de $f$ en $a$ , es única; su matriz en las bases canónicas es la matriz jacobiana $J_f(a) = \bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$ . La diferenciabilidad implica la continuidad y la existencia de todas las derivadas direccionales $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv) - f(a)}{t}$ ; el recíproco es falso (Ejercicio 15.2). Para $m = 1$ , $\dd f_a(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle$ : el gradiente del primer año, entendido ahora como el vector que representa la diferencial.

Teorema 15.2 (Criterio $C^1$ )

Si todas las derivadas parciales de $f$ existen sobre $U$ y son continuas en $a$ , entonces $f$ es diferenciable en $a$ . Ser “ $C^1$ sobre $U$ ” —parciales continuas— implica, por tanto, la diferenciabilidad en todas partes, con diferencial continua.

Demostración. Componente a componente (basta $m = 1$ ). La demostración del primer año para dos variables —moverse de una coordenada en una coordenada, aplicar el teorema del valor medio de una variable en cada tramo y usar la continuidad de las parciales en $a$ — se generaliza palabra por palabra a $n$ tramos:

f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a + h^{(j-1)})\bigr) = \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),

donde $h^{(j)}$ congela las $j$ primeras coordenadas de $h$ y $\xi_j$ está en el $j$ -ésimo tramo; la continuidad convierte cada $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ en $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) + o(1)$ , y el error es $o(\norm h)$ . ∎

Teorema 15.3 (Regla de la cadena)

Si $f$ es diferenciable en $a$ y $g$ lo es en $f(a)$ , entonces $g \circ f$ es diferenciable en $a$ con

\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a , \qquad J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :

las jacobianas se multiplican.

Demostración. Escríbase $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ y $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ con $b = f(a)$ y $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$ . Sustituyendo,

g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr) + \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),

y ambos términos de error son $o(\norm h)$ : el primero porque $\dd g_b$ es continua y $\varepsilon_1 \to 0$ ; el segundo porque $\norm k \leq C\norm h$ (aplicación lineal acotada más un término pequeño) y $\varepsilon_2(k) \to 0$ cuando $h \to 0$ . ∎

Ejemplo 15.4 (Funciones radiales, de una vez por todas)

Sean $r(x) = \norm x_2$ sobre $\R^n\setminus\{0\}$ y $f = g \circ r$ con $g$ una función $C^1$ de una variable. Primero, $r$ es diferenciable fuera de $0$ : de $r^2 = \sum x_i^2$ ,

\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}, \qquad\text{es decir,}\qquad \nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,

el vector radial unitario (derívese $r^2$ y divídase, o aplíquese la regla de la cadena a $\sqrt{\cdot}$ ). Entonces la regla de la cadena da, para toda función radial,

\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .

Ejemplo resuelto: $g(r) = \frac1r$ da $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$ , el campo del inverso del cuadrado de la gravitación y la electrostática: de dirección radial y magnitud $\frac{1}{\norm x^2}$ . Moraleja: los gradientes de las funciones radiales son radiales porque las curvas de nivel son esferas y el gradiente es ortogonal a ellas; en $x = 0$ , en cambio, $r$ no es diferenciable (ninguna aplicación lineal candidata se ajusta a $\norm h$ desde todas las direcciones): los perfiles radiales suaves necesitan $g'(0) = 0$ para cruzar el origen con elegancia.

Teorema 15.5 (Desigualdad del valor medio)

Sea $f$ diferenciable sobre $U$ y supongamos que el segmento $\intcc{a}{b} = \{a + t(b-a)\}$ está contenido en $U$ . Entonces

\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\, \sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .

En particular, una aplicación diferenciable con diferencial nula sobre un abierto conexo es constante.

Demostración. La función $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ es diferenciable sobre $\intcc{0}{1}$ con $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (regla de la cadena), de norma $\leq M\norm{b-a}$ con $M$ el supremo mostrado. Para $f$ con valores en $\R$ concluye la desigualdad del valor medio de una variable; para valores vectoriales, aplíquese esta a $t \mapsto \langle u, \varphi(t)\rangle$ con $u$ el vector unitario en la dirección de $f(b) - f(a)$ . Constancia: es localmente constante (segmentos dentro de bolas) más la conexidad (el conjunto donde $f$ vale un valor dado es abierto y cerrado: Capítulo 4). ∎

Ejemplo 15.6 (Una constante de Lipschitz a partir de la desigualdad del valor medio)

¿Es $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ lipschitziana sobre $\R^2$ , y con qué constante? Su gradiente es $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$ , de norma al cuadrado

\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y \leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1

(acótense $\cos^2x$ y $\sin^2x$ por $1$ por separado), luego $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ en todas partes, y el Teorema 15.5 sobre el segmento entre dos puntos cualesquiera da

\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :

$f$ es $1$ -lipschitziana, y la constante es óptima (cerca del origen, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ tiene pendiente $1$ ). Moraleja: la desigualdad del valor medio convierte una cota puntual de la diferencial en un módulo global de continuidad; la vía estándar hacia las estimaciones lipschitzianas en toda dimensión, y el motor que hay dentro del Ejercicio 15.12.

15.2 Derivadas segundas

Teorema 15.7 (Schwarz)

Si $f$ es $C^2$ sobre $U$ (todas las parciales segundas existen y son continuas), entonces, para todos $i, j$ :

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .

Demostración. Bastan dos variables ( $x = x_i$ , $y = x_j$ , las demás congeladas). Consideremos la diferencia segunda

\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .

Fíjese $h$ y póngase $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$ : entonces $\Delta(h) = \varphi(a + h) - \varphi(a)$ , y dos aplicaciones del teorema del valor medio dan

\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi) = h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) - \frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr) = h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),

con $\xi \in \intoo{a}{a+h}$ y $\eta \in \intoo{b}{b+h}$ . Por continuidad, $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a, b)$ cuando $h \to 0$ . El mismo cálculo con los papeles de las variables intercambiados (congelando primero la segunda variable) da $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)$ : los dos límites de la misma cantidad coinciden. ∎

Ejemplo 15.8 (Por qué hace falta $C^2$ : el contraejemplo de Peano)

Sea $f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ , con $f(0,0) = 0$ . Fuera del origen, $f$ es $C^\infty$ ; en el origen existen todas las parciales primeras y segundas, pero las mixtas discrepan. Calculemos a lo largo de los ejes: $f(x, 0) = f(0, y) = 0$ , y para $y \neq 0$ ,

\frac{\partial f}{\partial x}(0, y) = \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x} = \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y , \qquad\text{y simétricamente}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .

Por tanto,

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0) = \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :

las dos parciales mixtas existen y difieren. No hay contradicción con el Teorema 15.7: las parciales segundas de $f$ no son continuas en $0$ (pruébese a lo largo de $y = tx$ ). Moraleja: el teorema de Schwarz es un teorema genuino sobre la continuidad, no una identidad formal, y la hipótesis “ $C^2$ ” de Taylor–Young más abajo hace un trabajo real.

Teorema 15.9 (Taylor–Young de orden 2)

Sean $f \colon U \to \R$ de clase $C^2$ y $a \in U$ . Entonces, cuando $h \to 0$ ,

f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle + \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),

donde $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\bigr)$ es la matriz hessiana (simétrica, por Schwarz).

Demostración. Aplíquese el teorema de Taylor–Young de una variable (volumen del primer año) a $\varphi(t) = f(a + th)$ sobre $\intcc{0}{1}$ : por la regla de la cadena, $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th), h\rangle$ y $\varphi''(t) = \langle H_{a+th}h, h\rangle$ , ambas continuas en $t$ . Entonces $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac12\varphi''(\theta)$ (Taylor–Lagrange) con $\theta \in \intoo{0}{1}$ , y la continuidad de las parciales segundas convierte $\varphi''(\theta)$ en $\varphi''(0) + o(1)\cdot\norm h^2$ uniformemente: el desarrollo enunciado. ∎

Ejemplo 15.10 (Un desarrollo por dos vías)

Desarrollemos $f(x, y) = \eu^x\cos y$ en el origen hasta el orden $2$ . Por composición de desarrollos de una variable:

\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr) = 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .

Por derivadas parciales: $f_x = \eu^x\cos y$ , $f_y = -\eu^x\sin y$ , luego $\nabla f(0) = (1, 0)$ ; y $f_{xx} = f$ , $f_{yy} = -f$ , $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ dan $H_0 = \operatorname{diag}(1, -1)$ : el Teorema 15.9 reproduce $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$ . Los dos cálculos coinciden, y la vía de la composición fue más rápida: ninguna parcial segunda. Moraleja: el origen no es un punto crítico ( $\nabla f \neq 0$ ), de modo que, pese a la hessiana indefinida, no hay ningún punto de silla que declarar: manda el término lineal, y el test de segundo orden solo habla en los puntos críticos.

Teorema 15.11 (Test de extremos de segundo orden, demostrado)

Sea $f$ de clase $C^2$ cerca de un punto crítico $a$ ( $\nabla f(a) = 0$ ), con hessiana $H = H_a$ .

Si $H$ es definida positiva, $a$ es un mínimo local estricto (definida negativa: máximo).
Si $H$ tiene valores propios de ambos signos, $a$ es un punto de silla: no hay extremo.
Si $H$ es singular (y semidefinida), no hay conclusión.

El test “ $rt - s^2$ ” del primer año es el caso $n = 2$ : $\det H = rt - s^2$ , y el signo de la traza se lee en $r$ .

Demostración. Por el teorema espectral (Teorema 12.13), la forma cuadrática de $H$ queda encajada entre sus valores propios extremos: $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle \leq \lambda_{\max}\norm h^2$ .

(1) Si $\lambda_{\min} > 0$ , Taylor–Young da

f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 - o(\norm h^2) > 0

para $h \neq 0$ pequeño: mínimo local estricto.

(2) A lo largo de un vector propio $v_+$ con $\lambda_+ > 0$ : $f(a + tv_+) - f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$ para $t$ pequeño; a lo largo de $v_-$ con $\lambda_- < 0$ , la diferencia es negativa: ambos signos ocurren en todo entorno.

(3) $f(x,y) = x^2 + y^4$ , $x^2 - y^4$ y $x^2 + y^3$ comparten la misma hessiana singular semidefinida en $0$ con tres comportamientos distintos. ∎

Ejemplo 15.12 (Una clasificación completa, con lo global incluido)

Clasifiquemos todos los extremos de $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ sobre $\R^2$ . Puntos críticos: $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x) = 0$ da $y = x^3$ y $x = y^3 = x^9$ , luego $x(x^8 - 1) = 0$ : las soluciones reales son $(0,0)$ , $(1,1)$ y $(-1,-1)$ . Hessianas: $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 & 12y^2\end{pmatrix}$ . En $(\pm1, \pm1)$ : $\begin{pmatrix} 12 & -4\\ -4 & 12\end{pmatrix}$ , de valores propios $8$ y $16$ : definida positiva, mínimos locales estrictos con $f = -2$ . En $(0,0)$ : $\begin{pmatrix} 0 & -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$ , de valores propios $\pm4$ : un punto de silla. Globalidad: de $2\abs{xy} \leq x^2 + y^2$ ,

f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2) = (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2 \xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :

$f$ es coerciva, así que alcanza un mínimo global (compacidad de los conjuntos de subnivel), necesariamente en un punto crítico: el valor $-2$ , tanto en $(1,1)$ como en $(-1,-1)$ , es el mínimo global; y no hay máximo ( $f$ no está acotada superiormente). Moraleja: el test local clasifica candidatos, pero solo un argumento de crecimiento convierte lo “local” en “global”: el patrón en dos pasos de toda demostración de optimización de este libro.

Método 15.13 (Clasificar los extremos de $f \colon \R^n \to \R$ )

Resuélvase $\nabla f = 0$ (todos los puntos críticos; en un dominio con frontera, trátese la frontera aparte, como en el Ejercicio 15.7).
En cada punto crítico, calcúlense la hessiana y los signos de sus valores propios; en dimensión $2$ basta $\det H$ y $\operatorname{tr} H$ : si $\det < 0$ , punto de silla; si $\det > 0$ , extremo del tipo que indique el signo de la traza; si $\det = 0$ , el test calla y hay que estudiar $f$ a lo largo de curvas.
Para los enunciados globales, añádase un argumento de compacidad o de coercividad ( $f \to +\infty$ en el infinito, o un conjunto de restricciones compacto) y compárense después los valores críticos.

15.3 El teorema de la función inversa

Teorema 15.14 (Teorema de la función inversa)

Sean $f \colon U \to \R^n$ de clase $C^1$ y $a \in U$ con $\dd f_a$ invertible. Entonces existen entornos abiertos $V \ni a$ y $W \ni f(a)$ tales que $f \colon V \to W$ es una biyección con inversa $C^1$ , y

\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 15.15 (Por qué es cierto: la estrategia del punto fijo)

Resolver $f(x) = y$ cerca de $a$ se reescribe como la ecuación de punto fijo $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr) =: \Phi_y(x)$ ; la aplicación $\Phi_y$ tiene diferencial $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$ , pequeña cerca de $a$ por la continuidad de $\dd f$ , de modo que $\Phi_y$ es contractiva sobre una bola cerrada pequeña y el teorema del punto fijo de Banach (Teorema 4.12) proporciona la única solución local $x = f^{-1}(y)$ . La continuidad y la diferenciabilidad de la inversa se siguen entonces de las estimaciones de la contracción. La contabilidad completa se lleva a cabo en el tercer año; la estrategia —y el enunciado— se usan libremente a partir de ahora. El teorema de la función implícita que lo acompaña (resolver $F(x, y) = 0$ en $y(x)$ cuando $\frac{\partial F}{\partial y}$ es invertible) se sigue aplicando el teorema a $(x, y) \mapsto (x, F(x,y))$ .

Ejemplo 15.16 (Coordenadas polares)

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ tiene jacobiana

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = r :

invertible para $r \neq 0$ , de modo que $\Phi$ es un difeomorfismo local de clase $C^1$ fuera del origen; la licencia para “pasar a coordenadas polares”, renovada para las integrales múltiples del Capítulo 20.

Ejemplo 15.17 (Local en todas partes, global en ninguna)

Sea $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ sobre $\R^2$ . Su jacobiana,

J_f = \begin{pmatrix} \eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\ \eu^x\sin y & \eu^x\cos y \end{pmatrix}, \qquad \det J_f = \eu^{2x} > 0 ,

no se anula nunca: por el Teorema 15.14, $f$ es un difeomorfismo local $C^1$ en todo punto del plano. Y sin embargo, $f$ dista mucho de ser inyectiva: $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$ , así que cada valor se alcanza infinitas veces; y tampoco es sobreyectiva, pues $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ se salta el origen. Moraleja: el teorema de la función inversa es irreduciblemente local; la invertibilidad de todas las $\dd f_a$ rinde un mosaico de inversas locales que no tiene por qué ensamblarse en una sola. (Quien conozca los números complejos reconocerá $z \mapsto \eu^z$ ; el mosaico es la familia de ramas del logaritmo.) Compárese con el Ejercicio 15.12, donde una hipótesis global cuantitativa sí fuerza una única inversa global.

Observación 15.18 (Errores frecuentes)

(i) Las derivadas direccionales son baratas; las diferenciales, no: pueden existir todas las derivadas direccionales —e incluso no depender linealmente de la dirección— sin que haya diferenciabilidad (Ejercicio 15.2); solo el criterio $C^1$ (Teorema 15.2) asciende las parciales a diferencial. (ii) Crítico no significa extremal: tanto los puntos de silla (Ejemplo 15.12) como el caso singular mudo (Teorema 15.11 (3)) se esconden tras $\nabla f = 0$ . (iii) No hay igualdad del valor medio con valores vectoriales: solo sobrevive la desigualdad del Teorema 15.5 (Ejercicio 15.9); no escribas nunca $f(b) - f(a) = \dd f_c(b-a)$ para $f$ con valores en $\R^m$ , $m \geq 2$ . (iv) La invertibilidad local no es la inyectividad: Ejemplo 15.17. (v) El gradiente pertenece al producto escalar: $\nabla f$ es el vector que representa $\dd f_a$ en un producto escalar elegido; cámbiese el producto (como en el ejemplo con pesos del capítulo de formas cuadráticas) y el gradiente gira, mientras que la diferencial —el objeto intrínseco— no se mueve.

Observación 15.19 (Dónde se usa)

Todo lo que viene después de este capítulo es cálculo diferencial aplicado: el capítulo de ecuaciones diferenciales lineariza flujos y usa la fórmula del determinante de Liouville (demostrada en el problema de fin de semana de este capítulo); los capítulos de curvas y superficies estudian conjuntos de nivel y parametrizaciones a través del teorema de la función implícita; las integrales múltiples cambian de variable mediante jacobianas. El problema de fin de semana desarrolla el cálculo sobre el propio espacio de matrices —la diferencial del determinante, la de la inversa, la exponencial de matrices y el grupo ortogonal como conjunto de nivel liso—, la sombra en el segundo año de lo que el volumen del tercer año formaliza como variedades y grupos de Lie.

15.4 Ejercicios

Ejercicio 15.1 ★

Calcula las matrices jacobianas de $f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ y de $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ ; ¿dónde son invertibles las diferenciales?

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$ , $\det J_f = 4(x^2 + y^2)$ : invertible fuera del origen. (Esta $f$ es $z \mapsto z^2$ disfrazada de real.)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , $\det = r$ : invertible para $r \neq 0$ (coordenadas cilíndricas).

Ejercicio 15.2 ★

Sea $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ (con $f(0,0) = 0$ ). Demuestra que todas las derivadas direccionales de $f$ en $0$ existen, pero que $f$ no es diferenciable en $0$ (la aplicación $v \mapsto$ derivada direccional no es lineal).

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

Para $v = (a, b) \neq 0$ : $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$ : existe toda derivada direccional, con valor $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$ . Pero $v \mapsto D_v$ no es lineal ( $D_{(1,0)} = 1$ , $D_{(0,1)} = 0$ , $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$ ): ninguna aplicación lineal puede producir esos valores, luego $f$ no es diferenciable en $0$ (la diferencial tendría que ser $v \mapsto D_v$ ).

Ejercicio 15.3 ★

Halla y clasifica los puntos críticos de $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ usando el Teorema 15.11, y los de $g(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

$f = x^3 + y^3 - 3xy$ : puntos críticos $(0,0)$ y $(1,1)$ (cálculo del primer año). Hessianas: $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 & 6y\end{pmatrix}$ . En $(0,0)$ : signos propios mixtos ( $\det = -9 < 0$ ): punto de silla. En $(1,1)$ : $\det = 27 > 0$ y traza $> 0$ : definida positiva, mínimo local estricto; ahora justificado por el Teorema 15.11 en vez de decretado.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$ : $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y))$ ; puntos críticos $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ y $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (primer año). En $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $H = \begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$ : definida positiva (diagonalmente dominante; valores propios $24, 16$ ): mínimos locales estrictos. En $(0,0)$ : $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$ , singular y semidefinida negativa: el test calla; el estudio direccional ( $g(x,x) = 2x^4 > 0$ , $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ para $x$ pequeño) muestra un punto de tipo silla: no hay extremo.

Ejercicio 15.4 ★★

Sea $f \colon \R^n \to \R$ de clase $C^1$ y homogénea de grado $p$ : $f(tx) = t^pf(x)$ para $t > 0$ . Demuestra la identidad de Euler

\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,

y su recíproco para funciones $C^1$ sobre $\R^n\setminus\{0\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

Derívese $t \mapsto f(tx)$ en $t = 1$ : por la regla de la cadena, $\langle \nabla f(x), x\rangle$ ; y por homogeneidad, esa misma función es $t^pf(x)$ , de derivada $pf(x)$ en $t = 1$ : la identidad de Euler.

Recíproco: fíjese $x \neq 0$ y sea $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ sobre $t > 0$ . Entonces $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle - pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle - p\,t^pf(x)\bigr)$ . La hipótesis —la identidad de Euler en el punto $tx$ — evalúa el corchete como $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) = p\,\varphi(t)$ . Así pues, $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ con $\varphi(1) = 0$ : la única solución de esa EDO lineal es $\varphi \equiv 0$ (unicidad del primer año), es decir, $f(tx) = t^pf(x)$ .

Ejercicio 15.5 ★★

Sean $A$ simétrica y $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle - \langle b, x\rangle$ . Calcula $\nabla f$ y $H_f$ ; ¿cuándo es $f$ convexa? Suponiendo $A$ definida positiva, prueba que $f$ tiene un único mínimo global en la solución de $Ax = b$ : la razón de ser del descenso de gradiente.

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

Desarrollando $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle + \frac12\langle Ah, h\rangle$ (simetría de $A$ ): $\nabla f(x) = Ax - b$ y $H_f = A$ en todas partes. $f$ es convexa si y solo si $A$ es semidefinida positiva (el test de la hessiana, aquí global porque $H$ es constante: la fórmula de Taylor de segundo orden es exacta). Si $A$ es definida positiva, el único punto crítico es $x^* = A^{-1}b$ , y $f(x^* + h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ para $h \neq 0$ : mínimo global estricto.

Ejercicio 15.6 ★★

(Multiplicador de Lagrange con una restricción, demostrado a mano) Sean $f, g$ de clase $C^1$ sobre $\R^2$ y supongamos que $f$ alcanza en $a$ un extremo local sobre el conjunto de nivel $\{g = 0\}$ , con $\nabla g(a) \neq 0$ . Demuestra que $\nabla f(a) = \lambda\nabla g(a)$ para cierto $\lambda$ . (Parametriza el conjunto de nivel cerca de $a$ mediante el teorema de la función implícita y deriva $t \mapsto f(\gamma(t))$ .) Aplicación: extremos de $f(x,y) = xy$ sobre la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

Como $\nabla g(a) \neq 0$ , alguna parcial, digamos $\frac{\partial g}{\partial y}(a) \neq 0$ : el teorema de la función implícita (el compañero del Teorema 15.14) parametriza $\{g = 0\}$ cerca de $a = (a_1, a_2)$ como $\gamma(t) = (t, y(t))$ con $y$ de clase $C^1$ y $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (derívese $g(t, y(t)) = 0$ ). La función de una variable $t \mapsto f(\gamma(t))$ tiene un extremo local en $t = a_1$ :

0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1} = \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1) = \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x g(a)}{\partial_y g(a)} :

los vectores $\nabla f(a)$ y $\nabla g(a)$ tienen coordenadas proporcionales: $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ con $\lambda = \frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$ .

Aplicación: sobre la circunferencia, que $\nabla(xy) = (y, x)$ sea paralelo a $(2x, 2y)$ fuerza $y^2 = x^2$ ; con la restricción, los candidatos son $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (de valor $\frac12$ ) y $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, -\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (de valor $-\frac12$ ): máximo $\frac12$ y mínimo $-\frac12$ (alcanzados: la circunferencia es compacta).

Ejercicio 15.7 ★★

Determina los extremos de $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ sobre $\R^2$ , y después su máximo y su mínimo sobre el triángulo cerrado de vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ y $(0,1)$ (puntos críticos interiores, luego los tres lados, luego los vértices).

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$ : resolviendo, $x = -\frac13$ , $y = \frac13$ . Hessiana $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ , definida positiva: mínimo global de la $f$ cuadrática, de valor $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$ .

Sobre el triángulo $T$ : el punto crítico interior $(-\frac13, \frac13) \notin T$ ( $x$ negativo). Lados: sobre $y = 0$ , $x \in \intcc{0}{1}$ : $f = x^2 + x$ , creciente, con extremos $0$ y $2$ . Sobre $x = 0$ : $f = y^2 - y$ , con mínimo $-\frac14$ en $y = \frac12$ , y valores $0$ y $0$ en los extremos. Sobre $x + y = 1$ : sustituyendo $y = 1 - x$ , $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$ ; sobre $\intcc{0}{1}$ : mínimo $-\frac{1}{12}$ en $x = \frac16$ , y valores $0$ (en $x=0$ ) y $2$ (en $x=1$ ). Vértices: $f(0,0) = 0$ , $f(1,0) = 2$ , $f(0,1) = 0$ . Globalmente sobre $T$ : mínimo $-\frac14$ en $(0, \frac12)$ y máximo $2$ en $(1, 0)$ .

Ejercicio 15.8 ★★★

Sea $f \colon \R^2 \to \R^2$ , $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$ . Prueba que $f$ es un difeomorfismo local cerca de $0$ , calcula $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$ y halla el mayor $r$ tal que $\dd f$ sea invertible sobre la bola $\norm{(x,y)}_2 < r$ (calcula $\det J_f$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$ , $\det J_f = 1 - 4xy$ . En $0$ : $\det = 1 \neq 0$ , luego difeomorfismo local (Teorema 15.14), con

\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .

Invertibilidad sobre una bola: hace falta $4\abs{xy} < 1$ en todo punto; sobre $\norm{(x,y)}_2 < r$ , $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} < \frac{r^2}{2}$ , de modo que $r = \frac{1}{\sqrt2}$ sirve; y es el mayor posible: en $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ , de norma $\frac{1}{\sqrt2}$ , se tiene $\det J_f = 0$ .

Ejercicio 15.9 ★★★

(Rolle falla, el valor medio sobrevive) Da una $f \colon \R \to \R^2$ , de clase $C^1$ , con $f(0) = f(2\pi)$ pero $f'(t) \neq 0$ para todo $t$ (no hay Rolle con valores vectoriales). Verifica después sobre tu ejemplo la desigualdad del valor medio del Teorema 15.5.

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

$f(t) = (\cos t, \sin t)$ : $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$ , y sin embargo $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ tiene norma $1$ y nunca se anula: no hay ningún punto donde la derivada se anule; Rolle no tiene análogo vectorial. La desigualdad del valor medio se cumple holgadamente: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq 2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$ .

Ejercicio 15.10 ★

Calcula la diferencial y el gradiente de $f(x) = \norm x_2^2$ y de $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ sobre $\R^n$ ( $A$ una matriz cuadrada, no necesariamente simétrica), así como la hessiana de cada una. ¿Para qué $A$ es $g$ convexa?

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$ : $\dd f_x = 2\langle x, \cdot\rangle$ , $\nabla f(x) = 2x$ y hessiana $2I$ (constante). Para $g$ :

g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle + \langle Ah, h\rangle = \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle + O(\norm h^2),

luego $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ y $H_g = A + A^{\mathsf T}$ , constante. Por el Ejercicio 15.11, $g$ es convexa si y solo si $A + A^{\mathsf T}$ es semidefinida positiva: solo importa la parte simétrica de $A$ , como confirma que $g(x) = \langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$ .

Ejercicio 15.11 ★★

Sea $f \colon \R^n \to \R$ de clase $C^2$ . Demuestra que $f$ es convexa si y solo si su hessiana $H_x$ es semidefinida positiva en todo $x$ (redúcelo a una variable: $t \mapsto f(a + t(b-a))$ ; usa Taylor–Lagrange en una dirección y, para el recíproco, evalúa $\varphi''$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

$f$ es convexa si y solo si su restricción a todo segmento es convexa, es decir, si y solo si toda $\varphi(t) = f(a + tv)$ es convexa. Por la regla de la cadena, $\varphi''(t) = \langle H_{a+tv}\,v,\ v\rangle$ .

Si todas las hessianas son semidefinidas positivas, $\varphi'' \geq 0$ , luego cada $\varphi$ es convexa (volumen del primer año) y $f$ es convexa. Recíprocamente, si $f$ es convexa, cada $\varphi$ lo es, luego $\varphi''(0) \geq 0$ : $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$ para todo $a$ y toda dirección $v$ , o sea, todas las hessianas son semidefinidas positivas.

Ejercicio 15.12 ★★★

(Un teorema de inversión global) Sea $g \colon \R^n \to \R^n$ de clase $C^1$ con $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$ para todo $x$ , y sea $f = \mathrm{id} + g$ .

Prueba que $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y}$ : $f$ es inyectiva, con inversa continua sobre su imagen.
Prueba que, para cada $y \in \R^n$ , la aplicación $x \mapsto y - g(x)$ es una contracción del espacio completo $\R^n$ , y concluye por el teorema del punto fijo de Banach (Teorema 4.12) que $f$ es sobreyectiva.
Concluye que $f$ es una biyección de $\R^n$ con inversa $(1-k)^{-1}$ -lipschitziana: una contrapartida global del Teorema 15.14 (que, por el contrario, es puramente local).

Solución

Solución de Ejercicio 15.12.

Por la desigualdad del valor medio (Teorema 15.5) aplicada a $g$ : $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$ , luego

$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$

$f$ es inyectiva y $f^{-1}$ (definida sobre la imagen) es $\frac{1}{1-k}$ -lipschitziana.
Fíjese $y$ ; $T(x) = y - g(x)$ cumple $\norm{T(x) - T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ : es una contracción del espacio completo $\R^n$ . Banach (Teorema 4.12) da un punto fijo $x^* = y - g(x^*)$ , es decir, $f(x^*) = y$ : $f$ es sobreyectiva.
Así pues, $f$ es una biyección de $\R^n$ con inversa $\frac{1}{1-k}$ -lipschitziana: un teorema de inversión global, donde la pequeñez de $\dd g$ en todas partes sustituye a la hipótesis de invertibilidad local del Teorema 15.14.

15.5 Problema: el cálculo de matrices — Jacobi, exponencial y el grupo ortogonal

Problema 15.1

El terreno de juego más limpio para el cálculo diferencial es el propio espacio $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ : sus aplicaciones más naturales —producto, inversa, determinante, exponencial— tienen diferenciales de sorprendente elegancia. Este problema las calcula todas: la serie de Neumann, la diferencial de la inversa, la fórmula de Jacobi para el determinante con la fórmula de Liouville como dividendo, la exponencial de matrices con $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ y, por último, el grupo ortogonal $O_n$ como conjunto de nivel liso con las matrices antisimétricas como espacio tangente: geometría diferencial en embrión. En todo el problema, $\vertiii\cdot$ es la norma de operador subordinada a $\norm\cdot_2$ , y $\langle X, Y\rangle = \operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ es el producto escalar de Frobenius.

Parte I — La serie de Neumann.

Demuestra la submultiplicatividad, $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ , y deduce que las aplicaciones polinómicas de $A$ (productos de matrices, determinante, traza) son continuas sobre $\mathcal M_n(\R)$ .
Para $\vertiii X < 1$ , prueba que $\sum_{k\geq0}X^k$ converge absolutamente en $\mathcal M_n(\R)$ (Teorema 5.21), que su suma es $(I - X)^{-1}$ y que

$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X}, \qquad (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$
Deduce que $GL_n(\R)$ es abierto: si $A$ es invertible y $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , entonces $A + H$ es invertible. Deduce también que $GL_n(\R)$ es denso en $\mathcal M_n(\R)$ (perturba $A$ mediante $\varepsilon I$ : $\det(A + \varepsilon I)$ es un polinomio no nulo en $\varepsilon$ ).
Prueba que la aplicación de inversión $\Phi(A) = A^{-1}$ es continua sobre $GL_n(\R)$ .

Parte II — Primeras diferenciales.

Prueba que la aplicación $A \mapsto A^2$ es diferenciable con diferencial $H \mapsto AH + HA$ , y, más en general, que $A \mapsto A^k$ tiene diferencial $H \mapsto \sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}$ . ¿Por qué no puede escribirse $kA^{k-1} H$ en general?
Demuestra que $\Phi(A) = A^{-1}$ es diferenciable sobre $GL_n(\R)$ con

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$

(escribe $(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ y desarrolla con la pregunta 2). Contrasta la fórmula con el caso escalar $n = 1$ .
Para una curva $C^1$ $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ , deduce $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ , y desarrolla $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ hasta el primer orden en $t = 0$ .
Calcula la diferencial de $f(A) = \operatorname{tr}(A^k)$ e identifica su gradiente para el producto escalar de Frobenius:

$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr), \qquad \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$
Las mismas preguntas para $f(A) = \operatorname{tr} (A^{\mathsf T}A) = \norm A_F^2$ : diferencial, gradiente y hessiana (constante); concluye que $\norm\cdot_F^2$ es estrictamente convexa.

Parte III — La fórmula de Jacobi.

Demuestra que

$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H + O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$

(desarrolla $\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ por multilinealidad en las columnas: los términos con al menos dos columnas $h$ son $O(\vertiii H^2)$ ): $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ .
Para $A$ invertible, deduce

$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\, \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$
Prueba que para toda $A$ (invertible o no), $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$ , el cofactor $(i,j)$ (desarrollo de Laplace por la fila $i$ ), de modo que, con la adjunta clásica $\operatorname{adj}A = \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$ :

$\dd(\det)_A(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr), \qquad \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$

lo que recupera la pregunta 11 cuando $A$ es invertible ( $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ ). Esta es la fórmula de Jacobi: $\bigl(\det A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl( \operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$ .
(Fórmula de Liouville) Sea $A(t)$ una curva $C^1$ de matrices que satisface la ecuación diferencial lineal $A'(t) = M(t)A(t)$ . Demuestra que

$\bigl(\det A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t), \qquad\text{y por tanto}\qquad \det A(t) = \det A(0)\, \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$

(usa $\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ y la invariancia cíclica de la traza): la identidad del wronskiano que el capítulo de ecuaciones diferenciales usará sin parar.
Prueba que $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ es un conjunto de nivel liso: en todo $A \in SL_n(\R)$ , la diferencial $\dd(\det)_A$ es una aplicación lineal sobreyectiva sobre $\R$ (evalúala en $H = \frac1nA$ ).

Parte IV — La exponencial de matrices.

Prueba que $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ converge absolutamente para toda $A$ , y normalmente sobre toda bola, con $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ ; y que $\eu^A$ depende continuamente de $A$ .
Demuestra que $AB = BA$ implica $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ (producto de Cauchy, legítimo por la convergencia absoluta); deduce que $\eu^A$ es siempre invertible, con inversa $\eu^{-A}$ : $\exp$ manda $\mathcal M_n(\R)$ dentro de $GL_n(\R)$ .
Prueba que $t \mapsto \eu^{tA}$ es de clase $C^1$ (de hecho $C^\infty$ ) con

$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A$

(deriva la serie término a término sobre segmentos: la serie derivada converge normalmente).
Demuestra la identidad

$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$

(aplica la fórmula de Liouville, pregunta 13, a $A(t) = \eu^{tA}$ ). Comprobaciones de sensatez: $n = 1$ ; $A$ nilpotente; y que las matrices de traza nula aterrizan en $SL_n(\R)$ .
Prueba que $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , de modo que $\exp$ es diferenciable en $0$ con $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$ ; concluye con el teorema de la función inversa (Teorema 15.14) que $\exp$ es un difeomorfismo $C^1$ de un entorno de $0$ sobre un entorno de $I$ : toda matriz próxima a la identidad tiene logaritmo.
Prueba que $\exp$ manda las matrices simétricas a las matrices simétricas definidas positivas, de manera biyectiva (diagonaliza; la inversa es el logaritmo espectral).

Parte V — El grupo ortogonal como conjunto de nivel.

Sea $F(A) = A^{\mathsf T}A$ , de $\mathcal M_n(\R)$ en las matrices simétricas $S_n$ . Calcula $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ y prueba que, en todo $A \in O_n = F^{-1}(I)$ , esta diferencial es sobreyectiva sobre $S_n$ (dada $S \in S_n$ , prueba con $H = \frac12 AS$ ): $O_n$ es un conjunto de nivel liso, de dimensión $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ .
Prueba que toda curva $C^1$ $A(t) \in O_n$ con $A(0) = I$ tiene velocidad $A'(0)$ antisimétrica, y recíprocamente que, para $K$ antisimétrica, la curva $\eu^{tK}$ permanece en $O_n$ : el espacio tangente de $O_n$ en $I$ es exactamente el de las matrices antisimétricas.
Prueba que $\det\eu^{K} = 1$ para $K$ antisimétrica (pregunta 18): la curva exponencial vive en el grupo de rotaciones $SO_n$ . Calcúlala por completo para $n = 2$ : con $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , demuestra que

$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$

la exponencial de matrices es la rotación de ángulo $\theta$ , y las definiciones por series del coseno y del seno reaparecen dentro de una matriz.
(El truco de la densidad) Usando la densidad de $GL_n(\R)$ (pregunta 3) y la continuidad, extiende de las matrices invertibles a todas la identidad

$\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$

(para $A, B$ invertibles, ambos miembros valen $\det(AB)(AB)^{-1}$ ; y ambos son polinómicos en las entradas).
Síntesis. Una frase para cada punto: (i) qué capítulos anteriores suministraron el motor de cada parte (la completitud y las álgebras normadas; el teorema espectral; el teorema de la función inversa); (ii) en qué fórmula de este problema se apoyará el capítulo de ecuaciones diferenciales, y dónde; (iii) qué dicen $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ y $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ sobre la traza y el determinante como “volumen infinitesimal y global”; (iv) qué hace el volumen del tercer año con las preguntas 21–23 (grupos de Lie y sus álgebras de Lie).

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq \vertiii A\vertiii B\norm x$ : tómese el supremo sobre $\norm x = 1$ . Los productos de matrices, $\det$ y $\operatorname{tr}$ son funciones polinómicas de las entradas, luego continuas ( $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ , con todas las normas equivalentes: Teorema 5.13).

2. $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k < \infty$ : la serie converge absolutamente, luego converge (Teorema 5.21). De $(I - X)\sum_{k\leq N}X^k = I - X^{N+1} \to I$ se sigue que la suma es $(I - X)^{-1}$ . Norma: $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 - \vertiii X}$ ; y

(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1}, \qquad \vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq \frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).

3. $A + H = A(I + A^{-1}H)$ con $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : invertible por la pregunta 2, de modo que la bola abierta de radio $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ centrada en $A$ está en $GL_n(\R)$ . Densidad: $\det(A + \varepsilon I)$ es un polinomio de grado $n$ en $\varepsilon$ con coeficiente principal $1$ : tiene un número finito de raíces, así que hay $\varepsilon_k \to 0$ con $A + \varepsilon_kI$ invertible, convergiendo a $A$ .

4. Para $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$ :

(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},

de norma a lo sumo $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 - \vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq 2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$ : $\Phi$ es continua en todo $A \in GL_n(\R)$ .

5. $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$ : la aplicación $H \mapsto AH + HA$ es lineal y el error $H^2$ es $O(\vertiii H^2)$ . Desarrollando $(A + H)^k$ y ordenando por el número de factores $H$ : la parte lineal es $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$ , y los términos con $\geq 2$ factores $H$ están acotados por $\binom k2$ productos de norma del orden de $\vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$ : $O(\vertiii H^2)$ . La suma no puede colapsarse a $kA^{k-1}H$ porque $H$ y $A$ no tienen por qué conmutar: la suma es la derivada no conmutativa correcta.

6. Para $H$ pequeño:

(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1} = \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1} = A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$ , lineal en $H$ . Para $n = 1$ : $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$ , la derivada de siempre.

7. Regla de la cadena a lo largo de la curva: $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) = -A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$ . En $A(t) = I + tB$ , con $t = 0$ : $(I + tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$ .

8. Por la pregunta 5 y la invariancia cíclica de la traza:

\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .

Frente al producto de Frobenius, $\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ exige $(\nabla f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$ : $\nabla f(A) = k\,(A^{k-1})^{\mathsf T}$ .

9. $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr} (A^{\mathsf T}H) + \operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$ : la diferencial es $H \mapsto 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) = 2\langle A, H\rangle$ , luego $\nabla f(A) = 2A$ ; y el término de segundo orden es exactamente $\norm H_F^2$ : la hessiana es el doble de la forma cuadrática identidad, definida positiva y constante, de modo que $\norm\cdot_F^2$ es estrictamente convexa (aquí la fórmula de Taylor es exacta).

10. Por multilinealidad en las columnas, $\det(I + H) = \sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$ , donde $M_S$ tiene la columna $h_j$ para $j \in S$ y $e_j$ en los demás casos. $S = \varnothing$ da $1$ ; $S = \{j\}$ da el determinante de $I$ con la columna $j$ sustituida por $h_j$ , a saber, su entrada $j$ -ésima $h_{jj}$ , que suman $\operatorname{tr}H$ ; cada término con $\abs S \geq 2$ es un determinante con al menos dos columnas de tamaño $O(\vertiii H)$ , luego $O(\vertiii H^2)$ (las aplicaciones multilineales sobre un espacio de dimensión finita son acotadas), y hay un número finito de ellos. Por tanto, $\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H + O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ .

11. $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) = \det A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) + O(\vertiii H^2)\bigr)$ : la diferencial es $H \mapsto \det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$ .

12. Desarrollo de Laplace por la fila $i$ : $\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}$ , y los cofactores $C_{ij}$ no involucran la fila $i$ : $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$ . De ahí,

\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij} = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T} H\bigr) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr), \qquad \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .

Para $A$ invertible, $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ recupera la pregunta 11. A lo largo de una curva $C^1$ , la regla de la cadena se lee $(\det A(t))' = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(A(t))\,A'(t))$ : la fórmula de Jacobi.

13. Con $A' = MA$ y $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$ :

(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA \bigr) = \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr) = \det A\;\operatorname{tr}M

(ciclicidad; y también $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$ ). La EDO lineal escalar $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ tiene la única solución $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t \operatorname{tr}M\bigr)$ (primer año): la fórmula de Liouville.

14. En $A \in SL_n(\R)$ , tómese $H = \frac1nA$ : $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A) \operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$ : la diferencial es una forma lineal no nula, luego sobreyectiva sobre $\R$ en todo punto del conjunto de nivel: $SL_n(\R)$ es un conjunto de nivel liso (de dimensión $n^2 - 1$ ).

15. $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq \sum\vertiii A^k/k! = \eu^{\vertiii A}$ : convergencia absoluta (el argumento de completitud de la pregunta 2), con convergencia normal sobre toda bola $\vertiii A \leq R$ (cota $R^k/k!$ independiente de $A$ ). Cada suma parcial es continua (polinómica); el límite uniforme sobre bolas es continuo: $A \mapsto \eu^A$ es continua, con $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ .

16. Ambas series convergen absolutamente, de modo que el producto de Cauchy es legítimo (Teorema 7.14):

\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom nkA^kB^{n-k} = \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},

donde la identidad del binomio exige $AB = BA$ . Con $B = -A$ : $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$ : toda $\eu^A \in GL_n(\R)$ .

17. La serie $\sum t^kA^k/k!$ y su serie derivada $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ convergen normalmente sobre todo segmento $\abs t \leq T$ (con cotas $T^k\vertiii A^k/k!$ ): el teorema de derivación de series (Teorema 10.11, aplicado entrada a entrada) da $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ ; sacando factor $A$ por la derecha se obtiene $\eu^{tA}A$ . Iterando: es $C^\infty$ .

18. $A(t) = \eu^{tA}$ cumple $A'(t) = A\,A(t)$ : la fórmula de Liouville (pregunta 13) con $M = A$ constante da $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ (de valor $1$ en $t = 0$ ); en $t = 1$ , $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ . Comprobaciones: $n = 1$ es la propia exponencial; una $A$ nilpotente tiene $\operatorname{tr}A = 0$ y $\eu^A$ unipotente de determinante $1$ ; y $\operatorname{tr}A = 0$ da $\det\eu^A = 1$ : las matrices de traza nula van a parar a $SL_n(\R)$ .

19. $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$ , de norma $\leq \vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$ , invertible. Además, $\exp$ es $C^1$ : por la pregunta 5, la diferencial candidata $H \mapsto \sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ es una serie normalmente convergente de aplicaciones lineales que dependen continuamente de $A$ (con cotas $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$ sobre bolas), luego las parciales existen y son continuas (Teorema 15.2 y el teorema de transferencia para series). El teorema de la función inversa (Teorema 15.14) se aplica en $0$ : $\exp$ es un difeomorfismo $C^1$ de un entorno de $0$ sobre un entorno de $I$ ; las matrices próximas a $I$ tienen logaritmo.

20. Para $S = PDP^{\mathsf T}$ simétrica (teorema espectral): $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ es simétrica con valores propios $\eu^{\lambda_i} > 0$ : definida positiva. Sobreyectividad: una $Q = P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ definida positiva ( $\mu_i > 0$ ) es $\eu^S$ para $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$ . Inyectividad: $\eu^S$ determina sus subespacios propios, que son exactamente los de $S$ (sobre cada subespacio propio de $S$ para $\lambda$ , $\eu^S$ actúa como $\eu^\lambda$ ; y $\lambda$ distintos dan $\eu^\lambda$ distintos), y tomar $\ln$ de los valores propios recupera $S$ . Así pues, $\exp$ es una biyección de las matrices simétricas sobre las definidas positivas.

21. $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$ : $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ (con valores en $S_n$ ; error $O(\vertiii H^2)$ ). En $A \in O_n$ y para $S \in S_n$ , la elección $H = \frac12AS$ da

A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A = \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :

sobreyectiva. $O_n = F^{-1}(I)$ es un conjunto de nivel liso de dimensión $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$ .

22. Derivando $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ en $t = 0$ (con $A(0) = I$ ): $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$ : antisimétrica. Recíprocamente, para $K^{\mathsf T} = -K$ : $(\eu^{tK})^{\mathsf T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}} \eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (traspóngase la serie término a término; los exponentes conmutan): la curva permanece en $O_n$ , con velocidad $K$ en $t = 0$ . El espacio tangente en $I$ es el de las matrices antisimétricas, de la dimensión esperada $\frac{n(n-1)}2$ .

23. $\operatorname{tr}K = 0$ para $K$ antisimétrica, luego $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (pregunta 18): la exponencial aterriza en $SO_n$ . Para $n = 2$ : $J^2 = -I$ , luego $J^{2m} = (-1)^mI$ y $J^{2m+1} = (-1)^mJ$ , y

\eu^{\theta J} = \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I + \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J = \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,

la rotación de ángulo $\theta$ : las series del seno y del coseno viven dentro de la exponencial de matrices.

24. Para $A, B$ invertibles: $\operatorname{adj}(AB) = \det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$ . Ambos miembros de la identidad son aplicaciones polinómicas (luego continuas) de las entradas de $(A, B)$ ; coinciden sobre el subconjunto denso $GL_n\times GL_n$ de $\mathcal M_n\times\mathcal M_n$ (pregunta 3: aproxímese cada factor), luego coinciden en todas partes.

25. (i) La parte I funcionó con la completitud de los espacios normados de dimensión finita (las series absolutamente convergentes convergen); la parte IV, con lo mismo más el teorema espectral para la pregunta 20; y el logaritmo local de la parte V, con el teorema de la función inversa. (ii) El capítulo de ecuaciones diferenciales se apoya en la fórmula de Liouville (pregunta 13) para el wronskiano de los sistemas lineales, y en $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (pregunta 17), que es el enunciado de que $\eu^{tA}$ resuelve $X' = AX$ . (iii) $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ dice que la traza es la tasa infinitesimal de cambio de volumen, y $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ integra globalmente ese enunciado. (iv) El volumen del tercer año pone nombre a las estructuras: $O_n$ y $SL_n(\R)$ son grupos de Lie, sus espacios tangentes en $I$ (las matrices antisimétricas y las de traza nula) son álgebras de Lie, y $\exp$ es el puente entre unos y otras.

Términos definidos en este capítulo

diferenciable

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