¿Qué es endomorfismo hermítico?

Ejemplo 13.7 (Una matriz antihermítica, diagonalizada)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ cumple $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$: es antihermítica (y también real antisimétrica; sobre $\R$ no tiene ningún valor propio). Polinomio característico $X^2 + 4$: valores propios $\pm2\iu$, imaginarios puros, como predice en general el Ejercicio 13.9. Vectores propios: $(A - 2\iu I)v = 0$ da $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$, y $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ para $-2\iu$; son ortogonales:

Así pues, $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ con $U = (v_1\ v_2)$ unitaria. Moraleja: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ es hermítica con espectro real $\{\pm2\}$ y los mismos vectores propios; es la biyección $u \mapsto \iu u$ entre endomorfismos hermíticos y antihermíticos (Ejercicio 13.9), vista matriz a matriz. Sobre $\R$, esa misma $A$ es una rotación con homotecia sin ningún vector propio, y solo el paso a $\C$ revela su forma normal.

Ejemplo 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ es hermítica ($A^\dagger = A$): sus valores propios salen de $\chi_A = X^2 - 1$: $\pm 1$ (reales, como se prometió), con vectores propios ortonormales $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ y $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$. (Los físicos conocen $A$ como matriz de Pauli; que los espectros hermíticos sean reales es la razón de que los observables cuánticos se modelen mediante operadores hermíticos.)

Ejemplo 13.10 (Una matriz hermítica definida positiva, resuelta)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$: es hermítica, pues la diagonal es real y las entradas fuera de ella son conjugadas. Polinomio característico:

espectro $\{1, 4\}$, real y positivo; $A$ es definida positiva. Vectores propios: para $\lambda = 4$, el sistema $(A - 4I)v = 0$ da $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (compruébese la segunda fila: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$); para $\lambda = 1$, $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$. Ortogonalidad, con la conjugación en la primera entrada:

Normalizando ($\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$, $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$) se obtiene la matriz unitaria $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ con $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$. Moraleja: la lectura de Rayleigh es inmediata: sobre la esfera unidad de $\C^2$, $\langle x, Ax\rangle$ recorre $\intcc{1}{4}$, alcanzado en los dos vectores propios; es el germen $n = 2$ de la teoría de Courant–Fischer que se construye en el problema de fin de semana. Comprobemos también que la forma es real fuera de los vectores propios: en $x = (1, \iu)$,

como garantiza para todo $x$ el mecanismo de la demostración de la Proposición 13.6 (la simetría conjugada frente a $A^\dagger = A$).