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Física · Glosario

¿Qué es Operadores escalera?

Definición 9.1 Física universitaria — tercer año · Capítulo 9 — El oscilador armónico cuántico

Para H^=p^2/2m+12mω2x^2\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2, introdúzcase la pareja adimensional y no hermítica

a^=mω2ℏ(x^+ip^mω),a^†=mω2ℏ(x^−ip^mω).\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x + \frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad \hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x - \frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .

A partir de [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar:

[a^,a^†]=1,H^=ℏω(N^+12),N^=a^†a^.[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad \hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad \hat N = \hat a^\dagger\hat a .

N^\hat N es hermítico; sus valores propios contarán cuantos, y a^\hat a y a^†\hat a^\dagger — los operadores de aniquilación y de creación — quitarán y añadirán uno.

La escalera del oscilador: peldaños iguales , subidos por a y bajados por a, apoyada sobre un suelo situado medio peldaño por encima de la energía de reposo clásica.
La escalera del oscilador: peldaños iguales ℏω\hbar\omega, subidos por a^†\hat a^\dagger y bajados por a^\hat a, apoyada sobre un suelo situado medio peldaño por encima de la energía de reposo clásica.
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