Qu'est-ce que « Polynôme caractéristique » ? — Mathématiques

Définition 3.3 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 3 — Réduction des endomorphismes

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — calculé dans n’importe quelle base comme $\det(XI_n - A)$ , un polynôme unitaire de degré $n$ , invariant par similitude (Théorème 2.17). Ses racines dans $K$ sont exactement les valeurs propres ( $\lambda$ valeur propre $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ non injectif $\iff \chi_u(\lambda) = 0$ ), et

\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det u .

La multiplicité algébrique $m_\lambda$ d’une valeur propre est sa multiplicité comme racine de $\chi_u$ ; la multiplicité géométrique est $\dim E_\lambda$ , et $1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda$ .

Exemples

Exemple 3.4 (Même $\chi$ , géométrie différente)

Les matrices

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{et}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

partagent le polynôme caractéristique $(X - 2)^2$ , la trace, le déterminant, le spectre — pourtant elles ne sont pas semblables : la première a $E_2$ de dimension $2$ (multiplicité géométrique $2$ ), la seconde de dimension $1$ . Le polynôme caractéristique ne voit que les multiplicités algébriques ; les dimensions des sous-espaces propres sont l’invariant plus fin, et le polynôme minimal tranche ( $X - 2$ contre $(X - 2)^2$ ). Morale pour toute discussion de diagonalisabilité : $\chi$ présélectionne les candidats, mais ce sont les noyaux qui votent.

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Exemples

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