Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

13Trabajo, energía y energía potencial

Un ciclista deja de pedalear en lo alto de una cuesta y llega abajo con una rapidez que depende del desnivel, no de la forma de la carretera. Quien salta con una cuerda elástica cae sesenta metros y se detiene, un instante, exactamente donde el tirón de la cuerda se ha comido toda la rapidez que le había dado la caída. Un átomo de hidrógeno ligado a uno de cloro vibra en un pozo cuya profundidad es la energía que cuesta romper la molécula. En cada caso se intercambia un solo número entre formas — movimiento, altura, alargamiento, enlace — y, sumado, no cambia. Este capítulo construye esa contabilidad a partir de la segunda ley de Newton: trabajo y potencia, el teorema de la energía cinética, las energías potenciales de las fuerzas que las admiten y la conservación de la energía mecánica, que convierte muchos problemas de dinámica en un renglón de álgebra y explica, por la forma de un pozo de potencial, qué posiciones son estables.

El péndulo del profesor: soltada desde la nariz, la bola de bolos vuelve a la nariz y no más allá — la energía mecánica se conserva, y nunca se supera.

13.1 Potencia y trabajo

Definición 13.1 (Potencia y trabajo de una fuerza)

La potencia de una fuerza $\vect F$ que actúa sobre un punto que se mueve con velocidad $\vect v$ es

\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{vatios}),

y su trabajo entre los instantes $t_1$ y $t_2$ (posiciones $A$ y $B$ ) es la potencia acumulada,

W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t = \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{julios}),

la suma de los trabajos elementales $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ a lo largo de los desplazamientos elementales $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ de la trayectoria. El trabajo es positivo si la fuerza empuja en el sentido del movimiento (motor), negativo si se opone (resistente), y nulo si es perpendicular.

Proposición 13.2 (Trabajos que se encuentran)

Fuerza constante: $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ , sea cual sea el camino. Peso: $W = mg(z_A - z_B)$ , con $z$ contada hacia arriba.
Resorte de rigidez $k$ , del alargamiento $x_A$ al $x_B$ : $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ .
Reacción normal de una superficie fija, tensión de un hilo sobre un cuerpo que se mueve perpendicularmente a él: $W = 0$ (fuerza $\perp$ desplazamiento).
Rozamiento cinético y arrastre: $W < 0$ siempre (la fuerza se opone al movimiento relativo) y depende de la longitud del camino.

Demostración. $\vect F$ constante: $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell = \vect F\cdot\vect{AB}$ ; con $\vect F = -mg\vect e_z$ , $\vect F\cdot\vect{AB} = -mg(z_B - z_A)$ . Resorte: $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$ , y $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ . Rozamiento: $\vect T = -\mu N\vect v/v$ , luego $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$ . ∎

El trabajo elemental de una fuerza a lo largo de un pequeño desplazamiento de su punto de aplicación: solo trabaja la componente de F en la dirección del movimiento. Sumado a lo largo del camino de A a B, da W_A B. — El trabajo elemental de una fuerza a lo largo de un pequeño desplazamiento de su punto de aplicación: solo trabaja la componente de $\vect F$ en la dirección del movimiento. Sumado a lo largo del camino de $A$ a $B$ , da $W_{A\to B}$ .

13.2 El teorema de la energía cinética

Teorema 13.3 (Teoremas de la energía cinética y de la potencia)

En un sistema inercial, la energía cinética $E_k = \tfrac12 mv^2$ de un punto material cumple

\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v, \qquad E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:

la variación de energía cinética entre dos posiciones es igual al trabajo total de todas las fuerzas aplicadas a lo largo del camino.

Demostración. Multiplíquese escalarmente la segunda ley de Newton por $\vect v$ : $m\vect a\cdot\vect v = \tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$ , mientras que $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$ . Intégrese en el tiempo. ∎

Ejemplo 13.4 (Distancia de frenado)

Un coche de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $E_k = 386\,\mathrm{kJ}$ ) frenado por una fuerza constante de $7.0\,\mathrm{kN}$ se detiene tras $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ : la distancia crece con el cuadrado de la rapidez. Como la fuerza máxima de frenado vale $\mu_smg$ (Capítulo 12), la distancia de parada mínima es $v^2/2\mu_sg$ sea cual sea la masa del coche — y se duplica en calzada mojada, donde $\mu_s$ se reduce a la mitad.

13.3 Fuerzas conservativas y energía potencial

Definición 13.5 (Fuerza conservativa; energía potencial)

Una fuerza es conservativa si su trabajo entre dos puntos no depende del camino seguido. De forma equivalente, existe una función de la posición, la energía potencial $E_p$ , tal que

W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p , \qquad \delta W = -\dd E_p ,

con $E_p$ definida salvo una constante aditiva (una elección de origen).

Proposición 13.6 (La fuerza a partir de la energía potencial)

Una fuerza conservativa deriva de su energía potencial:

\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p = -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x - \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y - \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,

y en una dimensión $F_x = -\dd E_p/\dd x$ : la fuerza apunta hacia las energías potenciales decrecientes, “cuesta abajo” en la gráfica de $E_p$ .

Demostración. $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x + \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ para todo desplazamiento: identifíquense los coeficientes (la diferencial de una función de varias variables, del curso de matemáticas). ∎

Proposición 13.7 (Las energías potenciales habituales)

Peso: $E_p = mgz + \text{cte}$ (con $z$ hacia arriba).
Resorte: $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{cte}$ .
Gravitación newtoniana de una masa $M$ : $E_p = -GMm/r + \text{cte}$ , con la constante elegida normalmente para que $E_p \to 0$ en el infinito.
Fuerza electrostática sobre una carga $q$ en un potencial $V$ : $E_p = qV$ (Capítulo 27).

El rozamiento cinético y el arrastre fluido no son conservativos (su trabajo depende del camino y es siempre negativo).

Demostración. Cada una se lee en los trabajos de Proposición 13.2: $W = -\Delta E_p$ . Para la gravitación, $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ y $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$ . ∎

13.4 Energía mecánica

Teorema 13.8 (Energía mecánica)

Sea $E_m = E_k + E_p$ la energía mecánica, donde $E_p$ es la suma de las energías potenciales de las fuerzas conservativas. Entonces

\Delta E_m = W_{\text{nc}} ,

el trabajo total de las fuerzas no conservativas. Si estas no trabajan (sin rozamiento, o con fuerzas de ligadura perpendiculares al movimiento), $E_m$ se conserva: el movimiento es conservativo.

Demostración. $\Delta E_k = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$ . ∎

Método 13.9 (Usar la energía)

Cuando un problema pide una rapidez en una posición (no un tiempo, no una fuerza), pruébese primero con la energía:

enumérense las fuerzas; véase cuáles trabajan y cuáles son conservativas;
escríbase $E_m$ en las dos posiciones, con un origen claro para $E_p$ ;
iguálense (añadiendo $W_{\text{nc}}$ si actúa el rozamiento) y despéjese la rapidez o la posición buscadas.

La energía nunca da el tiempo ni las fuerzas de ligadura; para eso hay que volver a la ley de Newton — a menudo con la rapidez que la energía acaba de dar.

Ejemplo 13.10 (La ley de rapidez del rizo)

En el rizo sin rozamiento de Problema 11.1, la reacción de la vía es normal al movimiento y no trabaja: $E_m$ se conserva. Con $z = R(1 - \cos\theta)$ sobre el punto más bajo, $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 - \cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$ : la ley de rapidez $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ que allí se usó, ahora deducida en un renglón. La rapidez mínima de entrada $\sqrt{5gR}$ se sigue entonces de la condición en lo alto $v^2 \geq gR$ de Ejemplo 12.16.

Ejemplo 13.11 (Energía perdida en el rozamiento)

Un bloque desliza por una pendiente de ángulo $\alpha$ y altura $h$ con rozamiento cinético $\mu_d$ : $W_{\text{nc}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$ , luego $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$ . Para $h = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\alpha = 30^\circ$ y $\mu_d = 0.20$ : $v = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en lugar de $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; un tercio de la energía potencial se convirtió en calor.

13.5 Equilibrio, estabilidad y retratos de fases

Proposición 13.12 (Equilibrio y estabilidad en una dimensión)

Un punto material que se mueve sobre un eje bajo una fuerza conservativa de energía potencial $E_p(x)$ :

está en equilibrio en $x_0$ si y solo si $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : en los extremos de $E_p$ ;
el equilibrio es estable si $E_p$ tiene allí un mínimo local ( $E_p''(x_0) > 0$ ): un desplazamiento pequeño produce una fuerza recuperadora; es inestable en un máximo;
cerca de un equilibrio estable, los movimientos pequeños son armónicos, con

$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$

Demostración. Fórmula de Taylor (curso de matemáticas): $E_p(x) \approx E_p(x_0) + \tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$ , luego $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ y $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — un resorte de rigidez $E_p''(x_0)$ . Para $E_p'' < 0$ la “rigidez” es negativa: alejamiento exponencial. ∎

Un paisaje de potencial unidimensional: los mínimos son equilibrios estables y el máximo uno inestable. Un punto de energía E_1 por debajo de la barrera queda atrapado en un pozo entre dos puntos de retroceso (donde E_p = E_1, flechas) y oscila; con E_2 por encima de la barrera pasa libremente de un pozo al otro. — Un paisaje de potencial unidimensional: los mínimos son equilibrios estables y el máximo uno inestable. Un punto de energía $E_1$ por debajo de la barrera queda atrapado en un pozo entre dos *puntos de retroceso* (donde $E_p = E_1$ , flechas) y oscila; con $E_2$ por encima de la barrera pasa libremente de un pozo al otro.

Definición 13.13 (Puntos de retroceso; movimiento ligado y libre)

Para un movimiento unidimensional conservativo de energía $E_m$ , el punto solo puede estar donde $E_p(x) \leq E_m$ (ya que $E_k \geq 0$ ); los puntos en los que $E_p = E_m$ son puntos de retroceso, donde la velocidad se anula y se invierte. Atrapado entre dos puntos de retroceso en un pozo de potencial, el movimiento es ligado y periódico; si puede alcanzar el infinito, es libre; una barrera de potencial más alta que $E_m$ no puede atravesarse.

Definición 13.14 (Retrato de fases)

El retrato de fases de un movimiento unidimensional es la familia de curvas que traza el punto $(x, \dot x)$ en el plano de fases. Para un sistema conservativo, cada curva es una línea de nivel $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : curvas cerradas alrededor de los equilibrios estables (oscilaciones), curvas abiertas para el movimiento libre y, pasando por los equilibrios inestables, las separatrices que dividen ambos tipos. Las curvas se recorren en sentido horario ( $\dot x > 0$ significa $x$ creciente) y nunca se cortan.

Retrato de fases del péndulo simple, 1/2 2 + _02(1 - ) = cte. Curvas cerradas (azul): oscilaciones en torno al equilibrio estable = 0; curvas abiertas (naranja): rotaciones completas; entre ellas la separatriz (roja) que pasa por los equilibrios inestables = ±π, el movimiento que apenas alcanza lo alto. — Retrato de fases del péndulo simple, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{cte}$ . Curvas cerradas (azul): oscilaciones en torno al equilibrio estable $\theta = 0$ ; curvas abiertas (naranja): rotaciones completas; entre ellas la separatriz (roja) que pasa por los equilibrios inestables $\theta = \pm\pi$ , el movimiento que apenas alcanza lo alto.

Ejemplo 13.15 (El paisaje del péndulo)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : mínimo en $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , luego $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — el resultado de pequeñas oscilaciones de Ejemplo 12.12 leído en la curvatura del pozo; máximo en $\theta = \pi$ , el péndulo invertido, inestable. Energía $E_m < mg\ell$ : oscilación entre $\pm\theta_{\max}$ ; $E_m > mg\ell$ : pasa por encima y rota; $E_m = mg\ell$ : la separatriz, una aproximación infinitamente lenta a lo alto.

13.6 Ejercicios

Ejercicio 13.1 ★

Una caja de $20\,\mathrm{kg}$ se eleva $3.0\,\mathrm{m}$ a rapidez constante en $5.0\,\mathrm{s}$ . Trabajo de la fuerza que la eleva, del peso, y potencia suministrada. La misma caja empujada $3.0\,\mathrm{m}$ por un suelo con $\mu_d = 0.30$ : trabajo del rozamiento.

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

Fuerza que eleva: $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$ ; peso, $-589\,\mathrm{J}$ ; potencia $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$ . Rozamiento: $-\mu_dmgd = -0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$ .

Ejercicio 13.2 ★

Energía cinética de un coche de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; distancia de parada con una fuerza de frenado constante de $7.0\,\mathrm{kN}$ ; ¿qué le ocurre a la distancia si se duplica la rapidez?

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$ ; $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ ; duplicar $v$ cuadruplica $E_k$ y $d$ : $220\,\mathrm{m}$ .

Ejercicio 13.3 ★

Un resorte de rigidez $500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ se comprime $10\,\mathrm{cm}$ y se suelta contra una bola de $50\,\mathrm{g}$ sobre una vía horizontal sin rozamiento. Energía almacenada; rapidez de la bola.

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 13.4 ★

Un péndulo de longitud $1.0\,\mathrm{m}$ se suelta desde el reposo a $60^\circ$ : rapidez abajo por la energía; después, con la ley de Newton, la tensión allí (en unidades de $mg$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$ : $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tensión: $T - mg = mv^2/\ell = mg$ , $T = 2mg$ .

Ejercicio 13.5 ★★

Un bloque desliza desde el reposo por una pendiente de $30^\circ$ y altura $2.0\,\mathrm{m}$ , con $\mu_d = 0.20$ . Rapidez abajo por el teorema de la energía; fracción de la energía potencial inicial perdida en rozamiento.

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

El rozamiento trabaja $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$ , luego

\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; se pierde el $35\%$ .

Ejercicio 13.6 ★★

Usando $E_p = -GMm/r$ , muéstrese que la rapidez necesaria para escapar de la atracción terrestre desde su superficie vale $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , y calcúlese ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ). ¿Cuál es la velocidad de escape de un cuerpo de la misma densidad y el doble de radio?

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

$E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ para que el cuerpo alcance el infinito (donde $E_p = 0$ y $v \to 0$ ): $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , es decir

v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

La misma densidad da $M \propto R^3$ : $v_e \propto R$ , luego $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Ejercicio 13.7 ★★

Puenting: un saltador de $70\,\mathrm{kg}$ y una cuerda de longitud natural $20\,\mathrm{m}$ y rigidez $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; salta desde el reposo. Hállense el alargamiento máximo de la cuerda, la caída total y la tensión máxima (en unidades del peso). ¿Dónde es máxima la rapidez?

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

Punto más bajo: $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$ , $25x^2 - 687x - 13734 = 0$ , $x = 41\,\mathrm{m}$ ; caída total $61\,\mathrm{m}$ ; $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN} = 3.0\,mg$ (neto $2\,\mathrm{g}$ hacia arriba). La rapidez es máxima donde se anula la fuerza neta, $kx = mg$ : $x = 14\,\mathrm{m}$ , $34\,\mathrm{m}$ por debajo del punto de salto.

Ejercicio 13.8 ★★

Un ciclista ( $80\,\mathrm{kg}$ con la bicicleta) sube una pendiente del $5\%$ a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ contra un arrastre $\tfrac12\rho C_xSv^2$ con $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$ . Potencia contra la gravedad, contra el arrastre y total.

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

Gravedad: $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$ ; arrastre: $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 = 38\,\mathrm{W}$ ; en total $234\,\mathrm{W}$ .

Ejercicio 13.9 ★★

Un punto material de masa $m$ tiene $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$ . Hállense los equilibrios y su estabilidad, la profundidad de los pozos y la frecuencia angular de las pequeñas oscilaciones en torno a uno estable.

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$ : $x = 0, \pm a$ . $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 - 4/a^2)$ : $-4E_0/a^2$ en $0$ (máximo inestable, $E_p = 0$ ) y $+8E_0/a^2$ en $\pm a$ (mínimos estables, $E_p = -E_0$ ): pozos de profundidad $E_0$ ; $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$ .

Ejercicio 13.10 ★★★

Para el oscilador armónico $E_p = \tfrac12 kx^2$ , muéstrese que las curvas de fase son elipses, dense sus semiejes para una energía $E$ y explíquese por qué todas se recorren en el mismo tiempo.

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$ : una elipse de semiejes $x_{\max} = \sqrt{2E/k}$ y $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$ . El movimiento es armónico, de periodo $2\pi\sqrt{m/k}$ sea cual sea la amplitud (isocronismo), así que todas las elipses se recorren en el mismo tiempo.

Ejercicio 13.11 ★★★

Un objeto pequeño desliza desde el reposo en lo alto de una semiesfera sin rozamiento de radio $R$ . Con la energía y la ley de Newton, hállense el ángulo respecto de la vertical en el que abandona la superficie, la altura y su rapidez en ese instante.

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

Energía: $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$ . Radial: $mg\cos\theta - N = mv^2/R$ , luego $N = mg(3\cos\theta - 2)$ , que se anula en $\cos\theta = 2/3$ ( $\theta = 48^\circ$ ): altura $2R/3$ , rapidez $\sqrt{2gR/3}$ .

Ejercicio 13.12 ★★★

Un coche a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ derrapa hasta detenerse en $80\,\mathrm{m}$ con las ruedas bloqueadas. Hállese $\mu_d$ por la energía. ¿Adónde fue la energía? ¿Por qué frena antes un sistema antibloqueo (que mantiene las ruedas rodando)?

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$ : $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$ . Calor en el contacto neumático–calzada (y una marca de derrape). Las ruedas que ruedan usan rozamiento estático, $\mu_s > \mu_d$ : mayor fuerza de frenado, menor distancia y dirección conservada.

13.7 Problema: el pozo de energía de un enlace químico

Problema 13.1

Problema de fin de semana — dos átomos, una curva: la energía potencial de un enlace leída como un paisaje — su suelo, sus paredes, las pequeñas vibraciones del fondo y la energía que cuesta salir

La interacción de los dos átomos de una molécula diatómica se modela por la energía potencial

E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],

donde $r$ es la distancia entre los núcleos. Para el cloruro de hidrógeno tómense $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$ y $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$ , y supóngase que se mueve el ligero átomo de hidrógeno ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) mientras el pesado cloro permanece quieto. $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ .

Parte I — El paisaje.

Dense los límites de $E_p$ cuando $r \to 0$ y $r \to \infty$ , y esbócese la curva.
Muéstrese que $E_p$ tiene un único mínimo, en $r = \sigma$ , de valor $-\epsilon$ .
Con $u = (\sigma/r)^6$ , muéstrese que $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : una parábola en $u$ . Recupérese el mínimo a partir de ella.
Exprésese la fuerza $F(r)$ (positiva si es repulsiva) y dese su signo a cada lado de $\sigma$ .
Calcúlense $E_p$ y $F$ en $r = 1.2\sigma$ (en eV y en nN).
¿Cuál es la energía de disociación de la molécula, en eV y en $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ? (Energía de enlace medida del HCl: $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .)
Compruébese el criterio de estabilidad en $r = \sigma$ : calcúlese $E_p''(\sigma)$ .

Parte II — Pequeñas vibraciones.

Escríbase el desarrollo de Taylor de segundo orden de $E_p$ en torno a $\sigma$ e identifíquese una rigidez efectiva $k$ .
Calcúlese $k$ (en $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ).
Dedúzcanse la frecuencia angular, la frecuencia y la longitud de onda de la vibración, y su número de onda $1/\lambda$ en $\mathrm{cm}^{-1}$ .
La vibración medida del HCl está en $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Coméntese el acuerdo y qué acierta el modelo.
A $300\,\mathrm{K}$ la energía media de vibración es del orden de $k_BT$ . Estímese la amplitud de vibración y compárese con $\sigma$ .
Dedúzcase la rapidez máxima del átomo de hidrógeno en esa vibración.

Parte III — Grandes oscilaciones y la salida.

Descríbase el retrato de fases: qué energías dan curvas cerradas, cuáles abiertas y qué las separa.
Para $E_m = -\epsilon/2$ , hállense los dos puntos de retroceso (en unidades de $\sigma$ ).
Muéstrese que su punto medio queda más allá de $\sigma$ y explíquese por qué calentar (elevar la energía de vibración) hace crecer la longitud media del enlace — el origen de la dilatación térmica.
¿Es el periodo de las grandes oscilaciones mayor o menor que $2\pi/\omega_0$ ? Arguméntese a partir de la forma de las paredes.
Partiendo de $E_m = -\epsilon/2$ , ¿qué energía hay que aportar para disociar la molécula? Si se aporta como energía cinética del átomo de hidrógeno en $r = \sigma$ , ¿a qué rapidez corresponde?
Dos átomos que se acercan desde muy lejos con energía total positiva no pueden formar por sí solos una molécula ligada. ¿Por qué? ¿Qué hace falta?

Parte IV — Trabajo, fuerza y temperatura.

Calcúlese el trabajo de la fuerza de enlace cuando $r$ pasa de $2\sigma$ a $\sigma$ . ¿Es allí la fuerza motora o resistente?
Calcúlese el trabajo que debe realizar un agente exterior para estirar el enlace de $\sigma$ a $1.5\sigma$ con rapidez infinitamente pequeña.
Calcúlese $F$ en $r = 0.9\sigma$ y compárese con $r = 1.2\sigma$ : ¿qué dice la asimetría sobre comprimir frente a estirar?
¿A qué temperatura valdría $k_BT$ lo mismo que $\epsilon$ ? ¿Por qué se disocian en la práctica las moléculas a temperaturas mucho menores?
Un modelo mejor (el de Morse) cambia la forma de las paredes pero mantiene un mínimo en la longitud de enlace. ¿Cuáles de los resultados anteriores sobreviven sin cambios de método y qué números cambiarían?
Resúmanse las tres maneras en que se han usado los métodos energéticos: para hallar el equilibrio, para hallar la frecuencia de vibración y para hallar lo que hace falta para escapar.

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. $r \to 0$ : $+\infty$ (el término en $r^{-12}$ ); $r \to \infty$ : $0^-$ . Una pared abrupta, un pozo y una cola larga.

2. $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ si y solo si $(\sigma/r)^6 = 1$ : $r = \sigma$ , $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$ .

3. $(\sigma/r)^{12} = u^2$ : $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2 - 1]$ , mínimo en $u = 1$ ( $r = \sigma$ ) con valor $-\epsilon$ .

4. $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$ : positiva (repulsiva) para $r < \sigma$ y negativa (atractiva) más allá.

5. $(1/1.2)^6 = 0.335$ , $(1/1.2)^{12} = 0.112$ : $E_p = \epsilon(0.112 - 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$ . $(1/1.2)^{13} = 0.0935$ , $(1/1.2)^7 = 0.279$ : $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma = -2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$ .

6. $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ , cerca de los $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ medidos.

7. $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$ ; en $\sigma$ : $72\epsilon/\sigma^2 > 0$ : estable.

8. $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$ : $k = 72\epsilon/\sigma^2$ .

9. $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 = 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} = 1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$ .

11. Un factor $2.4$ de más: las paredes del modelo son demasiado abruptas (el núcleo en $r^{-12}$ es un sustituto tosco de un enlace covalente), pero el orden de magnitud — una vibración infrarroja a $10^{14}$ Hz — es el correcto, y el método (la curvatura del pozo) es exactamente el que se usa con potenciales mejores.

12. $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$ : $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times 10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$ : el enlace apenas tiembla.

13. $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15} = 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

14. $-\epsilon < E_m < 0$ : curvas cerradas en torno a $(\sigma, 0)$ — vibración, ligada; $E_m > 0$ : curvas abiertas — los átomos se separan; $E_m = 0$ : la separatriz, un átomo que apenas alcanza el infinito.

15. $u^2 - 2u = -\tfrac12$ con $u = (\sigma/r)^6$ : $u = 1 \pm 1/\sqrt2 = 1.71$ o $0.293$ ; $r = \sigma u^{-1/6}$ : $0.915\sigma$ y $1.23\sigma$ .

16. Punto medio $1.07\sigma > \sigma$ : la pared exterior es más blanda que la interior, así que el átomo dispone de más espacio por fuera; la distancia promediada en el tiempo crece con la energía — los enlaces calientes se alargan y los sólidos se dilatan.

17. Mayor: la fuerza recuperadora en el lado exterior, más blando, es menor que la que supone la aproximación armónica, así que el regreso tarda más.

18. $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ de energía cinética en $\sigma$ : $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. Conservación de la energía: si $E_m > 0$ sigue siendo $> 0$ , la curva es abierta y los átomos se separan tras un solo encuentro. Un tercer cuerpo (otra molécula, una pared, un fotón) ha de llevarse el exceso.

20. $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6}) + \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$ , positivo: la atracción tira del átomo hacia dentro, es motora.

21. $W_{\text{ext}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 - 0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$ .

22. $(1/0.9)^{13} = 3.93$ , $(1/0.9)^7 = 2.09$ : $F = +22\epsilon/\sigma = +120\,\mathrm{nN}$ , diez veces la atracción en $1.2\sigma$ : comprimir un enlace un $10\%$ cuesta mucho más que estirarlo un $20\%$ .

23. $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} = 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . Los gases reales se disocian muy por debajo porque las energías están repartidas: una fracción de las moléculas lleva muchas veces $k_BT$ (Capítulo 20).

24. Sobreviven: el equilibrio en el mínimo, $k = E_p''$ en el mínimo, la energía de disociación $=$ la profundidad, los puntos de retroceso a partir de $E_p = E_m$ y la asimetría $\Rightarrow$ dilatación. Cambian: los valores de $k$ , de la frecuencia y de los puntos de retroceso.

25. Equilibrio: $E_p' = 0$ ; vibración: $\omega_0^2 = E_p''/m$ ; escape: $E_m$ comparada con el borde del pozo.

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