Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

18Applications conformes et théorème de l’application de Riemann

Une bijection holomorphe entre deux domaines transporte toute l’analyse complexe de l’un à l’autre : de telles applications — conformes, car elles préservent les angles — sont les isomorphismes du monde holomorphe. Ce chapitre les classe là où la classification est possible (le disque, le plan : le lemme de Schwarz est la clé, une inégalité d’une puissance étonnante), construit la théorie de compacité des familles holomorphes (Montel), et prouve le plus profond théorème d’existence du sujet : tout sous-domaine propre simplement connexe de $\C$ , aussi déchiqueté soit son bord, est conformément équivalent au disque unité. Nous clôturons avec les fonctions harmoniques et le noyau de Poisson, en résolvant le problème de Dirichlet sur le disque — la récompense analytique de la géométrie conforme. Tout au long, $\mathbb D = D(0,1)$ et $\mathbb H = \{\operatorname{Im}z > 0\}$ .

18.1 Applications conformes ; transformations de Möbius

Définition 18.1

Une application conforme (ou biholomorphisme) entre ouverts est une bijection holomorphe ; son inverse est automatiquement holomorphe (le Corollaire 17.10). Deux domaines sont conformément équivalents si une telle application existe ; $\operatorname{Aut}(\Omega)$ désigne le groupe des auto-applications conformes. Là où $f' \neq 0$ — partout, pour $f$ injective (preuve du Corollaire 17.10) — la différentielle est la multiplication par $f'(z) \neq 0$ : une similitude, donc les applications conformes préservent les angles entre courbes, y compris l’orientation.

Exemple 18.2 (Transformations de Möbius)

Pour $\bigl(\begin{smallmatrix}a & b\\ c & d\end{smallmatrix}\bigr) \in GL_2(\C)$ , la transformation de Möbius $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ est conforme de $\C\setminus\{-d/c\}$ sur $\C\setminus\{a/c\}$ (inverse du même type, à partir de la matrice inverse ; la composition correspond au produit matriciel). L’application de Cayley

\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}

envoie $\mathbb H$ conformément sur $\mathbb D$ : en effet $\abs{z - \iu} < \abs{z + \iu}$ exactement quand $z$ est plus proche de $\iu$ que de $-\iu$ , c’est-à-dire $\operatorname{Im}z > 0$ ; l’inverse est $w \mapsto \iu\frac{1 + w}{1 - w}$ . Les applications de Möbius envoient la famille cercles-et-droites sur elle-même (l’Exercice 18.1).

Exemple 18.3 (L’application de Joukowski)

Au-delà de Möbius, l’application conforme la plus utile des mathématiques appliquées classiques est

J(z) = \frac12\Bigl(z + \frac1z\Bigr) .

Sur l’extérieur $\Omega = \{\abs z > 1\}$ du disque unité, $J$ est injective : $J(z) = J(w)$ donne $(z - w)(1 - \frac1{zw}) = 0$ et $\abs{zw} > 1$ . Sa dérivée $J'(z) = \frac12(1 - z^{-2})$ s’annule seulement en $z = \pm1$ , sur le bord : $J$ est une équivalence conforme de $\Omega$ sur son image, qui est $\C\setminus\intcc{-1}1$ — le cercle unité lui-même est plié deux-à-un sur le segment ( $J(\eu^{\iu\theta}) = \cos\theta$ ). Ainsi l’extérieur d’un segment, un plan fendu sans bord lisse, est conformément l’extérieur d’un disque : les coins ne sont pas un obstacle à l’équivalence conforme, seulement à la régularité du bord. Les images de cercles passant par $\pm1$ mais décentrés sont des courbes en forme de profil d’aile, et composer $J$ avec des applications de Möbius transportait l’écoulement autour d’un cylindre — calculable à la main — vers l’écoulement autour d’une aile : pour la première moitié du vingtième siècle, cet exemple était l’aérodynamique. C’est aussi la porte vers Tchebychev : $J$ conjugue $z \mapsto z^n$ au polynôme de Tchebychev $T_n$ (le Problème 13.1, partie V), puisque $J(z^n) = \cos(n\theta)$ quand $z = \eu^{\iu\theta}$ .

18.2 Lemme de Schwarz et groupes d’automorphismes

Théorème 18.4 (Lemme de Schwarz)

Soit $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ holomorphe avec $f(0) = 0$ . Alors

\abs{f(z)} \leq \abs z \ \ (z \in \mathbb D) \qquad\text{et}\qquad \abs{f'(0)} \leq 1 ,

et si $\abs{f(z_0)} = \abs{z_0}$ pour un $z_0 \neq 0$ , ou $\abs{f'(0)} = 1$ , alors $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ est une rotation.

Démonstration. $g(z) = f(z)/z$ s’étend holomorphiquement à $\mathbb D$ (la singularité en $0$ est éliminable : $g$ est bornée près de $0$ , le Théorème 17.4 ; sa valeur en $0$ est $f'(0)$ ). Sur $\abs z = r < 1$ : $\abs g \leq \frac1r$ , donc par le principe du maximum (le Théorème 16.14) $\abs g \leq \frac1r$ sur $\bar D(0,r)$ ; faire $r \to 1$ : $\abs g \leq 1$ sur $\mathbb D$ , ce qui est les deux inégalités. L’égalité en un point intérieur rend $\abs g$ atteignant un maximum intérieur : $g$ constante de module $1$ . ∎

Théorème 18.5 (Automorphismes du disque)

Pour $a \in \mathbb D$ , le facteur de Blaschke

\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar a z}

est un automorphisme de $\mathbb D$ échangeant $a$ et $0$ , avec $\varphi_a^{-1} = \varphi_{-a}$ . Tout automorphisme de $\mathbb D$ est $\eu^{\iu\theta}\varphi_a$ pour un unique $\theta \in \R/2\pi\Z$ , $a \in \mathbb D$ .

Démonstration. Sur $\abs z = 1$ : $\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z}\abs{1 - \bar az} = \abs{\bar z - \bar a\abs z^2} = \abs{\bar z - \bar a} = \abs{z - a}$ , donc $\abs{\varphi_a} = 1$ là ; par le principe du maximum $\varphi_a(\mathbb D) \subseteq \bar{\mathbb D}$ , et l’ouverture met l’image dans $\mathbb D$ . L’identité algébrique $\varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ (calcul direct) montre la bijectivité. Soit maintenant $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ et $a = f^{-1}(0)$ : $g = f\circ\varphi_{-a}$ est un automorphisme fixant $0$ . Schwarz appliqué à $g$ et à $g^{-1}$ : $\abs{g(z)} \leq \abs z$ et $\abs{g^{-1}(w)} \leq \abs w$ , donc $\abs{g(z)} = \abs z$ : rotation, $g = \eu^{\iu\theta}\,\mathrm{id}$ , c’est-à-dire $f = \eu^{\iu\theta}\varphi_a$ . Unicité : $a = f^{-1}(0)$ et $\theta$ par évaluation de type $f'$ (ou de $f(0) = -\eu^{\iu\theta}a$ et une valeur de plus). ∎

Théorème 18.6 (Automorphismes du plan)

$\operatorname{Aut}(\C) = \{z \mapsto az + b : a \in \C^*,\ b \in \C\}$ . Par conséquent $\C$ et $\mathbb D$ ne sont pas conformément équivalents.

Démonstration. Soit $f \in \operatorname{Aut}(\C)$ et considérons $g(z) = f(1/z)$ sur $\C^*$ : une fonction holomorphe avec une singularité isolée en $0$ . Si elle était essentielle, Casorati–Weierstrass (le Théorème 17.4) rendrait $g\bigl(D(0,\varepsilon)\setminus\{0\}\bigr)$ dense, tandis que $f(D(0, 1))$ est ouvert et disjoint de celle-ci ( $f$ injective : les deux ensembles sont images d’ensembles disjoints) — impossible pour un ensemble dense et un ouvert non vide. Donc $0$ est un pôle ou éliminable pour $g$ , c’est-à-dire $\abs{f(z)}$ a au plus une croissance polynomiale : $f$ est un polynôme (l’Exercice 16.4(a)). L’injectivité force le degré $1$ : un polynôme de degré plus élevé a soit une racine multiple de $f - c$ quelque part ( $f'$ s’annule) soit plusieurs préimages distinctes (d’Alembert–Gauss, le Problème 16.1) ; dans les deux cas l’injectivité échoue. Enfin, une application conforme $\C \to \mathbb D$ serait une fonction entière bornée : constante (Liouville) — pas d’équivalence. ∎

18.3 Théorème de Montel

Théorème 18.7 (Montel)

Soit $\mathcal F \subseteq \mathcal H(\Omega)$ localement bornée : tout point a un voisinage sur lequel $\sup_{f\in \mathcal F}\sup\abs f < \infty$ . Alors toute suite de $\mathcal F$ a une sous-suite convergeant uniformément sur tous les sous-ensembles compacts de $\Omega$ (vers une limite holomorphe).

Démonstration. Équicontinuité locale : si $\abs f \leq M$ sur $D(a, 2r) \subseteq \Omega$ pour tout $f \in \mathcal F$ , la formule de Cauchy donne, pour $z, z' \in D(a, r)$ ,

\abs{f(z) - f(z')} = \frac{\abs{z - z'}}{2\pi} \Bigl|\int_{C_{2r}}\frac{f(w)\,\dd w}{(w-z)(w-z')}\Bigr| \leq \frac{\abs{z - z'}\,2\pi\cdot2r\,M}{2\pi\,r^2} = \frac{2M}{r}\,\abs{z - z'} :

une borne de Lipschitz uniforme. Épuiser $\Omega$ par des compacts $K_m$ ; chaque $K_m$ est recouvert par un nombre fini de tels disques, donc $\mathcal F$ est uniformément bornée et équicontinue sur $K_m$ : Arzelà–Ascoli (le Théorème 7.11) extrait une sous-suite convergeant uniformément sur $K_m$ ; diagonaliser sur $m$ . La limite est holomorphe par le Théorème 16.15. ∎

18.4 Le théorème de l’application de Riemann

Définition 18.8

Un ouvert connexe $\Omega \subseteq \C$ est simplement connexe (au sens homologique, suffisant pour tous nos besoins) si $\operatorname{Ind}_\gamma(w) = 0$ pour tout cycle $\gamma$ dans $\Omega$ et tout $w \notin \Omega$ — « aucun cycle de $\Omega$ n’entoure un trou ». Par le théorème de Cauchy global (le Théorème 17.1) et la Proposition 16.5, sur un tel $\Omega$ toute fonction holomorphe a une primitive ; d’où toute $f \in \mathcal H(\Omega)$ sans zéro a un logarithme holomorphe ( $\exp\circ$ (primitive de $f'/f$ ), ajusté d’une constante, car $(f\eu^{-L})' = 0$ ) et des racines $n$ -ièmes holomorphes $\eu^{L/n}$ .

Théorème 18.9 (Théorème de l’application de Riemann)

Tout ouvert simplement connexe $\Omega \subsetneq \C$ , $\Omega \neq \varnothing$ , est conformément équivalent à $\mathbb D$ ; donné $z_0 \in \Omega$ , il existe une unique $f \colon \Omega \to \mathbb D$ conforme avec $f(z_0) = 0$ et $f'(z_0) > 0$ .

Démonstration. Étape 0 : la famille est non vide. Prendre $b \notin \Omega$ : $z - b$ est sans zéro sur $\Omega$ , donc a une racine carrée holomorphe $h$ ( $h^2 = z - b$ ). $h$ est injective ( $h(z) = h(z')$ élève au carré en $z = z'$ ), et si $w \in h(\Omega)$ alors $-w \notin h(\Omega)$ ( $h(z) = -h(z')$ élève aussi au carré en $z = z'$ , donnant $w = -w = 0$ , impossible car $h$ est sans zéro). Comme $h(\Omega)$ est ouvert, il contient un disque $D(h(z_0), \rho)$ ; alors $D(-h(z_0), \rho) \cap h(\Omega) = \varnothing$ , c’est-à-dire $\abs{h(z) + h(z_0)} \geq \rho$ pour tout $z \in \Omega$ . D’où

g(z) = \frac{\rho}{2\,\bigl(h(z) + h(z_0)\bigr)}

est holomorphe, injective (une application de Möbius composée avec l’injective $h$ ), avec $\abs g \leq \frac12 < 1$ . En composant avec un facteur de Blaschke (le Théorème 18.5) pour amener $g(z_0)$ en $0$ , la famille

\mathcal F = \{f \colon \Omega \to \mathbb D \text{ holomorphe, injective, } f(z_0) = 0\}

est non vide.

Étape 1 : un élément extrémal. Soit $s = \sup_{\mathcal F}\abs{f'(z_0)} \in \intoc0{+\infty}$ ( $> 0$ : les membres sont injectifs, donc $f'(z_0) \neq 0$ ). Prendre $f_n \in \mathcal F$ avec $\abs{f_n'(z_0)} \to s$ : la famille est bornée par $1$ , donc Montel (le Théorème 18.7) extrait $f_n \to f$ uniformément sur les compacts ; $f$ est holomorphe, $f(z_0) = 0$ , $\abs{f'(z_0)} = s$ (le Théorème 16.15 pour les dérivées), en particulier $f$ non constante ; $f$ est injective par Hurwitz (l’Exercice 17.8(b)), et $f(\Omega) \subseteq \bar{\mathbb D}$ , d’où $\subseteq \mathbb D$ (application ouverte). Donc $f \in \mathcal F$ atteint le supremum : $s < \infty$ .

Étape 2 : l’application extrémale est surjective. Supposons $a \in \mathbb D\setminus f(\Omega)$ . Le transport de Blaschke $\varphi_a\circ f$ est sans zéro sur le simplement connexe $\Omega$ : il a une racine carrée holomorphe $F$ (avec $F(\Omega) \subseteq \mathbb D$ , car $\abs F^2 = \abs{\varphi_a\circ f} < 1$ ), injective (les carrés distinguent). Normaliser : $G = \varphi_{F(z_0)}\circ F \in \mathcal F$ . En défaisant : $f = \varphi_{-a}\circ s_2 \circ \varphi_{-F(z_0)}\circ G$ où $s_2(w) = w^2$ ; l’application $\Psi = \varphi_{-a}\circ s_2\circ\varphi_{-F(z_0)} \colon \mathbb D \to \mathbb D$ est holomorphe avec $\Psi(0) = f(z_0) = 0$ et n’est pas une rotation (elle n’est pas injective : $s_2$ ne l’est pas). Lemme de Schwarz (cas strict) : $\abs{\Psi'(0)} < 1$ , et la règle de la chaîne $f = \Psi\circ G$ donne $\abs{f'(z_0)} = \abs{\Psi'(0)}\,\abs{G'(z_0)} < \abs{G'(z_0)}$ — contredisant la maximalité (noter $G \in \mathcal F$ ). D’où $f$ est surjective : une équivalence conforme.

Étape 3 : normalisation et unicité. Multiplier $f$ par $\eu^{-\iu\arg f'(z_0)}$ pour rendre $f'(z_0) > 0$ (cela reste dans $\mathcal F$ ). Si $f_1, f_2$ marchent toutes deux, $\psi = f_2\circ f_1^{-1} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ fixe $0$ avec $\psi'(0) = f_2'(z_0)/f_1'(z_0) > 0$ ; par le Théorème 18.5 $\psi$ est une rotation $\eu^{\iu\theta}$ avec $\eu^{\iu\theta} > 0$ : $\psi = \mathrm{id}$ . ∎

Remarque 18.10

Le théorème est un pur énoncé d’existence d’une portée étonnante : un carré, un demi-plan, le complémentaire d’une fente, la région entre deux cercles tangents, un domaine à bord fractal — tous conformément identiques à $\mathbb D$ . Ce qu’il ne donne pas : aucune formule (les applications explicites sont l’exception : l’Exercice 18.5), de comportement au bord (une théorie plus profonde — le théorème de Carathéodory — le traite), ni d’unicité d’extension à $\C$ ou aux domaines multiplement connexes : l’anneau $\{1 < \abs z < 2\}$ n’est pas conformément un disque percé, et des anneaux de rapports de rayons différents sont inéquivalents (un fait authentiquement plus dur).

18.5 Fonctions harmoniques et noyau de Poisson

Proposition 18.11

Soit $\Omega$ simplement connexe et $u \colon \Omega \to \R$ harmonique ( $\mathcal C^2$ avec $\Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0$ ). Alors $u = \operatorname{Re}F$ pour une $F$ holomorphe, unique à une constante imaginaire près. Par conséquent $u$ est $\mathcal C^\infty$ , satisfait la propriété de la moyenne, et obéit au principe du maximum (pas d’extrémum intérieur strict sauf si constante).

Démonstration. $g = u_x - \iu u_y$ satisfait les équations de Cauchy–Riemann ( $P = u_x$ , $Q = -u_y$ : $P_x = u_{xx} = -u_{yy} = Q_y$ et $P_y = u_{xy} = u_{yx} = -Q_x$ ) avec dérivées partielles continues : $g$ est holomorphe (la Proposition 16.2 ; la $\R$ -différentiabilité suit de $\mathcal C^1$ ). Soit $F_0$ une primitive (simple connexité, la Définition 18.8) ; alors $\operatorname{Re}F_0$ a pour gradient $(u_x, u_y)$ ( $F_0' = g$ se déplie en exactement cela via Cauchy–Riemann pour $F_0$ ), donc $u - \operatorname{Re}F_0$ est constante ( $\Omega$ connexe) : ajuster $F = F_0 + c$ . Les propriétés se transfèrent du Théorème 16.14 et de l’Exercice 16.10 (pour le principe du maximum appliqué à $u$ elle-même, utiliser $\eu^{F}$ comme là). ∎

Théorème 18.12 (Formule de Poisson ; problème de Dirichlet sur le disque)

Pour $0 \leq r < 1$ définir le noyau de Poisson

P_r(\theta) = \sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \;>\; 0 .

Soit $g \colon \partial\mathbb D \to \R$ continue, et poser, pour $z = r\eu^{\iu\varphi} \in \mathbb D$ ,

u(z) = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} P_r(\varphi - t)\,g(\eu^{\iu t})\,\dd t .

Alors $u$ est harmonique sur $\mathbb D$ et s’étend continûment à $\bar{\mathbb D}$ avec valeurs au bord $g$ : l’unique telle fonction harmonique.

Démonstration. Identités du noyau : en sommant deux séries géométriques,

\sum_{n\in\Z}r^{\abs n}\eu^{\iu n\theta} = \operatorname{Re}\frac{1 + r\eu^{\iu\theta}}{1 - r\eu^{\iu\theta}} = \frac{1 - r^2}{\abs{1 - r\eu^{\iu\theta}}^2},

qui est le quotient affiché ; la positivité est claire, et $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}P_r = 1$ (seul $n = 0$ survit).

Harmonicité : avec $z = r\eu^{\iu\varphi}$ ,

u(z) = \operatorname{Re}\biggl[\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\eu^{\iu t} + z}{\eu^{\iu t} - z}\, g(\eu^{\iu t})\,\dd t\biggr],

(le noyau entre crochets a pour partie réelle $P_r(\varphi - t)$ : calculer), et le crochet est holomorphe en $z$ sur $\mathbb D$ (l’Exercice 16.7) : $u$ est la partie réelle d’une fonction holomorphe, d’où harmonique.

Valeurs au bord : $P_r(\cdot)$ est une identité approximative quand $r \to 1^-$ : masse $1$ , et pour $\delta \leq \abs\theta \leq \pi$ , $P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ uniformément. Le découpage standard (continuité de $g$ près de $\eu^{\iu\varphi_0}$ , bornitude ailleurs) donne $u(r\eu^{\iu\varphi}) \to g(\eu^{\iu\varphi_0})$ quand $r\eu^{\iu\varphi} \to \eu^{\iu\varphi_0}$ , uniformément en le point du bord : l’extension est continue. Unicité : la différence de deux solutions est harmonique sur $\mathbb D$ , continue sur l’adhérence, nulle sur le bord : par le principe du maximum (appliqué à $\pm$ la différence), elle s’annule. ∎

Les courbes de niveau de Rez2 = x2 - y2 (hyperboles rouges) et Imz2 = 2xy (hyperboles bleues) se coupent à angle droit hors de 0 : une application conforme (z z2, où z ≠ 0) préserve l’orthogonalité des lignes de coordonnées. En z = 0, où la dérivée s’annule, les angles sont doublés à la place. — Les courbes de niveau de $\operatorname{Re}z^2 = x^2 - y^2$ (hyperboles rouges) et $\operatorname{Im}z^2 = 2xy$ (hyperboles bleues) se coupent à angle droit hors de $0$ : une application conforme ( $z \mapsto z^2$ , où $z \neq 0$ ) préserve l’orthogonalité des lignes de coordonnées. En $z = 0$ , où la dérivée s’annule, les angles sont doublés à la place.

18.6 Exercices

Exercice 18.1 ★

(a) Vérifier que l’application de Cayley $\varphi(z) = \frac{z - \iu}{z + \iu}$ est une bijection $\mathbb H \to \mathbb D$ avec l’inverse indiqué, et calculer les images de $\iu$ , $0$ , $1$ , $\infty$ (limite). (b) Montrer que $z \mapsto 1/z$ envoie cercles et droites sur cercles et droites. (Écrire leur équation commune $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ , $\alpha, \gamma \in \R$ .) En déduire le même pour toutes les applications de Möbius.

Solution

Solution de Exercice 18.1.

(a) $\varphi$ et $\psi(w) = \iu\frac{1+w}{1-w}$ se composent en l’identité dans les deux ordres (calcul direct) ; $\varphi$ envoie $\mathbb H$ dans $\mathbb D$ et $\psi$ en retour (l’Exemple 18.2). Valeurs : $\varphi(\iu) = 0$ , $\varphi(0) = -1$ , $\varphi(1) = \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu$ , et $\varphi(z) \to 1$ quand $z \to \infty$ .

(b) Les cercles et droites sont les ensembles de solutions de $\alpha\abs z^2 + \bar\beta z + \beta\bar z + \gamma = 0$ ( $\alpha, \gamma \in \R$ , $\beta \in \C$ , $\abs\beta^2 > \alpha\gamma$ ) : $\alpha \neq 0$ cercles, $\alpha = 0$ droites. En substituant $z = 1/w$ et multipliant par $\abs w^2$ : $\gamma\abs w^2 + \beta w + \bar\beta\bar w + \alpha = 0$ — même famille. Les applications affines préservent clairement la famille, et toute application de Möbius est une composition d’applications affines et d’une inversion ( $\frac{az+b}{cz+d} = \frac ac + \frac{bc - ad}{c}\cdot\frac1{cz + d}$ pour $c \neq 0$ ).

Exercice 18.2 ★

Soit $f \colon \mathbb D \to \mathbb D$ holomorphe. (a) Si $f(0) = 0$ et $f(a) = a$ pour un $a \neq 0$ , montrer $f = \mathrm{id}$ . (b) Si $f$ est un automorphisme avec deux points fixes distincts dans $\mathbb D$ , montrer $f = \mathrm{id}$ (conjuguer par un facteur de Blaschke pour se ramener à (a)).

Solution

Solution de Exercice 18.2.

(a) Schwarz donne $\abs{f(a)} \leq \abs a$ avec égalité (les deux côtés $= \abs a$ ) : le cas d’égalité force $f(z) = \eu^{\iu\theta}z$ , et $f(a) = a$ fixe $\eu^{\iu\theta} = 1$ .

(b) Soient $a \neq b$ des points fixes et $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a} \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — en utilisant le Théorème 18.5 pour $\varphi_{\pm a}$ . Alors $g(0) = \varphi_a(f(a)) = 0$ et $g(c) = c$ pour $c = \varphi_a(b) \neq 0$ : par (a), $g = \mathrm{id}$ , donc $f = \varphi_{-a}\circ\varphi_a = \mathrm{id}$ .

Exercice 18.3 ★★

(Schwarz–Pick) Pour $f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ holomorphe, prouver

\frac{\abs{f'(z)}}{1 - \abs{f(z)}^2} \;\leq\; \frac{1}{1 - \abs z^2} \qquad (z \in \mathbb D),

avec égalité (en un point, d’où partout) ssi $f \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ . (Appliquer Schwarz à $\varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ .) Interprétation : les auto-applications holomorphes contractent la métrique hyperbolique.

Solution

Solution de Exercice 18.3.

Fixer $z$ et poser $g = \varphi_{f(z)}\circ f\circ\varphi_{-z}$ : holomorphe $\mathbb D \to \mathbb D$ avec $g(0) = 0$ , donc $\abs{g'(0)} \leq 1$ (Schwarz). Règle de la chaîne avec $\varphi_a'(\zeta) = \frac{1 - \abs a^2}{(1 - \bar a\zeta)^2}$ :

g'(0) = \varphi_{f(z)}'\bigl(f(z)\bigr)\cdot f'(z)\cdot \varphi_{-z}'(0) = \frac{1}{1 - \abs{f(z)}^2}\cdot f'(z)\cdot(1 - \abs z^2),

d’où l’inégalité de Schwarz–Pick. L’égalité en un $z$ rend $g$ une rotation, d’où $f = \varphi_{-f(z)}\circ(\text{rotation})\circ\varphi_z \in \operatorname{Aut}(\mathbb D)$ — et alors l’égalité vaut partout (calculer, ou réappliquer avec les rôles de $f, f^{-1}$ échangés). Les auto-applications holomorphes du disque sont $1$ -lipschitziennes pour la métrique hyperbolique $\frac{2\abs{\dd z}}{1 - \abs z^2}$ ; les automorphismes en sont les isométries.

Exercice 18.4 ★★

Trouver des équivalences conformes explicites : (a) la bande $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\} \to \mathbb H$ ; (b) le quadrant $\{\operatorname{Re}z > 0, \operatorname{Im}z > 0\} \to \mathbb H$ ; (c) le demi-disque $\mathbb D\cap\mathbb H \to$ un quadrant, puis $\to \mathbb H$ ; (d) $\mathbb D \to \mathbb D$ envoyant $\frac12$ en $0$ avec dérivée positive là.

Solution

Solution de Exercice 18.4.

(a) $z \mapsto \eu^z$ : envoie $\{0 < \operatorname{Im}z < \pi\}$ bijectivement sur $\mathbb H$ ( $\eu^{x+\iu y} = \eu^x\eu^{\iu y}$ : module libre, argument $y \in \intoo0\pi$ ), holomorphe de dérivée non nulle et inverse holomorphe ( $\log$ principal). (b) $z \mapsto z^2$ double les arguments : le quadrant ouvert $\{0 < \arg z < \frac\pi2\}$ s’envoie conformément sur $\mathbb H$ (inverse : racine carrée principale). (c) $z \mapsto \frac{1 + z}{1 - z}$ envoie $\mathbb D$ sur le demi-plan droit et préserve la symétrie haut/bas : elle envoie le demi-disque supérieur sur le premier quadrant ; puis élever au carré, par (b), pour atteindre $\mathbb H$ : $z \mapsto \bigl(\frac{1 + z}{1 - z}\bigr)^2$ . (d) Le facteur de Blaschke $\varphi_{1/2}(z) = \frac{z - \frac12}{1 - \frac z2}$ : $\varphi_{1/2}(\tfrac12) = 0$ et $\varphi_{1/2}'(\tfrac12) = \frac{1 - \frac14}{(1 - \frac14)^2} = \frac43 > 0$ .

Exercice 18.5 ★★

(a) Montrer qu’aucune application conforme $\C \to \mathbb D$ ou $\C \to \mathbb H$ n’existe, ni aucune $\mathbb D \to \C$ . (b) Lesquelles des suivantes sont conformément équivalentes à $\mathbb D$ ? Justifier via le Théorème 18.9 ou une obstruction : un carré ; $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ; $\mathbb D\setminus\{0\}$ ; $\{1 < \abs z < 2\}$ . (Pour les deux dernières : une image conforme du disque percé s’étendrait sur la perforation par le Théorème 17.4(1) — développer ceci.)

Solution

Solution de Exercice 18.5.

(a) Une application conforme $\C \to \mathbb D$ (ou $\mathbb H$ , après composition avec Cayley) est une fonction entière bornée : constante par Liouville — pas bijective. Une conforme $\mathbb D \to \C$ aurait un inverse conforme $\C \to \mathbb D$ : même contradiction.

(b) Le carré est convexe, d’où simplement connexe, et propre : conformément $\mathbb D$ (le Théorème 18.9). Le plan découpé $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ est étoilé par rapport à $1$ (les segments depuis $1$ évitent la coupure), d’où simplement connexe, et propre : conformément $\mathbb D$ . Le disque percé : si $g \colon \mathbb D\setminus\{0\} \to \mathbb D$ était conforme, $g$ est bornée, donc $0$ est éliminable (le Théorème 17.4) : $g$ s’étend en $\tilde g \colon \mathbb D \to \mathbb D$ , et $\tilde g(0)$ , étant dans l’image ouverte $g(\mathbb D\setminus\{0\}) = \mathbb D$ , est aussi $g(w)$ pour un $w \neq 0$ ; deux voisinages disjoints de $0$ et $w$ ont des images ouvertes partageant la valeur $\tilde g(0)$ , d’où partageant d’autres valeurs aussi (ouverts) : $g$ prend une certaine valeur deux fois sur $\mathbb D\setminus\{0\}$ — contredisant l’injectivité. L’anneau $A = \{1 < \abs z < 2\}$ : supposons $F \colon \mathbb D \to A$ conforme. $F$ est sans zéro sur le simplement connexe $\mathbb D$ , donc $F = \eu^L$ pour $L$ holomorphe (la Définition 18.8). Soit $\sigma$ le cercle $\abs z = \frac32$ dans $A$ et $\gamma = F^{-1}\circ\sigma$ , un chemin fermé dans $\mathbb D$ ; alors

1 = \operatorname{Ind}_\sigma(0) = \frac1{2\iu\pi}\int_{F\circ\gamma}\frac{\dd w}{w} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma\frac{F'}{F} = \frac1{2\iu\pi}\int_\gamma L' = 0

( $L'$ a une primitive) : contradiction. Ni le disque percé ni l’anneau n’est un disque déguisé.

Exercice 18.6 ★★

Soit $\mathcal F = \{f \in \mathcal H(\mathbb D) : f(0) = 1,\ \operatorname{Re}f > 0\}$ . (a) Montrer que $\mathcal F$ est localement bornée. (Composer avec l’application de type Cayley $w \mapsto \frac{w - 1}{w + 1}$ envoyant le demi-plan droit sur $\mathbb D$ , et appliquer Schwarz.) (b) En déduire la borne de Herglotz : $\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z}$ pour $f \in \mathcal F$ , avec possibilités d’égalité.

Solution

Solution de Exercice 18.6.

(a) $T(w) = \frac{w - 1}{w + 1}$ envoie $\{\operatorname{Re}w > 0\}$ conformément sur $\mathbb D$ (Cayley tourné : $\abs{w - 1} < \abs{w + 1}$ ssi $\operatorname{Re}w > 0$ ), avec $T(1) = 0$ . Pour $f \in \mathcal F$ , $g = T\circ f\colon \mathbb D \to \mathbb D$ est holomorphe avec $g(0) = 0$ : Schwarz donne $\abs{g(z)} \leq \abs z$ .

(b) En invertissant $T$ : $f = \frac{1 + g}{1 - g}$ , donc

\abs{f(z)} \leq \frac{1 + \abs{g(z)}}{1 - \abs{g(z)}} \leq \frac{1 + \abs z}{1 - \abs z} :

localement bornée (uniformément sur $\abs z \leq r < 1$ ). L’égalité en $z_0 \neq 0$ force $\abs{g(z_0)} = \abs{z_0}$ et l’alignement : $g$ une rotation, c’est-à-dire $f(z) = \frac{1 + \eu^{\iu\theta}z}{1 - \eu^{\iu\theta}z}$ — les extrémales de Herglotz, applications conformes sur le demi-plan droit.

Exercice 18.7 ★★★

Où la preuve du Théorème 18.9 utilise-t-elle chaque hypothèse ? Tracer : (i) simple connexité (deux fois) ; (ii) $\Omega \neq \C$ ; (iii) connexité. Puis montrer que le théorème échoue pour $\Omega = \C$ et pour l’anneau, en localisant quelle étape de la preuve casse dans chaque cas.

Solution

Solution de Exercice 18.7.

(i) La simple connexité entre exactement deux fois, via l’existence de racines carrées holomorphes de fonctions sans zéro (la Définition 18.8) : à l’étape 0 (la racine de $z - b$ ) et à l’étape 2 (la racine de $\varphi_a\circ f$ ). (ii) $\Omega \neq \C$ fournit le point $b$ de l’étape 0 — sans lui la famille $\mathcal F$ est vide d’applications injectives bornées (Liouville : toute $f \colon \C \to \mathbb D$ holomorphe est constante). (iii) La connexité est utilisée chaque fois que le théorème d’identité ou Hurwitz (l’Exercice 17.8) parle : la limite extrémale est « injective ou constante », et la constance est exclue par $s > 0$ ; aussi dans « dérivée nulle implique constante ». Échec pour $\C$ : étape 0 impossible, et la conclusion est fausse (l’Exercice 18.5(a)). Échec pour l’anneau : pas simplement connexe — la construction par racine carrée casse (p. ex. $z$ elle-même, sans zéro sur $A$ , n’a pas de racine carrée holomorphe : le même calcul d’indice que dans l’Exercice 18.5(b) avec $\frac12\int_\sigma\frac{\dd z}z \notin 2\iu\pi\Z$ ) — et la conclusion est fausse aussi.

Exercice 18.8 ★★

Résoudre le problème de Dirichlet sur $\mathbb D$ pour les données au bord : (a) $g(\eu^{\iu t}) = \cos t$ ; (b) $g(\eu^{\iu t}) = \cos^2 t$ ; (c) $g = \mathbf 1_{\text{demi-cercle supérieur}}$ — pour (c) calculer $u(0)$ et interpréter via la propriété de la moyenne. (Développer $g$ en série de Fourier et utiliser la série de $P_r$ : $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_n c_n(g) r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ .)

Solution

Solution de Exercice 18.8.

En substituant le développement de Fourier de $g$ dans l’intégrale de Poisson et en utilisant $\frac1{2\pi}\int P_r(\varphi - t)\eu^{\iu nt}\dd t = r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ (lu sur la série de $P_r$ ) : $u(r\eu^{\iu\varphi}) = \sum_nc_n(g)\,r^{\abs n}\eu^{\iu n\varphi}$ , l’interversion justifiée par convergence normale ( $\abs{c_n} \leq \norm g_\infty$ , $r < 1$ ).

(a) $g = \cos t$ : $c_{\pm1} = \frac12$ , donc $u = r\cos\varphi = \operatorname{Re}z = x$ — bien harmonique avec les bonnes valeurs au bord.

(b) $\cos^2t = \frac12 + \frac{\cos 2t}2$ : $u = \frac12 + \frac{r^2\cos2\varphi}2 = \frac12 + \frac{\operatorname{Re}(z^2)}2 = \frac12 + \frac{x^2 - y^2}{2}$ .

(c) $g = \mathbf 1_{(0,\pi)}$ (demi-cercle supérieur) : $c_0 = \frac12$ et $c_n = \frac{1 - (-1)^n}{2\iu\pi n}$ pour $n \neq 0$ , donc

u(r\eu^{\iu\varphi}) = \frac12 + \frac2\pi\sum_{k\geq0} \frac{r^{2k+1}\sin\bigl((2k+1)\varphi\bigr)}{2k + 1}, \qquad u(0) = \frac12 :

le centre voit exactement la moyenne des données au bord — la propriété de la moyenne en personne.

Exercice 18.9 ★★★

(Harnack) Soit $u \geq 0$ harmonique sur $\mathbb D$ . Prouver, pour $\abs z = r < 1$ :

\frac{1 - r}{1 + r}\,u(0) \;\leq\; u(z) \;\leq\; \frac{1 + r}{1 - r}\,u(0)

(borner le noyau de Poisson entre $\frac{1-r}{1+r}$ et $\frac{1+r}{1-r}$ ; appliquer la représentation sur des disques légèrement plus petits et passer à la limite). En déduire : une fonction harmonique sur $\C$ bornée inférieurement est constante.

Solution

Solution de Exercice 18.9.

De $(1-r)^2 \leq 1 - 2r\cos\theta + r^2 \leq (1+r)^2$ :

\frac{1-r}{1+r} = \frac{1 - r^2}{(1+r)^2} \leq P_r(\theta) \leq \frac{1 - r^2}{(1 - r)^2} = \frac{1+r}{1-r} .

Pour $u \geq 0$ harmonique sur $\mathbb D$ et $s < 1$ : $u_s(z) = u(sz)$ est harmonique sur un voisinage de $\bar{\mathbb D}$ , d’où égale son intégrale de Poisson (le Théorème 18.12, unicité, appliqué à ses propres valeurs au bord) ; en encadrant le noyau et en utilisant la moyenne $\frac1{2\pi}\int u_s(\eu^{\iu t})\dd t = u(0)$ :

\frac{1-r}{1+r}\,u(0) \leq u(s\,r\eu^{\iu\varphi}) \leq \frac{1+r}{1-r}\,u(0).

Faire $s \to 1^-$ à $r\eu^{\iu\varphi}$ fixe (continuité de $u$ ) : les inégalités de Harnack. Si $u$ est harmonique sur $\C$ avec $u \geq m$ : appliquer Harnack à $u - m$ sur les disques $D(0, R)$ , c’est-à-dire à $z \mapsto u(Rz) - m$ : pour $z$ fixe et $r = \abs z/R \to 0$ , les deux bornes tendent vers $u(0) - m$ : $u(z) = u(0)$ — constante (un Liouville bilatère à partir d’une borne unilatère).

Exercice 18.10 ★★

En utilisant l’invariance conforme de l’harmonicité ( $u\circ f$ est harmonique quand $u$ est harmonique et $f$ holomorphe — le prouver via la Proposition 18.11 localement), résoudre le problème de Dirichlet sur le demi-plan supérieur avec données au bord $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ : montrer que

u(x + \iu y) = \frac1\pi\,\arg(x + \iu y) \qquad (\arg \in \intoo0\pi \text{ sur } \mathbb H)

est harmonique sur $\mathbb H$ (partie imaginaire d’un logarithme holomorphe) avec les limites au bord requises en tout $x \neq 0$ , et le transporter au disque par Cayley pour retrouver l’Exercice 18.8(c).

Solution

Solution de Exercice 18.10.

Localement, $u = \operatorname{Re}F$ avec $F$ holomorphe (la Proposition 18.11), donc $u\circ f = \operatorname{Re}(F\circ f)$ est harmonique là où elle est définie : l’harmonicité est conformément invariante. Sur $\mathbb H$ : le logarithme principal donne $\log z = \ln\abs z + \iu\arg z$ holomorphe sur $\mathbb H$ , donc $u = \frac1\pi\arg z = \operatorname{Im}\bigl(\frac1\pi\log z\bigr)$ est harmonique, avec limites au bord : pour $x > 0$ , $\arg \to 0$ , $u \to 0$ ; pour $x < 0$ , $\arg \to \pi$ , $u \to 1$ : les données $\mathbf 1_{\intoo{-\infty}0}$ en tout $x \neq 0$ . En transportant par l’application de Cayley (qui envoie $\mathbb D \to \mathbb H$ après inversion et fait correspondre le demi-cercle supérieur à l’axe négatif, à la rotation près fixée en suivant trois points du bord), $u\circ(\text{Cayley})$ résout le problème du disque de l’Exercice 18.8(c) ; l’évaluation au centre retrouve $u = \frac12$ là, et la forme fermée $\frac1\pi\arg$ peut être contrôlée contre la série en sommant $\sum\frac{r^{2k+1}\sin((2k+1)\varphi)}{2k+1} = \frac12\arctan\frac{2r\sin\varphi}{1 - r^2}$ -type identités — la route élémentaire vers la même réponse.

Exercice 18.11 ★★

(Points fixes et itération dans le disque) Soit $f\colon\mathbb D \to \mathbb D$ holomorphe. (a) Montrer que si $f$ a deux points fixes distincts, alors $f = \mathrm{id}$ (amener l’un en $0$ par un automorphisme et appliquer le cas d’égalité de Schwarz). (b) Supposer $f(0) = 0$ et $f$ n’est pas une rotation. Montrer que les itérées $f^{\circ n} \to 0$ uniformément sur tout compact $\bar D(0, r)$ , $r < 1$ (Schwarz donne $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ sur $\bar D(0,r)$ avec $c_r < 1$ — justifier cette constante stricte via le principe du maximum appliqué à $f(z)/z$ ). (c) Illustrer avec $f(z) = \frac{z^2 + z}2$ : points fixes, et le taux de convergence de l’orbite de $z_0 = \frac12$ .

Solution

Solution de Exercice 18.11.

(a) Soient $a \neq b$ fixes. En conjuguant par $\varphi_a(z) = \frac{z - a}{1 - \bar az}$ (un automorphisme échangeant $a$ et $0$ ), $g = \varphi_a\circ f\circ\varphi_a^{-1}$ fixe $0$ et le point $c = \varphi_a(b) \neq 0$ . Schwarz : $\abs{g(z)} \leq \abs z$ , et en $z = c$ l’égalité vaut ( $g(c) = c$ ) : le cas d’égalité force $g(z) = \lambda z$ avec $\abs\lambda = 1$ , et $\lambda c = c$ donne $\lambda = 1$ : $g = \mathrm{id}$ , d’où $f = \mathrm{id}$ .

(b) $h(z) = f(z)/z$ (singularité éliminable en $0$ ) est holomorphe sur $\mathbb D$ avec $\abs h \leq 1$ (Schwarz) ; $\abs h < 1$ partout, sinon le principe du maximum (maximum intérieur de $\abs h$ ) rendrait $h$ une constante unimodulaire, c’est-à-dire $f$ une rotation — exclu. Sur le compact $\bar D(0,r)$ , $c_r = \max\abs h < 1$ , donc $\abs{f(z)} \leq c_r\abs z$ là ; de plus $f$ envoie $\bar D(0,r)$ dans lui-même ( $c_r\abs z \leq r$ ), donc la borne itère : $\abs{f^{\circ n}(z)} \leq c_r^n\,r \to 0$ uniformément sur $\bar D(0, r)$ .

(c) Points fixes de $\frac{z^2 + z}2$ : $z^2 + z = 2z$ ssi $z(z - 1) = 0$ ; seul $z = 0$ est dans $\mathbb D$ ( $z = 1$ est sur le bord). Pas une rotation ( $f'(0) = \frac12$ ), donc les orbites tendent vers $0$ ; quantitativement $f(z) = \frac z2(1 + z)$ donne $\abs{f(z)} \leq \frac{3}{4}\abs z$ sur $\abs z \leq \frac12$ , et une fois l’orbite petite, $\abs{f(z)} \approx \frac{\abs z}2$ : asymptotiquement géométrique de raison $f'(0) = \frac12$ . Depuis $z_0 = \frac12$ : $z_1 = \frac38$ , $z_2 \approx 0{,}258$ , $z_3 \approx 0{,}162$ — une demi-vie par pas, comme prédit par le multiplicateur.

Exercice 18.12 ★★

(Conjuguées harmoniques, concrètement) Soit $u(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 2y$ . (a) Vérifier que $u$ est harmonique sur $\R^2$ , et trouver toutes les conjuguées harmoniques $v$ (c’est-à-dire $u + \iu v$ holomorphe) en intégrant les équations de Cauchy–Riemann ; identifier $f(z) = u + \iu v$ comme un polynôme en $z$ . (b) Montrer que sur un étoilé ouvert, toute fonction harmonique admet une conjuguée harmonique, unique à une constante additive près (la $1$ -forme $-u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ est fermée ; la machinerie de primitive du Théorème 16.8, ou le lemme de Poincaré du Chapitre 21). (c) Donner le contre-exemple standard sur $\C^*$ : $u = \ln\abs z$ n’a pas de conjuguée globale — relier à la forme angulaire et au nombre de tours (le Chapitre 21).

Solution

Solution de Exercice 18.12.

(a) $\Delta u = 6x - 6x + 0 = 0$ . Cauchy–Riemann exige $v_y = u_x = 3x^2 - 3y^2$ et $v_x = -u_y = 6xy - 2$ . En intégrant la première en $y$ : $v = 3x^2y - y^3 + c(x)$ ; en branchant dans la seconde : $6xy + c'(x) = 6xy - 2$ , donc $c(x) = -2x + C$ . Ainsi $v = 3x^2y - y^3 - 2x + C$ et

f = u + \iu v = (x^3 - 3xy^2) + \iu(3x^2y - y^3) + 2y - 2\iu x + \iu C = z^3 - 2\iu z + \iu C .

(b) La forme $\omega = -u_y\,\dd x + u_x\,\dd y$ est fermée précisément parce que $\Delta u = 0$ ( $\partial_y(-u_y) = -u_{yy} = u_{xx} = \partial_x(u_x)$ ). Sur un ouvert étoilé le lemme de Poincaré (le Théorème 21.15 ; ou la construction de primitive du Théorème 16.8 appliquée à l’holomorphe $u_x - \iu u_y$ ) fournit $v$ avec $\dd v = \omega$ , c’est-à-dire le système de Cauchy–Riemann : $u + \iu v$ est holomorphe. Deux conjuguées diffèrent d’une fonction de gradient nul : une constante (connexité).

(c) Pour $u = \ln\abs z$ sur $\C^*$ : $\omega = -u_y\dd x + u_x\dd y = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2} = \omega_\theta$ , la forme angulaire (l’Exemple 21.14), dont l’intégrale le long du cercle unité est $2\pi \neq 0$ : non exacte, donc aucune conjuguée globale n’existe — une conjuguée serait une détermination continue de l’argument, et le nombre de tours est exactement l’obstruction. Localement (sur tout sous-domaine étoilé), $v = \arg z$ marche et $u + \iu v = \log z$ : l’échec est global, non local.

18.7 Problème : le théorème de l’aire et le théorème du quart de Koebe

Problème 18.1

Problème de week-end — combien une application univalente doit-elle couvrir ?

Une fonction univalente est une injection holomorphe. Les fonctions univalentes normalisées sur le disque,

\mathcal S = \bigl\{f \in \mathcal H(\mathbb D) \text{ injective},\ f(z) = z + a_2z^2 + a_3z^3 + \cdots\bigr\},

sont rigidement contraintes : nous prouvons l’inégalité de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ et en déduisons le théorème du quart de Koebe : l’image de toute $f \in \mathcal S$ contient le disque $D(0, \frac14)$ — la constante universelle nette de la géométrie conforme.

Partie I — Le théorème de l’aire. Soit $g(w) = w + b_0 + \frac{b_1}w + \frac{b_2}{w^2} + \cdots$ holomorphe et injective sur $\{\abs w > 1\}$ .

Pour $\rho > 1$ , soit $A_\rho$ l’aire (mesure de Lebesgue) de l’ensemble compact $K_\rho = \C\setminus g(\{\abs w > \rho\})$ , la région encerclée par la courbe de Jordan lisse $g(C_\rho)$ . En utilisant la formule d’aire du théorème de Green–Riemann du volume de deuxième année — l’aire encerclée est $\frac1{2\iu} \oint\bar\zeta\,\dd\zeta$ le long du bord orienté positivement — montrer que

$A_\rho = \frac{1}{2\iu}\int_{C_\rho} \overline{g(w)}\,g'(w)\,\dd w = \pi\Bigl(\rho^2 - \sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2\rho^{-2n}\Bigr) :$

substituer la série de Laurent de $\bar g$ et $g'$ sur $C_\rho$ et intégrer terme à terme (convergence normale ; seuls les produits de fréquence nulle survivent).
Faire $\rho \to 1^+$ et conclure le théorème de l’aire :

$\sum_{n\geq1}n\,\abs{b_n}^2 \;\leq\; 1 .$

En particulier $\abs{b_1} \leq 1$ . Quand a-t-on $\abs{b_1} = 1$ ?

Partie II — Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ . Soit $f = z + a_2z^2 + \cdots \in \mathcal S$ .

Montrer que $f(z^2)/z^2$ est holomorphe et sans zéro sur $\mathbb D$ , et admet une racine carrée holomorphe $\varphi$ avec $\varphi(0) = 1$ ; poser $h(z) = z\varphi(z^2)$ , de sorte que $h(z)^2 = f(z^2)$ . Montrer que $h$ est une fonction univalente impaire sur $\mathbb D$ de développement $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + \cdots$ . (Injectivité : $h(z)^2 = h(z')^2$ force $z^2 = z'^2$ ; utiliser l’imparité pour finir.)
Appliquer le théorème de l’aire à $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}{2w} + \cdots$ sur $\{\abs w > 1\}$ (vérifier l’univalence et le développement), et conclure $\abs{a_2} \leq 2$ .
Montrer que la fonction de Koebe

$k(z) = \frac{z}{(1 - z)^2} = \sum_{n\geq1}n\,z^n$

appartient à $\mathcal S$ , a $a_2 = 2$ , et envoie $\mathbb D$ sur $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ (écrire $k = \frac14\bigl[\bigl(\frac{1+z}{1 - z}\bigr)^2 - 1\bigr]$ et suivre les images) : toutes les inégalités à venir sont nettes.

Partie III — Le théorème du quart.

Soit $f \in \mathcal S$ et $c \notin f(\mathbb D)$ . Montrer que

$F(z) = \frac{c\,f(z)}{c - f(z)}$

appartient à $\mathcal S$ , et calculer son second coefficient : $A_2 = a_2 + \frac1c$ .
Appliquer Bieberbach à $f$ et à $F$ : conclure $\abs{\frac1c} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ , c’est-à-dire $\abs c \geq \frac14$ . Toute valeur omise a un module $\geq \frac14$ : $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ — théorème du quart de Koebe. Vérifier la netteté sur la fonction de Koebe.
En déduire une estimation quantitative d’application de Riemann : si $\varphi \colon \Omega \to \mathbb D$ est l’application de Riemann du Théorème 18.9 en $z_0$ , alors

$\frac{d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)}{4} \;\leq\; \frac1{\varphi'(z_0)} \;\leq\; 4\,d\bigl(z_0, \partial\Omega\bigr)$

— prouver au moins l’inégalité de gauche en appliquant Koebe à $\varphi^{-1}$ convenablement normalisée, et celle de droite par Schwarz appliqué à $\varphi$ sur le disque $D(z_0, d) \subseteq \Omega$ .

Partie IV — Perspective.

Bieberbach a conjecturé (1916) $\abs{a_n} \leq n$ pour tout $n$ , avec égalité seulement pour les rotations de la fonction de Koebe ; de Branges l’a prouvé en 1985. Vérifier la conjecture à la main pour la fonction de Koebe et ses rotations $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z)$ . Puis pousser le développement de la question 4 d’un terme : en écrivant $h(z) = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ , montrer $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ et

$g(w) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots ,$

donc le théorème de l’aire donne l’inégalité affinée $\bigl|\frac{a_2}2\bigr|^2 + 3\bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\bigr|^2 \leq 1$ . Vérifier sur la fonction de Koebe ( $a_2 = 2$ , $a_3 = 3$ ).

Partie V — Le théorème de distorsion. L’inégalité de Bieberbach, transportée autour du disque par les automorphismes, contrôle $f'$ partout. Fixer $f \in \mathcal S$ .

(Transformée de Koebe) Pour $z_0 \in \mathbb D$ soit $\varphi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ , un automorphisme du disque (le Théorème 18.5) avec $\varphi(0) = z_0$ . Montrer que

$F(z) = \frac{f(\varphi(z)) - f(z_0)} {f'(z_0)\,\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)}$

appartient à $\mathcal S$ (l’univalence est héritée ; calculer $\varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2$ et vérifier la normalisation ; rappeler $f' \neq 0$ pour $f$ injective, la Définition 18.1).
Calculer le second coefficient $A_2 = \frac12F''(0)$ de $F$ :

$A_2 = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] ,$

et déduire de Bieberbach (question 4), pour $z = r\eu^{\iu\theta}$ , l’inégalité fondamentale :

$\Bigl|\,z\,\frac{f''(z)}{f'(z)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \;\leq\; \frac{4r}{1 - r^2} .$
Extraire la partie réelle :

$\frac{2r^2 - 4r}{1 - r^2} \;\leq\; \operatorname{Re}\Bigl(z\,\frac{f''(z)}{f'(z)}\Bigr) \;\leq\; \frac{2r^2 + 4r}{1 - r^2} .$
Montrer que $\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl| f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \frac1t \operatorname{Re}\bigl(z\frac{f''(z)}{f'(z)}\bigr)$ en $z = t\eu^{\iu\theta}$ (pour une fonction $\mathcal C^1$ non nulle $g$ d’une variable réelle, $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \operatorname{Re}(g'/g)$ ), et intégrer les bornes de la question 12 le long du rayon pour obtenir le théorème de distorsion :

$\frac{1 - r}{(1 + r)^3} \;\leq\; \abs{f'(z)} \;\leq\; \frac{1 + r}{(1 - r)^3}, \qquad \abs z = r .$
En déduire le théorème de croissance :

$\frac{r}{(1 + r)^2} \;\leq\; \abs{f(z)} \;\leq\; \frac{r}{(1 - r)^2}, \qquad \abs z = r$

(borne supérieure : intégrer $f'$ sur le segment $[0, z]$ ; borne inférieure : si $\abs{f(z)} < \frac14$ , le segment $[0, f(z)]$ est dans $f(\mathbb D)$ par la question 7 ; le ramener par $f^{-1}$ — holomorphe par le Corollaire 17.10 — et borner $\abs{f(z)} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)} \,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^r\frac{1 - t}{(1 + t)^3}\,\dd t$ , en utilisant $\abs{\dd\zeta} \geq \dd\abs\zeta$ ).
Vérifier que la fonction de Koebe réalise l’égalité dans les quatre bornes, en $z = r$ pour les supérieures et $z = -r$ pour les inférieures : $k$ est simultanément le membre le plus expansif et, à l’antipode, le plus contractant de $\mathcal S$ .

Partie VI — Rigidité extrémale. Dans chaque inégalité jusqu’ici, l’égalité identifie la fonction de Koebe à rotation près. Nous le prouvons, puis récoltons.

Supposer $f \in \mathcal S$ avec $\abs{a_2} = 2$ . Suivre l’égalité à travers les questions 2–4 : le théorème de l’aire force $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ ; l’imparité de $h$ rend $g$ impaire, donc $b_0 = 0$ ; inverser pour trouver $h$ , puis $f$ , et conclure que

$f(z) = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}z\bigr) \quad\text{avec } \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} :$

les rotations de la fonction de Koebe sont les seuls membres de $\mathcal S$ avec $\abs{a_2} = 2$ .
Montrer que si $f \in \mathcal S$ omet une valeur $c$ avec $\abs c = \frac14$ exactement, alors $f$ est une rotation de la fonction de Koebe, et identifier $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ (suivre l’égalité à travers la chaîne de la question 7 $4 = \abs{1/c} = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 4$ ) : la constante du théorème du quart n’est atteinte que par la famille extrémale.
(Coefficients à bon marché) Combiner le théorème de croissance avec les estimations de Cauchy (le Théorème 16.10) sur le cercle $\abs z = 1 - \frac1n$ pour prouver

$\abs{a_n} \;\leq\; \eu\,n^2 \qquad (n \geq 2) .$

(De Branges, 1985 : $\abs{a_n} \leq n$ ; le facteur $\eu n$ est le prix d’outils élémentaires.)
(Recouvrement de sous-disques) Montrer que pour tout $0 < r < 1$ ,

$f\bigl(D(0, r)\bigr) \supseteq D\Bigl(0, \frac{r}{(1 + r)^2}\Bigr),$

net pour la fonction de Koebe, et retrouver le théorème du quart comme $r \to 1^-$ . (Les points du bord de l’image ouverte $f(D(0,r))$ sont sur $f(\partial D(0,r))$ , d’où de module $\geq \frac{r}{(1+r)^2}$ par la question 14 ; un segment de $0$ à un point manqué de plus petit module devrait croiser ce bord.)
(Koebe en tout point) Soit $f$ univalente sur $\mathbb D$ , pas nécessairement normalisée, et $z_0 \in \mathbb D$ . Prouver

$\tfrac14\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)} \;\leq\; d\bigl(f(z_0), \partial f(\mathbb D)\bigr) \;\leq\; \bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\abs{f'(z_0)}$

(gauche : théorème du quart appliqué à la transformée de Koebe de la question 10 ; droite : Schwarz (le Théorème 18.4) appliqué à $\psi^{-1}\circ\hat g$ , où $\hat g(w) = f^{-1}\bigl(f(z_0) + dw\bigr)$ , $d$ la distance, et $\psi$ un automorphisme du disque envoyant $0$ en $z_0$ ). Pourquoi $\partial f(\mathbb D)$ est-il non vide ?
Vérifier la question 20 sur $f = k$ en $z_0 = r \in \intoo01$ : calculer $d\bigl(k(r), \partial k(\mathbb D)\bigr) = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2}$ et vérifier que l’inégalité de gauche est une égalité : la fonction de Koebe sature son propre théorème en tout point de $\intoo01$ .
(La morale) En dix lignes : quel principe unique sous-tend le théorème de l’aire, et comment Bieberbach, le théorème du quart, la distorsion, la croissance et le recouvrement en découlent tous ? Comparer avec le monde de Schwarz–Pick du Théorème 18.4 : dans les deux, une inégalité intérieure rigidifie toute la géométrie, et les extrémales sont uniques à rotation près.

Partie VII — Compacité, inverses, et un contrôle de réalité.

Montrer que la classe $\mathcal S$ est compacte pour la convergence localement uniforme : elle est localement bornée par le théorème de croissance, d’où normale (le Théorème 18.7) ; et une limite localement uniforme de membres de $\mathcal S$ est encore dans $\mathcal S$ (les normalisations passent à la limite par convergence de Weierstrass des dérivées ; l’injectivité survit par Hurwitz, l’Exercice 17.8, la limite étant non constante). Pourquoi cela importe-t-il pour les problèmes extrémaux comme celui de Bieberbach ?
Pour $f \in \mathcal S$ , soit $g = f^{-1}$ , définie près de $0$ . Montrer $g(w) = w - a_2w^2 + O(w^3)$ , donc le second coefficient de l’inverse obéit à la même borne nette $\abs{A_2} = \abs{a_2} \leq 2$ , avec égalité exactement pour les fonctions de Koebe tournées.
Déterminer pour quels $a \in \C$ le polynôme $f(z) = z + az^2$ appartient à $\mathcal S$ : montrer que $f$ est injective sur $\mathbb D$ ssi $\abs a \leq \frac12$ (factoriser $f(z_1) - f(z_2)$ ). Conclure : pour les polynômes de degré deux la vraie borne de coefficient est $\frac12$ , quatre fois plus petite que le $2$ de Bieberbach — les extrémales de $\mathcal S$ sont authentiquement des objets transcendants, et aucun polynôme ne s’en approche.

Solution

Solution de Problème 18.1.

1. $g$ est injective et holomorphe ; sur $C_\rho$ ( $\rho > 1$ ) elle est lisse, et l’aire encerclée est $\frac1{2\iu}\oint_{g(C_\rho)}\bar\zeta\,\dd\zeta$ (la formule d’aire de Green–Riemann de deuxième année, appliquée avec orientation positive). En substituant $\zeta = g(w)$ , $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ :

A_\rho = \frac1{2\iu}\int_{C_\rho}\overline{g(w)}\,g'(w)\dd w = \frac\rho2\int_0^{2\pi}\overline{g(\rho\eu^{\iu\theta})} \,g'(\rho\eu^{\iu\theta})\,\eu^{\iu\theta}\,\dd\theta .

Insérer $\bar g = \rho\eu^{-\iu\theta} + \bar b_0 + \sum_m\bar b_m\rho^{-m}\eu^{\iu m\theta}$ et $g' = 1 - \sum_nnb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta}$ : après multiplication par $\eu^{\iu\theta}$ , seuls les produits de fréquence nulle survivent à l’intégration en $\theta$ (la convergence normale justifie le travail terme à terme) : la paire $(\rho\eu^{-\iu\theta})\cdot1$ contribue $2\pi\rho$ , et chaque paire $\bar b_n\rho^{-n}\eu^{\iu n\theta}\cdot(-nb_n\rho^{-n-1}\eu^{-\iu(n+1)\theta})$ contribue $-2\pi n\abs{b_n}^2\rho^{-2n-1}$ :

A_\rho = \pi\rho^2 - \pi\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n}.

2. Les aires sont non négatives : $\sum_{n\leq N}n\abs{b_n}^2\rho^{-2n} \leq \rho^2$ pour tout $N$ ; faire $\rho \to 1^+$ puis $N \to \infty$ : $\sum_{n\geq1}n\abs{b_n}^2 \leq 1$ . L’égalité dans $\abs{b_1} \leq 1$ force tous les autres $b_n = 0$ : $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ , qui s’envoie sur le complémentaire d’un segment de longueur $4$ (application de type Joukowski) : les extrémales.

3. $f(z)/z = 1 + a_2z + \cdots$ est holomorphe et sans zéro sur $\mathbb D$ ( $f$ ne s’annule qu’en $0$ , simplement : injectivité), d’où aussi $f(z^2)/z^2$ , qui a une racine carrée holomorphe $\varphi$ avec $\varphi(0) = 1$ (la Définition 18.8 ; $\mathbb D$ est convexe). Alors $h(z) = z\varphi(z^2)$ satisfait $h^2 = f(z^2)$ , $h(z) = z\bigl(1 + \frac{a_2}2z^2 + \cdots\bigr)$ (série binomiale pour la racine), et $h(z) = z\varphi(z^2)$ est impaire par construction ( $\varphi(z^2)$ est paire). Injectivité : $h(z) = h(z')$ donne $f(z^2) = f(z'^2)$ , donc $z^2 = z'^2$ , c’est-à-dire $z' = \pm z$ ; si $z' = -z$ alors l’imparité donne $h(z) = -h(z)$ , donc $h(z) = 0$ , forçant $z = 0$ ( $\varphi$ sans zéro) : $z = z' = 0$ .

4. $g(w) = 1/h(1/w)$ : pour $\abs w > 1$ , $1/w \in \mathbb D\setminus\{0\}$ et $h \neq 0$ là : bien définie, injective (composition d’injections), avec développement

g(w) = \frac{1}{\frac1w\bigl(1 + \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\bigr)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}{2}\,w^{-1} + \cdots :

de la forme de la partie I avec $b_1 = -\frac{a_2}2$ . Le théorème de l’aire donne $\abs{\frac{a_2}2} \leq 1$ : $\abs{a_2} \leq 2$ .

5. $k(z) = \frac z{(1-z)^2} = z\sum_{m\geq0}(m + 1)z^m = \sum_{n\geq1}nz^n$ : coefficients $a_n = n$ , donc $a_2 = 2$ . Univalence et image : $k = \frac14\bigl[w^2 - 1\bigr]$ avec $w = \frac{1 + z}{1 - z}$ , application conforme de $\mathbb D$ sur le demi-plan droit ; $w^2$ envoie ce demi-plan conformément sur $\C\setminus\intoc{-\infty}0$ ; puis $\frac{\cdot - 1}4$ donne $\C\setminus\intoc{-\infty}{-\frac14}$ : injective à chaque étape, image comme annoncé.

6. $F = \frac{cf}{c - f}$ : comme $c \notin f(\mathbb D)$ , le dénominateur ne s’annule jamais : $F$ est holomorphe, et injective ( $w \mapsto \frac{cw}{c - w}$ est Möbius, injective hors de $w = c$ ). Développement : avec $f = z + a_2z^2 + \cdots$ ,

F = f\cdot\frac1{1 - f/c} = \bigl(z + a_2z^2\bigr)\Bigl(1 + \frac zc\Bigr) + O(z^3) = z + \Bigl(a_2 + \frac1c\Bigr)z^2 + O(z^3):

$F \in \mathcal S$ avec $A_2 = a_2 + \frac1c$ .

7. Bieberbach deux fois : $\abs{a_2} \leq 2$ et $\abs{a_2 + \frac1c} \leq 2$ , donc $\abs{\frac1c} \leq 4$ : $\abs c \geq \frac14$ . Toute valeur omise est hors de $D(0,\frac14)$ , c’est-à-dire $f(\mathbb D) \supseteq D(0, \frac14)$ . Netteté : la fonction de Koebe omet $-\frac14$ (question 5).

8. Soit $d = d(z_0, \partial\Omega)$ et $\psi = \varphi^{-1} \colon \mathbb D \to \Omega$ , $\psi(0) = z_0$ , $\psi'(0) = 1/\varphi'(z_0) > 0$ . La normalisation $\tilde f(z) = \frac{\psi(z) - z_0}{\psi'(0)}$ est dans $\mathcal S$ , donc son image contient $D(0, \frac14)$ ; en re-échelonnant, $\Omega = \psi(\mathbb D) \supseteq D\bigl(z_0, \tfrac{\psi'(0)}4\bigr)$ , donc $d \geq \frac{\psi'(0)}4 = \frac1{4\varphi'(z_0)}$ : l’inégalité de gauche. Pour la droite : $\varphi\circ(z_0 + d\,\cdot)$ envoie $\mathbb D$ dans $\mathbb D$ avec $0 \mapsto 0$ ; Schwarz borne sa dérivée en $0$ : $d\,\varphi'(z_0) \leq 1$ , c’est-à-dire $\frac1{\varphi'(z_0)} \geq d$ — ensemble

d \leq \frac1{\varphi'(z_0)} \leq 4d .

(L’inégalité de gauche comme affichée dans l’énoncé est la même chaîne réarrangée.)

9. Pour la fonction de Koebe $a_n = n$ : égalité dans toute la conjecture ; ses rotations $\eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}z) = \sum n\eu^{\iu(n-1)\theta}z^n$ ont aussi $\abs{a_n} = n$ . En poussant la question 4 : $h = z + \frac{a_2}2z^3 + c_5z^5 + \cdots$ avec $h^2 = f(z^2)$ ; en comparant les coefficients de $z^6$ : $2c_5 + \frac{a_2^2}4 = a_3$ , donc $c_5 = \frac{a_3}2 - \frac{a_2^2}8$ . Alors

g(w) = \frac1{h(1/w)} = w\Bigl(1 - \frac{a_2}{2w^2} + \Bigl(\frac{a_2^2}4 - c_5\Bigr)\frac1{w^4} + \cdots\Bigr) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \Bigl(\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr)w^{-3} + \cdots,

et le théorème de l’aire ( $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ ) donne

\Bigl|\frac{a_2}2\Bigr|^2 + 3\,\Bigl|\frac{3a_2^2}8 - \frac{a_3}2\Bigr|^2 \leq 1 .

Contrôle Koebe ( $a_2 = 2$ , $a_3 = 3$ ) : $\abs{\frac{a_2}2}^2 = 1$ et $\frac{3\cdot4}8 - \frac32 = 0$ : total exactement $1$ — extrémale, comme il se doit.

10. $\varphi$ est un automorphisme du disque avec $\varphi(0) = z_0$ , donc $f\circ\varphi$ est univalente sur $\mathbb D$ (composition d’injections), et $f'(z_0) \neq 0$ (la Définition 18.1) : $F$ est bien définie et univalente. $F(0) = 0$ . Règle du quotient :

\varphi'(z) = \frac{(1 + \bar z_0z) - (z + z_0)\bar z_0} {(1 + \bar z_0z)^2} = \frac{1 - \abs{z_0}^2}{(1 + \bar z_0z)^2}, \qquad \varphi'(0) = 1 - \abs{z_0}^2 ,

donc $(f\circ\varphi)'(0) = f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)$ et $F'(0) = 1$ : $F \in \mathcal S$ .

11. Avec $G = f\circ\varphi$ : $G'' = f''(\varphi)\,\varphi'^2 + f'(\varphi)\,\varphi''$ , et $\varphi''(z) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)(1 + \bar z_0z)^{-3}$ donne $\varphi''(0) = -2\bar z_0(1 - \abs{z_0}^2)$ . D’où

A_2 = \frac{G''(0)}{2f'(z_0)(1 - \abs{z_0}^2)} = \frac12\Bigl[\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr) \frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\Bigr] .

Bieberbach pour $F$ (question 4) : $\abs{A_2} \leq 2$ , c’est-à-dire $\bigl|(1 - \abs{z_0}^2)\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - 2\bar z_0\bigr| \leq 4$ . Multiplier par $z_0/(1 - \abs{z_0}^2)$ , de module $r/(1 - r^2)$ pour $z_0 = r\eu^{\iu\theta}$ , et utiliser $z_0\bar z_0 = r^2$ :

\Bigl|\,z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)} - \frac{2r^2}{1 - r^2}\Bigr| \leq \frac{4r}{1 - r^2} .

12. Un nombre complexe à distance $\rho$ du point réel $c$ a une partie réelle dans $\intcc{c - \rho}{c + \rho}$ : appliquer à $c = \frac{2r^2}{1-r^2}$ , $\rho = \frac{4r}{1-r^2}$ .

13. Pour $g$ $\mathcal C^1$ non nulle : $\log\abs g = \frac12\log(g\bar g)$ , donc $\frac{\dd}{\dd t}\log\abs g = \frac{g'\bar g + g\bar g'}{2\abs g^2} = \operatorname{Re}\frac{g'}g$ . Avec $g(t) = f'(t\eu^{\iu\theta})$ (sans zéro : univalence), $g'(t) = \eu^{\iu\theta}f''(t\eu^{\iu\theta})$ , donc en $z = t\eu^{\iu\theta}$ :

\frac{\dd}{\dd t}\log\bigl|f'(t\eu^{\iu\theta})\bigr| = \operatorname{Re}\Bigl(\eu^{\iu\theta} \frac{f''}{f'}\Bigr) = \frac1t\operatorname{Re}\Bigl(z\frac{f''}{f'}\Bigr) \in \Bigl[\frac{2t - 4}{1 - t^2},\ \frac{2t + 4}{1 - t^2}\Bigr]

par la question 12 au rayon $t$ . Comme $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1+t}{(1-t)^3} = \frac1{1+t} + \frac3{1-t} = \frac{2t+4}{1-t^2}$ et $\frac{\dd}{\dd t}\log\frac{1-t}{(1+t)^3} = \frac{-1}{1-t} - \frac3{1+t} = \frac{2t-4}{1-t^2}$ , en intégrant de $0$ à $r$ (les trois fonctions s’annulent en $t = 0$ , $f'(0) = 1$ ) on obtient

\log\frac{1-r}{(1+r)^3} \leq \log\abs{f'(z)} \leq \log\frac{1+r}{(1-r)^3} :

le théorème de distorsion, après exponentiation.

14. Supérieure : le long du segment $[0, z]$ ,

\abs{f(z)} = \Bigl|\int_0^rf'(t\eu^{\iu\theta}) \eu^{\iu\theta}\dd t\Bigr| \leq \int_0^r\frac{1+t}{(1-t)^3}\dd t = \frac{r}{(1-r)^2}

( $\frac{\dd}{\dd t}\frac t{(1-t)^2} = \frac{1+t}{(1-t)^3}$ ). Inférieure : noter $\frac r{(1+r)^2} < \frac14$ pour $r < 1$ (cela dit $(1-r)^2 > 0$ ), donc si $\abs{f(z)} \geq \frac14$ il n’y a rien à prouver. Sinon le segment $[0, f(z)]$ est dans $D(0, \frac14) \subseteq f(\mathbb D)$ (question 7), et $\gamma = f^{-1}\circ[0, f(z)]$ est un chemin $\mathcal C^1$ de $0$ à $z$ dans $\mathbb D$ ( $f^{-1}$ holomorphe, le Corollaire 17.10). En substituant $w = f(\zeta)$ ,

\abs{f(z)} = \int_{[0,f(z)]}\abs{\dd w} = \int_\gamma\abs{f'(\zeta)}\,\abs{\dd\zeta} \geq \int_0^1\frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3} \,\abs{\gamma'(s)}\,\dd s

avec $\rho = \abs\gamma$ , en utilisant la borne inférieure de distorsion au rayon $\rho(s)$ . Comme $\abs{\gamma'} \geq \rho'$ (là où c’est défini ; $\rho$ est lipschitzienne) et le facteur d’intégrande est positif,

\abs{f(z)} \geq \int_0^1 \frac{1 - \rho(s)}{(1 + \rho(s))^3}\,\rho'(s)\,\dd s = \int_0^{r}\frac{1 - u}{(1 + u)^3}\,\dd u = \frac{r}{(1 + r)^2}

( $\rho(0) = 0$ , $\rho(1) = r$ ; la substitution n’utilise qu’une primitive, $\frac{\dd}{\dd u}\frac u{(1+u)^2} = \frac{1-u}{(1+u)^3}$ , non la monotonie).

15. $k'(z) = \frac{\dd}{\dd z}\,z(1 - z)^{-2} = \frac{1 + z}{(1 - z)^3}$ . En $z = r$ : $k'(r) = \frac{1+r}{(1-r)^3}$ et $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ — les deux bornes supérieures atteintes. En $z = -r$ : $k'(-r) = \frac{1-r}{(1+r)^3}$ et $\abs{k(-r)} = \frac r{(1+r)^2}$ — les deux bornes inférieures atteintes. La fonction de Koebe étire son axe positif maximalement vers le bord lointain et comprime le rayon antipodal maximalement vers la pointe de sa fente.

16. $\abs{a_2} = 2$ signifie $\abs{b_1} = 1$ pour $g(w) = 1/h(1/w) = w - \frac{a_2}2w^{-1} + \cdots$ (question 4) ; le théorème de l’aire $\sum n\abs{b_n}^2 \leq 1$ tue alors tout autre coefficient : $g(w) = w + b_0 + \eu^{\iu\alpha}/w$ avec $\eu^{\iu\alpha} = -\frac{a_2}2$ . Comme $h$ est impaire, $g(-w) = 1/h(-1/w) = -1/h(1/w) = -g(w)$ : $g$ est impaire, donc $b_0 = 0$ . En invertissant, $h(z) = 1/g(1/z) = \frac{z}{1 + \eu^{\iu\alpha}z^2}$ , et $f(z^2) = h(z)^2$ donne

f(w) = \frac{w}{(1 + \eu^{\iu\alpha}w)^2} = \frac{w}{(1 - \eu^{\iu\theta}w)^2} = \eu^{-\iu\theta}k\bigl(\eu^{\iu\theta}w\bigr), \qquad \eu^{\iu\theta} = -\eu^{\iu\alpha} .

Réciproquement chaque rotation a $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ de module $2$ : les extrémales de Bieberbach sont exactement les fonctions de Koebe tournées.

17. Si $c$ est omise avec $\abs c = \frac14$ : la question 6 donne $F \in \mathcal S$ avec $A_2 = a_2 + \frac1c$ , donc $\frac1c = A_2 - a_2$ et

4 = \Bigl|\frac1c\Bigr| = \abs{A_2 - a_2} \leq \abs{A_2} + \abs{a_2} \leq 2 + 2 = 4 :

égalité partout, en particulier $\abs{a_2} = 2$ . Par la question 16, $f = \eu^{-\iu\theta}k(\eu^{\iu\theta}\cdot)$ , dont l’ensemble omis est $\eu^{-\iu\theta} \intoc{-\infty}{-\frac14}$ : l’unique valeur omise de module $\frac14$ est $c = -\eu^{-\iu\theta}/4$ . (Contrôle : $a_2 = 2\eu^{\iu\theta}$ et $\frac1c = -4\eu^{\iu\theta}$ , donc $A_2 = -2\eu^{\iu\theta} = -a_2$ : l’inégalité triangulaire est saturée par anti-alignement, comme il se doit.)

18. Les estimations de Cauchy sur le cercle $\abs z = r$ (le Théorème 16.10), combinées au théorème de croissance, donnent

\abs{a_n} \leq r^{-n}\sup_{\abs z = r}\abs f \leq r^{1-n}\,(1 - r)^{-2} .

Choisir $r = 1 - \frac1n$ ( $n \geq 2$ ) : $r^{1-n} = \bigl(1 + \frac1{n-1}\bigr)^{n-1} < \eu$ (suite croissante de limite $\eu$ ) et $(1 - r)^{-2} = n^2$ : $\abs{a_n} < \eu\,n^2$ .

19. $U = f(D(0, r))$ est ouvert (le Corollaire 17.10) et contient $0$ . Bord : si $p \in \partial U$ , écrire $p = \lim f(z_k)$ avec $z_k \in D(0, r)$ ; une sous-suite donne $z_k \to z_\infty \in \bar D(0, r)$ , et $f(z_\infty) = p \notin U$ force $z_\infty \in \partial D(0, r)$ : $\partial U \subseteq f(\partial D(0, r))$ , donc tout point du bord de $U$ a un module $\geq \frac r{(1+r)^2}$ (question 14). Soit maintenant $\abs w < \frac r{(1+r)^2}$ et supposons $w \notin U$ . Le segment $[0, w]$ est connexe, rencontre $U$ (en $0$ ) et son complémentaire (en $w$ ), donc rencontre $\partial U$ ; mais tous ses points ont un module $\leq \abs w < \frac r{(1+r)^2}$ : contradiction. D’où $D\bigl(0, \frac r{(1+r)^2}\bigr) \subseteq U$ . Netteté : $k(-r) = -\frac r{(1+r)^2}$ est l’image d’un point du bord de $D(0,r)$ , et $k$ est injective, donc $k(-r) \notin k(D(0, r))$ : le rayon ne peut être augmenté. Comme $r \to 1^-$ , $\frac r{(1+r)^2} \to \frac14$ : le théorème du quart pour le disque entier.

20. D’abord, $\partial f(\mathbb D) \neq \varnothing$ : sinon $f(\mathbb D)$ , ouvert, fermé, non vide, serait tout $\C$ , et $f^{-1} \colon \C \to \mathbb D$ serait une fonction entière bornée non constante, contre le Corollaire 16.12. Inégalité de gauche : la transformée de Koebe $F$ de la question 10 est dans $\mathcal S$ et $F(\mathbb D) = \frac{f(\mathbb D) - f(z_0)}{f'(z_0)(1-\abs{z_0}^2)}$ ; par la question 7 elle contient $D(0, \frac14)$ , donc

f(\mathbb D) \supseteq f(z_0) + D\Bigl(0,\ \tfrac14\abs{f'(z_0)}\bigl(1 - \abs{z_0}^2\bigr)\Bigr) ,

et tout point de $\partial f(\mathbb D)$ — disjoint de l’ouvert $f(\mathbb D)$ — est à distance $\geq \frac14(1-\abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ de $f(z_0)$ . Inégalité de droite : soit $d = d(f(z_0), \partial f(\mathbb D)) < \infty$ . Le disque $D(f(z_0), d)$ est dans $f(\mathbb D)$ : un segment de $f(z_0)$ à l’un de ses points reste à distance $< d$ de $f(z_0)$ , donc ne rencontre jamais $\partial f(\mathbb D)$ , et l’argument de connexité de la question 19 le garde dans $f(\mathbb D)$ . Alors $\hat g(w) = f^{-1}(f(z_0) + dw)$ envoie $\mathbb D$ dans $\mathbb D$ avec $\hat g(0) = z_0$ , et $\chi = \psi^{-1}\circ\hat g$ , avec $\psi(z) = \frac{z + z_0}{1 + \bar z_0z}$ , fixe $0$ : Schwarz (le Théorème 18.4) donne $\abs{\chi'(0)} \leq 1$ . Comme $\chi'(0) = \frac{\hat g'(0)}{\psi'(0)} = \frac{d}{f'(z_0)\,(1 - \abs{z_0}^2)}$ , cela est $d \leq (1 - \abs{z_0}^2)\abs{f'(z_0)}$ .

21. $k(\mathbb D) = \C\setminus \intoc{-\infty}{-\frac14}$ , donc $\partial k(\mathbb D) = \intoc{-\infty}{-\frac14}$ , et pour le point réel positif $k(r) = \frac r{(1-r)^2}$ le point du bord le plus proche est $-\frac14$ :

d = k(r) + \frac14 = \frac{4r + (1-r)^2}{4(1-r)^2} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} .

Membre de gauche de la question 20 : $\frac14(1 - r^2)k'(r) = \frac14\,\frac{(1-r^2)(1+r)}{(1-r)^3} = \frac{(1+r)^2}{4(1-r)^2} = d$ : égalité. (Le membre de droite égale $4d$ : le facteur $4$ sépare les deux côtés, et la fonction de Koebe siège exactement au bas.)

22. Le principe unique est Parseval : l’univalence interdit le chevauchement, donc l’aire du complémentaire de l’image de $\{\abs w > \rho\}$ , développée en modes de Fourier sur les cercles, est non négative — le théorème de l’aire est une identité $L^2$ avec un signe. Tout le reste est cette inégalité transportée : une racine carrée (question 3) la transforme en $\abs{a_2} \leq 2$ ; une réflexion de Möbius hors d’une valeur omise (question 6) transforme $\abs{a_2} \leq 2$ en le théorème du quart ; les automorphismes du disque (question 10) étendent $\abs{a_2} \leq 2$ sur tout le disque comme théorème de distorsion ; l’intégration radiale convertit la distorsion en croissance, et la croissance en recouvrement. À chaque étape le cas d’égalité se propage aussi, atterrissant toujours sur les fonctions de Koebe tournées — une famille extrémale pour toute la théorie, tout comme les rotations sont les uniques extrémales du lemme de Schwarz. Une inégalité intérieure, plus la rigidité de son cas d’égalité, gouverne toute la géométrie : la représentation conforme est l’art d’exploiter de telles inégalités.

23. Le théorème de croissance borne $\abs f \leq \frac{r}{(1-r)^2}$ uniformément sur chaque $\bar D(0, r)$ , $r < 1$ , pour toutes les $f \in \mathcal S$ à la fois : localement bornée, donc $\mathcal S$ est une famille normale (le Théorème 18.7). Si $f_n \in \mathcal S \to f$ localement uniformément : $f$ est holomorphe avec $f_n' \to f'$ localement uniformément (Weierstrass), donc $f(0) = 0$ , $f'(0) = 1$ — en particulier $f$ non constante — et Hurwitz (l’Exercice 17.8) rend la limite d’applications injectives injective : $f \in \mathcal S$ . Une fonctionnelle continue (telle que $f \mapsto \abs{a_2} = \frac{\abs{f''(0)}}2$ ) sur une classe compacte atteint son supremum : des fonctions extrémales existent avant qu’on sache ce qu’elles sont — le point de départ de toute attaque variationnelle sur les problèmes de coefficients, y compris Bieberbach.

24. Écrire $g(w) = w + A_2w^2 + O(w^3)$ et composer :

z = g(f(z)) = f(z) + A_2f(z)^2 + O(z^3) = z + (a_2 + A_2)z^2 + O(z^3),

donc $A_2 = -a_2$ et $\abs{A_2} \leq 2$ (Bieberbach), avec égalité ssi $\abs{a_2} = 2$ , c’est-à-dire ssi $f$ est une fonction de Koebe tournée (question 16) — et alors $g$ est l’inverse correspondant, définie sur le plan fendu.

25. $f(z_1) - f(z_2) = (z_1 - z_2)\bigl(1 + a(z_1 + z_2)\bigr)$ . Si $\abs a \leq \frac12$ : pour $z_1 \neq z_2$ dans $\mathbb D$ , $\abs{a(z_1 + z_2)} < 2\abs a \leq 1$ (strict : $\abs{z_1 + z_2} < 2$ ), donc le second facteur ne peut s’annuler : injective, et $f \in \mathcal S$ (les normalisations sont intégrées). Si $\abs a > \frac12$ : le point $s = -\frac1a$ a $\abs s < 2$ , donc $z_{1,2} = \frac s2 \pm \varepsilon$ sont dans $\mathbb D$ pour $\varepsilon > 0$ petit, sont distincts, et $z_1 + z_2 = s$ tue le facteur : $f(z_1) = f(z_2)$ , non injective. Donc $\mathcal S$ contient $z + az^2$ exactement pour $\abs a \leq \frac12$ . La borne de Bieberbach $\abs{a_2} \leq 2$ est ainsi sauvagement non saturée par les polynômes de degré $2$ — les coefficients $a_n = n$ de la fonction de Koebe viennent d’une série infinie conspirant le long du rayon omis, un comportement qu’aucun polynôme (qui n’appartient à $\mathcal S$ qu’avec de minuscules coefficients) ne peut imiter.