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Physique · Glossaire

Qu'est-ce que « Opérateurs d’échelle » ?

Définition 9.1 Physique universitaire — 3e année · Chapitre 9 — L’oscillateur harmonique quantique

Pour H^=p^2/2m+12mω2x^2\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2, introduisons le couple sans dimension et non hermitien

a^=mω2ℏ(x^+ip^mω),a^†=mω2ℏ(x^−ip^mω).\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x + \frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad \hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x - \frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .

À partir de [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar :

[a^,a^†]=1,H^=ℏω(N^+12),N^=a^†a^.[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad \hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad \hat N = \hat a^\dagger\hat a .

N^\hat N est hermitien ; ses valeurs propres compteront des quanta, et a^\hat a, a^†\hat a^\dagger — les opérateurs d’annihilation et de création — en retireront et en ajouteront un.

L’échelle de l’oscillateur : des marches égales , gravies par a et descendues par a, reposant sur un plancher situé une demi-marche au-dessus de l’énergie de masse classique.
L’échelle de l’oscillateur : des marches égales ℏω\hbar\omega, gravies par a^†\hat a^\dagger et descendues par a^\hat a, reposant sur un plancher situé une demi-marche au-dessus de l’énergie de masse classique.
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