Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

13Espaces de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme provient d’un produit scalaire — et cette unique structure supplémentaire restaure, en dimension infinie, presque toute la géométrie euclidienne : les projections orthogonales existent, toute forme linéaire continue est un produit scalaire contre un vecteur fixe (Riesz), et les bases orthonormées développent chaque vecteur en une série convergente avec la comptabilité pythagoricienne (Parseval). Le point culminant du chapitre honore une dette du volume de deuxième année : le système trigonométrique est une base hilbertienne de $L^2$ , si bien que l’identité de Parseval vaut pour toute fonction de carré intégrable — l’énoncé que la deuxième année ne pouvait démontrer que pour les fonctions $\mathcal C^1$ par morceaux. Nous terminons par Lax–Milgram, le lemme de travail de l’approche variationnelle des équations différentielles.

Tout au long du chapitre, $H$ est un espace vectoriel sur $K = \R$ ou $\C$ .

13.1 Produits scalaires ; le théorème de projection

Définition 13.1

Un produit scalaire est une application $\langle \cdot,\cdot\rangle \colon H\times H \to K$ , linéaire en la seconde variable, avec $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$ et $\langle x, x\rangle > 0$ pour $x \neq 0$ . Elle induit la norme $\norm x = \langle x, x\rangle^{1/2}$ , l’inégalité de Cauchy–Schwarz $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\norm y$ (la preuve de deuxième année — le discriminant — est inchangée), et la identité du parallélogramme

\norm{x + y}^2 + \norm{x - y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2 .

Un espace de Hilbert est un espace préhilbertien complet pour cette norme. Exemples : $\ell^2$ (Problème 8.1) et, l’exemple fondamental, $L^2(\mu)$ avec $\langle f, g\rangle = \int\bar fg\,\dd\mu$ — complet par Riesz–Fischer (Théorème 12.4) ; le produit scalaire est fini par Cauchy–Schwarz ( $=$ Hölder en $p = q = 2$ ).

Théorème 13.2 (Projection sur un convexe fermé)

Soit $C \neq \varnothing$ un sous-ensemble convexe fermé de l’espace de Hilbert $H$ et $x \in H$ . Il existe un unique $p_C(x) \in C$ tel que

\norm{x - p_C(x)} = d(x, C),

caractérisé par : $\operatorname{Re}\langle x - p_C(x),\ c - p_C(x)\rangle \leq 0$ pour tout $c \in C$ . L’application $p_C$ est $1$ -lipschitzienne.

Démonstration. Soit $d = d(x, C)$ et $(c_n) \subseteq C$ avec $\norm{x - c_n} \to d$ . Parallélogramme sur $x - c_n$ et $x - c_m$ :

\norm{c_n - c_m}^2 = 2\norm{x - c_n}^2 + 2\norm{x - c_m}^2 - 4\,\bigl\|x - \tfrac{c_n + c_m}2\bigr\|^2 \leq 2\norm{x{-}c_n}^2 + 2\norm{x{-}c_m}^2 - 4d^2

(la convexité place le milieu dans $C$ ) : le membre de droite tend vers $0$ , donc $(c_n)$ est de Cauchy, et sa limite $p \in C$ (fermé) réalise $d$ . Unicité : deux minimiseurs donnent, par la même identité, $\norm{p - p'}^2 \leq 2d^2 + 2d^2 - 4d^2 = 0$ .

Caractérisation : pour $c \in C$ , $t \in \intoc01$ , le vecteur $p + t(c - p) \in C$ , d’où

d^2 \leq \norm{x - p - t(c-p)}^2 = d^2 - 2t\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + t^2\norm{c-p}^2 ;

on divise par $t \to 0^+$ : $\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle \leq 0$ . Réciproquement cette inégalité donne $\norm{x - c}^2 = \norm{x - p}^2 - 2\operatorname{Re}\langle x - p, c - p\rangle + \norm{p - c}^2 \geq \norm{x-p}^2$ . Lipschitz : pour $x, y$ de projections $p, q$ , on additionne les deux inégalités variationnelles (avec $c = q$ , resp. $c = p$ ) : $\operatorname{Re}\langle x - y - (p - q), p - q\rangle \geq 0$ , d’où $\norm{p - q}^2 \leq \operatorname{Re}\langle x - y, p - q\rangle \leq \norm{x - y}\norm{p - q}$ . ∎

Théorème 13.3 (Décomposition orthogonale)

Soit $F$ un sous-espace fermé de $H$ . Alors $p_F$ est linéaire, $x - p_F(x) \perp F$ pour tout $x$ , et

H = F \oplus F^\perp, \qquad F^\perp = \{y : \langle y, f\rangle = 0\ \forall f\in F\}, \qquad (F^\perp)^\perp = F .

Pour un sous-espace quelconque, $(F^\perp)^\perp = \bar F$ ; en particulier $F$ est dense ssi $F^\perp = \{0\}$ .

Démonstration. Pour un sous-espace, la caractérisation variationnelle avec $c = p_F(x) \pm f$ ( $f \in F$ , les deux signes, et $\iu f$ dans le cas complexe) force $\langle x - p_F(x), f\rangle = 0$ : le résidu est orthogonal à $F$ . Décomposition $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ avec $F \cap F^\perp = \{0\}$ ( $\langle y, y \rangle = 0$ ) ; la linéarité de $p_F$ suit de l’unicité de telles décompositions (les deux côtés y sont linéaires). $(F^\perp)^\perp \supseteq F$ toujours ; réciproquement si $x \perp F^\perp$ , on écrit $x = f + g$ : $g = x - f \in F^\perp$ et $\langle g, g\rangle = \langle x, g\rangle - \langle f, g\rangle = 0$ : $x = f \in F$ . Pour un sous-espace général $F$ : $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ (continuité du produit scalaire), donc $(F^\perp)^\perp = \bar F$ par le cas fermé ; densité ssi $\bar F = H$ ssi $F^\perp = 0$ . ∎

Théorème 13.4 (Représentation de Riesz)

Pour toute forme linéaire continue $\varphi \in H'$ il existe un unique $a \in H$ tel que

\varphi(x) = \langle a, x\rangle \quad (x \in H), \qquad \norm\varphi_{H'} = \norm a .

Démonstration. Si $\varphi = 0$ : $a = 0$ . Sinon $F = \ker\varphi$ est un sous-espace fermé propre ; on prend $u \in F^\perp$ , $\norm u = 1$ (Théorème 13.3 : $F^\perp \neq 0$ puisque $F \neq H$ ). Pour tout $x$ , le vecteur $\varphi(x)u - \varphi(u)x \in \ker\varphi$ , donc $\perp u$ :

0 = \langle u, \varphi(x)u - \varphi(u)x\rangle = \varphi(x) - \varphi(u)\langle u, x\rangle : \qquad \varphi(x) = \langle \overline{\varphi(u)}\,u,\ x\rangle .

Donc $a = \overline{\varphi(u)}u$ convient. Unicité : $\langle a - a', x\rangle = 0$ pour tout $x$ , on teste $x = a - a'$ . Normes : $\abs{\varphi(x)} \leq \norm a\norm x$ (Cauchy–Schwarz) avec égalité en $x = a$ . ∎

Exemple 13.5 (Une projection, calculée jusqu’au bout)

Dans $H = L^2(\intcc01)$ , quelle est la meilleure approximation de $f(x) = x^2$ par une fonction affine ? Le sous-espace $F = \operatorname{Vect}(1, x)$ est fermé (dimension finie), et $p_F(f) = a + bx$ est caractérisé par l’orthogonalité du résidu à $1$ et à $x$ :

\int_0^1(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0, \qquad \int_0^1x\,(x^2 - a - bx)\,\dd x = 0,

c’est-à-dire $\frac13 = a + \frac b2$ et $\frac14 = \frac a2 + \frac b3$ : $a = -\frac16$ , $b = 1$ . Donc $p_F(x^2) = x - \frac16$ , et l’erreur vaut

d(f, F)^2 = \int_0^1\Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^2\dd x = \frac1{180}, \qquad d(f, F) = \frac1{6\sqrt5} .

Deux remarques à intérioriser. D’abord, le calcul n’est rien d’autre qu’un système linéaire $2\times2$ — les équations normales ; pour la base monomiale leur matrice $\bigl(\frac1{i+j+1}\bigr)$ est la tristement célèbre matrice de Hilbert, mal conditionnée, et orthonormaliser d’abord (polynômes de Legendre, Problème 13.1) est le remède. Ensuite, la meilleure approximation uniforme de $x^2$ par des affines est différente ( $x - \frac18$ , par équi-oscillation) : chaque norme a sa géométrie, et seule la géométrie hilbertienne répond par un système linéaire.

13.2 Bases orthonormées

Définition 13.6

Une famille $(e_i)_{i\in I}$ est orthonormée si $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$ , et une base hilbertienne (base orthonormée) si de plus ses combinaisons linéaires finies sont denses dans $H$ (la famille est totale). On traite le cas dénombrable $I = \N$ , qui par Gram–Schmidt couvre tout $H$ séparable (Proposition 13.8).

Théorème 13.7 (Bessel, Parseval)

Soit $(e_n)_{n\in\N}$ orthonormée dans $H$ , et $c_n(x) = \langle e_n, x\rangle$ .

(Bessel) $\sum_n\abs{c_n(x)}^2 \leq \norm x^2$ , et la série $\sum_nc_n(x)e_n$ converge dans $H$ , de somme $p_F(x)$ , $F = \overline{\operatorname{Vect}}(e_n)$ .
Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) $(e_n)$ est une base hilbertienne ; (ii) $x = \sum_nc_n(x)e_n$ pour tout $x$ ; (iii) Parseval : $\norm x^2 = \sum_n\abs{c_n(x)}^2$ pour tout $x$ ; (iv) le seul vecteur orthogonal à tous les $e_n$ est $0$ .
Si $(e_n)$ est une base hilbertienne, $x \mapsto (c_n(x))_n$ est un isomorphisme isométrique $H \to \ell^2$ (tout espace de Hilbert séparable de dimension infinie « est » $\ell^2$ ), et $\langle x, y\rangle = \sum_n\overline{c_n(x)}c_n(y)$ .

Démonstration. (1) Pour $N$ fini : $x - \sum_{n\leq N}c_ne_n \perp e_k$ ( $k \leq N$ ), donc Pythagore donne $\norm x^2 = \sum_{n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{x - \sum_{n\leq N}c_ne_n}^2$ : Bessel. Les sommes partielles $S_N = \sum_{n\leq N}c_ne_n$ sont de Cauchy : $\norm{S_N - S_M}^2 = \sum_{M<n\leq N}\abs{c_n}^2$ , queue d’une série convergente ; la limite est dans $F$ , et $x - \lim S_N \perp$ chaque $e_k$ (continuité), donc $\perp F$ : par unicité de la décomposition orthogonale, $\lim S_N = p_F(x)$ .

(2) (i) $\Rightarrow$ (ii) : $F = H$ , donc $p_F = \mathrm{id}$ . (ii) $\Rightarrow$ (iii) : Pythagore à la limite ( $\norm{S_N}^2 = \sum_{n \leq N}\abs{c_n}^2 \to \norm x^2$ ). (iii) $\Rightarrow$ (iv) : $x \perp$ tous les $e_n$ donne $\norm x^2 = 0$ . (iv) $\Rightarrow$ (i) : $F^\perp = \{0\}$ (l’orthogonalité à tous les $e_n$ est l’orthogonalité à $F$ ), donc $F$ est dense par le Théorème 13.3 ; mais $F$ , une fermeture, est déjà fermé : $F = H$ .

(3) L’application est linéaire, isométrique par (iii) (donc injective), et surjective : pour $(c_n) \in \ell^2$ , la série $\sum c_ne_n$ converge (Cauchy comme en (1)) vers un antécédent. La formule du produit scalaire est la polarisation de (iii), ou un calcul direct de limite. ∎

Proposition 13.8 (Gram–Schmidt)

Soit $(x_n)$ une suite linéairement indépendante. En posant inductivement $\tilde e_n = x_n - \sum_{k<n}\langle e_k, x_n\rangle e_k$ et $e_n = \tilde e_n/\norm{\tilde e_n}$ on produit une famille orthonormée $(e_n)$ de mêmes enveloppes finies : $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n) = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_n)$ . Par suite tout espace de Hilbert séparable (muni d’une partie dense dénombrable) possède une base hilbertienne.

Démonstration. Récurrence : $\tilde e_n \perp e_k$ ( $k < n$ ) par construction, et $\tilde e_n \neq 0$ par indépendance ; les enveloppes coïncident à chaque étape (changement de base triangulaire). Pour un $H$ séparable : d’une suite dense on extrait une sous-famille linéairement indépendante d’enveloppe dense (on jette chaque vecteur dans l’enveloppe de ses prédécesseurs — l’enveloppe ne change pas), on orthonormalise : le résultat est total. ∎

Théorème 13.9 (Le système trigonométrique ; Parseval enfin)

Dans $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ avec $\langle f, g\rangle = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bar fg$ , la famille $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ , $n \in \Z$ , est une base hilbertienne. Par suite, pour toute $f \in L^2$ — en particulier toute $f$ $2\pi$ -périodique continue par morceaux — avec $c_n(f) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\eu^{-\iu nt}\dd t$ :

f = \sum_{n\in\Z}c_n(f)\,\eu^{\iu nt} \ \ \text{dans } L^2, \qquad \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs f^2 = \sum_{n\in\Z}\abs{c_n(f)}^2 .

Ceci démontre, en toute généralité, l’identité de Parseval que la deuxième année admettait.

Démonstration. L’orthonormalité est un calcul direct (deuxième année). Totalité : soit $f \in L^2$ orthogonale à tous les $e_n$ , c’est-à-dire que tous les coefficients de Fourier s’annulent. Les fonctions continues $2\pi$ -périodiques sont denses dans $L^2(\intcc{-\pi}\pi)$ : en effet $\mathcal C_c(\intoo{-\pi}\pi)$ est dense (Théorème 12.6(2)) et de telles fonctions se prolongent périodiquement et continûment. Les polynômes trigonométriques sont $\norm\cdot_\infty$ -denses parmi les fonctions continues périodiques (Stone–Weierstrass, Corollaire 7.16(c)), et $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ : les polynômes trigonométriques sont denses dans $L^2$ . Or $f \perp$ tout polynôme trigonométrique, donc $f \perp$ un sous-espace dense : $f \in (\text{dense})^\perp = \{0\}$ (Théorème 13.3). Le critère (iv) du Théorème 13.7 conclut ; (ii) et (iii) déplient l’affichage (en réindexant le $\Z$ dénombrable ; la série bidirectionnelle converge inconditionnellement — les sommes partielles sur toute famille exhaustive convergent, par l’argument de queue $\ell^2$ ). ∎

Théorème 13.10 (Lax–Milgram)

Soit $H$ un espace de Hilbert réel et $a \colon H\times H \to \R$ bilinéaire, continue ( $\abs{a(u,v)} \leq M\norm u\norm v$ ) et coercive ( $a(u, u) \geq \alpha\norm u^2$ , $\alpha > 0$ ). Alors pour tout $\varphi \in H'$ il existe un unique $u \in H$ tel que

a(u, v) = \varphi(v) \qquad \text{pour tout } v \in H .

Démonstration. Pour $u$ fixé, $v \mapsto a(u, v)$ est linéaire continue : Riesz donne un unique $Au \in H$ avec $a(u,v) = \langle Au, v\rangle$ ; $A$ est linéaire avec $\norm{Au} \leq M\norm u$ (unicité des représentants, puis majoration). Coercivité : $\alpha\norm u^2 \leq a(u,u) = \langle Au, u\rangle \leq \norm{Au}\norm u$ , donc $\norm{Au} \geq \alpha\norm u$ : $A$ est injective à image fermée (une suite image de Cauchy $Au_n$ force $u_n$ de Cauchy). L’image est dense : $w \perp \operatorname{im}A$ donne $0 = \langle Aw, w\rangle \geq \alpha\norm w^2$ . Fermée et dense : $A$ est bijective. Pour $\varphi$ donné, soit $f$ son représentant (Riesz) et $u = A^{-1}f$ : $a(u, v) = \langle f, v\rangle = \varphi(v)$ , uniquement ( $a(u - u', \cdot) = 0$ et coercivité). ∎

Remarque 13.11

Lorsque $a$ est symétrique, la solution de Lax–Milgram est l’unique minimiseur de l’énergie $J(v) = \frac12a(v,v) - \varphi(v)$ (Exercice 13.9) : existence de solutions aux problèmes variationnels d’un seul coup. Appliqué à des espaces de fonctions adéquats (les espaces de Sobolev d’un cours ultérieur), ceci résout les problèmes aux limites pour les équations différentielles — la porte d’entrée moderne aux équations aux dérivées partielles.

13.3 Exercices

Exercice 13.1 ★

(a) Démontrer les identités de polarisation (réelle : $4\langle x, y\rangle = \norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2$ ; complexe : la version à quatre termes). (b) Montrer que $\norm\cdot_1$ sur $L^1(\intcc01)$ et $\norm\cdot_\infty$ sur $\mathcal C(\intcc01)$ violent l’identité du parallélogramme : ces normes ne proviennent d’aucun produit scalaire.

Solution

Solution de Exercice 13.1.

(a) Réel : développer $\norm{x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\langle x,y\rangle + \norm y^2$ et soustraire. Complexe (produit scalaire linéaire en le second argument) : en développant comme ci-dessus,

\langle x, y\rangle = \frac14\sum_{k=0}^{3} \iu^k\,\bigl\|\iu^kx + y\bigr\|^2,

chaque terme contribuant $\iu^k\cdot2\operatorname{Re}\bigl( (-\iu)^k\langle x,y\rangle\bigr)$ , dont la somme est $4\langle x,y\rangle$ (vérifier les quatre valeurs de $k$ ; le $\sum\iu^k (\norm x^2 + \norm y^2) = 0$ ).

(b) $L^1$ : $f = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , $g = \mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : $\norm{f\pm g}_1^2 = 1$ chacun, somme $2$ ; $2\norm f_1^2 + 2\norm g_1^2 = 1 \neq 2$ . Norme uniforme : $f = \mathbf 1$ , $g(t) = t$ sur $\intcc01$ : $\norm{f + g}_\infty^2 + \norm{f-g}_\infty^2 = 4 + 1 = 5 \neq 4 = 2 + 2$ . En échouant l’identité du parallélogramme, ces normes ne sont induites par aucun produit scalaire (qui la forcerait par développement direct).

Exercice 13.2 ★

Dans $H = L^2(\intcc01)$ (réel) : (a) calculer la projection de $f$ sur le sous-espace des fonctions constantes, et interpréter ; (b) calculer la projection sur $\{g : g = 0 \text{ p.p.\ sur } \intcc0{1/2}\}$ ; (c) calculer $d\bigl(x \mapsto x,\ \operatorname{Vect}(\mathbf 1)\bigr)$ .

Solution

Solution de Exercice 13.2.

(a) $p(f) = \bigl(\int_0^1f\bigr)\mathbf 1$ : en effet $f - \int f \perp$ les constantes ( $\int(f - \int f)c = 0$ ). La meilleure approximation constante de $f$ en moyenne quadratique est sa moyenne — la première instance d’espérance conditionnelle (Chapitre 22).

(b) $p(f) = f\,\mathbf 1_{\intcc{1/2}1}$ : la différence $f\mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ est orthogonale à tout $g$ s’annulant sur $\intcc0{1/2}$ .

Exercice 13.3 ★★

(a) Montrer que pour un sous-espace $F$ : $F$ dense $\iff$ $F^\perp = \{0\}$ , et donner un exemple dans $\ell^2$ d’un sous-espace dense propre (donc $F^\perp = 0$ sans $F = H$ : le théorème de décomposition exige vraiment que $F$ soit fermé). (b) Montrer que si $x_n \to x$ et $y_n \to y$ en norme, alors $\langle x_n, y_n\rangle \to \langle x, y\rangle$ , et repérer deux endroits du chapitre où cette continuité a été utilisée.

Solution

Solution de Exercice 13.3.

(a) L’équivalence est Théorème 13.3 ( $\bar F = (F^\perp)^\perp$ , et $\bar F = H \iff F^\perp = \{0\}$ ). Exemple : l’espace $F$ des suites finies est dense dans $\ell^2$ (troncature) et propre : $F^\perp = \{0\}$ pourtant $F \neq \ell^2$ — pour un sous-espace non fermé, $H = F \oplus F^\perp$ échoue ostensiblement ( $F \oplus \{0\} \neq H$ ).

(b) $\abs{\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle} \leq \abs{\langle x_n - x, y_n\rangle} + \abs{\langle x, y_n - y\rangle} \leq \norm{x_n - x}\sup_n\norm{y_n} + \norm x\,\norm{y_n - y} \to 0$ (les suites convergentes sont bornées). Utilisé : dans Théorème 13.7(1) pour voir $x - \lim S_N \perp e_k$ , et dans Théorème 13.3 pour voir $F^\perp = \bar F^{\,\perp}$ .

Exercice 13.4 ★★

Appliquer Gram–Schmidt à $1, x, x^2$ dans $L^2(\intcc{-1}1)$ (mesure de Lebesgue) : obtenir les trois premiers polynômes de Legendre normalisés, et vérifier qu’ils coïncident avec $\sqrt{n + \frac12}\,P_n$ pour les polynômes de Rodrigues $P_n$ du Problème 13.1.

Solution

Solution de Exercice 13.4.

$e_0 = \frac1{\sqrt2}$ . Ensuite, $x \perp \mathbf 1$ déjà ( $\int_{-1}^1x = 0$ ), et $\int_{-1}^1x^2 = \frac23$ : $e_1 = \sqrt{\tfrac32}\,x$ . Puis $x^2 - \langle e_0, x^2\rangle e_0 = x^2 - \frac13$ (et $\perp e_1$ par parité), avec

\int_{-1}^1\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr)^2\dd x = \frac25 - \frac49 + \frac29 = \frac{8}{45}: \qquad e_2 = \sqrt{\tfrac{45}8}\,\Bigl(x^2 - \frac13\Bigr).

Comparaison : $P_0 = 1$ , $P_1 = x$ , $P_2 = \frac{3x^2 - 1}2$ , et $\sqrt{n + \tfrac12}\,P_n$ donne $\frac1{\sqrt2}$ , $\sqrt{\frac32}x$ , $\sqrt{\frac52}\,\frac{3x^2-1}2 = \sqrt{\frac{45}8}\bigl(x^2 - \frac13\bigr)$ : exactement $e_0, e_1, e_2$ .

Exercice 13.5 ★★

Appliquer Parseval (Théorème 13.9) à $f(t) = t$ et $f(t) = t^2$ sur $\intcc{-\pi}\pi$ — désormais légitimement pour ces fonctions (continues, mais auparavant l’identité exigeait un soin $\mathcal C^1$ par morceaux au saut de recollement) : retrouver

\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6, \qquad \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90} .

Solution

Solution de Exercice 13.5.

Pour $f(t) = t$ : $c_0 = 0$ et, en intégrant par parties, $c_n = \frac{\iu(-1)^n}{n}$ pour $n \neq 0$ : $\abs{c_n}^2 = \frac1{n^2}$ . Parseval :

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}3 = \sum_{n\neq0}\frac1{n^2} = 2\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^2} = \frac{\pi^2}6 .

Pour $f(t) = t^2$ : $c_0 = \frac{\pi^2}3$ , $c_n = \frac{2(-1)^n}{n^2}$ ( $n \ne 0$ ). Parseval :

\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^4\dd t = \frac{\pi^4}5 = \frac{\pi^4}9 + \sum_{n\neq0}\frac4{n^4} \ \Longrightarrow\ \sum_{n\geq1}\frac1{n^4} = \frac18\Bigl(\frac{\pi^4}5 - \frac{\pi^4}9\Bigr) = \frac{\pi^4}{90} .

Aucune précaution $\mathcal C^1$ par morceaux n’est nécessaire : Théorème 13.9 couvre toute fonction $L^2$ .

Exercice 13.6 ★★

(a) Trouver $a \in L^2(\intcc01)$ tel que $\int_0^{1/2}f = \langle a, f\rangle$ pour tout $f$ ; calculer $\norm\varphi$ pour cette forme. (b) Montrer que l’évaluation $f \mapsto f(\frac12)$ , définie sur le sous-espace $\mathcal C(\intcc01) \subseteq L^2(\intcc01)$ , n’est pas continue pour $\norm\cdot_2$ : aucun représentant de Riesz n’existe (l’évaluation n’est pas une notion $L^2$ ).

Solution

Solution de Exercice 13.6.

(a) $\varphi(f) = \int_0^{1/2}f = \langle\mathbf 1_{\intcc0{1/2}},\ f\rangle$ : le représentant est $a = \mathbf 1_{\intcc0{1/2}}$ , et $\norm\varphi = \norm a_2 = \frac1{\sqrt2}$ (Théorème 13.4).

(b) Prendre les fonctions tente $f_n$ de pic $1$ en $\frac12$ et support de largeur $\frac2n$ : $f_n(\tfrac12) = 1$ tandis que $\norm{f_n}_2^2 \leq \frac2n \to 0$ : aucune constante $C$ ne peut donner $\abs{f(\frac12)} \leq C\norm f_2$ . L’évaluation ponctuelle est sans sens dans $L^2$ — les éléments sont des classes modulo les ensembles nuls — et ce calcul en est la raison quantitative.

Exercice 13.7 ★★★

Soit $H$ séparable de base hilbertienne $(e_n)$ , et $(x_k)$ une suite bornée. (a) Montrer qu’une sous-suite converge faiblement : il existe $x$ avec $\langle y, x_{k_j}\rangle \to \langle y, x\rangle$ pour tout $y \in H$ . (Extraction diagonale sur les coefficients $\langle e_n, x_k\rangle$ ; assembler $x$ via Bessel et la bornitude uniforme des normes.) (b) Montrer $e_n \rightharpoonup 0$ mais $\norm{e_n} = 1$ : les limites faibles peuvent perdre de la norme. Montrer $\norm x \leq \liminf\norm{x_{k_j}}$ en (a).

Solution

Solution de Exercice 13.7.

(a) Soit $M = \sup_k\norm{x_k}$ . Les suites scalaires $(\langle e_n, x_k\rangle)_k$ sont bornées par $M$ : une extraction diagonale produit $x_{k_j}$ avec $\langle e_n, x_{k_j}\rangle \to \gamma_n$ pour tout $n$ . Pour chaque $N$ : $\sum_{n\leq N}\abs{\gamma_n}^2 = \lim_j\sum_{n\leq N}\abs{\langle e_n, x_{k_j}\rangle}^2 \leq M^2$ (Bessel), donc $(\gamma_n) \in \ell^2$ et $x = \sum_n\gamma_ne_n \in H$ (Théorème 13.7(3)). Pour $y \in H$ :

\abs{\langle y, x_{k_j} - x\rangle} \leq \Bigl|\sum_{n\leq N}\overline{c_n(y)}\bigl(\langle e_n, x_{k_j}\rangle - \gamma_n\bigr)\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{c_n(y)}^2\Bigr)^{1/2},

en utilisant le développement $\langle y, z\rangle = \sum\overline{c_n(y)}c_n(z)$ et Cauchy–Schwarz sur la queue ; choisir $N$ puis $j$ : convergence faible vers $x$ .

(b) $\langle y, e_n\rangle = c_n(y) \to 0$ pour tout $y$ (queues $\ell^2$ ) : $e_n \rightharpoonup 0$ , pourtant $\norm{e_n} = 1$ : la norme n’est pas faiblement continue. En (a) : $\norm x^2 = \sum\abs{\gamma_n}^2 \leq \liminf_j\norm{x_{k_j}}^2$ (sections finies et Bessel encore) : les limites faibles ne peuvent que perdre de la norme.

Exercice 13.8 ★★

(Adjoints) Pour $T \in \mathcal L(H)$ , montrer qu’il existe un unique $T^* \in \mathcal L(H)$ avec $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ (Riesz), et $\vertiii{T^*} = \vertiii T$ . Calculer l’adjoint du décalage $S$ sur $\ell^2$ , et prouver $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ — en déduire $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Solution

Solution de Exercice 13.8.

Pour $y$ fixé, $x \mapsto \langle y, Tx\rangle$ est une forme linéaire continue ; Riesz donne un unique $T^*y$ avec $\langle y, Tx\rangle = \langle T^*y, x\rangle$ pour tout $x$ — en conjuguant, $\langle Tx, y\rangle = \langle x, T^*y\rangle$ . L’unicité rend $T^*$ linéaire ;

\norm{T^*y} = \sup_{\norm x = 1}\abs{\langle T^*y, x\rangle} = \sup_{\norm x=1}\abs{\langle y, Tx\rangle} \leq \vertiii T\,\norm y,

donc $\vertiii{T^*} \leq \vertiii T$ , et $T^{**} = T$ donne l’égalité. Décalage : $\langle Sx, y\rangle = \sum_{n\geq1} x_n\bar y_{n+1} = \langle x, S^*y\rangle$ avec $(S^*y)_n = y_{n+1}$ : le décalage rétrograde. Noyau–image : $T^*y = 0$ ssi $\langle x, T^*y\rangle = 0$ pour tout $x$ ssi $\langle Tx, y\rangle = 0$ pour tout $x$ ssi $y \perp \operatorname{im}T$ : $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ ; en prenant $\perp$ et en utilisant le Théorème 13.3, $\overline{\operatorname{im}T} = (\ker T^*)^\perp$ .

Exercice 13.9 ★★

Soit $a$ comme dans Lax–Milgram et de plus symétrique. Montrer que $u$ résout $a(u, \cdot) = \varphi$ ssi $u$ minimise $J(v) = \frac12a(v, v) - \varphi(v)$ , et que le minimum est atteint en exactement un point. (Compléter le carré : $J(u + w) - J(u) = \frac12a(w,w) \geq \frac\alpha2\norm w^2$ .) Application : redériver le théorème de projection pour les sous-espaces fermés à partir de Lax–Milgram.

Solution

Solution de Exercice 13.9.

Si $a(u, \cdot) = \varphi$ : pour tout $w$ ,

J(u + w) - J(u) = a(u, w) - \varphi(w) + \tfrac12a(w,w) = \tfrac12a(w,w) \geq \tfrac\alpha2\norm w^2,

strictement positif pour $w \neq 0$ : $u$ est l’unique minimiseur. Réciproquement, en un minimiseur la fonction $t \mapsto J(u + tw)$ (un polynôme quadratique en $t$ ) a une dérivée nulle en $0$ : $a(u, w) - \varphi(w) = 0$ pour tout $w$ . Projection redérivée : pour un sous-espace fermé $F$ , appliquer Lax–Milgram sur l’espace de Hilbert $F$ avec $a(u,v) = \langle u, v\rangle$ ( $M = \alpha = 1$ ) et $\varphi(v) = \langle x, v\rangle$ : un unique $p \in F$ avec $\langle p, v\rangle = \langle x, v\rangle$ pour tout $v \in F$ , i.e. $x - p \perp F$ — et par le cas symétrique, $p$ minimise $\frac12\norm v^2 - \langle x, v\rangle = \frac12\norm{v - x}^2 - \frac12\norm x^2$ sur $F$ : la projection.

Exercice 13.10 ★★★

(Le système de Haar) Sur $\intcc01$ , soit $h_{0} = \mathbf 1$ , et pour $n = 2^j + k$ ( $j \geq 0$ , $0 \leq k < 2^j$ ) :

h_n = 2^{j/2}\Bigl(\mathbf 1_{[k2^{-j},\,(k + \frac12)2^{-j})} - \mathbf 1_{[(k+\frac12)2^{-j},\,(k+1)2^{-j})} \Bigr).

Montrer que $(h_n)_{n\geq0}$ est orthonormée dans $L^2(\intcc01)$ , et totale. (Orthogonalité : supports disjoints ou emboîtés ; totalité : les enveloppes finies contiennent toutes les fonctions en escalier dyadiques, qui sont denses — via le Théorème 12.6(1) et l’approximation dyadique des intervalles.) Le système de Haar est l’ancêtre des ondelettes.

Solution

Solution de Exercice 13.10.

Normalisation : $\int h_n^2 = 2^j\cdot 2^{-j} = 1$ . Orthogonalité : deux fonctions de Haar distinctes ont soit des supports (intérieurs) disjoints (produit nul p.p.), soit le support de la plus fine contenu dans un demi-intervalle où la plus grossière est constante — alors l’intégrale du produit est cette constante fois $\int h_{\text{fine}} = 0$ ; contre $h_0 = \mathbf 1$ , encore $\int h_n = 0$ . Totalité : l’enveloppe de $\{h_0, \dots, h_{2^J-1}\}$ est constituée des fonctions en escalier sur la grille dyadique de pas $2^{-J}$ ; les deux espaces ont dimension $2^J$ et les fonctions de Haar sont indépendantes (orthonormées) : l’enveloppe est toutes ces fonctions en escalier. Les fonctions en escalier dyadiques sont denses dans $L^2(\intcc01)$ : les fonctions simples sont denses (Théorème 12.6(1)), les ensembles mesurables s’approchent par unions finies d’intervalles (Exercice 9.7), et les intervalles par des dyadiques (extrémités bougent de $\leq 2^{-J}$ ). Par le Théorème 13.7, le système de Haar est une base hilbertienne.

Exercice 13.11 ★★

(Projections orthogonales, caractérisées) Soit $H$ un espace de Hilbert et $P \in \mathcal L(H)$ avec $P^2 = P$ , $P \neq 0$ . Montrer l’équivalence de : (i) $P$ est la projection orthogonale sur $\operatorname{im}P$ ; (ii) $P = P^*$ (Exercice 13.8) ; (iii) $\vertiii P = 1$ . (Pour (iii) $\Rightarrow$ (i) : si un $x \in (\ker P)^\perp$ avait $Px \neq x$ , considérer $x + t(Px - x)$ — ou directement : pour $u \in \operatorname{im}P$ et $v \in \ker P$ , développer $\norm{P(u + tv)}^2 \leq \norm{u + tv}^2$ pour tout $t \in \R$ et conclure $\langle u, v\rangle = 0$ .) Exhiber une projection non orthogonale sur $\R^2$ et calculer sa norme.

Solution

Solution de Exercice 13.11.

(i) $\Rightarrow$ (ii) : pour la projection orthogonale, $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle = \langle x, Py\rangle$ (insérer les décompositions $x = Px + (x - Px)$ etc. et tuer les termes croisés). (ii) $\Rightarrow$ (iii) : $\norm{Px}^2 = \langle P^2x, x\rangle = \langle Px, x\rangle \leq \norm{Px}\norm x$ , donc $\vertiii P \leq 1$ , et $Pu = u$ sur l’image non nulle : $= 1$ . (iii) $\Rightarrow$ (i) : $H = \operatorname{im}P \oplus \ker P$ (algébriquement, de $P^2 = P$ ) ; prendre $u = Pu \in \operatorname{im}P$ , $v \in \ker P$ , $t \in \R$ : $\norm{P(u + tv)}^2 = \norm u^2$ doit être $\leq \norm{u + tv}^2 = \norm u^2 + 2t\operatorname{Re}\langle u, v\rangle + t^2\norm v^2$ pour tout $t$ , forçant $\operatorname{Re}\langle u, v\rangle = 0$ (comparer les termes linéaires quand $t \to 0^\pm$ ) ; remplacer $v$ par $\iu v$ tue aussi la partie imaginaire : $\operatorname{im}P \perp \ker P$ , ce qui est exactement l’orthogonalité de la projection. Exemple : $P(x, y) = (x + y, 0)$ sur $\R^2$ : $P^2 = P$ , image l’axe des $x$ , noyau la droite $y = -x$ , et $\vertiii P = \sup\frac{\abs{x+y}}{\norm{(x,y)}} = \sqrt2$ (atteint en $(1,1)/\sqrt2$ ) : une projection oblique a une norme $> 1$ . (Pour la chronique, (ii) donne aussi (i) directement : $\ker P = \ker P^* = (\operatorname{im}P)^\perp$ par l’ Exercice 13.8.)

Exercice 13.12 ★★★

(Théorème ergodique de von Neumann) Soit $U \in \mathcal L(H)$ unitaire ( $U^*U = UU^* = I$ ), $F = \ker(U - I)$ l’espace des points fixes, $P$ la projection orthogonale sur $F$ , et $A_n = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}U^k$ . (a) Montrer $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ (à partir de $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ et de l’unitarité), et en déduire $\overline{\operatorname{im}(U - I)} = F^\perp$ . (b) Montrer que $A_nx \to x$ pour $x \in F$ , et $A_nx \to 0$ pour $x \in \operatorname{im}(U - I)$ (télescopage), puis pour $x \in \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (borne uniforme $\vertiii{A_n} \leq 1$ ). (c) Conclure : $A_nx \to Px$ pour tout $x \in H$ — les moyennes temporelles convergent vers la projection sur les invariants. (d) Détailler pour $H = L^2(\R/\Z)$ et $Uf = f(\cdot + \alpha)$ avec $\alpha$ irrationnel : identifier $F$ (utiliser les séries de Fourier, Théorème 13.9) et en déduire que $\frac1n\sum_{k<n}f(x + k\alpha) \to \int_0^1f$ dans $L^2$ : l’équidistribution $L^2$ des rotations irrationnelles.

Solution

Solution de Exercice 13.12.

(a) Pour $U$ unitaire : $\norm{Ux - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle Ux, x\rangle$ et $\norm{U^*x - x}^2 = 2\norm x^2 - 2\operatorname{Re}\langle x, Ux\rangle$ : les deux s’annulent ensemble, donc $\ker(U - I) = \ker(U^* - I)$ . Puis, en utilisant $\ker T^* = (\operatorname{im}T)^\perp$ (Exercice 13.8) avec $T = U - I$ et $T^* = U^* - I$ :

\overline{\operatorname{im}(U - I)} = \bigl(\ker(U^* - I)\bigr)^\perp = F^\perp .

(b) Sur $F$ : $U^kx = x$ , donc $A_nx = x$ . Pour $x = (U - I)y$ : $A_nx = \frac1n(U^ny - y)$ , de norme $\leq \frac2n\norm y \to 0$ . Pour $x$ dans la fermeture : pour $\varepsilon$ donné, prendre $x' = (U - I)y$ avec $\norm{x - x'} < \varepsilon$ ; comme $\vertiii{A_n} \leq \frac1n\sum\vertiii{U^k} = 1$ , $\norm{A_nx} \leq \norm{A_n(x - x')} + \norm{A_nx'} \leq \varepsilon + o(1)$ .

(c) Décomposer $x = Px + (x - Px)$ avec $Px \in F$ et $x - Px \in F^\perp = \overline{\operatorname{im}(U - I)}$ (partie (a)) : $A_nx = Px + A_n(x - Px) \to Px + 0$ .

(d) Dans la base de Fourier $e_m(x) = \eu^{2\iu\pi mx}$ : $Ue_m = \eu^{2\iu\pi m\alpha}e_m$ , donc $Ue_m = e_m$ ssi $m\alpha \in \Z$ ssi $m = 0$ ( $\alpha$ irrationnel) : $F = \C\mathbf 1$ et $Pf = \langle\mathbf 1, f\rangle\mathbf 1 = \int_0^1f$ . Le théorème se lit $\frac1n\sum_{k<n}f(\cdot + k\alpha) \to \int_0^1f$ dans $L^2(\R/\Z)$ : les moyennes d’orbite d’une rotation irrationnelle s’équidistribuent — l’ombre $L^2$ du théorème d’équidistribution de Weyl, obtenue par pure géométrie hilbertienne.

13.4 Problème : polynômes orthogonaux

Problème 13.1

Problème du week-end — Legendre, Hermite, et quadrature de Gauss

Soit $I \subseteq \R$ un intervalle et $w > 0$ un poids continu sur l’intérieur de $I$ tel que $\int_I \abs t^nw(t)\dd t < \infty$ pour tout $n$ ; on travaille dans $H = L^2(I, w\,\dd\lambda)$ avec $\langle f, g\rangle = \int_I \bar fg\,w$ . Gram–Schmidt appliqué à $1, t, t^2, \dots$ produit les polynômes orthogonaux $(p_n)$ pour $w$ (normalisation monique : $p_n = t^n + \cdots$ ).

Partie I — Théorie générale.

Montrer que $p_n$ est orthogonal à tout polynôme de degré $< n$ , et que $(p_0, \dots, p_n)$ est une base de $\R_n[t]$ .
(Récurrence à trois termes) Montrer qu’il existe des réels $a_n, b_n$ avec

$p_{n+1}(t) = (t - a_n)\,p_n(t) - b_n\,p_{n-1}(t), \qquad b_n = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .$

(Développer $t\,p_n$ dans la base $(p_k)_{k \leq n+1}$ et tuer les coefficients par orthogonalité, en utilisant $\langle tp_n, p_k\rangle = \langle p_n, tp_k\rangle$ .)
(Racines) Montrer que $p_n$ a $n$ racines distinctes, toutes intérieures à $I$ . (Soit $t_1 < \dots < t_m$ les changements de signe intérieurs de $p_n$ ; si $m < n$ , tester $p_n$ contre $\prod_{i\leq m}(t - t_i)$ et contredire l’orthogonalité.)

Partie II — Legendre ( $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ ). On pose $P_n(t) = \frac{1}{2^nn!}\,\frac{\dd^n}{\dd t^n}\bigl[(t^2 - 1)^n\bigr]$ (Rodrigues).

Montrer $\deg P_n = n$ avec coefficient dominant $\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ , et, en intégrant par parties $n$ fois, que $\langle P_n, Q\rangle = 0$ pour tout polynôme $Q$ de degré $< n$ : les $P_n$ sont (à normalisation près) les polynômes orthogonaux pour $w = 1$ .
Calculer $\norm{P_n}_2^2 = \frac{2}{2n+1}$ (intégrer par parties $n$ fois contre soi-même et se ramener à une intégrale Bêta/Wallis, Exercice 11.8).
Montrer que les polynômes de Legendre normalisés forment une base hilbertienne de $L^2(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, Corollaire 7.16, plus densité de $\mathcal C$ dans $L^2$ ), et développer $f(t) = \abs t$ jusqu’au degré $2$ : calculer la meilleure approximation quadratique $L^2$ de $\abs t$ .

Partie III — Hermite ( $I = \R$ , $w(t) = \eu^{-t^2}$ ). On pose $H_n(t) = (-1)^n\eu^{t^2}\frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$ .

Montrer que $H_n$ est un polynôme de degré $n$ de coefficient dominant $2^n$ , que $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ , et que $\langle H_m, H_n\rangle_w = \delta_{mn}\,2^nn!\sqrt\pi$ (parties encore).
Montrer que la famille d’Hermite est totale dans $L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ , en admettant un résultat du Chapitre 14 : si $g \in L^1(\R)$ a $\int g(t)\eu^{-\iu\xi t}\dd t = 0$ pour tout $\xi$ , alors $g = 0$ p.p. (Pour $f \perp$ tous les $H_n$ , i.e. $\perp$ tous les polynômes : montrer que $z \mapsto \int f(t)\eu^{-t^2}\eu^{-\iu zt}\dd t$ est bien définie, développer l’exponentielle en série, justifier l’interversion par domination, et conclure que la transformée de Fourier de $f\eu^{-t^2}$ s’annule.)

Partie IV — Quadrature de Gauss. On fixe $n$ , on note $t_1 < \dots < t_n$ les racines de $p_n$ (Partie I), et on définit les poids $w_i = \int_I \ell_i(t)\,w(t)\dd t$ où les $\ell_i$ sont les polynômes de base de l’interpolation de Lagrange aux $t_i$ .

Montrer que la règle de quadrature $Q(f) = \sum_iw_if(t_i)$ est exacte sur tous les polynômes de degré $\leq n - 1$ (interpolation), et en fait — le miracle — sur tous les polynômes de degré $\leq 2n - 1$ : écrire $P = qp_n + r$ et utiliser l’orthogonalité sur le quotient $q$ .
Montrer que les poids sont positifs (appliquer la règle à $\ell_i^2$ , de degré $2n - 2$ ), et en déduire du théorème de Polya (Exercice 8.9) que la quadrature de Gauss converge : $Q_n(f) \to \int_I fw$ pour toute $f$ continue sur un $I$ compact.
Pour $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ : calculer les nœuds $\pm\frac1{\sqrt3}$ et les poids $1, 1$ , et vérifier l’exactitude sur $1, t, t^2, t^3$ à la main. Comparer avec la règle des trapèzes sur les mêmes deux points d’évaluation.

Partie V — Chebyshev : les polynômes qui oscillent le mieux. Maintenant $I = \intcc{-1}1$ et $w(t) = \frac1{\sqrt{1 - t^2}}$ .

Montrer que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ définit un polynôme $T_n$ de degré $n$ (établir $T_{n+1} = 2t\,T_n - T_{n-1}$ à partir d’une identité trigonométrique), de coefficient dominant $2^{n-1}$ pour $n \geq 1$ ; et que la substitution $t = \cos\theta$ donne

$\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\,\cos n\theta\,\dd\theta = 0 \ (m \neq n), \qquad \norm{T_0}_w^2 = \pi,\ \ \norm{T_n}_w^2 = \frac\pi2 :$

les $T_n$ sont les polynômes orthogonaux pour ce poids, et les développements de Chebyshev sont des séries de Fourier en cosinus déguisées.
Localiser explicitement les $n$ racines $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ et les $n + 1$ extrema $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ de $T_n$ sur $\intcc{-1}1$ , où $T_n(s_j) = (-1)^j$ : le graphe équi-oscille entre $\pm1$ .
(Minimax) Montrer que parmi tous les polynômes moniques de degré $n$ , le polynôme $2^{1-n}T_n$ a la plus petite norme uniforme sur $\intcc{-1}1$ , à savoir $2^{1-n}$ — et qu’il est l’unique minimiseur. (Si un monique $P$ avait $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , la différence $2^{1-n}T_n - P$ , de degré $\leq n-1$ , alternerait en signe aux $n+1$ points d’équi-oscillation.)
Application à l’interpolation : pour des nœuds $t_1 < \dots < t_n$ dans $\intcc{-1}1$ , l’erreur de l’interpolation de Lagrange d’une fonction $\mathcal C^n$ met en jeu $\omega(t) = \prod_i(t - t_i)$ . Montrer que le choix des racines de Chebyshev comme nœuds minimise $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega$ , et donner la borne résultante $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}\,n!}$ — comparer avec des nœuds équidistants (énoncer le phénomène de Runge comme histoire d’avertissement).
Vérifier $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ (dériver $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ et prendre les limites $\theta \to 0, \pi$ ) : des polynômes bornés par $1$ sur $\intcc{-1}1$ peuvent avoir une dérivée aussi grande que $n^2$ au bord (l’inégalité de Markov dit pas plus — énoncé seulement). Où dans l’intervalle la borne de dérivée n’est-elle que $O(n)$ ?
(Quadrature de Chebyshev–Gauss) Montrer que la règle de Gauss pour le poids $w$ aux $n$ racines de Chebyshev a des poids égaux $w_i = \frac\pi n$ (exactitude sur $T_0, \dots, T_{n-1}$ plus les sommes trigonométriques $\sum_{k=1}^n\cos\bigl(j\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}\bigr) = 0$ pour $1 \leq j \leq n - 1$ ) : la plus uniforme de toutes les quadratures. L’écrire pour $n = 3$ .

Partie VI — Christoffel–Darboux, entrelacement, et matrice de Jacobi. Retour à un poids général ; $h_k = \norm{p_k}^2$ ( $p_k$ monique), $b_k = h_k/h_{k-1}$ .

(Norme minimale) Montrer que parmi tous les polynômes moniques de degré $n$ , l’orthogonal $p_n$ est l’unique de norme $L^2(w)$ minimale — identifier la minimisation comme une projection orthogonale sur $\R_{n-1}[t]$ (Théorème 13.2 ou la projection de dimension finie de deuxième année). La propriété minimax de la question 14 est le même énoncé avec $L^\infty$ à la place de $L^2$ : même héros, deux normes.
(Christoffel–Darboux) Prouver, par récurrence sur $n$ via la récurrence à trois termes, l’identité

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)\,p_k(y)}{h_k} = \frac{p_{n+1}(x)\,p_n(y) - p_n(x)\,p_{n+1}(y)}{h_n\,(x - y)} \qquad (x \neq y),$

et sa forme confluente ( $y \to x$ ) : $\sum_{k\leq n}\frac{p_k(x)^2}{h_k} = \frac{p_{n+1}'(x)p_n(x) - p_n'(x)p_{n+1}(x)}{h_n}$ .
En déduire que $p_n$ et $p_{n+1}$ n’ont aucune racine commune, et qu’en toute racine $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_n(x_0)\,p_{n+1}'(x_0) > 0$ . Conclure l’entrelacement des racines : entre deux racines consécutives de $p_{n+1}$ se trouve exactement une racine de $p_n$ .
(Matrice de Jacobi) Soit $J_n$ la matrice tridiagonale symétrique $n\times n$ de diagonale $a_0, \dots, a_{n-1}$ et d’entrées hors diagonale $\sqrt{b_1}, \dots, \sqrt{b_{n-1}}$ . Montrer par récurrence que $\det(tI_n - J_n) = p_n(t)$ , donc les racines de $p_n$ sont les valeurs propres d’une matrice symétrique réelle — redémontrant en une ligne qu’elles sont réelles, et (avec l’entrelacement ci-dessus) liant les polynômes orthogonaux au monde spectral du Chapitre 15.
(Synthèse) Assembler le dictionnaire pour les trois familles classiques (Legendre, Hermite, Chebyshev) : intervalle, poids, formule définissante, récurrence à trois termes, norme, et l’habitat naturel de chacune (quadrature et approximation sur les compacts ; analyse gaussienne ; minimax et méthodes de Fourier en cosinus). Une phrase sur ce que la théorie générale (Parties I, VI) a donné qu’aucun calcul individuel ne pouvait.

Partie VII — Le terme d’erreur, et le noyau derrière les poids. Ici $I$ est compact et $f \in \mathcal C^{2n}(I)$ .

(Formule d’erreur de Gauss) Soit $Hf$ l’interpolant d’Hermite de degré $\leq 2n - 1$ coïncidant avec $f$ et $f'$ aux nœuds $t_1, \dots, t_n$ (prouver son existence et l’erreur ponctuelle

$f(t) - Hf(t) = \frac{f^{(2n)}(\xi_t)}{(2n)!}\;p_n(t)^2$

par l’argument usuel de fonction auxiliaire). En déduire, en intégrant cette identité contre $w$ et en serrant entre les extrema de $f^{(2n)}$ , que

$\int_I f\,w - Q_n(f) = \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!}\,h_n \qquad\text{pour un certain } \xi \in I,$

avec $h_n = \norm{p_n}^2$ comme en Partie VI : la quadrature de Gauss erre d’une $2n$ -ième dérivée, pondérée par la norme au carré du polynôme orthogonal monique.
(Les poids sont des valeurs de Christoffel) En utilisant le noyau reproduisant $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ de $\R_{n-1}[t]$ et l’exactitude de $Q_n$ jusqu’au degré $2n - 2$ , prouver

$w_i \;=\; \Bigl(\,\sum_{k=0}^{n-1} \frac{p_k(t_i)^2}{h_k}\Bigr)^{\!-1} :$

chaque poids est la valeur en son nœud de la fonction de Christoffel — positivité des poids (question 10) encore, maintenant avec une formule exacte. Vérifier qu’elle retrouve $w_1 = w_2 = 1$ pour $n = 2$ , $I = \intcc{-1}1$ , $w = 1$ .
(Tout se vérifie sur une intégrale) Pour le poids de Chebyshev et $n = 3$ nœuds, calculer les deux côtés de

$\int_{-1}^{1}\frac{t^6}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t = \frac{5\pi}{16}, \qquad Q_3(t^6) = \frac{9\pi}{32},$

donc l’erreur de quadrature est exactement $\frac{\pi}{32}$ ; puis vérifier que la formule d’erreur de la question 23 prédit précisément cette valeur (ici $f^{(6)} = 6!$ est constante, et $h_3 = \norm{2^{-2}T_3}_w^2 = \frac\pi{32}$ ) : théorie et calcul s’accordent jusqu’au dernier chiffre.

Solution

Solution de Problème 13.1.

1. Gram–Schmidt garantit $\operatorname{Vect}(p_0, \dots, p_n) = \operatorname{Vect}(1, \dots, t^n) = \R_n[t]$ et $p_n \perp p_k$ ( $k < n$ ), d’où $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Les $p_k$ , de degrés strictement croissants, sont indépendants : une base.

2. $t\,p_n$ est monique de degré $n + 1$ : développer $t\,p_n = p_{n+1} + \sum_{k\leq n}c_kp_k$ avec $c_k = \langle p_k, tp_n\rangle/\norm{p_k}^2$ . Pour $k \leq n - 2$ : $\langle p_k, tp_n\rangle = \langle tp_k, p_n\rangle = 0$ (degré $k + 1 < n$ ). Donc $tp_n = p_{n+1} + a_np_n + b_np_{n-1}$ , la récurrence annoncée, avec

b_n = \frac{\langle p_{n-1}, tp_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle tp_{n-1}, p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\langle p_n + (\text{inférieurs}),\ p_n\rangle}{\norm{p_{n-1}}^2} = \frac{\norm{p_n}^2}{\norm{p_{n-1}}^2} > 0 .

3. Soit $t_1 < \dots < t_m$ les points intérieurs à $I$ où $p_n$ change de signe, et $q = \prod_{i\leq m}(t - t_i)$ (avec $q = 1$ si $m = 0$ ). Alors $p_nq$ a un signe constant sur $I$ et n’est pas p.p. nul : $\int_Ip_nq\,w \neq 0$ . Si $m < n$ , ceci contredit $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ . Donc $m = n$ : $p_n$ a $n$ racines intérieures distinctes (il en a au plus $n$ en tout).

4. $(t^2 - 1)^n$ a degré $2n$ ; $n$ dérivées laissent degré $n$ , avec coefficient dominant $\frac{(2n)(2n-1)\cdots(n+1)}{2^nn!} = \frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}$ . Pour $\deg Q < n$ , intégrer par parties $n$ fois : tous les termes de bord contiennent une dérivée d’ordre $< n$ de $(t^2-1)^n$ , qui s’annule en $\pm1$ (racine d’ordre $n$ ) ; après $n$ étapes l’intégrande porte $Q^{(n)} = 0$ .

5. Avec $u = (t^2 - 1)^n$ :

(2^nn!)^2\norm{P_n}^2 = \int_{-1}^1(u^{(n)})^2 = (-1)^n\int_{-1}^1 u\,u^{(2n)} = (2n)!\int_{-1}^1(1 - t^2)^n\dd t ,

( $u^{(2n)} = (2n)!$ ; termes de bord nuls comme en question 4). Et $\int_{-1}^1(1-t^2)^n\dd t = B(\tfrac12, n+1) = \frac{\Gamma(\frac12)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n + \frac32)} = \frac{2\cdot4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$ (Exercice 11.8). En combinant : $\norm{P_n}^2 = \frac{2}{2n + 1}$ .

6. Les polynômes sont $\norm\cdot_\infty$ -denses dans $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ (Weierstrass, Corollaire 7.16), les fonctions continues sont $L^2$ -denses (Théorème 12.6), et $\norm\cdot_2 \leq \sqrt2\norm\cdot_\infty$ : les enveloppes polynomiales sont totales, donc les $P_n$ normalisés forment une base hilbertienne. Développement de $\abs t$ : le coefficient contre $P_0$ est $\frac{\langle P_0, \abs t\rangle}{\norm{P_0}^2} = \frac12$ ; contre $P_1$ : $0$ (parité) ; contre $P_2$ : $\frac{\int_{-1}^1\abs t\,\frac{3t^2-1}2\dd t}{2/5} = \frac{1/4}{2/5} = \frac58$ . Meilleure approximation quadratique :

\abs t \approx \frac12 + \frac58\,P_2(t) = \frac{3}{16} + \frac{15}{16}\,t^2 .

7. De $\frac{\dd^{n+1}}{\dd t^{n+1}}\eu^{-t^2} = \frac{\dd^n}{\dd t^n}(-2t\,\eu^{-t^2})$ et Leibniz, $H_{n+1} = 2tH_n - H_n'$ ; la récurrence donne degré $n$ et coefficient dominant $2^n$ . Pour $m < n$ , intégrer par parties $n$ fois dans $\int H_m H_n\eu^{-t^2} = (-1)^n\int H_m\,\bigl(\eu^{-t^2}\bigr)^{(n)}$ : les termes de bord (polynôme $\times$ $\eu^{-t^2}$ ) s’annulent en $\pm\infty$ , laissant $\int H_m^{(n)}\,\eu^{-t^2} = 0$ . Pour $m = n$ : $H_n^{(n)} = 2^nn!$ , donc $\norm{H_n}_w^2 = 2^nn!\int\eu^{-t^2} = 2^nn!\sqrt\pi$ .

8. Soit $f \in L^2(\R, \eu^{-t^2}\dd t)$ orthogonal à tout polynôme, et $g = f\eu^{-t^2}$ . Alors $g \in L^1$ : $\int\abs f\eu^{-t^2} \leq \bigl(\int\abs f^2\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}\bigl(\int\eu^{-t^2}\bigr)^{1/2}$ (Cauchy–Schwarz). Pour $\xi \in \R$ , développer $\eu^{-\iu\xi t}$ : les sommes partielles sont dominées car

\sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\int\abs f\,\abs t^k\eu^{-t^2}\dd t \leq \Bigl(\int \abs f^2\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} \sum_k\frac{\abs\xi^k}{k!}\Bigl(\int t^{2k}\eu^{-t^2}\Bigr)^{1/2} < \infty

(la dernière série converge : $\int t^{2k}\eu^{-t^2} = \Gamma(k+\frac12) \leq k!\,\sqrt\pi$ , donc les termes sont $O(\abs\xi^k/\sqrt{k!})$ ). L’intégration terme à terme (Corollaire 10.7 appliqué à la série absolue, puis Fubini pour les séries) donne

\int_\R g(t)\,\eu^{-\iu\xi t}\dd t = \sum_k\frac{(-\iu\xi)^k}{k!}\int f(t)\,t^k\,\eu^{-t^2}\dd t = 0 ,

chaque intégrale étant de type $\langle t^k, f\rangle_w = 0$ . Par l’injectivité admise de la transformée de Fourier (Chapitre 14), $g = 0$ p.p., donc $f = 0$ p.p. : la famille d’Hermite (dont les enveloppes sont les polynômes) est totale.

9. Exactitude jusqu’au degré $n - 1$ : pour un tel $P$ , $P = \sum_iP(t_i)\ell_i$ exactement, donc $\int Pw = \sum_iP(t_i)\int \ell_iw = Q(P)$ . Degré $\leq 2n - 1$ : diviser $P = qp_n + r$ , $\deg q \leq n - 1$ , $\deg r \leq n-1$ ; alors $\int Pw = \int qp_nw + \int rw = 0 + Q(r)$ ( $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ ), tandis que $Q(P) = \sum_iw_i\bigl(q(t_i)\,p_n(t_i) + r(t_i)\bigr) = Q(r)$ puisque les nœuds sont les racines de $p_n$ . Égal.

10. $\ell_i^2$ a degré $2n - 2 \leq 2n - 1$ et $\ell_i^2(t_j) = \delta_{ij}$ : $0 < \int\ell_i^2w = Q(\ell_i^2) = w_i$ . Polya (Exercice 8.9, transporté à $I$ avec poids) : la condition (i) tient — chaque polynôme est intégré exactement une fois $2n - 1 \geq$ son degré ; condition (ii) : $\sum_i\abs{w_{i}} = \sum_iw_i = Q(\mathbf 1) = \int_Iw$ , bornée : $Q_n(f) \to \int fw$ pour toute $f \in \mathcal C(I)$ , $I$ compact.

11. Monique $p_2 = t^2 - \frac13$ (de l’ Exercice 13.4) : nœuds $\pm\frac1{\sqrt3}$ . Poids : $\ell_1(t) = \frac{t - \frac1{\sqrt3}}{-\frac2{\sqrt3}}$ , et $w_1 = \int_{-1}^1\ell_1 = 1$ ; par symétrie $w_2 = 1$ . Exactitude : $\int 1 = 2 = 1 + 1$ ; $\int t = 0 = -\frac1{\sqrt3} + \frac1{\sqrt3}$ ; $\int t^2 = \frac23 = \frac13 + \frac13$ ; $\int t^3 = 0$ . La règle des trapèzes à deux points (nœuds $\pm1$ , poids $1, 1$ ) n’est exacte que jusqu’au degré $1$ : sur $t^2$ elle renvoie $2$ au lieu de $\frac23$ . Même coût, deux degrés d’exactitude en plus : le dividende des nœuds orthogonaux.

12. De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ avec $T_0 = 1$ , $T_1 = t$ ; la récurrence donne des polynômes de degré $n$ de coefficient dominant $2^{n-1}$ ( $n \geq 1$ ). En substituant $t = \cos\theta$ ( $w(t)\dd t \mapsto \dd\theta$ ) : $\langle T_m, T_n\rangle_w = \int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,\dd\theta = 0$ pour $m \neq n$ , $= \pi$ pour $m = n = 0$ , $= \frac\pi2$ sinon (produit-en-somme). Degrés et orthogonalité deux à deux identifient les $T_n$ avec la sortie de Gram–Schmidt à scalaires près ; un développement de Chebyshev de $f$ est exactement la série de Fourier en cosinus de $\theta \mapsto f(\cos\theta)$ .

13. $T_n(t) = 0$ ssi $\cos n\theta = 0$ ssi $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : les $n$ racines distinctes $t_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n} \in \intoo{-1}1$ . Extrema : $\abs{T_n} \leq 1$ sur $\intcc{-1}1$ , avec $T_n(s_j) = (-1)^j$ aux $n + 1$ points $s_j = \cos\frac{j\pi}n$ : équi-oscillation parfaite.

14. $2^{1-n}T_n$ est monique de norme uniforme $2^{1-n}$ . Si un monique $P$ de degré $n$ avait $\sup\abs P < 2^{1-n}$ , la différence $D = 2^{1-n}T_n - P$ aurait degré $\leq n - 1$ (termes dominants s’annulent) pourtant alternerait en signe en $s_0 > \dots > s_n$ (là $2^{1-n}T_n = \pm2^{1-n}$ domine $P$ ) : au moins $n$ zéros — $D \equiv 0$ , contradiction. Pour l’unicité à l’égalité, le même $D$ satisfait $(-1)^jD(s_j) \geq 0$ ; un polynôme non nul de degré $\leq n-1$ ne peut avoir $n$ contraintes extrémales faiblement alternées sans $n$ racines comptées correctement (si $D(s_j) = 0$ pour un $s_j$ intérieur, ce zéro est double dans le comptage car $D$ garde un signe localement) : encore $D \equiv 0$ .

15. La formule d’erreur de Lagrange (Rolle, deuxième année) donne $f - L_nf = \frac{f^{(n)}(\xi_t)}{n!}\,\omega(t)$ , donc l’erreur uniforme est au plus $\frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{n!}\,\sup\abs\omega$ , et $\omega$ est monique de degré $n$ : par la question 14, $\sup_{\intcc{-1}1}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ avec égalité ssi les nœuds sont les racines de Chebyshev. D’où la borne optimale $\norm{f - L_nf}_\infty \leq \frac{\norm{f^{(n)}}_\infty}{2^{n-1}n!}$ . Avec des nœuds équidistants, $\sup\abs\omega$ est exponentiellement plus grand près des extrémités, et interpoler même $\frac1{1 + 25t^2}$ y diverge quand $n \to \infty$ (phénomène de Runge) ; les nœuds de Chebyshev sont le remède.

16. En dérivant $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ : $T_n'(\cos\theta) = \frac{n\sin n\theta}{\sin\theta}$ , qui tend vers $n^2$ quand $\theta \to 0$ et vers $(-1)^{n+1}n^2$ quand $\theta \to \pi$ : $\abs{T_n'(\pm1)} = n^2$ . Aux points intérieurs, $\abs{T_n'(t)} \leq \frac{n}{\sqrt{1 - t^2}} = O(n)$ : le souffle quadratique ne vit qu’aux bords (borne intérieure de Bernstein versus borne globale de Markov).

17. Soit $\theta_k = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ et $S_j = \sum_{k=1}^n\cos(j\theta_k)$ pour $1 \leq j \leq n-1$ . Alors

S_j = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n} \sum_{k=0}^{n-1}\eu^{\iu jk\pi/n}\Bigr] = \operatorname{Re}\Bigl[\eu^{\iu j\pi/2n}\, \frac{\eu^{\iu j\pi} - 1}{\eu^{\iu j\pi/n} - 1}\Bigr] .

Pour $j$ pair le numérateur s’annule : $S_j = 0$ . Pour $j$ impair le numérateur est $-2$ , et $\eu^{\iu j\pi/n} - 1 = \eu^{\iu j\pi/2n}\cdot2\iu\sin\frac{j\pi}{2n}$ , donc l’expression entière est $\frac{-2}{2\iu\sin(j\pi/2n)} = \frac{\iu}{\sin(j\pi/2n)}$ : purement imaginaire, $S_j = 0$ encore. D’où la règle à poids égaux $\frac\pi n\sum_kf(t_k)$ intègre $T_0$ ( $\sum w_i = \pi = \int w$ ) et tue $T_1, \dots, T_{n-1}$ exactement comme $\int T_jw = 0$ : elle est exacte jusqu’au degré $n - 1$ . Les poids exacts jusqu’au degré $n-1$ en des nœuds donnés sont uniques (base de Lagrange) : les poids de Gauss sont tous $\frac\pi n$ . Pour $n = 3$ : nœuds $\pm\frac{\sqrt3}2, 0$ et

\int_{-1}^1\frac{f(t)}{\sqrt{1 - t^2}}\,\dd t \approx \frac\pi3\Bigl[f\Bigl(\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) + f(0) + f\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)\Bigr],

exacte jusqu’au degré $5$ .

18. Pour un monique $P$ de degré $n$ : $P = p_n + r$ avec $r \in \R_{n-1}[t]$ , et $p_n \perp \R_{n-1}[t]$ (question 1), donc $\norm P^2 = \norm{p_n}^2 + \norm r^2 \geq \norm{p_n}^2$ , avec égalité ssi $r = 0$ : $p_n$ est le résidu de projection orthogonale de $t^n$ sur $\R_{n-1}[t]^\perp$ , i.e. le polynôme monique le plus proche du sous-espace qu’il doit éviter. Le $2^{1-n}T_n$ de Chebyshev répond à la même question pour la norme uniforme : moindre déviation de zéro, une fois en $L^2(w)$ , une fois en $L^\infty$ .

19. Écrire $K_n(x, y) = \sum_{k=0}^n\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}$ . Base $n = 0$ : $(x - y)\frac1{h_0} = \frac{p_1(x)\cdot1 - 1\cdot p_1(y)}{h_0}$ puisque $p_1 = t - a_0$ . Étape : en supposant l’identité pour $n - 1$ ,

(x - y)\,K_n(x,y) = \frac{p_n(x)p_{n-1}(y) - p_{n-1}(x)p_n(y)}{h_{n-1}} + \frac{(x - y)\,p_n(x)p_n(y)}{h_n} ;

substituer $x\,p_n(x) = p_{n+1}(x) + a_np_n(x) + b_np_{n-1}(x)$ et $y\,p_n(y) = p_{n+1}(y) + a_np_n(y) + b_np_{n-1}(y)$ dans le second terme : les contributions $a_n$ s’annulent, et les contributions $b_n = \frac{h_n}{h_{n-1}}$ annulent le terme d’induction ; ce qui survit est $\frac{p_{n+1}(x)p_n(y) - p_n(x)p_{n+1}(y)}{h_n}$ . La forme confluente suit en faisant $y \to x$ (les deux côtés sont polynomiaux en $y$ ).

20. La forme confluente donne $p_{n+1}'p_n - p_n'p_{n+1} = h_n\sum_{k\leq n}\frac{p_k^2}{h_k} \geq \frac{h_n}{h_0} > 0$ partout. En une racine $x_0$ de $p_{n+1}$ : $p_{n+1}'(x_0)\,p_n(x_0) > 0$ , donc $p_n(x_0) \neq 0$ (pas de racines communes). Entre des racines consécutives $x_0 < x_1$ de $p_{n+1}$ (toutes simples, Partie I), $p_{n+1}'$ a des signes opposés, donc aussi $p_n$ : une racine de $p_n$ gît dans chacun des $n$ interstices — et cela épuise ses $n$ racines : entrelacement.

21. En développant $D_n(t) = \det(tI_n - J_n)$ le long de la dernière ligne : $D_n = (t - a_{n-1})D_{n-1} - b_{n-1}D_{n-2}$ , avec $D_0 = 1$ , $D_1 = t - a_0$ : la récurrence et les germes du monique $p_n$ , donc $D_n = p_n$ . Racines de $p_n$ = valeurs propres de la $J_n$ symétrique : réelles, et simples par la question 19 — la quadrature de Gauss est la théorie spectrale d’une matrice tridiagonale déguisée, l’ombre de dimension finie du Chapitre 15.

22. Dictionnaire :

	Legendre	Hermite	Chebyshev
intervalle	$\intcc{-1}1$	$\R$	$\intcc{-1}1$
poids	$1$	$\eu^{-t^2}$	$(1-t^2)^{-1/2}$
formule	Rodrigues	$(-1)^n\eu^{t^2} \frac{\dd^n}{\dd t^n}\eu^{-t^2}$	$\cos(n\arccos t)$
norme $^2$	$\frac2{2n+1}$	$2^nn!\sqrt\pi$	$\pi, \frac\pi2$
habitat	quadrature	calcul gaussien	minimax

(chacun avec sa récurrence à trois termes : forme générale pour Legendre, $H_{n+1} = 2tH_n - 2nH_{n-1}$ , $T_{n+1} = 2tT_n - T_{n-1}$ ). La théorie générale a fourni ce qu’aucune famille isolée ne montre : réalité et entrelacement des racines, positivité des poids de quadrature, la simple existence de la récurrence et de Christoffel–Darboux — conséquences de l’orthogonalité seule, uniformes en le poids.

23. Existence : l’application linéaire $\R_{2n-1}[t] \to \R^{2n}$ , $P \mapsto (P(t_1), P'(t_1), \dots, P(t_n), P'(t_n))$ , est injective (un $P$ dans le noyau a $n$ racines doubles et degré $\leq 2n - 1$ , donc $P = 0$ ) entre espaces de dimension égale $2n$ : bijective. Erreur ponctuelle : fixer $t$ non nœud et choisir $K$ pour que $g(s) = f(s) - Hf(s) - K\,p_n(s)^2$ s’annule en $s = t$ . Alors $g$ s’annule aux $n + 1$ points distincts $t, t_1, \dots, t_n$ , et $g'$ s’annule aussi en chaque $t_i$ (à la fois $f - Hf$ et $p_n^2$ y ont des zéros doubles). Rolle donne $n$ zéros de $g'$ strictement entre les zéros consécutifs de $g$ — distincts des nœuds — donc $g'$ a $2n$ zéros distincts ; en appliquant Rolle $2n - 1$ fois de plus on produit $\xi_t$ avec $g^{(2n)}(\xi_t) = 0$ . Comme $\deg Hf \leq 2n - 1$ et $p_n^2$ est monique de degré $2n$ , $g^{(2n)} = f^{(2n)} - K\,(2n)!$ , d’où $K = f^{(2n)}(\xi_t)/(2n)!$ — et l’identité est triviale aux nœuds. Intégration : $Q_n(f) = Q_n(Hf)$ ( $Hf$ coïncide avec $f$ aux nœuds) et $Q_n(Hf) = \int Hf\,w$ par exactitude jusqu’au degré $2n - 1$ (question 9), donc l’erreur de quadrature est $\int(f - Hf)\,w$ . Avec $m, M$ les extrema de $f^{(2n)}$ sur $I$ , l’identité ponctuelle serre

\frac{m\,h_n}{(2n)!} \;\leq\; \int_I(f - Hf)\,w \;\leq\; \frac{M\,h_n}{(2n)!} ,

et le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la continue $f^{(2n)}$ livre $\xi$ . (Pour Legendre avec $n = 2$ : $h_2 = \int_{-1}^1(t^2 - \frac13)^2\dd t = \frac8{45}$ , donc l’erreur est $f^{(4)}(\xi)/135$ .)

24. Le noyau reproduit $\R_{n-1}[t]$ : en développant $q = \sum_k\frac{\langle p_k, q\rangle}{h_k}p_k$ on obtient

\int_I K_n(t_i, t)\,q(t)\,w(t)\dd t = q(t_i)

pour tout $q$ de degré $\leq n - 1$ . Prendre $q = \ell_i$ : le membre de gauche égale $\ell_i(t_i) = 1$ . Mais $t \mapsto K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)$ est un polynôme de degré $\leq (n - 1) + (n - 1) = 2n - 2$ , sur lequel $Q_n$ est exacte (question 9), et il s’annule en tout nœud $t_j \neq t_i$ (facteur $\ell_i$ ), donc

1 = \int_I K_n(t_i, t)\,\ell_i(t)\,w(t)\dd t = w_i\,K_n(t_i, t_i) = w_i\sum_{k=0}^{n-1}\frac{p_k(t_i)^2}{h_k} .

La somme est $> 0$ (son terme $k = 0$ est $1/h_0 > 0$ ) : la formule annoncée, et la positivité encore. Vérification ( $n = 2$ , Legendre) : $p_0 = 1$ , $h_0 = 2$ , $p_1 = t$ , $h_1 = \frac23$ ; en $t_i = \pm\frac1{\sqrt3}$ ,

K_2(t_i, t_i) = \frac12 + \frac{1/3}{2/3} = 1, \qquad w_i = 1,

comme trouvé à la question 11.

25. En substituant $t = \cos\theta$ , l’intégrale est $\int_0^\pi\cos^6\theta\,\dd\theta = \pi\,\frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = \frac{5\pi}{16}$ (Wallis, Exercice 11.8). La règle Chebyshev–Gauss $n = 3$ (question 17) a pour nœuds $\cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2$ , $\cos\frac\pi2 = 0$ , $\cos\frac{5\pi}6 = -\frac{\sqrt3}2$ et des poids égaux $\frac\pi3$ :

Q_3(t^6) = \frac\pi3\Bigl(2\cdot\Bigl(\frac{\sqrt3}2 \Bigr)^{6}\Bigr) = \frac\pi3\cdot\frac{54}{64} = \frac{9\pi}{32}, \qquad \frac{5\pi}{16} - \frac{9\pi}{32} = \frac\pi{32} .

Prédiction : le polynôme orthogonal monique de degré $3$ est $2^{-2}T_3 = t^3 - \frac34t$ , avec $h_3 = \frac1{16}\norm{T_3}_w^2 = \frac1{16}\cdot\frac\pi2 = \frac\pi{32}$ ; et $f = t^6$ a $f^{(6)} = 720 = 6!$ constante, donc la question 23 donne l’erreur $\frac{6!}{6!}\,h_3 = \frac\pi{32}$ — sans dépendance en $\xi$ restante, la formule est forcée d’être exacte, et elle l’est.