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Mathématiques · 术语表

什么是 Espace probabilisé dénombrable？

又称： univers · mesure de probabilité · événement · espace probabilisé

Définition 21.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · 第 21 章 — Probabilités sur les espaces dénombrables

Soit Ω\Omega un ensemble non vide fini ou dénombrable (l’univers). Une mesure de probabilité sur Ω\Omega est une application P\P de l’ensemble P(Ω)\mathcal{P}(\Omega) de toutes les parties de Ω\Omega (les événements) dans [0,1][0, 1] telle que :

  1. P(Ω)=1\P(\Omega) = 1 ;

  2. (σ\sigma-additivité) pour toute suite (An)n∈N(A_n)_{n\in\N} d’événements deux à deux disjoints,

    P( ⋃n∈NAn)=∑n=0∞P(An).\P\Bigl(\,\bigcup_{n \in \N} A_n\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \P(A_n) .

Le couple (Ω,P)(\Omega, \P) est un espace probabilisé (dénombrable).

示例

Exemple 21.5 (Modèle géométrique : l’attente du premier pile)

On lance répétées une pièce de probabilité de pile p∈(0, 1)p \in \intoo{0}{1}, et l’on pose Ω=N∗∪{∞}\Omega = \N^* \cup \{\infty\} pour enregistrer le rang du premier pile. Les poids naturels sont

P({k})=(1−p)k−1p(k∈N∗),P({∞})=0,\P(\{k\}) = (1 - p)^{k-1}p \quad (k \in \N^*), \qquad \P(\{\infty\}) = 0 ,

une mesure de probabilité puisque ∑k≥1(1−p)k−1p=p1−(1−p)=1\sum_{k\geq1}(1-p)^{k-1}p = \frac{p}{1 - (1-p)} = 1 : avec probabilité 11 le jeu se termine — mais l’univers doit tout de même contenir la possibilité qu’il ne se termine pas. L’additivité dénombrable est ce qui nous permet d’affirmer P(le jeu se termine)=∑kP({k})\P(\text{le jeu se termine}) = \sum_k \P(\{k\}).

Exemple 21.8 (La borne de l’union : grossière mais indestructible)

La sous-additivité avec un nombre fini d’événements — la borne de l’union — échange la précision contre l’universalité. Pour le problème des anniversaires avec 2323 personnes, borner la probabilité de collision par la somme sur les paires donne

P(collision)≤(232)⋅1365=253365≈0.693,\P(\text{collision}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

contre la vraie valeur 0.5070.507 : éloignée d’une large marge, car les collisions se recouvrent. Pourtant la borne ne requiert aucune indépendance, aucune loi jointe, rien d’autre que les probabilités des paires — c’est pourquoi, dans le devoir du week-end et tout au long du Chapitre 22, la borne de l’union est le premier outil dégainé : lorsqu’elle se trouve être petite, l’affaire est réglée sans autre modélisation.

Exemple 21.9 (Un six finit par sortir)

Lançons un dé équilibré indéfiniment et posons Bn=B_n = {}« au moins un six parmi les nn premiers lancers », une suite croissante d’événements avec P(Bn)=1−(5/6)n\P(B_n) = 1 - (5/6)^n. La continuité monotone donne

P(un six finit par apparaıˆtre)=P(⋃nBn)=lim⁡n(1−(5/6)n)=1.\P(\text{un six finit par apparaître}) = \P\Bigl(\bigcup_nB_n\Bigr) = \lim_n\bigl(1 - (5/6)^n\bigr) = 1 .

Le point n’est pas la limite (évidente) mais l’étape logique : « finir par » est un événement portant sur une infinité de lancers, hors de portée de l’additivité finie, et la continuité monotone — c’est-à-dire la σ\sigma-additivité — est précisément l’axiome qui lui attribue une probabilité. Tout énoncé presque sûr dans la suite de ce livre passe par cette même porte étroite.

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