Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

14Séries de Fourier

Tout signal périodique peut-il être reconstruit à partir de purs sinus et cosinus ? Le « oui » audacieux de Fourier a engendré un siècle d’analyse. Ce chapitre démontre les deux piliers à portée de la MP* : le théorème de Dirichlet (reconstruction ponctuelle des fonctions $C^1$ par morceaux, via le noyau de Dirichlet) et l’identité de Parseval (l’énergie d’un signal est la somme des énergies de ses harmoniques), et récolte les séries numériques classiques — la somme de Bâle $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ en tête.

Dans tout le chapitre, les fonctions sont $2\pi$ -périodiques, continues par morceaux, à valeurs complexes ; $\mathcal{C}$ désigne les fonctions continues.

14.1 Coefficients de Fourier

Définition 14.1

Les coefficients de Fourier de $f$ sont

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

et les coefficients sous forme réelle $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , de sorte que les sommes partielles de Fourier sont

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

Sur $\mathcal{C}$ , on définit le produit scalaire hermitien $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : les exponentielles $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ sont orthonormées ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , calcul direct), et $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : l’analyse de Fourier est de la géométrie hermitienne (Chapitre 13) en dimension infinie.

Proposition 14.2 (Inégalité de Bessel)

$S_N(f)$ est la projection orthogonale de $f$ sur l’espace $\mathcal{T}_N$ des polynômes trigonométriques de degré $\leq N$ , et

\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :

la série $\sum \abs{c_n}^2$ converge, et $c_n(f) \to 0$ quand $\abs n \to \infty$ (Riemann–Lebesgue pour les coefficients).

Démonstration. $f - S_N(f)$ est orthogonal à chaque $e_k$ , $\abs k \leq N$ ( $\langle e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$ ) : $S_Nf$ est la projection orthogonale sur $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)$ (le théorème de projection du volume de Licence 1, mot pour mot dans le cadre hermitien). Pythagore : $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$ ; on fait $N \to \infty$ . ∎

Exemple 14.3 (Meilleure approximation, mesurée)

Dans quelle mesure les polynômes trigonométriques de bas degré approchent-ils la dent de scie $f(t) = t$ (sur $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) en moyenne quadratique ? D’après la Proposition 14.2, la meilleure approximation de degré $N$ est $S_N(f)$ , avec pour erreur quadratique

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

Ici $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , et à partir de $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (Exemple 14.12) : $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . Donc

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{~: numériquement } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

pour $N = 1, 2, 3, 4$ — décroissante, mais lentement : le reste $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ est gouverné par la lente décroissance en $\frac1n$ des coefficients, elle-même la signature du saut (Exercice 14.6 lu à l’envers). Éclairage final : Parseval transforme la qualité d’approximation en un reste de série numérique — et prédit, avant tout dessin, que les sauts font converger les séries de Fourier à contrecœur.

Méthode 14.4 (Calculer efficacement les coefficients de Fourier)

Avant d’intégrer quoi que ce soit :

Parité : une fonction $f$ paire a $b_n = 0$ , une fonction $f$ impaire a $a_n = 0$ , et les intégrales survivantes se ramènent à $\frac2\pi \int_0^\pi$ — moitié moins de travail, deux fois plus de fiabilité.
Les polynômes trigonométriques sont déjà faits : linéariser les produits ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) et lire directement les coefficients (Exercice 14.9) ; l’orthonormalité rend toute intégration supplémentaire redondante.
Exponentielles complexes pour les exponentielles : pour des facteurs $\eu^{at}$ ou des oscillations amorties, calculer $c_n$ directement — une intégrale de $\eu^{(a - \iu n)t}$ vaut mieux que deux intégrations par parties (Exercice 14.10).
Dériver un développement connu : si $f'$ a des coefficients connus et $f$ est continue, $c_n(f) = \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) récupère tout sauf $c_0$ , qui est la moyenne — souvent la voie la plus rapide, et légitime exactement sous les hypothèses du Théorème 14.10 (1).

14.2 Théorème de Dirichlet

Lemme 14.5 (Noyau de Dirichlet)

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd u$ , où

D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu} = \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} \quad (u \notin 2\pi\Z), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .

Démonstration. On insère la définition de $c_n$ dans $S_N$ et on échange somme et intégrale (légitime : la somme est finie) :

S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;

on substitue $u = t - x$ et on ramène le segment d’intégration à $\intcc{-\pi}{\pi}$ à l’aide de la $2\pi$ -périodicité de l’intégrande ; la symétrie de la plage d’indices donne $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$ . La forme fermée : somme géométrique de raison $\eu^{\iu u}$ ,

D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} - 1} = \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}} {\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,

qui est le quotient de sinus. Sa moyenne vaut $1$ : seul $n = 0$ contribue. ∎

Théorème 14.6 (Lemme de Riemann–Lebesgue)

Pour $g$ continue par morceaux sur un segment, $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ quand $\lambda \to +\infty$ .

Démonstration. On approche $g$ uniformément par des fonctions en escalier (Théorème 10.16 n’est pas nécessaire — l’approche élémentaire par fonctions en escalier des fonctions continues par morceaux suffit) et on intègre chaque marche explicitement : chaque morceau contribue pour $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$ , et l’erreur d’approximation contribue pour $\varepsilon(b - a)$ . Cet argument a été mené en détail dans le tout dernier exercice du chapitre d’intégration du volume de Licence 1 ; pour des morceaux $C^1$ on peut aussi intégrer par parties et majorer par $\frac C\lambda$ . ∎

Exemple 14.7 (À quelle vitesse les coefficients meurent-ils ?)

Riemann–Lebesgue dit que les coefficients tendent vers $0$ ; leur vitesse est un instrument de mesure de la régularité. Trois spécimens de ce chapitre et de ses exercices :

\text{signal carré~: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{impair}), \qquad \abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{impair}), \qquad \abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .

Un saut de $f$ (signal carré, dent de scie) laisse des coefficients d’ordre $\frac1n$ : pas de convergence normale, dépassement de Gibbs aux sauts. La continuité avec un point anguleux — un saut de $f'$ seulement — améliore l’ordre à $\frac{1}{n^2}$ : convergence normale, reconstruction uniforme. En général $k$ dérivées achètent $c_n = O(n^{-k})$ (Exercice 14.6), et réciproquement un spectre décroissant plus vite que toute puissance force $f$ à être $C^\infty$ (on dérive terme à terme, maintenant légitimement). Éclairage final : la régularité du signal et la décroissance du spectre sont la même information — un ingénieur lit l’une sur la pente de l’autre sans jamais tracer la fonction.

Théorème 14.8 (Dirichlet)

Soit $f$ une fonction $2\pi$ -périodique et $C^1$ par morceaux. Alors pour tout $x$ ,

S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

(la moyenne des limites unilatérales) — en particulier $S_N(f)(x) \to f(x)$ en tout point de continuité.

Démonstration. Par le lemme du noyau et sa moyenne unité, en scindant l’intégrale en les deux moitiés $u > 0$ et $u < 0$ (chacune de moyenne $\frac12$ ) :

\begin{align*} S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\ &\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u . \end{align*}

Traitons la première (la seconde est symétrique). Écrivons

\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u) = \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\, \sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .

La fonction $g$ est continue par morceaux sur $\intoc{0}{\pi}$ et a une limite finie en $0^+$ : en écrivant

g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,

le premier facteur tend vers $f'(x^+)$ (dérivabilité à droite, conséquence du caractère $C^1$ par morceaux) et le second vers $2$ (la limite classique $\frac{\sin v}{v} \to 1$ en $v = \frac u2$ ) : $g(0^+) = 2f'(x^+)$ existe. Donc $g$ se prolonge de manière continue par morceaux à $\intcc{0}{\pi}$ , et Riemann–Lebesgue (Théorème 14.6) envoie l’intégrale vers $0$ . C’est là tout l’enjeu de l’hypothèse : sans dérivées unilatérales, le facteur $\frac{1}{\sin(u/2)}$ explose en $0$ plus vite que Riemann–Lebesgue ne peut compenser, et la convergence simple peut réellement échouer pour une fonction $f$ seulement continue — la brèche que le théorème de Fejér (devoir) comble par moyennisation. ∎

Exemple 14.9 (Dirichlet en un saut)

Pour la dent de scie $f(t) = t$ sur $\intoo{-\pi}{\pi}$ (Exemple 14.12 ci-dessous), le prolongement périodique saute en $t = \pi$ de $f(\pi^-) = \pi$ à $f(\pi^+) = -\pi$ . Dirichlet promet la valeur $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ là, et en effet chaque terme de $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ s’annule en $t = \pi$ : la série converge poliment vers le milieu, ignorant les deux valeurs unilatérales. En déplaçant le point d’évaluation en $t = \frac\pi2$ (un point de continuité), la même série devient le $\frac\pi4$ de Leibniz. Une série, deux comportements — exactement les deux clauses du théorème.

Théorème 14.10 (Convergence normale pour $C^1$ ; Parseval)

Si $f$ est continue, $2\pi$ -périodique et $C^1$ par morceaux, alors $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , la série de Fourier de $f$ converge normalement sur $\R$ , et sa somme est $f$ .
(Parseval) Pour toute fonction $f$ $2\pi$ -périodique continue par morceaux :

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2 = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$

(Démontré ici pour $f$ continue et $C^1$ par morceaux ; admis en général.)

Démonstration. (1) Intégration par parties sur chaque morceau $C^1$ (les termes de bord se compensent par continuité et périodicité) : $c_n(f') = \iu n c_n(f)$ . Puis, par Cauchy–Schwarz sur les deux familles de carré sommable (Proposition 14.2 pour $f'$ ) :

\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0} \frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :

convergence normale de la série de Fourier. Sa somme est continue et coïncide avec $f$ en tout point d’après Dirichlet (Théorème 14.8 : $f$ est continue) : la série converge vers $f$ , uniformément.

(2) Pour une telle $f$ : $S_N f \to f$ uniformément, donc $\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$ , et Pythagore ( $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ ) passe à la limite. La forme réelle est de la comptabilité avec $a_n, b_n$ . ∎

Exemple 14.11 (La majoration du reste $C^1$ , rendue quantitative)

La démonstration du Théorème 14.10 (1) cache une estimation utilisable. Pour $f$ continue et $C^1$ par morceaux, le même Cauchy–Schwarz appliqué au seul reste donne

\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)} = \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2} \Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,

en utilisant Bessel pour $f'$ et $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$ . Ainsi l’erreur uniforme des sommes partielles obéit à

\norm{f - S_Nf}_\infty \leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .

Pour $f(t) = \abs t$ : $\norm{f'}_2 = 1$ (la dérivée est $\pm1$ ), donc dix termes reconstruisent déjà $\abs t$ uniformément à $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ près, et $N = 10^4$ à $0.015$ près. Éclairage final : une dérivée achète la vitesse uniforme en $\frac{1}{\sqrt N}$ ; en comparant avec le monde en $\frac1n$ des coefficients du signal carré (aucune convergence uniforme), le dictionnaire de l’Exemple 14.7 se dote de nombres.

Exemple 14.12 (Bâle et compagnie)

Soit $f(t) = t$ sur $\intoo{-\pi}{\pi}$ , prolongée de manière $2\pi$ -périodique (une dent de scie, $C^1$ par morceaux). En calculant, $a_n = 0$ (imparité) et

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .

Dirichlet en $t = \frac\pi2$ redonne le $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$ de Leibniz ; Parseval donne

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

— la somme de Bâle d’Euler, en deux lignes. La fonction $f(t) = t^2$ donne de même $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ (Exercice 14.3).

Exemple 14.13 (Un développement complet avec vérification intégrée : $\abs{\sin t}$ )

La fonction $f(t) = \abs{\sin t}$ est continue, paire, $\pi$ -périodique (donc $2\pi$ -périodique), $C^1$ par morceaux. La parité tue les $b_n$ ; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$ ; et pour $n \geq 1$ , la transformation produit-somme donne

a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t + \sin(1-n)t\bigr)\dd t = \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}

pour $n \neq 1$ (et $a_1 = 0$ directement) : nul pour $n$ impair, et $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$ . D’après le Théorème 14.10 (1) la convergence est normale, et

\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1} \qquad (t \in \R) .

Vérification intégrée en $t = 0$ : l’identité exige $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$ , ce que le télescopage confirme :

\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark

Éclairage final : le spectre de $\abs{\sin}$ ne vit que sur les fréquences paires — redresser un sinus double son contenu fréquentiel, ce qui explique pourquoi les redresseurs pleine onde bourdonnent à $100$ ou $120$ hertz, le double de la fréquence du secteur.

Exemple 14.14 (Parseval comme machine à calculer)

Parseval transforme les développements en séries numériques en gros. Appliquons-le à $f(t) = \abs t$ (Exercice 14.2 : $a_0 = \pi$ , $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ pour $n$ impair, le reste nul) :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ impair}} a_n^2 = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ impair}}\frac{1}{n^4} ,

d’où

\sum_{n\text{ impair}}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .

Recoupement avec l’Exercice 14.3 : en scindant $\sum\frac1{n^4}$ en parties impaire et paire on obtient la comptabilité à la $\zeta$ $S = S_{\mathrm{impair}} + \frac{S}{16}$ , donc $S = \frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ — exactement la valeur trouvée là-bas par une autre fonction. Deux développements, un nombre : la cohérence, c’est l’isométrie de Parseval à l’œuvre. Éclairage final : chaque nouveau développement de Fourier est une machine à engendrer des identités de séries ; la Partie II du devoir explique pourquoi la machine ne peut jamais se contredire.

Le signal carré (gris) et les sommes partielles de Fourier S_1 (bleu) et S_9 (rouge) : convergence en tout point de continuité, mais un dépassement persistant de 9\% près des sauts — le phénomène de Gibbs. La convergence uniforme échoue précisément parce que la limite est discontinue. — Le signal carré (gris) et les sommes partielles de Fourier $S_1$ (bleu) et $S_9$ (rouge) : convergence en tout point de continuité, mais un dépassement persistant de $\sim 9\%$ près des sauts — le *phénomène de Gibbs*. La convergence uniforme échoue précisément parce que la limite est discontinue.

Exemple 14.15 (Translation et modulation)

Deux règles d’une ligne engendrent de nombreux développements à partir d’un seul. Pour $a \in \R$ , en substituant $s = t - a$ :

c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t = \eu^{-\iu na}\,c_n(f) \qquad\text{(la translation module le spectre)},

et directement à partir de la définition,

c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f) \qquad\text{(la modulation translate le spectre)}.

Instance travaillée : la dent de scie décalée de $\pi$ , $g(t) = f(t - \pi)$ avec $f(t) = t$ , a pour coefficients $b_n$ $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$ : le développement $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ de la dent de scie qui saute en $0$ au lieu de $\pi$ — aucune intégrale recalculée. Éclairage final : les décalages temporels ne font que tourner les phases, jamais les amplitudes ( $\abs{c_n}$ est invariant par décalage), ce qui explique pourquoi l’énergie (Parseval) et la classe de convergence sont des propriétés de la forme du signal, et non de l’endroit où l’horloge démarre.

Remarque 14.16 (Pièges classiques)

(i) Trois convergences, trois monnaies : simple (Dirichlet : demande $C^1$ par morceaux, paie le milieu à chaque saut — jamais la valeur unilatérale), uniforme (demande une limite continue ; impossible à travers un saut, Gibbs en est le symptôme visible), et en moyenne quadratique (Parseval : la plus robuste, aveugle aux points individuels). Toujours nommer celle qu’on revendique. (ii) Pas de dérivation terme à terme par défaut : dériver terme à terme la série de la dent de scie de l’Exemple 14.12 donne $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$ , dont les termes ne tendent même pas vers $0$ — les théorèmes de transfert du chapitre sur les suites de fonctions demandent la convergence uniforme de la série dérivée, que le saut détruit. La régularité d’abord, la dérivation ensuite (Exercice 14.6 est le dictionnaire). (iii) Sommes partielles symétriques : le théorème de Dirichlet concerne $S_N = \sum_{-N}^{N}$ ; réarranger ou sommer un côté d’abord peut changer la divergence en convergence et inversement. (iv) Dérive de normalisation : les conventions diffèrent d’un ouvrage à l’autre ( $\frac{1}{2\pi}$ ou $\frac1\pi$ devant, période $2\pi$ ou $1$ ) ; les invariants fiables sont les relations d’orthonormalité — recalculer $\langle e_m, e_n\rangle$ dans la convention en présence avant de se fier à une formule.

Remarque 14.17 (Où cela sert)

Parseval est le germe de la théorie $L^2$ des séries de Fourier : le volume de Licence 3 complète le tableau (les exponentielles forment une base hilbertienne de $L^2$ , et l’application $f \mapsto (c_n)$ est une isométrie bijective). Au sein de ce volume, le devoir démontre le théorème de Fejér — les moyennes de Cesàro de la série de Fourier convergent uniformément pour toute fonction $f$ continue périodique — qui promeut le Parseval général admis en un théorème, fournit le théorème de Weierstrass trigonométrique, et rapporte deux dividendes spectaculaires : le théorème d’équirépartition de Weyl et l’inégalité isopérimétrique. Les mathématiques appliquées lisent ce chapitre au quotidien : spectres de signaux, harmoniques des systèmes vibrants, et la transformée de Fourier rapide (dont l’avatar fini était l’Exercice 13.10).

Remarque 14.18 (Perspectives dans ce volume)

Trois chapitres dialoguent avec celui-ci. En amont : le chapitre hermitien a fourni la géométrie (familles orthonormées, projections, Bessel), et le chapitre sur les suites de fonctions l’analyse (convergence uniforme, théorèmes de transfert, identités approchées — le noyau de Fejér est aux séries de Fourier ce que les polynômes de Bernstein étaient à Weierstrass). Latéralement : la théorie au bord du chapitre sur les séries entières revient via la sommation d’Abel, réalisée ici par le noyau de Poisson (Exercice 14.12) — le rayon $r$ du disque jouant le rôle du paramètre de sommation. En aval : le chapitre sur les équations différentielles décompose un forçage périodique en harmoniques et alimente chacune à la réponse en fréquence de l’oscillateur ; la résonance survient lorsqu’un mode de Fourier de l’entrée coïncide avec une fréquence propre, ce qui explique pourquoi son devoir et celui de ce chapitre sont deux moitiés d’une même histoire.

Le noyau de Dirichlet D_8 (bleu) oscille et prend des valeurs négatives ; le noyau de Fejér F_8 (rouge) est positif, se concentre en 0, et a pour moyenne 1 : une identité approchée. La positivité est exactement ce qui manque au noyau de Dirichlet, et ce qui rend le théorème de Fejér du devoir inconditionnel. — Le noyau de Dirichlet $D_8$ (bleu) oscille et prend des valeurs négatives ; le noyau de Fejér $F_8$ (rouge) est positif, se concentre en $0$ , et a pour moyenne $1$ : une *identité approchée*. La positivité est exactement ce qui manque au noyau de Dirichlet, et ce qui rend le théorème de Fejér du devoir inconditionnel.

14.3 Exercices

Exercice 14.1 ★

Calculer les coefficients de Fourier du signal carré ( $f = -1$ sur $\intoo{-\pi}{0}$ , $+1$ sur $\intoo{0}{\pi}$ ), énoncer la conclusion de Dirichlet en $t = \frac\pi2$ et au saut $t = 0$ , et retrouver la série de Leibniz.

Solution

Solution de Exercice 14.1.

L’imparité tue les $a_n$ . Pour $n \geq 1$ :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ impair},\\ 0 & n \text{ pair}. \end{cases}

Donc $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t \bigr)}{2k+1}$ . Dirichlet en $t = \frac\pi2$ (un point de continuité, valeur $1$ ) : $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$ , donnant

1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} \quad\text{(Leibniz)}.

Au saut $t = 0$ : la série somme vers $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$ , comme Dirichlet le prescrit (chaque terme s’annule : cohérent).

Exercice 14.2 ★

Développer $f(t) = \abs t$ ( $\abs t \leq \pi$ , $2\pi$ -périodique) en série de Fourier ; justifier la convergence normale ; évaluer en $t = 0$ pour obtenir $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ , et en redéduire Bâle.

Solution

Solution de Exercice 14.2.

La parité tue les $b_n$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs t\,\dd t = \pi$ , et pour $n \geq 1$ :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ impair},\\ 0 & n \text{ pair}, \end{cases}

(une intégration par parties). D’où

\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,

avec convergence normale ( $\sum (2k+1)^{-2} < \infty$ ) — comme le Théorème 14.10 (1) le prédit pour cette fonction continue et $C^1$ par morceaux. En $t = 0$ :

0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

En scindant $\sum \frac{1}{n^2}$ en parties impaire et paire : $S = \frac{\pi^2}{8} + \frac S4$ , donc $S = \frac{\pi^2}{6}$ : Bâle de nouveau.

Exercice 14.3 ★

Développer $f(t) = t^2$ ( $\abs t \leq \pi$ ) et en déduire

\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad\text{(Parseval)}.

Solution

Solution de Exercice 14.3.

Parité : $b_n = 0$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 = \frac{2\pi^2}{3}$ ; deux intégrations par parties donnent $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ ( $n \geq 1$ ). D’où

t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt \qquad (\abs t \leq \pi),

normalement convergente. En $t = 0$ : $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ , c’est-à-dire $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ . Parseval :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2 = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,

donc $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$ .

Exercice 14.4 ★★

Soit $f$ continue $2\pi$ -périodique avec $c_n(f) = 0$ pour tout $n$ . Prouver $f = 0$ (Parseval — pour quelle classe est-il démontré ici ? justifier que continuité plus $C^1$ par morceaux peut être abandonné en admettant le Parseval général, ou donner l’argument de densité en esquisse).

Solution

Solution de Exercice 14.4.

Si de plus $f$ est $C^1$ par morceaux : Parseval (démontré) donne $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$ , et la stricte positivité de l’intégrale de la fonction continue $\abs f^2$ force $f = 0$ .

Pour $f$ seulement continue, admettons le Parseval général : même démonstration d’une ligne. (Esquisse de la voie par densité : l’approximation trigonométrique de type Fejér/Weierstrass montre que les polynômes trigonométriques sont $\norm\cdot_2$ -denses parmi les fonctions continues périodiques ; puisque $f \perp$ tous, $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ pour des approximants $P$ , forçant $\norm f_2 = 0$ .)

Exercice 14.5 ★★

Pour $\alpha \notin \Z$ , développer $f(t) = \cos(\alpha t)$ ( $\abs t \leq \pi$ ) et en déduire le développement en éléments simples de la cotangente :

\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .

Solution

Solution de Exercice 14.5.

Parité : $b_n = 0$ ;

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}

(produit-somme, puis intégrer ; $a_0 = \frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$ ). Dirichlet en $t = \pi$ (un point de continuité du prolongement périodique, dont les valeurs unilatérales coïncident par parité) :

\cos(\pi\alpha) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 - n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),

en utilisant $(-1)^n\cos n\pi = 1$ . En divisant par $\sin(\pi\alpha)/\pi$ on obtient le développement de la cotangente.

Exercice 14.6 ★★

Prouver que si $f$ est $2\pi$ -périodique et $C^k$ avec $f^{(k)}$ continue par morceaux, alors $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$ : régularité du signal $=$ décroissance de son spectre.

Solution

Solution de Exercice 14.6.

En itérant $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ ( $k$ fois, intégration par parties à travers les morceaux $C^{k}$ avec des valeurs de bord concordantes) : $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$ . Les coefficients de $f^{(k)}$ , continue par morceaux, sont bornés (et même $\to 0$ , Bessel) :

\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k} = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .

Exercice 14.7 ★★★

(Inégalité de Wirtinger) Soit $f$ de classe $C^1$ , $2\pi$ -périodique, avec $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$ . Prouver

\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,

avec égalité si et seulement si $f(t) = a\cos t + b\sin t$ . (Parseval des deux côtés ; comparer $\abs{c_n}^2$ et $n^2\abs{c_n}^2$ .)

Solution

Solution de Exercice 14.7.

Parseval pour $f$ et pour $f'$ (les deux légitimes : $f$ est $C^1$ , $f'$ continue par morceaux — et même continue) :

\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2 \quad (c_0 = 0 \text{ par l'hypothèse de moyenne nulle}), \qquad \frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .

Terme à terme, $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ pour $\abs n \geq 1$ : l’inégalité s’ensuit. L’égalité force $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ pour tout $n$ , c’est-à-dire $c_n = 0$ pour $\abs n \geq 2$ : $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (forme réelle) ; réciproquement de telles $f$ donnent l’égalité.

Exercice 14.8 ★★★

(La constante de Gibbs) Pour le signal carré de l’Exercice 14.1, évaluer la somme partielle en $x_N = \frac{\pi}{2N}$ : en posant $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ et $\Delta u = \frac{\pi}{N}$ , montrer que

S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :

une somme de Riemann de $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ sur $\intcc{0}{\pi}$ aux milieux. Conclure que le dépassement au-delà de la valeur de saut $1$ ne s’annule pas quand $N \to \infty$ .

Solution

Solution de Exercice 14.8.

D’après l’Exercice 14.1, $S_{2N-1}(x) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ . En $x_N = \frac{\pi}{2N}$ , avec $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ :

S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{\pi}{N},

puisque $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$ . Les points $u_k$ sont les milieux des $N$ sous-intervalles de $\intcc{0}{\pi}$ de longueur $\frac{\pi}{N}$ : la somme est une somme de Riemann aux milieux de la fonction continue $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$ , donc converge vers

\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .

Les sommes partielles près du saut dépassent la valeur $1$ de $\approx 18\%$ du demi-saut à jamais : le phénomène de Gibbs, quantifié.

Exercice 14.9 ★

Développer $\cos^3 t$ et $\sin^2 t\,\cos t$ en série de Fourier (linéariser ; un polynôme trigonométrique est sa propre série de Fourier, par unicité des coefficients). Quels sont $c_n$ , $a_n$ , $b_n$ pour chacun ?

Solution

Solution de Exercice 14.9.

À partir de $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$ :

\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}, \qquad \sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t = \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .

Chacun est un polynôme trigonométrique, donc égal à sa propre série de Fourier (unicité des coefficients : deux développements différeraient d’un polynôme trigonométrique dont tous les coefficients sont nuls). Pour $\cos^3t$ : $a_1 = \frac34$ , $a_3 = \frac14$ , tous les autres $a_n$ et tous les $b_n$ nuls ; $c_{\pm1} = \frac38$ , $c_{\pm3} = \frac18$ . Pour $\sin^2t\cos t$ : $a_1 = \frac14$ , $a_3 = -\frac14$ ; $c_{\pm1} = \frac18$ , $c_{\pm3} = -\frac18$ .

Exercice 14.10 ★★

Soit $a > 0$ et $f(t) = \eu^{at}$ sur $\intoc{-\pi}{\pi}$ , prolongée de manière $2\pi$ -périodique. Calculer

c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

appliquer le théorème de Dirichlet au saut $t = \pi$ , et en déduire le développement en éléments simples de la cotangente hyperbolique :

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1} \frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .

Solution

Solution de Exercice 14.10.

Calcul direct :

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t = \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}} {2\pi(a - \iu n)} = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

en utilisant $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$ . En $t = \pi$ le prolongement périodique saute de $\eu^{a\pi}$ à $\eu^{-a\pi}$ ; Dirichlet (sommes partielles symétriques) donne

\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\, = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} + \frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,

les parties imaginaires des termes appariés se compensant. En divisant par $\sinh(a\pi)$ :

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,

le jumeau hyperbolique de l’Exercice 14.5.

Exercice 14.11 ★★

(Convolution) Pour $f, g$ continues et $2\pi$ -périodiques on définit

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\, \dd t .

Montrer que $f * g = g * f$ , que $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ (pour échanger les deux intégrales d’un intégrande continu, comparer les deux fonctions de la borne supérieure : toutes deux s’annulent au bord gauche et ont la même dérivée, par continuité et dérivation sous le signe intégral), et que $S_N(f) = f * D_N$ pour le noyau de Dirichlet. (Les moyennes de Fejér du devoir sont de même des convolutions, $\sigma_N(f) = f * F_N$ .)

Solution

Solution de Exercice 14.11.

Commutativité : substituer $s = x - t$ et utiliser la périodicité de l’intégrande. Pour $c_n(f * g)$ , l’intégrande $(x, t) \mapsto f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ est continu ; les deux intégrales itérées coïncident (toutes deux, en tant que fonctions de la borne supérieure de la variable extérieure, s’annulent au bord gauche et ont la même dérivée — continuité plus Théorème 9.10 justifient la dérivation de l’intégrale itérée). D’où

c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt} \Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t = c_n(f)\,c_n(g),

l’intégrale interne valant $c_n(f)$ pour tout $t$ (substitution et périodicité). Enfin le Lemme 14.5 dit que $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$ ; la substitution $u \mapsto -t$ et la parité de $D_N$ en font $(f * D_N)(x)$ .

Exercice 14.12 ★★★

(Noyau de Poisson : moyennes d’Abel des séries de Fourier) Pour $0 \leq r < 1$ on pose $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$ .

Sommer les deux séries géométriques et montrer

$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$
Montrer que pour $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ quand $r \to 1^-$ , uniformément.
En déduire que pour toute fonction $f$ continue $2\pi$ -périodique, les moyennes d’Abel $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ convergent vers $f$ uniformément quand $r \to 1^-$ — la sœur à paramètre continu du théorème de Fejér, et l’incarnation de Fourier de la sommation d’Abel du chapitre sur les séries entières.

Solution

Solution de Exercice 14.12.

Avec $w = r\eu^{\iu t}$ :

$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w} = \Re\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$

Moyenne $1$ : l’intégration terme à terme de la série normalement convergente ne garde que $n = 0$ .
Pour $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $\cos t \leq \cos\delta$ , donc $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2}$ , dont le dénominateur tend vers $2 - 2\cos\delta > 0$ tandis que le numérateur tend vers $0$ : convergence uniforme vers $0$ en dehors de tout voisinage de $0$ .
L’intégration terme à terme (convergence normale en $t$ ) donne $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$ . L’argument d’identité approchée : avec moyenne $1$ et positivité,

$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$

scinder en $\abs t = \delta$ : au plus $\varepsilon$ (Heine) plus $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$ : convergence uniforme quand $r \to 1^-$ . C’est la sommation d’Abel de la série de Fourier — le jumeau de Fourier de la théorie au bord du chapitre sur les séries entières.

14.4 Problème : le théorème de Fejér et ses dividendes

Problème 14.1

Le théorème de Dirichlet demande $f$ $C^1$ par morceaux ; pour $f$ seulement continue les sommes partielles $S_N(f)$ peuvent mal se comporter. La découverte de Fejér : leurs moyennes de Cesàro ne le font jamais. Le moteur est la positivité du noyau de Fejér, et la moisson est immense : approximation trigonométrique uniforme (Weierstrass), unicité des coefficients de Fourier, Parseval pour toute fonction de ce chapitre (levant l’« admis » du Théorème 14.10), le théorème d’équirépartition de Weyl, et — couronnant un siècle de géométrie — l’inégalité isopérimétrique. Dans tout le problème, $f$ est $2\pi$ -périodique et continue par morceaux, et

\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots + S_{N-1}(f)}{N} .

Partie I — Le noyau de Fejér.

Montrer que $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ avec $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ , et que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
Prouver la forme fermée, pour $u \notin 2\pi\Z$ :

$F_N(u) = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)} {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$

(sommer $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ comme la partie imaginaire d’une série géométrique).
Montrer l’estimation de concentration : pour $0 < \delta \leq \abs u \leq \pi$ ,

$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \quad\text{uniformément} :$

$(F_N)$ est une identité approchée positive.
(Théorème de Fejér) Prouver : si $f$ est continue et $2\pi$ -périodique, alors $\sigma_N(f) \to f$ uniformément sur $\R$ (scinder l’intégrale de $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ en $\abs u = \delta$ ; utiliser Heine et les questions 1–3).
Pour $f$ continue par morceaux, montrer la version ponctuelle $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ en tout $x$ , et la majoration uniforme $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ (positivité !).

Partie II — Weierstrass, unicité, Parseval.

(Weierstrass trigonométrique) En déduire : toute fonction continue $2\pi$ -périodique est limite uniforme de polynômes trigonométriques.
(Unicité) En déduire : une fonction $f$ continue avec $c_n(f) = 0$ pour tout $n$ est identiquement nulle — deux fonctions continues périodiques ayant les mêmes coefficients de Fourier coïncident (Exercice 14.4, maintenant sans admission).
(Parseval, cas continu) En utilisant la propriété de projection de $S_N$ (Proposition 14.2) et $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ , prouver

$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$

et conclure l’identité de Parseval pour toute fonction $f$ continue $2\pi$ -périodique.
(Parseval, cas continu par morceaux) Étant donnée $f$ continue par morceaux et $\varepsilon > 0$ , construire une fonction $g$ continue périodique avec $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ (remplacer $f$ par une interpolation affine sur de minuscules intervalles autour des sauts), et en déduire $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ (utiliser Bessel : $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$ ) : Parseval vaut dans toute la généralité énoncée au Théorème 14.10 — l’« admis » a disparu.
(Pas de Gibbs pour Fejér) Contraster avec l’Exercice 14.8 : montrer que pour le signal carré $f$ , $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ partout, pour tout $N$ — la moyennisation de Cesàro efface le dépassement qui hante $S_N$ . Expliquer en une phrase quelle propriété de $F_N$ en est responsable.

Partie III — Vitesses.

Prouver les deux majorations du noyau, pour $0 < \abs u \leq \pi$ :

$F_N(u) \leq N, \qquad F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$

(pour la première, $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ par récurrence ; pour la seconde, $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ sur $\intcc{0}{\pi}$ ).
En déduire l’estimation du premier moment

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N} \qquad (N \geq 2)$

pour une constante explicite (scinder en $\abs u = \frac1N$ ).
Conclure : si $f$ est $L$ -lipschitzienne et $2\pi$ -périodique, alors

$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$
(Saturation) Calculer $\sigma_N(e_1)$ pour $e_1(t) = \eu^{\iu t}$ et montrer $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ : même pour les fonctions les plus régulières, Fejér ne converge pas plus vite que $\frac1N$ — l’exact analogue de la saturation de Bernstein dans le devoir du chapitre sur les suites de fonctions.
(Localisation) Montrer : si $f$ (continue par morceaux) s’annule sur $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ , alors $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , aussi sauvage que soit $f$ ailleurs — la convergence des moyennes en $x$ ne voit que $f$ près de $x$ .

Partie IV — Le théorème d’équirépartition de Weyl. Une suite $(x_n)_{n\geq1}$ de $\intco{0}{1}$ est équirépartie lorsque, pour tout intervalle $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$ ,

\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .

Montrer que $(x_n)$ est équirépartie dès que $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ pour toute fonction $f$ continue $1$ -périodique (encadrer l’indicatrice de $\intcc ab$ entre deux fonctions continues affines par morceaux dont les intégrales diffèrent de $\varepsilon$ ).
(Critère de Weyl, suffisance) Supposons

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \qquad\text{pour tout } k \in \Z\setminus\{0\} .$

Montrer $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ d’abord pour les polynômes trigonométriques, puis pour toute fonction $f$ continue $1$ -périodique par la question 6 (transportée à la période $1$ ) : avec la question 16, $(x_n)$ est équirépartie.
Soit $\alpha$ irrationnel et $x_n = \{n\alpha\}$ (partie fractionnaire). Majorer la somme géométrique

$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}} \qquad (k \neq 0),$

et conclure le théorème de Weyl : $(\{n\alpha\})$ est équirépartie dans $\intco{0}{1}$ .
En déduire que $(\{n\alpha\})$ est dense dans $\intcc{0}{1}$ pour $\alpha$ irrationnel, et expliquer en une phrase pourquoi l’équirépartition est strictement plus forte que la densité.
(Premiers chiffres) Prouver que la proportion d’entiers $n \leq N$ tels que $2^n$ ait pour premier chiffre (décimal) $1$ tend vers $\log_{10}2 \approx 0.301$ (premier chiffre $1$ signifie $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ ; montrer que $\log_{10}2$ est irrationnel).

Partie V — L’inégalité isopérimétrique. Soit $\Gamma$ une courbe fermée simple $C^1$ de longueur $L$ enfermant une aire algébrique $A$ , paramétrée par longueur d’arc mise à l’échelle : $z(t) = x(t) + \iu y(t)$ , $2\pi$ -périodique, avec $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ constant ; l’aire enfermée est

A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t = \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t

(prise ici comme définition de l’aire algébrique ; le chapitre sur les intégrales multiples démontre qu’elle coïncide avec l’aire intuitive, via la formule de Green).

Développer $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (la série d’une fonction $C^1$ , normalement convergente) et prouver, par Parseval appliqué à $z'$ :

$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$
Prouver de même $A = \pi\sum_{n\in\Z} n\,\abs{c_n}^2$ (Parseval sous sa forme polarisée : $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$ , appliqué à $f = z$ , $g = z'$ ).
(Hurwitz) Conclure :

$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z} (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$

avec égalité si et seulement si $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ — un cercle. L’inégalité isopérimétrique : parmi les courbes fermées de longueur $L$ , seul le cercle enferme l’aire $\frac{L^2}{4\pi}$ .
Vérifications de cohérence : vérifier l’égalité pour le cercle de rayon $R$ et l’inégalité stricte pour le carré de côté $a$ ; expliquer pourquoi $n^2 - n \geq 0$ pour tout entier $n$ , y compris les négatifs, et où la vitesse constante du paramétrage a servi.
Synthèse. En une phrase chacune : (i) l’unique propriété de $F_N$ d’où découlent les Parties I–III, et qui manque à $D_N$ ; (ii) comment la sommation de Cesàro relie ici au devoir du chapitre sur les séries entières (Frobenius) ; (iii) quel dividende n’a utilisé que Weierstrass (question 6) et lequel a demandé Parseval complet ; (iv) une phrase sur ce qu’ajoute le volume de Licence 3 (complétude $L^2$ : les séries de Fourier comme base hilbertienne).

Solution

Solution de Problème 14.1.

1. En moyennant le Lemme 14.5 sur $n = 0, \dots, N-1$ (linéarité de l’intégrale) on obtient $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$ ; chaque $D_n$ a pour moyenne $1$ , donc $F_N$ a pour moyenne $1$ .

2. Avec $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$ :

\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr) = \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u} - 1}\Bigr] = \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2} = \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2} = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .

En divisant par $N\sin\frac u2$ :

F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .

3. Sur $\delta \leq \abs u \leq \pi$ : $\sin^2\frac u2 \geq \sin^2\frac\delta2$ et $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$ : $F_N \leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ , uniformément là.

4. Par la moyenne unité, $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$ . Étant donné $\varepsilon$ , Heine fournit $\delta$ avec $\abs{f(x+u) - f(x)} \leq \varepsilon$ pour $\abs u \leq \delta$ , uniformément en $x$ . Alors, en utilisant $F_N \geq 0$ et sa moyenne unité,

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \varepsilon + 2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi} \int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N \leq \varepsilon + \frac{2\norm f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2} \leq 2\varepsilon

pour $N$ grand, uniformément en $x$ : le théorème de Fejér.

5. $F_N$ est paire de moyenne $1$ : chaque moitié $\intcc{0}{\pi}$ , $\intcc{-\pi}{0}$ porte une moyenne $\frac12$ . Alors

\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;

sur chaque moitié, scinder en $\abs u = \delta$ où la limite unilatérale est $\varepsilon$ -proche, et laisser la question 3 tuer la partie lointaine : les deux intégrales tendent vers $0$ . La majoration : $F_N \geq 0$ donne $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$ .

6. Chaque $\sigma_N(f)$ est un polynôme trigonométrique (une moyenne des $S_n(f)$ , $n < N$ ), et $\sigma_N(f) \to f$ uniformément : le théorème de Weierstrass trigonométrique.

7. $c_n(f) = 0$ pour tout $n$ rend chaque $S_n(f) = 0$ , donc chaque $\sigma_N(f) = 0$ ; par Fejér, $f = \lim\sigma_Nf = 0$ . En appliquant ceci à une différence : les fonctions continues périodiques sont déterminées par leurs coefficients de Fourier.

8. $S_Nf$ est la projection orthogonale de $f$ sur $\mathcal T_N$ (Proposition 14.2), donc elle minimise $\norm{f - P}_2$ sur $P \in \mathcal T_N$ ; puisque $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ :

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0

(l’inégalité du milieu car la moyenne de $\abs\cdot^2$ est au plus le sup au carré). Pythagore $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ passe alors à la limite : Parseval pour toute fonction $f$ continue périodique.

9. Soit $t_1, \dots, t_p$ les sauts de $f$ sur une période, $M = \norm f_\infty$ . Pour $\eta$ petit, on définit $g = f$ en dehors des intervalles $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ et par la corde affine sur chacun de ces intervalles : $g$ est continue, périodique, $\norm g_\infty \leq M$ , et

\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta \leq \varepsilon^2

pour $\eta$ petit. Bessel fait de $S_N$ une contraction pour $\norm\cdot_2$ , donc

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g - f)}_2 \leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,

et la question 8 donne $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ : $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ , et Pythagore fournit Parseval pour toute fonction $f$ continue par morceaux : l’« admis » du Théorème 14.10 est maintenant un théorème.

10. Le signal carré a $\norm f_\infty = 1$ , donc la question 5 donne $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ partout et pour tout $N$ — aucun dépassement, jamais — tandis que l’Exercice 14.8 montre $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx 1.179$ . La propriété responsable : $F_N \geq 0$ , donc $\sigma_Nf(x)$ est une moyenne pondérée de valeurs de $f$ et ne peut jamais sortir de $\intcc{\min f}{\max f}$ ; $D_N$ prend des valeurs négatives, donc $S_N$ le peut.

11. $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ par récurrence ( $\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq (N+1)\abs{\sin\theta}$ ) : avec $\theta = \frac u2$ ,

F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2} \leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .

La concavité de $\sin$ sur $\intcc{0}{\frac\pi2}$ donne $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ pour $0 \leq u \leq \pi$ , donc $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$ .

12. Par parité et le scindage en $\frac1N$ :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N = \frac1\pi\int_0^\pi uF_N \leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u + \int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr) = \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .

Pour $N \geq 2$ : $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 + \frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ et $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$ , donc le moment est $\leq \frac{9\ln N}{N}$ .

13. Pour $f$ $L$ -lipschitzienne :

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u \leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N \leq \frac{9L\ln N}{N},

uniformément en $x$ .

14. $c_0(e_1) = 0$ donne $S_0(e_1) = 0$ , tandis que $S_n(e_1) = e_1$ pour $n \geq 1$ : $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$ , donc $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ . Même pour ce signal entier, à bande limitée, la vitesse est $\frac1N$ : Fejér sature, exactement comme l’opérateur de Bernstein sature à $\frac1n$ (Voronovskaya, dans le devoir du chapitre sur les suites de fonctions).

15. Si $f$ s’annule sur $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$ , alors $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$ , de valeur absolue au plus $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ : les moyennes de Cesàro en $x$ ne voient que $f$ près de $x$ .

16. Étant donnés $\intcc ab$ et $\varepsilon$ , choisir des fonctions $\varphi^\pm$ continues $1$ -périodiques affines par morceaux avec $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ et $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (trapèzes de pentes sur des intervalles de longueur totale $\varepsilon$ ). Alors

\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n) = \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,

et symétriquement $\liminf \geq b - a - \varepsilon$ : la proportion tend vers $b - a$ .

17. Pour $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ avec $k \neq 0$ l’hypothèse donne la limite $0 = \int_0^1f$ ; pour $k = 0$ les deux membres valent $1$ ; la linéarité traite tout polynôme trigonométrique. Pour $f$ continue $1$ -périodique et $\varepsilon > 0$ , la question 6 (transportée par $t = 2\pi x$ ) fournit un polynôme trigonométrique $P$ avec $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$ :

\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr| \leq 2\varepsilon + \Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr| \longrightarrow 2\varepsilon .

Avec la question 16 : $(x_n)$ est équirépartie.

18. Pour $k \neq 0$ et $\alpha$ irrationnel, $w = \eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr| = \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,

une borne indépendante de $N$ ; en divisant par $N$ on obtient le critère de Weyl, et la question 17 conclut : $(\{n\alpha\})$ est équirépartie.

19. Tout sous-intervalle reçoit une proportion asymptotique égale à sa longueur, en particulier une infinité de points : $(\{n\alpha\})$ est dense. L’équirépartition est plus forte : une suite peut être dense tout en passant presque tout son temps dans un coin (la densité dit où la suite va, l’équirépartition dit combien de fois).

20. $2^n$ a pour premier chiffre $1$ si et seulement si $10^m \leq 2^n < 2\cdot10^m$ pour un certain $m$ , c’est-à-dire si et seulement si $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ . Irrationalité : $\log_{10}2 = \frac pq$ donnerait $2^q = 10^p = 2^p5^p$ , impossible pour $p \geq 1$ par unicité de la factorisation. Le théorème de Weyl (question 18 avec $\alpha = \log_{10}2$ ; l’intervalle semi-ouvert est encadré entre des intervalles fermés de longueurs voisines) donne la proportion $\log_{10}2 \approx 0.301$ : les premiers chiffres de $2^n$ suivent la loi de Benford.

21. $z$ est $C^1$ , donc sa série de Fourier converge normalement de somme $z$ (Théorème 14.10 (1)), et $c_n(z') = \iu n\,c_n$ . Puisque $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ est constant,

\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2} = \frac{L^2}{2\pi} ,

et Parseval appliqué à $z'$ continu donne $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$ , c’est-à-dire $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$ .

22. Le Parseval polarisé $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ découle de Parseval appliqué à $f + g$ et $f + \iu g$ (identité de polarisation), toutes deux continues. Avec $f = z$ , $g = z'$ :

A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z' = \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n) = \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .

23. En combinant les questions 21–22 :

L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 - 4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2 = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,

puisque $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ pour tout entier. L’égalité force $c_n = 0$ pour tout $n \notin \{0, 1\}$ : $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ , un cercle de centre $c_0$ et de rayon $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (vitesse constante). Démonstration par Hurwitz de l’inégalité isopérimétrique : $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ , le cercle seul.

24. Cercle de rayon $R$ : $L = 2\pi R$ , $A = \pi R^2$ : $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$ : égalité. Carré de côté $a$ : $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (car $16 > 4\pi \approx 12.57$ ). Pour $n$ négatif, $n^2 - n = n(n - 1)$ est un produit de deux entiers négatifs : positif — donc les modes tournant à l’envers coûtent de l’aire deux fois. La vitesse constante est entrée en question 21, convertissant $\int\abs{z'}^2$ en $\frac{L^2}{2\pi}$ ; pour une vitesse non constante, Cauchy–Schwarz donne $\int\abs{z'}^2 \geq \frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$ , donc l’inégalité subsiste, le cercle restant le seul cas d’égalité.

25. (i) Tout découle de $F_N \geq 0$ (avec moyenne unité et concentration) ; $D_N$ a moyenne unité et concentration d’oscillation mais pas la positivité, et Gibbs en est le prix. (ii) La sommabilité au sens de Cesàro de la série de Fourier implique sa sommabilité au sens d’Abel avec la même somme (Frobenius, démontré dans le devoir du chapitre sur les séries entières) — la voie du noyau de Poisson de l’Exercice 14.12 est exactement la méthode d’Abel. (iii) Le théorème de Weyl n’a demandé que l’approximation uniforme (question 6) ; l’inégalité isopérimétrique a demandé Parseval lui-même (questions 8, 21–22). (iv) Le volume de Licence 3 démontre la complétude : les exponentielles forment une base hilbertienne de $L^2$ , Parseval devient une isométrie d’espaces de Hilbert, et le théorème de Fejér devient l’énoncé que cette isométrie est calculable par moyennes positives.