Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

15Cálculo diferencial

El cálculo de dos variables del volumen del Año 1 madura hasta convertirse en el Cálculo diferencial de aplicaciones entre espacios normados: el diferencial como la mejor aproximación lineal, la regla de la cadena en general, teorema de simetría de Schwarz probado, Taylor fórmulas y el análisis completo de segundo orden de extremos. el El teorema de la función inversa, corona de la teoría, se enuncia con su estrategia de prueba — un punto fijo de Banach — hecha explícita.

En todo momento, $U$ es un subconjunto abierto de $\R^n$ (o un espacio normado; el caso de dimensión finita lleva todas las ideas), $f \colon U \to \R^m$ .

15.1 El diferencial

Definición 15.1

$f$ es diferenciable en $a$ cuando hay es un mapa lineal (continuo) $\dd f_a \colon \R^n \to \R^m$ con

f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + o(\norm h) \qquad (h \to 0).

El mapa $\dd f_a$ , el diferencial de $f$ en $a$ , es único; su matriz en las bases canónicas es el matriz jacobiana $J_f(a) = \bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\bigr)$ . La diferenciabilidad implica continuidad y la existencia de todos derivados direccionales $\dd f_a(v) = \lim_{t\to0}\frac{f(a + tv) - f(a)}{t}$ ; lo contrario falla (Ejercicio 15.2). Para $m = 1$ , $\dd f_a(h) = \langle \nabla f(a), h\rangle$ : el gradiente del Año 1, ahora entendido como el vector que representa el diferencial.

Teorema 15.2 (criterio $C^1$ )

Si todas las derivadas parciales de $f$ existen en $U$ y son continuo en $a$ , entonces $f$ es diferenciable en $a$ . “ $C^1$ en $U$ ” — continuo parciales — por lo tanto implica diferenciabilidad en todas partes, con continuo diferencial.

Demostración. Componente por componente (basta con $m = 1$ ). La prueba del Año 1 para dos variables — mover una coordenada a la vez, aplicar la variable de una teorema del valor medio en cada cateto y use continuidad de los parciales en $a$ — generaliza palabra por palabra a las piernas $n$ :

f(a + h) - f(a) = \sum_{j=1}^{n} \bigl(f(a + h^{(j)}) - f(a + h^{(j-1)})\bigr) = \sum_j h_j\,\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j),

donde $h^{(j)}$ congela las primeras coordenadas $j$ de $h$ y $\xi_j$ se encuentra en el tramo $j$ ; continuidad vueltas cada una $\frac{\partial f}{\partial x_j}(\xi_j)$ en $\frac{\partial f}{\partial x_j}(a) + o(1)$ y el error es $o(\norm h)$ . ∎

Teorema 15.3 (regla de cadena)

Si $f$ es diferenciable en $a$ y $g$ en $f(a)$ , entonces $g \circ f$ es diferenciable en $a$ con

\dd(g \circ f)_a = \dd g_{f(a)} \circ \dd f_a , \qquad J_{g\circ f}(a) = J_g\bigl(f(a)\bigr)\,J_f(a) :

Los jacobianos se multiplican.

Demostración. Escribe $f(a + h) = f(a) + \dd f_a(h) + \norm h\,\varepsilon_1(h)$ y $g(b + k) = g(b) + \dd g_b(k) + \norm k\,\varepsilon_2(k)$ con $b = f(a)$ , $k = k(h) = \dd f_a(h) + \norm h \varepsilon_1(h)$ . Sustituyendo,

g(f(a+h)) = g(b) + \dd g_b\bigl(\dd f_a(h)\bigr) + \norm h\,\dd g_b(\varepsilon_1(h)) + \norm{k}\,\varepsilon_2(k),

y ambos términos de error son $o(\norm h)$ : el primero desde $\dd g_b$ es continuo y $\varepsilon_1 \to 0$ ; el segundo desde $\norm k \leq C\norm h$ (mapa lineal acotado más término pequeño) y $\varepsilon_2(k) \to 0$ como $h \to 0$ . ∎

Ejemplo 15.4 (Funciones radiales, de una vez por todas.)

Dejemos que $r(x) = \norm x_2$ en $\R^n\setminus\{0\}$ y $f = g \circ r$ con $g$ sean una función $C^1$ de una variable. Primero, $r$ es diferenciable lejos de $0$ : de $r^2 = \sum x_i^2$ ,

\frac{\partial r}{\partial x_i} = \frac{x_i}{r}, \qquad\text{i.e.}\qquad \nabla r(x) = \frac{x}{\norm x} ,

el vector radial unitario (diferenciar $r^2$ y dividir — o aplicar la regla de la cadena a $\sqrt{\cdot}$ ). Entonces la regla de la cadena da, para cada función radial,

\nabla f(x) = g'\bigl(\norm x\bigr)\,\frac{x}{\norm x} .

Instancia resuelta: $g(r) = \frac1r$ produce $\nabla\frac{1}{\norm x} = -\frac{x}{\norm x^3}$ , el campo del cuadrado inverso de gravitación y electrostática — dirección radial, magnitud $\frac{1}{\norm x^2}$ . Información final: gradientes de radial Las funciones son radiales porque los conjuntos de niveles son esferas y el gradiente es ortogonal a los conjuntos de niveles; en $x = 0$ , por Por el contrario, $r$ es no diferenciable (no hay candidato El mapa lineal coincide con $\norm h$ desde todas las direcciones) — suave Los perfiles radiales necesitan $g'(0) = 0$ para cruzar el origen. con gracia.

Teorema 15.5 (Desigualdad del valor medio)

Sea $f$ diferenciable en $U$ y deje que el segmento $\intcc{a}{b} = \{a + t(b-a)\}$ esté en $U$ . entonces

\norm{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}\, \sup_{x \in \intcc{a}{b}} \vertiii{\dd f_x} .

En particular, un mapa diferenciable con cero diferencial en un conectado abierto establecido es constante.

Demostración. La función $\varphi(t) = f(a + t(b-a))$ es diferenciable en $\intcc{0}{1}$ con $\varphi'(t) = \dd f_{a + t(b-a)}(b - a)$ (regla de la cadena), de norma $\leq M\norm{b-a}$ con $M$ el mostrado sup. Para $f$ con valor $\R$ , la desigualdad del valor medio de una variable concluye; para valores vectoriales, aplíquelo a $t \mapsto \langle u, \varphi(t)\rangle$ con $u$ el vector unitario a lo largo de $f(b) - f(a)$ . Constancia: localmente constante (segmentos en bolas) más conectividad (el conjunto donde $f$ es igual a un valor dado es abierto y cerrado: Capítulo 4). ∎

Ejemplo 15.6 (Una constante de Lipschitz del MVI)

¿Está $f(x, y) = \sin x\,\sin y$ Lipschitz en $\R^2$ y con cual constante? Su gradiente es $\nabla f = (\cos x\sin y,\ \sin x\cos y)$ , de norma al cuadrado.

\cos^2x\sin^2y + \sin^2x\cos^2y \leq \sin^2 y + \cos^2y\cdot 1 = 1

(cota $\cos^2x$ y $\sin^2x$ por $1$ por separado), por lo que $\vertiii{\dd f_{(x,y)}} = \norm{\nabla f} \leq 1$ en todas partes, y Teorema 15.5 en el segmento entre dos cualesquiera puntos da

\abs{f(b) - f(a)} \leq \norm{b - a}_2 :

$f$ es $1$ -Lipschitz y la constante es nítida (cerca del origen, $f(x, \tfrac\pi2) = \sin x$ tiene pendiente $1$ ). Cierre Información: la desigualdad del valor medio convierte un límite puntualmente en el diferencial en un módulo global de continuidad — la ruta estándar a estimaciones Lipschitz en cada dimensión, y el motor dentro de Ejercicio 15.12.

15.2 Segundas derivadas

Teorema 15.7 (negro)

Si $f$ es $C^2$ en $U$ (todos los segundos parciales existen y son continuo), luego para todos $i, j$ :

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\,\partial x_i} .

Demostración. Bastan dos variables ( $x = x_i$ , $y = x_j$ , otras congeladas). Considere la segunda diferencia

\Delta(h) = f(a + h, b + h) - f(a + h, b) - f(a, b + h) + f(a,b) .

Repare $h$ y configure $\varphi(x) = f(x, b+h) - f(x, b)$ : luego $\Delta(h) = \varphi(a + h) - \varphi(a)$ y dos aplicaciones de la media. teorema del valor dar

\Delta(h) = h\,\varphi'(\xi) = h\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b+h) - \frac{\partial f}{\partial x}(\xi, b)\Bigr) = h^2\,\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(\xi, \eta),

con $\xi \in \intoo{a}{a+h}$ , $\eta \in \intoo{b}{b+h}$ . Por continuidad, $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a, b)$ como $h \to 0$ . El mismo cálculo con el roles de las variables intercambiadas (congelar primero la segunda variable) da $\frac{\Delta(h)}{h^2} \to \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a,b)$ : los dos límites de la misma cantidad coinciden. ∎

Ejemplo 15.8 (Por qué se necesita $C^2$ : contraejemplo de Peano)

Sea $f(x, y) = \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ , $f(0,0) = 0$ . Lejos del origen $f$ está $C^\infty$ ; en el origen todo primero y segundos parciales existen, pero los mixtos no están de acuerdo. calcular a lo largo de los ejes: $f(x, 0) = f(0, y) = 0$ , y para $y \neq 0$ ,

\frac{\partial f}{\partial x}(0, y) = \lim_{x\to0}\frac{f(x,y)}{x} = \frac{y(0 - y^2)}{y^2} = -y , \qquad\text{symmetrically}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x .

Por lo tanto

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}(0,0) = \frac{\dd}{\dd y}\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)\Bigr]_{y=0} = -1, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}(0,0) = +1 :

los dos parciales mixtos existen y difieren. Ninguna contradicción con Teorema 15.7: los segundos parciales de $f$ son no continuo en $0$ (prueba junto con $y = tx$ ). Información final: El teorema de Schwarz es un teorema genuino sobre continuidad, no es una identidad formal — y la hipótesis “ $C^2$ ” en Taylor–Young a continuación está haciendo un trabajo real.

Teorema 15.9 (Taylor–Joven en la orden 2)

Sea $f \colon U \to \R$ $C^2$ y $a \in U$ . Entonces, como $h \to 0$ ,

f(a + h) = f(a) + \langle\nabla f(a), h\rangle + \frac12\, \langle H_a h,\, h\rangle + o\bigl(\norm h^2\bigr),

donde $H_a = \bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\bigr)$ es el (simétrico, de Schwarz) arpillera matriz.

Demostración. Aplique el teorema de Taylor-Young de una variable (volumen del año 1) a $\varphi(t) = f(a + th)$ en $\intcc{0}{1}$ : según la regla de la cadena, $\varphi'(t) = \langle \nabla f(a + th), h\rangle$ y $\varphi''(t) = \langle H_{a+th}h, h\rangle$ , ambos continuo en $t$ . entonces $\varphi(1) = \varphi(0) + \varphi'(0) + \frac12\varphi''(\theta)$ (Taylor–Lagrange) con $\theta \in \intoo{0}{1}$ y continuidad del segundo parcial convierte $\varphi''(\theta) = \varphi''(0) + o(1)\cdot\norm h^2$ de manera uniforme: el mostrado expansión. ∎

Ejemplo 15.10 (Una expansión de dos vías)

Expanda $f(x, y) = \eu^x\cos y$ en el origen para ordenar $2$ . Por composición de expansiones de una variable:

\eu^x\cos y = \Bigl(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\Bigr)\Bigl(1 - \frac{y^2}{2} + o(y^2)\Bigr) = 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2} + o\bigl(\norm{(x,y)}^2\bigr) .

Por derivadas parciales: $f_x = \eu^x\cos y$ , $f_y = -\eu^x\sin y$ , entonces $\nabla f(0) = (1, 0)$ ; y $f_{xx} = f$ , $f_{yy} = -f$ , $f_{xy} = -\eu^x\sin y$ dan $H_0 = \operatorname{diag}(1, -1)$ : Teorema 15.9 reproduce $1 + x + \frac12(x^2 - y^2)$ . Los dos cálculos de acuerdo, y la ruta de composición fue más rápida — no hay segundo parciales en absoluto. Información final: el origen es no a punto crítico ( $\nabla f \neq 0$ ), por lo que a pesar del tiempo indefinido En arpillera no hay silla que declarar: el término lineal manda, y la prueba de segundo orden sólo habla en momentos críticos. puntos.

Teorema 15.11 (Prueba extrema de segundo orden, probada)

Sea $f$ $C^2$ cerca de un punto crítico $a$ ( $\nabla f(a) = 0$ ), con arpillera $H = H_a$ .

Si $H$ es positivo definido, $a$ es un mínimo local estricto (definida negativa: máximo).
Si $H$ tiene valores propios de ambos signos, $a$ es una silla de montar: no extremo.
Si $H$ es singular (y semidefinido), no hay conclusión.

La prueba del Año 1 “ $rt - s^2$ ” es el caso $n = 2$ : $\det H = rt - s^2$ , $\operatorname{tr}$ lectura de signos $r$ .

Demostración. Según el teorema espectral (Teorema 12.13), $H$ forma cuadrática está apretado entre su extremo valores propios: $\lambda_{\min}\norm h^2 \leq \langle Hh, h\rangle \leq \lambda_{\max}\norm h^2$ .

(1) Si $\lambda_{\min} > 0$ : Taylor–Young da

f(a + h) - f(a) \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 - o(\norm h^2) > 0

para pequeños $h \neq 0$ : mínimo local estricto.

(2) A lo largo de un vector propio $v_+$ con $\lambda_+ > 0$ : $f(a + tv_+) - f(a) = \frac{\lambda_+}{2}t^2 + o(t^2) > 0$ para $t$ pequeño; a lo largo $v_-$ con $\lambda_- < 0$ la diferencia es negativa: ambos signos ocurren en cada barrio.

(3) $f(x,y) = x^2 + y^4$ , $x^2 - y^4$ , $x^2 + y^3$ comparten lo mismo Arpillera semidefinida singular en $0$ con tres diferentes comportamientos. ∎

Ejemplo 15.12 (Una clasificación completa, global incluida)

Clasifique todos los extremos de $f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy$ en $\R^2$ . Puntos críticos: $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x) = 0$ proporciona $y = x^3$ y $x = y^3 = x^9$ , por lo que $x(x^8 - 1) = 0$ : las soluciones reales son $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(-1,-1)$ . Arpilleras: $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4\\ -4 & 12y^2\end{pmatrix}$ . En $(\pm1, \pm1)$ : $\begin{pmatrix} 12 & -4\\ -4 & 12\end{pmatrix}$ , valores propios $8$ y $16$ : positivo mínimos locales definidos y estrictos con $f = -2$ . En $(0,0)$ : $\begin{pmatrix} 0 & -4\\ -4 & 0\end{pmatrix}$ , valores propios $\pm4$ : una silla de montar. Globalidad: de $2\abs{xy} \leq x^2 + y^2$ ,

f(x, y) \geq x^4 + y^4 - 2(x^2 + y^2) = (x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 + x^2 + y^2 - 2 \xrightarrow[\norm{(x,y)}\to\infty]{} +\infty :

$f$ es coercitivo, por lo que alcanza un mínimo global (compacidad de conjuntos de subniveles), necesariamente en un punto crítico punto: el valor $-2$ , tanto en $(1,1)$ como en $(-1,-1)$ , es el mínimo global; no hay un máximo ( $f$ ilimitado arriba). Perspectiva final: la prueba local clasifica a los candidatos, pero Sólo un argumento de crecimiento convierte lo "local" en "global". patrón de dos pasos de cada prueba de optimización en este libro.

Método 15.13 (Clasificando los extremos de $f \colon \R^n \to \R$ )

Resolver $\nabla f = 0$ (todos los puntos críticos; en un dominio con límite, trate el límite por separado como en Ejercicio 15.7).
En cada punto crítico, calcule el hessiano y su valor propio signos — en dimensión $2$ , solo $\det H$ y $\operatorname{tr} H$ : silla $\det < 0$ ; $\det > 0$ extremo, del tipo dado por el signo de la rastro; $\det = 0$ : la prueba es silenciosa, estudia $f$ a lo largo de curvas.
Para declaraciones globales, agregue compacidad o coercitividad argumento ( $f \to +\infty$ en el infinito, o un compacto conjunto de restricciones), luego compare los valores críticos.

15.3 El teorema de la función inversa

Teorema 15.14 (Teorema de la función inversa)

Sea $f \colon U \to \R^n$ $C^1$ y $a \in U$ con $\dd f_a$ reversible. Luego hay barrios abierto $V \ni a$ , $W \ni f(a)$ tales que $f \colon V \to W$ es una biyección con $C^1$ inversa, y

\dd (f^{-1})_{f(x)} = (\dd f_x)^{-1} \qquad (x \in V).

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 15.15 (Por qué es cierto: la estrategia del punto fijo)

Resolver $f(x) = y$ cerca de $a$ se reescribe como la ecuación de punto fijo $x = x + \dd f_a^{-1}\bigl(y - f(x)\bigr) =: \Phi_y(x)$ ; el mapa $\Phi_y$ tiene diferencial $\mathrm{id} - \dd f_a^{-1}\dd f_x$ , pequeño cerca de $a$ por continuidad de $\dd f$ , por lo que $\Phi_y$ es un contracción sobre una pequeña bola cerrada y el punto fijo de Banach teorema (Teorema 4.12) proporciona el único local solución $x = f^{-1}(y)$ . Continuidad y diferenciabilidad de la La inversa se sigue entonces de las estimaciones en la contracción. el completo la contabilidad se lleva a cabo en el año 3; la estrategia — y la declaración — se utilizan libremente a partir de ahora. el compañero teorema de la función implícita (resolviendo $F(x, y) = 0$ para $y(x)$ cuando $\frac{\partial F}{\partial y}$ es invertible) sigue por aplicando el teorema a $(x, y) \mapsto (x, F(x,y))$ .

Ejemplo 15.16 (Coordenadas polares)

$\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$ tiene jacobiano

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = r :

invertible para $r \neq 0$ , por lo que $\Phi$ es un $C^1$ local difeomorfismo lejos del origen — la licencia para "cambiar a coordenadas polares”, renovadas para las integrales múltiples de Capítulo 20.

Ejemplo 15.17 (Local en todas partes, global en ninguna)

Deja que $f(x, y) = \bigl(\eu^x\cos y,\ \eu^x\sin y\bigr)$ encienda $\R^2$ . Es jacobiano,

J_f = \begin{pmatrix} \eu^x\cos y & -\eu^x\sin y\\ \eu^x\sin y & \eu^x\cos y \end{pmatrix}, \qquad \det J_f = \eu^{2x} > 0 ,

nunca desaparece: por Teorema 15.14, $f$ es un Difeomorfismo local $C^1$ en el punto cada del plano. Sin embargo, $f$ está lejos de ser inyectivo: $f(x, y + 2\pi) = f(x, y)$ , por lo que cada valor se toma infinitamente a menudo; y no es sobreyectivo tampoco, ya que $\norm{f(x, y)} = \eu^x > 0$ pierde el origen. Idea final: el teorema de la función inversa es irreducible local — la invertibilidad de cada $\dd f_a$ produce un mosaico de inversos locales que no necesitan unirse en uno solo. (Los lectores que conocen números complejos reconocerán $z \mapsto \eu^z$ ; el mosaico es la familia de ramas de logaritmos). Compárese Ejercicio 15.12, donde se muestra un análisis global cuantitativo. La hipótesis fuerza una inversa global.

Observación 15.18 (Errores comunes)

(i) Directional derivatives are cheap, diferenciales are not: todas las derivadas direccionales pueden existir — e incluso fallar depender linealmente de la dirección — sin diferenciabilidad (Ejercicio 15.2); solo el $C^1$ criterio (Teorema 15.2) actualiza parciales a un diferencial. (ii) Crítico no significa extremo: sillines (Ejemplo 15.12) y el silencioso caso singular (Teorema 15.11 (3)) ambos ocultan detrás de $\nabla f = 0$ . (iii) Sin valor medio valorado por vector igualdad: solo el desigualdad de Teorema 15.5 sobrevive (Ejercicio 15.9); nunca escriba $f(b) - f(a) = \dd f_c(b-a)$ para $f$ con valores en $\R^m$ , $m \geq 2$ . (iv) La invertibilidad local no es inyectividad: Ejemplo 15.17. (v) El gradiente pertenece al producto interno: $\nabla f$ es el vector representando $\dd f_a$ en un producto interior elegido; cambiar el producto (como en el ejemplo ponderado de las formas cuadráticas capítulo) y el gradiente gira, mientras que el diferencial — el objeto intrínseco — no se mueve.

Observación 15.19 (donde se utiliza)

Todo lo que sigue en este capítulo es cálculo diferencial. aplicado: el capítulo de ecuaciones diferenciales linealiza los flujos y utiliza la fórmula determinante de Liouville (probada en el capítulo problema de fin de semana); los capítulos sobre curvas y superficies estudian conjuntos de niveles y parametrizaciones a través de la función implícita teorema; integrales múltiples cambian variables a través de jacobianos. El problema del fin de semana desarrolla el cálculo en el espacio de matrices en sí — diferencial del determinante, del inversa, la matriz exponencial, y el grupo ortogonal como conjunto de niveles suaves — la sombra del Año 2 de lo que fue el Año 3 El volumen se formaliza como variedades y grupos de Lie.

15.4 Ceremonias

Ejercicio 15.1 ★

Calcule las matrices jacobianas de $f(x,y) = (x^2 - y^2,\, 2xy)$ y de $\Phi(r,\theta,z) = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ ; donde estan ¿El diferenciales invertible?

Solución

Solución de Ejercicio 15.1.

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$ , $\det J_f = 4(x^2 + y^2)$ : invertible lejos del origen. (Este $f$ es $z \mapsto z^2$ disfrazado de forma compleja).

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , $\det = r$ : invertible para $r \neq 0$ (coordenadas cilíndricas).

Ejercicio 15.2 ★

Deje $f(x,y) = \frac{x^3}{x^2 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ ). demostrar que todo Existen derivadas direccionales de $f$ en $0$ , pero $f$ no es diferenciable en $0$ (the map $v \mapsto$ directional derivative is not linear).

Solución

Solución de Ejercicio 15.2.

Para $v = (a, b) \neq 0$ : $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$ : todas las direcciones existe derivado, con valor $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$ . Pero $v \mapsto D_v$ no es lineal ( $D_{(1,0)} = 1$ , $D_{(0,1)} = 0$ , $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$ ): ningún mapa lineal puede producir estos valores, por lo que $f$ no es diferenciable en $0$ (el diferencial sería tiene que ser $v \mapsto D_v$ ).

Ejercicio 15.3 ★

Encuentre y clasifique los puntos críticos de $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ usando Teorema 15.11 y de $g(x,y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.3.

$f = x^3 + y^3 - 3xy$ : puntos críticos $(0,0)$ y $(1,1)$ (Año 1 cálculo). Arpilleras: $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 & 6y\end{pmatrix}$ . En $(0,0)$ : signos propios mixtos ( $\det = -9 < 0$ ): silla de montar. En $(1,1)$ : $\det = 27 > 0$ , traza $> 0$ : positivo mínimo local definido y estricto — ahora justificado por Teorema 15.11 en lugar de decretado.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$ : $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y))$ ; puntos críticos $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ , $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (Año 1). En $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $H = \begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$ : positivo definitivo (diagonalmente dominante; valores propios $24, 16$ ): mínimos locales estrictos. En $(0,0)$ : $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$ , singular negativo semidefinido: la prueba es silenciosa; el direccional estudio ( $g(x,x) = 2x^4 > 0$ , $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ pequeño) muestra un punto en forma de silla de montar, sin extremo.

Ejercicio 15.4 ★★

Sea $f \colon \R^n \to \R$ $C^1$ y homogéneo de grado $p$ : $f(tx) = t^pf(x)$ para $t > 0$ . Demostrar la identidad de Euler

\langle \nabla f(x), x\rangle = p\,f(x) ,

y su recíproco para funciones $C^1$ en $\R^n\setminus\{0\}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.4.

Diferenciar $t \mapsto f(tx)$ en $t = 1$ : por la regla de la cadena, $\langle \nabla f(x), x\rangle$ ; por homogeneidad la misma función es $t^pf(x)$ , de la derivada $pf(x)$ en $t = 1$ : identidad de Euler.

Converse: arregla $x \neq 0$ y deja que $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ en $t > 0$ . Entonces $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle - pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle - p\,t^pf(x)\bigr)$ . La hipótesis — la identidad de Euler en el punto $tx$ — evalúa el soporte como $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) = p\,\varphi(t)$ . Entonces $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ con $\varphi(1) = 0$ : la solución única de la EDO lineal es $\varphi \equiv 0$ (Año 1 unicidad), es decir, $f(tx) = t^pf(x)$ .

Ejercicio 15.5 ★★

Sea $A$ simétrico y $f(x) = \frac12\langle Ax, x\rangle - \langle b, x\rangle$ . Calcule $\nabla f$ y $H_f$ ; cuando es $f$ convexo? Suponiendo $A$ positivo definido, demuestre que $f$ tiene un único mínimo global en la solución de $Ax = b$ — descenso de gradiente razón de être.

Solución

Solución de Ejercicio 15.5.

Expandiendo $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle + \frac12\langle Ah, h\rangle$ (simetría de $A$ ): $\nabla f(x) = Ax - b$ y $H_f = A$ en todas partes. $f$ es convexo si $A$ es positivo semidefinido (la prueba de Hesse, global aquí desde $H$ es constante: la fórmula de Taylor de segundo orden es exacta). Si $A$ es positivo definitivo: el único punto crítico es $x^* = A^{-1}b$ y $f(x^* + h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ para $h \neq 0$ : estricto mínimo global.

Ejercicio 15.6 ★★

(Multiplicador de Lagrange, una restricción, probado manualmente) Sea $f, g$ $C^1$ en $\R^2$ , y supongamos que $f$ alcanza, en $a$ , un extremo local en el nivel establecido $\{g = 0\}$ , con $\nabla g(a) \neq 0$ . demostrar que $\nabla f(a) = \lambda\nabla g(a)$ para algunos $\lambda$ . (Parametrize the level set near $a$ by the implicit function theorem and differentiate $t \mapsto f(\gamma(t))$ .) Aplicación: extremos de $f(x,y) = xy$ en el círculo $x^2 + y^2 = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 15.6.

Desde $\nabla g(a) \neq 0$ , un parcial, digamos $\frac{\partial g}{\partial y}(a) \neq 0$ : el teorema de la función implícita (Compañero de Teorema 15.14) parametriza $\{g = 0\}$ cerca de $a = (a_1, a_2)$ como $\gamma(t) = (t, y(t))$ con $y$ $C^1$ , $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (diferenciar $g(t, y(t)) = 0$ ). La función de una variable $t \mapsto f(\gamma(t))$ tiene un extremo local en $t = a_1$ :

0 = \frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t))\Big|_{a_1} = \partial_x f(a) + \partial_y f(a)\,y'(a_1) = \partial_x f(a) - \partial_yf(a)\frac{\partial_x g(a)}{\partial_y g(a)} :

los vectores $\nabla f(a)$ y $\nabla g(a)$ tienen proporcional coordenadas: $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ con $\lambda = \frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$ .

Aplicación: en el círculo, $\nabla(xy) = (y, x)$ paralelo a $(2x, 2y)$ fuerza a $y^2 = x^2$ ; con la restricción, los candidatos son $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valor $\frac12$ ) y $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, -\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (valor $-\frac12$ ): máx. $\frac12$ , mín. $-\frac12$ (alcanzado: el círculo es compacto).

Ejercicio 15.7 ★★

Determine los extremos de $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy + x - y$ en $\R^2$ , luego su máximo y mínimo en el triángulo cerrado con vértices $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ (puntos críticos interiores, luego las tres aristas, luego los vértices).

Solución

Solución de Ejercicio 15.7.

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$ : resolviendo, $x = -\frac13$ , $y = \frac13$ . Hessiano $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ , definido positivo: mínimo global de la cuadrática $f$ , valor $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$ .

Sobre el triángulo $T$ : el punto crítico interior $(-\frac13, \frac13) \notin T$ (negativo $x$ ). Aristas: en $y = 0$ , $x \in \intcc{0}{1}$ : $f = x^2 + x$ , crecientes: extremos $0$ y $2$ . encendido $x = 0$ : $f = y^2 - y$ , mínimo $-\frac14$ en $y = \frac12$ , valores $0$ y $0$ en los extremos. En $x + y = 1$ : sustituir $y = 1 - x$ , $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$ ; en $\intcc{0}{1}$ : mínimo $-\frac{1}{12}$ en $x = \frac16$ , valores $0$ (en $x=0$ ) y $2$ (en $x=1$ ). Vértices: $f(0,0) = 0$ , $f(1,0) = 2$ , $f(0,1) = 0$ . Global en $T$ : mínimo $-\frac14$ en $(0, \frac12)$ , máximo $2$ en $(1, 0)$ .

Ejercicio 15.8 ★★★

Sea $f \colon \R^2 \to \R^2$ , $f(x, y) = (x + y^2,\; y + x^2)$ . Demuestre que $f$ es un difeomorfismo local cerca de $0$ , calcule $\dd(f^{-1})_{(0,0)}$ y encuentre el $r$ más grande tal que $\dd f$ es invertible en la pelota $\norm{(x,y)}_2 < r$ (compute $\det J_f$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.8.

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$ , $\det J_f = 1 - 4xy$ . En $0$ : $\det = 1 \neq 0$ : difeomorfismo local (Teorema 15.14), con

\dd(f^{-1})_{(0,0)} = (J_f(0))^{-1} = I_2 .

Invertibilidad en una pelota: necesita $4\abs{xy} < 1$ en todo momento; en $\norm{(x,y)}_2 < r$ , $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} < \frac{r^2}{2}$ , entonces $r = \frac{1}{\sqrt2}$ funciona; y es más grande: en $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ , de norma $\frac{1}{\sqrt2}$ , $\det J_f = 0$ .

Ejercicio 15.9 ★★★

(Rolle falla, el valor medio sobrevive) Dé $f \colon \R \to \R^2$ , $C^1$ , con $f(0) = f(2\pi)$ pero $f'(t) \neq 0$ para todos $t$ (sin Rolle con valor vectorial). Luego verifique en su ejemplo el valor medio desigualdad de Teorema 15.5.

Solución

Solución de Ejercicio 15.9.

$f(t) = (\cos t, \sin t)$ : $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$ , pero $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ tiene norma $1$ , nunca cero: no hay punto donde la derivada desaparece — Rolle no tiene un vector análogo. la media la desigualdad de valores se mantiene cómodamente: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq 2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$ .

Ejercicio 15.10 ★

Calcule el diferencial y el gradiente de $f(x) = \norm x_2^2$ y de $g(x) = \langle Ax, x\rangle$ en $\R^n$ ( $A$ a matriz cuadrada, no asumida simétrico), y el hessiano de cada uno. ¿Para qué $A$ es $g$ convexo?

Solución

Solución de Ejercicio 15.10.

$f(x+h) - f(x) = 2\langle x, h\rangle + \norm h^2$ : $\dd f_x = 2\langle x, \cdot\rangle$ , $\nabla f(x) = 2x$ , Arpillera $2I$ (constante). Para $g$ :

g(x + h) - g(x) = \langle Ax, h\rangle + \langle Ah, x\rangle + \langle Ah, h\rangle = \bigl\langle (A + A^{\mathsf T})x,\ h\bigr\rangle + O(\norm h^2),

entonces $\nabla g(x) = (A + A^{\mathsf T})x$ y $H_g = A + A^{\mathsf T}$ , constantes. Por Ejercicio 15.11, $g$ es convexo si $A + A^{\mathsf T}$ es semidefinido positivo — sólo importa la parte simétrico de $A$ , como de hecho $g(x) = \langle \frac{A + A^{\mathsf T}}2 x, x\rangle$ .

Ejercicio 15.11 ★★

Sea $f \colon \R^n \to \R$ $C^2$ . Demuestre que $f$ es convexo si y sólo si su hessiano $H_x$ es semidefinido positivo en cada $x$ (reduce to one variable: $t \mapsto f(a + t(b-a))$ ; use Taylor–Lagrange in one direction, and for the converse evaluate $\varphi''$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 15.11.

$f$ es convexo si su restricción a cada segmento es convexa, es decir, si cada $\varphi(t) = f(a + tv)$ es convexo. por la cadena regla $\varphi''(t) = \langle H_{a+tv}\,v,\ v\rangle$ .

Si todos los hessianos son semidefinidos positivos: $\varphi'' \geq 0$ , por lo que cada $\varphi$ es convexo (volumen del año 1) y $f$ es convexo. Por el contrario, si $f$ es convexo, cada $\varphi$ es convexo, por lo que $\varphi''(0) \geq 0$ : $\langle H_a v, v\rangle \geq 0$ para cada $a$ y cada dirección $v$ : todos los hessianos son positivos semidefinido.

Ejercicio 15.12 ★★★

(Un teorema inverso global) Sea $g \colon \R^n \to \R^n$ $C^1$ con $\vertiii{\dd g_x} \leq k < 1$ para todos los $x$ y $f = \mathrm{id} + g$ .

Mostrar $\norm{f(x) - f(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y}$ : $f$ es inyectivo, con continuo inverso en su imagen.
Demuestre que para cada $y \in \R^n$ el mapa $x \mapsto y - g(x)$ es una contracción del espacio completo $\R^n$ , y concluir por el teorema del punto fijo de Banach (Teorema 4.12) que $f$ es sobreyectivo.
Concluimos que $f$ es una biyección de $\R^n$ con $(1-k)^{-1}$ -Lipschitz inversa — a global contraparte de Teorema 15.14 (que, por el contrario, es puramente local).

Solución

Solución de Ejercicio 15.12.

Por el valor medio de la desigualdad (Teorema 15.5) aplicado a $g$ : $\norm{g(x) - g(y)} \leq k\norm{x-y}$ , entonces

$\norm{f(x) - f(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} :$

$f$ es inyectivo y $f^{-1}$ (definido en la imagen) es $\frac{1}{1-k}$ -Lipschitz.
Reparar $y$ ; $T(x) = y - g(x)$ satisface $\norm{T(x) - T(x')} = \norm{g(x') - g(x)} \leq k\norm{x - x'}$ : a contracción del espacio completo $\R^n$ . Banach (Teorema 4.12) da un punto fijo $x^* = y - g(x^*)$ , es decir $f(x^*) = y$ : $f$ es sobreyectivo.
$f$ es, por tanto, una biyección de $\R^n$ con $\frac{1}{1-k}$ -Inversa de Lipschitz: una inversa global teorema, donde la pequeñez de $\dd g$ en todas partes reemplaza la hipótesis de invertibilidad local de Teorema 15.14.

15.5 Problema: El cálculo de matrices — Jacobi, exponencial y el grupo ortogonal

Problema 15.1

El campo de juego más limpio para el cálculo diferencial es el espacio $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ en sí: sus mapas más naturales — producto, inverso, determinante, exponencial — tener diferenciales de sorprendente elegancia. Este problema los calcula. todos: el serie neumann, el diferencial del inverso, la fórmula de jacobi para el determinante con La fórmula de Liouville. como dividendo, el matriz exponencial con $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ , y finalmente el grupo ortogonal $O_n$ como un nivel suave establecido con el matrices antisimétricas como espacio tangente — diferencial Geometría en embrión. En todo momento, $\vertiii\cdot$ es el operador norma subordinado a $\norm\cdot_2$ y $\langle X, Y\rangle = \operatorname{tr}(X^{\mathsf T}Y)$ el producto interno de Frobenius.

Parte I — The Neumann series.

Demuestre la submultiplicatividad, $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ , y deduzca ese polinomio Los mapas de $A$ (productos de matriz, determinante, traza) son continuo en $\mathcal M_n(\R)$ .
Para $\vertiii X < 1$ , muestre que $\sum_{k\geq0}X^k$ converge absolutamente en $\mathcal M_n(\R)$ (Teorema 5.21), que su suma es $(I - X)^{-1}$ , y que

$\vertiii{(I - X)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii X}, \qquad (I - X)^{-1} = I + X + O\bigl(\vertiii X^2\bigr) .$
Deduzca que $GL_n(\R)$ es abierto: si $A$ es invertible y $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ , entonces $A + H$ es reversible. Deduzca también que $GL_n(\R)$ es denso en $\mathcal M_n(\R)$ (perturb $A$ by $\varepsilon I$ : $\det(A + \varepsilon I)$ is a nonzero polynomial in $\varepsilon$ ).
Demuestre que el mapa de inversión $\Phi(A) = A^{-1}$ es continuo en $GL_n(\R)$ .

Parte II — First diferenciales.

Demuestre que el mapa de cuadratura $A \mapsto A^2$ es diferenciable con diferencial $H \mapsto AH + HA$ , y más generalmente que $A \mapsto A^k$ tiene diferencial $H \mapsto \sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}$ . ¿Por qué uno no puede escribir $kA^{k-1}H$ ? en general?
Demuestre que $\Phi(A) = A^{-1}$ es diferenciable en $GL_n(\R)$ con

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$

(write $(A + H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1}$ and expand by question 2). Compara la fórmula con el caso escalar $n = 1$ .
Para una curva $C^1$ $t \mapsto A(t) \in GL_n(\R)$ , deduzca $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = -A^{-1}A'A^{-1}$ y expandir $t \mapsto (I + tB)^{-1}$ al primer pedido en $t = 0$ .
Calcule el diferencial de $f(A) = \operatorname{tr}(A^k)$ e identifique su gradiente para el producto interno de Frobenius:

$\dd f_A(H) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr), \qquad \nabla f(A) = k\,\bigl(A^{k-1}\bigr)^{\mathsf T} .$
Las mismas preguntas para $f(A) = \operatorname{tr} (A^{\mathsf T}A) = \norm A_F^2$ : diferencial, gradiente y el hessiano (constante); concluir que $\norm\cdot_F^2$ es estrictamente convexo.

Parte III — Jacobi’s formula.

Demostrar

$\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H + O\bigl(\vertiii H^2\bigr)$

(expand $\det(e_1 + h_1, \dots, e_n + h_n)$ by multilinearity in the columns: terms with at least two $h$ -columns are $O(\vertiii H^2)$ ): $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ .
Para $A$ invertible, deduzca

$\dd(\det)_A(H) = \det(A)\, \operatorname{tr}\bigl(A^{-1}H\bigr) .$
Muestre que para cada $A$ (invertible o no), $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}}(A) = C_{ij}$ , el $(i,j)$ cofactor (Expansión de Laplace a lo largo de la fila $i$ ), de modo que con el adjunto $\operatorname{adj}A = \operatorname{com}(A)^{\mathsf T}$ :

$\dd(\det)_A(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)\,H\bigr), \qquad \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) ,$

recuperando la pregunta 11 cuando $A$ es invertible ( $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ ). esto es la fórmula de jacobi: $\bigl(\det A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl( \operatorname{adj}(A(t))\,A'(t)\bigr)$ .
(fórmula de Liouville) Sea $A(t)$ una curva $C^1$ de matrices que satisfacen la ecuación diferencial lineal $A'(t) = M(t)A(t)$ . probar

$\bigl(\det A(t)\bigr)' = \operatorname{tr}\bigl(M(t)\bigr)\,\det A(t), \qquad\text{hence}\qquad \det A(t) = \det A(0)\, \exp\Bigl(\int_0^t\operatorname{tr}M\Bigr)$

(use $\operatorname{adj}(A)\,A = \det(A)I$ and the cyclic invariance of the trace) — el wronskiano identidad que el capítulo de ecuaciones diferenciales utilizar constantemente.
Demuestre que $SL_n(\R) = \{\det = 1\}$ es un nivel suave establecer: en cada $A \in SL_n(\R)$ el diferencial $\dd(\det)_A$ es un mapa lineal sobreyectivo en $\R$ (evaluate it at $H = \frac1nA$ ).

Parte IV — The matriz exponencial.

Muestra que $\eu^A = \sum_{k\geq0}\frac{A^k}{k!}$ converge absolutamente para cada $A$ , normalmente en cada bola, con $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ ; y que $\eu^A$ depende continuamente en $A$ .
Demuestre que $AB = BA$ implica $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ (producto cauchy, legitimate by absolute convergence); deducir que $\eu^A$ es siempre invertible, con mapas inversos $\eu^{-A}$ : $\exp$ $\mathcal M_n(\R)$ en $GL_n(\R)$ .
Demuestre que $t \mapsto \eu^{tA}$ es $C^1$ (de hecho $C^\infty$ ) con

$\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A$

(differentiate the series term by term on segments: the derived series converges normalmente).
Probar la identidad

$\det\bigl(\eu^{A}\bigr) = \eu^{\operatorname{tr}A}$

(apply Liouville’s formula, question 13, to $A(t) = \eu^{tA}$ ). Comprobaciones de cordura: $n = 1$ ; nilpotente $A$ ; y las matrices de traza cero aterrizan en $SL_n(\R)$ .
Mostrar $\eu^H = I + H + O(\vertiii H^2)$ , por lo que $\exp$ es diferenciable en $0$ con $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$ ; concluir con la función inversa teorema (Teorema 15.14) que $\exp$ es un difeomorfismo $C^1$ de una vecindad de $0$ en una vecindad de $I$ : cada matriz cercana a la La identidad tiene un logaritmo.
Muestre que $\exp$ asigna matrices simétrico a simétrico positivo definido matrices, biyectivamente (diagonalizar; la inversa es la espectral logaritmo).

Part V — The orthogonal group as a level set.

Deje $F(A) = A^{\mathsf T}A$ , de $\mathcal M_n(\R)$ a las matrices simétrico $S_n$ . Calcule $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ y demuestre que en cada $A \in O_n = F^{-1}(I)$ este diferencial es sobreyectivo en $S_n$ (given $S \in S_n$ , try $H = \frac12 AS$ ): $O_n$ es un conjunto de niveles suaves, de dimensión $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ .
Demuestre que cada curva $C^1$ $A(t) \in O_n$ con $A(0) = I$ tiene una velocidad antisimétrico $A'(0)$ , y por el contrario, para $K$ antisimétrico la curva $\eu^{tK}$ se queda en $O_n$ : el espacio tangente de $O_n$ en $I$ son exactamente las matrices antisimétricas.
Mostrar $\det\eu^{K} = 1$ para $K$ antisimétrico (pregunta 18): la curva exponencial vive en el grupo de rotación $SO_n$ . Calcúlelo completamente para $n = 2$ : con $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , demuestre

$\eu^{\theta J} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} :$

el matriz exponencial is la rotación por $\theta$ , y las definiciones de series de coseno y seno reaparecer dentro de una matriz.
(El truco de la densidad) Usando la densidad de $GL_n(\R)$ (pregunta 3) y continuidad, se extienden de invertible a todas las matrices la identidad

$\operatorname{adj}(AB) = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$

(for invertible $A, B$ both sides equal $\det(AB)(AB)^{-1}$ ; both sides are polynomial in the entries).
Síntesis. En una oración cada uno: (i) cuál anteriormente Los capítulos proporcionan el motor de cada parte. (lo completo y álgebras normadas; el espectro teorema; el teorema de la función inversa); (ii) cuál fórmula de este problema las ecuaciones diferenciales el capítulo se apoyará y dónde; (iii) qué $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ y $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ dicen sobre rastreo y determinante como “volumen infinitesimal y global”; (iv) qué hace el volumen del Año 3 con las preguntas 21–23 (Grupos de Lie y sus álgebras de Lie).

Solución

Solución de Problema 15.1.

1. $\norm{ABx} \leq \vertiii A\norm{Bx} \leq \vertiii A\vertiii B\norm x$ : toma el control de $\norm x = 1$ . Los productos matriciales, $\det$ y $\operatorname{tr}$ son polinomiales. funciones de las entradas, por lo tanto continuo ( $\mathcal M_n(\R) \simeq \R^{n^2}$ , todos los normas equivalentes: Teorema 5.13).

2. $\sum\vertiii{X^k} \leq \sum\vertiii X^k < \infty$ : la serie converge absolutamente, por lo tanto converge (Teorema 5.21). De $(I - X)\sum_{k\leq N}X^k = I - X^{N+1} \to I$ : la suma es $(I - X)^{-1}$ . Norma: $\leq \sum\vertiii X^k = \frac{1}{1 - \vertiii X}$ ; y

(I - X)^{-1} - I - X = \sum_{k\geq2}X^k = X^2(I - X)^{-1}, \qquad \vertiii{X^2(I-X)^{-1}} \leq \frac{\vertiii X^2}{1 - \vertiii X} = O(\vertiii X^2).

3. $A + H = A(I + A^{-1}H)$ con $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : invertible por pregunta 2: la bola abierto de radio $\vertiii{A^{-1}}^{-1}$ alrededor de $A$ se encuentra en $GL_n(\R)$ . Densidad: $\det(A + \varepsilon I)$ es un grado- $n$ polinomio en $\varepsilon$ con coeficiente principal $1$ : tiene un número finito de raíces, por lo que hay $\varepsilon_k \to 0$ con $A + \varepsilon_kI$ invertible, convergiendo a $A$ .

4. Para $\vertiii H < \frac{1}{2\vertiii{A^{-1}}}$ :

(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl[(I + A^{-1}H)^{-1} - I\bigr]A^{-1},

de norma como máximo $\frac{\vertiii{A^{-1}H}}{1 - \vertiii{A^{-1}H}}\,\vertiii{A^{-1}} \leq 2\vertiii{A^{-1}}^2\vertiii H \to 0$ : $\Phi$ es continuo en cada $A \in GL_n(\R)$ .

5. $(A+H)^2 = A^2 + AH + HA + H^2$ : el mapa $H \mapsto AH + HA$ es lineal y el error $H^2$ es $O(\vertiii H^2)$ . Expandiendo $(A + H)^k$ y ordenando por número de factores $H$ : la parte lineal es $\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$ y los términos con $\geq 2$ los factores $H$ están limitados por $\binom k2$ ; muchos productos de norma $\leq \vertiii A^{k-2}\vertiii H^2$ -escala: $O(\vertiii H^2)$ . No se puede contraer la suma a $kA^{k-1}H$ porque $H$ y $A$ no necesita conmutar — la suma es el no conmutativo correcto derivado.

6. Para pequeño $H$ :

(A+H)^{-1} = (I + A^{-1}H)^{-1}A^{-1} = \bigl(I - A^{-1}H + O(\vertiii H^2)\bigr)A^{-1} = A^{-1} - A^{-1}HA^{-1} + O(\vertiii H^2) :

$\dd\Phi_A(H) = -A^{-1}HA^{-1}$ , lineal en $H$ . Para $n = 1$ : $\dd(1/a)(h) = -h/a^2$ , el derivado familiar.

7. Regla de cadena a lo largo de la curva: $\bigl(A(t)^{-1}\bigr)' = \dd\Phi_{A(t)}(A'(t)) = -A(t)^{-1}A'(t)A(t)^{-1}$ . En $A(t) = I + tB$ , $t = 0$ : $(I + tB)^{-1} = I - tB + O(t^2)$ .

8. Por pregunta 5 e invariancia cíclica de la traza:

\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\Bigl(\sum_{i=0}^{k-1} A^iHA^{k-1-i}\Bigr) = k\operatorname{tr}\bigl(A^{k-1}H\bigr) .

Contra el producto Frobenius, $\dd f_A(H) = \operatorname{tr}\bigl((\nabla f)^{\mathsf T}H\bigr)$ requiere $(\nabla f)^{\mathsf T} = kA^{k-1}$ : $\nabla f(A) = k\,(A^{k-1})^{\mathsf T}$ .

9. $f(A + H) - f(A) = 2\operatorname{tr} (A^{\mathsf T}H) + \operatorname{tr}(H^{\mathsf T}H)$ : el diferencial es $H \mapsto 2\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}H) = 2\langle A, H\rangle$ , por lo que $\nabla f(A) = 2A$ ; el segundo orden término es exactamente $\norm H_F^2$ : el hessiano es el doble del identidad forma cuadrática, positiva definida y constante, por lo que $\norm\cdot_F^2$ es estrictamente convexo (la fórmula de Taylor es exacto aquí).

10. Por multilinealidad en las columnas, $\det(I + H) = \sum_{S\subseteq\{1,\dots,n\}}\det(M_S)$ donde $M_S$ tiene columna $h_j$ para $j \in S$ y $e_j$ en caso contrario. $S = \varnothing$ da $1$ ; $S = \{j\}$ da el determinante de $I$ con columna $j$ reemplazado por $h_j$ , es decir, su $j$ -ésima entrada $h_{jj}$ , sumando a $\operatorname{tr}H$ ; cada término con $\abs S \geq 2$ es un determinante con al menos dos columnas de tamaño $O(\vertiii H)$ , por lo tanto $O(\vertiii H^2)$ (mapas multilineales en un espacio de dimensión finita están acotados), y hay finitamente muchos. Entonces $\det(I + H) = 1 + \operatorname{tr}H + O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ .

11. $\det(A + H) = \det A\,\det(I + A^{-1}H) = \det A\,\bigl(1 + \operatorname{tr}(A^{-1}H) + O(\vertiii H^2)\bigr)$ : el diferencial es $H \mapsto \det(A)\operatorname{tr}(A^{-1}H)$ .

12. Expansión de Laplace a lo largo de la fila $i$ : $\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}$ , y los cofactores $C_{ij}$ no involucran fila $i$ : $\frac{\partial\det}{\partial a_{ij}} = C_{ij}$ . Por lo tanto

\dd(\det)_A(H) = \sum_{i,j}C_{ij}h_{ij} = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(A)^{\mathsf T} H\bigr) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)H\bigr), \qquad \nabla(\det)(A) = \operatorname{com}(A) .

Para reversibles $A$ , $\operatorname{adj}A = \det(A)A^{-1}$ recupera la pregunta 11. A lo largo de una curva $C^1$ , la regla de la cadena dice $(\det A(t))' = \operatorname{tr}(\operatorname{adj} (A(t))\,A'(t))$ : Fórmula de Jacobi.

13. Con $A' = MA$ y $\operatorname{adj}(A)A = \det(A)I$ :

(\det A)' = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}(A)MA \bigr) = \operatorname{tr}\bigl(A\operatorname{adj}(A)M\bigr) = \det A\;\operatorname{tr}M

(ciclicidad; $A\operatorname{adj}A = \det(A) I$ también). el La ODE escalar lineal $y' = \operatorname{tr}(M(t))\,y$ tiene la solución única $y(t) = y(0)\exp\bigl(\int_0^t \operatorname{tr}M\bigr)$ (Año 1): Fórmula de Liouville.

14. En $A \in SL_n(\R)$ , tome $H = \frac1nA$ : $\dd(\det)_A\bigl(\tfrac1nA\bigr) = \frac1n\det(A) \operatorname{tr}(A^{-1}A) = \frac1n\cdot1\cdot n = 1 \neq 0$ : el diferencial es una forma lineal distinta de cero, por lo tanto sobreyectiva en $\R$ en cada punto del nivel establecido: $SL_n(\R)$ es un conjunto de nivel liso (de dimensión $n^2 - 1$ ).

15. $\sum_k\vertiii{A^k/k!} \leq \sum\vertiii A^k/k! = \eu^{\vertiii A}$ : convergencia absoluta (argumento lo completo de la pregunta 2), con convergencia normal en cada bola $\vertiii A \leq R$ (unida $R^k/k!$ independiente de $A$ ). Cada suma parcial es continuo (polinomio); el El límite uniforme de bolas es continuo: $A \mapsto \eu^A$ es continuo, con $\vertiii{\eu^A} \leq \eu^{\vertiii A}$ .

16. Ambas series convergen absolutamente, por lo que cauchy producto es legítima (Teorema 7.14):

\eu^A\eu^B = \sum_{n\geq0}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^n\binom nkA^kB^{n-k} = \sum_{n\geq0}\frac{(A+B)^n}{n!} = \eu^{A+B},

la identidad binomial que requiere $AB = BA$ . Con $B = -A$ : $\eu^A\eu^{-A} = \eu^0 = I$ : cada $\eu^A \in GL_n(\R)$ .

17. La serie $\sum t^kA^k/k!$ y sus series derivadas $\sum t^{k-1}A^k/(k-1)! = A\sum t^{k-1}A^{k-1}/(k-1)!$ convergen normalmente en cada segmento $\abs t \leq T$ (límites $T^k\vertiii A^k/k!$ ): el teorema de diferenciación de series (Teorema 10.11, aplicado entrada por entrada) da $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ ; factoraje $A$ a la derecha aparece $\eu^{tA}A$ . Iterando: $C^\infty$ .

18. $A(t) = \eu^{tA}$ satisface $A'(t) = A\,A(t)$ : La fórmula de Liouville (pregunta 13) con la constante $M = A$ da $\det\eu^{tA} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ (valor $1$ en $t = 0$ ); en $t = 1$ , $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ . Comprobaciones: $n = 1$ es el exponencial en sí; un nilpotente $A$ tiene $\operatorname{tr}A = 0$ y $\eu^A$ unipotentes de determinante $1$ ; $\operatorname{tr}A = 0$ da $\det\eu^A = 1$ : el Las matrices de seguimiento de cero se envían a $SL_n(\R)$ .

19. $\eu^H - I - H = \sum_{k\geq2}H^k/k!$ , de norma $\leq \vertiii H^2\eu^{\vertiii H} = O(\vertiii H^2)$ : $\dd(\exp)_0 = \mathrm{id}$ , reversible. Además $\exp$ es $C^1$ : según la pregunta 5, el candidato diferencial $H \mapsto \sum_k\frac1{k!}\sum_iA^iHA^{k-1-i}$ es un convergente normalmente serie de mapas lineales dependiendo continuamente de $A$ (límites $\vertiii A^{k-1}/(k-1)!$ en bolas), por lo que los parciales existen y son continuo (Teorema 15.2 y la serie teorema de transferencia). El teorema de la función inversa (Teorema 15.14) se aplica en $0$ : $\exp$ es un $C^1$ difeomorfismo de una vecindad de $0$ en un vecindad de $I$ — las matrices cercanas a $I$ tienen logaritmos.

20. Para simétrico $S = PDP^{\mathsf T}$ (espectral teorema): $\eu^S = P\eu^DP^{\mathsf T}$ es simétrico con valores propios $\eu^{\lambda_i} > 0$ : positivo definido. Sobreyectividad: un $Q = P\operatorname{diag}(\mu_i)P^{\mathsf T}$ ( $\mu_i > 0$ ) positivo definido es $\eu^S$ para $S = P\operatorname{diag}(\ln\mu_i)P^{\mathsf T}$ . Inyectividad: $\eu^S$ determina sus espacios propios, que son exactamente los de $S$ (en cada espacio propio de $S$ para $\lambda$ , $\eu^S$ actúa como $\eu^\lambda$ ; distinto $\lambda$ dar distinto $\eu^\lambda$ ), y tomando $\ln$ del valores propios recupera $S$ . Entonces $\exp$ es una biyección de matrices simétrico sobre definidos positivos.

21. $F(A + H) = A^{\mathsf T}A + A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A + H^{\mathsf T}H$ : $\dd F_A(H) = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$ (valores en $S_n$ ; error $O(\vertiii H^2)$ ). En $A \in O_n$ y para $S \in S_n$ , el elección $H = \frac12AS$ da

A^{\mathsf T}\cdot\tfrac12AS + \tfrac12(AS)^{\mathsf T}A = \tfrac12 S + \tfrac12 S^{\mathsf T} = S :

sobreyectivo. $O_n = F^{-1}(I)$ es un conjunto de niveles suaves de dimensión $n^2 - \dim S_n = \frac{n(n-1)}2$ .

22. Diferenciando $A(t)^{\mathsf T}A(t) = I$ en $t = 0$ (con $A(0) = I$ ): $A'(0)^{\mathsf T} + A'(0) = 0$ : antisimétrico. Por el contrario, para $K^{\mathsf T} = -K$ : $(\eu^{tK})^{\mathsf T}\eu^{tK} = \eu^{tK^{\mathsf T}} \eu^{tK} = \eu^{-tK}\eu^{tK} = I$ (transponer la serie término a término; los exponentes conmutan): la curva permanece en $O_n$ , con velocidad $K$ en $t = 0$ . Espacio tangente en $I$ $=$ el matrices antisimétricas, de la dimensión esperada $\frac{n(n-1)}2$ .

23. $\operatorname{tr}K = 0$ para $K$ antisimétrico, entonces $\det\eu^K = \eu^0 = 1$ (pregunta 18): el exponencial aterriza en $SO_n$ . Para $n = 2$ : $J^2 = -I$ , entonces $J^{2m} = (-1)^mI$ , $J^{2m+1} = (-1)^mJ$ y

\eu^{\theta J} = \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m}}{(2m)!}\Bigr)I + \Bigl(\sum_m\frac{(-1)^m\theta^{2m+1}}{(2m+1)!}\Bigr)J = \cos\theta\,I + \sin\theta\,J ,

la rotación por $\theta$ : las series seno y coseno en vivo dentro del matriz exponencial.

24. Para $A, B$ invertible: $\operatorname{adj}(AB) = \det(AB)(AB)^{-1} = \det(B)\det(A)B^{-1}A^{-1} = \operatorname{adj}(B)\operatorname{adj}(A)$ . Ambos lados del identidad son mapas polinomiales (por lo tanto continuo) de las entradas de $(A, B)$ ; coinciden en el subconjunto denso $GL_n\times GL_n$ de $\mathcal M_n\times\mathcal M_n$ (pregunta 3: aproximada cada factor), por lo que coinciden en todas partes.

25. (i) La parte que ejecuté en lo completo de dimensión finita espacios normados (absolutamente convergen series convergentes), Parte IV sobre el mismo más el teorema espectral de la pregunta 20, Parte V logaritmo local en el teorema de la función inversa. (ii) El El capítulo de ecuaciones diferenciales se apoya en la fórmula de Liouville. (pregunta 13) para el Wronskiano de sistemas lineales, y en $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ (pregunta 17), que es la afirmación de que $\eu^{tA}$ resuelve $X' = AX$ . (iii) $\dd(\det)_I = \operatorname{tr}$ dice que el rastro es el tasa infinitesimal de cambio de volumen, y $\det\eu^A = \eu^{\operatorname{tr}A}$ integra esa declaración globalmente. (iv) El volumen del año 3 nombra las estructuras: $O_n$ y $SL_n(\R)$ son grupos de Lie, sus espacios tangentes en $I$ (matrices antisimétricas y de traza cero) son álgebras de Lie, y $\exp$ es el puente entre ellos.