Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

19Dimension finie

Un espace engendré par un nombre fini de vecteurs possède une dimension bien définie — la taille commune de toutes ses bases. Les démonstrations qui suivent découlent toutes d’un même moteur combinatoire, le lemme d’échange : une famille libre ne peut jamais être plus nombreuse qu’une famille génératrice. Avec la dimension viennent les outils utilisés partout ensuite : le théorème de la base incomplète, le rang d’une famille, la formule de Grassmann.

19.1 Existence de bases

Définition 19.1

$E$ est de dimension finie lorsqu’il possède une famille génératrice finie. (Sinon il est de dimension infinie : c’est le cas de $K[X]$ , dont les familles finies n’engendrent que des polynômes de degré borné.)

Théorème 19.2 (Lemme d’échange)

Soit $(g_1, \dots, g_n)$ une famille génératrice de $E$ et $(f_1, \dots, f_p)$ une famille libre de $E$ . Alors $p \leq n$ .

Démonstration. Montrons par récurrence sur $k \leq p$ : quitte à renuméroter les $g_j$ , la famille

(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)

engendre $E$ — ce qui force $k \leq n$ à chaque étape, et $p \leq n$ à l’arrivée.

$k = 0$ : c’est l’hypothèse. Étape : supposons le résultat pour $k - 1$ ; alors $f_k$ est combinaison de $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$ . Dans cette combinaison, un certain $g_j$ ( $j \geq k$ ) a un coefficient non nul — sinon $f_k$ serait combinaison de $f_1, \dots, f_{k-1}$ , contredisant la liberté. Renumérotons de sorte que $j = k$ , et résolvons en $g_k$ : $g_k$ est combinaison de $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ . Tout vecteur de $E$ , exprimé au moyen de la famille à $k-1$ termes, se réexprime alors au moyen de celle à $k$ termes : elle engendre. (Si $k - 1 = n$ , il ne reste plus aucun $g$ et $f_k$ serait combinaison des seuls $f_i$ : impossible ; donc $k \leq n$ .) ∎

Exemple 19.3 (L’échange, vu une fois en action)

Dans $\R^2$ , prenons la famille génératrice $\bigl(g_1, g_2\bigr) = \bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ et la famille libre $\bigl(f_1, f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$ . Étape $1$ : $f_1 = 1\cdot g_1 + 2\cdot g_2$ ; le coefficient de $g_2$ est non nul, donc on échange $g_2$ contre $f_1$ : la famille $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ engendre encore ( $g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$ ). Étape $2$ : $f_2 = (3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$ ; le coefficient du $g_1$ restant est non nul (il doit l’être : $f_2$ n’est pas multiple de $f_1$ ), donc on échange à nouveau : $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ engendre $\R^2$ . S’il y avait eu un troisième vecteur libre $f_3$ , aucun $g$ n’aurait subsisté pour l’absorber — et c’est exactement ainsi que le lemme interdit $3$ vecteurs libres dans $\R^2$ . La démonstration ci-dessus n’est que cette comptabilité menée en général.

Théorème 19.4 (Bases en dimension finie)

Soit $E \neq \{0\}$ de dimension finie.

De toute famille génératrice finie on peut extraire une base.
(Théorème de la base incomplète) Toute famille libre se complète en une base, à l’aide de vecteurs d’une famille génératrice choisie à l’avance.
Toutes les bases de $E$ sont finies et ont le même nombre d’éléments : la dimension $\dim E$ . (Convention : $\dim\{0\} = 0$ .)

Démonstration. (1) Éliminons, un à un, tout vecteur qui est combinaison des autres ; la famille reste génératrice, puisque dans toute expression utilisant le vecteur éliminé on peut substituer sa combinaison des survivants. Le procédé s’arrête — chaque étape fait décroître d’une unité une famille finie — et il s’arrête exactement quand aucun vecteur restant n’est combinaison des autres. La famille finale est encore génératrice, et elle est libre : une combinaison nulle non triviale porterait un coefficient non nul, et en divisant par lui on résoudrait en le vecteur correspondant à l’aide des autres, qui serait donc encore éliminable — contredisant l’arrêt du procédé.

(2) Soient $(f_1, \dots, f_p)$ libre et $(g_1, \dots, g_n)$ génératrice. Parcourons $g_1, \dots, g_n$ en adjoignant $g_j$ à la famille courante chaque fois qu’il n’appartient pas déjà à son sous-espace engendré (la Proposition 18.19 (2) garde la famille libre). La famille finale est libre, et génératrice : chaque $g_j$ appartient à son sous-espace engendré — soit il a été adjoint, soit il en était déjà une combinaison.

(3) Deux bases sont chacune libre et chacune génératrice : le lemme d’échange donne les deux inégalités entre leurs cardinaux. (Finitude : une base est libre, donc, par échange, pas plus grande qu’une famille génératrice finie.) ∎

Exemple 19.5

$\dim K^n = n$ (base canonique) ; $\dim K_n[X] = n + 1$ (les monômes) ; $\dim_\R \C = 2$ ; l’espace des solutions de $y'' + ay' + by = 0$ est de dimension $2$ (Théorème 5.10 : les solutions sont paramétrées bijectivement et linéairement par $(\lambda, \mu) \in K^2$ ).

Exemple 19.6 (Le même ensemble, deux dimensions)

L’ensemble $\C^2$ des couples de nombres complexes est un $\C$ -espace vectoriel de dimension $2$ (base canonique $e_1, e_2$ ) — et un $\R$ -espace vectoriel de dimension $4$ , de base

(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):

tout $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ a pour coordonnées réelles $(a, b, c, d)$ , de façon unique. La dimension n’est pas une propriété du seul ensemble des vecteurs : elle compte les degrés de liberté relativement aux scalaires autorisés, et diviser par deux la réserve de scalaires en passant de $\C$ à $\R$ double le compte. (Le devoir maison exploite le cas extrême de cette sensibilité, avec des scalaires réduits jusqu’à $\Q$ .)

Exemple 19.7 (L’algorithme de complétion en action)

Complétons la famille libre $\bigl((1,1,1)\bigr)$ en une base de $\R^3$ à l’aide des vecteurs canoniques. Déroulons la démonstration du Théorème 19.4 (2) sur la famille génératrice $(e_1, e_2, e_3)$ : a-t-on $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$ ? Non (les multiples de $(1,1,1)$ ont des coordonnées égales) — on l’adjoint. A-t-on $e_2 \in \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$ ? Une combinaison $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ a ses deuxième et troisième coordonnées égales, ce qui n’est pas le cas de $e_2$ — on l’adjoint. La famille $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ est libre à $3$ vecteurs : on s’arrête, c’est une base (la Proposition 19.8 officialisera ce réflexe). Remarquons que le résultat dépend de l’ordre dans lequel les $g_j$ sont parcourus : la complétion est un algorithme, pas une formule.

Proposition 19.8 (La règle « deux sur trois »)

Soient $\dim E = n$ et $\mathcal{F}$ une famille de $n$ vecteurs exactement de $E$ . Alors

\mathcal{F} \text{ libre} \iff \mathcal{F} \text{ génératrice} \iff \mathcal{F} \text{ base}.

De plus toute famille libre a $\leq n$ vecteurs, toute famille génératrice $\geq n$ .

Démonstration. Les bornes de cardinal sont le lemme d’échange confronté à une base. Si $\mathcal{F}$ (de taille $n$ ) est libre sans être génératrice, un certain $x$ est hors de son sous-espace engendré ; en l’adjoignant on obtient une famille libre de $n + 1$ vecteurs : impossible. Si $\mathcal{F}$ est génératrice sans être libre, en extraire une base (Théorème 19.4 (1)) fournit une base de $< n$ vecteurs : impossible. ∎

Exemple 19.9 (« Deux sur trois », ou la moitié du travail économisée)

La famille

\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)

est-elle une base de $\R^3$ ? Comptons : trois vecteurs, dimension trois — la seule liberté décide donc. Une combinaison nulle donne $a + c = 0$ , $a + b = 0$ , $b + c = 0$ ; en additionnant les trois, $2(a + b + c) = 0$ , et en retranchant chaque équation initiale de $a + b + c = 0$ il reste $b = c = a = 0$ : libre, donc base, la moitié « génératrice » de la vérification étant offerte par le théorème. À comparer avec l’Exemple 18.18, où la même double vérification devait être menée à la main — un chapitre de théorie se convertit exactement en cette économie, sur chaque vérification de base jusqu’à la fin du livre.

Méthode 19.10 (Calculer une dimension)

Trois voies standard, par ordre de fréquence décroissante.

Paramétrer, puis lire une base. Résoudre les contraintes de définition, exprimer l’élément général linéairement en fonction des paramètres survivants, et vérifier que les vecteurs multipliant les paramètres sont libres : la dimension est le nombre de paramètres. (Déroulée ci-dessous sur un sous-espace concret de $\R^4$ .)
Exhiber un paramétrage linéaire bijectif. Lorsque les éléments sont déterminés par un nombre fini de valeurs — conditions initiales d’une récurrence (Exercice 19.10), coefficients d’une formule de solution (Exemple 19.5) — la dimension est le nombre de ces valeurs.
Utiliser les formules. Grassmann pour les intersections et les sommes, le rang pour les sous-espaces engendrés, et plus tard le théorème du rang pour les noyaux et les images : les dimensions se calculent d’ordinaire, elles ne se devinent pas.

Dans les trois voies, la règle « deux sur trois » donne le coup de grâce : dès que le compte est bon, la liberté ou le caractère générateur suffit à conclure.

Exemple 19.11 (Voie 1, en entier)

Dimension de $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0 \text{ et } x = t\}$ . Résolvons : $t = x$ et $y + z = -2x$ , donc $z = -2x - y$ avec $x, y$ libres :

(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .

Les deux vecteurs sont libres (regarder les deux premières coordonnées : $(x, y) = (0,0)$ ), donc ils forment une base de $H$ et $\dim H = 2$ . Le compte était prévisible — deux contraintes linéaires indépendantes dans $\R^4$ devraient manger chacune une dimension — mais le paramétrage le démontre et livre une base, ce que la prévision seule ne fait jamais ; l’Exercice 19.9 transforme le slogan « chaque équation mange au plus une dimension » en théorème.

Exemple 19.12 (Voie 2, en entier)

Dimension de $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (pour $n \geq 2$ ). Par le théorème du facteur appliqué deux fois (Théorème 8.7 ; les racines $1$ et $2$ sont distinctes), $P \in W$ exactement lorsque $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ avec $\deg Q \leq n - 2$ . La correspondance $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ est linéaire, atteint tout $W$ , et est injective (un produit n’est nul que si $Q = 0$ ) : $W$ est paramétré bijectivement et linéairement par $\R_{n-2}[X]$ , donc

\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .

Une base vient avec le paramétrage : les images des monômes, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\ (X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$ . Chaque nouvelle contrainte d’évaluation en un point neuf coûte exactement une dimension — c’est l’ossature comptable de l’interpolation de Lagrange (Théorème 8.23).

Exemple 19.13 (Une contrainte intégrale coûte elle aussi une dimension)

Dimension de $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$ . En écrivant $P = a + bX + cX^2$ , la contrainte s’écrit $a + \frac b2 + \frac c3 = 0$ ; résolvons en $a$ et paramétrons :

P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),

donc $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 - \frac13\bigr)$ , de dimension $2$ (les deux polynômes ont des degrés distincts : libres). Une condition linéaire — que ce soit une évaluation, une intégrale, ou toute autre recette linéaire — retire au plus une dimension, et exactement une dès que la condition n’est pas identiquement nulle. Le Chapitre 20 nommera de telles recettes formes linéaires et leurs ensembles de solutions hyperplans ; les vecteurs de base trouvés ici réapparaissent au Chapitre 23 comme le début de la famille de Legendre.

19.2 Sous-espaces, rang, formule de Grassmann

Théorème 19.14 (Sous-espaces)

Soient $E$ de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel. Alors $F$ est de dimension finie, $\dim F \leq \dim E$ , avec égalité si et seulement si $F = E$ . De plus tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.

Démonstration. Les familles libres de $F$ ont au plus $\dim E$ vecteurs (lemme d’échange dans $E$ : une famille libre de $F$ est en particulier libre dans $E$ , et $E$ a une famille génératrice finie). Parmi les familles libres de $F$ , choisissons-en une de taille maximale $p$ — c’est possible, les tailles étant des entiers majorés par $\dim E$ . Elle engendre $F$ : sinon un certain $x \in F$ serait hors de son sous-espace engendré, et en adjoignant $x$ on obtiendrait une famille libre de $F$ de taille $p + 1$ (Proposition 18.19 (2)), contredisant la maximalité. Libre et génératrice, c’est une base de $F$ , et $\dim F = p \leq \dim E$ . Si $p = \dim E = n$ : une famille libre de $n$ vecteurs de $E$ est une base de $E$ (Proposition 19.8), donc $F$ contient le sous-espace engendré par cette famille, qui vaut $E$ . Supplémentaire : complétons une base $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ en une base $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1}, \dots, g_n)$ de $E$ (théorème de la base incomplète) ; alors $G = \operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ vérifie $E = F \oplus G$ (existence et unicité des décompositions = coordonnées dans la grande base). ∎

Définition 19.15 (Rang d’une famille)

Le rang d’une famille finie de vecteurs est la dimension du sous-espace qu’elle engendre : $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$ , avec égalité à $p$ si et seulement si la famille est libre.

Exemple 19.16 (Calcul d’un rang par élimination)

Rang de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ dans $\R^3$ . Le sous-espace engendré ne change pas quand on retranche à un vecteur une combinaison des autres (les deux familles engendrent les mêmes combinaisons) : remplaçons $(2,3,4)$ par $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ et $(3,4,5)$ par $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$ . Le sous-espace engendré est désormais $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$ , et ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels : le rang vaut $2$ . Cette procédure de soustraction-élimination est systématisée sous le nom de méthode du pivot de Gauss au Chapitre 22.

Exemple 19.17 (Sommer par concaténation)

Prenons, dans $\R^3$ ,

F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr), \qquad G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .

La somme $F + G$ est engendrée par la famille concaténée des trois générateurs, et

(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)

montre que le troisième est redondant : $F + G = F$ , de dimension $2$ — autrement dit $G \subseteq F$ , ce que la relation affiche. Grassmann confirme : $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$ . Les sommes se calculent en concaténant les générateurs puis en réduisant le tas par l’algorithme du rang ; aucune technique nouvelle n’est jamais nécessaire.

Théorème 19.18 (Formule de Grassmann)

Pour des sous-espaces vectoriels $F, G$ de dimension finie de $E$ :

\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .

En particulier la somme $F + G$ est directe si et seulement si $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$ .

Démonstration. Partons d’une base $(e_1, \dots, e_r)$ de $F \cap G$ ; complétons-la en une base

(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s) \text{ de } F \quad\text{et}\quad (e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t) \text{ de } G

(Théorème 19.4 (2)). Montrons que

\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)

est une base de $F + G$ ; la formule suit par comptage : $(r + s) + (r + t) - r = r + s + t$ .

$\mathcal{B}$ engendre $F + G$ : tout $u + v$ ( $u \in F$ , $v \in G$ ) s’y décompose. Liberté : supposons $\sum \alpha_i e_i + \sum \beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$ . Le vecteur $w = \sum \gamma_k g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ appartient à $G \cap F$ , donc il se décompose sur les seuls $(e_i)$ ; mais $w$ se décompose aussi sur les $(g_k)$ , et dans la base de $G$ ces deux expressions doivent coïncider : tous les $\gamma_k = 0$ (et les coordonnées en $e$ se correspondent). La relation se réduit à $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$ , une relation dans la base de $F$ : tous les coefficients restants sont nuls. ∎

Exemple 19.19

Deux plans distincts $F, G$ (de dimension $2$ ) de $\R^3$ vérifient $F + G = \R^3$ (leur somme contient strictement un plan), donc $\dim(F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ : ils se coupent toujours suivant une droite — pas de « plans parallèles » passant par l’origine.

Exemple 19.20 (Grassmann à l’œuvre, dans $\R^4$ )

Soient $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ et $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ dans $\R^4$ . Dimensions : $\dim F = 3$ (le troisième générateur a une troisième coordonnée non nulle, il est hors de $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ ) et $\dim G = 2$ . Somme : $F + G$ contient $e_1, e_2, e_4$ et $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 - e_2$ : c’est $\R^4$ tout entier. Grassmann calcule alors la taille de l’intersection sans la moindre élimination :

\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .

Pour identifier la droite, regardons dans $G$ : un vecteur $(0, 0, c, d)$ appartient à $F$ exactement quand il vaut $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$ , ce qui force $\lambda = -a = -b$ et $d = 0$ : l’intersection est $\operatorname{Vect}(e_3)$ — cohérent, puisque $e_3$ a été exhibé dans $F$ ci-dessus et appartient à $G$ par définition. Division du travail typique : Grassmann prédit combien il faut chercher, le système linéaire trouve ensuite quoi.

Exemple 19.21 (Intersecter par les équations)

Quand les deux sous-espaces sont donnés comme ensembles de solutions, intersecter revient simplement à empiler les équations. Dans $\R^3$ : $F = \{x + y + z = 0\}$ et $G = \{x = y\}$ donnent

F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\} = \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),

une droite. Contre-vérification par Grassmann : $F + G = \R^3$ (les plans sont distincts, donc leur somme contient strictement un plan), d’où $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ . Les deux descriptions d’un sous-espace — par équations, par générateurs — rendent chacune une opération triviale : les équations s’intersectent en s’empilant, les générateurs se somment en se concaténant ; passer des unes aux autres est exactement ce que signifie résoudre un système linéaire (Chapitre 22).

Remarque 19.22 (Pièges courants)

Les dimensions ne s’ajoutent pas le long des sommes sauf si la somme est directe : deux plans de $\R^3$ vérifient $\dim(F + G) = 3$ , et non $4$ ; toujours corriger par le terme d’intersection (Grassmann). Une inclusion demande la dimension et l’inclusion : $\dim F = \dim G$ seul ne donne jamais $F = G$ (deux droites distinctes de $\R^2$ ) ; le cas d’égalité du Théorème 19.14 exige d’abord $F \subseteq G$ . Compter des paramètres n’est pas encore une démonstration : « deux équations dans $\R^4$ , donc dimension $2$ » est faux quand les équations sont dépendantes ( $x + y = 0$ et $2x + 2y = 0$ laissent la dimension $3$ ) ; seul un paramétrage effectif ou un calcul de rang décide. Ne pas parler de la dimension d’un ensemble qui n’est pas un sous-espace : les ensembles de solutions des systèmes non homogènes ne contiennent pas $0$ ; leur « dimension » est celle de l’espace des solutions du système homogène associé (le Chapitre 22 rendra cela précis). La dimension infinie existe : $K[X]$ contient des familles libres de toutes les tailles (les monômes), donc aucune famille génératrice finie ne peut exister — des énoncés comme la règle « deux sur trois » sont strictement de dimension finie et échouent lourdement sur $K[X]$ (le Corollaire 20.9 montrera la même chose pour l’injectivité et la surjectivité). Le rang porte sur le sous-espace engendré, pas sur la liste : répéter un vecteur, réordonner, ou multiplier par des constantes non nulles laisse le rang inchangé, et $\operatorname{rk} = p$ (le nombre de vecteurs) est une propriété à démontrer — c’est exactement la liberté. Une famille de $5$ vecteurs de rang $2$ porte l’équivalent de trois vecteurs de redondance, que l’élimination (Exemple 19.16) localise explicitement.

Remarque 19.23 (Où la dimension se met au travail)

La dimension est désormais l’argument de comptage préféré du livre. Le Chapitre 20 démontre le théorème du rang, version fonctionnelle de la formule de Grassmann ; le Chapitre 21 calcule les rangs par opérations sur les lignes ; le Chapitre 22 transforme « $n$ vecteurs de $K^n$ forment une base » en un seul nombre non nul. Le devoir maison ci-dessous montre la dimension faisant de l’arithmétique : compter des dimensions sur le corps $\Q$ démontre des énoncés d’irrationalité qui paraissent inattaquables à la main. Dans le volume de Licence 3, les mêmes comptes de dimension, affinés par la théorie des groupes, décident quels problèmes classiques de construction sont solubles — cette histoire s’appelle la théorie de Galois.

Remarque 19.24 (Perspectives à l’intérieur du livre 3)

La dimension est la quantité conservée de tout le reste de ce volume, et il vaut la peine d’en nommer les lois de conservation à l’avance. Le Chapitre 20 démontre $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ : ce qu’une application linéaire écrase plus ce qu’elle conserve fait toujours l’espace de départ. Le Chapitre 22 raffine cela en la structure des ensembles de solutions : $p$ inconnues moins $\operatorname{rk} A$ pivots laissent la dimension de l’espace des solutions, que le pivot de Gauss exhibe comme paramètres libres. Le Chapitre 23 scinde $\dim E = \dim F + \dim F^\perp$ orthogonalement, et le devoir maison du Chapitre 25 dépense exactement ce budget : $n$ points de données, $2$ paramètres ajustés, $n - 2$ dimensions de résidus. Chaque fois qu’un compte refuse de tomber juste dans un chapitre ultérieur, l’erreur est un noyau oublié ou une somme non directe — revenir d’abord à la formule de Grassmann.

19.3 Exercices

Exercice 19.1 ★

Donner une base et la dimension de :

$F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
$G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
$H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

Solution

Solution de Exercice 19.1.

$z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; les deux vecteurs sont libres (coordonnées) : $\dim F = 2$ .
$G = \{(x, x, 2t, t)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : libre, $\dim G = 2$ .
$P(1) = P'(1) = 0$ signifie $(X-1)^2 \mid P$ (Proposition 8.11) : $P = (X-1)^2(aX + b)$ . Base $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , dimension $2$ .

Exercice 19.2 ★

Calculer le rang de la famille $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ dans $\R^3$ , et extraire une base du sous-espace qu’elle engendre.

Solution

Solution de Exercice 19.2.

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ et $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$ : les deux sont combinaisons des deux premiers, qui sont libres (non proportionnels). Rang $2$ ; base du sous-espace engendré : $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$ .

Exercice 19.3 ★

Compléter la famille libre $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ en une base de $\R^4$ à l’aide de vecteurs canoniques, et justifier.

Solution

Solution de Exercice 19.3.

Essayons d’adjoindre $e_1 = (1,0,0,0)$ et $e_3 = (0,0,1,0)$ . La famille $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ est libre : une combinaison nulle $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta e_3 = 0$ s’écrit $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta, \beta) = 0$ , d’où $\alpha = \beta = 0$ , puis $\gamma = \delta = 0$ . Quatre vecteurs libres en dimension $4$ : une base (Proposition 19.8).

Exercice 19.4 ★

Démontrer que $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ est une base de $\R_3[X]$ , et trouver les coordonnées de $X^3$ dans cette base.

Solution

Solution de Exercice 19.4.

Degrés $0, 1, 2, 3$ deux à deux distincts : libre (Proposition 18.19), quatre vecteurs en dimension $4$ : base. Pour $X^3$ : développons de proche en proche,

X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X, \qquad X(X-1) = X^2 - X,

donc $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$ ; et $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X = 3\,X(X-1) + X$ . Ainsi

X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :

coordonnées $(0, 1, 3, 1)$ sur $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ . (Ce sont des nombres de Stirling déguisés.)

Exercice 19.5 ★★

Soient $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels de dimensions $4$ et $5$ d’un espace $E$ avec $\dim E = 7$ . Quelles sont les valeurs possibles de $\dim(F \cap G)$ ? Donner un exemple réalisant chaque valeur avec $E = \R^7$ .

Solution

Solution de Exercice 19.5.

Grassmann : $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$ , et $F + G$ est un sous-espace de $E$ contenant $G$ : $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$ . Donc $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$ . Réalisations dans $\R^7$ muni de la base canonique $(e_1, \dots, e_7)$ , en prenant $G = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$ :

$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , intersection $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dimension $2$ ;
$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : intersection de dimension $3$ ;
$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : dimension $4$ .

Exercice 19.6 ★★

Soit $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$ . Démontrer que $H$ est un hyperplan de $\R_n[X]$ (un sous-espace de dimension $n$ ), exhiber une base de $H$ (penser au théorème du facteur : $P = (X-1)Q$ ), et donner une droite supplémentaire.

Solution

Solution de Exercice 19.6.

$H$ est un sous-espace (Exercice 18.1 (4) mot pour mot). Par le théorème du facteur (Théorème 8.7), $P \in H \iff P = (X-1)Q$ avec $\deg Q \leq n - 1$ : l’application $Q \mapsto (X-1)Q$ est une bijection linéaire de $\R_{n-1}[X]$ sur $H$ , donc une base de $H$ est

\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr), \qquad \dim H = n .

Une droite supplémentaire : $\operatorname{Vect}(1)$ (les constantes). En effet $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (une constante non nulle ne s’annule pas en $1$ ) et les dimensions totalisent $n + 1$ : par Grassmann, $H \oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$ .

Exercice 19.7 ★★

Soient $u_1, \dots, u_p$ des vecteurs de rang $r$ . Démontrer que retirer un vecteur donne une famille de rang $r$ ou $r - 1$ , et qu’adjoindre un vecteur donne un rang $r$ ou $r + 1$ . En déduire que le rang varie d’au plus $1$ sous toute insertion ou suppression isolée.

Solution

Solution de Exercice 19.7.

Suppression : en retirant $u_p$ , le sous-espace engendré ne peut que diminuer ; et il diminue d’au plus une dimension, car en rajoutant $u_p$ à une base du plus petit sous-espace on obtient une famille génératrice du plus grand avec au plus un vecteur de plus. Symétriquement, en adjoignant un vecteur $v$ : le nouveau sous-espace engendré contient l’ancien avec au plus un générateur de plus, donc sa dimension vaut $r$ (si $v$ était déjà dans le sous-espace engendré) ou $r + 1$ (sinon, une base se prolonge par la Proposition 18.19 (2)). Les deux énoncés réunis donnent la conclusion « le rang est $1$ -lipschitzien ».

Exercice 19.8 ★★★

Soient $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ des sous-espaces de $E$ ( $\dim E = n$ ) avec $F_i \neq F_{i+1}$ pour tout $i$ . Démontrer que $k \leq n + 1$ . En déduire qu’une chaîne strictement croissante de sous-espaces de $\R^n$ a une longueur au plus $n + 1$ , et en exhiber une de longueur maximale.

Solution

Solution de Exercice 19.8.

Le long d’une chaîne strictement croissante, les dimensions croissent strictement ( $F_i \subseteq F_{i+1}$ , $F_i \neq F_{i+1}$ et Théorème 19.14 : l’égalité des dimensions forcerait l’égalité des espaces). Donc $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ est une suite strictement croissante d’entiers de $\intint{0}{n}$ : au plus $n + 1$ valeurs, $k \leq n + 1$ . Chaîne maximale dans $\R^n$ :

\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,

de longueur exactement $n + 1$ .

Exercice 19.9 ★★★

Soient $E$ de dimension $n$ et $F$ , $G$ deux hyperplans (de dimension $n - 1$ ), $F \neq G$ . Calculer $\dim(F \cap G)$ . Généraliser : l’intersection de $k$ hyperplans a une dimension $\geq n - k$ .

Solution

Solution de Exercice 19.9.

$F + G$ contient strictement $F$ (car $G \not\subseteq F$ ), donc $\dim(F + G) = n$ et Grassmann donne $\dim(F \cap G) = (n-1) + (n-1) - n = n - 2$ .

Énoncé général, par récurrence sur $k$ : l’intersection $I_k$ de $k$ hyperplans vérifie $\dim I_k \geq n - k$ . Vrai pour $k = 1$ . Étape : $I_{k+1} = I_k \cap H_{k+1}$ , et Grassmann dans $E$ :

\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1}) \geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere

Exercice 19.10 ★★

Soit $E$ l’ensemble des suites réelles vérifiant $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$ pour tout $n$ .

Montrer que $E$ est un sous-espace de l’espace des suites, et qu’une suite de $E$ est entièrement déterminée, linéairement, par le couple $(u_0, u_1)$ ; en déduire $\dim E = 2$ .
Vérifier que la suite constante $(1)$ et la suite géométrique $(2^n)$ appartiennent à $E$ et forment une base de $E$ .
Trouver la suite de $E$ telle que $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

Solution

Solution de Exercice 19.10.

La condition $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ est linéaire et satisfaite par la suite nulle : $E$ est un sous-espace. Par récurrence, $u_0$ et $u_1$ déterminent tous les $u_n$ , et la dépendance est linéaire (chaque étape est une combinaison linéaire des deux valeurs précédentes) ; réciproquement tout couple $(a, b)$ provient d’exactement une suite de $E$ (définir $u_n$ par la récurrence). Comme dans l’Exemple 19.5, $E$ est paramétré bijectivement et linéairement par $(u_0, u_1) \in \R^2$ : $\dim E = 2$ .
Constantes : $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Géométrique : $3\cdot 2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Les deux appartiennent à $E$ . Liberté : $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ pour tout $n$ donne, en $n = 0$ et $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b = 0$ , donc $a = b = 0$ . Deux vecteurs libres en dimension $2$ : une base (Proposition 19.8).
Résolvons $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ : $b = 1$ , $a = -1$ , donc $u_n = 2^n - 1$ (la suite de Mersenne).

Exercice 19.11 ★★

Soit $E$ de dimension $n$ .

Si $F, G$ sont des sous-espaces avec $\dim F + \dim G > n$ , démontrer que $F \cap G \neq \{0\}$ . Illustrer : deux sous-espaces de dimensions $51$ et $50$ de $\R^{100}$ partagent toujours un vecteur non nul.
Si $H$ est un hyperplan et $F$ un sous-espace avec $F \cap H = \{0\}$ , démontrer que $\dim F \leq 1$ .

Solution

Solution de Exercice 19.11.

Grassmann : $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , donc $F \cap G \neq \{0\}$ . Avec $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ , l’intersection contient une droite.
Si $F \cap H = \{0\}$ , la somme est directe et $\dim F + (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , donc $\dim F \leq 1$ . (Réciproquement une droite non contenue dans $H$ vérifie bien cela : les hyperplans ne ratent presque rien.)

Exercice 19.12 ★★★

(Supplémentaire commun) Soient $F, G$ des sous-espaces de $E$ (de dimension finie) avec $\dim F = \dim G$ . Démontrer que $F$ et $G$ admettent un supplémentaire commun : il existe un sous-espace $S$ tel que $E = F \oplus S = G \oplus S$ . (Récurrence descendante sur $\dim F$ : si $F \neq G \neq E$ , choisir $x \notin F \cup G$ — l’Exercice 18.12 l’autorise — et considérer $F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ et $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ .)

Solution

Solution de Exercice 19.12.

Récurrence descendante sur $d = \dim F = \dim G$ , de $d = n$ à $d = 0$ . Si $d = n$ : $F = G = E$ et $S = \{0\}$ convient. Supposons l’énoncé vrai pour les couples de sous-espaces de dimension $d + 1 \leq n$ , et soit $\dim F = \dim G = d < n$ .

Si $F = G$ : prendre pour $S$ n’importe quel supplémentaire de $F$ (Théorème 19.14). Si $F \neq G$ : tous deux sont propres, donc par l’Exercice 18.12 il existe $x \notin F \cup G$ . Les sommes $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ et $G' = G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ sont directes ( $x \notin F$ , $x \notin G$ ) et de dimension $d + 1$ ; par hypothèse de récurrence elles admettent un supplémentaire commun $S'$ : $E = F' \oplus S' = G' \oplus S'$ . Posons $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — somme directe, car $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' = \{0\}$ .

Alors $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$ , et $F \cap S = \{0\}$ : si $f = \lambda x + s'$ avec $f \in F$ , $s' \in S'$ , alors $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$ , donc $f = \lambda x$ , ce qui force $\lambda = 0$ ( $x \notin F$ ) et $f = 0$ . Ainsi $E = F \oplus S$ , et symétriquement $E = G \oplus S$ .

19.4 Problème : la formule des degrés de Dedekind

Problème 19.1

Rien, dans les chapitres 18 et 19, n’a fait appel aux scalaires au-delà des axiomes de corps (Définition 7.22) : on peut donc prendre $K = \Q$ et mesurer des ensembles de nombres réels à l’aune de la $\Q$ -dimension. Ce problème calcule la dimension de $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$ , démontre la formule des degrés de Dedekind $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$ , et récolte des théorèmes d’irrationalité par pur comptage de dimensions — pas de $\varepsilon$ , pas de décimales, rien que des bases.

Partie I — Scalaires rationnels.

Vérifier que $\Q$ est un corps et que toutes les définitions et démonstrations des chapitres 18 et 19 n’utilisent que les axiomes de corps des scalaires ; en conclure que $\R$ est un $\Q$ -espace vectoriel et que le lemme d’échange, les théorèmes sur les bases et la formule de Grassmann valent sur $\Q$ . Repérer l’unique étape de la démonstration du Théorème 19.2 où l’on divise par un scalaire non nul.
Montrer que $(1, \sqrt2)$ est libre sur $\Q$ mais liée sur $\R$ . Poser $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ; que vaut $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
Montrer que $\Q(\sqrt2)$ est stable par multiplication. Pour $u = a + b\sqrt2$ , poser $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ et $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . Montrer que $\sigma(uv) = \sigma(u)\sigma(v)$ , en déduire $N(uv) = N(u)N(v)$ , et montrer que $N(u) \neq 0$ dès que $u \neq 0$ .
En déduire que tout $u \in \Q(\sqrt2)$ non nul a son inverse dans $\Q(\sqrt2)$ , à savoir $u^{-1} = \sigma(u)/N(u)$ : $\Q(\sqrt2)$ est un sous-corps de $\R$ . Calculer $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ et $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

Partie II — Adjonction de $\sqrt3$ .

Démontrer que $\sqrt6 \notin \Q$ (comparer l’exposant de $2$ des deux côtés de $6q^2 = p^2$ , comme dans l’Exercice 6.7), puis que $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ (élever $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ au carré et discuter les cas $ab \neq 0$ , $b = 0$ , $a = 0$ ).
Soit $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ . Montrer que $M$ est stable par multiplication (une table des produits des vecteurs de base suffit).
On pose $K = \Q(\sqrt2)$ . Montrer que $(1, \sqrt3)$ est libre sur le corps $K$ , et en déduire que $M = K + K\sqrt3$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension $2$ , de base $(1, \sqrt3)$ .
Démontrer que $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ est libre sur $\Q$ , donc $\dim_\Q M = 4$ . (Regrouper une relation nulle sous la forme $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ et appliquer les questions 7 puis 2.)

Partie III — La formule des degrés. Soient $\Q \subseteq K \subseteq M \subseteq \R$ où $K$ et $M$ sont des sous-corps, $(e_1, \dots, e_m)$ une base de $K$ comme $\Q$ -espace vectoriel, et $(f_1, \dots, f_n)$ une base de $M$ comme $K$ -espace vectoriel.

Montrer que les $mn$ produits $(e_i f_j)$ engendrent $M$ sur $\Q$ .
Montrer que la famille $(e_i f_j)$ est libre sur $\Q$ . (Réorganiser une $\Q$ -combinaison nulle sous la forme $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$ , dont les coefficients intérieurs vivent dans $K$ .)
Conclure par la formule des degrés de Dedekind :

$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$

et la vérifier sur $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ à l’aide des questions 7 et 8.
(Des corps gratuitement) Soit $A \subseteq \R$ un $\Q$ -sous-espace de dimension finie contenant $1$ et stable par multiplication, et soit $u \in A$ , $u \neq 0$ . Montrer que si $(a_1, \dots, a_d)$ est une base de $A$ , alors $(u a_1, \dots, u a_d)$ en est encore une ; en déduire que $u$ a un inverse dans $A$ : $A$ est un sous-corps de $\R$ . Quelles questions antérieures ce résultat redémontre-t-il ?
Montrer que pour tout $x \in A$ (comme à la question 12, $\dim_\Q A = d$ ) la famille $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ est liée : tout élément de $A$ est racine d’un polynôme non nul à coefficients rationnels, de degré au plus $d$ .

Partie IV — Un seul nombre engendre tout. Posons $s = \sqrt2 + \sqrt3$ .

Calculer les coordonnées de $s^2$ , $s^3$ et $s^4$ dans la base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ de $M$ .
Montrer que $(1, s, s^2, s^3)$ est libre sur $\Q$ , et en déduire que $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : tout élément de $M$ est un polynôme à coefficients rationnels en $s$ . Exprimer $\sqrt2$ et $\sqrt3$ comme de tels polynômes.
Vérifier que $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ , et montrer que $X^4 - 10X^2 + 1$ est le polynôme unitaire de plus petit degré s’annulant en $s$ . Déterminer ses quatre racines réelles.
En déduire : $1/s = 10s - s^3$ ; identifier ce nombre. Montrer que $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) est rationnel si et seulement si $b = c = d = 0$ ; en particulier $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ est irrationnel (ce qui renforce l’Exercice 10.7).

Partie V — La racine cubique reste dehors. Posons $t = 2^{1/3}$ .

Montrer que $X^3 - 2$ n’a pas de racine rationnelle (le critère de racine rationnelle de l’Exercice 8.5, ou un comptage de valuations) ; en déduire que $(1, t)$ est libre sur $\Q$ .
Montrer que $(1, t, t^2)$ est libre sur $\Q$ . (Si un $P \in \Q[X]$ non nul de degré $\leq 2$ annule $t$ , en prendre un de plus petit degré et diviser $X^3 - 2$ par lui, Théorème 8.3 ; conclure que $X^3 - 2$ aurait une racine rationnelle.) En déduire que $A = \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ est de dimension $3$ , est stable par multiplication, et est un sous-corps de $\R$ .
Démontrer que $t \notin M$ : sinon $M$ serait un espace vectoriel sur le corps $A$ , et la formule des degrés forcerait $3 \mid 4$ . Donc $2^{1/3}$ n’est pas une combinaison rationnelle de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
En déduire que $t \notin \Q(\sqrt2)$ , que $t + \sqrt2$ est irrationnel, et qu’aucun couple de rationnels $a, b$ ne vérifie $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

Partie VI — Tous les sous-corps, et synthèse.

Démontrer la divisibilité des degrés : si $\Q \subseteq A \subseteq B \subseteq \R$ sont des sous-corps avec $\dim_\Q B$ finie, alors $\dim_\Q A$ divise $\dim_\Q B$ . Quelles sont les dimensions possibles des sous-corps de $M$ ?
Déterminer tous les sous-corps de $M$ de dimension $2$ sur $\Q$ . (Se ramener à trouver les $w = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ tels que $w^2 \in \Q$ : développer $w^2$ et annuler les trois coordonnées irrationnelles.)
Exprimer $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ dans la base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ (multiplier par des conjugués bien choisis).
Synthèse, en quatre phrases : pourquoi la $\Q$ -dimension est un invariant arithmétique d’un ensemble de réels ; ce que la finitude de la dimension impose à chaque élément (question 13) ; comment la règle « deux sur trois » a produit des inverses à partir de rien (question 12) ; et ce que la formule des degrés interdit (question 20). Nommer le théorème démontré dans la partie III.

Solution

Solution de Problème 19.1.

1. $\Q$ contient $0 \neq 1$ , est stable par addition, multiplication et passage à l’opposé, et tout rationnel non nul a un inverse rationnel : c’est un corps (Définition 7.22). Les définitions de sous-espace engendré, de liberté, de base et les démonstrations des chapitres 18 et 19 n’utilisent que l’addition vectorielle, la distributivité et l’arithmétique des scalaires dans un corps — jamais une valeur absolue, un ordre ou une limite. Donc $\R$ , muni de sa propre addition et de la multiplication $\Q \times \R \to \R$ , est un $\Q$ -espace vectoriel, et tous les théorèmes s’appliquent. La division par un scalaire intervient une seule fois dans la démonstration du Théorème 19.2 : pour « résoudre en $g_k$ », on divise par son coefficient non nul.

2. Si $a + b\sqrt2 = 0$ avec $a, b \in \Q$ non tous deux nuls : $b \neq 0$ donnerait $\sqrt2 = -a/b \in \Q$ , contredisant l’irrationalité de $\sqrt2$ (Exercice 6.7 avec $p = 2$ ) ; donc $b = 0$ , puis $a = 0$ : libre sur $\Q$ . Sur $\R$ , la relation $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ est non triviale : liée. Ainsi $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$ , avec des coordonnées $(a, b)$ uniques.

3. $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ . Alors

\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2 = (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),

donc $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$ . Si $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ avec $u \neq 0$ : $b \neq 0$ donnerait $(a/b)^2 = 2$ , une racine carrée rationnelle de $2$ ; donc $b = 0$ , puis $a = 0$ et $u = 0$ : contradiction. Ainsi $N(u) \neq 0$ dès que $u \neq 0$ .

4. $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)} = 1$ , et $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$ : tout élément non nul est inversible dans $\Q(\sqrt2)$ , qui est donc un sous-corps de $\R$ . Exemples : $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$ , donc

\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ; \qquad N(1 + \sqrt2) = -1, \quad \frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .

5. Si $\sqrt6 = p/q$ alors $6q^2 = p^2$ ; l’exposant de $2$ vaut $1 + 2v_2(q)$ , impair, à gauche, et $2v_2(p)$ , pair, à droite : impossible. Supposons maintenant $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ avec $a, b \in \Q$ . En élevant au carré : $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$ . Si $ab \neq 0$ , alors $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$ : impossible. Si $b = 0$ : $\sqrt3 = a \in \Q$ , contredisant l’Exercice 6.7 ( $p = 3$ ). Si $a = 0$ : $\sqrt3 = b\sqrt2$ , et en multipliant par $\sqrt2$ : $\sqrt6 = 2b \in \Q$ : impossible. Donc $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ .

6. Les produits des vecteurs de base sont

\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad \sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad \sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad (\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,

tous dans $M$ . Un produit de deux éléments de $M$ se développe par bilinéarité en combinaisons rationnelles de ceux-ci : $M$ est stable par multiplication.

7. Soit $x + y\sqrt3 = 0$ avec $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$ . Si $y \neq 0$ , alors $\sqrt3 = -x/y \in K$ (question 4 : $K$ est un corps), contredisant la question 5. Donc $y = 0$ , puis $x = 0$ : $(1, \sqrt3)$ est libre sur $K$ . Elle engendre : $K + K\sqrt3 = \{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q (1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$ . Ainsi $\dim_K M = 2$ .

8. Une relation $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ se regroupe en $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ , à coefficients dans $K$ ; par la question 7 les deux sont nuls, et par la question 2 $a = b = 0$ et $c = d = 0$ . La famille est donc libre et $\dim_\Q M = 4$ .

9. Tout $x \in M$ s’écrit $x = \sum_j y_j f_j$ avec $y_j \in K$ (base de $M$ sur $K$ ), et chaque $y_j = \sum_i \lambda_{ij} e_i$ avec $\lambda_{ij} \in \Q$ (base de $K$ sur $\Q$ ) ; en substituant, $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$ : les produits engendrent $M$ sur $\Q$ .

10. Supposons $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ avec $\lambda_{ij} \in \Q$ . Regroupons : $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j = 0$ , et les sommes intérieures appartiennent à $K$ . La liberté de $(f_j)$ sur $K$ donne $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ pour chaque $j$ ; la liberté de $(e_i)$ sur $\Q$ donne ensuite $\lambda_{ij} = 0$ pour tous $i, j$ .

11. D’après les questions 9 et 10, $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j \leq n}$ est une base de $M$ sur $\Q$ , à $mn$ éléments :

\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .

Vérification : $\dim_\Q K = 2$ et $\dim_K M = 2$ (questions 2 et 7) donnent $\dim_\Q M = 4$ , ce qui est la question 8.

12. Les vecteurs $u a_1, \dots, u a_d$ appartiennent à $A$ (stabilité). Ils sont libres : si $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$ , alors $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ dans $\R$ , et $u \neq 0$ force $\sum_i \lambda_i a_i = 0$ , d’où $\lambda_i = 0$ (les $a_i$ forment une base). Donc $(u a_1, \dots, u a_d)$ est une famille libre de $d$ vecteurs de $A$ , avec $\dim_\Q A = d$ : c’est une base (Proposition 19.8). En particulier $1 \in A$ se décompose en $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ avec $v = \sum_i \mu_i a_i \in A$ : l’inverse de $u$ est dans $A$ . On retrouve ainsi la question 4 ( $A = \Q(\sqrt2)$ ) et l’on démontre d’un coup que $M$ est un sous-corps de $\R$ (avec la question 6).

13. Les $d + 1$ vecteurs $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ appartiennent tous à $A$ (stabilité par produit) ; une famille libre de $A$ a au plus $d$ vecteurs (Proposition 19.8), donc ils sont liés : il existe des rationnels $\lambda_0, \dots, \lambda_d$ , non tous nuls, tels que $\sum_k \lambda_k x^k = 0$ . Le polynôme $P = \sum_k \lambda_k X^k$ est non nul, à coefficients rationnels, de degré $\leq d$ , et $P(x) = 0$ .

14. $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ : coordonnées $(5, 0, 0, 2)$ . Puis

s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6) = 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18} = 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,

coordonnées $(0, 11, 9, 0)$ (en utilisant $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ , $\sqrt{18} = 3\sqrt2$ ). Enfin $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 + 24 = 49 + 20\sqrt6$ : coordonnées $(49, 0, 0, 20)$ .

15. Supposons $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$ . En lisant les quatre coordonnées sur $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ :

a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .

Donc $c = 0$ , puis $a = 0$ ; en soustrayant les deux équations médianes, $2d = 0$ , puis $b = 0$ : $(1, s, s^2, s^3)$ est libre. Quatre vecteurs libres dans $M$ , de dimension $4$ : une base, donc $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ . D’après la question 14, $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ et $11s - s^3 = 2\sqrt3$ :

\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2}, \qquad \sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .

16. $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 + 2\sqrt6) + 1 = 0$ . Un polynôme unitaire de degré $\leq 3$ s’annulant en $s$ produirait une combinaison nulle non triviale de $(1, s, s^2, s^3)$ , contredisant la question 15 : $X^4 - 10X^2 + 1$ est de degré minimal. Ses racines : $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm \sqrt2)^2$ , donc les quatre racines réelles sont $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ et $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$ , c’est-à-dire $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$ .

17. De $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ on tire $s\,(10s - s^3) = 1$ , donc

\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3) = \sqrt3 - \sqrt2 ,

en accord avec $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$ . Si $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$ , alors $(a - r) + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ , et la liberté (question 8) force $b = c = d = 0$ (et $a = r$ ). Pour $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ , les coordonnées $(0, 1, 1, 1)$ ne sont pas de cette forme : irrationnel — énoncé plus fort que l’Exercice 10.7, obtenu sans aucune astuce d’élévation au carré.

18. Une racine rationnelle $p/q$ (sous forme irréductible) de $X^3 - 2$ vérifie $p^3 = 2q^3$ , et le critère de l’Exercice 8.5 donne $p \mid 2$ , $q \mid 1$ : les candidats sont $\pm1, \pm2$ , dont les cubes valent $\pm1, \pm8 \neq 2$ . Pas de racine rationnelle ; en particulier $t = 2^{1/3} \notin \Q$ , donc $(1, t)$ est libre sur $\Q$ (comme à la question 2).

19. Supposons $(1, t, t^2)$ liée : un certain $P \in \Q[X]$ non nul avec $\deg P \leq 2$ vérifie $P(t) = 0$ ; choisissons un tel $P$ de degré $d \geq 1$ minimal. Par la question 18, $d \neq 1$ , donc $d = 2$ . Division euclidienne (Théorème 8.3) : $X^3 - 2 = PQ + R$ avec $Q, R \in \Q[X]$ , $\deg R < 2$ . En évaluant en $t$ : $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$ , donc $R$ s’annule en $t$ ; la minimalité de $d$ force $R = 0$ . Alors $X^3 - 2 = PQ$ avec $\deg Q = 1$ : la racine rationnelle de $Q$ est une racine rationnelle de $X^3 - 2$ , contredisant la question 18. Ainsi $(1, t, t^2)$ est libre et $\dim_\Q A = 3$ . Stabilité : $t^3 = 2$ réduit tout produit de $1, t, t^2$ à une combinaison de ceux-ci ( $t\cdot t^2 = 2$ , $t^2\cdot t^2 = 2t$ ) ; $A$ contient $1$ : par la question 12, $A$ est un sous-corps de $\R$ .

20. Supposons $t \in M$ . Alors $t^2 \in M$ (stabilité), donc $A \subseteq M$ , et $M$ est un espace vectoriel sur le corps $A$ : les axiomes sont ceux de l’arithmétique de $\R$ , restreinte. Il est de dimension finie sur $A$ (une famille $\Q$ -génératrice finie engendre a fortiori sur $A \supseteq \Q$ ). La formule des degrés pour $\Q \subseteq A \subseteq M$ donne

4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,

impossible : $3$ ne divise pas $4$ . Donc $2^{1/3} \notin M$ : aucune combinaison rationnelle de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ ne vaut $2^{1/3}$ .

21. $\Q(\sqrt2) \subseteq M$ , donc $t \notin \Q(\sqrt2)$ . Si $t + \sqrt2 = r \in \Q$ , alors $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ : contradiction — $2^{1/3} + \sqrt2$ est irrationnel. Si $t = a + b\sqrt3$ , alors $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq M$ : contradiction à nouveau.

22. $B$ est un espace vectoriel sur le corps $A$ (restriction des scalaires), de dimension finie puisque $\dim_\Q B$ l’est. La formule des degrés pour $\Q \subseteq A \subseteq B$ donne $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$ : le facteur de gauche divise. Les sous-corps de $M$ ont donc pour $\Q$ -dimension $1$ , $2$ ou $4$ : la dimension $1$ est $\Q$ lui-même, la dimension $4$ est $M$ .

23. Soit $F \subseteq M$ un sous-corps avec $\dim_\Q F = 2$ , et $w \in F \setminus \Q$ : $(1, w)$ est libre, donc c’est une base de $F$ . Par la question 13 ( $d = 2$ ), $w^2 = \alpha + \beta w$ pour des rationnels $\alpha, \beta$ . En posant $v = w - \beta/2 \in F \setminus \Q$ :

v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4 \;\in\; \Q,

et $F = \operatorname{Vect}(1, v)$ . Écrivons maintenant $v = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ et développons :

v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2) + (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .

Les trois coordonnées irrationnelles s’annulent : $ab + 3cd = ac + 2bd = ad + bc = 0$ . Si $a \neq 0$ : $b = -3cd/a$ , et la deuxième condition devient $c(a^2 - 6d^2) = 0$ ; comme $a^2 = 6d^2$ avec $d \neq 0$ rendrait $\sqrt6 = \abs{a/d}$ rationnel, on a $c = 0$ ou $d = 0$ , et dans les deux cas les conditions restantes forcent $b = c = d = 0$ , c’est-à-dire $v \in \Q$ : exclu. Donc $a = 0$ , et les conditions s’écrivent $3cd = 2bd = bc = 0$ : au plus un des $b, c, d$ est non nul. Ainsi $v$ est un multiple rationnel de $\sqrt2$ , $\sqrt3$ ou $\sqrt6$ , et

F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,

chacun étant effectivement un sous-corps de dimension $2$ (stabilité comme à la question 6, inverses par la question 12) : exactement trois sous-corps quadratiques.

24. $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 + \sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$ , donc

\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3} = \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4} = \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .

(Vérification : $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ après développement.)

25. (i) La $\Q$ -dimension attache un entier à chaque sous-corps de $\R$ , et la formule des degrés fait multiplier ces entiers le long des inclusions : la dimension se comporte comme un invariant arithmétique, et les contraintes de divisibilité deviennent des démonstrations d’impossibilité. (ii) La dimension finie force tout élément à satisfaire une équation polynomiale rationnelle non nulle, de degré au plus la dimension : finitude signifie algébricité. (iii) La règle « deux sur trois » a transformé « la multiplication par $u$ envoie une base sur une famille libre de taille maximale » en surjectivité, produisant $u^{-1}$ sans aucune formule : les inverses sont sortis d’un comptage. (iv) La formule des degrés interdit un corps de dimension $3$ à l’intérieur d’un corps de dimension $4$ , et c’est pourquoi $2^{1/3}$ ne peut être atteint à partir de $\sqrt2$ et $\sqrt3$ . Le théorème de la partie III est la formule des degrés de Dedekind, coup d’envoi de la théorie de Galois, développée dans le volume de Licence 3.