Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

16Ondas guiadas y cavidades

El pulso de un radar viaja del transmisor a la antena parabólica dentro de un tubo rectangular de cobre; la luz de un enlace de internet viaja diez mil kilómetros dentro de un hilo de vidrio más fino que un cabello; las microondas de un horno rebotan entre sus paredes y se asientan en un patrón de puntos calientes y fríos. Una onda confinada por paredes conductoras o refringentes ya no es una onda plana libre de ir a cualquier parte: debe satisfacer las condiciones de contorno en las paredes, y eso selecciona las formas que puede tomar — los modos — y se lo prohíbe por debajo de una frecuencia de corte. Este capítulo construye la guía más sencilla, dos placas conductoras paralelas, a partir de las reflexiones de Capítulo 15; después, la guía de ondas rectangular, la cavidad cerrada y, en la imagen de los rayos, la fibra óptica.

16.1 Ondas entre dos placas conductoras

Proposición 16.1 (Modos de la guía de placas paralelas)

Dos planos perfectamente conductores $y = 0$ e $y = a$ limitan un vacío. Búsquese una onda que viaja según $z$ con $\vect E = E(y)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} \vect e_x$ (el campo paralelo a las placas y perpendicular a la propagación). Las ecuaciones de Maxwell en el vacío y la condición $E = 0$ en las placas imponen

E(y) = E_0\sin\frac{n\pi y}a , \qquad k_g^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \Bigl(\frac{n\pi}a\Bigr)^2 , \qquad n = 1, 2, \dots

El modo $n$ solo se propaga por encima de su frecuencia de corte $f_n = nc/2a$ ; por debajo, $k_g$ es imaginario y el campo decae a lo largo de la guía. Sus velocidades de fase y de grupo valen

v_\varphi = \frac c{\sqrt{1 - f_n^2/f^2}} > c , \qquad v_g = c\sqrt{1 - f_n^2/f^2} < c , \qquad v_\varphi v_g = c^2 ,

y su campo magnético tiene componentes según $y$ y según $z$ : una onda guiada no es transversal en la dirección de propagación.

Demostración. Introdúzcase en $\Delta\vect E = \partial_t^2\vect E/c^2$ : $E'' - k_g^2E = -(\omega^2/c^2)E$ , es decir, $E'' + (\omega^2/c^2 - k_g^2)E = 0$ , cuyas soluciones que se anulan en $y = 0$ e $y = a$ son los senos con $\omega^2/c^2 - k_g^2 = (n\pi/a)^2$ ; $\operatorname{div} \vect E = 0$ se cumple porque $E_x$ no depende de $x$ . Faraday da $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ y $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E$ , esta última en cuadratura. Las velocidades se siguen de la forma de Klein–Gordon de la relación de dispersión (Capítulo 8). ∎

Observación 16.2 (El modo visto como dos ondas planas)

$\sin(n\pi y/a)\eu^{-\iu k_gz}$ es la suma de dos ondas planas de vectores de onda $(0, \pm n\pi/a, k_g)$ , de módulo $\omega/c$ , que rebotan entre las placas con el ángulo $\theta$ respecto del eje dado por $\cos\theta = k_gc/\omega$ : un modo guiado es una onda plana que zigzaguea entre las paredes, reflejada con $r = -1$ en cada una, siendo la onda estacionaria transversal la condición de que interfiera consigo misma constructivamente. La energía viaja a lo largo del zigzag a $c$ , y por tanto según el eje a $c\cos\theta = v_g$ ; las intersecciones de las crestas con el eje corren a $c/\cos\theta = v_\varphi$ . En el corte, la onda rebota de un lado a otro de la guía y no va a ninguna parte.

A la izquierda, un modo guiado es una onda plana que rebota entre las placas; el ángulo se abre a medida que la frecuencia se acerca al corte. A la derecha, los perfiles transversales E(y) de los dos primeros modos, que se anulan en las paredes conductoras. — A la izquierda, un modo guiado es una onda plana que rebota entre las placas; el ángulo $\theta$ se abre a medida que la frecuencia se acerca al corte. A la derecha, los perfiles transversales $E(y)$ de los dos primeros modos, que se anulan en las paredes conductoras.

A la izquierda, las curvas de dispersión de los tres primeros modos de una guía, cada una una hipérbola que arranca en su corte. A la derecha, las velocidades de fase y de grupo de un modo frente a la frecuencia; la energía se arrastra cerca del corte y se acerca a c muy por encima. — A la izquierda, las curvas de dispersión de los tres primeros modos de una guía, cada una una hipérbola que arranca en su corte. A la derecha, las velocidades de fase y de grupo de un modo frente a la frecuencia; la energía se arrastra cerca del corte y se acerca a $c$ muy por encima.

Ejemplo 16.3 (Números)

Placas separadas $3\,\mathrm{cm}$ : $f_1 = 5\,\mathrm{GHz}$ , $f_2 = 10\,\mathrm{GHz}$ ; entre esas frecuencias solo se propaga un modo (funcionamiento monomodo, que evita que un pulso se parta en varios con distintas $v_g$ ). A $8\,\mathrm{GHz}$ el modo $n = 1$ tiene $v_g = 0.78c$ , $v_\varphi = 1.28c$ y la longitud de onda en la guía $\lambda_g = 2\pi/k_g = 4.8\,\mathrm{cm}$ en vez de $3.75\,\mathrm{cm}$ en el espacio libre. A $4\,\mathrm{GHz}$ no pasa nada: el campo decae como $\eu^{-z/\ell}$ con $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.6\,\mathrm{cm}$ — el principio de la rejilla de la puerta de un horno, de la guía de ondas por debajo del corte usada como atenuador calibrado y de los conductos metálicos de ventilación que dejan pasar el aire pero no la radio.

16.2 La guía de ondas rectangular y la cavidad

Proposición 16.4 (La guía rectangular; el modo TE $_{10}$ )

Un tubo metálico hueco de sección rectangular $a \times b$ ( $a > b$ ) lleva modos cuyas frecuencias de corte valen

f_{mn} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2} ;

el más bajo, el modo TE $_{10}$ ( $f_{10} = c/2a$ ), tiene $\vect E = E_0\sin (\pi x/a)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\,\vect e_y$ : un semiseno a lo ancho del lado grande, uniforme a lo largo del lado estrecho, que se anula en las dos paredes $x = 0$ , $x = a$ — exactamente el modo de placas paralelas, pues las paredes laterales $y = 0$ , $b$ son perpendiculares a $\vect E$ y no le imponen nada. La guía se usa entre $f_{10}$ y el corte siguiente; sus líneas de campo magnético se cierran en el plano $xz$ y las corrientes que inducen en las paredes son las que una ranura no debe cortar. La potencia transportada vale $\tfrac14\varepsilon_0cE_0^2\,ab \sqrt{1 - f_{10}^2/f^2}$ .

Demostración. El modo general son productos de $\cos$ y $\sin$ en $x$ y en $y$ con las condiciones de contorno en las cuatro paredes, que dan $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (m\pi/a)^2 - (n\pi/b)^2$ (admitido en general; el caso TE $_{10}$ es la proposición anterior). Potencia: el vector de Poynting medio según $z$ vale $E_0^2\sin^2(\pi x/a) \,k_g/2\mu_0\omega$ integrado sobre la sección. ∎

El modo TE_10 de una guía rectangular: el campo eléctrico abarca la dimensión estrecha con un perfil de semiseno a lo ancho de la grande; el campo magnético se cierra en bucles en el plano de las caras anchas, de media longitud de onda de guía. — El modo TE $_{10}$ de una guía rectangular: el campo eléctrico abarca la dimensión estrecha con un perfil de semiseno a lo ancho de la grande; el campo magnético se cierra en bucles en el plano de las caras anchas, de media longitud de onda de guía.

Proposición 16.5 (Cavidad resonante)

Cerrar una guía con dos paredes conductoras separadas una longitud $d$ la convierte en una cavidad, en la que la onda guiada debe formar también una onda estacionaria según $z$ : $k_g = p\pi/d$ , y las frecuencias de resonancia de una caja rectangular $a \times b \times d$ valen

f_{mnp} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2 + \Bigl(\frac pd\Bigr)^2} .

El número de modos de frecuencia menor que $f$ crece como $8\pi V f^3/3c^3$ para una caja de volumen $V$ (admitido: cuéntense los puntos de la red $(m/2a, n/2b, p/2d)$ en un octavo de esfera, con dos polarizaciones) — la densidad de modos que necesitará la teoría de la radiación térmica (Capítulo 26). Cada modo tiene un factor de calidad $Q$ fijado por las pérdidas en las paredes (la resistencia superficial de Capítulo 14), típicamente de $10^3$ a $10^4$ para el cobre en microondas y de $10^{10}$ para una cavidad superconductora.

Demostración. Ondas estacionarias según las tres direcciones con nodos en las seis paredes; el vector de onda $(m\pi/a, n\pi/b, p\pi/d)$ tiene módulo $\omega/c$ . ∎

Ejemplo 16.6 (Hornos, radares, relojes)

Un horno microondas de $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ cerca de $2.45\,\mathrm{GHz}$ tiene decenas de modos dentro de un pequeño porcentaje de la frecuencia del magnetrón: el campo es una superposición de ondas estacionarias, con máximos separados $6\,\mathrm{cm}$ , que el plato giratorio (y un “agitador de modos”) suaviza. El magnetrón de un radar es él mismo una cavidad resonante; un acelerador de partículas es una cadena de cavidades superconductoras cuyo modo TM empuja los paquetes; los átomos de un reloj de cesio cruzan una cavidad de microondas sintonizada a $9.19\,\mathrm{GHz}$ .

16.3 La fibra óptica en la imagen de los rayos

Proposición 16.7 (Fibra de salto de índice)

Un núcleo de vidrio de índice $n_1$ rodeado de un revestimiento de índice algo menor $n_2$ guía la luz por reflexión total interna en el borde del núcleo. Un rayo que entra por la cara del extremo desde el aire con un ángulo $\alpha$ respecto del eje queda atrapado si $\sin\alpha < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , la apertura numérica; los rayos de ángulos distintos recorren longitudes distintas, y un pulso que entra en una fibra de longitud $L$ se ensancha en

\Delta t = \frac{n_1L}c\Bigl(\frac{n_1}{n_2} - 1\Bigr) ,

la dispersión modal — unos $50\,\mathrm{ns}$ por kilómetro para $n_1 - n_2 = 0.01$ , lo que limita una fibra multimodo a unos pocos megabits por segundo en diez kilómetros. Una fibra monomodo tiene un núcleo tan fino ( $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) que solo se propaga un modo, como la guía entre sus dos primeros cortes; lo que queda es la dispersión cromática del vidrio (Capítulo 8).

Demostración. La reflexión total en la interfaz núcleo–revestimiento exige $\sin\theta > n_2/n_1$ para el ángulo $\theta$ respecto de la normal al borde, es decir, $\cos \theta' > n_2/n_1$ para el ángulo $\theta'$ respecto del eje por dentro; la refracción en la entrada da $\sin\alpha = n_1\sin\theta'$ , de donde $\sin\alpha < n_1\sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ . El rayo atrapado más inclinado recorre $L/\cos\theta' = Ln_1/n_2$ frente a $L$ del axial, a $c/n_1$ . ∎

Una fibra de salto de índice en la imagen de los rayos: los rayos dentro del cono de aceptación quedan atrapados por reflexión total interna; el rayo en zigzag llega después del axial — dispersión modal.

Método 16.8 (Contabilidad de una onda guiada)

(1) Identifíquense las paredes y su condición (en un conductor, $\vect E = 0$ tangencial; reflexión total para un dieléctrico). (2) Escríbase el campo como una onda estacionaria transversal por un factor progresivo a lo largo de la guía; las condiciones de contorno cuantizan el número de onda transversal. (3) La relación de dispersión $k_g^2 = \omega^2/c^2 - k_\perp^2$ da el corte, $v_\varphi$ , $v_g$ y $\lambda_g$ . (4) Cuéntense los modos que se propagan a la frecuencia de trabajo; apúntese a uno solo. (5) Para una cavidad, añádase la condición longitudinal y hállense las frecuencias de resonancia; para las pérdidas, úsese la resistencia superficial.

16.4 Ejercicios

Ejercicio 16.1 ★

Placas separadas $2.0\,\mathrm{cm}$ : frecuencias de corte de los tres primeros modos; a $12\,\mathrm{GHz}$ , qué modos se propagan y, para el primero, $k_g$ , $\lambda_g$ , $v_\varphi$ , $v_g$ ; a $6\,\mathrm{GHz}$ , la longitud de decaimiento del campo.

Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

$f_n = nc/2a = 7.5$ , $15$ , $22.5\,\mathrm{GHz}$ . A $12\,\mathrm{GHz}$ solo $n = 1$ : $k_g = (2\pi/c)\sqrt{f^2 - f_1^2} = 196\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda_g = 3.2\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = c/0.78 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 2.3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . A $6\,\mathrm{GHz}$ : $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.1\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 16.2 ★

Una guía de ondas normalizada de banda X tiene $a = 22.9\,\mathrm{mm}$ , $b = 10.2\,\mathrm{mm}$ . Corte de TE $_{10}$ , de TE $_{20}$ y de TE $_{01}$ ; banda monomodo; a $10\,\mathrm{GHz}$ : $\lambda_g$ , $v_g$ y el ángulo del zigzag. ¿Por qué es $b \approx a/2$ una buena elección?

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

TE $_{10}$ $6.55\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{20}$ $13.1\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{01}$ $14.7\,\mathrm{GHz}$ : monomodo de $6.55$ a $13.1\,\mathrm{GHz}$ . A $10\,\mathrm{GHz}$ : $\sqrt{1 - (6.55/10)^2} = 0.756$ , $\lambda_g = 4.0\,\mathrm{cm}$ , $v_g = 0.76c$ , $\cos\theta = 0.756$ , $\theta = 41{}^{\circ}$ . Con $b \approx a/2$ , TE $_{01}$ queda por encima de TE $_{20}$ (la banda monomodo más ancha) dejando a la vez el mayor hueco para el campo (potencia antes de la ruptura).

Ejercicio 16.3 ★

Una cavidad de $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ : frecuencias de los modos $(1,1,0)$ , $(1,0,1)$ , $(2,1,1)$ y $(3,2,1)$ ; número de modos por debajo de $2.5\,\mathrm{GHz}$ con la fórmula de recuento; el modo más bajo de una cavidad cúbica de $9.19\,\mathrm{GHz}$ — su lado.

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

$f = 1.5 \times 10^8\sqrt{(m/0.3)^2 + (n/0.3)^2 + (p/0.2)^2}$ : $0.71\,\mathrm{GHz}$ , $0.90\,\mathrm{GHz}$ , $1.35\,\mathrm{GHz}$ , $1.95\,\mathrm{GHz}$ . $N = 8\pi Vf^3/3c^3 = 8\pi \times 0.018 \times 1.56 \times 10^{28}/ 8.1 \times 10^{25} \approx 260$ . Cubo: $f = c\sqrt2/2L$ , $L = 2.3\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 16.4 ★

Una fibra tiene $n_1 = 1.48$ , $n_2 = 1.46$ . Apertura numérica y semiángulo de aceptación; ensanchamiento modal por kilómetro; tasa binaria máxima en $2\,\mathrm{km}$ si un bit debe durar más que el ensanchamiento; lo mismo con $n_1 - n_2 = 0.003$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

$\mathrm{AN} = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = 0.24$ , $14{}^{\circ}$ ; $\Delta t = (n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $135\,\mathrm{ns}$ en $2\,\mathrm{km}$ : $7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; con $0.003$ : $10\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 16.5 ★★

Para el modo $n = 1$ de las placas paralelas: (a) hállese $\vect B$ con la ley de Faraday y muéstrese que tiene una componente $z$ en cuadratura con $E$ . (b) Corriente superficial en cada placa (relación de paso). (c) Vector de Poynting medio según $z$ y potencia por unidad de anchura; compruébese que su componente transversal promedia cero. (d) Muéstrese que la velocidad de la energía, potencia entre energía media por unidad de longitud, es igual a $v_g$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

(a) $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ , $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E = (\iu\pi/a\omega) E_0\cos(\pi y/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}$ : en cuadratura. (b) En $y = 0$ , $B_y = 0$ y $\vect j_s = \vect e_y\wedge\vect B/\mu_0 = (B_z/\mu_0)\vect e_x$ : según el campo. (c) $\langle\Pi_z\rangle = E_0^2k_g\sin^2(\pi y/a)/2\mu_0\omega$ , potencia por unidad de anchura $E_0^2k_ga/4\mu_0\omega$ ; $\langle\Pi_y\rangle \propto \operatorname{Re}(\underline E\,\iu\underline B_z^*) = 0$ . (d) Energía media por unidad de longitud y de anchura $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2a$ (las mitades eléctrica y magnética valen $\tfrac18\varepsilon_0E_0^2a$ cada una); el cociente es $c^2k_g/\omega = v_g$ .

Ejercicio 16.6 ★★

Por debajo del corte. (a) Un agujero de $1\,\mathrm{mm}$ en la rejilla de $0.5\,\mathrm{mm}$ de una puerta de horno a $2.45\,\mathrm{GHz}$ : trátese como una guía de anchura $a = 1\,\mathrm{mm}$ ; longitud de decaimiento y atenuación al atravesar la chapa, en dB (compárese con Capítulo 14). (b) Un conducto de ventilación de $20\,\mathrm{cm}$ de sección en una sala apantallada: ¿hasta qué frecuencia bloquea la radio, y cuánto atenúa $100\,\mathrm{MHz}$ en $1\,\mathrm{m}$ ? (c) Un “atenuador de guía por debajo del corte” usa un tubo de $1\,\mathrm{cm}$ de diámetro a $1\,\mathrm{GHz}$ : atenuación por centímetro (úsese la fórmula de las placas con $a = 1\,\mathrm{cm}$ como estimación). (d) ¿Por qué es la atenuación independiente de la conductividad de las paredes?

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

(a) $f_1 = 150\,\mathrm{GHz} \gg f$ : $\ell \approx a/\pi = 0.32\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-0.5/0.32}$ : $-14\,\mathrm{dB}$ en amplitud, $-27$ en potencia. (b) $f_1 = 750\,\mathrm{MHz}$ ; a $100\,\mathrm{MHz}$ , $\ell = 6.4\,\mathrm{cm}$ : $-136\,\mathrm{dB}$ en un metro. (c) $f_1 = 15\,\mathrm{GHz}$ , $\ell = 3.2\,\mathrm{mm}$ : $27\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}$ . (d) La onda no cabe; la evanescencia es geometría, no disipación.

Ejercicio 16.7 ★★

Potencia y ruptura dieléctrica. La guía de banda X de Ejercicio 16.2 lleva TE $_{10}$ a $10\,\mathrm{GHz}$ . (a) Potencia para $E_0 = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . (b) El aire se rompe a $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : potencia máxima; ¿cómo llevan megavatios los radares (presurización, gases)? (c) Pérdidas en las paredes: la corriente superficial en la pared ancha es del orden de $E_0/\mu_0c$ ; con $R_s = 0.026\,\Omega$ para el cobre a $10\,\mathrm{GHz}$ , estímense la pérdida por metro y la atenuación en dB/m. (d) Compárese con los $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ de un cable coaxial: ¿por qué se usan guías a estas frecuencias?

Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

(a) $P = \tfrac14\varepsilon_0cE_0^2ab\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2} = 120\,\mathrm{kW}$ . (b) $\times9$ : $1\,\mathrm{MW}$ ; el nitrógeno a presión o el SF $_6$ elevan el campo de ruptura. (c) $j_s \approx E_0/\mu_0c = 2.7\,\mathrm{kA}/\mathrm{m}$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 = 9 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $2a = 0.046\,\mathrm{m}^{2}$ por metro: $4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}$ , el $3.5\%$ por metro, unos $0.15\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) Tres veces menos que el cable, y megavatios en vez de kilovatios.

Ejercicio 16.8 ★★

Calidad de una cavidad. Una cavidad cúbica de cobre de $10\,\mathrm{cm}$ de lado en su modo más bajo. (a) Frecuencia. (b) La energía almacenada vale $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V/4$ (admitido) y la pérdida en las paredes, $\tfrac12R_sH_0^2\times$ área con $H_0 \approx E_0/ \mu_0c$ y $R_s = 1/\gamma\delta$ : factor de calidad $Q = \omega W/P$ — calcúlese. (c) Ancho de banda $f/Q$ de la resonancia; tiempo de extinción $Q/\omega$ . (d) Una cavidad superconductora tiene $R_s \sim 1 \times 10^{-8}\,\Omega$ : $Q$ , y por qué las usan los aceleradores.

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

(a) $f = c\sqrt2/2L = 2.12\,\mathrm{GHz}$ . (b) $\delta = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 12\,\mathrm{m}\Omega$ ; $W = \varepsilon_0E_0^2V/8 = 1.1 \times 10^{-15}\,E_0^2$ ; $P = \tfrac12R_s(E_0/377)^2 \times 6L^2 = 2.5 \times 10^{-9}\,E_0^2$ : $Q = \omega W/P \approx 6000$ . (c) $360\,\mathrm{kHz}$ ; $0.45\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) $Q \sim 10^{10}$ : el campo de decenas de megavoltios por metro se sostiene con kilovatios en vez de gigavatios.

Ejercicio 16.9 ★★

Recuento de modos. (a) Muéstrese que el número de modos de una caja de volumen $V$ con frecuencia menor que $f$ vale $N(f) = 8\pi Vf^3/3c^3$ (puntos $(m, n, p)$ en el octavo de esfera de radio $2fL/c$ para un cubo, con dos polarizaciones). (b) El número de modos por unidad de volumen y de frecuencia, $\dd N/V\dd f = 8\pi f^2/c^3$ . (c) Una sala de $1\,\mathrm{m}^{3}$ : modos por hercio a $1\,\mathrm{GHz}$ ; y a $500\,\mathrm{THz}$ (luz visible). (d) ¿Por qué tiene una cavidad pequeña modos escasos mientras que una sala grande tiene un continuo — y cuál es el caso del horno a $2.45\,\mathrm{GHz}$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

(a) Los puntos $(m, n, p)$ con $m^2 + n^2 + p^2 \le (2fL/c)^2$ llenan un octavo de esfera: $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi(2fL/c)^3$ , por dos polarizaciones: $8\pi L^3f^3/3c^3$ . (b) $8\pi f^2/c^3$ . (c) $9 \times 10^{-7}$ por hercio (uno por megahercio) a $1\,\mathrm{GHz}$ ; $2 \times 10^5$ por hercio a $500\,\mathrm{THz}$ . (d) Los modos son discretos cuando su separación supera su anchura; en el horno, un modo por cada $10\,\mathrm{MHz}$ más o menos en torno a $2.45\,\mathrm{GHz}$ — decenas dentro de unos pocos por ciento.

Ejercicio 16.10 ★★★

TE $_{10}$ al completo. En la guía $0 < x < a$ , $0 < y < b$ : $\vect E = E_0\sin(\pi x/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\vect e_y$ . (a) Con Faraday, hállense $\underline B_x$ y $\underline B_z$ ; compruébese $\operatorname{div}\vect B = 0$ . (b) Compruébese Maxwell–Ampère en el vacío y recupérese $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (\pi/a)^2$ . (c) Corrientes superficiales en las cuatro paredes (las anchas $y = 0$ , $b$ y las estrechas $x = 0$ , $a$ ); ¿qué corrientes van según $z$ y cuáles transversalmente? (d) Una ranura cortada según $z$ en el centro de una pared ancha no radia, y una ranura transversal sí: explíquese.

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

(a) De $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ :

\underline B_x = -\frac{k_g}\omega\underline E , \qquad \underline B_z = \frac{\iu\pi}{a\omega}E_0\cos\frac{\pi x}a\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} ,

y $\partial_xB_x + \partial_zB_z = -(k_g\pi/a\omega)E_0\cos(\pi x/a) + (k_g\pi/a\omega)E_0 \cos(\pi x/a) = 0$ . (b) $(\operatorname{\vect{curl}}\vect B)_y = \partial_zB_x - \partial_xB_z = (\iu/\omega)(k_g^2 + \pi^2/a^2)\underline E = (\iu\omega/c^2)\underline E$ : $k_g^2 = \omega^2/c^2 - \pi^2/a^2$ . (c) Paredes anchas: $\vect j_s = \pm(B_z\vect e_x - B_x\vect e_z)/\mu_0$ — según $z$ como $\sin(\pi x/a)$ , y transversalmente como $\cos(\pi x/a)$ (nula en el centro); paredes estrechas: solo según $y$ . (d) Una ranura longitudinal central corta solo corrientes transversales, que allí se anulan; una ranura transversal corta las longitudinales y radia: la antena de guía ranurada.

Ejercicio 16.11 ★★★

Guía dieléctrica. Una lámina de índice $n_1$ y espesor $a$ en un medio $n_2 < n_1$ guía la luz por reflexión total. (a) Para un rayo con ángulo $\theta$ respecto de la normal a las caras, la condición de guiado es que la fase de ida y vuelta a través de la lámina, $2k_0n_1a\cos\theta - 2\varphi_r$ ( $\varphi_r$ el desfase de la reflexión total, tomado aquí $\approx 0$ ), sea un múltiplo de $2\pi$ : número de modos para $a = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $n_1 = 1.48$ , $n_2 = 1.46$ (admítase el recuento de modos $\approx 2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda$ por polarización). (b) Espesor para un solo modo. (c) Compárese con el núcleo de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ de una fibra monomodo. (d) ¿Por qué la guía dieléctrica, a diferencia de la metálica, no puede tener corte para su modo más bajo?

Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

(a) $2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda = 2 \times 50 \times 0.242/1.5 \approx 16$ por polarización. (b) $a < \lambda/2\mathrm{AN} = 3.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Un núcleo redondo con $\mathrm{AN} = 0.12$ es monomodo por debajo de $d = 2.405\lambda/\pi\mathrm{AN} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : el estándar de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Un rayo rasante siempre se refleja totalmente: el modo más bajo existe a cualquier frecuencia, y sus colas evanescentes se limitan a extenderse por el revestimiento.

Ejercicio 16.12 ★★★

Fibra de índice gradual. Para reducir la dispersión modal, el índice del núcleo decrece del eje hacia fuera, $n(r) = n_1\sqrt{1 - 2\Delta(r/a)^2}$ con $\Delta \approx 0.01$ . (a) Explíquese cualitativamente por qué un rayo fuera del eje, aunque más largo, puede tardar lo mismo que el axial. (b) Con la ecuación de los rayos en un medio estratificado, $n(r)\cos\theta(r) =$ const., muéstrese que un rayo lanzado desde el eje con un ángulo pequeño oscila senoidalmente en torno a él (desarróllese $n$ a segundo orden). (c) Periodo de la oscilación para $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) El ensanchamiento modal residual es del orden de $n_1L\Delta^2/2c$ : valor por kilómetro, comparado con el $n_1L\Delta/c$ del salto de índice.

Solución

Solución de Ejercicio 16.12.

(a) El rayo fuera del eje pasa su tiempo en un índice menor, donde la luz es más rápida: el camino más largo queda compensado. (b) $n(r)\cos\theta = n_1\cos\theta_0$ con $n \approx n_1(1 - \Delta r^2/a^2)$ y $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ : $(\dd r/\dd z)^2 = \theta_0^2 - 2\Delta r^2/a^2$ , una oscilación armónica $r = r_0\sin(\sqrt{2\Delta}\,z/a)$ . (c) $2\pi a/\sqrt{2\Delta} = 1.1\,\mathrm{mm}$ . (d) $n_1L\Delta^2/2c = 0.25\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ frente a $49\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ : doscientas veces mejor.

Fibras ópticas iluminadas desde sus extremos lejanos: luz atrapada por reflexión total interna en un núcleo más fino que un cabello, y guiada por cada curva suave.

16.5 Problema: la cavidad del horno y la fibra óptica

Problema 16.1

Problema de fin de semana — dos sistemas de ondas guiadas en toda cocina y toda ciudad: el horno que cocina con ondas estacionarias y la fibra que transporta internet

Parte I — Del magnetrón a la cavidad. Un magnetrón inyecta $800\,\mathrm{W}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ en una guía de ondas rectangular ( $a = 8.6\,\mathrm{cm}$ , $b = 4.3\,\mathrm{cm}$ ) que desemboca en la cavidad del horno ( $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ ); paredes de acero, $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Frecuencias de corte de los modos TE $_{10}$ , TE $_{20}$ y TE $_{01}$ de la guía; compruébese que a $2.45\,\mathrm{GHz}$ solo se propaga TE $_{10}$ .
Longitud de onda de guía y velocidades de fase y de grupo a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Amplitud del campo $E_0$ en la guía para $800\,\mathrm{W}$ (fórmula de la potencia del TE $_{10}$ ); compárese con el campo de ruptura del aire.
Amplitud de la corriente superficial en la pared ancha (del orden de $E_0/\mu_0c$ ); profundidad de penetración y resistencia superficial del acero; pérdida por metro de guía.
Modos de la cavidad: enumérense los de frecuencia dentro del $3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$ (pruébese con $(m, n, p)$ hasta $4$ ); ¿cuántos hay?
Distancia entre los puntos calientes de uno de esos modos según cada eje; ¿por qué gira el plato y qué es un “agitador de modos”?
El factor de calidad de la cavidad cargada con comida vale unos $200$ : ancho de banda de su respuesta; por qué no importa mucho un desajuste entre la frecuencia del magnetrón y los modos.
La cavidad vacía tiene $Q \approx 3000$ : energía almacenada con $800\,\mathrm{W}$ de entrada, densidad media de energía y amplitud del campo; compárese con la pregunta 3 y con la ruptura. ¿Qué protege al magnetrón cuando el horno funciona vacío?
Tiempo que tarda la energía en recorrer los $20\,\mathrm{cm}$ de guía desde el magnetrón hasta la cavidad.
El magnetrón se alimenta con una fuente rectificada de media onda y emite solo durante medio ciclo de la red: potencia de pico durante los pulsos para una media de $800\,\mathrm{W}$ ; ¿qué hace la cavidad entre pulsos (úsese $Q \approx 200$ )?

Parte II — La puerta y el corte.

La rejilla de la puerta tiene agujeros de $1.5\,\mathrm{mm}$ en una chapa de $1\,\mathrm{mm}$ : longitud de decaimiento en un agujero y atenuación en dB al atravesar la chapa.
El borde de la puerta lo sella una “trampa” de cuarto de onda: una ranura de $\lambda/4$ de profundidad alrededor del marco, que presenta un circuito abierto en la rendija (recuérdese Capítulo 15): profundidad de la ranura a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
La fuga legal es de $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ a $5\,\mathrm{cm}$ : ¿a qué fracción de los $800\,\mathrm{W}$ a través de una puerta de $100\,\mathrm{cm}^{2}$ corresponde?
Un conducto de $30\,\mathrm{cm}$ y $4\,\mathrm{cm}$ de diámetro ventila la cavidad: ¿está por debajo del corte a $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? Atenuación en toda su longitud.
¿Por qué debe estar la rejilla unida eléctricamente al marco de la puerta en todo su contorno (a qué se parecería una interrupción de esa unión)?

Parte III — La fibra. Una fibra de salto de índice: núcleo $n_1 = 1.465$ , revestimiento $n_2 = 1.460$ , diámetro del núcleo $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (multimodo) o $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ (monomodo); $\lambda = 1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; atenuación $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .

Apertura numérica y ángulo de aceptación; ¿es fácil acoplar la luz dentro?
Ensanchamiento modal por kilómetro de la fibra multimodo; tasa binaria máxima en $10\,\mathrm{km}$ (un bit por tiempo de ensanchamiento).
Número de modos de la fibra multimodo (admítase $N \approx \tfrac12(\pi d\,\mathrm{AN}/\lambda)^2$ ); y de la monomodo ( $d = 9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : muéstrese que la misma fórmula da alrededor de $1$ ).
En la fibra monomodo el ensanchamiento que queda es cromático: con $\omega'' \approx -0.2\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (Capítulo 8) y pulsos de $50\,\mathrm{ps}$ , distancia en la que un pulso se duplica; tasa binaria en $100\,\mathrm{km}$ .
Atenuación en $100\,\mathrm{km}$ en dB y como cociente de potencias; con $1\,\mathrm{mW}$ de entrada: potencia de salida; con amplificadores cada $80\,\mathrm{km}$ , ¿cuántos hacen falta para un enlace transatlántico de $6000\,\mathrm{km}$ ?
Frecuencia y energía del fotón a $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; fotones por segundo en $1\,\mathrm{mW}$ , y por bit a $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ , a la entrada y tras $100\,\mathrm{km}$ .
¿Por qué $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ (piénsese en los dos mecanismos de pérdida de la sílice: la dispersión Rayleigh, que cae como $1/\lambda^4$ , y la absorción infrarroja, que crece más allá de $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ )?
Reflexión de Fresnel en un extremo de fibra cortado frente al aire: pérdida en dB; por qué los conectores usan gel adaptador de índice o contacto físico pulido.
¿Por qué no radia una fibra en una curva suave, y por qué pierde luz en una brusca (piénsese en el ángulo del rayo sobre el borde del núcleo)?
Compárense las dos guías de este problema: qué confina la onda, qué limita el ancho de banda y cuáles son las pérdidas.

Solución

Solución de Problema 16.1.

1. $c/2a = 1.74\,\mathrm{GHz}$ ; TE $_{20}$ y TE $_{01}$ : $3.49\,\mathrm{GHz}$ : a $2.45\,\mathrm{GHz}$ , solo TE $_{10}$ .

2. $\sqrt{1 - (1.74/2.45)^2} = 0.70$ : $\lambda_g = 17.4\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = 1.42c$ , $v_g = 0.70c = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

3. $E_0^2 = 4P/\varepsilon_0c\,ab\sqrt{\cdot} = 3200/6.9 \times 10^{-6}$ : $E_0 = 21\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , una centésima de la ruptura.

4. $j_s \approx E_0/\mu_0c = 57\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; $\delta = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 \times 2a = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ : el $3.5\%$ por metro — el acero tiene pérdidas, pero la guía es corta.

5. $f = 1.5 \times 10^8\sqrt{11.1(m^2 + n^2) + 25p^2}$ dentro del $\pm3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $(1, 2, 3)$ , $(2, 1, 3)$ a $2.51\,\mathrm{GHz}$ , $(4, 0, 2)$ , $(0, 4, 2)$ , $(4, 3, 0)$ , $(3, 4, 0)$ a $2.50\,\mathrm{GHz}$ — unos seis.

6. Semilongitudes de onda $a/m$ , $b/n$ , $d/p$ : de $7$ a $10\,\mathrm{cm}$ de separación. El plato giratorio arrastra la comida por máximos y mínimos; un agitador (un ventilador metálico giratorio) rebaraja los modos.

7. $f/Q = 12\,\mathrm{MHz}$ : las resonancias cargadas se solapan en un continuo; el magnetrón siempre encuentra un modo al que alimentar.

8. $W = QP/\omega = 3000 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 0.16\,\mathrm{J}$ ; $u = 8.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 \approx \sqrt{4u/\varepsilon_0} = 2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ — cerca de la ruptura: arcos; la potencia reflejada vuelve al magnetrón, protegido (un poco) por una carga falsa o un circulador — de ahí lo de “nunca lo pongas en marcha vacío”.

9. $0.2/2.1 \times 10^8 = 1\,\mathrm{ns}$ .

10. $1.6\,\mathrm{kW}$ de pico; entre pulsos el campo se extingue en $Q/\omega = 13\,\mathrm{ns}$ : la cavidad está vacía casi todo el tiempo.

11. $\ell \approx a/\pi = 0.48\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-1/0.48}$ : $-18\,\mathrm{dB}$ en amplitud y $-36\,\mathrm{dB}$ en potencia.

12. $\lambda/4 = 3.1\,\mathrm{cm}$ .

13. $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ $\times$ $100\,\mathrm{cm}^{2}$ = $0.5\,\mathrm{W}$ : el $0.06\%$ .

14. $f_1 \approx c/2d = 3.75\,\mathrm{GHz} > 2.45\,\mathrm{GHz}$ : por debajo del corte; $\ell = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $\eu^{-30/1.7}$ : $-150\,\mathrm{dB}$ .

15. Las corrientes de pared deben pasar de forma continua a la rejilla; una interrupción de la unión es una ranura que las corta — una antena de ranura que radia hacia fuera.

16. $\mathrm{AN} = \sqrt{1.465^2 - 1.460^2} = 0.12$ , $7{}^{\circ}$ : un cono estrecho, que exige un láser y una lente.

17. $(n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 17\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $170\,\mathrm{ns}$ en $10\,\mathrm{km}$ : $6\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

18. $\tfrac12(\pi d\,\mathrm{AN}/\lambda)^2 = 75$ ; para $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2.4$ — el régimen monomodo ( $V = \pi d\,\mathrm{AN}/\lambda = 2.2 < 2.4$ ).

19. $\Delta x_0 = (c/n)\tau = 1\,\mathrm{cm}$ : $t_{\text{ens}} = 10^{-4}/0.2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ , $100\,\mathrm{km}$ : $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ en esa distancia antes de compensar.

20. $20\,\mathrm{dB}$ , un factor $100$ : $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ ; $6000/80 = 75$ amplificadores.

21. $f = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $hf = 0.8\,\mathrm{eV}$ ; $8 \times 10^{15}$ fotones por segundo; $8 \times 10^5$ por bit a la entrada y $8 \times 10^3$ tras $100\,\mathrm{km}$ .

22. La suma de las dos pérdidas es mínima cerca de $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ ).

23. $R = ((1.465 - 1)/2.465)^2 = 3.6\%$ : $0.16\,\mathrm{dB}$ por cara, dos veces en un conector más la interferencia de la rendija; el gel o el contacto físico quitan el aire.

24. En una curva suave el rayo sigue encontrando el borde más allá del ángulo límite; en una brusca, la incidencia en la pared exterior cae por debajo de él y la luz se escapa.

25. Horno: paredes metálicas, reflexión con $r = -1$ ; ancho de banda fijado por los modos de la cavidad; pérdidas en la piel del acero. Fibra: reflexión total interna en un borde vidrio–vidrio; ancho de banda fijado por la dispersión modal y la cromática; pérdidas por dispersión y absorción, $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .