Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

8Polynômes

Les polynômes sont les fonctions préférées de l’algébriste — sauf qu’ils ne sont pas traités ici comme des fonctions, mais comme des expressions formelles en une indéterminée $X$ , que l’on additionne et multiplie selon les règles d’un anneau commutatif. La théorie est étonnamment parallèle à celle du Chapitre 6 : une division euclidienne, un PGCD et des relations de Bézout, des éléments irréductibles et une factorisation unique. Dans tout ce chapitre, $K$ désigne $\Q$ , $\R$ ou $\C$ .

8.1 L’anneau $K[X]$

Définition 8.1 (Polynôme, degré)

Un polynôme à coefficients dans $K$ est une somme formelle

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

avec $a_k \in K$ tous nuls à partir d’un certain rang. Munie de l’addition naturelle et du produit

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

l’ensemble $K[X]$ est un anneau commutatif. Le degré $\deg P$ de $P \neq 0$ est le plus grand $n$ tel que $a_n \neq 0$ ; $a_n$ en est le coefficient dominant ( $P$ est unitaire lorsque $a_n = 1$ ), et par convention $\deg 0 = -\infty$ . Tout polynôme définit une fonction $x \mapsto P(x)$ sur $K$ par substitution.

Proposition 8.2 (Règles de degré ; anneau intègre)

Pour $P, Q \in K[X]$ :

\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q .

Par conséquent $K[X]$ est un anneau intègre, et ses inversibles sont les constantes non nulles.

Démonstration. La règle de la somme est claire (les coefficients au-delà du maximum sont nuls). Pour le produit, soient $a_m$ et $b_n$ les coefficients dominants : le coefficient de $X^{m+n}$ dans $PQ$ vaut $a_m b_n \neq 0$ ( $K$ est un corps, donc un anneau intègre), et tous les coefficients d’indice supérieur sont nuls. Si $P, Q \neq 0$ , alors $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$ , donc $PQ \neq 0$ : l’anneau est intègre. Si $PQ = 1$ , alors $\deg P + \deg Q = 0$ impose $\deg P = \deg Q = 0$ : les éléments inversibles sont les constantes inversibles, c’est-à-dire tout $K^*$ . ∎

Théorème 8.3 (Division euclidienne)

Soient $A, B \in K[X]$ avec $B \neq 0$ . Il existe exactement un couple $(Q, R)$ de polynômes tel que

A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B .

Démonstration. Existence, par récurrence forte sur $\deg A$ . Si $\deg A < \deg B$ , on prend $(Q, R) = (0, A)$ . Sinon, écrivons $A = a X^m + \dots$ , $B = b X^n + \dots$ avec $m \geq n$ ; le polynôme $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ est de degré $< m$ (les termes dominants se simplifient), donc par récurrence $A_1 = BQ_1 + R$ avec $\deg R < \deg B$ , et $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$ .

Unicité : si $BQ + R = BQ' + R'$ , alors $B(Q - Q') = R' - R$ avec $\deg(R' - R) < \deg B$ ; la règle de degré impose $Q - Q' = 0$ , puis $R = R'$ . ∎

Exemple 8.4

Divisons $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ par $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Le calcul : on retranche $X^2 B$ , puis $X B$ , puis $-B$ ; le reste $-3X + 2$ est de degré $1 < 2$ .)

Méthode 8.5 (Schéma de Horner)

Pour évaluer $P = a_nX^n + \dots + a_0$ en $x$ , ou pour diviser $P$ par $X - x$ , on évite de calculer les puissances : on lit les coefficients de gauche à droite, et on itère multiplier par $x$ , ajouter le coefficient suivant :

b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) .

Alors $b_0 = P(x)$ , et les $b_k$ précédents sont les coefficients du quotient : $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (développer et comparer). Exemple : $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ en $x = 2$ : les $b$ valent $1, -3, 0, 4, 0$ , donc $P(2) = 0$ et $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — une ligne au lieu d’une division posée, et $n$ multiplications au lieu des $\approx n^2/2$ de l’évaluation naïve. En itérant le schéma au même point, on extrait les multiplicités (comparer avec l’Exemple 8.12).

Remarque 8.6 (Arithmétique de $K[X]$ )

La division euclidienne acquise, toute l’arithmétique du Chapitre 6 se transporte à $K[X]$ , avec les mêmes démonstrations, le degré jouant le rôle de la valeur absolue : PGCD (normalisé unitaire), algorithme d’Euclide étendu, théorème de Bézout, lemme de Gauss, polynômes irréductibles et factorisation unique. Nous utiliserons librement ces résultats transportés, et l’Exercice 8.6 en fait réviser un.

8.2 Racines

Théorème 8.7 (Théorème de factorisation)

Soient $P \in K[X]$ et $a \in K$ . Le reste de la division de $P$ par $X - a$ est la constante $P(a)$ . En particulier

P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P .

Plus généralement, des racines distinctes $a_1, \dots, a_r$ de $P$ fournissent la factorisation $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$ .

Démonstration. Divisons : $P = (X - a) Q + R$ avec $\deg R < 1$ , donc $R$ est une constante $c$ ; en substituant $X = a$ (la substitution respecte sommes et produits), on obtient $P(a) = c$ . L’équivalence s’ensuit. Pour plusieurs racines, raisonnons par récurrence sur $r$ : le cas $r = 1$ est l’équivalence qui vient d’être démontrée. Supposons l’énoncé acquis pour $r - 1$ racines et soient $a_1, \dots, a_r$ des racines distinctes de $P$ . Écrivons $P = (X - a_1)Q_1$ ; pour chaque $i \geq 2$ , en substituant $a_i$ :

0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 ,

et comme $K$ n’a pas de diviseur de zéro, $Q_1(a_i) = 0$ : les $r - 1$ points distincts $a_2, \dots, a_r$ sont des racines de $Q_1$ . L’hypothèse de récurrence factorise $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$ , et en reportant on obtient l’assertion. ∎

Corollaire 8.8 (Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines)

Un polynôme non nul $P \in K[X]$ de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes dans $K$ . Par conséquent, un polynôme (de degré $\leq n$ ) qui s’annule en $n + 1$ points distincts est le polynôme nul, et deux polynômes de degré $\leq n$ qui coïncident en $n+1$ points sont égaux.

Démonstration. Si $a_1, \dots, a_r$ sont des racines distinctes, le Théorème 8.7 donne $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$ , donc $n = \deg P \geq r$ . Les deux conséquences s’obtiennent par l’absurde et par différence. ∎

Exemple 8.9 (L’astuce du polynôme auxiliaire)

Soit $P$ le polynôme de degré $\leq n$ vérifiant

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

il existe et est unique par l’interpolation de Lagrange ci-dessous. Que vaut $P(n+1)$ ? Chassons les dénominateurs : le polynôme $Q = (X+1)P - X$ est de degré $\leq n + 1$ et s’annule aux $n + 1$ points $0, 1, \dots, n$ , donc par le Théorème 8.7

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

pour une certaine constante $c$ . Évaluons là où $Q$ est connu par ailleurs : en $X = -1$ , $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , tandis que le produit vaut $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ; d’où $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Évaluons maintenant en $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

donc $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : cela vaut $1$ pour $n$ impair, et $\frac{n}{n+2}$ pour $n$ pair — le polynôme interpolateur ne prolonge pas le motif $\frac{n+1}{n+2}$ . L’astuce à retenir : coder les données comme racines d’un polynôme auxiliaire, identifier la constante inconnue en un point hors des données, et récolter.

Définition 8.10 (Dérivée, multiplicité)

La dérivée formelle de $P = \sum a_k X^k$ est $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$ ; elle vérifie les règles usuelles $(P+Q)' = P' + Q'$ , $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (vérifiées sur les monômes et étendues par linéarité). Une racine $a$ de $P$ est de multiplicité $m \geq 1$ lorsque $(X-a)^m \mid P$ mais $(X-a)^{m+1} \nmid P$ ; la racine est simple si $m = 1$ , multiple si $m \geq 2$ .

Proposition 8.11 (Multiplicité par les dérivées)

$a$ est racine de $P$ de multiplicité $\geq m$ si et seulement si

P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 .

En particulier, $a$ est racine multiple de $P$ si et seulement si $P(a) = P'(a) = 0$ .

Démonstration. Écrivons $P = (X - a)^m Q + R$ où $R$ est le reste de la division par $(X-a)^m$ , $\deg R < m$ . En dérivant $k \leq m - 1$ fois et en évaluant en $a$ : le premier terme contribue pour $0$ (chaque dérivée conserve un facteur $(X-a)$ ), donc $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$ .

Or un polynôme $R$ de degré $< m$ est déterminé par $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$ : en écrivant $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (c’est possible : développer les puissances de $X = (X - a) + a$ ), on trouve $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$ . D’où : tous les $P^{(k)}(a) = 0$ pour $k < m$ $\iff$ tous les $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$ . ∎

Exemple 8.12 (Calcul d’une multiplicité)

Quelle est la multiplicité de la racine $2$ dans $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ ? Évaluons les dérivées successives en $2$ :

P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0,

P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0

(avec $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ , $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ , $P''' = 24X - 30$ ). Trois valeurs nulles puis une valeur non nulle : multiplicité exactement $3$ . En divisant, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — ce que l’on vérifie en développant $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ et en multipliant par $X + 1$ . L’idée à retenir : les multiplicités se lisent sur des évaluations, sans aucune factorisation — et c’est exactement ainsi qu’on les détecte lorsque la factorisation est hors d’atteinte.

Exemple 8.13 (Détecter les racines multiples par un PGCD)

Lorsqu’aucune racine n’est connue, la Proposition 8.11 fournit encore un détecteur global de racines multiples : $a$ est racine multiple de $P$ si et seulement si c’est une racine commune à $P$ et $P'$ , donc $P$ a une racine multiple (dans $\C$ ) si et seulement si $\gcd(P, P') \neq 1$ — ce qui se calcule par l’algorithme d’Euclide sans rien résoudre. Un échantillon : $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . Testons les racines $\pm1$ de $P'$ dans $P$ : $P(1) = 0$ mais $P(-1) = 4$ , donc

\gcd(P, P') = X - 1 :

la racine $1$ est multiple ; en divisant deux fois, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . Le PGCD livre même l’ensemble complet des racines multiples, chacune avec sa multiplicité abaissée d’une unité — fait que tout système de calcul formel exploite pour « factoriser sans facteur carré » avant toute recherche de racines, et jumeau polynomial des arguments d’absence de racine multiple de l’Exercice 8.9.

Théorème 8.14 (Théorème fondamental de l’algèbre)

Tout polynôme non constant de $\C[X]$ possède une racine dans $\C$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 8.15

Malgré son nom, ce théorème est un énoncé d’analyse : toute démonstration connue utilise la complétude de $\R$ sous une forme ou une autre, et aucune n’est purement algébrique — la démonstration honnête est donnée dans le volume de Licence 3, une fois disponibles l’intégration complexe ou les arguments de compacité. Ce que ce chapitre démontre véritablement, c’est la réduction : une racine étant accordée pour tout polynôme non constant, les factorisations complètes sur $\C$ et sur $\R$ ci-dessous s’en déduisent par pure algèbre.

Corollaire 8.16 (Factorisation sur $\C$ et sur $\R$ )

Tout $P \in \C[X]$ non nul se factorise en

$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$

où $c$ est le coefficient dominant, les $a_i$ les racines complexes distinctes, $\sum m_i = \deg P$ : comptées avec multiplicité, un polynôme de degré $n$ a exactement $n$ racines complexes.
Tout $P \in \R[X]$ non nul se factorise sur $\R$ en

$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$

les facteurs quadratiques étant distincts et vérifiant $p_j^2 - 4q_j < 0$ (pas de racine réelle).

Démonstration. (1) Récurrence sur le degré, en détachant une racine à la fois grâce au Théorème 8.7 ; le compte des degrés est correct à chaque étape.

(2) Soit $P$ à coefficients réels. Si $z$ est une racine complexe de multiplicité $m$ , $\conj z$ l’est aussi : en conjuguant $P(z) = 0$ on obtient $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (les coefficients sont leurs propres conjugués), et il en va de même pour les dérivées (Proposition 8.11). Groupons les racines non réelles par paires conjuguées : chaque paire contribue pour

(X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 ,

un trinôme réel de discriminant négatif. Les racines réelles fournissent les facteurs de degré $1$ . ∎

Exemple 8.17

$X^4 + 4$ a été factorisé sur $\R$ dans l’Exercice 3.5 en appariant les quatre racines complexes $\pm 1 \pm \iu$ : $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ . Aucun des deux trinômes ne se scinde sur $\R$ (discriminants $-4$ ). À noter : un polynôme réel irréductible est de degré $1$ ou $2$ — c’est exactement ce que dit le théorème de factorisation. Le même appariement conjugué appliqué à $X^4 + 1$ , dont les racines sont $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ et $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ : chaque paire contribue pour $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ , donc

X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) ,

identité invisible aux tentatives naïves de factorisation sur $\Q$ — le prix à payer pour exiger des coefficients réels (ici même irrationnels), et une donnée standard pour intégrer $\frac1{x^4 + 1}$ au Chapitre 15.

Le polynôme de Tchebychev T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X sur ∈tcc-11 : il oscille exactement entre -1 et 1, touchant les bornes en six points (marqués). C’est cette équioscillation qui fait de 2-4T_5 le polynôme unitaire de degré 5 de plus petite norme uniforme sur l’intervalle ( et le devoir maison). — Le polynôme de Tchebychev $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ sur $\intcc{-1}1$ : il oscille exactement entre $-1$ et $1$ , touchant les bornes en six points (marqués). C’est cette *équioscillation* qui fait de $2^{-4}T_5$ le polynôme unitaire de degré $5$ de plus petite norme uniforme sur l’intervalle (Exercice 8.10 et le devoir maison).

Remarque 8.18 (Pièges courants avec les polynômes)

Polynôme contre fonction. Sur $K = \Q, \R, \C$ les deux notions coïncident (des fonctions égales ont des coefficients égaux, par le Corollaire 8.8 et l’infinitude de $K$ ), mais conceptuellement un polynôme est sa liste de coefficients : sur le corps à deux éléments $\Z/2\Z$ du Chapitre 7, $X^2 + X$ s’annule en ses deux points, sans être pour autant le polynôme nul.
Les degrés sous l’addition. $\deg(P + Q)$ peut tomber strictement en dessous de $\max(\deg P, \deg Q)$ lorsque les termes dominants se simplifient ; écrire « $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ » n’est licite que pour des degrés distincts.
Compter correctement les racines. « $n$ racines » dans le Corollaire 8.16 signifie avec multiplicité, dans $\C$ : $X^2 + 1$ n’a pas de racine réelle, et $(X-1)^2$ a une seule racine distincte mais deux avec multiplicité. Les énoncés qui mélangent ces trois comptes sont la source la plus fréquente de fausses démonstrations.
L’irréductibilité dépend du corps. $X^2 - 2$ est irréductible sur $\Q$ et se scinde sur $\R$ ; $X^2 + 1$ est irréductible sur $\R$ et se scinde sur $\C$ . Le mot « irréductible » tout court ne signifie rien tant que le corps des coefficients n’est pas nommé.

8.3 Relations entre coefficients et racines

Théorème 8.19 (Relations de Viète)

Soit $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ unitaire, de racines $a_1, \dots, a_n \in \C$ (comptées avec multiplicité). Alors

\sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 ,

la $k$ -ième fonction symétrique des racines valant $(-1)^k c_{n-k}$ .

Démonstration. D’après le Corollaire 8.16, $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ (unitaire, toutes les racines listées). Développer le produit par distributivité produit un terme par façon de choisir, dans chaque facteur, soit $X$ , soit le terme de racine $-a_i$ : choisir les racines dans les facteurs d’indices $i_1 < \dots < i_k$ et $X$ dans les $n - k$ autres contribue pour $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$ . En regroupant selon la puissance de $X$ :

P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} ,

et l’identification avec $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (les coefficients sont uniques, Définition 8.1) donne $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$ , c’est-à-dire $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$ , où $\sigma_k$ désigne la $k$ -ième fonction symétrique affichée ci-dessus. Les trois cas affichés sont $k = 1$ , $k = 2$ et $k = n$ . ∎

Exemple 8.20

Pour le trinôme $X^2 - sX + p$ : somme des racines $s$ , produit $p$ — déjà utilisé à plusieurs reprises (Exercice 3.8). Pour une cubique unitaire $X^3 + aX^2 + bX + c$ de racines $\alpha, \beta, \gamma$ :

\alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c ,

ce qui permet de calculer des quantités symétriques comme $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ sans rien résoudre.

Exemple 8.21 (Transformer les racines sans les calculer)

Soient $\alpha, \beta$ les racines de $X^2 - 3X + 1$ . Quel trinôme unitaire a pour racines $\alpha^2$ et $\beta^2$ ? Par Viète, $\alpha + \beta = 3$ et $\alpha\beta = 1$ , donc

\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 :

la réponse est $X^2 - 7X + 1$ — obtenue sans calculer $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$ . (Vérification : $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ et l’on a bien $\alpha^2 + \beta^2 = 7$ .) La même stratégie traite les inverses (transformations du type $X^2 - \frac ba X + \frac ca$ ), les translations, et toute donnée symétrique : Viète convertit les questions sur les racines inconnues en algèbre sur les coefficients connus. Cela servira constamment lorsque les racines seront des valeurs propres (Chapitre 22).

Exemple 8.22 (Équations palindromiques)

Résolvons $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$ . Les coefficients se lisent de la même façon dans les deux sens, donc $0$ n’est pas racine et la division par $X^2$ ne perd aucune solution :

X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 .

Posons $y = X + \frac1X$ : alors $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$ , et l’équation se réduit à

y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 .

Déroulons chaque valeur via $X^2 - yX + 1 = 0$ : pour $y = 2$ , $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ donne la racine double $1$ ; pour $y = -3$ , $X^2 + 3X + 1 = 0$ donne $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$ . Quatre racines comptées avec multiplicité pour une quartique, comme le Corollaire 8.16 l’exige — obtenues en résolvant deux équations du second degré. L’astuce vaut pour tout polynôme palindromique : ses racines vont par paires inverses $\{x, 1/x\}$ (remplacer $X$ par $1/X$ et chasser les dénominateurs), et $y = X + \frac1X$ est précisément la quantité constante sur de telles paires, ce qui divise le degré par deux.

Théorème 8.23 (Interpolation de Lagrange)

Soient $x_0, \dots, x_n$ des points distincts de $K$ et $y_0, \dots, y_n \in K$ . Il existe exactement un $P \in K[X]$ de degré $\leq n$ tel que $P(x_i) = y_i$ pour tout $i$ , à savoir

P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} .

Démonstration. Chaque $L_i$ est de degré $n$ et vérifie $L_i(x_i) = 1$ , $L_i(x_j) = 0$ pour $j \neq i$ (chaque facteur s’annule au $x_j$ correspondant). Le $P$ affiché est donc de degré $\leq n$ et interpole. Unicité : deux polynômes interpolateurs de degré $\leq n$ coïncident aux $n+1$ points $x_i$ , donc sont égaux (Corollaire 8.8). ∎

Remarque 8.24 (Interlude : les polynômes sont aussi des vecteurs)

Un changement de point de vue que le Chapitre 18 rendra officiel : les polynômes de degré $\leq n$ forment un espace où l’addition et la multiplication par un scalaire se comportent exactement comme sur des coordonnées — un polynôme est sa liste de $n + 1$ coefficients. Trois énoncés de ce chapitre sont de l’algèbre linéaire qui s’ignore. L’interpolation de Lagrange (Théorème 8.23) dit que les données d’évaluation $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ déterminent $P$ de façon unique : l’évaluation en $n + 1$ points est une bijection linéaire, et les $L_i$ en sont la base adaptée. Le développement $R = \sum c_k(X - a)^k$ de la démonstration de la Proposition 8.11 dit que les puissances de $(X - a)$ forment un autre système de coordonnées, de coordonnées $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ . Et le Corollaire 8.8 — plus de racines que le degré force le polynôme nul — est le moteur de toutes les unicités : cela deviendra « une application linéaire injective sur un espace de dimension $n + 1$ » au Chapitre 19. Quand ces chapitres viendront, l’espace $K_n[X]$ sera leur exemple favori ; il vaut la peine d’y arriver déjà à l’aise avec lui.

Remarque 8.25 (Où ce chapitre sert)

La factorisation sur $\R$ et sur $\C$ (Corollaire 8.16) est le moteur de la décomposition en éléments simples du Chapitre 9, donc d’une vaste classe d’intégrales du Chapitre 15. Le développement d’un polynôme suivant les puissances de $(X - a)$ , rencontré dans la démonstration de la Proposition 8.11, est l’ombre algébrique des formules de Taylor du Chapitre 16. Les polynômes caractéristiques sont déjà apparus pour les équations différentielles (Chapitre 5) et reviendront pour les matrices au Chapitre 22 ; l’interpolation de Lagrange est le premier théorème d’existence et d’unicité de l’analyse numérique, et les polynômes de Tchebychev de l’Exercice 8.10 — dont le devoir maison ci-dessous établit l’optimalité — disent à cette discipline où interpoler. Enfin, toute l’arithmétique de $K[X]$ , recopiée du Chapitre 6, alimente l’étude des idéaux de $K[X]$ et des anneaux quotients dans le volume de Licence 2.

8.4 Exercices

Exercice 8.1 ★

Effectuer les divisions euclidiennes : $X^5 - 1$ par $X^2 + X + 1$ ; puis $2X^4 + X^3 - X + 3$ par $X^2 - 2$ .

Solution

Solution de Exercice 8.1.

$X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$ . Étapes : on retranche $X^3 B$ , puis $-X^2 B$ , puis $B$ ; le reste $-X - 2$ est de degré $1 < 2$ . Vérification en $X = 1$ : $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$ .

$2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$ . Vérification en $X = 0$ : $\;3 = (-2)(4) + 11$ .

Exercice 8.2 ★

Pour quels $n \in \N$ le polynôme $X^2 + X + 1$ divise-t-il $X^{2n} + X^n + 1$ ? Indication : les racines de $X^2 + X + 1$ sont $j$ et $j^2$ avec $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; discuter selon $n$ modulo $3$ .

Solution

Solution de Exercice 8.2.

$X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ avec $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , $j^3 = 1$ . Ce polynôme divise $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ si et seulement si $j$ et $j^2$ sont racines de $Q_n$ ; comme $Q_n$ est à coefficients réels, $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$ , si bien que la condition se réduit à $Q_n(j) = 0$ . Or $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ ne dépend que de $n$ modulo $3$ :

$n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ;
$n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ;
$n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ .

Ainsi $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ exactement lorsque $3 \nmid n$ .

Exercice 8.3 ★

Déterminer les réels $a, b$ pour que $(X-1)^2$ divise $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$ , puis factoriser $P$ sur $\R$ pour ces valeurs.

Solution

Solution de Exercice 8.3.

D’après la Proposition 8.11, $(X-1)^2 \mid P$ si et seulement si $P(1) = P'(1) = 0$ :

P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 .

En résolvant : $b = -a - 2$ et $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$ , donc $a = 0$ , $b = -2$ : $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$ , ce qui est la factorisation réelle.

Exercice 8.4 ★

Factoriser sur $\C$ et sur $\R$ : $X^3 - 1$ ; $\;X^4 + X^2 + 1$ ; $\;X^6 - 1$ .

Solution

Solution de Exercice 8.4.

$X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ sur $\C$ ( $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ), et $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ sur $\R$ .

$X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ sur $\R$ (développer, ou remarquer que $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$ ) ; sur $\C$ , chaque trinôme se scinde : racines $j, j^2$ et $-j, -j^2$ , c’est-à-dire $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$ .

$X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ sur $\C$ , et sur $\R$ :

X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1),

en groupant les paires conjuguées $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ et $\eu^{\pm \iu\pi/3}$ .

Exercice 8.5 ★★

Soit $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ .

Trouver les racines rationnelles (une racine rationnelle $p/q$ écrite sous forme irréductible d’un polynôme unitaire à coefficients entiers est un entier divisant le terme constant — le démontrer), et factoriser $P$ .
Sans résoudre, calculer la somme des carrés et la somme des inverses des racines à l’aide de Viète, et vérifier sur la factorisation.

Solution

Solution de Exercice 8.5.

Soit $p/q$ (sous forme irréductible) une racine du polynôme unitaire à coefficients entiers $X^3 + \dots + c_0$ : en chassant les dénominateurs dans $P(p/q) = 0$ , on obtient $p^3 = -q\,(\text{entier})$ , donc $q \mid p^3$ ; la primalité entre eux impose $q = \pm 1$ : la racine est un entier $p$ , et $p \mid c_0$ (isoler $c_0$ ). Ici les candidats divisent $6$ : en testant, $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ . Donc $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ .
Viète : $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ . Somme des carrés : $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , comme prévu. Somme des inverses : $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , comme prévu.

Exercice 8.6 ★★

Calculer $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ par l’algorithme d’Euclide, et l’écrire comme combinaison $AU + BV$ des deux polynômes.

Solution

Solution de Exercice 8.6.

Première étape de division de l’algorithme d’Euclide :

(X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 ,

donc la division de $X^4 - 1$ par $X^3 - X^2 + X - 1$ est exacte (quotient $X + 1$ , reste $0$ ), et l’algorithme s’arrête aussitôt :

\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1

(déjà unitaire). La relation de Bézout est la relation triviale : $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$ . Vérification de cohérence par factorisation : $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$ , qui est bien le produit des facteurs irréductibles communs à $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ .

Exercice 8.7 ★★

Soit $P \in \R[X]$ tel que $P(x) \geq 0$ pour tout $x \in \R$ . Montrer que $P$ est somme de deux carrés de polynômes réels : $P = A^2 + B^2$ . Indication : dans la factorisation réelle, les racines réelles sont de multiplicité paire ; écrire les facteurs quadratiques sous la forme $(X - z)(X - \conj z)$ et utiliser $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ sur le produit des $(X - z)$ .

Solution

Solution de Exercice 8.7.

Comme $P \geq 0$ sur $\R$ , ses racines réelles sont de multiplicité paire (en une racine de multiplicité impaire, $P$ change de signe). En utilisant Corollaire 8.16 et en appariant, écrivons

P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j},

avec $c > 0$ (comportement en $+\infty$ ). Posons

S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X],

de sorte que $P = S\,\conj S$ , où $\conj S$ a les coefficients conjugués. Décomposons $S = A + \iu B$ avec $A, B \in \R[X]$ : alors

P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 .

Exercice 8.8 ★★

Trouver le polynôme $P$ de degré $\leq 2$ vérifiant $P(0) = 1$ , $P(1) = 3$ , $P(2) = 2$ , d’abord par la formule de Lagrange, puis en résolvant le système linéaire sur les coefficients. Vérifier que les deux réponses coïncident.

Solution

Solution de Exercice 8.8.

Lagrange (Théorème 8.23) avec les nœuds $0, 1, 2$ :

P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1).

En développant : $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$ .

Le système : $P = aX^2 + bX + c$ avec $c = 1$ ; $a + b + 1 = 3$ ; $4a + 2b + 1 = 2$ . En retranchant deux fois la deuxième équation à la troisième : $2a - 1 = -4$ , donc $a = -\frac32$ , $b = \frac72$ . Le même polynôme : $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$ . (Vérification : $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$ .)

Exercice 8.9 ★★

Montrer que $P = X^{2n+1} - 1$ a exactement une racine réelle, et que pour tout $n \geq 1$ le polynôme $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ n’a pas de racine multiple (comparer $P$ et $P'$ ).

Solution

Solution de Exercice 8.9.

$P = X^{2n+1} - 1$ : $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$ , donc la fonction polynomiale est croissante (strictement sauf en $0$ ), de limites $\mp\infty$ : elle s’annule exactement une fois sur $\R$ (en $x = 1$ ).

Posons $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$ . Alors $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$ . Une racine multiple $a$ vérifierait $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ (Proposition 8.11), d’où $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$ , donc $a = 0$ ; or $E_n(0) = 1 \neq 0$ . Aucune racine multiple.

Exercice 8.10 ★★★

(Polynômes de Tchebychev) On pose $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ et $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ .

Montrer par récurrence que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ pour tout $\theta$ .
En déduire les $n$ racines de $T_n$ et son coefficient dominant.
Montrer que $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , atteint en $n + 1$ points de $\intcc{-1}{1}$ .

Solution

Solution de Exercice 8.10.

Récurrence (les deux cas initiaux sont vrais). En utilisant $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ :

$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$
$T_n(\cos\theta) = 0$ si et seulement si $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ : les nombres

$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$

sont $n$ points distincts de $\intoo{-1}{1}$ (les angles sont dans $\intoo{0}{\pi}$ où $\cos$ est injective), tous racines de $T_n$ ; comme $\deg T_n = n$ (par la récurrence, avec coefficient dominant $2^{n-1}$ pour $n \geq 1$ ), ce sont toutes les racines, chacune simple.
Pour $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ : $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , avec égalité si et seulement si $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , c’est-à-dire aux $n+1$ points $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ , $k = 0, \dots, n$ , où $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (C’est cette équioscillation qui fait de $2^{1-n}T_n$ le polynôme unitaire de degré $n$ de plus petite norme uniforme sur $\intcc{-1}{1}$ — démontré dans le devoir maison de ce chapitre.)

Exercice 8.11 ★★★

Soit $P \in \C[X]$ non constant, de racines distinctes $a_1, \dots, a_r$ (de multiplicités $m_1, \dots, m_r$ ). Démontrer l’identité de fractions rationnelles

\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i},

et en déduire le théorème de Gauss–Lucas : toute racine de $P'$ appartient à l’enveloppe convexe des racines de $P$ (évaluer l’identité en une racine $w$ de $P'$ qui n’est pas racine de $P$ , conjuguer, et lire le résultat comme le fait que $w$ est une moyenne pondérée des $a_i$ ).

Solution

Solution de Exercice 8.11.

Écrivons $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$ . La règle du produit (étendue à plusieurs facteurs) donne

P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k},

et en divisant par $P$ : $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (comme fractions rationnelles, c’est-à-dire hors des racines).

Soit $w$ une racine de $P'$ . Si $w$ est l’un des $a_i$ , il appartient trivialement à l’enveloppe convexe. Sinon, en évaluant en $w$ :

0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} .

En conjuguant : $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ où $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$ . D’où

w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} :

une combinaison convexe (poids positifs de somme $1$ après normalisation) des racines $a_i$ . Ainsi toute racine de $P'$ appartient à l’enveloppe convexe des racines de $P$ .

Exercice 8.12 ★★

(Filtre par les racines de l’unité) Soient $n \in \N^*$ et $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ . En évaluant $(1 + X)^n$ en $1$ , $j$ et $j^2$ , démontrer que

\sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} ,

et vérifier la formule pour $n = 3$ et $n = 6$ . Indication : $1 + j^m + j^{2m}$ vaut $3$ si $3 \mid m$ et $0$ sinon ; et $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$ .

Solution

Solution de Exercice 8.12.

Sommons les évaluations de $(1 + X)^n$ aux trois racines cubiques de l’unité :

2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk ,

puisque $1 + j^k + j^{2k}$ est une somme géométrique valant $3$ quand $3 \mid k$ et $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ sinon. Or $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ et $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$ , donc $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ et

\sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} .

Vérifications : $n = 3$ : $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$ ; $n = 6$ : $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$ .

8.5 Problème : les polynômes de Tchebychev et le polynôme le plus plat

Problème 8.1

Parmi tous les polynômes unitaires de degré $n$ , lequel reste le plus près de zéro sur $\intcc{-1}1$ ? La réponse — le théorème de Tchebychev, acte de naissance de la théorie de l’approximation — est $2^{1-n}T_n$ , où $T_n$ est le polynôme de Tchebychev de l’Exercice 8.10, et aucun concurrent unitaire ne peut battre son écart $2^{1-n}$ . Ce problème développe l’algèbre de la famille $(T_n)$ (loi de composition, coefficients explicites, la famille $U_n$ de seconde espèce, une équation différentielle), démontre le théorème d’extrémalité avec son cas d’égalité, et rassemble des applications : nœuds d’interpolation optimaux, valeur exacte de $\cos 36^\circ$ , et une congruence $T_p \equiv X^p \pmod p$ . Dans tout le problème, $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ , $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ , et nous utilisons librement $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ de l’Exercice 8.10.

Partie I — La famille $(T_n)$ .

Calculer $T_2, T_3, T_4, T_5$ à partir de la récurrence. (Comparer $T_3$ avec l’identité $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ de l’Exemple 3.9.)
Montrer par récurrence : $\deg T_n = n$ , de coefficient dominant $2^{n-1}$ pour $n \geq 1$ , et $T_n$ a la parité de $n$ (seules des puissances paires, ou seules des puissances impaires, y figurent).
Démontrer le principe d’unicité : $T_n$ est le seul polynôme vérifiant $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ pour tout $\theta$ . (Deux polynômes qui coïncident sur $\intcc{-1}1$ coïncident partout : Corollaire 8.8.)
En déduire les lois de composition et de produit :

$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$
Rappeler de l’Exercice 8.10 les racines $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ et les points d’équioscillation $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ avec $T_n(y_k) = (-1)^k$ . Écrire la factorisation complète de $T_n$ sur $\R$ , et justifier que les $y_k$ s’entrelacent : $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ .
Montrer que $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ pour tout $t \in \R$ (même récurrence, en utilisant Proposition 4.18), et en déduire pour $x \geq 1$ la forme close

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$

d’où $T_n(x) > 1$ pour $x > 1$ : hors de $\intcc{-1}1$ , le polynôme s’échappe aussitôt.

Partie II — Coefficients, la famille $U_n$ , une équation différentielle.

À partir de la formule de de Moivre (Corollaire 3.8), démontrer l’expression explicite

$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$

et la vérifier pour $n = 3$ .
Calculer $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ et $T_n(0)$ pour tout $n$ .
Définir $U_n$ (de seconde espèce) par $U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ , $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . Montrer que $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ pour $\theta \notin \pi\Z$ , et que $T_n' = n\,U_{n-1}$ pour $n \geq 1$ .
Montrer que $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ pour tout $\theta$ (récurrence), et en déduire la majoration de type Markov

$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{sur } \intcc{-1}1, \qquad\text{avec } T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$
Montrer que $y = T_n$ vérifie l’équation différentielle

$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$

en dérivant l’identité $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ par rapport à $\theta$ ; vérifier directement pour $T_2$ .

Partie III — Le théorème d’extrémalité de Tchebychev. On pose $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ (unitaire d’après la question 2) et l’on écrit $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$ .

Justifier que $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , atteint avec des signes alternés aux $n + 1$ points $y_n < \dots < y_0$ .
Supposons qu’un polynôme unitaire $P$ de degré $n$ vérifie $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , et posons $D = \widetilde T_n - P$ . Montrer que $\deg D \leq n - 1$ , et que $D(y_k)$ a strictement le signe de $(-1)^k$ pour chaque $k = 0, \dots, n$ .
En déduire que $D$ a au moins $n$ racines réelles distinctes (une dans chaque intervalle consécutif, par la propriété des valeurs intermédiaires, utilisée ici au niveau du lycée et démontrée au Chapitre 13), et conclure au théorème de Tchebychev : tout polynôme unitaire $P$ de degré $n$ vérifie

$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$
(Cas d’égalité, première étape) Supposons maintenant $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ exactement, $P$ unitaire de degré $n$ , et posons $D = \widetilde T_n - P$ . Montrer que $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ pour tout $k$ , et que si $D(y_k) = 0$ en un point intérieur $y_k$ ( $0 < k < n$ ), alors $D'(y_k) = 0$ également. (En un $y_k$ intérieur, $\widetilde T_n$ et $P$ atteignent tous deux un extremum de valeur absolue $\norm{\cdot} _\infty$ ; une fonction dérivable a une dérivée nulle en un extremum intérieur — utilisé au niveau du lycée, démontré au Chapitre 14.)
(Cas d’égalité, conclusion) Compter les racines de $D$ avec multiplicité pour montrer que $D = 0$ : le minimiseur est unique, $P = \widetilde T_n$ .
Transporter le résultat sur un segment quelconque $\intcc ab$ : montrer que la norme uniforme minimale d’un polynôme unitaire de degré $n$ sur $\intcc ab$ vaut $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ , atteinte par un polynôme de Tchebychev remis à l’échelle. (Substituer $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ et suivre le coefficient dominant.)

Partie IV — Applications.

Traiter à la main le cas $n = 3$ : localiser les extrema de $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ sur $\intcc{-1}1$ , vérifier l’équioscillation en quatre points de valeur $\frac14$ , et conclure qu’aucune cubique unitaire ne fait mieux.
(Nœuds d’interpolation optimaux) Pour $n + 1$ nœuds $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ , l’erreur d’interpolation est gouvernée par $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (comme le Chapitre 16 le quantifiera). Montrer que le choix qui minimise $\norm\omega_\infty$ est l’ensemble des $n + 1$ racines de $T_{n+1}$ , avec $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : les nœuds de Tchebychev sont les bons endroits où interpoler.
À l’aide de $T_5$ , montrer que $c = \cos 36^\circ$ vérifie $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ , factoriser ce polynôme en $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ , et en conclure que

$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$

Vérifier la cohérence avec $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ de l’Exercice 3.8.
Estimer $T_{10}(1.1)$ avec la forme close de la question 6 (deux chiffres significatifs suffisent), et interpréter : un polynôme borné par $1$ sur $\intcc{-1}1$ peut déjà dépasser $40$ en $x = 1.1$ . (Que $T_n$ croisse le plus vite parmi de tels polynômes est une autre propriété extrémale de la famille, hors de portée de ce problème.)
Démontrer la congruence : pour tout nombre premier impair $p$ , tous les coefficients de $T_p - X^p$ sont divisibles par $p$ . (Utiliser la question 7 et $p \mid \binom p{2j}$ pour $0 < 2j < p$ , tiré de la démonstration du Théorème 6.23.) Vérifier sur $T_3$ et $T_5$ .

Partie V — Synthèse.

Calculer explicitement le trinôme unitaire de norme uniforme minimale sur $\intcc01$ et son écart. (Question 17 avec $n = 2$ .)
Où exactement le problème a-t-il utilisé : (i) la rigidité des polynômes (Corollaire 8.8) ; (ii) la trigonométrie du Chapitre 3 et du Chapitre 4 ; (iii) l’arithmétique des coefficients binomiaux du Chapitre 6 ? Une phrase pour chacun.
Synthèse, en un court paragraphe : le théorème dit que le polynôme unitaire le plus plat est celui qui équioscille, et la démonstration convertit l’optimalité en un décompte de racines. Commenter ce mécanisme, le rôle de la substitution $x = \cos\theta$ comme pont entre algèbre et trigonométrie, et nommer les deux endroits où le problème a eu besoin de résultats d’analyse (TVI, extremum intérieur) que des chapitres ultérieurs démontrent.

Solution

Solution de Problème 8.1.

1. $T_2 = 2X^2 - 1$ ; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$ ; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ ; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ . L’identité $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ est exactement $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ de l’Exemple 3.9.

2. Vrai pour $n = 1, 2$ . Si $T_{n-1}$ et $T_n$ sont de degrés $n-1$ et $n$ , de coefficients dominants $2^{n-2}$ et $2^{n-1}$ , alors $2X\,T_n$ est de degré $n+1$ et de coefficient dominant $2^n$ , tandis que $T_{n-1}$ est de degré plus petit : $T_{n+1}$ est de degré $n + 1$ et de coefficient dominant $2^n$ . Parité : si $T_{n-1}$ a la parité de $n - 1$ et $T_n$ celle de $n$ , alors $2X\,T_n$ et $T_{n-1}$ ont tous deux la parité de $n + 1$ , donc $T_{n+1}$ également.

3. Si $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ pour tout $\theta$ , alors $P$ et $T_n$ coïncident en tout point de $\intcc{-1}1$ — un ensemble infini — donc $P - T_n$ a une infinité de racines et est le polynôme nul (Corollaire 8.8).

4. Pour $x = \cos\theta$ : $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$ , et $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$ . Les deux identités valent sur $\intcc{-1}1$ , donc comme identités polynomiales par l’argument de la question 3.

5. Les $x_k$ sont $n$ racines simples distinctes et le coefficient dominant vaut $2^{n-1}$ :

T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) .

Entrelacement : les angles $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ alternent entre les angles $\frac{k\pi}n$ des $y$ et les angles $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ des $x$ ; comme $\cos$ est strictement décroissante sur $\intcc0\pi$ , les valeurs s’entrelacent dans l’ordre inverse : $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . Entre deux extrema consécutifs se trouve exactement une racine, comme le suggère le graphe de $\cos n\theta$ .

6. Récurrence avec $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ (Proposition 4.18) : $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$ . Pour $x \geq 1$ , écrivons $x = \cosh t$ avec $t \geq 0$ ; alors $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ et $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$ , donc

T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 .

Pour $x > 1$ , le premier terme dépasse strictement $\frac12(1)^n$ et croît géométriquement : $T_n(x) > 1$ .

7. De Moivre : $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$ , et $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$ . En substituant $x = \cos\theta$ et en invoquant la question 3 :

T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j .

Pour $n = 3$ : $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$ , comme à la question 1.

8. $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$ ; $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$ ; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$ , qui vaut $0$ pour $n$ impair et $(-1)^{n/2}$ pour $n$ pair.

9. Récurrence pour $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ : vrai pour $U_0 = 1$ et $U_1 = 2X$ ( $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ ) ; l’hérédité est l’identité de transformation $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$ . Dérivons maintenant $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ par rapport à $\theta$ : $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$ , donc pour $\theta \notin \pi\Z$ :

T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) ,

et les polynômes $T_n'$ et $nU_{n-1}$ , qui coïncident sur $\intoo{-1}1$ , sont égaux.

10. $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$ , et la récurrence donne $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$ . D’où $\abs{U_{n-1}} \leq n$ sur $\intoo{-1}1$ et $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ sur cet intervalle ; en $\pm1$ , la majoration s’étend par passage à la limite (ou directement : $U_{n-1}(1) = n$ par la récurrence, $U_n(1) = n + 1$ par récurrence, et la parité donne $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$ ). Ainsi $T_n'(1) = n^2$ et $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$ : la borne $n^2$ est atteinte aux extrémités.

11. Dérivons $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (question 9) par rapport à $\theta$ :

\cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) .

Avec $x = \cos\theta$ et $\sin^2\theta = 1 - x^2$ : $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ sur $\intcc{-1}1$ , donc partout : $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ pour $y = T_n$ . Vérification pour $T_2 = 2x^2 - 1$ : $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$ .

12. $\widetilde T_n$ est unitaire (question 2) et $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ sur $\intcc{-1}1$ , avec $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ aux $n + 1$ points $y_k$ (Exercice 8.10) : la norme vaut exactement $2^{1-n}$ , atteinte avec des signes alternés.

13. $\widetilde T_n$ et $P$ sont tous deux unitaires de degré $n$ , donc les termes dominants se simplifient : $\deg D \leq n - 1$ . En $y_k$ : $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$ , et $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ impose au signe de $D(y_k)$ d’être celui de $(-1)^k2^{1-n}$ , strictement.

14. $D$ change de signe entre $y_{k+1}$ et $y_k$ pour chaque $k = 0, \dots, n-1$ : par la propriété des valeurs intermédiaires, $D$ a une racine dans chacun de ces $n$ intervalles ouverts deux à deux disjoints — $n$ racines distinctes pour un polynôme non nul de degré $\leq n - 1$ , impossible. Et $D = 0$ est également impossible (les normes diffèrent). Contradiction : aucun polynôme unitaire $P$ de degré $n$ ne vérifie $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , ce qui est le théorème de Tchebychev.

15. Maintenant $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ seulement, donc $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$ . Supposons $D(y_k) = 0$ en un $y_k$ intérieur ( $0 < k < n$ ) : alors $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , donc $\abs P$ atteint sa borne supérieure $2^{1-n}$ au point intérieur $y_k$ , d’où $P'(y_k) = 0$ (extremum intérieur) ; et $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ puisque $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — donc $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ aussi, et $D'(y_k) = 0$ : $y_k$ est racine de $D$ de multiplicité au moins $2$ .

16. Comptons les racines de $D$ avec multiplicité. Soit $z$ le nombre de points intérieurs $y_k$ tels que $D(y_k) = 0$ (chacun racine double, par la question 15) et $e \in \{0, 1, 2\}$ le nombre d’extrémités ( $y_0$ ou $y_n$ ) où $D = 0$ (chacune racine au moins simple). Un intervalle $(y_{k+1}, y_k)$ dont les deux extrémités vérifient $D \neq 0$ porte des signes strictement alternés, donc une racine intérieure. Chaque point intérieur annulé gâte au plus les deux intervalles adjacents, chaque extrémité annulée au plus un intervalle : au moins $n - 2z - e$ intervalles fournissent encore une racine chacun, toutes distinctes des racines en les $y$ . Total : au moins $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ racines comptées avec multiplicité, pour un polynôme de degré $\leq n - 1$ : donc $D = 0$ et $P = \widetilde T_n$ . Le minimiseur est unique.

17. L’application affine $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ est une bijection de $\intcc{-1}1$ sur $\intcc ab$ . Si $P$ est unitaire de degré $n$ , alors $Q(t) = P(x(t))$ est un polynôme en $t$ de coefficient dominant $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ , et $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$ . Le polynôme unitaire $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ a une norme uniforme $\geq 2^{1-n}$ (questions 13–14), donc

\sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n ,

avec égalité exactement pour $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (question 16).

18. $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$ ; $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ s’annule en $\pm\frac12$ . Valeurs : $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$ , $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(1) = \frac14$ : quatre extrema alternés de valeur absolue $\frac14$ — donc $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$ , et par le théorème de Tchebychev aucune cubique unitaire n’a une norme uniforme plus petite sur $\intcc{-1}1$ .

19. $\omega$ est unitaire de degré $n + 1$ , donc $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ par le théorème de Tchebychev (en degré $n+1$ ), avec égalité si et seulement si $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (question 16), c’est-à-dire si et seulement si les nœuds sont les $n + 1$ racines de $T_{n+1}$ . Avec les nœuds de Tchebychev, le facteur d’erreur $\norm\omega_\infty$ vaut $2^{-n}$ — le plus petit possible.

20. $5 \times 36^\circ = 180^\circ$ , donc $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$ : $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ . En testant $x = -1$ : $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$ , et le développement confirme

16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 .

Comme $c = \cos36^\circ \neq -1$ , $c$ est racine de $4x^2 - 2x - 1$ , dont les racines sont $\frac{1 \pm \sqrt5}4$ ; comme $c > 0$ ,

\cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .

Cohérence : $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ , la valeur trouvée dans l’Exercice 3.8.

21. $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$ , donc $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ et $(1.558)^{10} \approx 84.5$ , tandis que $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$ : $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$ . Un polynôme confiné dans $\intcc{-1}1$ sur l’intervalle a déjà dépassé $40$ un dixième au-delà du bord : être borné sur un segment ne dit rien à un pouce de là.

22. Dans la formule de la question 7 pour $T_p$ , le terme $j = 0$ vaut $X^p$ ; tout autre terme porte $\binom p{2j}$ avec $0 < 2j < p$ (noter que $2j \neq p$ puisque $p$ est impair), qui est divisible par $p$ d’après la première étape de la démonstration du Théorème 6.23. Donc tout coefficient de $T_p - X^p$ est un multiple de $p$ . Vérifications : $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$ ; $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$ .

23. Par la question 17 avec $\intcc ab = \intcc01$ et $n = 2$ : écart minimal $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$ , atteint par $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$ . Le trinôme unitaire le plus proche de zéro sur $\intcc01$ est $x^2 - x + \frac18$ , de norme uniforme $\frac18$ .

24. (i) La rigidité — un polynôme ayant plus de racines que son degré est nul — a alimenté le principe d’unicité (question 3), le transfert des identités trigonométriques en identités polynomiales (questions 4, 7, 9, 11), et les deux décomptes de racines de la démonstration d’extrémalité (questions 14, 16). (ii) La trigonométrie du Chapitre 3 (de Moivre, transformation de produits en sommes) et les fonctions hyperboliques du Chapitre 4 ont fourni toutes les identités qui soutiennent la famille ; la substitution $x = \cos\theta$ en est le pont. (iii) La divisibilité $p \mid \binom p{2j}$ du Chapitre 6 a transformé la formule des coefficients en la congruence de la question 22.

25. Le théorème de Tchebychev convertit une optimisation sur une famille de dimension infinie (tous les polynômes unitaires) en une combinatoire finie : un concurrent meilleur que $\widetilde T_n$ en différerait par un polynôme de bas degré contraint de changer $n$ fois de signe — une racine de plus que son degré ne le permet. Le motif d’équioscillation n’est donc pas une curiosité, mais le certificat même de l’optimalité, et le cas d’égalité affine le décompte des racines en tenant compte des multiplicités. La substitution $x = \cos\theta$ mérite le dernier mot : elle transporte le monde rigide et discret des polynômes dans le monde périodique de la trigonométrie, où racines et extrema de $T_n$ ne sont que la grille régulière de $\cos n\theta$ . Les deux résultats d’analyse empruntés — la propriété des valeurs intermédiaires (question 14 ; démontrée au Chapitre 13) et la nullité de la dérivée en un extremum intérieur (question 15 ; démontrée au Chapitre 14) — sont exactement les outils que ces chapitres ultérieurs rendront, bouclant la boucle.

8.1 L’anneau K[X]K[X]K[X]

8.2 Racines

8.3 Relations entre coefficients et racines

8.4 Exercices

8.5 Problème : les polynômes de Tchebychev et le polynôme le plus plat

8.1 L’anneau $K[X]$