Qu'est-ce que « endomorphisme hermitien » ?

Exemple 13.7 (Une matrice anti-hermitienne, diagonalisée)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ vérifie $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : anti-hermitienne (et aussi réelle antisymétrique — sur $\R$ elle n’a aucune valeur propre). Polynôme caractéristique $X^2 + 4$ : valeurs propres $\pm2\iu$, imaginaires pures, comme le prévoit en général l’Exercice 13.9. Vecteurs propres : $(A - 2\iu I)v = 0$ donne $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$, et $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ pour $-2\iu$ ; ils sont orthogonaux :

Donc $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ avec $U = (v_1\ v_2)$ unitaire. Idée finale : $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ est hermitienne, de spectre réel $\{\pm2\}$ et de mêmes vecteurs propres — la bijection $u \mapsto \iu u$ entre endomorphismes hermitiens et anti-hermitiens (Exercice 13.9), vue matrice par matrice ; sur $\R$, la même $A$ est une rotation-homothétie sans aucun vecteur propre, et seul le passage à $\C$ révèle sa forme normale.

Exemple 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ est hermitienne ($A^\dagger = A$) : valeurs propres tirées de $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (réelles, comme promis), avec vecteurs propres orthonormés $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ et $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$. (Les physiciens connaissent $A$ comme une matrice de Pauli ; c’est parce que les spectres hermitiens sont réels que les observables quantiques sont modélisées par des opérateurs hermitiens.)

Exemple 13.10 (Une matrice hermitienne définie positive, traitée)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : hermitienne, puisque la diagonale est réelle et les coefficients hors diagonale sont conjugués. Polynôme caractéristique :

spectre $\{1, 4\}$, réel et positif — $A$ est définie positive. Vecteurs propres : pour $\lambda = 4$, le système $(A - 4I)v = 0$ donne $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (vérifier la seconde ligne : $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$) ; pour $\lambda = 1$, $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$. Orthogonalité, avec le conjugué dans la première variable :

En normalisant ($\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$, $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$), on obtient la matrice unitaire $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ avec $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$. Idée finale : la lecture de Rayleigh est immédiate — sur la sphère unité de $\C^2$, $\langle x, Ax\rangle$ parcourt $\intcc{1}{4}$, atteint aux deux vecteurs propres ; c’est le germe en $n = 2$ de la théorie de Courant–Fischer construite dans le problème du week-end. Vérifions au passage que la forme est réelle aussi en dehors des vecteurs propres : en $x = (1, \iu)$,

comme le garantit pour tout $x$ le mécanisme de preuve de la Proposition 13.6 (symétrie hermitienne contre $A^\dagger = A$).