हर्मीशियन अंतःरूपांतरण क्या है?

उदाहरण 13.7 (एक विषम-हर्मीशियन आव्यूह, विकर्णित)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ पूरा करता है: अर्थात् विषम-हर्मीशियन (और वास्तविक प्रतिसममित भी — $\R$ पर उसका कोई अभिलक्षणिक मान है ही नहीं)। अभिलक्षणिक बहुपद $X^2 + 4$: अभिलक्षणिक मान $\pm2\iu$, जो विशुद्ध काल्पनिक हैं, ठीक जैसा अभ्यास 13.9 सामान्य रूप से बताती है। अभिलक्षणिक सदिश: $(A - 2\iu I)v = 0$ $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ देता है, और $-2\iu$ के लिए $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$; और वे लांबिक हैं:

अतः एकात्मक $U = (v_1\ v_2)$ सहित $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$। समापन दृष्टि: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ वास्तविक वर्णक्रम $\{\pm2\}$ और उन्हीं अभिलक्षणिक सदिशों के साथ हर्मीशियन है — अर्थात् हर्मीशियन और विषम-हर्मीशियन अंतःरूपांतरणों के बीच का एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण $u \mapsto \iu u$ (अभ्यास 13.9), आव्यूह-दर-आव्यूह देखा हुआ; और $\R$ पर वही $A$ बिना किसी अभिलक्षणिक सदिश का घूर्णन-मापन है, तथा केवल $\C$ तक जाने पर ही उसका प्रसामान्य रूप प्रकट होता है।

उदाहरण 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ हर्मीशियन है ($A^\dagger = A$): $\chi_A = X^2 - 1$ से अभिलक्षणिक मान $\pm 1$ (वास्तविक, जैसा वचन था), और प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक सदिश $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ तथा $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$। (भौतिकी वाले $A$ को पाउली आव्यूह के रूप में जानते हैं; और हर्मीशियन वर्णक्रमों का वास्तविक होना ही वह कारण है जिससे क्वांटम प्रेक्षणीय राशियाँ हर्मीशियन संकारकों से प्रतिरूपित की जाती हैं।)

उदाहरण 13.10 (एक धनात्मक निश्चित हर्मीशियन आव्यूह, किया हुआ)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$: यह हर्मीशियन है, क्योंकि विकर्ण वास्तविक है और विकर्णेतर प्रविष्टियाँ संयुग्मी। अभिलक्षणिक बहुपद:

वर्णक्रम $\{1, 4\}$, जो वास्तविक और धनात्मक है — अतः $A$ धनात्मक निश्चित है। अभिलक्षणिक सदिश: $\lambda = 4$ के लिए निकाय $(A - 4I)v = 0$ $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ देता है (दूसरी पंक्ति जाँचिए: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$); और $\lambda = 1$ के लिए $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$। लांबिकता, पहले खाँचे में संयुग्म के साथ:

सामान्यीकरण ($\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$, $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$) करने पर $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ सहित एकात्मक $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ मिलता है। समापन दृष्टि: रैले-पाठ तत्काल है — $\C^2$ के इकाई गोलक पर $\langle x, Ax\rangle$ $\intcc{1}{4}$ में घूमता है और दोनों अभिलक्षणिक सदिशों पर प्राप्त होता है; और यही उस कूराँ–फिशर सिद्धांत का $n = 2$ बीज है जो सप्ताहांत समस्या में खड़ा किया गया है। अभिलक्षणिक सदिशों से हटकर भी रूप के वास्तविक होने की जाँच कीजिए: $x = (1, \iu)$ पर

जैसा प्रतिज्ञप्ति 13.6 की उपपत्ति की कार्यविधि ($A^\dagger = A$ के विरुद्ध संयुग्मी-सममितता) प्रत्येक $x$ के लिए गारंटी देती है।