Física universitaria — segundo año · Bachelor Year 2

6Ondas en cuerdas y barras: la ecuación de d’Alembert

Púlsese una cuerda de guitarra y una forma corre por ella, rebota en el puente, vuelve y se asienta en el patrón estacionario cuya frecuencia se oye como una nota. Apóyese el oído en un carril de tren y se oye el tren mucho antes de que llegue: una compresión recorre el acero a cinco kilómetros por segundo. El volumen del Año 1 describió esas ondas — progresivas, estacionarias, superpuestas — sin decir por qué existen. Este capítulo deduce la ecuación que las gobierna, la ecuación de ondas de d’Alembert, primero para el movimiento transversal de una cuerda y después para el movimiento longitudinal de una barra construida, átomo a átomo, con masas y resortes; calcula la energía que transporta una onda y la impedancia que decide qué ocurre cuando encuentra un cambio de medio.

6.1 La cuerda vibrante

Teorema 6.1 (Ecuación de ondas de una cuerda)

Una cuerda de densidad lineal de masa $\mu$ , tensada con la tensión $T$ , realiza desplazamientos transversales pequeños $y(x, t)$ (pendientes $|\partial_xy| \ll 1$ ). Entonces

\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} , \qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} ,

la ecuación de d’Alembert, cuya solución general es $y = f(x - ct) + g(x + ct)$ : la superposición de una forma que viaja hacia la derecha y otra que viaja hacia la izquierda a la celeridad $c$ , sin deformarse.

Demostración. Aíslese el elemento comprendido entre $x$ y $x + \dd x$ , de masa $\mu\,\dd x$ . Sus vecinos tiran de él según la tangente a la cuerda con la tensión $T$ : horizontalmente $T\cos\theta \approx T$ en ambos extremos (no hay movimiento horizontal, así que $T$ es la misma en toda la cuerda) y verticalmente $T\sin\theta \approx T\partial_xy$ , lo que da la fuerza neta $T[\partial_xy(x + \dd x) - \partial_xy(x)] = T\,\partial_x^2y\,\dd x$ . Newton: $\mu\,\dd x\,\partial_t^2y = T\partial_x^2y\,\dd x$ . Para la solución, póngase $u = x - ct$ , $v = x + ct$ : la ecuación se convierte en $\partial_u\partial_vy = 0$ (regla de la cadena), luego $\partial_vy$ depende solo de $v$ y $y = f(u) + g(v)$ ; recíprocamente, toda $y$ de esa forma la satisface. Despreciar la gravedad es legítimo cuando $T \gg \mu gL$ . ∎

A la izquierda, las fuerzas sobre un elemento de cuerda: las dos tensiones no son paralelas cuando la cuerda está curvada, y su resultante es transversal. A la derecha, una forma f(x - ct) viaja hacia la derecha a c sin deformarse. — A la izquierda, las fuerzas sobre un elemento de cuerda: las dos tensiones no son paralelas cuando la cuerda está curvada, y su resultante es transversal. A la derecha, una forma $f(x - ct)$ viaja hacia la derecha a $c$ sin deformarse.

Ejemplo 6.2 (Guitarra, piano, cable)

La cuerda mi grave de una guitarra ( $\mu = 5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , longitud $0.65\,\mathrm{m}$ , $82.4\,\mathrm{Hz}$ ) vibra en su fundamental con $\lambda = 2L$ : $c = 2Lf = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $T = \mu c^2 = 63\,\mathrm{N}$ . La cuerda la $_4$ de un piano (acero, $1\,\mathrm{mm}$ , $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $0.38\,\mathrm{m}$ , $440\,\mathrm{Hz}$ ): $c = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = 680\,\mathrm{N}$ — y un piano tiene unas $230$ cuerdas, veinte toneladas de tensión sobre un bastidor de fundición. Un cable de $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ a $10\,\mathrm{kN}$ : $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

6.2 Ondas estacionarias y modos

Proposición 6.3 (Modos de una cuerda fija por ambos extremos)

Una cuerda fija en $x = 0$ y en $x = L$ admite las soluciones sinusoidales de onda estacionaria (modos propios)

y_n(x, t) = A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt - \varphi_n) , \qquad f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = n\,\frac{c}{2L} = n f_1 , \quad n = 1, 2, 3, \dots

— el fundamental $f_1 = c/2L$ y sus armónicos. El modo $n$ tiene $n - 1$ nodos entre los extremos. Todo movimiento de la cuerda es una superposición $y = \sum_ny_n$ , con amplitudes y fases fijadas por la forma y la velocidad iniciales (una serie de Fourier, como establece el volumen de matemáticas de este año): la mezcla de armónicos es el timbre de la nota.

Demostración. Búsquese $y = F(x)\cos(\omega t - \varphi)$ : $F'' + (\omega/c)^2F = 0$ , $F(0) = 0$ da $F = A\sin(\omega x/c)$ , y $F(L) = 0$ exige $\omega L/c = n\pi$ . Cada modo es también la suma de dos ondas progresivas: $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ — la onda y su reflejada. La completitud de los senos es el teorema de Fourier. ∎

A la izquierda, los tres primeros modos de una cuerda fija por sus dos extremos (f_n = nc/2L). A la derecha, una cuerda pulsada por su punto medio (triángulo) y los primeros términos de su serie de Fourier: solo aparecen los armónicos impares, con amplitudes que decrecen como 1/n2. — A la izquierda, los tres primeros modos de una cuerda fija por sus dos extremos ( $f_n = nc/2L$ ). A la derecha, una cuerda pulsada por su punto medio (triángulo) y los primeros términos de su serie de Fourier: solo aparecen los armónicos impares, con amplitudes que decrecen como $1/n^2$ .

Ejemplo 6.4 (El experimento de Melde)

Una cuerda excitada por un extremo mediante un vibrador de frecuencia $f$ , con el otro extremo pasando por una polea y sosteniendo una masa $m$ (de modo que $T = mg$ ): aparece una gran onda estacionaria siempre que $f$ iguala a alguna de las $f_n = (n/2L) \sqrt{mg/\mu}$ — resonancia del modo $n$ . Para $L = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ y $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , las masas que dan $n = 1, 2, 3$ husos son $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 1.47/n^2$ kg: $1.47\,\mathrm{kg}$ , $367\,\mathrm{g}$ , $163\,\mathrm{g}$ . Pisar una cuerda de guitarra en el traste doce reduce $L$ a la mitad y duplica $f_1$ : la octava; rozarla suavemente en el punto medio sin pisarla mata los modos impares y deja el segundo armónico — el armónico natural.

6.3 Energía, potencia e impedancia

Proposición 6.5 (Energía de una onda en una cuerda)

Una cuerda transporta la energía por unidad de longitud y la potencia (flujo de energía hacia $+x$ )

e = \tfrac12\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2 + \tfrac12T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2 , \qquad \mathcal P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} ,

que obedecen el balance local $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ . Para una onda progresiva $y = f(x - ct)$ , las densidades cinética y potencial son iguales y $\mathcal P = Z\,(\partial_ty)^2$ con

Z = \sqrt{T\mu} = \mu c = \frac Tc ,

la impedancia de la cuerda ( $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ): el cociente entre la fuerza transversal $-T\partial_xy$ que la cuerda ejerce sobre lo que tiene delante y la velocidad transversal $\partial_ty$ . Una onda sinusoidal de amplitud $A$ transporta la potencia media $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2$ .

Demostración. El término potencial es el trabajo de la tensión al estirar el elemento: su longitud vale

\dd x\sqrt{1 + (\partial_xy)^2} \approx \dd x\bigl(1 + \tfrac12(\partial_xy)^2\bigr) ,

de modo que el exceso de longitud por $T$ da $\tfrac12T(\partial_xy)^2\dd x$ . La potencia transmitida a través de $x$ hacia $+x$ es la fuerza transversal que la parte izquierda ejerce sobre la derecha, $-T\partial_xy$ , por la velocidad $\partial_ty$ . Balance:

\partial_te = \mu\,\partial_ty\,\partial_t^2y + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty , \qquad -\partial_x\mathcal P = T\,\partial_x^2y\,\partial_ty + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,

iguales en virtud de la ecuación de ondas. Para $f(x - ct)$ : $\partial_xy = -\partial_ty/c$ , luego $\mathcal P = (T/c) (\partial_ty)^2$ y ambas densidades valen $\tfrac12\mu(\partial_ty)^2$ . ∎

Proposición 6.6 (Reflexión y transmisión en una unión)

Una onda de amplitud $A_i$ llega desde una cuerda de impedancia $Z_1$ a otra de impedancia $Z_2$ , unidas en $x = 0$ . La continuidad del desplazamiento y de la fuerza transversal en la unión da los coeficientes en amplitud

r = \frac{A_r}{A_i} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} , \qquad t = \frac{A_t}{A_i} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} ,

y las fracciones de energía $R = r^2$ , $\mathcal T = 4Z_1Z_2/(Z_1 + Z_2)^2$ , con $R + \mathcal T = 1$ . Un extremo fijo ( $Z_2 \to \infty$ ) refleja con $r = -1$ (el pulso vuelve invertido); uno libre ( $Z_2 = 0$ ), con $r = +1$ ; impedancias iguales lo transmiten todo.

Demostración. Ondas sinusoidales $y_1 = A_i\cos(\omega t - k_1x) + A_r\cos(\omega t + k_1x)$ para $x < 0$ e $y_2 = A_t\cos(\omega t - k_2x)$ para $x > 0$ , con la misma $\omega$ a ambos lados. En $x = 0$ : $y_1 = y_2$ da $A_i + A_r = A_t$ ; la continuidad de la fuerza $-T\partial_xy$ (unión sin masa) da $Z_1(A_i - A_r) = Z_2A_t$ (usando $T_1k_1 = Z_1\omega$ ). Resuélvase. Energías: las potencias medias $\tfrac12Z\omega^2A^2$ . ∎

Un pulso encuentra una unión con una cuerda más pesada (Z_2 = 4Z_1): una parte se transmite, más lenta y más estrecha, y otra se refleja invertida. — Un pulso encuentra una unión con una cuerda más pesada ( $Z_2 = 4Z_1$ ): una parte se transmite, más lenta y más estrecha, y otra se refleja invertida.

6.4 De la cadena de átomos a la barra elástica

Proposición 6.7 (La cadena de átomos; el módulo de Young)

Una fila de masas idénticas $m$ separadas por $a$ y unidas por resortes de constante $k$ : si $u_n(t)$ es el desplazamiento de la masa $n$ a lo largo de la fila,

m\ddot u_n = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1}) = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) .

Cuando el desplazamiento varía despacio de una masa a la siguiente (para longitudes de onda $\lambda \gg a$ ), $u_n(t) \to u(x, t)$ con $u_{n\pm1} - u_n \approx \pm a\,\partial_xu + \tfrac12a^2\partial_x^2u$ , y la cadena obedece la ecuación de d’Alembert

\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} , \qquad c = a\sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{E}{\rho}} ,

con $\rho = m/a^3$ la densidad de un sólido formado por tales cadenas en una red cúbica y $E = k/a$ su módulo de Young: la rigidez de una barra de sección $S$ y longitud $\ell$ vale $kS/a^2\cdot a/\ell = ES/\ell$ , es decir, la ley de Hooke $F/S = E\,\Delta\ell/\ell$ (esfuerzo $\sigma = E\varepsilon$ ).

Demostración. Cada resorte se estira en la diferencia de los desplazamientos de sus extremos. Insértense los desarrollos de Taylor: $m\partial_t^2u = ka^2\partial_x^2u$ . Un cubo de lado $a$ por átomo da $\rho = m/a^3$ ; una barra de sección $S$ contiene $S/a^2$ cadenas paralelas de $\ell/a$ resortes en serie, de rigidez total $(S/a^2)(ka/\ell) = (k/a)S/\ell$ . ∎

Proposición 6.8 (Ondas longitudinales en una barra)

Directamente sobre el medio continuo: un elemento de barra entre $x$ y $x + \dd x$ , desplazado en $u(x, t)$ , se deforma en $\varepsilon = \partial_xu$ y sus dos caras lo tiran con el esfuerzo $\sigma = E\partial_xu$ ; Newton da $\rho\,\partial_t^2u = E\,\partial_x^2u$ : las ondas longitudinales (de compresión) viajan a $c = \sqrt{E/\rho}$ — $5100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el acero ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ ), $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aluminio, $3700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el granito, $3500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en la madera según la fibra. La impedancia vale $Z = \rho c = \sqrt{E\rho}$ por unidad de área, y valen las mismas fórmulas de unión — así es como los ultrasonidos encuentran una grieta en un carril.

Demostración. Fuerza neta sobre el elemento: $S[\sigma(x + \dd x) - \sigma(x)] = SE\partial_x^2u\,\dd x$ ; masa $\rho S\dd x$ . ∎

A la izquierda, la cadena de masas y resortes: cada masa siente los dos resortes que la rodean, y el límite continuo es la ecuación de ondas con c = a√k/m. A la derecha, un elemento de barra elástica tirado por el esfuerzo sobre sus dos caras. — A la izquierda, la cadena de masas y resortes: cada masa siente los dos resortes que la rodean, y el límite continuo es la ecuación de ondas con $c = a\sqrt{k/m}$ . A la derecha, un elemento de barra elástica tirado por el esfuerzo sobre sus dos caras.

Observación 6.9 (Lo que la cadena sabe y la barra no)

Buscar $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ en la ecuación exacta de la cadena da $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(ka/2)|$ : para $ka \ll 1$ esto es $\omega = ck$ , la ecuación de ondas no dispersiva, pero a medida que la longitud de onda se acerca a $2a$ la frecuencia se satura en $2\sqrt{k/m}$ y las velocidades de fase y de grupo difieren — la primera relación de dispersión de este volumen, tema de Capítulo 8. Para $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ y $c = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ el corte está en $\omega_{\max} = 2c/a = 4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ( $6\,\mathrm{THz}$ ): el sólido no puede vibrar más deprisa de lo que permiten los resortes de sus átomos.

6.5 Ejercicios

Ejercicio 6.1 ★

La cuerda la de una guitarra ( $110\,\mathrm{Hz}$ , $L = 65\,\mathrm{cm}$ , $\mu = 3.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ): celeridad de las ondas, tensión, longitud de onda del fundamental en la cuerda y del sonido en el aire; frecuencia al pisar la cuerda en el quinto traste ( $L$ reducida en un factor $2^{-5/12}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 6.1.

$c = 2Lf = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 61\,\mathrm{N}$ ; $\lambda = 2L = 1.3\,\mathrm{m}$ en la cuerda y $340/110 = 3.1\,\mathrm{m}$ en el aire; quinto traste: $110 \times 2^{5/12} = 147\,\mathrm{Hz}$ .

Ejercicio 6.2 ★

Celeridad de las ondas longitudinales en el acero ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), el aluminio ( $70\,\mathrm{GPa}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) y el plomo ( $16\,\mathrm{GPa}$ , $11\,300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ). Tiempo que tarda un sonido en recorrer $1.0\,\mathrm{km}$ por un carril y por el aire ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); qué oye quien tiene el oído apoyado en el carril.

Solución

Solución de Ejercicio 6.2.

$\sqrt{E/\rho}$ : acero $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , aluminio $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , plomo $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . $1\,\mathrm{km}$ : $0.20\,\mathrm{s}$ por el carril y $2.9\,\mathrm{s}$ por el aire — dos sonidos, primero el del carril, separados $2.7\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 6.3 ★

Una cuerda de fundamental $200\,\mathrm{Hz}$ : frecuencias y número de nodos de los modos 2, 3 y 4; posiciones de los nodos del modo 3; frecuencia del fundamental si se duplica la tensión, si se reduce la longitud a la mitad y si se sustituye la cuerda por otra tres veces más pesada por metro.

Solución

Solución de Ejercicio 6.3.

$400$ , $600$ y $800$ Hz con $1$ , $2$ y $3$ nodos interiores; los nodos del modo 3, en $L/3$ y $2L/3$ . $T \times 2$ : $200\sqrt2 = 283\,\mathrm{Hz}$ ; $L/2$ : $400\,\mathrm{Hz}$ ; $\mu \times 3$ : $200/\sqrt3 = 115\,\mathrm{Hz}$ .

Ejercicio 6.4 ★

Una cuerda de $12\,\mathrm{m}$ ( $\mu = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ) se tensa con $45\,\mathrm{N}$ ; un extremo está fijo a una pared. Se lanza un pulso desde el otro extremo. Celeridad; tiempo en llegar a la pared y volver; forma del pulso que vuelve; lo mismo si el extremo lejano está atado a una anilla ligera que desliza libremente por un poste.

Solución

Solución de Ejercicio 6.4.

$c = \sqrt{45/0.2} = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $24\,\mathrm{m}$ en $1.6\,\mathrm{s}$ ; el pulso vuelve invertido ( $r = -1$ ); con la anilla libre, derecho ( $r = +1$ ).

Ejercicio 6.5 ★★

Una cuerda de piano para $440\,\mathrm{Hz}$ : acero ( $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), diámetro $1.0\,\mathrm{mm}$ , longitud vibrante $38\,\mathrm{cm}$ . (a) $\mu$ , celeridad de las ondas y tensión. (b) Esfuerzo en el alambre; compárese con la resistencia del alambre de piano, unos $2\,\mathrm{GPa}$ . (c) La misma nota con un alambre de $0.5\,\mathrm{mm}$ : tensión y esfuerzo. (d) ¿Por qué se entorchan con cobre las cuerdas graves en vez de hacerlas más largas o más gruesas?

Solución

Solución de Ejercicio 6.5.

(a) $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 690\,\mathrm{N}$ . (b) $\sigma = T/A = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ , margen $2.3$ . (c) $T/4 = 170\,\mathrm{N}$ , el mismo esfuerzo (depende solo de $\rho c^2$ ). (d) Una cuerda larga no cabe en la caja; un alambre grueso y liso es demasiado rígido (muy inarmónico) y difícil de doblar sobre el puente; el entorchado de cobre añade masa sin rigidez.

Ejercicio 6.6 ★★

Melde. Una cuerda de $1.5\,\mathrm{m}$ ( $\mu = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ) se excita a $60\,\mathrm{Hz}$ ; su tensión la fija una masa colgada. (a) Masas que dan $1$ , $2$ , $3$ y $4$ husos. (b) Con $0.50\,\mathrm{kg}$ : ¿hay resonancia? El modo más próximo. (c) ¿Es el extremo excitado un nodo o un vientre? (d) ¿Por qué crecen tanto los husos en resonancia y qué los limita?

Solución

Solución de Ejercicio 6.6.

(a) $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 6.6/n^2$ kg: $6.6$ , $1.65$ , $0.73$ y $0.41\,\mathrm{kg}$ . (b) $n^2 = 13.2$ , $n = 3.6$ : no hay resonancia; está entre los modos 3 y 4 (el más próximo, el 4, con $0.41\,\mathrm{kg}$ ). (c) Prácticamente un nodo: la amplitud del excitador es minúscula frente a la de los husos. (d) La energía se aporta en fase en cada periodo y se acumula; el amortiguamiento (aire, rozamiento interno, fuga por la polea) limita la amplitud.

Ejercicio 6.7 ★★

Una onda $y = A\cos(\omega t - kx)$ con $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ y $f = 100\,\mathrm{Hz}$ viaja por una cuerda ( $T = 100\,\mathrm{N}$ , $\mu = 10\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ). Celeridad, $k$ y longitud de onda; velocidad y aceleración transversales máximas de un punto; pendiente máxima; impedancia; potencia media transportada; energía contenida en una longitud de onda.

Solución

Solución de Ejercicio 6.7.

$c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $k = 6.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v_{\max} = \omega A = 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $a_{\max} = \omega^2A = 790\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; pendiente $kA = 0.013$ ; $Z = \sqrt{T\mu} = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2 = 0.79\,\mathrm{W}$ ; por longitud de onda, $\mathcal P/f = 7.9\,\mathrm{mJ}$ .

Ejercicio 6.8 ★★

Una cuerda de $\mu_1 = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ está atada a otra de $\mu_2 = 8.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , ambas a $20\,\mathrm{N}$ . (a) Celeridades e impedancias. (b) Coeficientes de reflexión y de transmisión en amplitud para una onda que llega desde la cuerda ligera; y desde la pesada. (c) Fracciones de energía en ambos casos; compruébese que suman uno. (d) Un pulso de $1\,\mathrm{cm}$ de altura y $10\,\mathrm{cm}$ de anchura llega desde la cuerda ligera: altura y anchura de los pulsos transmitido y reflejado.

Solución

Solución de Ejercicio 6.8.

(a) $c_1 = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $c_2 = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $Z_1 = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $Z_2 = 0.40\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ . (b) Desde la cuerda ligera: $r = -1/3$ , $t = 2/3$ ; desde la pesada: $r = +1/3$ , $t = 4/3$ . (c) $R = 1/9$ , $\mathcal T = 4 \times 0.08/0.36 = 8/9$ en ambos casos. (d) Transmitido: $0.67\,\mathrm{cm}$ de altura y $5\,\mathrm{cm}$ de anchura (misma duración, la mitad de celeridad); reflejado: $-0.33\,\mathrm{cm}$ y $10\,\mathrm{cm}$ .

Ejercicio 6.9 ★★

Un alambre de acero de $2.0\,\mathrm{m}$ y $1.0\,\mathrm{mm}$ de diámetro se alarga $1.0\,\mathrm{mm}$ bajo $80\,\mathrm{N}$ . (a) Módulo de Young. (b) Celeridad de las ondas longitudinales. (c) Frecuencia fundamental de la vibración longitudinal del alambre empotrado por ambos extremos, y de su vibración transversal con esa tensión; ¿por qué son tan distintas? (d) Constante $k$ y masa $m$ de un “átomo” en el modelo de cadena, para $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 6.9.

(a) $E = F\ell/A\Delta\ell = 80 \times 2/(7.85 \times 10^{-7} \times 10^{-3}) = 2.0 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$ . (b) $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . (c) Longitudinal: $c/2\ell = 1.3\,\mathrm{kHz}$ ; transversal: $\sqrt{T/\mu} = 114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $f = 29\,\mathrm{Hz}$ — la tensión somete el alambre a $100\,\mathrm{MPa}$ , $5 \times 10^{-4}$ de $E$ , de modo que la celeridad transversal es $\sqrt{5 \times 10^{-4}}$ de la longitudinal. (d) $k = Ea = 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $m = \rho a^3 = 1.2 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ (unas $70$ unidades de masa atómica).

Ejercicio 6.10 ★★★

La cuerda pulsada. Una cuerda fija en $0$ y en $L$ se separa lateralmente en $x = L/2$ hasta la altura $h$ (forma triangular) y se suelta en reposo. (a) Escríbase la solución como $\sum_nb_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_nt)$ y muéstrese que $b_n = \dfrac{8h}{n^2\pi^2}\sin\dfrac{n\pi}2$ . (b) ¿Qué armónicos faltan y por qué? (c) Energía del modo $n$ ( $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2$ ); fracción del total que se lleva el fundamental. (d) La cuerda se pulsa en $L/5$ : ¿qué armónicos se anulan? ¿Por qué pulsa un guitarrista cerca del puente para obtener un sonido más brillante?

Solución

Solución de Ejercicio 6.10.

(a) $b_n = \frac2L\int_0^Ly(x, 0)\sin(n\pi x/L)\dd x$ con el triángulo $y = 2hx/L$ en $[0, L/2]$ (y simétrico): intégrese por partes, $b_n = 8h\sin(n\pi/2) /n^2\pi^2$ . (b) Los $n$ pares se anulan: el punto medio, nodo de todo modo par, es justo el punto separado. (c) $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2 \propto n^2/n^4 = 1/n^2$ ( $n$ impar): al fundamental le corresponde $1/\sum_{\text{impar}}n^{-2} = 8/\pi^2 = 81\%$ . (d) $b_n \propto \sin(n\pi/5)/n^2$ : se anulan $n = 5, 10, \dots$ . Cerca del puente el factor $\sin(n\pi x_0/L)$ es pequeño para los modos bajos y sigue creciendo para los altos: relativamente más armónicos agudos, un sonido más brillante.

Ejercicio 6.11 ★★★

Dispersión de la cadena. (a) Insértese $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ en la ecuación de la cadena y dedúzcase $\omega(k) = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ , $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ . (b) Velocidad de fase $\omega/k$ y velocidad de grupo $\dd\omega/\dd k$ ; su límite común para $ka \to 0$ ; sus valores en $ka = \pi$ . (c) ¿Qué aspecto tiene la onda en $ka = \pi$ ? ¿Por qué no hay ondas de longitud de onda menor que $2a$ ? (d) Para el acero ( $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ ): $\omega_0$ , la frecuencia máxima y la longitud de onda de un ultrasonido de $1\,\mathrm{MHz}$ — ¿es dispersivo?

Solución

Solución de Ejercicio 6.11.

(a) $-m\omega^2 = k(2\cos ka - 2) = -4k\sin^2(ka/2)$ . (b) $v_\varphi = 2\omega_0\sin(ka/2) /k$ , $v_g = \omega_0a\cos(ka/2)$ ; ambas $\to \omega_0a = c$ cuando $ka \to 0$ ; en $ka = \pi$ : $v_\varphi = 2c/\pi$ , $v_g = 0$ . (c) Los vecinos se mueven en oposición de fase: una onda estacionaria que no transporta nada; un $k$ más allá de $\pi/a$ da el mismo conjunto de desplazamientos que cierto $k' = k - 2\pi/a$ — ninguna onda nueva. (d) $\omega_0 = c/a = 2.0 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $f_{\max} = \omega_0/\pi = 6.5\,\mathrm{THz}$ ; $1\,\mathrm{MHz}$ : $\lambda = 5.1\,\mathrm{mm} = 2 \times 10^7a$ , $ka \sim 3 \times 10^{-7}$ : perfectamente no dispersivo.

Ejercicio 6.12 ★★★

Cuerda colgante, látigo que restalla. (a) Una cuerda homogénea de longitud $L$ cuelga del techo: tensión a la altura $x$ sobre el extremo libre; celeridad local de las ondas $c(x)$ . (b) Tiempo que tarda un pulso en subir de abajo arriba; valor para $L = 10\,\mathrm{m}$ ; por qué cambia la forma del pulso. (c) Un látigo se afila y su $\mu$ decrece hacia la punta, con tensión (casi) constante durante el golpe: ¿cómo varía la celeridad a lo largo de él? (d) Admitiendo que la energía del pulso se conserva y que su duración se mantiene constante, muéstrese que la amplitud de su velocidad transversal crece como $\mu^{-1/4}$ , y estímese la celeridad de la punta de un látigo cuya $\mu$ cae en un factor $10^4$ del mango a la punta si la mano le comunica $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (El restallido es una explosión sónica.)

Solución

Solución de Ejercicio 6.12.

(a) $T(x) = \mu gx$ , $c = \sqrt{gx}$ . (b) $t = \int_0^L\dd x/\sqrt{gx} = 2\sqrt{L/g} = 2.0\,\mathrm{s}$ ; la parte alta de un pulso se mueve más deprisa que la baja: se estira. (c) $c = \sqrt{T/\mu}$ crece hacia la punta. (d) Energía $\approx \mathcal P\tau = ZV^2\tau = \sqrt{T\mu}V^2\tau$ constante: $V \propto \mu^{-1/4}$ ; un factor $10^4$ en $\mu$ da $\times10$ : $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — un látigo real gana el resto del lazo que se desenrolla, que concentra aún más la energía, y la punta supera la velocidad del sonido.

El interior de un piano de cola: unas doscientas cuerdas de acero de longitud y grosor graduados, cada una afinada por su tensión a un fundamental c/2L; las cuerdas graves van entorchadas con cobre para ganar masa. — El interior de un piano de cola: unas doscientas cuerdas de acero de longitud y grosor graduados, cada una afinada por su tensión a un fundamental $c/2L$ ; las cuerdas graves van entorchadas con cobre para ganar masa.

6.6 Problema: el piano, del macillo a la tabla armónica

Problema 6.1

Problema de fin de semana — una cuerda de piano desmontada: su tensión y su rigidez, el golpe del macillo y los armónicos que crea, el puente que fuga su energía hacia la tabla armónica, y un carril que obedece la misma ecuación

Parte I — La cuerda. La cuerda la $_4$ de un piano ( $440\,\mathrm{Hz}$ ): acero, $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , diámetro $d = 1.0\,\mathrm{mm}$ , longitud vibrante $L = 38\,\mathrm{cm}$ . Cada nota por encima de los graves tiene tres cuerdas así; el piano tiene $230$ cuerdas.

Densidad lineal de masa, celeridad de las ondas y tensión de la cuerda.
Esfuerzo de tracción en el alambre; el alambre rompe a $2.0\,\mathrm{GPa}$ : margen de seguridad y por qué la última vuelta del afinador es la peligrosa.
Estímese la tensión total sobre el bastidor, tomando todas las cuerdas a la misma tensión.
La cuerda más grave (la $_0$ , $27.5\,\mathrm{Hz}$ ) mide $1.9\,\mathrm{m}$ ; si fuese un simple alambre de acero a la misma tensión, ¿qué $\mu$ y qué diámetro necesitaría? En realidad es un alma de acero entorchada con cobre: explíquese.
Modos de la cuerda la $_4$ : frecuencias de los ocho primeros armónicos; ¿cuáles caen en un intervalo consonante con el fundamental (octava, quinta, cuarta, tercera mayor) y cuáles no?
La cuerda vibra en su fundamental con una amplitud de $0.50\,\mathrm{mm}$ en el vientre: energía almacenada (la energía de un modo vale $\tfrac14\mu L\omega^2A^2$ ).
Escríbase el fundamental como suma de dos ondas progresivas; dense su amplitud y la potencia media que transporta cada una.

Parte II — El macillo. El macillo golpea la cuerda en $x_0 = L/8$ y le comunica, en $t = 0$ , una velocidad $v_0$ sobre un segmento corto de anchura $w$ en torno a $x_0$ , sin desplazamiento.

Escríbase la solución general $y = \sum_nB_n\sin(n\pi x/L)\sin(\omega_nt)$ y muéstrese, usando la ortogonalidad de los senos, que $B_n = \dfrac{2}{L\omega_n}\int_0^L\dot y(x, 0)\sin\dfrac{n\pi x}L\,\dd x$ .
Para un golpe estrecho ( $w \ll L/n$ ), muéstrese que $B_n \approx \dfrac{2v_0w} {L\omega_n}\sin\dfrac{n\pi x_0}{L}$ .
¿Qué armónicos faltan para $x_0 = L/8$ ? ¿Por qué golpean los constructores de pianos cerca de $L/7$ o de $L/8$ (véase la pregunta 5)?
Descríbase el movimiento en la imagen de ondas progresivas: qué sale del punto golpeado, qué ocurre en los extremos y al cabo de cuánto tiempo se repite el estado inicial.
Una cuerda real es algo rígida: sus modos son $f_n = nf_1 \sqrt{1 + Bn^2}$ con $B = \pi^3Ed^4/(64TL^2)$ (admitido). Calcúlense $B$ y la elevación del octavo armónico, en tanto por ciento y en cents ( $1\,\mathrm{cent}$ = una razón de frecuencias $2^{1/1200}$ ).
¿Por qué los afinadores “estiran” las octavas (afinan las notas agudas un poco altas)?

Parte III — El puente y la tabla armónica. La cuerda pasa por un puente encolado a la tabla armónica; la tabla se comporta, en el puente, como una cuerda de impedancia $Z_b = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

Impedancia $Z_s$ de la cuerda; coeficiente de reflexión en amplitud en el puente.
Fracción de la energía de la onda transmitida a la tabla armónica en cada reflexión.
Número de reflexiones por segundo en el puente; dedúzcanse la constante de tiempo de la caída de la energía y el tiempo que tarda el sonido en bajar $60\,\mathrm{dB}$ (un factor $10^6$ en energía).
Potencia que se fuga hacia la tabla armónica justo después del golpe de la pregunta 6; compárese con la potencia de una conversación tranquila, unos $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ de sonido.
¿Por qué es casi inaudible una cuerda sola y qué hace la tabla armónica al respecto? (Piénsese en la impedancia del aire, $\rho c \approx 400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , vista a través de una superficie pequeña frente a una grande.)
Con el apagador levantado, la cuerda la $_3$ ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) empieza a sonar cuando se toca la $_4$ : ¿por qué?
Un constructor quiere un sonido más prolongado: ¿debe subir o bajar $Z_b$ , y qué se pierde?

Parte IV — El carril. Un carril de acero ( $E = 200\,\mathrm{GPa}$ , $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , sección $70\,\mathrm{cm}^{2}$ ).

Celeridad de las ondas de compresión; tiempo que tarda el sonido de un tren en recorrer $5\,\mathrm{km}$ por el carril y por el aire.
Un martillazo lanza un pulso de compresión por un tramo de carril de $25\,\mathrm{m}$ con un extremo libre: tiempo del eco; ¿es el eco una compresión o una dilatación?
Una sonda ultrasónica de $2\,\mathrm{MHz}$ busca grietas: longitud de onda en el acero; coeficiente de reflexión en amplitud en una grieta acero–aire (impedancia del aire $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); por qué se ve tan bien una grieta fina.
Terremotos: en la roca, las ondas de compresión (P) viajan a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ y las de cizalla (S) a $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Una estación registra la onda S $20\,\mathrm{s}$ después de la P: distancia al foco.
Reúnanse en una tabla las cinco celeridades de onda de este problema (cuerda, carril, roca P, roca S, aire) con la rigidez y la inercia que fijan cada una.

Solución

Solución de Problema 6.1.

1. $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $T = \mu c^2 = 685\,\mathrm{N}$ .

2. $\sigma = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$ : margen $2.3$ . $T \propto f^2$ : un semitono alto añade un $12\%$ , y una octava de más lo cuadruplica, $3.5\,\mathrm{GPa}$ — se rompe.

3. $230 \times 685 \approx 160\,\mathrm{kN}$ , dieciséis toneladas.

4. $c = 2Lf = 105\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a $685\,\mathrm{N}$ : $\mu = T/c^2 = 63\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , es decir, una varilla de acero de $3.2\,\mathrm{mm}$ — demasiado rígida para vibrar armónicamente o para doblarse sobre el puente; un alma fina entorchada con cobre da la masa sin la rigidez.

5. $440$ , $880$ , $1320$ , $1760$ , $2200$ , $2640$ , $3080$ y $3520\,\mathrm{Hz}$ : el $2$ , el $4$ y el $8$ son octavas; el $3$ y el $6$ , una quinta por encima de una octava; el $5$ , una tercera mayor justa por encima de dos octavas; el $7$ ( $3080/1760 = 1.75$ ) es una séptima menor baja — disonante.

6. $E = \tfrac14\mu L\omega^2A^2 = 0.25 \times 6.1 \times 10^{-3} \times 0.38 \times (2\pi \times 440)^2 \times (5 \times 10^{-4})^2 = 1.1\,\mathrm{mJ}$ .

7. $A\sin kx\cos\omega t = \tfrac12A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ : dos ondas de amplitud $0.25\,\mathrm{mm}$ ; $Z = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; cada una transporta $\tfrac12Z\omega^2(A/2)^2 = 0.49\,\mathrm{W}$ .

8. $\dot y(x, 0) = \sum_nB_n\omega_n\sin(n\pi x/L)$ ; multiplíquese por $\sin(m\pi x/L)$ e intégrese, usando $\int_0^L\sin\sin = \tfrac L2\delta_{mn}$ .

9. El integrando es $v_0\sin(n\pi x/L)$ sobre una anchura $w$ en torno a $x_0$ , donde el seno es casi constante.

10. $\sin(n\pi/8) = 0$ para $n = 8, 16, \dots$ ; y como $B_n/B_1 = \sin(n\pi/8)/(n\sin(\pi/8))$ , el séptimo armónico queda reducido a $1/7$ del primero mientras que los consonantes del $2$ al $6$ conservan de $0.9$ a $0.3$ : la séptima disonante queda domada.

11. Del punto golpeado salen dos pulsos de velocidad en sentidos opuestos, se reflejan invertidos en los extremos, se cruzan y se recomponen; el estado inicial se repite al cabo de $2L/c = 1/f_1 = 2.3\,\mathrm{ms}$ .

12. $B = \pi^3 \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-12}/(64 \times 685 \times 0.144) = 9.8 \times 10^{-4}$ ; $\sqrt{1 + 64B} = 1.031$ : $+3.1\%$ , $1200\log_2(1.031) = 53$ cents.

13. Los armónicos de una nota grave son más altos que los múltiplos exactos; para hacerlos coincidir con los fundamentales de las notas agudas (y evitar batidos), las agudas se afinan un poco altas.

14. $Z_s = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ; $r = (2 - 2000)/2002 = -0.998$ .

15. $1 - r^2 \approx 4Z_s/Z_b = 4 \times 10^{-3}$ .

16. $c/2L = 440$ reflexiones por segundo: tasa de caída $440 \times 4 \times 10^{-3} = 1.8\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\tau = 0.56\,\mathrm{s}$ ; $\ln10^6/1.8 = 7.7\,\mathrm{s}$ para $60\,\mathrm{dB}$ .

17. $1.1\,\text{mJ} \times 1.8\,\text{s}^{-1} = 2\,\mathrm{mW}$ — doscientas veces una conversación tranquila; es lo que se oye.

18. Un alambre de $1\,\mathrm{mm}$ apenas empuja aire: el aire lo rodea y la potencia que radia es despreciable. La tabla armónica toma la energía de la cuerda a través del puente y mueve aire sobre un metro cuadrado: una adaptación de impedancias por área.

19. $440\,\mathrm{Hz}$ es el segundo armónico de la $_3$ : el puente excita esa cuerda en uno de sus modos — resonancia simpática.

20. Subir $Z_b$ : se fuga menos energía por reflexión y la nota dura más — y suena menos.

21. $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : $1.0\,\mathrm{s}$ por el carril y $15\,\mathrm{s}$ por el aire.

22. $50/5064 = 10\,\mathrm{ms}$ ; el esfuerzo debe anularse en un extremo libre: una compresión vuelve como una dilatación.

23. $\lambda = 2.5\,\mathrm{mm}$ ; $Z_{\text{acero}} = \rho c = 4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ frente a $400$ : $r \approx -1$ , reflexión total: cualquier grieta abierta, por fina que sea, devuelve un eco.

24. $\Delta t = d(1/3.5 - 1/6) = d \times 0.119\,\mathrm{s}/\mathrm{km}$ : $d = 170\,\mathrm{km}$ .

25. Cuerda $334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $T$ , $\mu$ ); carril $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ( $E$ , $\rho$ ); roca P $6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (módulo de compresión, $\rho$ ); roca S $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (módulo de cizalla, $\rho$ ); aire $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $\gamma P$ , $\rho$ — capítulo siguiente).