Physics · Libro 5 · Bachelor Year 3

Física universitaria — tercer año

Física universitaria — tercer año · Bachelor Year 3

9El oscilador armónico cuántico

Casi nada en la naturaleza es exactamente un oscilador armónico, y casi todo lo es de forma aproximada: cualquier sistema apartado de un equilibrio estable — el enlace de una molécula, un átomo en un cristal, un puente, un modo del campo electromagnético — siente una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento, porque todo potencial suave es una parábola en el fondo de su pozo. Quien resuelve una vez el oscilador cuántico resuelve, por tanto, las pequeñas vibraciones del mundo entero. Este capítulo lo resuelve al estilo algebraico que se ha convertido en la firma de la mecánica cuántica: dos operadores escalera suben y bajan una escalera perfectamente regular de niveles (n+12)ℏω\big(n + \tfrac12\big)\hbar\omega, siendo el medio peldaño del fondo — la energía del punto cero — un teorema y no una opción. Las consecuencias van desde por qué el helio no se congela nunca hasta cómo una molécula de dióxido de carbono, resonando en su propio ℏω\hbar\omega, intercepta el calor que la Tierra emite al espacio.

9.1 La escalera

Definición 9.1 (Operadores escalera)

Para H^=p^2/2m+12mω2x^2\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2, introdúzcase la pareja adimensional y no hermítica

a^=mω2ℏ(x^+ip^mω),a^†=mω2ℏ(x^−ip^mω).\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x + \frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad \hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x - \frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .

A partir de [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar:

[a^,a^†]=1,H^=ℏω(N^+12),N^=a^†a^.[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad \hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad \hat N = \hat a^\dagger\hat a .

N^\hat N es hermítico; sus valores propios contarán cuantos, y a^\hat a y a^†\hat a^\dagger — los operadores de aniquilación y de creación — quitarán y añadirán uno.

Teorema 9.2 (El espectro, solo con álgebra)

Los valores propios de H^\hat H son exactamente

En=(n+12)ℏω,n=0,1,2,…E_n = \Big(n + \tfrac12\Big)\hbar\omega , \qquad n = 0, 1, 2, \dots

— una escalera infinita de peldaños iguales ℏω\hbar\omega sobre un nivel fundamental que no es nulo: la energía del punto cero 12ℏω\tfrac12\hbar\omega. Los estados propios normalizados ∣n⟩\ket n están conectados por

a^∣n⟩=n ∣n−1⟩,a^†∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩,∣n⟩=(a^†)nn! ∣0⟩.\hat a\ket n = \sqrt n\,\ket{n - 1} , \qquad \hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n + 1}\,\ket{n + 1} , \qquad \ket n = \frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\,\ket0 .

Demostración. A partir del conmutador, N^a^=a^(N^−1)\hat N\hat a = \hat a(\hat N - 1): si ∣ν⟩\ket\nu es vector propio de N^\hat N con valor propio ν\nu, entonces a^∣ν⟩\hat a\ket\nu es un vector propio con ν−1\nu - 1 (o bien el vector nulo). Cada descenso solo está permitido mientras ν≥0\nu \ge 0, ya que ν=⟨ν | N^ν⟩=∥a^∣ν⟩∥2≥0\nu = \braket{\nu}{\hat N\nu} = \|\hat a\ket\nu\|^2 \ge 0; el descenso debe, pues, terminar, y solo termina en un estado con a^∣ν0⟩=0\hat a\ket{\nu_0} = 0, de donde ν0=0\nu_0 = 0. Así que ν\nu recorre los enteros no negativos. Las normalizaciones se siguen de ∥a^∣n⟩∥2=n\|\hat a\ket n\|^2 = n y ∥a^†∣n⟩∥2=n+1\|\hat a^\dagger\ket n\|^2 = n + 1. ∎

La escalera del oscilador: peldaños iguales , subidos por a y bajados por a, apoyada sobre un suelo situado medio peldaño por encima de la energía de reposo clásica.
La escalera del oscilador: peldaños iguales ℏω\hbar\omega, subidos por a^†\hat a^\dagger y bajados por a^\hat a, apoyada sobre un suelo situado medio peldaño por encima de la energía de reposo clásica.

Proposición 9.3 (Los estados en el espacio)

El estado fundamental es la gaussiana

φ0(x)=(mωπℏ)1/4e−mωx2/2ℏ,\varphi_0(x) = \Big(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Big)^{1/4} \eu^{-m\omega x^2/2\hbar} ,

obtenida al resolver la ecuación de primer orden a^φ0=0\hat a\varphi_0 = 0; satura la desigualdad de Heisenberg, Δx Δp=ℏ/2\Delta x\,\Delta p = \hbar/2, con Δx=ℏ/2mω\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}. Aplicar a^†\hat a^\dagger repetidamente genera φn\varphi_n: un polinomio de grado nn (con nn nodos) por la misma gaussiana. Para nn grande, ∣φn∣2|\varphi_n|^2 oscila rápidamente en torno a la distribución clásica del tiempo de permanencia, máxima cerca de los puntos de retorno — el principio de correspondencia en imagen.

Demostración parcial. a^φ0=0\hat a\varphi_0 = 0 se lee φ0′=−(mω/ℏ)xφ0\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x \varphi_0: la gaussiana, normalizada. La saturación: la gaussiana es el caso de igualdad del Teorema 8.10. La estructura polinómica se sigue de que a^†\hat a^\dagger es de primer orden en xx y  ⁣d/ ⁣dx\dd/\dd x; el enunciado para nn grande se comprueba en el Ejercicio 9.12. ∎

Izquierda: las densidades de probabilidad más bajas (desplazadas verticalmente): una gaussiana sin nodos y luego n nodos para _n. Derecha: para n grande, la densidad cuántica oscila en torno a la distribución clásica, que se acumula en los puntos de retorno, donde la masa oscilante se demora.
Izquierda: las densidades de probabilidad más bajas (desplazadas verticalmente): una gaussiana sin nodos y luego nn nodos para φn\varphi_n. Derecha: para nn grande, la densidad cuántica oscila en torno a la distribución clásica, que se acumula en los puntos de retorno, donde la masa oscilante se demora.

9.2 La energía del punto cero es real

Observación 9.4 (Por qué el suelo no puede estar más abajo)

Un estado de energía nula exigiría ⟨p^2⟩=⟨x^2⟩=0\langle\hat p^2\rangle = \langle\hat x^2\rangle = 0: perfectamente quieto y perfectamente centrado, algo que prohíbe Δx Δp≥ℏ/2\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2. El estado fundamental es el mejor compromiso que la desigualdad permite, y 12ℏω\tfrac12\hbar\omega es el alquiler. No es una constante de contabilidad: el movimiento de punto cero difumina los diagramas de difracción de rayos X en el cero absoluto; da a los isótopos más ligeros enlaces efectivos más débiles (H2_2 y D2_2 se disocian con energías medibles distintas a partir del mismo pozo electrónico); y en el helio es tan violento — átomos ligeros, atracción endeble — que el líquido nunca se congela bajo su propia presión de vapor: el único elemento todavía líquido en el cero absoluto, que solo solidifica con la ayuda de 25 atmósferas.

Ejemplo 9.5 (Escalas de ℏω\hbar\omega)

Enlace del monóxido de carbono (ω=4.1×1014 rad/s\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}): ℏω=0.27 eV\hbar\omega = 0.27\,\mathrm{eV}, diez veces el kBTk_{\text{B}}T de la temperatura ambiente — las vibraciones moleculares están congeladas en el aire cotidiano, y por eso las capacidades caloríficas de los gases diatómicos desconcertaron al siglo XIX. Un péndulo (ω=5 rad/s\omega = 5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}): ℏω=3×10−15 eV\hbar\omega = 3 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}, desesperadamente fuera de resolución — el límite de correspondencia. Un espejo de LIGO de 40 kg40\,\mathrm{kg}, suspendido de modo que oscile a 100 Hz100\,\mathrm{Hz}, tiene como modo de oscilador la amplitud de punto cero Δx=ℏ/2mω≈5×10−20 m\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega} \approx 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m} — y el observatorio resuelve de forma rutinaria desplazamientos en este suelo cuántico: el movimiento de punto cero de un objeto de cuarenta kilos es hoy una restricción de ingeniería (Ejercicio 9.3).

9.3 Estados coherentes: la cara clásica del oscilador cuántico

Definición 9.6 (Estados coherentes)

Un estado coherente ∣α⟩\ket\alpha es un vector propio del operador de aniquilación, a^∣α⟩=α∣α⟩\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha, con α\alpha un número complejo cualquiera. Desarrollado sobre la escalera,

∣α⟩=e−∣α∣2/2∑n=0∞αnn! ∣n⟩:\ket\alpha = \eu^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,\ket n :

el recuento cuántico sigue una distribución de Poisson de media ⟨N^⟩=∣α∣2\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2 y dispersión ΔN=∣α∣\Delta N = |\alpha|.

Proposición 9.7 (Por qué los láseres son clásicos)

Un estado coherente es la gaussiana del estado fundamental desplazada en el espacio de fases; bajo la evolución del oscilador sigue siendo coherente, con α(t)=α e−iωt\alpha(t) = \alpha\,\eu^{-\iu\omega t}: su centro ejecuta exactamente el movimiento clásico, ⟨x^⟩(t)=x0cos⁡ωt+⋯\langle\hat x\rangle(t) = x_0\cos\omega t + \cdots, mientras que sus anchuras permanecen en el mínimo Δx Δp=ℏ/2\Delta x\,\Delta p = \hbar/2 para siempre — un paquete de ondas que nunca se ensancha. Los estados coherentes son la manera en que un oscilador cuántico se hace pasar por uno clásico; la luz de un láser es un estado coherente de un modo del campo, con su número de fotones poissoniano (el ruido de disparo de todo fotodetector) y su campo oscilando como dijo Maxwell.

Demostración parcial. El desarrollo se sigue de escribir ∣α⟩=∑cn∣n⟩\ket\alpha = \sum c_n\ket n en a^∣α⟩=α∣α⟩\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha: cn=αcn−1/nc_n = \alpha c_{n-1}/\sqrt n. Evolución: cada ∣n⟩\ket n adquiere e−i(n+1/2)ωt\eu^{-\iu(n + 1/2)\omega t}, que vuelve a sumarse en un estado coherente de αe−iωt\alpha\eu^{-\iu\omega t} (salvo fase global). ⟨x^⟩∝Re⁡α(t)\langle\hat x\rangle \propto \operatorname{Re}\alpha(t) a partir de x^∝a^+a^†\hat x \propto \hat a + \hat a^\dagger. Que el estado sea la gaussiana desplazada se admite aquí. ∎

Retrato en el espacio de fases (compárese con el ): el estado fundamental es una mancha de incertidumbre mínima en el origen; un estado coherente es la misma mancha desplazada, que gira a sin deformarse — la mejor imitación de una oscilación clásica que logra la mecánica cuántica.
Retrato en el espacio de fases (compárese con el Capítulo 2): el estado fundamental es una mancha de incertidumbre mínima en el origen; un estado coherente es la misma mancha desplazada, que gira a ω\omega sin deformarse — la mejor imitación de una oscilación clásica que logra la mecánica cuántica.

Método 9.8 (Álgebra del oscilador)

(1) Exprésese lo que se pida en a^\hat a y a^†\hat a^\dagger: x^=ℏ/2mω (a^+a^†)\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger), p^=imℏω/2 (a^†−a^)\hat p = \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a). (2) Llévense los a^\hat a a la derecha con [a^,a^†]=1[\hat a, \hat a^\dagger] = 1; úsese a^∣0⟩=0\hat a\ket0 = 0. (3) Elementos de matriz: x^\hat x conecta solo peldaños vecinos — la regla de selección Δn=±1\Delta n = \pm1 de la espectroscopia vibracional. (4) Todo hamiltoniano cuadrático (osciladores acoplados, circuitos, modos de campo) se diagonaliza en escaleras independientes: hállense primero los modos normales y cuantícese cada uno. (5) Números primero: ℏω\hbar\omega frente a kBTk_{\text{B}}T decide si el sistema es cuántico o clásico antes de cualquier álgebra.

9.4 Ejercicios

Ejercicio 9.1 ★

(a) Verifíquese [a^,a^†]=1[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 a partir de [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar. (b) Verifíquese H^=ℏω(a^†a^+12)\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a + \tfrac12) por desarrollo directo. (c) Inviértase para expresar x^\hat x y p^\hat p. (d) Muéstrese que N^\hat N es hermítico y explíquese por qué a^\hat a por sí solo no podría ser un observable.

Solución

Solución de Ejercicio 9.1.

(a) Al desarrollar, los términos en x^2\hat x^2 y p^2\hat p^2 se cancelan entre a^a^†\hat a\hat a^\dagger y a^†a^\hat a^\dagger\hat a, de modo que queda (mω/2ℏ)(−2i/mω)[x^,p^]=(−i/ℏ)(iℏ)=1(m\omega/2\hbar)(-2\iu/m\omega)[\hat x, \hat p] = (-\iu/\hbar)(\iu\hbar) = 1. (b) a^†a^=(mωx^2/2ℏ)+(p^2/2mℏω)−12\hat a^\dagger\hat a = (m\omega\hat x^2/2\hbar) + (\hat p^2/2m\hbar\omega) - \tfrac12: multiplíquese por ℏω\hbar\omega. (c) x^=ℏ/2mω (a^+a^†)\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger), p^=imℏω/2 (a^†−a^)\hat p = \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a). (d) N^†=a^†a^=N^\hat N^\dagger = \hat a^\dagger\hat a = \hat N; a^\hat a no es hermítico, y sus “valores propios” α\alpha son complejos — ningún aparato de medida los devuelve.

Ejercicio 9.2 ★

Sobre el estado propio ∣n⟩\ket n: (a) muéstrese que ⟨x^⟩=⟨p^⟩=0\langle\hat x\rangle = \langle\hat p\rangle = 0; (b) calcúlense ⟨x^2⟩\langle\hat x^2\rangle y ⟨p^2⟩\langle\hat p^2\rangle; (c) dedúzcase Δx Δp=(n+12)ℏ\Delta x\,\Delta p = (n + \tfrac12)\hbar; (d) compruébese la relación del virial ⟨Ek⟩=⟨Ep⟩\langle E_k\rangle = \langle E_p\rangle.

Solución

Solución de Ejercicio 9.2.

(a) x^\hat x y p^\hat p desplazan nn en ±1\pm1: los elementos diagonales se anulan. (b) ⟨x^2⟩=(ℏ/2mω)(2n+1)\langle\hat x^2\rangle = (\hbar/2m\omega)(2n + 1), ⟨p^2⟩=(mℏω/2)(2n+1)\langle\hat p^2\rangle = (m\hbar\omega/2)(2n + 1) (los términos en a^a^†+a^†a^\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a). (c) ΔxΔp=(n+12)ℏ\Delta x\Delta p = (n + \tfrac12)\hbar: solo el estado fundamental es mínimo. (d) Ambas medias valen En/2E_n/2: la equipartición del oscilador clásico, nivel a nivel.

Ejercicio 9.3 ★

Amplitudes de punto cero Δx=ℏ/2mω\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}: calcúlense para (a) la molécula de CO (μ=1.14×10−26 kg\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}, ω=4.1×1014 rad/s\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}), comparada con la longitud de enlace de 0.11 nm0.11\,\mathrm{nm}; (b) un átomo de hidrógeno en un sólido (m=1.7×10−27 kgm = 1.7 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, ℏω=0.1 eV\hbar\omega = 0.1\,\mathrm{eV}); (c) un espejo de LIGO (m=40 kgm = 40\,\mathrm{kg}, f=100 Hzf = 100\,\mathrm{Hz}); (d) ordénense las tres como fracciones del tamaño de sus sistemas y coméntese quién es “cuántico”.

Solución

Solución de Ejercicio 9.3.

(a) Δx=3.4 pm\Delta x = 3.4\,\mathrm{pm}: un tres por ciento del enlace — una molécula es un objeto algo borroso incluso a temperatura nula. (b) 14 pm14\,\mathrm{pm}, más de una décima de ángstrom: el hidrógeno es el átomo más borroso de cualquier cristal, cosa que la dispersión de neutrones ve directamente. (c) 4.6×10−20 m4.6 \times 10^{-20}\,\mathrm{m} — veinticinco órdenes por debajo del tamaño del espejo y, aun así, la lectura de LIGO llega hasta ahí. (d) En fracción: molécula 3%3\%, hidrógeno ∼15%\sim15\%, espejo ∼10−19\sim10^{-19}: “cuántico” no va de ser pequeño, sino de ℏω\hbar\omega frente a todo lo demás — y, aun así, con suficiente finura, hasta cuarenta kilogramos enseñan su suelo.

Ejercicio 9.4 ★

(a) Usando las relaciones de escalera, calcúlese ⟨m∣x^∣n⟩\bra m\hat x\ket n y muéstrese que se anula salvo si m=n±1m = n \pm 1. (b) Dedúzcase la regla de selección vibracional Δn=±1\Delta n = \pm1 para la absorción de luz (el acoplamiento es ∝x^\propto\hat x). (c) ¿Por qué absorbe luz infrarroja una molécula heteronuclear (CO) y no la absorbe el N2_2? (d) Las moléculas reales muestran líneas débiles de “sobretono” en ≈2ℏω\approx 2\hbar\omega: ¿qué revela eso sobre el potencial?

Solución

Solución de Ejercicio 9.4.

(a) ⟨m∣x^∣n⟩=ℏ/2mω (n δm,n−1+n+1 δm,n+1)\bra m\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\sqrt n\, \delta_{m,n-1} + \sqrt{n + 1}\,\delta_{m,n+1}). (b) La interacción con la luz, ∝x^\propto\hat x, solo puede subir o bajar un peldaño: Δn=±1\Delta n = \pm1, una frecuencia infrarroja por modo. (c) La vibración del CO modula un dipolo no nulo; la nube de carga simétrica del N2_2 no produce ninguno por mucho que se estire: inactiva en el infrarrojo. (d) Los sobretonos existen solo porque el potencial verdadero no es exactamente cuadrático: la anarmonicidad mezcla peldaños y permite débilmente Δn=2\Delta n = 2 — y acerca entre sí los peldaños altos, como muestran los espectros reales.

Ejercicio 9.5 ★★

(a) Resuélvase a^φ0=0\hat a\varphi_0 = 0 como ecuación diferencial y normalícese. (b) Genérense φ1\varphi_1 y φ2\varphi_2 aplicando a^†\hat a^\dagger. (c) Verifíquese φ1⊥φ0\varphi_1 \perp \varphi_0 solo por paridad. (d) Esbócense las tres densidades y compruébese el recuento de nodos.

Solución

Solución de Ejercicio 9.5.

(a) φ0′=−(mω/ℏ)xφ0\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x\varphi_0: la gaussiana normalizada del texto. (b) φ1∝xe−mωx2/2ℏ\varphi_1 \propto x\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}; φ2∝(2mωx2/ℏ−1)e−mωx2/2ℏ\varphi_2 \propto (2m\omega x^2/\hbar - 1)\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}. (c) φ0\varphi_0 es par y φ1\varphi_1, impar: el integrando del solapamiento es impar. (d) Cero, uno y dos nodos — el teorema de oscilación en miniatura.

Ejercicio 9.6 ★★

Anticipo de Boltzmann. Un conjunto de osciladores idénticos a temperatura TT ocupa el nivel nn con probabilidad ∝e−En/kBT\propto \eu^{-E_n/k_{\text{B}}T} (volumen del Año 2, factor de Boltzmann). (a) Muéstrese que el número cuántico medio es ⟨n⟩=1/(eℏω/kBT−1)\langle n\rangle = 1/(\eu^{\hbar\omega/k_{\text{B}}T} - 1). (b) Evalúese para la vibración del CO a 300 K300\,\mathrm{K} y a 2000 K2000\,\mathrm{K}. (c) Muéstrese que la energía media tiende a kBTk_{\text{B}}T a alta temperatura (equipartición recuperada) y a 12ℏω\tfrac12\hbar\omega a baja. (d) ¿A qué temperatura tiene una vibración de 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} (la flexión del dióxido de carbono) ⟨n⟩=0.1\langle n\rangle = 0.1?

Solución

Solución de Ejercicio 9.6.

(a) Con x=ℏω/kBTx = \hbar\omega/k_{\text{B}}T: ⟨n⟩=∑ne−nx/∑e−nx=1/(ex−1)\langle n\rangle = \sum n\eu^{-nx}/\sum\eu^{-nx} = 1/(\eu^x - 1). (b) CO a 300 K300\,\mathrm{K}: x=10.4x = 10.4, ⟨n⟩≈3×10−5\langle n\rangle \approx 3 \times 10^{-5} — congelado; a 2000 K2000\,\mathrm{K}: x=1.57x = 1.57, ⟨n⟩=0.26\langle n\rangle = 0.26 — despertando. (c) ⟨E⟩=ℏω(⟨n⟩+12)→kBT\langle E\rangle = \hbar\omega(\langle n\rangle + \tfrac12) \to k_{\text{B}}T para x≪1x \ll 1; →12ℏω\to \tfrac12\hbar \omega para x≫1x \gg 1. (d) ex=11\eu^x = 11: x=2.4x = 2.4, T=ℏω/2.4kB≈400 KT = \hbar\omega/2.4k_{\text{B}} \approx 400\,\mathrm{K} — la atmósfera terrestre mantiene parcialmente encendida la flexión del dióxido de carbono.

Ejercicio 9.7 ★★

Estadística de los estados coherentes. (a) A partir del desarrollo de ∣α⟩\ket\alpha, muéstrese que P(n)\mathcal P(n) es de Poisson con media ∣α∣2|\alpha|^2. (b) Muéstrese que ⟨N^⟩=∣α∣2\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2 y ΔN=∣α∣\Delta N = |\alpha|. (c) Un láser de 1 mW1\,\mathrm{mW} a 633 nm633\,\mathrm{nm}: fotones por segundo y fluctuación relativa ΔN/⟨N⟩\Delta N/\langle N\rangle en un segundo. (d) Ruido de disparo: muéstrese que la razón ruido/señal de la fotocorriente cae como 1/⟨N⟩1/\sqrt{\langle N\rangle} — por qué los haces intensos parecen suaves.

Solución

Solución de Ejercicio 9.7.

(a) P(n)=∣cn∣2=e−∣α∣2∣α∣2n/n!\mathcal P(n) = |c_n|^2 = \eu^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}/n!: Poisson. (b) La media y la varianza de una Poisson valen ambas ∣α∣2|\alpha|^2. (c) 3.2×10153.2 \times 10^{15} fotones por segundo; ΔN/⟨N⟩=1/⟨N⟩≈1.8×10−8\Delta N/\langle N\rangle = 1/\sqrt{\langle N\rangle} \approx 1.8 \times 10^{-8}. (d) La fotocorriente hereda la dispersión de Poisson: ruido sobre señal ∝1/N\propto 1/\sqrt N — el suelo de ruido de disparo, audible con luz débil y despreciable con luz intensa.

Ejercicio 9.8 ★★

Evolución de un estado coherente. (a) Aplíquense las fases de evolución al desarrollo y muéstrese que se obtiene ∣α(t)⟩\ket{\alpha(t)} con α(t)=αe−iωt\alpha(t) = \alpha\eu^{-\iu\omega t} (salvo una fase global). (b) Dedúzcanse ⟨x^⟩(t)\langle\hat x\rangle(t) y ⟨p^⟩(t)\langle\hat p\rangle(t) y compárense con la solución clásica. (c) ¿Por qué un estado propio de la energía, pese a ser estacionario, no describe un péndulo que oscila, y qué rasgo del estado coherente sí lo hace? (d) Estímese ∣α∣|\alpha| para un péndulo real (10 g10\,\mathrm{g}, 10 cm10\,\mathrm{cm} de amplitud, 1 Hz1\,\mathrm{Hz}) y coméntese.

Solución

Solución de Ejercicio 9.8.

(a) Cada término gana e−inωt\eu^{-\iu n\omega t} (salvo fase global): la suma vuelve a ser coherente con αe−iωt\alpha\eu^{-\iu\omega t}. (b) ⟨x^⟩=2ℏ/mω Re⁡ α(t)\langle\hat x\rangle = \sqrt{2\hbar/m\omega}\, \operatorname{Re}\,\alpha(t): un coseno puro a ω\omega, con la amplitud y la fase fijadas por α\alpha — exactamente clásico. (c) La densidad de un estado propio no se mueve nunca; el péndulo que vemos es una superposición coherente de muchos peldaños cuyas fases conspiran para oscilar. (d) E≈2×10−3 JE \approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}, ℏω≈6.6×10−34 J\hbar\omega \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}: n∼3×1030n \sim 3 \times 10^{30}, ∣α∣∼2×1015|\alpha| \sim 2 \times 10^{15} — el movimiento macroscópico es coherencia con números cuánticos astronómicos.

Ejercicio 9.9 ★★

El circuito LC cuántico. Un lazo superconductor con L=10 nHL = 10\,\mathrm{nH} y C=0.4 pFC = 0.4\,\mathrm{pF} hace oscilar la carga y el flujo como xx y pp. (a) Su frecuencia de resonancia (volumen del Año 1) y el cuanto ℏω\hbar\omega en µeV\text{µ}\mathrm{eV}. (b) ¿Por debajo de qué temperatura se cumple kBT≪ℏωk_{\text{B}}T \ll \hbar\omega, de modo que el circuito quede en su estado fundamental? (c) ¿Por qué se operan los cúbits superconductores en refrigeradores de dilución a 20 mK20\,\mathrm{mK}? (d) La fluctuación de tensión de punto cero ΔV=Δq/C\Delta V = \Delta q/C con Δq=ℏωC/2\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2}: evalúese.

Solución

Solución de Ejercicio 9.9.

(a) ω=1/LC=1.6×1010 rad/s\omega = 1/\sqrt{LC} = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} (f=2.5 GHzf = 2.5\,\mathrm{GHz}); ℏω=10 µeV\hbar\omega = 10\,\text{µ}\mathrm{eV}. (b) ℏω/kB=0.12 K\hbar\omega/k_{\text{B}} = 0.12\,\mathrm{K}: bastante por debajo de unos 100 mK100\,\mathrm{mK}. (c) A 20 mK20\,\mathrm{mK}, la excitación térmica es e−6∼2×10−3\eu^{-6} \sim 2 \times 10^{-3}: el circuito se sitúa en ∣0⟩\ket0, listo para ser un cúbit — la temperatura ambiente enterraría lo cuántico bajo 10310^3 cuantos térmicos. (d) Δq=ℏωC/2=5.8×10−19 C\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2} = 5.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} (unas pocas cargas del electrón); ΔV=Δq/C≈1.4 µV\Delta V = \Delta q/C \approx 1.4\,\text{µ}\mathrm{V} de zumbido irreducible.

Ejercicio 9.10 ★★★

Van der Waals a partir del movimiento de punto cero. Modelícense dos átomos neutros a distancia RR como dos osciladores dipolares idénticos (carga ee, masa mm, frecuencia ω0\omega_0) cuyos desplazamientos se acoplan mediante la energía dipolar λ x1x2\lambda\,x_1x_2 con λ=e2/2πε0R3\lambda = e^2/2\pi\varepsilon_0R^3. (a) Muéstrese que las coordenadas normales (x1±x2)/2(x_1 \pm x_2)/\sqrt2 oscilan a ω±=ω01±λ/mω02\omega_\pm = \omega_0\sqrt{1 \pm \lambda/m\omega_0^2}. (b) La energía fundamental es ℏ2(ω++ω−)\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_-): desarróllese a segundo orden en λ\lambda y muéstrese que la energía de interacción es

ΔE=−ℏλ28m2ω03 ∝ −1R6.\Delta E = -\frac{\hbar\lambda^2}{8m^2\omega_0^3} \ \propto\ -\frac{1}{R^6} .

(c) ¿Por qué es universal esta atracción — presente incluso entre átomos sin dipolo permanente alguno? (d) La ley 1/R61/R^6 es la fuerza de van der Waals de las correcciones al gas real del volumen del Año 1: ¿qué “fluctúa”, microscópicamente, y qué le ocurriría a esta fuerza en un mundo con ℏ=0\hbar = 0?

Solución

Solución de Ejercicio 9.10.

(a) En coordenadas normales, el hamiltoniano se separa en dos osciladores con mω±2=mω02±λm\omega_\pm^2 = m\omega_0^2 \pm \lambda. (b) 1+u+1−u≈2−u2/4\sqrt{1 + u} + \sqrt{1 - u} \approx 2 - u^2/4: ΔE=ℏ2(ω++ω−−2ω0)=−ℏω0λ2/8m2ω04=−ℏλ2/8m2ω03\Delta E = \tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_- - 2\omega_0) = -\hbar\omega_0\lambda^2/8m^2\omega_0^4 = -\hbar\lambda^2/8m^2\omega_0^3, y λ∝1/R3\lambda \propto 1/R^3 da 1/R61/R^6. (c) No necesita dipolos permanentes — solo las fluctuaciones de punto cero de la nube de carga de cada átomo, que el acoplamiento correlaciona de modo que la atracción supere a la repulsión. (d) La magnitud que fluctúa es el dipolo instantáneo del estado fundamental; con ℏ=0\hbar = 0, el estado fundamental estaría inmóvil y sin dipolo, y el pegamento de van der Waals — las salamanquesas, los gases licuados, buena parte de la materia blanda — se desvanecería.

Ejercicio 9.11 ★★★

Bandas laterales de un ion atrapado. Un ion en una trampa armónica (f=1 MHzf = 1\,\mathrm{MHz}) absorbe luz láser. Como el ion se mueve, su espectro de absorción muestra la línea electrónica en ν0\nu_0 flanqueada por líneas en ν0±f\nu_0 \pm f: transiciones que cambian en ∓1\mp1 el número cuántico de movimiento junto con el electrónico. (a) ¿Cuánto vale ℏωtrampa\hbar\omega_{\text{trampa}} en neV\mathrm{neV} y por qué hace falta una línea muy estrecha para resolver las bandas laterales? (b) Excitar la línea ν0−f\nu_0 - f retira un cuanto de movimiento por ciclo: explíquese el enfriamiento por banda lateral hasta el estado fundamental. (c) Una vez que ⟨n⟩≈0\langle n\rangle \approx 0, la banda lateral inferior desaparece por completo — ¿por qué es esa asimetría una prueba de haber alcanzado el estado fundamental cuántico? (d) Así es como se certifica el estado fundamental de movimiento de un solo átomo — y, por otros medios, el de los espejos de LIGO de escala kilogramo —: dígase a qué “temperatura” ha llegado el ion para f=1 MHzf = 1\,\mathrm{MHz} y ⟨n⟩=0.05\langle n\rangle = 0.05.

Solución

Solución de Ejercicio 9.11.

(a) hf=4.1 neVhf = 4.1\,\mathrm{neV}: la línea óptica debe ser más estrecha que un megahercio — solo cumplen el requisito las transiciones “de reloj” de larga vida. (b) Un fotón de la banda lateral roja excita electrónicamente al ion mientras retira un cuanto de movimiento; la desexcitación posterior devuelve en promedio la energía electrónica a la frecuencia portadora: cada ciclo extrae ℏωtrampa\hbar\omega_{\text{trampa}} de movimiento. (c) Desde n=0n = 0 no queda nada que retirar: la desaparición de la banda lateral roja es un certificado sin fondo del estado fundamental. (d) ⟨n⟩=0.05\langle n\rangle = 0.05: T=ℏω/kBln⁡21≈16 µKT = \hbar\omega/k_{\text{B}}\ln21 \approx 16\,\text{µ}\mathrm{K}.

Ejercicio 9.12 ★★★

El límite clásico, cuantitativamente. Un oscilador clásico de amplitud AA pasa en [x,x+ ⁣dx][x, x + \dd x] la fracción  ⁣dt/T= ⁣dx/πA2−x2\dd t/T = \dd x/\pi\sqrt{A^2 - x^2}. (a) Dedúzcase esta distribución del tiempo de permanencia. (b) Para el estado cuántico nn, tómese AnA_n de En=12mω2An2E_n = \tfrac12 m\omega^2A_n^2 y compárese la distribución clásica con el ∣φn∣2|\varphi_n|^2 (dado) promediado localmente: ¿dónde coinciden y dónde tienen que diferir? (c) Muéstrese que el espaciado relativo entre niveles contiguos, ΔE/E\Delta E/E, se anula como 1/n1/n: la energía se vuelve efectivamente continua. (d) Para el péndulo del Ejercicio 9.8(d), estímense nn y ΔE/E\Delta E/E, y conclúyase el argumento de correspondencia en una frase.

Solución

Solución de Ejercicio 9.12.

(a)  ⁣dt= ⁣dx/∣v∣\dd t = \dd x/|v| con v=ωA2−x2v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}, a lo largo del semiperiodo T/2=π/ωT/2 = \pi/\omega. (b) Coinciden en los promedios locales de la región clásicamente permitida; deben diferir en los puntos de retorno (divergencia clásica frente a picos cuánticos finitos) y más allá de ellos (colas cuánticas en la región prohibida). (c) ΔE/E=1/(n+12)\Delta E/E = 1/(n + \tfrac12). (d) n∼3×1030n \sim 3 \times 10^{30}: un espaciado de una parte en 103010^{30} — ninguna medida concebible resuelve la escalera, y la mecánica parece continua.

9.5 Problema: la molécula que calienta la Tierra

Problema 9.1

Problema de fin de semana — la escalera cuántica del dióxido de carbono y el efecto invernadero

Una molécula de dióxido de carbono es una cadena lineal O=C=O: unos pocos osciladores cuantizados. Que el ℏω\hbar\omega de su modo de flexión caiga justo en mitad del resplandor térmico que la Tierra emite es la razón por la que este gas traza — cuatro moléculas de cada diez mil — gobierna el clima del planeta. Datos: número de ondas de la flexión ν~2=667 cm−1\tilde\nu_2 = 667\,\mathrm{cm}^{-1} (la unidad del espectroscopista: E=hcν~E = hc\tilde\nu, 1 cm−1=1.24×10−4 eV1\,\mathrm{cm}^{-1} = 1.24 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}); tensión asimétrica ν~3=2349 cm−1\tilde\nu_3 = 2349\,\mathrm{cm}^{-1}; tensión simétrica ν~1=1388 cm−1\tilde\nu_1 = 1388\,\mathrm{cm}^{-1}; kBTk_{\text{B}}T a 288 K288\,\mathrm{K} vale 24.8 meV24.8\,\mathrm{meV}; ley de Wien (volumen del Año 2): λmax⁡T=2898 µm K\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}.

Parte I — Los modos de una molécula lineal.

  1. Tres átomos tienen nueve grados de libertad: ¿cuántos son traslaciones de la molécula entera, cuántos rotaciones (la molécula es lineal) y cuántas vibraciones quedan?
  2. Descríbanse las cuatro vibraciones: tensión simétrica, tensión asimétrica y una flexión doblemente degenerada — ¿por qué aparece dos veces la flexión?
  3. La luz se acopla a un dipolo eléctrico que vibra (Ejercicio 9.4). ¿Qué modos de O=C=O modulan el momento dipolar y cuál es mudo en el infrarrojo?
  4. Conviértanse los tres números de ondas en longitudes de onda de fotón y sitúense: ¿cuáles caen en el infrarrojo térmico?
  5. ¿Por qué no absorben prácticamente nada de infrarrojo los dos gases principales del aire, N2_2 y O2_2, y con qué consecuencia para la transparencia de la atmósfera?
  6. El vapor de agua, angular y dipolar, absorbe en buena parte del infrarrojo: ¿en qué “ventana” espectral opera casi en solitario la flexión del dióxido de carbono (compárense los 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} con las bandas intensas del agua por debajo de 8 µm8\,\text{µ}\mathrm{m} y por encima de 20 µm20\,\text{µ}\mathrm{m})?

Parte II — La escalera cuántica de la flexión.

  1. Calcúlese ℏω2\hbar\omega_2 en meV y la escalera EnE_n.
  2. ¿Qué fracción de moléculas ocupa n=1n = 1 a 288 K288\,\mathrm{K} (respecto de n=0n = 0, factor de Boltzmann)? ¿Y n=2n = 2?
  3. ¿Qué longitud de onda de fotón impulsa n=0→1n = 0 \to 1? ¿Por qué domina la misma longitud de onda la emisión?
  4. Justifíquese, a partir de la escalera armónica, que una sola longitud de onda sirva a toda la escalera (n→n+1n \to n + 1 para todo nn): ¿qué propiedad del espaciado de niveles interviene?
  5. La molécula también rota, lo que añade estructura fina: el rasgo de 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} es en realidad una banda de aproximadamente 1 µm1\,\text{µ}\mathrm{m} de anchura. ¿Por qué importa la anchura de banda para un gas de efecto invernadero (piénsese en qué ocurre una vez que el centro de la banda es opaco)?
  6. Un CO2_2 vibracionalmente excitado en el aire tiene mucha más probabilidad de perder su cuanto por colisión que por radiación (vida media radiativa ∼1 s\sim1\,\mathrm{s}, tiempo entre colisiones ∼10−9 s\sim10^{-9}\,\mathrm{s}): ¿adónde va realmente la energía radiante absorbida?
  7. A la inversa, el aire a 288 K288\,\mathrm{K} mantiene una población térmica en n=1n = 1 (pregunta 8): ¿qué hace esa población que importe para el balance energético?

Parte III — La contabilidad radiativa del planeta.

  1. El Sol radia como un cuerpo a 5800 K5800\,\mathrm{K}: calcúlese su pico de Wien. ¿Intercepta mucha luz solar la flexión del CO2_2?
  2. El suelo radia como un cuerpo a 288 K288\,\mathrm{K}: calcúlese su pico de Wien y sitúense los 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} en esa curva térmica.
  3. Explíquese el mecanismo de efecto invernadero en cuatro frases: la luz solar entra, el infrarrojo térmico sale, se intercepta en 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} y se reemite tanto hacia arriba como hacia abajo.
  4. La reemisión que escapa al espacio procede de capas altas y frías (∼220 K\sim220\,\mathrm{K}): ¿por qué reduce la potencia saliente del planeta en esas longitudes de onda el hecho de emitir desde una capa más fría (recuérdese que la emisión térmica crece con TT)?
  5. Más CO2_2 empuja la capa emisora más arriba y más fría: enúnciese en una frase por qué debe entonces calentarse la superficie para reequilibrar las cuentas.
  6. El centro de la banda ya es opaco; el efecto del CO2_2 añadido actúa en las alas de la banda, lo que da un crecimiento logarítmico del forzamiento con la concentración: conéctese esto con la pregunta 11.

Parte IV — Isótopos: la huella dactilar cuántica.

  1. La frecuencia de un oscilador va como k/μ\sqrt{k/\mu}: para la tensión asimétrica, sustituir 12^{12}C por 13^{13}C cambia la masa efectiva; la línea observada se desplaza de 2349 cm−12349\,\mathrm{cm}^{-1} a unos 2283 cm−12283\,\mathrm{cm}^{-1}. Compruébese el orden de magnitud de este desplazamiento del ≈3%\approx 3\% a partir de las masas.
  2. Unos láseres sintonizados con esas dos líneas cuentan por separado el 13^{13}CO2_2 y el 12^{12}CO2_2 de una muestra de gas: explíquese por qué la escalera cuantizada hace posible esa detección resuelta en isótopos.
  3. Las plantas prefieren el isótopo ligero, de modo que el carbono fósil es pobre en 13^{13}C: ¿qué ha hecho la razón isotópica medida del CO2_2 atmosférico a medida que crecía su concentración, y qué demuestra eso sobre la fuente del gas añadido?
  4. La misma física de los 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} opera en Venus (96%96\% de CO2_2, 90 bar90\,\mathrm{bar}): ¿qué ilustra su superficie a 737 K737\,\mathrm{K}?
  5. Marte respira también CO2_2 casi puro, pero a 6 mbar6\,\mathrm{mbar}, y es gélido: ¿qué demuestra el trío Venus–Tierra–Marte sobre qué variable controla la intensidad del efecto?
  6. Resúmase el resultado con nombre propio: un cuanto de 83 meV83\,\mathrm{meV} — el ℏω\hbar\omega de la flexión de una molécula triatómica — aparcado en 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} sobre el espectro térmico de un planeta a 288 K288\,\mathrm{K}, absorbido, termalizado en nanosegundos y reemitido desde altitudes frías, es el mecanismo por el que un 0.04%0.04\% del aire fija la temperatura de la Tierra.
Solución

Solución de Problema 9.1.

1. Tres traslaciones; dos rotaciones (girar en torno al eje molecular no mueve nada); 9−5=49 - 5 = 4 vibraciones. 2. Modos de tensión a lo largo del eje (simétrico: los dos O salen a la vez; asimétrico: el C va y viene entre ellos); la flexión puede darse en cualquiera de dos planos perpendiculares — misma frecuencia, doble degeneración. 3. La tensión asimétrica y las flexiones separan los centros de carga: dipolo oscilante, activo en el infrarrojo. La tensión simétrica mantiene nulo el dipolo de la molécula en todo momento: muda en el infrarrojo. 4. 15.015.0, 4.264.26 y 7.2 µm7.2\,\text{µ}\mathrm{m}: todas infrarrojas; los 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} se sitúan de lleno en el infrarrojo térmico de las temperaturas terrestres. 5. Las moléculas homonucleares no adquieren nunca dipolo al vibrar: el grueso de la atmósfera es transparente al infrarrojo, y todo el efecto invernadero descansa sobre gases poliatómicos traza. 6. Entre las bandas del agua se abre la ventana de 88–13 µm13\,\text{µ}\mathrm{m}; la banda de 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} del dióxido de carbono opera en su borde, donde el agua compite débilmente — el gas guarda una puerta que el agua deja entornada. 7. ℏω2=667×1.24×10−4=82.7 meV\hbar\omega_2 = 667 \times 1.24 \times 10^{-4} = 82.7\,\mathrm{meV}; En=(n+12)×82.7 meVE_n = (n + \tfrac12) \times 82.7\,\mathrm{meV}. 8. e−82.7/24.8=e−3.33≈3.6%\eu^{-82.7/24.8} = \eu^{-3.33} \approx 3.6\% en n=1n = 1; 0.13%0.13\% en n=2n = 2: la escalera está levemente, pero permanentemente, encendida. 9. λ=hc/ℏω→15.0 µm\lambda = hc/\hbar\omega \to 15.0\,\text{µ}\mathrm{m}; el mismo espaciado que absorbe es el que emite — una sola longitud de onda en los dos sentidos. 10. Espaciado igual: todo paso n→n+1n \to n + 1 cuesta el mismo fotón, de modo que una sola línea sirve a toda la población térmica. 11. Cada línea vibracional se desdobla en muchas líneas rotovibracionales repartidas sobre ∼1 µm\sim1\,\text{µ}\mathrm{m}: una vez que el centro de la banda es completamente opaco, solo esa anchura ofrece absorción nueva — las alas de la banda son donde el gas adicional todavía actúa. 12. Las colisiones ganan por nueve órdenes de magnitud: la energía del fotón se comparte con el N2_2 y el O2_2 en cuestión de nanosegundos — la radiación absorbida se convierte en calor del aire. 13. Por esas mismas colisiones en sentido inverso, el aire sigue alimentando moléculas al nivel n=1n = 1, que radian 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} en todas las direcciones — incluida la de abajo: el propio cielo brilla en el infrarrojo sobre el suelo. 14. 2898/5800=0.50 µm2898/5800 = 0.50\,\text{µ}\mathrm{m}: la luz solar tiene su pico en el visible, muy lejos de los 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} — el dióxido de carbono deja entrar al Sol. 15. 2898/288=10.1 µm2898/288 = 10.1\,\text{µ}\mathrm{m}: el resplandor de la Tierra tiene su pico en diez micrómetros, y los 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} caen sobre su ancho hombro, llevándose una parte sustancial de la potencia saliente. 16. La luz solar entra casi sin estorbo y calienta el suelo. El suelo reemite en el infrarrojo térmico. En 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m} esa radiación se absorbe en cuestión de metros y se termaliza. El aire calentado reemite hacia arriba y hacia abajo, y la mitad descendente es un ingreso adicional para la superficie: esta debe calentarse hasta que los gastos igualen a los ingresos. 17. La emisión crece bruscamente con la temperatura: la radiación que escapa desde una altitud a 220 K220\,\mathrm{K} lleva mucha menos potencia que la que la superficie habría enviado directamente — la banda es una zona más apagada del espectro saliente del planeta. 18. Con la potencia saliente reducida a insolación fija, toda la columna — superficie incluida — debe calentarse hasta que las cuentas vuelvan a cuadrar. 19. Centro saturado, alas activas: cada duplicación del gas ensancha la región opaca en un incremento similar, de ahí un forzamiento aproximadamente logarítmico — las alas de la pregunta 11 haciendo el trabajo. 20. La frecuencia de la tensión asimétrica va al cuadrado como (1/mO+2/mC)(1/m_{ \text{O}} + 2/m_{\text{C}}): la razón de 13^{13}C sobre 12^{12}C vale 0.2163/0.2292=0.971\sqrt{0.2163/0.2292} = 0.971 — una caída del 2.9%2.9\%, que coincide con 2283/23492283/2349. 21. La cuantización da a cada isotopólogo su propio peine nítido de líneas; un láser aparcado en un peine cuenta un solo isótopo — imposible si la absorción fuera un continuo clásico. 22. A medida que subía el CO2_2, su fracción de 13^{13}C bajaba (el efecto Suess): el carbono añadido es isotópicamente ligero — hecho por plantas, enterrado hace mucho, es decir, fósil. La atmósfera lleva la firma de su fuente. 23. Venus: el mismo cuanto de 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m}, aplicado sobre una columna 200000200000 veces mayor, mantiene una superficie más caliente que un horno — el mecanismo no tiene techo incorporado. 24. Marte, casi CO2_2 puro y sin embargo glacial, muestra que lo que fija la intensidad es la cantidad de columna y la presión (que ensancha las líneas), no la fracción del gas. 25. Un cuanto de 83 meV83\,\mathrm{meV} en 15 µm15\,\text{µ}\mathrm{m}, absorbido sobre el hombro térmico de un planeta a 288 K288\,\mathrm{K}, termalizado en nanosegundos y reemitido desde alturas frías: la escalera del oscilador armónico, sopesada frente a la ley de Wien, es la maquinaria por la que cuatro moléculas de cada diez mil gobiernan un clima.

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