Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

4Topología de los espacios métricos

La topología de la recta real (volumen del primer año) se generaliza, casi sin cambiar una palabra, a cualquier conjunto dotado de una distancia. La ganancia es enorme: sucesiones de funciones, matrices, curvas —todas pasan a ser puntos de espacios métricos, y los tres pilares que aquí se demuestran —la completitud con el teorema del punto fijo de Banach, la compacidad y la conexidad— se les aplican de manera uniforme. Este capítulo es la columna vertebral de toda la mitad de análisis del libro.

4.1 Espacios métricos

Definición 4.1

Un espacio métrico es un conjunto $X$ dotado de una aplicación $d \colon X \times X \to \R_+$ tal que, para todos $x, y, z$ :

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

Bolas: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (abierta), $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (cerrada). Un subconjunto $A \subseteq X$ pasa a ser un espacio métrico con la distancia inducida.

Ejemplo 4.2

$\R$ con $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ con cualquiera de las distancias

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

el conjunto $C(\intcc{a}{b})$ de las funciones continuas con la distancia del supremo $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finita, pues $f - g$ está acotada); cualquier conjunto con la distancia discreta ( $d(x,y) = 1$ para $x \neq y$ ). Las distancias procedentes de normas son el objeto del Capítulo 5.

Definición 4.3 (Topología de un espacio métrico)

$U \subseteq X$ es abierto cuando todo punto de $U$ es centro de una bola contenida en $U$ ; $F$ es cerrado cuando su complementario es abierto. Los entornos, el interior, la clausura, la densidad y la frontera se definen exactamente como en la recta real (volumen del primer año), con bolas en lugar de intervalos, y los enunciados allí demostrados —uniones e intersecciones de abiertos, caracterizaciones del interior y de la clausura, la clausura como el menor cerrado que contiene al conjunto— se trasladan con las mismas demostraciones. Las bolas abiertas son abiertas y las cerradas, cerradas (desigualdad triangular).

Ejemplo 4.4 (Interior, clausura y frontera de un mismo conjunto)

En $\R$ , sea $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ . Interior: $\intoo{0}{1}$ —alrededor de cualquier $x \in \intoo01$ una bola pequeña se queda dentro de $A$ ; alrededor de $1$ , toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ se sale de $A$ por la derecha, luego $1$ no es interior; y el punto aislado $2$ tampoco lo es—. Clausura: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (el punto $0$ es límite de puntos de $A$ y no se añade nada más). Frontera (clausura menos interior): $\{0, 1, 2\}$ . Conviene recordar las asimetrías: un extremo puede pertenecer al conjunto sin ser interior ( $1$ ), puede ser adherente sin pertenecer ( $0$ ), y un punto aislado es su propia frontera ( $2$ ). La misma contabilidad funciona literalmente en cualquier espacio métrico, con bolas en lugar de intervalos.

Definición 4.5 (Límites, continuidad)

$x_n \to x$ en $X$ cuando $d(x_n, x) \to 0$ . Una aplicación $f \colon X \to Y$ entre espacios métricos es continua en $a$ cuando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

equivalentemente (misma demostración que en $\R$ ), $f(x_n) \to f(a)$ para toda sucesión $x_n \to a$ . $f$ es lipschitziana de constante $k$ cuando $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ siempre; entonces es uniformemente continua y, en particular, continua.

Teorema 4.6 (Caracterización global de la continuidad)

$f \colon X \to Y$ es continua (en todo punto) si y solo si la imagen recíproca de todo abierto es abierta, si y solo si la imagen recíproca de todo cerrado es cerrada.

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Sea $V \subseteq Y$ abierto y $a \in f^{-1}(V)$ : alguna bola $B(f(a), \varepsilon) \subseteq V$ ; la continuidad en $a$ proporciona un $\delta$ con $f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a), \varepsilon)$ , luego $B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(V)$ .

( $\Leftarrow$ ) Dados $a$ y $\varepsilon$ , el conjunto $f^{-1}\bigl(B(f(a), \varepsilon)\bigr)$ es abierto y contiene a $a$ , luego contiene una bola $B(a, \delta)$ : esa es la definición de continuidad en $a$ . Los cerrados: por paso al complementario (Proposición 1.1). ∎

4.2 Espacios completos

Definición 4.7

Una sucesión $(x_n)$ es de Cauchy cuando $\sup_{p, q \geq N} d(x_p, x_q) \to 0$ al tender $N \to \infty$ . Un espacio métrico es completo cuando toda sucesión de Cauchy converge. Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy siempre; los subconjuntos cerrados de un espacio completo son completos, y los subconjuntos completos de cualquier espacio son cerrados (mismas demostraciones que en $\R$ : volumen del primer año).

Ejemplo 4.8 (De Cauchy pero sin límite)

En $X = \Q$ con la distancia usual, las truncaciones decimales de $\sqrt2$ ,

x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414, \quad\dots

cumplen $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$ : son de Cauchy en $\Q$ . Un límite en $\Q$ sería también el límite en $\R$ , a saber $\sqrt2 \notin \Q$ : no existe límite en $X$ . La incompletitud es la presencia de esos “límites fantasma”; la completitud de $\R$ se diseñó en el volumen del primer año precisamente para dar hogar a toda sucesión de Cauchy.

Teorema 4.9

$\R^n$ (con cualquiera de las tres distancias del Ejemplo 4.2) y $\bigl(C(\intcc{a}{b}), d_\infty\bigr)$ son completos.

Demostración. $\R^n$ : una sucesión de Cauchy lo es en cada coordenada (pues $\abs{x_i - y_i} \leq d(x,y)$ para las tres distancias), así que cada coordenada converge (completitud de $\R$ , volumen del primer año), y la convergencia coordenada a coordenada implica la convergencia para $d_\infty$ (hay un número finito de coordenadas) y por tanto para las tres (las tres distancias se dominan mutuamente salvo constantes: $d_\infty \leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$ ).

$C(\intcc{a}{b})$ : sea $(f_n)$ de Cauchy para $d_\infty$ . Para cada $x$ , la sucesión $(f_n(x))$ es de Cauchy en $\R$ (pues $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq d_\infty(f_p, f_q)$ ) y converge a cierto $f(x)$ . Pasando al límite en $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq \varepsilon$ (válido para $p, q \geq N_\varepsilon$ y todo $x$ ) cuando $q \to \infty$ : $\abs{f_p(x) - f(x)} \leq \varepsilon$ para todo $x$ , es decir, $d_\infty(f_p, f) \leq \varepsilon$ : convergencia uniforme. El límite es continuo: dado $\varepsilon$ , tómese $p$ con $\sup\abs{f_p - f} \leq \varepsilon$ y úsese después la continuidad de $f_p$ en $a$ junto con la descomposición en tres términos

\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_p(x)} + \abs{f_p(x) - f_p(a)} + \abs{f_p(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon

para $x$ próximo a $a$ . (Este “argumento de los $3\varepsilon$ ” reaparece como teorema del límite uniforme en el Capítulo 10.) ∎

Ejemplo 4.10 (Abiertos y cerrados reconocidos por continuidad)

La caracterización global (Teorema 4.6) es la herramienta cotidiana para la contabilidad topológica. En $\R^2$ : el conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ es abierto, pues es $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para las funciones continuas $g(x,y) = x^2 + y^2$ y $h(x, y) = y - x^3$ : intersección de dos imágenes recíprocas abiertas. En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : el conjunto de las funciones con $f(0) = f(1)$ y $\int_0^1 f = 0$ es cerrado, pues es la imagen recíproca de $\{(0,0)\}$ por la aplicación continua $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ con valores en $\R^2$ (cada coordenada es $1$ -lipschitziana, como en el Ejercicio 4.3). El método no dibuja nunca: se exhibe una aplicación continua, se lee el conjunto como imagen recíproca y se invoca el teorema.

Ejemplo 4.11 (Un cerrado definido por infinitas condiciones)

En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ , el conjunto

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{para todos } x, y\}

de las funciones $1$ -lipschitzianas es cerrado, pese a estar recortado por una cantidad no numerable de condiciones: para cada par fijo $(x, y)$ , la aplicación $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ es continua (las evaluaciones son $1$ -lipschitzianas), de modo que cada condición aislada define un cerrado, y $L$ es la intersección de esa familia; y una intersección arbitraria de cerrados es cerrada. La misma plantilla certifica el carácter cerrado del conjunto de funciones monótonas, del de funciones convexas y del de funciones acotadas por una $g$ fija: los límites uniformes heredan toda propiedad expresable como familia de restricciones puntuales cerradas. Lo que los límites uniformes no heredan automáticamente —la derivabilidad, por ejemplo— es justamente lo que al Capítulo 10 le costará trabajo.

Teorema 4.12 (Teorema del punto fijo de Banach)

Sea $X$ un espacio métrico completo no vacío y $f \colon X \to X$ una contracción: lipschitziana de constante $k < 1$ . Entonces $f$ tiene un único punto fijo $\ell$ , y toda órbita $x_{n+1} = f(x_n)$ converge a $\ell$ , con

d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 - k}\, d(x_1, x_0) .

Demostración. Unicidad: dos puntos fijos están a distancia $\leq k$ veces esa misma distancia. Existencia: $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$ por inducción, de modo que para $q > p$ ,

d(x_q, x_p) \leq \sum_{j=p}^{q-1} d(x_{j+1}, x_j) \leq d(x_1, x_0) \sum_{j \geq p} k^j = \frac{k^p}{1-k}\, d(x_1, x_0) \xrightarrow[p\to\infty]{} 0 :

la sucesión es de Cauchy y por tanto converge a cierto $\ell$ ; la continuidad de $f$ permite pasar $x_{n+1} = f(x_n)$ al límite: $\ell = f(\ell)$ . La cota del error es la estimación anterior con $q \to \infty$ . ∎

Ejemplo 4.13 (Una ecuación integral)

Sobre $X = C(\intcc{0}{1})$ (completo, Teorema 4.9), consideremos $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$ . Para $f, g \in X$ :

\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq \frac12\, d_\infty(f, g),

así que $T$ es una contracción de razón $\frac12$ : tiene un único punto fijo continuo, la solución de $f' = \frac f2$ , $f(0) = 1$ , es decir, $\eu^{x/2}$ . Este esquema, industrializado, se convierte en el teorema de Cauchy–Lipschitz del Capítulo 16.

Ejemplo 4.14 (Un punto fijo numérico: $x = \cos x$ )

Sobre el completo $X = \intcc{0}{1}$ , la aplicación $f = \cos$ envía $X$ en $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ y es una contracción: por la desigualdad del valor medio,

\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr) \abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y}, \qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .

Banach: hay una única solución de $x = \cos x$ en $\intcc01$ (y por tanto en $\R$ : todo punto fijo real está en $\intcc{-1}{1}$ y, tras una aplicación, en $\intcc{\cos 1}{1}$ ), y la iteración $x_{n+1} = \cos x_n$ converge a ella desde cualquier punto de partida: $x_\infty \approx 0.739085$ , el célebre número que se obtiene aporreando la tecla del coseno de una calculadora. La cota del error predice un decrecimiento en $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ , es decir, alrededor de una cifra por cada $13$ pulsaciones; la cota a posteriori del problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 14) certifica cada paso sobre la marcha.

4.3 Compacidad

Definición 4.15

Un espacio métrico $X$ es compacto cuando toda sucesión de $X$ admite una subsucesión convergente en $X$ (la propiedad de Bolzano–Weierstrass). Un subconjunto es compacto cuando lo es con la distancia inducida.

Teorema 4.16 (Primeras propiedades)

Un subconjunto compacto es cerrado y acotado; un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto.
En $\R^n$ vale el recíproco: compacto $\iff$ cerrado y acotado.
La imagen continua de un espacio compacto es compacta; una función real continua sobre un compacto no vacío está acotada y alcanza sus cotas.
(Heine) Una aplicación continua sobre un espacio compacto es uniformemente continua.
Productos: si $X, Y$ son compactos, también lo es $X \times Y$ (con $d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) = d(x,x') + d(y,y')$ ).

Demostración. (1) Los mismos argumentos que en la recta (volumen del primer año): una sucesión que se escapa al infinito o que converge fuera no tiene subsucesión convergente dentro; para la segunda afirmación, extráigase en el compacto ambiente y úsese que el subconjunto es cerrado.

(2) Las sucesiones acotadas de $\R^n$ tienen subsucesiones convergentes componente a componente: extráigase sobre la primera coordenada (Bolzano–Weierstrass en $\R$ ), después, de esa subsucesión, sobre la segunda, y así sucesivamente ( $n$ extracciones sucesivas); el ser cerrado mantiene el límite dentro.

(3) Dada $(f(x_n))$ , extráigase $x_{\varphi(n)} \to x \in X$ ; la continuidad da $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(X)$ . Caso real: la compacidad de $f(X) \subseteq \R$ lo hace cerrado y acotado, y $\sup f(X) \in f(X)$ (el supremo de un conjunto es adherente a él, y $f(X)$ es cerrado).

(4) La demostración del primer año se traslada literalmente; hela aquí, en versión métrica. Supongamos $f \colon X \to Y$ continua sobre el compacto $X$ pero no uniformemente continua: algún $\varepsilon > 0$ admite, para todo $n$ , puntos con

d_X(x_n, y_n) \leq \frac{1}{n+1} \qquad\text{y}\qquad d_Y\bigl(f(x_n), f(y_n)\bigr) > \varepsilon .

Extraigamos $x_{\varphi(n)} \to a \in X$ ; entonces también $y_{\varphi(n)} \to a$ (las distancias mutuas tienden a $0$ ). La continuidad en $a$ envía ambas sucesiones imagen a $f(a)$ , luego $d_Y\bigl(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})\bigr) \to 0$ , en contradicción con la separación uniforme $> \varepsilon$ . La compacidad aportó exactamente una cosa: el punto de acumulación $a$ en el que aplicar la continuidad ordinaria.

(5) Extráigase sobre las coordenadas en $X$ y después, de nuevo, sobre las coordenadas en $Y$ . ∎

Ejemplo 4.17 (El teorema de Heine, con y sin compacidad)

Sobre $\intcc{0}{1}$ , la función $x \mapsto x^2$ es uniformemente continua —Heine lo afirma sin cálculo alguno, pero la estimación directa es instructiva—:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

de modo que $\delta = \varepsilon/2$ sirve para todos los puntos a la vez. Sobre $\R$ , esa misma función no es uniformemente continua: con $x_n = n$ e $y_n = n + \frac1n$ , la separación $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ mientras que $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : ningún $\delta$ único sirve para $\varepsilon = 1$ . El mecanismo queda a la vista: la constante de Lipschitz local $\abs{x + y}$ está acotada sobre un compacto y no lo está sobre $\R$ ; el teorema de Heine es exactamente la afirmación de que la compacidad pone un techo uniforme a esas constantes locales.

Método 4.18 (Cómo demostrar que un conjunto es compacto)

Tres vías, por orden de frecuencia. (1) Reconocimiento en el ambiente: en $\R^n$ (o en cualquier espacio normado de dimensión finita, Capítulo 5), compruébese que es cerrado —por lo general como imagen recíproca, Ejemplo 4.10— y acotado. (2) Herencia: un cerrado dentro de un compacto conocido es compacto; una unión finita o un producto de compactos es compacto; la imagen continua de un compacto es compacta. (3) A mano: extráigase una subsucesión convergente de una sucesión arbitraria, normalmente mediante extracciones sucesivas coordenada a coordenada. Para demostrar la no compacidad basta un testigo: una sucesión sin subsucesión convergente, casi siempre puntos a distancia mutua $\geq \varepsilon$ .

Ejemplo 4.19 (Distancias entre conjuntos: la compacidad se gana el sueldo)

Sean $K$ compacto, $F$ cerrado y $K \cap F = \emptyset$ en un espacio métrico. Entonces

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

la función $x \mapsto d(x, F)$ es continua (Ejercicio 4.11) y positiva sobre $K$ (pues $d(x, F) = 0$ pondría $x \in \overline F = F$ ), luego alcanza un mínimo positivo sobre el compacto $K$ (Teorema 4.16 (3)). La compacidad no es decorativa: para dos cerrados el ínfimo puede anularse sin alcanzarse; en $\R^2$ , la hipérbola $F_1 = \{xy = 1\}$ y el eje $F_2 = \{y = 0\}$ son cerrados disjuntos con $d(F_1, F_2) = 0$ (los puntos $(n, \frac1n)$ se acercan al eje). La huida al infinito es justamente lo que la compacidad prohíbe.

Teorema 4.20 (Borel–Lebesgue)

Un espacio métrico $X$ es compacto si y solo si todo recubrimiento de $X$ por abiertos admite un subrecubrimiento finito.

Demostración. ( $\Leftarrow$ ) Supongamos que $(x_n)$ no tiene ninguna subsucesión convergente. Afirmamos que todo $x \in X$ tiene una bola $B(x, r_x)$ que contiene $x_n$ solo para un número finito de índices $n$ : en caso contrario, toda bola $B(x, \frac1{k+1})$ contendría infinitos términos y, eligiendo índices

\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots \quad\text{con}\quad x_{\varphi(k)} \in B\Bigl(x, \frac{1}{k+1}\Bigr)

(posible en cada paso precisamente porque quedan infinitos candidatos), se construiría una subsucesión convergente a $x$ . Las bolas $B(x, r_x)$ recubren $X$ ; si un número finito de ellas recubriera $X$ , el conjunto de índices $\N$ sería unión finita de conjuntos finitos: absurdo.

( $\Rightarrow$ ) Dos pasos. Número de Lebesgue: para un recubrimiento abierto $(U_i)$ de un compacto $X$ existe $\rho > 0$ tal que toda bola de radio $\rho$ está contenida en algún $U_i$ . En caso contrario, para cada $n$ tómese $x_n$ tal que $B(x_n, \frac{1}{n+1})$ no esté en ningún $U_i$ ; extráigase $x_{\varphi(n)} \to x \in U_{i_0} \supseteq B(x, r)$ ; para $n$ grande, $B(x_{\varphi(n)}, \frac{1}{\varphi(n)+1}) \subseteq B(x, r) \subseteq U_{i_0}$ : contradicción. Precompacidad: para todo $\rho > 0$ , un número finito de bolas de radio $\rho$ recubre $X$ . En caso contrario, elíjase inductivamente $x_{n+1}$ fuera de $B(x_0, \rho) \cup \dots \cup B(x_n, \rho)$ : la sucesión tiene distancias mutuas $\geq \rho$ , luego no tiene ninguna subsucesión de Cauchy y, por tanto, ninguna convergente: contradicción. Combinando ambos: recúbrase $X$ con un número finito de bolas de radio $\rho$ (el número de Lebesgue), cada una dentro de algún $U_i$ ; se obtiene un subrecubrimiento finito. ∎

Ejemplo 4.21 (Una $\varepsilon$ -red, contada)

La precompacidad (de la demostración del Teorema 4.20) es muy concreta en $\intcc{0}{1}$ : para $\varepsilon > 0$ , las $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ bolas de radio $\varepsilon$ centradas en $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ lo recubren —unas $\frac1{2\varepsilon}$ bolas—, y ningún recubrimiento puede arreglárselas con menos de $\frac{1}{2\varepsilon}$ (cada bola cubre longitud a lo sumo $2\varepsilon$ ). En $\intcc01^2$ el recuento se eleva al cuadrado, al orden $\varepsilon^{-2}$ : los números de recubrimiento crecen como $\varepsilon^{-d}$ en dimensión $d$ , una cara cuantitativa de la compacidad y la razón de que las bolas unidad de dimensión infinita del Capítulo 5 (donde no existe ninguna $\frac13$ -red finita) no puedan ser compactas.

Ejemplo 4.22 (La compacidad leída en los recubrimientos)

El intervalo semiabierto $\intoc{0}{1}$ está recubierto por los abiertos $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$ , $n \geq 1$ ; toda subfamilia finita tiene un índice máximo $N$ y deja fuera $\intoc{0}{\frac1N}$ : no hay subrecubrimiento finito, luego $\intoc{0}{1}$ no es compacto, cosa que la definición sucesional ve mediante $x_n = \frac1n$ , cuyo límite $0$ se escapa. En cambio, añadir el único punto $0$ repara ambos diagnósticos a la vez: sobre $\intcc{0}{1}$ , todo recubrimiento de ese tipo ha de contener un abierto que contenga a $0$ , el cual se traga todo un segmento inicial, y un número finito de abiertos remata el resto. Los dos lenguajes del Teorema 4.20 fallan o triunfan siempre a la vez: los recubrimientos detectan la huida exactamente allí donde lo hacen las sucesiones.

Observación 4.23 (Perspectivas dentro de este volumen)

Este capítulo es el muro de carga del volumen; conviene ver dónde soporta peso cada pilar. Completitud: el criterio de Cauchy pasa a ser el criterio de convergencia de series en espacios de Banach (Capítulo 7), la convergencia uniforme del Capítulo 10 es exactamente la convergencia en el completo $\bigl(C, d_\infty\bigr)$ , y Cauchy–Lipschitz (Capítulo 16) es el teorema del punto fijo de Banach disfrazado de ecuación integral. Compacidad: demuestra la equivalencia de normas (Capítulo 5), la existencia de extremos para la optimización del Capítulo 15 y la existencia de mejores aproximaciones (problema de fin de semana del Capítulo 5). Conexidad: globaliza enunciados locales —la unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales, el teorema del valor intermedio sobre curvas (Capítulo 18) y las dos componentes de $GL_n(\R)$ que la teoría de la orientación (Capítulo 20) mantendrá separadas—.

Observación 4.24 (Errores frecuentes)

(i) “Cerrado y acotado implica compacto” es un teorema sobre $\R^n$ , no sobre espacios métricos: un conjunto infinito con la métrica discreta es cerrado y acotado en sí mismo y no es compacto (Ejercicio 4.4), y la bola unidad cerrada de $C(\intcc01)$ también falla (Capítulo 5). (ii) La completitud es una propiedad de la distancia, no de la topología: $\R$ con $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ tiene las sucesiones convergentes de siempre y no es completo (Ejercicio 4.1). (iii) Una biyección continua no tiene por qué ser un homeomorfismo —la parametrización de la circunferencia del Ejercicio 4.7—; la compacidad del espacio de partida lo repara. (iv) El teorema de Banach necesita $k < 1$ de manera uniforme: la condición $d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ por sí sola no garantiza nada en un espacio no compacto (Ejercicio 4.5). (v) Conexo no implica conexo por caminos en general, aunque para los abiertos de espacios normados que aparecen en este libro ambas nociones coinciden (Capítulo 5).

Observación 4.25 (Dónde se usa este capítulo)

En toda la mitad de análisis. La completitud de $C(\intcc{a}{b})$ alimenta los teoremas de convergencia del Capítulo 10 y la teoría de Cauchy–Lipschitz del Capítulo 16 (el problema de fin de semana de este capítulo ya demuestra el teorema local de Picard–Lindelöf); la compacidad da la equivalencia de normas en dimensión finita (Capítulo 5) y la existencia de extremos en el Capítulo 15; la conexidad sostiene los argumentos de valor intermedio del Capítulo 8 y la globalización de la unicidad para ecuaciones diferenciales. En el volumen del tercer año, la compacidad en espacios de funciones (el teorema de Arzelà–Ascoli) y el teorema de Baire (aquí, Ejercicio 4.12) pasan a ser herramientas de uso diario.

Las primeras etapas del conjunto de Cantor (): cada nivel suprime el tercio central abierto de cada segmento. La intersección C = _n C_n es compacta, tiene interior vacío y longitud nula y, sin embargo, es equipotente a ℝ; además reaparece como punto fijo de una contracción sobre conjuntos en el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22). — Las primeras etapas del conjunto de Cantor (Ejercicio 4.8): cada nivel suprime el tercio central abierto de cada segmento. La intersección $C = \bigcap_n C_n$ es compacta, tiene interior vacío y longitud nula y, sin embargo, es equipotente a $\R$ ; además reaparece como *punto fijo* de una contracción sobre conjuntos en el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22).

4.4 Conexidad

Definición 4.26

$X$ es conexo cuando no admite ninguna partición en dos abiertos no vacíos; equivalentemente, cuando sus únicos subconjuntos a la vez abiertos y cerrados son $\emptyset$ y $X$ . $X$ es conexo por caminos cuando dos puntos cualesquiera se unen mediante una aplicación continua $\gamma \colon \intcc{0}{1} \to X$ .

Teorema 4.27

Los subconjuntos conexos de $\R$ son exactamente los intervalos.
La imagen continua de un espacio conexo es conexa, de donde el teorema del valor intermedio general: una función real continua sobre un espacio conexo toma todos los valores comprendidos entre dos cualesquiera de sus valores.
Conexo por caminos $\Rightarrow$ conexo. (El recíproco es falso en general; sí vale para los abiertos de espacios normados, Capítulo 5.)

Demostración. (1) Un conjunto $A$ que no sea intervalo se salta algún $z$ comprendido entre dos de sus puntos: $A = (A \cap \intoo{-\infty}{z}) \cup (A \cap \intoo{z}{+\infty})$ lo parte en dos piezas no vacías y abiertas en $A$ . Recíprocamente, sea $I$ un intervalo e $I = U \cup V$ una partición en abiertos relativos no vacíos; tómense $a \in U$ y $b \in V$ , digamos $a < b$ , y póngase $s = \sup\,(U \cap \intcc{a}{b})$ , punto de $\intcc{a}{b} \subseteq I$ . Si $s \in U$ : entonces $s \neq b$ , y el ser $U$ abierto relativo coloca todo un intervalo alrededor de $s$ (intersecado con $I$ ) dentro de $U$ , de modo que hay puntos de $U \cap \intcc{a}{b}$ que superan a $s$ , en contra del supremo. Si $s \in V$ : el ser $V$ abierto relativo coloca un intervalo $\intoo{s - r}{s + r} \cap I$ dentro de $V$ ; pero el supremo es adherente a $U \cap \intcc{a}{b}$ , que ha de cortar a ese intervalo, en contradicción con $U \cap V = \emptyset$ . (Este es el argumento de abierto-y-cerrado del primer año para $\R$ , ejecutado dentro de $I$ .)

(2) Si $f(X) = U' \cup V'$ se parte en abiertos relativos no vacíos, entonces $X = f^{-1}(U') \cup f^{-1}(V')$ parte $X$ (Teorema 4.6). Valor intermedio: $f(X) \subseteq \R$ es conexo y por tanto un intervalo, por (1).

(3) Supongamos $X = U \cup V$ con ambos abiertos no vacíos, y unamos $a \in U$ con $b \in V$ mediante un camino $\gamma$ : entonces $\gamma^{-1}(U)$ y $\gamma^{-1}(V)$ parten $\intcc{0}{1}$ , en contra de (1). ∎

Ejemplo 4.28

$GL_n(\R)$ no es conexo: $\det$ es continua (un polinomio en las entradas) sobre $\R^*$ , que no es conexo; las imágenes recíprocas de $\R_+^*$ y $\R_-^*$ parten $GL_n(\R)$ . (Cada pieza es de hecho conexa por caminos, un ejercicio agradable que va más allá de lo que necesitamos.) En cambio, $GL_n(\C)$ sí es conexo por caminos: Ejercicio 4.10.

Ejemplo 4.29 (Un punto fijo que solo debe a la conexidad)

Toda $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ continua tiene un punto fijo, sin hipótesis de contracción ni iteración alguna. Consideremos $g(x) = f(x) - x$ , continua sobre el conexo $\intcc01$ :

g(0) = f(0) \geq 0, \qquad g(1) = f(1) - 1 \leq 0 ,

y el teorema del valor intermedio (Teorema 4.27 (2)) proporciona un cero de $g$ , es decir, un punto fijo de $f$ . Contrástese con Banach (Teorema 4.12): aquí la existencia es topológica y gratuita, pero se pierden la unicidad y el algoritmo — $f = \mathrm{id}$ tiene todos los puntos fijos, y la iteración de una $f$ que no contrae puede ciclar indefinidamente—. Los dos teoremas de punto fijo de este capítulo responden a preguntas distintas y con monedas distintas.

Ejemplo 4.30 ( $\R$ y $\R^2$ no son homeomorfos)

La conexidad es una huella dactilar topológica. Supongamos que $h \colon \R^2 \to \R$ fuera un homeomorfismo (una biyección continua con inversa continua). Quitemos un punto $a \in \R^2$ : la restricción $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ sigue siendo un homeomorfismo. Pero $\R^2$ menos un punto es conexo por caminos —únanse dos puntos cualesquiera por un segmento, dando un rodeo por un segundo segmento a través de un punto auxiliar si $a$ bloquea el directo—, luego es conexo (Teorema 4.27 (3)); mientras que $\R$ menos un punto se parte en dos semirrectas abiertas no vacías: no es conexo. Y la conexidad se conserva por aplicaciones continuas: contradicción. El plano y la recta son genuinamente distintos como espacios topológicos, hecho que el cardinal por sí solo (¡las biyecciones al estilo del Ejercicio 1.3 existen!) es demasiado grosero para percibir.

4.5 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

Sobre $\R$ , comprueba que $\delta(x, y) = \min(1, \abs{x - y})$ y $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ son distancias. ¿Qué sucesiones convergen para cada una? ¿Es $(\R, d)$ completo?

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$\delta$ : la simetría y la separación son claras; desigualdad triangular: $\min(1, u + v) \leq \min(1,u) + \min(1,v)$ para $u, v \geq 0$ (si alguno de los dos mínimos vale $1$ , el miembro derecho es $\geq 1$ ; en caso contrario vale $u + v$ ). $d$ : es el retroceso de $\abs{\cdot}$ por la aplicación inyectiva $\arctan$ , y los tres axiomas se transfieren.

Convergencia: para $\delta$ , $\delta(x_n, x) \to 0 \iff \abs{x_n - x} \to 0$ (para valores pequeños ambas distancias coinciden): las mismas sucesiones convergentes de siempre. Para $d$ : $d(x_n, x) \to 0 \iff \arctan x_n \to \arctan x \iff x_n \to x$ (continuidad y monotonía estricta de $\arctan$ y de su inversa en los rangos pertinentes): de nuevo, la convergencia usual.

$(\R, d)$ no es completo: $x_n = n$ cumple $d(x_p, x_q) = \abs{\arctan p - \arctan q} \to 0$ (ambos tienden a $\frac\pi2$ ), luego es de Cauchy; pero $(x_n)$ no converge para $d$ (su $d$ -límite sería un límite ordinario). La completitud es una propiedad de la distancia, no solo de las sucesiones convergentes.

Ejercicio 4.2 ★

En un espacio métrico, demuestra que toda sucesión convergente es de Cauchy y está acotada, y que una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente converge. Deduce de nuevo que los espacios métricos compactos son completos.

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy: $d(x_p, x_q) \leq d(x_p, \ell) + d(\ell, x_q)$ . Acotada: a partir de $N$ , $d(x_n, \ell) \leq 1$ ; y los finitos primeros términos también caben en algún radio.

De Cauchy con subsucesión convergente $x_{\varphi(n)} \to \ell$ : dado $\varepsilon$ , para $n$ grande, $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) \leq 2\varepsilon$ (el primer término, por ser de Cauchy, ya que $\varphi(n) \geq n$ ).

Compacto $\Rightarrow$ completo: una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente (compacidad) y por tanto converge.

Ejercicio 4.3 ★

En $\bigl(C(\intcc{0}{1}), d_\infty\bigr)$ , calcula la distancia entre $f(x) = x$ y $g(x) = x^2$ ; describe la bola cerrada $\overline B(0, 1)$ ; y demuestra que el conjunto $\{f : f(0) = 0\}$ es cerrado mientras que $\{f : f(0) > 0\}$ es abierto.

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{0}{1}} \abs{x - x^2} = \frac14$ (máximo de $x - x^2$ en $x = \frac12$ ).

$\overline B(0, 1) = \{f : \sup\abs f \leq 1\}$ : las funciones continuas con valores en $\intcc{-1}{1}$ .

$\{f : f(0) = 0\}$ es la imagen recíproca de $\{0\}$ por la evaluación $f \mapsto f(0)$ , que es $1$ -lipschitziana ( $\abs{f(0) - g(0)} \leq d_\infty(f,g)$ ) y por tanto continua: el conjunto es cerrado (Teorema 4.6). Análogamente, $\{f : f(0) > 0\}$ es la imagen recíproca del abierto $\intoo{0}{+\infty}$ , luego es abierto.

Ejercicio 4.4 ★★

Demuestra que el espacio métrico discreto $X$ (un conjunto cualquiera) es completo y que es compacto si y solo si $X$ es finito. ¿Qué subconjuntos son conexos?

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

Completo: una sucesión de Cauchy con $\varepsilon = \frac12$ es constante a partir de un índice y, por tanto, convergente.

Compacto si y solo si finito: si $X$ es finito, toda sucesión toma algún valor infinitas veces (subsucesión constante). Si $X$ es infinito, una sucesión de puntos distintos dos a dos tiene todas sus distancias mutuas iguales a $1$ : no hay subsucesión de Cauchy y, por tanto, tampoco convergente.

Subconjuntos conexos: los conjuntos unitarios (y $\emptyset$ ). Todo $A$ con dos puntos $x \neq y$ se parte como $\{x\} \cup (A \setminus\{x\})$ , ambos abiertos en $A$ (todo subconjunto de un espacio discreto es abierto, pues las bolas de radio $\frac12$ son unitarias).

Ejercicio 4.5 ★★

Sea $X$ compacto y $f \colon X \to X$ tal que

d\bigl(f(x), f(y)\bigr) < d(x, y) \quad \text{para todos } x \neq y .

Demuestra que $f$ tiene un único punto fijo (minimiza $x \mapsto d(x, f(x))$ ), y da un ejemplo sobre $X = \intco{1}{+\infty}$ (no compacto) sin punto fijo.

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

La función $g(x) = d(x, f(x))$ es continua sobre el compacto $X$ (pues $\abs{g(x) - g(y)} \leq 2d(x,y)$ , por dos desigualdades triangulares), así que alcanza su mínimo en cierto $a$ (Teorema 4.16). Si $f(a) \neq a$ :

g\bigl(f(a)\bigr) = d\bigl(f(a), f(f(a))\bigr) < d(a, f(a)) = g(a),

en contra de la minimalidad. Luego $f(a) = a$ ; la unicidad es la de siempre (dos puntos fijos $a \neq b$ darían $d(a,b) = d(f(a), f(b)) < d(a,b)$ ).

Ejemplo no compacto: $f(x) = x + \frac1x$ sobre $\intco{1}{+\infty}$ : $\abs{f(x) - f(y)} = \abs{x - y}\,\abs{1 - \frac{1}{xy}} < \abs{x - y}$ para $x \neq y$ (ya que $xy > 1$ ) y, sin embargo, $f(x) > x$ en todas partes.

Ejercicio 4.6 ★★

(Compactos encajados) Sea $(K_n)$ una sucesión decreciente de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico. Demuestra que $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ (toma $x_n \in K_n$ y extrae). Muestra con un ejemplo que unos cerrados encajados no vacíos de $\R$ pueden tener intersección vacía.

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

Tomemos $x_n \in K_n$ . Todos los términos a partir del índice $n$ están en $K_n$ ; en particular, toda la sucesión está en el compacto $K_0$ : extraigamos $x_{\varphi(k)} \to \ell$ . Para cada $n$ fijo, los términos $x_{\varphi(k)}$ con $\varphi(k) \geq n$ están en el cerrado $K_n$ , luego el límite $\ell \in K_n$ . Por tanto $\ell \in \bigcap K_n$ .

Contraejemplo con cerrados: $F_n = \intco{n}{+\infty}$ en $\R$ : encajados, cerrados, no vacíos y de intersección vacía.

Ejercicio 4.7 ★★

Sea $K$ compacto y $f \colon K \to Y$ continua y biyectiva. Demuestra que $f^{-1}$ es continua (usa los cerrados: Teorema 4.6 y Teorema 4.16). Da un contraejemplo sin compacidad ( $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ sobre $\intco{0}{2\pi}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

Que $f^{-1}$ sea continua significa que las imágenes $f(F)$ de los cerrados $F \subseteq K$ son cerradas (las imágenes recíprocas por $f^{-1}$ son las imágenes por $f$ ). Un cerrado $F$ del compacto $K$ es compacto (Teorema 4.16 (1)); su imagen continua $f(F)$ es compacta y, por tanto, cerrada. Luego $f^{-1}$ es continua y $f$ es un homeomorfismo.

Contraejemplo: $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ de $\intco{0}{2\pi}$ (no compacto) sobre la circunferencia unidad es una biyección continua, pero $\gamma^{-1}$ es discontinua en $(1,0)$ : los puntos de la circunferencia justo por debajo del eje tienen parámetros cercanos a $2\pi$ , no a $0$ .

Ejercicio 4.8 ★★

El conjunto de Cantor $C$ se obtiene de $\intcc{0}{1}$ suprimiendo reiteradamente los tercios centrales abiertos. Demuestra que $C$ es compacto, tiene interior vacío y es infinito; de hecho, equipotente a $\{0,1\}^{\N}$ (desarrollos en base $3$ con cifras $0$ y $2$ ; Ejercicio 1.3).

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

$C = \bigcap_n C_n$ , donde cada $C_n$ (unión de $2^n$ intervalos cerrados de longitud $3^{-n}$ ) es cerrado: $C$ es cerrado y acotado en $\R$ y, por tanto, compacto (Teorema 4.16 (2)).

Interior vacío: $C$ no contiene ningún intervalo de longitud $> 3^{-n}$ (está dentro de $C_n$ , cuyas componentes tienen esa longitud), y esto para todo $n$ .

Cardinal: los puntos de $C$ son exactamente los reales $\sum_{n\geq1} a_n 3^{-n}$ con cifras $a_n \in \{0, 2\}$ (en cada etapa, el tercio central suprimido elimina la cifra $1$ ); la aplicación $(a_n) \mapsto \sum a_n 3^{-n}$ es una biyección de $\{0,2\}^{\N^*}$ sobre $C$ (la inyectividad, como en el Ejercicio 1.3). Así pues, $C$ es equipotente a $\{0,1\}^{\N}$ : no numerable, pese a tener “longitud nula”.

Ejercicio 4.9 ★★★

Sea $X$ un espacio métrico compacto y $f \colon X \to X$ una isometría: $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ . Demuestra que $f$ es sobreyectiva. Indicación: si $a \notin f(X)$ , entonces $\varepsilon = d(a, f(X)) > 0$ (¿por qué?); estudia la órbita $a, f(a), f^2(a), \dots$ y prueba que sus puntos están a distancia mutua $\geq \varepsilon$ , en contradicción con la compacidad.

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

Supongamos $a \notin f(X)$ . La imagen $f(X)$ es compacta (imagen continua) y, por tanto, cerrada; luego

\varepsilon = d\bigl(a, f(X)\bigr) = \inf_{y \in f(X)} d(a, y) > 0

(el ínfimo de una función continua sobre un compacto se alcanza; si fuera $0$ , $a$ sería adherente al cerrado $f(X)$ y por tanto pertenecería a él).

Consideremos la órbita $x_n = f^n(a)$ (con $x_0 = a$ ). Para $p < q$ :

d(x_p, x_q) = d\bigl(f^p(a), f^p(f^{q-p}(a))\bigr) = d\bigl(a, f^{q-p}(a)\bigr) \geq \varepsilon,

(la isometría iterada $p$ veces; y $f^{q-p}(a) \in f(X)$ porque $q - p \geq 1$ ). Una sucesión con distancias mutuas $\geq \varepsilon$ no tiene subsucesión convergente, en contra de la compacidad. Por tanto $f(X) = X$ .

Ejercicio 4.10 ★★★

Demuestra que $GL_n(\C)$ es conexo por caminos. Indicación: dadas $A, B$ invertibles, considera $p(z) = \det\bigl((1 - z)A + zB\bigr)$ para $z \in \C$ : es un polinomio en $z$ no idénticamente nulo, luego tiene un número finito de raíces; une $0$ con $1$ en $\C$ mediante un camino que las evite.

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

Sean $A, B \in GL_n(\C)$ y $p(z) = \det\bigl((1-z)A + zB\bigr)$ : un polinomio en $z$ (cada entrada es afín en $z$ y el determinante es polinómico en las entradas). Como $p(0) = \det A \neq 0$ , $p$ no es idénticamente nulo y tiene un número finito de raíces $z_1, \dots, z_m$ (ninguna igual a $0$ ni a $1$ , pues $p(1) = \det B \neq 0$ ). El plano $\C$ menos un número finito de puntos es conexo por caminos: existe un camino de $0$ a $1$ que evita los $z_i$ (tómese una línea quebrada que pase por un punto alejado de todas las raíces, o un arco de circunferencia; los obstáculos son finitos). A lo largo de un camino así, $\gamma$ , la aplicación $t \mapsto (1 - \gamma(t))A + \gamma(t)B$ es un camino continuo dentro de $GL_n(\C)$ que va de $A$ a $B$ (el determinante no se anula en él). Así pues, $GL_n(\C)$ es conexo por caminos, al contrario que su primo real (Ejemplo 4.28): el plano complejo tiene sitio para rodear los obstáculos.

Ejercicio 4.11 ★★

Para $\emptyset \neq A \subseteq X$ , pongamos $d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)$ . Demuestra que $x \mapsto d(x, A)$ es $1$ -lipschitziana, que $d(x, A) = 0$ si y solo si $x \in \overline A$ , y que para cerrados disjuntos no vacíos $A, B$ la función

\varphi(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}

está bien definida, es continua y vale $0$ exactamente sobre $A$ y $1$ exactamente sobre $B$ : un “interruptor” continuo que separa dos cerrados disjuntos cualesquiera.

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

Lipschitz: para $a \in A$ , $d(x, a) \leq d(x, y) + d(y, a)$ ; tomando el ínfimo sobre $a$ : $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$ , e intercambiando $x$ e $y$ : $\abs{d(x,A) - d(y,A)} \leq d(x,y)$ .

Anulación: $d(x, A) = 0$ si y solo si existen $a_n \in A$ con $d(x, a_n) \to 0$ , si y solo si $x$ es límite de puntos de $A$ , si y solo si $x \in \overline A$ .

El interruptor: para cerrados disjuntos $A, B$ , el denominador $d(x,A) + d(x,B)$ no se anula nunca (ello obligaría a $x \in \overline A \cap \overline B = A \cap B = \emptyset$ ), de modo que $\varphi$ está bien definida y es continua como cociente de funciones continuas con denominador no nulo. $\varphi(x) = 0$ si y solo si $d(x, A) = 0$ , si y solo si $x \in A$ ; $\varphi(x) = 1$ si y solo si $d(x, B) = 0$ , si y solo si $x \in B$ ; y $0 \leq \varphi \leq 1$ en todas partes.

Ejercicio 4.12 ★★★

(Baire) Sea $X$ un espacio métrico completo y $(U_n)_{n\geq1}$ una sucesión de abiertos densos. Demuestra que $\bigcap_n U_n$ es denso en $X$ (dentro de cualquier bola, constrúyanse bolas cerradas encajadas $\overline B(x_n, r_n) \subseteq U_n$ con $r_n \to 0$ y úsese la completitud). Deduce que $\R$ no es unión numerable de cerrados de interior vacío y recupera —una vez más— que $\R$ no es numerable.

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

Sea $B(x_0, r_0)$ una bola cualquiera; hallemos en ella un punto de $\bigcap U_n$ . Como $U_1$ es denso y abierto, $U_1 \cap B(x_0, r_0)$ es no vacío y abierto: contiene una bola cerrada $\overline B(x_1, r_1)$ con $0 < r_1 \leq \frac{r_0}2$ (redúzcase el radio). Por inducción, $U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ es abierto no vacío: tómese $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ con $r_{n+1} \leq \frac{r_n}2$ . Para $p, q \geq n$ , tanto $x_p$ como $x_q$ están en $B(x_n, r_n)$ con $r_n \leq 2^{-n}r_0$ : la sucesión es de Cauchy y converge a cierto $\ell$ por completitud. Para cada $n$ , la cola de la sucesión está en la bola cerrada $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_0, r_0)$ , luego $\ell \in U_{n+1}$ para todo $n$ y $\ell \in \overline B(x_1, r_1) \subseteq B(x_0, r_0)$ . Por tanto $\bigcap_n U_n$ corta a toda bola: es denso.

Aplicación: si $\R = \bigcup_n F_n$ con $F_n$ cerrados de interior vacío, entonces los $U_n = \R \setminus F_n$ son densos ( $\overline{U_n} = \R$ si y solo si $F_n$ tiene interior vacío) y abiertos, y Baire da un punto de $\bigcap U_n = \R \setminus \bigcup F_n$ : contradicción. En particular, $\R \neq \bigcup_{x \in D} \{x\}$ para un $D$ numerable (los conjuntos unitarios son cerrados de interior vacío): $\R$ no es numerable, el Teorema 1.9 por otro camino.

4.6 Problema: la iteración de Picard

Completitud más contracción es una máquina de resolver: se le da una ecuación escrita como problema de punto fijo y devuelve existencia, unicidad, algoritmo y barras de error. Este problema de fin de semana pone la máquina a plena potencia sobre la ecuación $y' = f(t, y)$ : demostramos el teorema local de Picard–Lindelöf (el corazón no lineal de la teoría de Cauchy–Lipschitz del Capítulo 16), vemos cómo cada hipótesis se gana el sueldo a través de contraejemplos y recogemos dividendos puramente métricos: la dependencia continua respecto de los datos, la ecuación de Kepler y la autosemejanza del conjunto de Cantor.

Iteradas de Picard para y' = y, y(0) = 1: cada pasada por T(y)(t) = 1 + ∈t_0t y añade un término de Taylor, y la contracción comprime uniformemente toda la sucesión sobre \,t. — Iteradas de Picard para $y' = y$ , $y(0) = 1$ : cada pasada por $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ añade un término de Taylor, y la contracción comprime uniformemente toda la sucesión sobre $\eu^{\,t}$ .

Problema 4.1

Problema de fin de semana — el teorema de Picard–Lindelöf

En todo el problema, $t_0 \in \R$ , $y_0 \in \R$ , $a, b > 0$ , y $f$ es una función continua sobre el rectángulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a} \times \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ , acotada por $M = \sup_R\,\abs f$ y $L$ -lipschitziana en su segunda variable: $\abs{f(t, y) - f(t, z)} \leq L\abs{y - z}$ siempre que ambos puntos estén en $R$ . Pongamos

h = \min\Bigl(a, \frac bM\Bigr) \quad (\text{con } h = a \text{ si } M = 0), \qquad I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}.

Parte I — El escenario completo.

Demuestra las dos afirmaciones citadas en la Definición 4.7: un cerrado de un espacio métrico completo es completo, y un subconjunto completo de cualquier espacio métrico es cerrado. Deduce que todo cerrado de $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ es un espacio métrico completo.
Prueba que la aplicación $C(I) \to C(I)$ , $y \mapsto \bigl(t \mapsto \int_{t_0}^{t}y(s)\,\dd s\bigr)$ , es $h$ -lipschitziana para $d_\infty$ .
(Los puntos fijos se mueven menos que las aplicaciones) Sea $g \colon X \to X$ una contracción de razón $k$ de un espacio métrico, con punto fijo $\ell_g$ , y $\widetilde g \colon X \to X$ una aplicación cualquiera con un punto fijo $\ell_{\widetilde g}$ . Demuestra que

$d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) \leq \frac{d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)}{1 - k} \leq \frac{\sup_{x \in X} d\bigl(g(x), \widetilde g(x)\bigr)}{1 - k}.$
(El truco de la iterada) Sea $X$ completo y no vacío y $g \colon X \to X$ una aplicación —sin suponerla continua— tal que alguna iterada $g^m$ sea una contracción de razón $k$ . Demuestra que $g$ tiene un único punto fijo $\ell$ y que toda órbita $x_{n+1} = g(x_n)$ converge a $\ell$ . (Los puntos fijos de $g$ lo son de $g^m$ ; recíprocamente, $g(\ell)$ es punto fijo de $g^m$ ; sepárese la órbita según los restos módulo $m$ .)

Parte II — El teorema de Picard–Lindelöf.

Prueba que una función $y \colon I \to \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ es de clase $C^1$ con $y(t_0) = y_0$ e $y' = f(t, y)$ sobre $I$ si y solo si es continua y satisface la ecuación integral

$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s \qquad (t \in I).$
Sea $X_h = \{y \in C(I) : \abs{y(t) - y_0} \leq b \text{ sobre } I\}$ y sea $T$ definida por $T(y)(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s$ . Prueba que $X_h$ es un cerrado no vacío de $C(I)$ , y por tanto completo, y que $T$ envía $X_h$ en $X_h$ ; aquí es donde trabaja $h \leq b/M$ .
Prueba que $d_\infty\bigl(T(y), T(z)\bigr) \leq Lh\,d_\infty(y, z)$ sobre $X_h$ : si $Lh < 1$ , el teorema de Banach ya concluye. A continuación eliminamos esa condición de pequeñez.
Demuestra por inducción sobre $n$ que

$\abs{T^n(y)(t) - T^n(z)(t)} \leq \frac{\bigl(L\abs{t - t_0}\bigr)^n}{n!}\, d_\infty(y, z) \qquad (y, z \in X_h,\ t \in I),$

de modo que alguna iterada de $T$ es una contracción. Concluye con la pregunta 4 (el teorema de Picard–Lindelöf): el problema de Cauchy $y' = f(t,y)$ , $y(t_0) = y_0$ tiene exactamente una solución sobre $I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}$ con valores en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .
Prueba que la restricción “con valores en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ ” es automática: toda solución del problema de Cauchy definida sobre $I$ cuya gráfica arranque dentro de $R$ permanece en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ (considera el primer instante de salida y acota $\abs{y(t) - y_0}$ por $M\abs{t - t_0}$ ). Por tanto, la unicidad vale entre todas las soluciones sobre $I$ .
Pon en marcha la máquina sobre $y' = y$ , $y(0) = 1$ , partiendo de la constante $y^{(0)} \equiv 1$ : calcula las iteradas de Picard $y^{(n)}$ , identifícalas y describe la convergencia.

Parte III — Cada hipótesis se gana el sueldo.

(Sin Lipschitz no hay unicidad) Para $y' = 2\sqrt{\abs y}$ , $y(0) = 0$ : comprueba que $y \equiv 0$ y, para todo $c \geq 0$ , la función $y_c(t) = 0$ si $t \leq c$ e $y_c(t) = (t - c)^2$ si $t > c$ , son todas soluciones de clase $C^1$ sobre $\R$ . ¿Dónde exactamente deja $y \mapsto 2\sqrt{\abs y}$ de ser lipschitziana?
(La localidad es real) Para $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : resuelve explícitamente, da el intervalo maximal de existencia y calcula el mejor $h$ que el teorema puede certificar sobre todas las elecciones del rectángulo ( $a$ grande, $b$ libre): prueba que $h_{\max} = \sup_{b>0} \frac{b}{(1+b)^2} = \frac14$ , mientras que la solución verdadera vive sobre $\intoo{-\infty}{1}$ .
(La completitud no es decoración) Sobre $X = \Q \cap \intcc{1}{2}$ con la distancia usual, sea $g(x) = \frac x2 + \frac1x$ . Prueba que $g(X) \subseteq X$ , que $g$ es una contracción de razón $\frac12$ (desigualdad del valor medio) y que $g$ no tiene ningún punto fijo en $X$ . ¿Qué hipótesis del teorema de Banach falla y cuál es el punto fijo en el completado?
(Barras de error) Para una contracción $g$ de razón $k$ sobre un espacio completo, demuestra la estimación a posteriori $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}\,d(x_n, x_{n-1})$ . Para la aplicación de Herón $g(x) = \frac x2 + \frac 1x$ sobre $\intcc{1}{2}$ (con punto fijo $\sqrt2$ ), partiendo de $x_0 = \frac32$ : ¿cuántos pasos exige la cota a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1, x_0)$ para una precisión de $10^{-6}$ , y cuántos bastan en realidad? (Calcula $x_1, x_2, x_3$ y sus errores; la cota de la contracción es honesta pero pesimista, porque Herón converge cuadráticamente.)

Parte IV — Dependencia continua. En esta parte $Lh < 1$ , de modo que el propio $T$ es una contracción sobre $X_h$ (pregunta 7); escribimos $y[\,y_0\,]$ para la solución de valor inicial $y_0$ .

(Dependencia del valor inicial) Sea $z_0$ otro valor inicial con $\abs{z_0 - y_0}$ lo bastante pequeño para que ambos problemas quepan en el rectángulo. Usando la pregunta 3, demuestra que

$d_\infty\bigl(y[y_0], y[z_0]\bigr) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh}.$
(Intervalos largos por encadenamiento) Supongamos que las soluciones existen sobre un segmento largo cortado en $m$ trozos consecutivos en cada uno de los cuales se aplica la cota anterior con $Lh \leq \frac12$ . Prueba que la desviación crece a lo sumo en un factor $2$ por trozo, de donde $d_\infty \leq 2^m\abs{y_0 - z_0}$ en total: una cota exponencial en la longitud, sombra discreta del $\eu^{L\abs{t - t_0}}$ del lema de Gronwall (Capítulo 16).
(Dependencia del campo) Sea $g$ otro campo sobre $R$ , también $L$ -lipschitziano en $y$ , con $\sup_R \abs{f - g} \leq \varepsilon$ . Demuestra que las soluciones correspondientes cumplen $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ : el error de modelización se propaga linealmente.
(Parámetros) Si una familia $f_\lambda$ de campos es $L$ -lipschitziana en $y$ de manera uniforme y $\sup_R\abs{f_\lambda - f_\mu} \leq C\abs{\lambda - \mu}$ , deduce que $\lambda \mapsto y_\lambda$ es lipschitziana del espacio de parámetros en $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ .
(Los sistemas no cuestan nada) Explica por qué las partes I, II y IV valen literalmente para $y$ con valores en $\R^n$ (distancias del supremo construidas sobre cualquiera de las distancias del Ejemplo 4.2), y calcula después todas las iteradas de Picard para el sistema $y' = Ay$ , $y(0) = (c_1, c_2)$ , $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : prueba que la iteración se estaciona en la solución exacta después de un solo paso.

Parte V — Dividendos métricos y síntesis.

(Perturbación de la identidad) Sea $X$ un escenario completo de tipo espacio normado: tómese $X = C(I)$ o $X = \R^n$ . Si $\eta \colon X \to X$ es $k$ -lipschitziana con $k < 1$ , demuestra que $x \mapsto x + \eta(x)$ es una biyección de $X$ cuya inversa es $\frac1{1-k}$ -lipschitziana (para cada $y$ , aplica Banach a $x \mapsto y - \eta(x)$ ). Este es el corazón métrico del teorema de la función inversa (Capítulo 15).
(La ecuación de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ y $m \in \R$ , demuestra que $x = m + e\sin x$ tiene exactamente una solución, que la iteración $x_{n+1} = m + e\sin x_n$ converge a ella desde cualquier punto de partida, y estima: para $e = \frac12$ y $m = 1$ , ¿cuántas iteraciones garantizan un error $\leq 10^{-3}$ según la cota a priori? (La solución es $x \approx 1.4987$ .)
(El conjunto de Cantor es un punto fijo) Sean $S_1(x) = \frac x3$ y $S_2(x) = \frac x3 + \frac23$ sobre $\R$ , y sea $C$ el conjunto de Cantor del Ejercicio 4.8. Demuestra que $C = S_1(C) \cup S_2(C)$ y explica en una frase por qué ningún otro compacto no vacío satisface esa ecuación (la aplicación $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ es una contracción para una distancia entre compactos: la distancia de Hausdorff, formalizada en el volumen del tercer año).
(La conexidad globaliza la unicidad) Sea $f$ localmente lipschitziana en $y$ sobre un abierto, y sean $y, z$ dos soluciones de $y' = f(t, y)$ sobre un intervalo común $J$ con $y(t_0) = z(t_0)$ . Demuestra que $y = z$ sobre $J$ : prueba que $\{t \in J : y(t) = z(t)\}$ es no vacío, cerrado en $J$ y abierto en $J$ (por unicidad local), y usa la conexidad de los intervalos (Teorema 4.27).
(Sin pequeñez para las ecuaciones lineales) Para $y' = \alpha(t)y + \beta(t)$ con $\alpha, \beta$ continuas sobre un segmento $\intcc{A}{B}$ , adapta la pregunta 8 para probar que la cota factorial vale sobre el segmento entero, de modo que allí la existencia y la unicidad son globales: el caso escalar del teorema de Cauchy–Lipschitz del Capítulo 16, sin restricción alguna sobre la longitud $B - A$ .
(Síntesis) Una frase para cada punto: qué aportó la completitud; qué aportó la contracción; qué se ganó con el truco de la iterada frente al Banach simple; dónde intervino la conexidad; y qué contraejemplo de la parte III custodia cada hipótesis. Nombra el teorema cumbre y di qué sustituye a la contracción cuando $f$ es meramente continua (el teorema de Peano, vía compacidad en espacios de funciones: el Arzelà–Ascoli del volumen del tercer año).

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. Sea $F$ cerrado en el completo $X$ y $(x_n) \subseteq F$ de Cauchy: converge en $X$ a cierto $\ell$ , y $\ell \in F$ porque $F$ es cerrado (los límites de sucesiones de $F$ se quedan en $\overline F = F$ ): $F$ es completo. Recíprocamente, sea $A \subseteq X$ completo y $x \in \overline A$ : alguna sucesión de $A$ converge a $x$ ; es de Cauchy, luego converge en $A$ ; y como los límites son únicos, $x \in A$ , es decir, $A$ es cerrado. Puesto que $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ es completo (Teorema 4.9), sus cerrados son completos.

2. Para $y, z \in C(I)$ y $t \in I$ :

\Bigl|\int_{t_0}^{t}y - \int_{t_0}^{t}z\Bigr| \leq \abs{t - t_0}\,\sup_I\abs{y - z} \leq h\,d_\infty(y, z),

y se toma el supremo sobre $t$ .

3. Usando las dos ecuaciones de punto fijo y la desigualdad triangular:

d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) = d\bigl(g(\ell_g), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq d\bigl(g(\ell_g), g(\ell_{\widetilde g})\bigr) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq k\,d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr),

y se despeja $d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})$ (el coeficiente $1 - k$ es positivo). La segunda desigualdad acota la separación evaluada por la uniforme.

4. $g^m$ es una contracción de un espacio completo no vacío: tiene un único punto fijo $\ell$ (Teorema 4.12). Entonces $g^m(g(\ell)) = g(g^m(\ell)) = g(\ell)$ , así que $g(\ell)$ es punto fijo de $g^m$ y, por unicidad, $g(\ell) = \ell$ . Todo punto fijo de $g$ lo es de $g^m$ : de ahí la unicidad para $g$ . Órbitas: fijemos $r \in \{0, \dots, m-1\}$ ; la subsucesión $(x_{qm + r})_q$ es la órbita de $g^m$ que arranca en $x_r$ , luego converge a $\ell$ cuando $q \to \infty$ (Banach de nuevo). Las $m$ subsucesiones convergen al mismo $\ell$ , de donde $x_n \to \ell$ : dado $\varepsilon$ , cada clase de restos acaba a distancia $< \varepsilon$ , y las clases son finitas en número.

5. Si $y$ es continua con valores en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ , el integrando $s \mapsto f(s, y(s))$ es continuo sobre $I$ (composición), de modo que el miembro derecho es de clase $C^1$ con derivada $f(t, y(t))$ (teorema fundamental del cálculo, volumen del primer año). Si $y$ satisface la ecuación integral, es esa función $C^1$ , cumple $y(t_0) = y_0$ e $y' = f(t, y)$ . Recíprocamente, integrando $y' = f(s, y(s))$ de $t_0$ a $t$ se obtiene la ecuación integral.

6. $X_h$ contiene la función constante $y_0$ ; es cerrado por ser la imagen recíproca de $\intcc{0}{b}$ por la aplicación continua $y \mapsto d_\infty(y, y_0)$ (las distancias son $1$ -lipschitzianas) y, por tanto, completo por la pregunta 1. Estabilidad: para $y \in X_h$ y $t \in I$ ,

\abs{T(y)(t) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s\Bigr| \leq M\abs{t - t_0} \leq Mh \leq b ,

donde el último paso usa $h \leq b/M$ (o $M = 0$ , caso trivial). Y $T(y)$ es continua (incluso $C^1$ , pregunta 5): $T(y) \in X_h$ .

7. Para $t \in I$ :

\abs{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t}\abs{f(s, y(s)) - f(s, z(s))}\,\abs{\dd s} \leq L\abs{t - t_0}\,d_\infty(y,z) \leq Lh\,d_\infty(y,z).

Si $Lh < 1$ , $T$ es una contracción del completo no vacío $X_h$ y Banach da un único punto fijo que, por la pregunta 5, es la única solución.

8. Por inducción; el caso $n = 1$ es la desigualdad central de la pregunta 7. Supuesta la cota para $n$ , y para $t \geq t_0$ (el caso $t \leq t_0$ es simétrico):

\abs{T^{n+1}(y)(t) - T^{n+1}(z)(t)} \leq L\int_{t_0}^{t}\abs{T^n(y)(s) - T^n(z)(s)}\dd s \leq L\int_{t_0}^{t}\frac{L^n(s - t_0)^n}{n!}\dd s\; d_\infty(y,z),

y la integral vale $\frac{L^n(t - t_0)^{n+1}}{(n+1)!}$ : la cota para $n + 1$ . Por tanto $d_\infty(T^n y, T^n z) \leq \frac{(Lh)^n}{n!}d_\infty(y, z)$ , y $\frac{(Lh)^n}{n!} \to 0$ (la serie exponencial converge): alguna $T^m$ es una contracción. La pregunta 4 se aplica sobre el completo $X_h$ : $T$ tiene un único punto fijo, es decir, el problema de Cauchy tiene exactamente una solución sobre $I$ con valores en $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .

9. Sea $y$ solución del problema sobre $I$ y supongamos que el conjunto $E = \{t \in I, t > t_0 : \abs{y(t) - y_0} > b\}$ es no vacío (el lado $t < t_0$ es simétrico); sea $\tau = \inf E$ . Por continuidad, $\abs{y(s) - y_0} \leq b$ para $s \in \intcc{t_0}{\tau}$ , de modo que allí la gráfica está en $R$ , la ecuación integral vale hasta $\tau$ y

\abs{y(\tau) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{\tau}f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s\Bigr| \leq M(\tau - t_0) \leq Mh \leq b .

Si $\tau < t_0 + h$ , los puntos de $E$ arbitrariamente próximos a $\tau$ por la derecha dan, por continuidad, $\abs{y(\tau) - y_0} \geq b$ y por tanto $= b$ ; pero entonces la fórmula anterior obliga a $M(\tau - t_0) = Mh$ , es decir, $\tau = t_0 + h$ : contradicción. Así pues, $\tau = t_0 + h$ , $E \subseteq \{t_0 + h\}$ , y la fórmula (en $\tau = t_0 + h$ ) da $\abs{y(t_0 + h) - y_0} \leq b$ , en contra de la pertenencia a $E$ . Luego $E = \emptyset$ : toda solución sobre $I$ permanece en la banda, es punto fijo de $T$ en $X_h$ , y la unicidad es incondicional.

10. $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ . Partiendo de $y^{(0)} \equiv 1$ :

y^{(1)}(t) = 1 + t,\quad y^{(2)}(t) = 1 + t + \frac{t^2}2,\quad\dots\quad y^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}

(por inducción: integrar la suma parcial añade el término siguiente). Son las sumas parciales de Taylor de $\eu^{\,t}$ ; sobre cualquier $I$ acotado convergen uniformemente a $\eu^{\,t}$ (la cola está dominada por la serie numérica convergente $\sum h^k/k!$ ), que es en efecto la única solución.

11. $y \equiv 0$ es solución. Para $y_c$ : es de clase $C^1$ (ambos trozos lo son y en $t = c$ las derivadas coinciden: $0$ y $2(t - c) \to 0$ ), y para $t > c$ se tiene $y_c' = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{y_c}}$ ; para $t \leq c$ ambos miembros se anulan. Así pues, el problema de Cauchy $y(0) = 0$ tiene infinitas soluciones ( $c \geq 0$ arbitrario, más $y \equiv 0$ ). El campo $\varphi(y) = 2\sqrt{\abs y}$ no es lipschitziano cerca de $0$ : $\frac{\varphi(y) - \varphi(0)}{y - 0} = \frac{2}{\sqrt y} \to +\infty$ cuando $y \to 0^+$ , de modo que ninguna constante $L$ sirve en ningún entorno de $0$ , justo donde todas las soluciones se ramifican.

12. Separando variables (o comprobando directamente), la única solución local es $y(t) = \frac1{1 - t}$ , definida sobre $\intoo{-\infty}{1}$ y con explosión en $t = 1$ . Para el rectángulo $\intcc{-a}{a} \times \intcc{1 - b}{1 + b}$ : $M = \sup y^2 = (1 + b)^2$ , luego la semianchura certificada es $h = \min\bigl(a, \frac{b}{(1+b)^2}\bigr)$ . Maximizando $\frac{b}{(1+b)^2}$ : la derivada se anula en $b = 1$ , con valor $\frac14$ . Así pues, el teorema solo garantiza vida sobre $\intcc{-\frac14}{\frac14}$ , correctamente menos que la duración verdadera $1$ hacia delante e infinitamente menos hacia atrás: el teorema es local por naturaleza, y la explosión muestra que no puede ser de otro modo.

13. $g$ envía $\intcc12$ en sí mismo: $g$ decrece sobre $\intcc{1}{\sqrt2}$ y crece después (estúdiese $g'(x) = \frac12 - \frac1{x^2}$ ), con $g(1) = g(2) = \frac32$ y mínimo $g(\sqrt2) = \sqrt2 > 1$ : $g(\intcc12) \subseteq \intcc{\sqrt2}{\frac32} \subseteq \intcc12$ ; y $g$ envía racionales a racionales. Contracción: $\abs{g'(x)} = \abs{\frac12 - \frac1{x^2}} \leq \frac12$ sobre $\intcc12$ (pues $\frac1{x^2} \in \intcc{\frac14}{1}$ ), de modo que la desigualdad del valor medio da $\abs{g(x) - g(y)} \leq \frac12\abs{x - y}$ . Un punto fijo cumpliría $\frac x2 = \frac1x$ , es decir, $x^2 = 2$ : imposible en $\Q$ . La hipótesis que falla es la completitud de $X$ ( $\Q \cap \intcc12$ no es completo); en el completado $\intcc12$ el punto fijo es $\sqrt2$ : el teorema de Banach ejecutado sobre los racionales crea el irracional.

14. A posteriori: $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, \ell) \leq k\,d(x_{n-1}, x_n) + k\,d(x_n, \ell)$ , de donde $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}d(x_n, x_{n-1})$ . Herón desde $x_0 = \frac32$ : $x_1 = \frac{17}{12}$ , $d(x_1, x_0) = \frac1{12}$ , $k = \frac12$ ; la cota a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0) = \frac{2^{-n+1}}{12}$ baja de $10^{-6}$ por primera vez en $n = 18$ . En realidad, $x_1 = \frac{17}{12} \approx 1.41667$ (error $2.5\cdot10^{-3}$ ), $x_2 = \frac{577}{408} \approx 1.4142157$ (error $2.1\cdot10^{-6}$ ) y $x_3 \approx 1.41421356237469$ (error $1.6\cdot10^{-12}$ ): bastan tres pasos. Cada paso de Herón eleva al cuadrado aproximadamente el error (convergencia cuadrática, fenómeno de Newton: Capítulo 8); la estimación de la contracción, que solo lo reduce a la mitad, es honesta para el peor caso pero aquí resulta pesimista.

15. Apliquemos la pregunta 3 con $g = T_{y_0}$ (una contracción de razón $Lh < 1$ ) y $\widetilde g = T_{z_0}$ , cuyo punto fijo es $y[z_0]$ . Para cualquier $y$ ,

\abs{T_{y_0}(y)(t) - T_{z_0}(y)(t)} = \abs{y_0 - z_0},

(las integrales son idénticas), de modo que $\sup_y d_\infty(T_{y_0}(y), T_{z_0}(y)) = \abs{y_0 - z_0}$ , y la pregunta 3 da

d_\infty(y[y_0], y[z_0]) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh} .

16. En cada trozo, la pregunta 15 aplicada tomando como datos iniciales los valores en el extremo izquierdo acota la desviación en el extremo derecho:

d_\infty \leq \frac{1}{1 - 1/2}\,(\text{desviación izquierda}) = 2\,(\text{desviación izquierda}) .

Por inducción sobre los $m$ trozos, la desviación final es a lo sumo $2^m\abs{y_0 - z_0}$ , y la desviación uniforme sobre todo el segmento obedece la misma cota (el supremo de cada trozo queda controlado en su etapa). Con trozos de longitud $h \asymp \frac1{2L}$ , el factor es $2^m = 2^{\,\text{longitud}\cdot 2L}$ : exponencial en la longitud del intervalo, exactamente como predice la cota $\eu^{L\abs{t-t_0}}$ de Gronwall, con mejores constantes.

17. Mismo esquema: para $y \in X_h$ ,

\abs{T_f(y)(t) - T_g(y)(t)} \leq \int_{t_0}^t \abs{f(s,y(s)) - g(s,y(s))}\,\abs{\dd s} \leq \varepsilon h ,

de modo que la pregunta 3 (con $T_f$ como contracción y $T_g$ como aplicación perturbada) da $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ .

18. Por la pregunta 17 aplicada a $f = f_\lambda$ , $g = f_\mu$ : $d_\infty(y_\lambda, y_\mu) \leq \frac{Ch}{1 - Lh}\abs{\lambda - \mu}$ ; la aplicación solución es lipschitziana de constante $\frac{Ch}{1-Lh}$ .

19. Todos los argumentos usaron únicamente los axiomas métricos, la completitud del escenario, la cota $\abs{\int} \leq \int\abs{\cdot}$ y el carácter lipschitziano de $f$ , todo ello disponible para funciones con valores en $\R^n$ y $d_\infty$ construida sobre cualquiera de las distancias equivalentes del Ejemplo 4.2 (completo por el Teorema 4.9). Para $y' = Ay$ con $A$ nilpotente: $y^{(0)} \equiv (c_1, c_2)$ ,

y^{(1)}(t) = (c_1, c_2) + \int_0^t (c_2, 0)\,\dd s = (c_1 + tc_2,\; c_2),

y de nuevo $Ay^{(1)}(s) = (c_2, 0)$ : luego $y^{(2)} = y^{(1)}$ . La iteración se estaciona a partir de $n = 1$ en la solución exacta $y(t) = (c_1 + tc_2, c_2) = \eu^{tA}y(0)$ : la nilpotencia trunca la serie exponencial, y Picard se da cuenta.

20. Fijemos $y \in X$ y sea $g_y(x) = y - \eta(x)$ : una contracción de razón $k$ del completo $X$ , luego hay exactamente un $x$ con $x + \eta(x) = y$ , es decir, la aplicación $\Phi = \mathrm{id} + \eta$ es biyectiva. Inversa lipschitziana: si $\Phi(x) = y$ y $\Phi(x') = y'$ , entonces

d(x, x') \leq d(y, y') + d\bigl(\eta(x), \eta(x')\bigr) \leq d(y, y') + k\,d(x, x'),

luego $d(x, x') \leq \frac{1}{1-k}d(y, y')$ . (Las distancias proceden aquí de la estructura de norma, de modo que $d(a - c, b - c) = d(a, b)$ , hecho que usa la primera desigualdad.)

21. $g(x) = m + e\sin x$ es $e$ -lipschitziana sobre el completo $\R$ (desigualdad del valor medio: $\abs{g'} = \abs{e\cos x} \leq e < 1$ ), así que Banach da una única solución y la convergencia global de la iteración. Para $e = \frac12$ , $m = 1$ y $x_0 = 1$ : $x_1 = 1 + \frac12\sin 1 \approx 1.42074$ , $d(x_1, x_0) \approx 0.4207$ , y la cota a priori $\frac{(1/2)^n}{1/2}\cdot 0.4207 \leq 10^{-3}$ se cumple por primera vez en $n = 10$ : diez iteraciones certificadas (el valor verdadero $x \approx 1.4987$ se alcanza de hecho con precisión $10^{-3}$ hacia $n = 5$ ).

22. Usemos la descripción por cifras (Ejercicio 4.8): $C$ es el conjunto de las sumas $\sum_{n\geq1}a_n3^{-n}$ con $a_n \in \{0, 2\}$ . Entonces $S_1(C) = \{x/3 : x \in C\}$ es el subconjunto con $a_1 = 0$ , y $S_2(C) = \{x/3 + 2/3\}$ el subconjunto con $a_1 = 2$ : su unión, al recorrer libremente $a_1$ , es exactamente $C$ . Unicidad en una frase: sobre el espacio de los compactos no vacíos de $\intcc01$ dotado de la distancia de Hausdorff, $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ es una contracción de razón $\frac13$ de un espacio completo, luego Banach solo permite un conjunto fijo; el volumen del tercer año formaliza la métrica de Hausdorff y este argumento.

23. Sea $Z = \{t \in J : y(t) = z(t)\}$ : es no vacío ( $t_0 \in Z$ ) y cerrado en $J$ (igualador de dos aplicaciones continuas: imagen recíproca de $\{0\}$ por $y - z$ ). Abierto: si $t_1 \in Z$ , apliquemos el teorema local (pregunta 8) en el punto $(t_1, y(t_1))$ , dentro de un rectángulo donde $f$ sea lipschitziana: sobre un intervalo pequeño en torno a $t_1$ , tanto $y$ como $z$ resuelven el mismo problema de Cauchy y por tanto coinciden allí (unicidad incondicional de la pregunta 9), de modo que un entorno de $t_1$ está en $Z$ . Un subconjunto no vacío del intervalo $J$ que sea a la vez abierto y cerrado en $J$ es todo $J$ (los intervalos son conexos, Teorema 4.27): $y = z$ sobre $J$ .

24. Aquí $f(t, y) = \alpha(t)y + \beta(t)$ es $L$ -lipschitziana en $y$ sobre todo $\intcc AB \times \R$ con $L = \sup\abs\alpha$ (finito, pues $\alpha$ es continua sobre un segmento), y no hace falta ninguna banda $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ : tómese $X = C(\intcc AB)$ entero, sobre el cual $T$ está bien definida. La inducción de la pregunta 8 se repite literalmente y da $d_\infty(T^ny, T^nz) \leq \frac{(L(B - A))^n}{n!}d_\infty(y, z)$ : alguna iterada es una contracción sea cual sea la longitud $B - A$ , y la pregunta 4 concluye: una y solo una solución sobre todo el segmento. La linealidad interviene exactamente una vez: hace global en $y$ la cota lipschitziana, eliminando el rectángulo y su condición $h \leq b/M$ .

25. La completitud convirtió la sucesión de Cauchy de iteradas en una solución de verdad (preguntas 1, 6 y 8), y su ausencia dejó escapar $\sqrt2$ de $\Q$ (pregunta 13). La contracción dio la unicidad, el algoritmo y las barras de error (preguntas 7 y 14). El truco de la iterada eliminó la condición de pequeñez $Lh < 1$ , de modo que el intervalo certificado solo depende de $M$ y no de $L$ , y volvió globales las ecuaciones lineales (preguntas 8 y 24). La conexidad ascendió la unicidad local a unicidad global (pregunta 23). Los contraejemplos: $2\sqrt{\abs y}$ custodia la hipótesis lipschitziana (pregunta 11), $y^2$ custodia la localidad (pregunta 12) y $\Q$ custodia la completitud (pregunta 13). La cumbre es el teorema de Picard–Lindelöf (pregunta 8); cuando $f$ es meramente continua, la existencia sobrevive pero la unicidad muere, y la demostración cambia la contracción por la compacidad de conjuntos de funciones: el teorema de Peano vía Arzelà–Ascoli, en el volumen del tercer año.