Wat is hermitisch endomorfisme?

Voorbeeld 13.7 (Een antihermitische matrix, gediagonaliseerd)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ voldoet aan $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$: antihermitisch (en ook reëel antisymmetrisch — over $\R$ heeft zij helemaal geen eigenwaarden). Karakteristieke veelterm $X^2 + 4$: eigenwaarden $\pm2\iu$, zuiver imaginair, zoals Oefening 13.9 in het algemeen voorspelt. Eigenvectoren: $(A - 2\iu I)v = 0$ geeft $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$, en $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ voor $-2\iu$; zij staan loodrecht op elkaar:

Dus $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ met $U = (v_1\ v_2)$ unitair. Het inzicht om te onthouden: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ is hermitisch met het reële spectrum $\{\pm2\}$ en dezelfde eigenvectoren — de bijectie $u \mapsto \iu u$ tussen hermitische en antihermitische endomorfismen (Oefening 13.9), matrix voor matrix gezien; over $\R$ is diezelfde $A$ een draaivermenigvuldiging zonder enige eigenvector, en pas de overgang naar $\C$ onthult haar normaalvorm.

Voorbeeld 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ is hermitisch ($A^\dagger = A$): eigenwaarden uit $\chi_A = X^2 - 1$: $\pm 1$ (reëel, zoals beloofd), met orthonormale eigenvectoren $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ en $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$. (Natuurkundigen kennen $A$ als een Pauli-matrix; dat hermitische spectra reëel zijn, is de reden waarom kwantumobservabelen door hermitische operatoren worden gemodelleerd.)

Voorbeeld 13.10 (Een positief definiete hermitische matrix, uitgewerkt)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$: hermitisch, want de diagonaal is reëel en de elementen buiten de diagonaal zijn elkaars complex geconjugeerde. Karakteristieke veelterm:

spectrum $\{1, 4\}$, reëel en positief — $A$ is positief definiet. Eigenvectoren: voor $\lambda = 4$ geeft het stelsel $(A - 4I)v = 0$ dat $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (controleer de tweede rij: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$); voor $\lambda = 1$: $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$. Orthogonaliteit, met de conjugatie in de eerste sleuf:

Normaliseren ($\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$, $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$) geeft de unitaire $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ met $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$. Het inzicht om te onthouden: de lezing volgens Rayleigh is onmiddellijk — op de eenheidssfeer van $\C^2$ doorloopt $\langle x, Ax\rangle$ precies $\intcc{1}{4}$, aangenomen in de twee eigenvectoren; dit is de kiem voor $n = 2$ van de theorie van Courant en Fischer die in de weekendopgave wordt opgebouwd. Ga ook buiten de eigenvectoren na dat de vorm reëel is: in $x = (1, \iu)$ is

zoals het bewijsmechanisme van Propositie 13.6 (geconjugeerde symmetrie tegen $A^\dagger = A$) voor elke $x$ garandeert.