Física universitaria — primer año · Bachelor Year 1

12Las leyes de Newton de la dinámica

Un paracaidista sale del avión y, en una docena de segundos, deja de acelerar: a doscientos kilómetros por hora el aire empuja exactamente tanto como tira la Tierra. Un coche toma una curva demasiado deprisa y los neumáticos ceden; un camión en una carretera de montaña avanza a paso lento en una marcha corta, sostenido por el mismo rozamiento que le permite detenerse en llano. La cinemática describía movimientos; la dinámica los explica, a partir de una única ley que liga la aceleración de un cuerpo con las fuerzas que actúan sobre él. Este capítulo enuncia las tres leyes de Newton, cataloga las fuerzas que aparecen al nivel de este volumen — peso, resortes, hilos, contactos, rozamiento seco y fluido — y muestra cómo pasar de un dibujo de las fuerzas a una ecuación diferencial y a su solución.

La Estación Espacial Internacional vista desde el transbordador que se aleja (NASA): todo lo que hay a bordo está en caída libre a la vez, y por eso nada a bordo parece pesar.

12.1 Masa, cantidad de movimiento y las tres leyes

Definición 12.1 (Masa, cantidad de movimiento, fuerza)

Un punto material tiene una masa inercial $m > 0$ (kilogramos), una medida de su resistencia a los cambios de velocidad, independiente del sistema de referencia. Su cantidad de movimiento en un sistema es

\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).

Una fuerza $\vect F$ (newtons) es la acción de otro cuerpo sobre el punto; las fuerzas se suman como vectores, y la resultante es su suma $\sum\vect F$ .

Teorema 12.2 (Leyes de Newton)

Principio de inercia. Existen sistemas de referencia, llamados inerciales (o galileanos), en los que un punto material sin fuerzas, o con fuerzas de resultante nula, se mueve en línea recta con velocidad constante. Todo sistema en traslación rectilínea uniforme respecto de un sistema inercial es inercial.
Ley de la cantidad de movimiento. En un sistema inercial,

$\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{es decir}\qquad m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ para una masa constante } m .$
Acción y reacción. Si el cuerpo $A$ ejerce $\vect F_{A\to B}$ sobre el cuerpo $B$ , entonces $B$ ejerce $\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B}$ sobre $A$ , a lo largo de la recta que los une.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 12.3 (Qué dicen las leyes)

La primera ley no es un caso particular de la segunda: define los sistemas en los que vale la segunda. En la práctica, un laboratorio en la Tierra es inercial con excelente precisión para experimentos que duran minutos (Capítulo 18 cuantifica el error); un sistema ligado al Sol y a las estrellas lejanas lo es todavía más. La segunda ley es una ecuación vectorial: tres ecuaciones escalares, una por eje, y la elección de ejes (Capítulo 11) es la primera decisión de todo problema. La tercera ley vale en cada instante para las fuerzas de contacto y gravitatorias de este volumen.

Definición 12.4 (Sistema cerrado; conservación de la cantidad de movimiento)

Un sistema cerrado no intercambia materia con el exterior. Para un sistema de puntos materiales, las fuerzas internas se cancelan por parejas (tercera ley), y la cantidad de movimiento total $\vect P = \sum m_i\vect v_i$ obedece $\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}$ : se conserva cuando se anulan las fuerzas exteriores (Capítulo 19 lo desarrolla).

12.2 Las fuerzas habituales

Proposición 12.5 (Peso y gravitación)

Cerca de la superficie terrestre, un cuerpo de masa $m$ es atraído por su peso $\vect P = m\vect g$ , donde $\vect g$ es el campo gravitatorio local, $g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dirigido hacia abajo (hacia el centro, con muy buena aproximación). Más en general, una masa $M$ a distancia $r$ atrae a $m$ con $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ (Capítulo 16); en la superficie de una esfera de radio $R$ , $g = GM/R^2$ . Obsérvese la unidad: $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ y $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ son la misma, y por eso todos los cuerpos caen igual.

Demostración. La ley de gravitación de Newton se admite y se explora en Capítulo 16; $g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . ∎

Proposición 12.6 (Resorte; hilo)

Un resorte ideal de constante de rigidez $k$ y longitud natural $\ell_0$ , estirado hasta la longitud $\ell$ a lo largo del vector unitario $\vect u$ que va de su extremo fijo al cuerpo, ejerce sobre este la fuerza recuperadora

\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{ley de Hooke}),

dirigida hacia su longitud natural. Un hilo ideal (sin masa e inextensible) ejerce una tensión $\vect T$ a lo largo de sí mismo, tirando, con el mismo módulo en los dos extremos y en toda su longitud (incluso pasando por una polea sin masa ni rozamiento).

Demostración. La ley de Hooke es un modelo empírico válido para deformaciones pequeñas. El hilo: un elemento sin masa cumple $0 = \vect T_1 + \vect T_2$ por la segunda ley de Newton, luego la tensión se transmite sin cambio. ∎

Proposición 12.7 (Fuerzas de contacto: reacción normal y rozamiento seco)

Una superficie sólida ejerce sobre un cuerpo que la toca una reacción normal $\vect N$ , perpendicular a la superficie y repulsiva ( $N \geq 0$ : una superficie no puede tirar), y una fuerza de rozamiento tangencial $\vect T$ . Leyes de Coulomb: si el cuerpo no desliza, $\abs{\vect T} \leq \mu_s N$ (el rozamiento estático se ajusta a lo que haga falta, hasta ese límite); si desliza con velocidad $\vect v_g$ respecto de la superficie, $\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g}$ (rozamiento cinético, que se opone al deslizamiento), con $\mu_d \leq \mu_s$ coeficientes del orden de $0.1$ a $1$ según los materiales, e independientes del área de contacto y de la rapidez.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Izquierda: las fuerzas sobre un bloque en un plano inclinado — peso, reacción normal y rozamiento a lo largo de la superficie — y los ejes naturales. Derecha: las leyes de Coulomb: en reposo el rozamiento equilibra la fuerza aplicada hasta _sN; en cuanto empieza el deslizamiento cae a _dN y ahí se queda. — Izquierda: las fuerzas sobre un bloque en un plano inclinado — peso, reacción normal y rozamiento a lo largo de la superficie — y los ejes naturales. Derecha: las leyes de Coulomb: en reposo el rozamiento equilibra la fuerza aplicada hasta $\mu_sN$ ; en cuanto empieza el deslizamiento cae a $\mu_dN$ y ahí se queda.

Proposición 12.8 (Rozamiento fluido)

Un cuerpo que se mueve con velocidad $\vect v$ en un fluido en reposo siente una fuerza de arrastre opuesta a $\vect v$ : a baja rapidez (tamaño pequeño, fluido viscoso) es lineal, $\vect F = -\alpha\vect v$ — para una esfera de radio $r$ en un fluido de viscosidad $\eta$ , $\alpha = 6\pi\eta r$ (Stokes); a rapidez alta (cuerpos grandes y rápidos en aire o agua) es cuadrática,

\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,

con $\rho$ la densidad del fluido, $S$ la sección del cuerpo enfrentada al flujo y $C_x$ un coeficiente de arrastre adimensional ( $0.5$ para una esfera, $0.3$ para un coche, $1$ para un disco plano). El número de Reynolds $\rho vL/\eta$ (Observación 1.10) decide: lineal por debajo de $1$ , cuadrático por encima de unos $1000$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 12.9 (Otras fuerzas)

El empuje de Arquímedes es una resultante de fuerzas de presión, deducida en Capítulo 21; las fuerzas eléctrica y magnética sobre una carga son el objeto de Capítulo 17. Todas las fuerzas de este capítulo son modelos de interacciones de contacto o de campo, válidos dentro de límites declarados — el resorte de Hooke se rompe, el rozamiento de Coulomb falla a presiones altas y el arrastre de Stokes falla a rapidez alta. Parte de toda solución es comprobar que el modelo empleado se aplica.

12.3 Resolver un problema de dinámica

Método 12.10 (De la situación a la ecuación)

Sistema: nómbrese el cuerpo tratado como punto.
Sistema de referencia: nómbrese y compruébese que es inercial (o trátese como tal con la precisión exigida).
Fuerzas: enumérese todo cuerpo que toque o atraiga al sistema y dibújese cada fuerza en un esquema (el diagrama de fuerzas); nada más interviene.
Coordenadas: elíjanse ejes adaptados al movimiento (Método 11.18) y exprésese $\vect a$ .
Proyéctese $m\vect a = \sum\vect F$ sobre los ejes; úsense las ligaduras (un cuerpo sobre una superficie permanece en ella: $a_\perp = 0$ ; un hilo de longitud fija: igual rapidez en los dos extremos).
Resuélvase y compruébese: dimensiones, casos límite, signos ( $N \geq 0$ , $\abs T \leq \mu_sN$ si está en reposo).

Ejemplo 12.11 (Bloque en un plano inclinado)

Bloque de masa $m$ en un plano inclinado un ángulo $\alpha$ , con coeficientes $\mu_s$ y $\mu_d$ . Ejes: $x$ pendiente abajo, $y$ según la normal. Peso $(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)$ , reacción $(0, N)$ , rozamiento $(-T, 0)$ si desliza hacia abajo. Según $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . En reposo, según $x$ : $T = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha$ , es decir $\tan\alpha \leq \mu_s$ : el bloque aguanta hasta el ángulo $\arctan\mu_s$ — una medida de $\mu_s$ que no necesita balanza. Deslizando: $ma = mg\sin\alpha - \mu_dmg\cos\alpha$ , luego $a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$ , con independencia de $m$ : $3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ para $\alpha = 30^\circ$ y $\mu_d = 0.2$ .

Ejemplo 12.12 (El péndulo simple)

Masa $m$ en un hilo de longitud $\ell$ , con ángulo $\theta$ respecto de la vertical descendente. Coordenadas polares en el punto de suspensión: $\vect a = -\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta$ ; fuerzas: el peso $mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta)$ y la tensión $-T\vect e_r$ . Según $\vect e_\theta$ : $m\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta$ ,

\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,

que para ángulos pequeños ( $\sin\theta \approx \theta$ ) es la ecuación armónica con $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ : periodo $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ , el $k = 2\pi$ que Ejemplo 1.8 no podía proporcionar. Según $\vect e_r$ : $T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2$ — el hilo tira con más fuerza abajo, donde la rapidez es mayor.

Izquierda: el péndulo simple, sus dos fuerzas y la base polar usada para proyectar la ley de Newton. Derecha: un cuerpo que cae desde el reposo bajo su peso y una fuerza de arrastre: la rapidez tiende a la velocidad límite v_∈fty, de forma exponencial con arrastre lineal (= m/) y como una tangente hiperbólica con arrastre cuadrático (= v_∈fty/g). — Izquierda: el péndulo simple, sus dos fuerzas y la base polar usada para proyectar la ley de Newton. Derecha: un cuerpo que cae desde el reposo bajo su peso y una fuerza de arrastre: la rapidez tiende a la velocidad límite $v_\infty$ , de forma exponencial con arrastre lineal ( $\tau = m/\alpha$ ) y como una tangente hiperbólica con arrastre cuadrático ( $\tau = v_\infty/g$ ).

Proposición 12.13 (Caída con arrastre; velocidad límite)

Un cuerpo de masa $m$ que cae desde el reposo bajo su peso y una fuerza de arrastre alcanza una velocidad límite en la que ambas se equilibran. Arrastre lineal: $m\dot v = mg - \alpha v$ , $v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ con $v_\infty = mg/\alpha$ , $\tau = m/\alpha$ . Arrastre cuadrático: $m\dot v = mg - \tfrac12\rho C_xSv^2$ , $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ con

v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .

Demostración. Lineal: una ecuación de primer orden, $\tau\dot v + v = v_\infty$ (Teorema 7.2). Cuadrática: con $u = v/v_\infty$ , $\dot u = (1 - u^2)/\tau$ ; separando variables, $\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ (la fracción racional $1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)]$ se integra a $\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u}$ ), de donde $u = \tanh(t/\tau)$ . ∎

Ejemplo 12.14 (Dos velocidades límite)

Un paracaidista, $m = 80\,\mathrm{kg}$ , boca abajo, $C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2}$ en el aire ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , alcanzada (al $90\%$ ) en unos $1.5\tau = 6\,\mathrm{s}$ . Una gotita de niebla, $r = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , en régimen de Stokes ( $\eta_{\text{aire}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ): $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ — por eso la niebla se queda suspendida en el aire.

12.4 Movimiento circular: fuerzas de ligadura

Proposición 12.15 (Exigencia centrípeta)

Un punto que se mueve sobre una circunferencia de radio $R$ con rapidez $v$ ha de recibir de la resultante de las fuerzas una componente $mv^2/R$ dirigida hacia el centro. Lo que la proporcione — la tensión de un hilo, el rozamiento, la reacción de una carretera peraltada, la gravedad — fija la rapidez máxima, o la mínima, a la que el movimiento es posible.

Demostración. La segunda ley de Newton con la aceleración de Frenet: la componente normal de $\sum\vect F$ vale $mv^2/\rho$ . ∎

Ejemplo 12.16 (Tres circunferencias)

Curva plana: el rozamiento ha de aportar $mv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg$ , luego $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $R = 50\,\mathrm{m}$ y $\mu_s = 0.8$ . Curva peraltada un ángulo $\beta$ , sin rozamiento: la reacción $\vect N$ es normal a la calzada; en vertical $N\cos\beta = mg$ y en horizontal $N\sin\beta = mv^2/R$ , luego $v^2 = gR\tan\beta$ — la única rapidez a la que la curva se toma sin rozamiento alguno. Rizo: en lo alto, con $\vect N$ apuntando hacia abajo, hacia el centro, $N + mg = mv^2/R$ , y $N \geq 0$ exige $v \geq \sqrt{gR}$ : por debajo, el vagón se sale de la vía (otra vez Problema 11.1, ahora explicado).

Una curva peraltada vista en sección: sin rozamiento, la reacción normal de la calzada ha de sostener el coche y empujarlo a la vez hacia el centro; la componente horizontal N aporta mv2/R, cosa que ocurre a una única rapidez, v = √gR. — Una curva peraltada vista en sección: sin rozamiento, la reacción normal de la calzada ha de sostener el coche y empujarlo a la vez hacia el centro; la componente horizontal $N\sin\beta$ aporta $mv^2/R$ , cosa que ocurre a una única rapidez, $v = \sqrt{gR\tan\beta}$ .

12.5 Ejercicios

Ejercicio 12.1 ★

Una persona de $70\,\mathrm{kg}$ está de pie sobre una báscula dentro de un ascensor. ¿Qué marca la báscula (en newtons y en “kilogramos”) cuando el ascensor acelera hacia arriba a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , hacia abajo a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , se mueve con velocidad constante y cae libremente?

Solución

Solución de Ejercicio 12.1.

Lectura de la báscula $N = m(g + a)$ , con $a$ la aceleración hacia arriba: hacia arriba, $70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N}$ (“ $84\,\mathrm{kg}$ ”); hacia abajo, $70 \times 7.81 = 547\,\mathrm{N}$ (“ $56\,\mathrm{kg}$ ”); a velocidad constante, $687\,\mathrm{N}$ ( $70\,\mathrm{kg}$ ); en caída libre, $0$ .

Ejercicio 12.2 ★

Un bloque $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ sobre una mesa sin rozamiento está unido por un hilo, a través de una polea sin rozamiento, a una masa colgante $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . Hállense la aceleración y la tensión.

Solución

Solución de Ejercicio 12.2.

La misma aceleración $a$ para ambos (hilo inextensible): $m_1a = T$ , $m_2a = m_2g - T$ , luego $a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ y $T = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}$ .

Ejercicio 12.3 ★

Un bloque desliza por un plano inclinado $30^\circ$ con $\mu_d = 0.20$ . Calcúlense su aceleración y su rapidez tras $5.0\,\mathrm{m}$ desde el reposo. ¿Depende la respuesta de su masa?

Solución

Solución de Ejercicio 12.3.

$a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La masa no aparece.

Ejercicio 12.4 ★

Una masa de $0.50\,\mathrm{kg}$ cuelga de un resorte de constante de rigidez $200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Hállese el alargamiento estático; después, la frecuencia angular y el periodo de sus oscilaciones verticales en torno al equilibrio (muéstrese que la ecuación del movimiento es armónica).

Solución

Solución de Ejercicio 12.4.

$k\Delta\ell = mg$ : $\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}$ . Con $x$ el desplazamiento respecto del equilibrio, $m\ddot x = -kx$ (el peso y el alargamiento estático se cancelan): $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.31\,\mathrm{s}$ .

Ejercicio 12.5 ★★

Una caja está sobre una plataforma que se inclina; empieza a deslizar a $22^\circ$ . Hállese $\mu_s$ . Un coche en una carretera llana con $\mu_s = 0.80$ : rapidez máxima en una curva de radio $50\,\mathrm{m}$ , y en calzada mojada con $\mu_s = 0.40$ .

Solución

Solución de Ejercicio 12.5.

$\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40$ . Curva: $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $\sqrt{0.8 \times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); en mojado, $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

Ejercicio 12.6 ★★

Velocidades límite: un paracaidista ( $m = 80\,\mathrm{kg}$ , $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); una gotita de niebla de radio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ en el aire ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), con la ley de Stokes. Compruébese con un número de Reynolds que cada régimen es el adecuado.

Solución

Solución de Ejercicio 12.6.

Paracaidista: $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 10^6$ : cuadrático. Gotita: $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ , $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02$ : lineal.

Ejercicio 12.7 ★★

Un péndulo de longitud $\ell$ se suelta desde el reposo en $\theta_0 = 60^\circ$ . Sabiendo que su rapidez abajo vale $\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}$ (energía, capítulo siguiente), hállese la tensión del hilo abajo en unidades de $mg$ , y en el punto de suelta.

Solución

Solución de Ejercicio 12.7.

Abajo: $v^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell$ ; $T = mg + mv^2/\ell = 2mg$ . Punto de suelta: $v = 0$ , $T = mg\cos\theta_0 = 0.5mg$ .

Ejercicio 12.8 ★★

Una curva de radio $200\,\mathrm{m}$ está peraltada $15^\circ$ . ¿A qué rapidez puede tomarse sin rozamiento alguno? ¿Qué debe hacer el rozamiento a rapideces menores y mayores?

Solución

Solución de Ejercicio 12.8.

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Más despacio: el coche tiende a deslizar peralte abajo y el rozamiento debe apuntar pendiente arriba; más deprisa: el rozamiento apunta pendiente abajo para añadir fuerza centrípeta.

Ejercicio 12.9 ★★

Un péndulo cónico: una masa colgada de un hilo de longitud $\ell = 1.0\,\mathrm{m}$ describe una circunferencia horizontal, con el hilo formando $30^\circ$ con la vertical. Hállense la velocidad angular, el periodo y la tensión (en unidades de $mg$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 12.9.

$T\cos\alpha = mg$ , $T\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha$ : $\omega = \sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , periodo $1.9\,\mathrm{s}$ ; $T = mg/\cos\alpha = 1.15mg$ .

Ejercicio 12.10 ★★★

Un coche de $1000\,\mathrm{kg}$ alcanza $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ desde el reposo en $8.0\,\mathrm{s}$ con aceleración constante. Hállense la fuerza resultante y el coeficiente de rozamiento mínimo entre las ruedas motrices y la calzada si estas soportan todo el peso. ¿Qué limita a un deportivo en calzada mojada?

Solución

Solución de Ejercicio 12.10.

$a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $F = 3.5\,\mathrm{kN}$ ; $F \leq \mu_smg$ da $\mu_s \geq a/g = 0.35$ . En calzada mojada, $\mu_s \approx 0.4$ limita la aceleración a unos $0.4g$ por mucho motor que haya: adherencia, no potencia.

Ejercicio 12.11 ★★★

Un cuerpo cae desde el reposo con arrastre lineal, $\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}$ . Escríbase $v(t)$ y dedúzcase la distancia caída $z(t)$ ; calcúlense $v_\infty$ y $z$ al cabo de $2.0\,\mathrm{s}$ ; compárese con la caída libre.

Solución

Solución de Ejercicio 12.11.

$v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ , $v_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]$ . A los $2.0\,\mathrm{s}$ : $4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}$ , frente a $\tfrac12 gt^2 = 20\,\mathrm{m}$ en el vacío.

Ejercicio 12.12 ★★★

Un vagón de masa $m$ recorre el interior de un rizo circular vertical de radio $R$ (Problema 11.1). Exprésese la reacción normal de la vía en función del ángulo $\theta$ medido desde abajo y de la rapidez $v(\theta)$ ; dedúzcase la rapidez mínima en lo alto; con $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ , hállense la rapidez mínima de entrada y la reacción abajo en ese caso.

Solución

Solución de Ejercicio 12.12.

Proyección radial (hacia el centro): $N - mg\cos\theta = mv^2/R$ , luego $N = m(v^2/R + g\cos\theta)$ . Arriba ( $\theta = \pi$ ): $N = m(v^2/R - g) \geq 0$ si y solo si $v \geq \sqrt{gR}$ . Con la ley de rapidez, $v_{\text{arr}}^2 = v_0^2 - 4gR \geq gR$ : $v_0 \geq \sqrt{5gR}$ ; y entonces abajo $N = m(5g + g) = 6mg$ .

Caída libre con aire: al cabo de unos segundos el arrastre cuadrático equilibra el peso y el paracaidista cae a una rapidez límite cercana a 200\, km/ h — el problema de fin de semana. — Caída libre con aire: al cabo de unos segundos el arrastre cuadrático equilibra el peso y el paracaidista cae a una rapidez límite cercana a $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — el problema de fin de semana.

12.6 Problema: el paracaidista

Problema 12.1

Problema de fin de semana — de la puerta del avión al suelo: caída libre, el aire que empuja de vuelta, una vela que se abre demasiado deprisa y el aterrizaje — una ley del movimiento, dos leyes de arrastre

Un paracaidista con su equipo tiene una masa $m = 80\,\mathrm{kg}$ . Aire: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Cayendo boca abajo, $C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}$ ; con la vela abierta, $C_xS = 25\,\mathrm{m}^{2}$ . $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $z$ se cuenta hacia abajo desde el punto de salto.

Parte I — Sin aire.

Escríbase la segunda ley de Newton y dense $v(t)$ y $z(t)$ ; calcúlense ambos en $t = 10\,\mathrm{s}$ .
Calcúlese el peso.
El paracaidista se siente “ingrávido” durante esta fase aunque la gravedad actúe por completo. Explíquese con las fuerzas (qué falta respecto de estar de pie en el suelo).
¿Es el sistema terrestre bastante inercial para este problema? Nómbrese lo que se desprecia.

Parte II — Cayendo a través del aire.

Escríbase la fuerza de arrastre para la caída boca abajo en función de $v$ .
Escríbase la ecuación del movimiento para $v(t)$ .
Hállese la velocidad límite $v_\infty$ (en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).
Con $u = v/v_\infty$ y $\tau = v_\infty/g$ , muéstrese que $\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau$ ; calcúlese $\tau$ .
Resuélvase por separación de variables y muéstrese que $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ .
¿Al cabo de cuánto tiempo es $v = 0.9v_\infty$ ? ¿Y $0.99v_\infty$ ?
Muéstrese que $z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ y calcúlese la distancia caída en $t = 10\,\mathrm{s}$ ; compárese con la Parte I.
Estímese el número de Reynolds en $v_\infty$ con $L = 0.5\,\mathrm{m}$ y justifíquese la ley cuadrática.

Parte III — Se abre la vela.

Calcúlese la nueva velocidad límite con la vela abierta.
Si la vela se abriera instantáneamente a $v = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ¿cuál sería la deceleración, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ y en $g$ ? ¿Por qué resulta inaceptable?
Las velas reales se abren en unos $3\,\mathrm{s}$ . Estímense la deceleración media y la fuerza media del arnés sobre el paracaidista.
Una vez abierta del todo la vela, la rapidez decae hacia la nueva $v_\infty$ : ¿cuál es la nueva constante de tiempo $\tau' = v_\infty'/g$ , y qué significa para la llegada al descenso estacionario?
En descenso estacionario, ¿cuál es la fuerza del arnés? Justifíquese con la segunda ley.
Explíquese por qué la velocidad límite varía como $1/\sqrt{C_xS}$ : ¿por qué factor la subiría una vela de la mitad de área?
Un saltador más pesado ( $100\,\mathrm{kg}$ ) con la misma vela: ¿velocidad límite?

Parte IV — El aterrizaje.

La rapidez de aterrizaje es la $v_\infty$ de la vela. ¿Desde qué altura habría que saltar, sin aire, para llegar al suelo con esa rapidez?
Un aterrizaje con las piernas rígidas detiene el cuerpo en $0.5\,\mathrm{m}$ ; una voltereta, en $1.5\,\mathrm{m}$ . Estímense la deceleración media (en $g$ ) y la fuerza media sobre las piernas en cada caso, y conclúyase.
Justo antes de tomar tierra, el paracaidista tira de los dos mandos, lo que aumenta brevemente el arrastre de la vela. Explíquese cualitativamente el efecto sobre la rapidez.

Parte V — Las cosas pequeñas caen de otro modo.

Una gota de lluvia de radio $1.0\,\mathrm{mm}$ ( $C_x = 0.5$ ): calcúlese su velocidad límite con la ley cuadrática y compruébese el número de Reynolds.
Una gotita de niebla de radio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : úsese la ley de Stokes para $v_\infty$ y compruébese que el número de Reynolds es en efecto pequeño.
Resúmase: una ecuación del movimiento, dos regímenes de arrastre y los tres números ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) que deciden si algo cae como una piedra, como una hoja o no cae.

Solución

Solución de Problema 12.1.

1. $m\dot v = mg$ : $v = gt$ , $z = \tfrac12 gt^2$ ; a los $10\,\mathrm{s}$ : $98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $490\,\mathrm{m}$ .

2. $mg = 785\,\mathrm{N}$ .

3. En el suelo, el piso empuja hacia arriba con $N = mg$ — ese empuje es lo que se siente como peso. En caída libre no hay fuerza de contacto: la gravedad actúa igual sobre todas las partes y nada aprieta.

4. Sí, con un error de una fracción de por ciento en un minuto; se desprecian la rotación terrestre (términos centrífugo y de Coriolis, Capítulo 18) y el viento.

5. $F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2$ (SI).

6. $m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2$ .

7. $v_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. Divídase por $mg$ : $\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2$ ; $\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ .

9. $\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ , luego $u = \tanh(t/\tau)$ .

10. $t = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}$ ; para $0.99$ : $2.65\tau = 11\,\mathrm{s}$ .

11. $z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ ; a los $10\,\mathrm{s}$ : $166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}$ , frente a $490\,\mathrm{m}$ .

12. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 1.3 \times 10^{6}$ : muy por encima de $1000$ , cuadrático.

13. $v_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

14. Arrastre $= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}$ ; $a = (24000 - 785)/80 = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g$ : se rompería el arnés, o el saltador.

15. Media $a \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g$ ; fuerza del arnés $\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}$ .

16. $\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}$ : a los pocos segundos de la apertura completa el descenso es estacionario.

17. $\vect a = \vect 0$ : fuerza del arnés $= mg = 785\,\mathrm{N}$ .

18. El equilibrio $mg = \tfrac12\rho C_xSv^2$ da $v \propto (C_xS)^{-1/2}$ : con la mitad de área, $\sqrt2$ veces la rapidez ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

19. $v \propto \sqrt m$ : $7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

20. $h = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}$ : un salto desde un primer piso.

21. $a = v^2/2d$ : $52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $5.3g$ ) en $0.5\,\mathrm{m}$ , fuerza $m(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}$ ; $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $1.8g$ ) en $1.5\,\mathrm{m}$ , $2.2\,\mathrm{kN}$ . Mejor la voltereta.

22. Un arrastre mayor (y algo de sustentación) supera momentáneamente al peso: el saltador decelera y toma tierra por debajo de $v_\infty'$ .

23. $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ , $S = \pi r^2 = 3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}$ : $v_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/ 1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times 2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900$ : cuadrático (a grandes rasgos).

24. $v_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (Ejercicio 12.6); $\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1$ : Stokes se aplica, de forma coherente.

25. $m\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{arr}}$ ; el arrastre es lineal en $v$ para lo pequeño y lento, y cuadrático para lo grande y rápido. Los números: $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para un cuerpo en caída, $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bajo una vela (o para una gota de lluvia) y $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ para la niebla — la misma ley a lo largo de cuatro órdenes de magnitud.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 393 términos del glosario