O que é endomorfismo hermitiano? — Matemática

Definição 13.5 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 13 — Formas hermitianas

O adjunto $u^*$ de $u \in \mathcal{L}(E)$ define-se por $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ; numa base ortonormal, $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (transposta conjugada) — de fato, se $B = (b_{ij})$ é a matriz de $u^*$ na base ortonormal $(e_i)$ , então $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ , e a identidade de definição dá

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{logo}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

$u$ é hermitiano quando $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ ), unitário quando $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : o grupo $U(n)$ ), normal quando $u^*u = uu^*$ .

Exemplos

Exemplo 13.7 (Uma matriz anti-hermitiana, diagonalizada)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ satisfaz $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : anti-hermitiana (e também real antissimétrica — sobre $\R$ ela não tem autovalor algum). Polinômio característico $X^2 + 4$ : autovalores $\pm2\iu$ , puramente imaginários, como o Exercício 13.9 prevê em geral. Autovetores: $(A - 2\iu I)v = 0$ dá $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ , e $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ para $-2\iu$ ; eles são ortogonais:

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

Assim $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ com $U = (v_1\ v_2)$ unitária. Lição final: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ é hermitiana com o espectro real $\{\pm2\}$ e os mesmos autovetores — a bijeção $u \mapsto \iu u$ entre endomorfismos hermitianos e anti-hermitianos (Exercício 13.9), vista matriz a matriz; sobre $\R$ a mesma $A$ é uma rotação com escala sem autovetor algum, e só a passagem a $\C$ revela sua forma normal.

Exemplo 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ é hermitiana ( $A^\dagger = A$ ): autovalores a partir de $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (reais, como prometido), com autovetores ortonormais $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ e $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (Os físicos conhecem $A$ como matriz de Pauli; a realidade dos espectros hermitianos é o motivo pelo qual os observáveis quânticos são modelados por operadores hermitianos.)

Exemplo 13.10 (Uma matriz hermitiana positiva definida, trabalhada)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : hermitiana, pois a diagonal é real e as entradas fora da diagonal são conjugadas. Polinômio característico:

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

espectro $\{1, 4\}$ , real e positivo — $A$ é positiva definida. Autovetores: para $\lambda = 4$ , o sistema $(A - 4I)v = 0$ dá $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (confira a segunda linha: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ ); para $\lambda = 1$ , $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . Ortogonalidade, com o conjugado na primeira casa:

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

Normalizando ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ , $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ) obtém-se a unitária $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ com $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . Lição final: a leitura de Rayleigh é imediata — na esfera unitária de $\C^2$ , $\langle x, Ax\rangle$ percorre $\intcc{1}{4}$ , atingido nos dois autovetores; esse é o germe em $n = 2$ da teoria de Courant–Fischer construída no problema de fim de semana. Confira por amostragem que a forma é real fora dos autovetores também: em $x = (1, \iu)$ ,

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

como o mecanismo de demonstração da Proposição 13.6 (simetria conjugada contra $A^\dagger = A$ ) garante para todo $x$ .

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Exemplos

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