Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

8Espaces de Banach et théorèmes fondamentaux

L’analyse fonctionnelle étudie les espaces normés de dimension infinie à travers les opérateurs et fonctionnelles qui y vivent. Sa découverte fondatrice est que la complétude, via le théorème de Baire, force une forte uniformité : les familles d’opérateurs ponctuellement bornées sont bornées en norme (Banach–Steinhaus), les bijections continues ont des inverses continues (application ouverte), et les graphes détectent la continuité (graphe fermé). L’autre pilier, Hahn–Banach, n’a besoin d’aucune complétude — seulement du lemme de Zorn — et garantit que les espaces duaux sont assez riches pour voir chaque vecteur. Ce chapitre prouve les quatre théorèmes et les teste sur les espaces de suites classiques $\ell^p$ , sur des calculs de duaux concrets, et sur une application véritablement surprenante : il existe des fonctions continues $2\pi$ -périodiques dont la série de Fourier diverge en un point — résolvant par la négative une question que la deuxième année avait laissée ouverte.

Tout au long, $E, F$ sont des espaces normés sur $K = \R$ ou $\C$ ; espace de Banach signifie espace normé complet.

8.1 Opérateurs bornés ; espaces de suites

Définition 8.1

$\mathcal L(E, F)$ désigne l’espace des applications linéaires bornées (= continues, deuxième année) muni de la norme d’opérateur $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ ; elle est sous-multiplicative : $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$ . Le dual est $E' = \mathcal L(E, K)$ .

Proposition 8.2

Si $F$ est un espace de Banach, $\mathcal L(E, F)$ l’est aussi ; en particulier $E'$ est toujours un espace de Banach.

Démonstration. Soit $(T_n)$ de Cauchy pour $\vertiii\cdot$ . Pour chaque $x$ , $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : $(T_nx)$ est de Cauchy dans $F$ , convergente ; appeler la limite $Tx$ . $T$ est linéaire (limites d’identités linéaires) ; en passant à la limite dans $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ( $n, m \geq N$ ) on obtient $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ : $T_n \to T$ en norme d’opérateur, et $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$ . ∎

Définition 8.3

Les espaces de suites classiques (sur $K$ , indexés par $\N$ ) :

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

et $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ muni de $\norm\cdot_\infty$ . Que $\norm\cdot_p$ soit une norme suit de l’inégalité de Minkowski, prouvée dans le cas discret exactement comme dans le Chapitre 12 (ou en sommant l’inégalité de dimension finie de deuxième année). Tous sont des espaces de Banach, et $c_0$ est un sous-espace fermé de $\ell^\infty$ (Exercice 8.3).

Boules unités des p-normes dans le plan, emboîtées quand p croît de 1 (losange) à 2 (disque) et 4 (superellipse) jusqu’à ∈fty (carré). La convexité de chaque boule est l’inégalité de Minkowski ; les coins en p = 1 et p = ∈fty sont là où la stricte convexité, l’unicité des meilleures approximations, et les cas d’égalité de l’ dégénèrent d’un coup. — Boules unités des $p$ -normes dans le plan, emboîtées quand $p$ croît de $1$ (losange) à $2$ (disque) et $4$ (superellipse) jusqu’à $\infty$ (carré). La convexité de chaque boule *est* l’inégalité de Minkowski ; les coins en $p = 1$ et $p = \infty$ sont là où la stricte convexité, l’unicité des meilleures approximations, et les cas d’égalité de l’Exercice 12.12 dégénèrent d’un coup.

Proposition 8.4 (Série de Neumann)

Soit $E$ de Banach et $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ avec $\vertiii T < 1$ . Alors $I - T$ est inversible dans $\mathcal L(E)$ , avec $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergente en norme d’opérateur). Par conséquent l’ensemble des opérateurs inversibles est ouvert, et l’inversion y est continue.

Démonstration. La série converge absolument ( $\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$ , géométrique) dans le Banach $\mathcal L(E)$ (Proposition 8.2 ; Exercice 7.1(b)). En télescopant, $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$ , et de même de l’autre côté. Pour l’ouverture : si $S$ est inversible et $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$ , alors $S + H = S(I + S^{-1}H)$ avec $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ : inversible. Continuité de l’inversion : l’expression en série donne $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ localement. ∎

Exemple 8.5 (Une équation de Volterra, résolue par Neumann)

Sur $E = \mathcal C(\intcc01)$ , considérer l’équation intégrale

u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu .

Ici $\vertiii T \leq 1$ , donc pour $\abs\lambda < 1$ la série de Neumann s’applique directement : $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$ . En calculant, $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$ , donc

u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} ,

ce que la dérivation confirme. Mieux : $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (le noyau itéré se contracte factoriellement), donc $\sum\lambda^nT^n$ converge pour tout $\lambda$ — l’opérateur $I - \lambda T$ est inversible pour tout $\lambda \in \C$ , même si $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ éventuellement : ce qui compte est la décroissance spectrale des puissances, pas la première norme. Les opérateurs de Volterra ont cette décroissance factorielle intégrée (Exercice 7.4(a) l’exploitait exactement), c’est pourquoi les problèmes de Cauchy ne souffrent jamais des phénomènes de résonance des problèmes aux limites (Chapitre 15).

8.2 Hahn–Banach

Théorème 8.6 (Hahn–Banach, forme analytique)

Soit $E$ un espace vectoriel réel, $p \colon E \to \R$ sous-linéaire ( $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ et $p(tx) = tp(x)$ pour $t \geq 0$ ), $F \subseteq E$ un sous-espace et $f \colon F \to \R$ linéaire avec $f \leq p$ sur $F$ . Alors $f$ s’étend en une $\tilde f \colon E \to \R$ linéaire avec $\tilde f \leq p$ sur $E$ .

Démonstration. Extension en une étape. Soit $x_0 \notin F$ ; on étend $f$ à $F \oplus \R x_0$ en choisissant $\alpha = \tilde f(x_0)$ correctement : on a besoin, pour tous $y \in F$ , $t > 0$ ,

f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{et}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),

ce qui après division par $t$ (sous-linéarité) se réduit à

\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].

Un tel $\alpha$ existe ssi tout membre de gauche est $\leq$ tout membre de droite : en effet $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$ , c’est-à-dire $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$ .

Zorn. Ordonner les extensions de $f$ dominées par $p$ (couples : sous-espace, fonctionnelle) par extension ; une chaîne a pour majorant l’union ; un élément maximal doit être défini sur tout $E$ , sinon l’extension en une étape contredit la maximalité. ∎

Corollaire 8.7

Soit $E$ un espace normé ( $K = \R$ ou $\C$ ).

Toute $f \in F'$ ( $F$ un sous-espace) s’étend en $\tilde f \in E'$ avec $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
Pour tout $x \neq 0$ il existe $f \in E'$ avec $\norm f = 1$ et $f(x) = \norm x$ . En particulier $E'$ sépare les points de $E$ , et $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ .
Pour un sous-espace fermé $F$ et $x \notin F$ , il existe $f \in E'$ s’annulant sur $F$ avec $f(x) = d(x, F)$ et $\norm f \leq 1$ .

Démonstration. (1) Cas réel : appliquer Théorème 8.6 avec $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (sous-linéaire) ; l’extension satisfait $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ , donc $\norm{\tilde f} \leq \norm f$ , et $\geq$ est la restriction. Cas complexe : soit $u = \operatorname{Re}f$ , une fonctionnelle réelle avec $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ ; noter $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (vérifier sur les parties réelle et imaginaire : $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$ ). Étendre $u$ $\R$ -linéairement avec la même borne, et poser $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ : $\C$ -linéaire (vérification directe sur la multiplication par $\iu$ ), prolonge $f$ ; norme : pour $x$ donné écrire $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ , alors $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$ .

(2) Sur $F = Kx$ définir $f(tx) = t\norm x$ : norme $1$ sur $F$ ; étendre par (1). La formule de dualité : $\leq$ est claire, $\geq$ par cette $f$ .

(3) Sur $F \oplus Kx$ définir $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ ; alors pour $t \neq 0$ , $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ : $\norm f \leq 1$ sur le sous-espace ; étendre par (1). ∎

Remarque 8.8

Par (2), l’application canonique $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , est une isométrie (Exercice 8.10) : tout espace normé s’assied dans son bidual. Les espaces avec $J$ surjective sont dits réflexifs ; le problème de fin de semaine montre que $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) est réflexif tandis que $\ell^1$ ne l’est pas.

8.3 La trilogie de Baire

Théorème 8.9 (Banach–Steinhaus, bornitude uniforme)

Soit $E$ un espace de Banach, $F$ normé, et $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ une famille avec $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ pour tout $x \in E$ . Alors $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$ .

Démonstration. Les ensembles $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ sont fermés (intersections d’images réciproques de boules fermées) et recouvrent $E$ . Baire (Théorème 7.6) donne $n_0$ et une boule $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ . Pour $\norm z < r$ : $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$ , donc $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ pour tout $i$ . ∎

Corollaire 8.10

Si $E$ est de Banach et $T_n \in \mathcal L(E,F)$ convergent ponctuellement ( $T_nx \to Tx$ pour chaque $x$ ), alors $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ , $T \in \mathcal L(E, F)$ , et $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$ .

Démonstration. Les suites convergentes sont bornées : bornitude ponctuelle ; Banach–Steinhaus borne les normes par quelque $M$ ; alors $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ( $T$ est linéaire comme limite ponctuelle), et la borne plus fine en passant au $\liminf$ dans $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ . ∎

Théorème 8.11 (Séries de Fourier divergentes)

Il existe des fonctions continues $2\pi$ -périodiques $f$ dont la série de Fourier diverge en $0$ : $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$ . Mieux : de telles $f$ forment une partie dense de $\mathcal C(S^1)$ .

Démonstration. Travailler dans $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ , un espace de Banach, avec les fonctionnelles $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (noyau de Dirichlet, deuxième année). Chaque $\Lambda_N$ est continue avec

\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N .

( $\leq$ est clair ; $\geq$ : prendre $f$ continue, $\norm f_\infty \leq 1$ , approximant $\operatorname{sign}D_N$ — le signe a un nombre fini de sauts ; lisser chaque saut sur un intervalle de longueur $\varepsilon$ change l’intégrale de $O(N\varepsilon)$ .) Les constantes de Lebesgue $L_N$ tendent vers l’infini :

L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u

(en utilisant $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ sur $[0, \pi]$ , puis en substituant $u = (N + \tfrac12)t$ ). En découpant en arches :

\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{donc}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .

Si toute $f$ continue avait $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ , Banach–Steinhaus forcerait $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ : contradiction. Donc quelque $f$ — en fait un ensemble non maigre, dense de $f$ (le complémentaire de $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ , une réunion dénombrable de fermés qui, n’ayant pas d’intérieur par ce qui précède appliqué dans toute boule, est maigre) — a $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ . ∎

Théorème 8.12 (Application ouverte)

Soient $E, F$ des espaces de Banach et $T \in \mathcal L(E, F)$ surjective. Alors $T$ est ouverte : $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ pour quelque $c > 0$ . Par conséquent un opérateur borné bijectif entre espaces de Banach a un inverse borné.

Démonstration. Écrire $B = B_E(0,1)$ . La surjectivité donne $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ; Baire (Théorème 7.6) donne un intérieur à $\overline{T(B)}$ : quelque $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ . Recentraliser en $0$ : pour $\norm y < 4c$ , $y_0 + y$ et $y_0$ sont tous deux des limites d’images $Tu_k$ , $Tv_k$ avec $u_k, v_k \in B$ , donc $y = \lim T(u_k - v_k)$ avec $u_k - v_k \in 2B$ : $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$ , c’est-à-dire $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$ .

Retirer l’adhérence (ici entre la complétude de $E$ ) : soit $\norm y < c$ . Choisir $x_1 \in \frac12 B$ avec $\norm{y - Tx_1} < c/2$ ( $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ mis à l’échelle $\frac12$ ) ; inductivement $x_k \in 2^{-k}B$ avec $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ . La série $\sum x_k$ converge absolument dans le Banach $E$ , vers $x \in B$ (norme $< \sum 2^{-k} = 1$ ), et $Tx = y$ par continuité : $B_F(0, c) \subseteq T(B)$ . L’ouverture de $T$ sur des ouverts arbitraires suit par translation et mise à l’échelle ; pour le corollaire, l’ouverture de $T$ signifie que $T^{-1}$ est continue. ∎

Corollaire 8.13 (Normes équivalentes)

Si un espace vectoriel est complet pour deux normes comparables ( $\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$ ), les normes sont équivalentes.

Démonstration. L’identité $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ est bornée et bijective entre espaces de Banach : son inverse est borné. ∎

Théorème 8.14 (Graphe fermé)

Soient $E, F$ de Banach et $T \colon E \to F$ linéaire. Si le graphe $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ est fermé dans $E \times F$ (c’est-à-dire $x_n \to x$ et $Tx_n \to y$ impliquent $y = Tx$ ), alors $T$ est borné.

Démonstration. $E \times F$ muni de $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ est de Banach ; $\Gamma$ , un sous-espace fermé, est de Banach. La projection $\pi_E\colon \Gamma \to E$ est bornée et bijective, donc son inverse $x \mapsto (x, Tx)$ est borné (Théorème 8.12) : $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$ . ∎

Méthode 8.15

Quand atteindre quel théorème. Hahn–Banach : pour produire une fonctionnelle au comportement prescrit (normer un vecteur, s’annuler sur un sous-espace, étendre depuis un sous-espace) — pas de complétude nécessaire. Banach–Steinhaus : pour convertir de l’information ponctuelle en bornes uniformes — typiquement pour montrer qu’une opération limite est continue, ou (contraposée) pour prouver une divergence pour quelque élément, comme pour les séries de Fourier. Application ouverte / graphe fermé : pour obtenir la continuité gratuitement à partir de la bijectivité algébrique ou d’une propriété de fermeture du graphe — usage typique : comparer deux normes complètes, ou prouver une continuité automatique. Les trois théorèmes de Baire exigent la complétude de la source ; contre-exemples sinon (Exercice 8.7).

8.4 Espaces duaux, concrètement

Théorème 8.16

Isométriquement : $(c_0)' \cong \ell^1$ et $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , via le crochet $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Démonstration. On prouve $(c_0)' \cong \ell^1$ ; la seconde identification est l’Exercice 8.5. À $y \in \ell^1$ associer $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ ( $x \in c_0$ ) : absolument convergente, avec $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , donc $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$ . Réciproquement soit $\Lambda \in (c_0)'$ ; poser $y_n = \Lambda(e_n)$ ( $e_n$ les suites unitaires). Pour tout $N$ , tester $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (norme $\leq 1$ ; dans le cas complexe utiliser des facteurs unimodulaires $\bar y_n/\abs{y_n}$ ) : $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ . Donc $y \in \ell^1$ avec $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ . Enfin $\Lambda = \Lambda_y$ : les deux coïncident sur les $e_n$ , donc sur les suites finies, denses dans $c_0$ (troncation : $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ précisément parce que $x_n \to 0$ ) ; des fonctionnelles continues coïncidant sur un dense sont égales. La correspondance est linéaire, bijective, et isométrique ( $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ d’après les deux inégalités). ∎

8.5 Exercices

Exercice 8.1 ★

Calculer les normes d’opérateur : (a) les décalages $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ et $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ sur $\ell^2$ ; (b) l’opérateur de multiplication $M_a x = (a_nx_n)$ sur $\ell^2$ , pour $a \in \ell^\infty$ ; (c) la fonctionnelle $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ sur $\mathcal C(\intcc01)$ — montrer $\norm\Lambda = 1$ et que la norme n’est pas atteinte.

Solution

Solution de Exercice 8.1.

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : $S$ est une isométrie, $\vertiii S = 1$ . Pour le décalage arrière : $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$ , avec égalité pour $x = e_2$ : $\vertiii{S^*} = 1$ .

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$ ; tester $x = e_n$ donne $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ pour tout $n$ : $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$ .

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$ : $\norm\Lambda \leq 1$ . Pour $\varepsilon > 0$ soit $f_\varepsilon$ égale à $1$ sur $[0, \frac12 - \varepsilon]$ , $-1$ sur $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ , affine entre : $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ et $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$ : $\norm\Lambda = 1$ . Non atteinte : $\Lambda(f) = 1$ avec $\norm f_\infty \leq 1$ force $\int_0^{1/2}f = \frac12$ et $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ , c’est-à-dire (continuité, $\abs f \leq 1$ ) $f \equiv 1$ sur $[0, \frac12]$ et $f \equiv -1$ sur $[\frac12, 1]$ : contradiction en $\frac12$ .

Exercice 8.2 ★

Soit $E$ de Banach, $T \in \mathcal L(E)$ inversible, et $S$ avec $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ . Montrer que $S$ est inversible et estimer $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ . Application : si un système linéaire $Tx = b$ est solvable avec $T$ inversible, une perturbation suffisamment petite de $T$ le garde uniquement solvable, avec une borne quantitative sur le changement de solution.

Solution

Solution de Exercice 8.2.

Écrire $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ avec $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ : par Proposition 8.4, $S$ est inversible avec $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T-S)\bigr)^nT^{-1}$ , d’où

\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.

Pour le système linéaire : $x_T = T^{-1}b$ et $x_S = S^{-1}b$ diffèrent d’au plus cette borne fois $\norm b$ — les petites perturbations d’un système inversible restent uniquement solvables, avec dépendance lipschitzienne de la solution en l’opérateur.

Exercice 8.3 ★★

(a) Prouver que $\ell^1$ , $\ell^\infty$ et $c_0$ sont des espaces de Banach, et que $c_0$ est l’adhérence dans $\ell^\infty$ de l’espace des suites finies. (b) Montrer $\ell^p \subseteq \ell^q$ avec $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ pour $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , et que l’inclusion est stricte.

Solution

Solution de Exercice 8.3.

(a) $\ell^1$ : soit $(x^{(k)})$ de Cauchy. Chaque coordonnée est de Cauchy ( $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$ ) : soit $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$ . Étant donné $\varepsilon$ , pour $k, l \geq K$ : $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ pour tout $N$ ; faire $l \to \infty$ , puis $N \to \infty$ : $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$ , et $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$ . $\ell^\infty$ : Cauchy pour $\norm\cdot_\infty$ est uniformément de Cauchy : converge uniformément vers une suite bornée. $c_0$ est fermé dans $\ell^\infty$ : si $x^{(k)} \to x$ uniformément avec $x^{(k)}_n \to_n 0$ , alors $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ donne $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ : $x \in c_0$ ; un sous-espace fermé d’un Banach est Banach. Suites finies : leur adhérence contient tout $x \in c_0$ (les troncatures convergent : $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) et est contenue dans le fermé $c_0$ .

(b) Par homogénéité supposer $\norm x_p = 1$ : alors $\abs{x_n} \leq 1$ pour tout $n$ , donc $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ et $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ; pour $q = \infty$ , $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ directement. Stricte : $x_n = n^{-\alpha}$ avec $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ est dans $\ell^q \setminus \ell^p$ (séries de Riemann).

Exercice 8.4 ★★

Soit $F \subseteq E$ un sous-espace fermé et $x \notin F$ . En utilisant Corollaire 8.7, prouver la formule de dualité

d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\}

(noter : un maximum). En déduire que $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : les sous-espaces fermés sont exactement les intersections de noyaux de fonctionnelles.

Solution

Solution de Exercice 8.4.

( $\leq$ ) Si $\norm f \leq 1$ et $f\restriction_F = 0$ : pour tout $y \in F$ , $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$ ; prendre l’infimum. ( $\geq$ , atteint) Corollaire 8.7(3) produit $f$ avec $f\restriction_F = 0$ , $\norm f \leq 1$ , $f(x) = d(x, F)$ : le supremum est un maximum. Conséquence : $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ trivialement, et un point $x \notin F$ est exclu de l’intersection par la fonctionnelle ci-dessus ( $f(x) = d(x,F) > 0$ , $F$ étant fermé).

Exercice 8.5 ★★

Prouver $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ isométriquement, en suivant le schéma du Théorème 8.16 (les suites finies sont denses dans $\ell^1$ ). Où l’argument casse-t-il pour $(\ell^\infty)'$

Solution

Solution de Exercice 8.5.

Pour $y \in \ell^\infty$ : $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$ , donc $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ; tester sur $e_n$ : $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : égalité. Réciproquement, étant donné $\Lambda \in (\ell^1)'$ , poser $y_n = \Lambda(e_n)$ : $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ , donc $y \in \ell^\infty$ ; $\Lambda$ et $\Lambda_y$ coïncident sur les suites finies, denses dans $\ell^1$ ( $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) : $\Lambda = \Lambda_y$ . L’application $y \mapsto \Lambda_y$ est linéaire, isométrique, surjective. Pour $(\ell^\infty)'$ le même départ produit une suite $y_n = \Lambda(e_n)$ , mais les suites finies ne sont pas denses dans $\ell^\infty$ (la suite constante $\mathbf 1$ est à distance $1$ de toutes), donc $\Lambda$ n’est pas déterminée par les $y_n$ — et en effet $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ (Problème 8.1).

Exercice 8.6 ★★

Soient $E, F, G$ normés avec $E$ de Banach, et $B \colon E \times F \to G$ bilinéaire, continue en chaque variable séparément. Montrer que $B$ est (conjointement) continue : $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ . (Appliquer Banach–Steinhaus à la famille $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ .)

Solution

Solution de Exercice 8.6.

Pour chaque $x$ fixé, $y \mapsto B(x, y)$ est linéaire continue : $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$ . Donc la famille $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (chaque membre continue, par continuité en $x$ ) est ponctuellement bornée sur le Banach $E$ : Banach–Steinhaus (Théorème 8.9) fournit $C$ avec $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ pour tous $\norm y \leq 1$ ; l’homogénéité en $y$ termine : $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ .

Exercice 8.7 ★★

(a) Sur $E = \mathcal C(\intcc01)$ , comparer $\norm\cdot_\infty$ et $\norm\cdot_1$ : l’identité $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ est bornée et bijective mais son inverse est non borné. Quelle hypothèse du Corollaire 8.13 échoue (b) Exhiber une application linéaire discontinue d’un sous-espace dense de $\ell^2$ vers $K$ (p. ex. sur les suites finies), et expliquer pourquoi cela ne contredit pas le théorème du graphe fermé.

Solution

Solution de Exercice 8.7.

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : l’identité est bornée et bijective. Son inverse est non borné : $f_n(x) = x^n$ a $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ mais $\norm{f_n}_\infty = 1$ . Pas de contradiction avec Corollaire 8.13 : $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ n’est pas complet (Exercice 7.1) ; le corollaire exige la complétude des deux côtés.

(b) Sur l’espace $E_0$ des suites finies (dense dans $\ell^2$ ), $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ est linéaire et non bornée ( $\varphi(e_n) = n$ avec $\norm{e_n}_2 = 1$ ). Le théorème du graphe fermé ne s’applique pas : $E_0$ n’est pas complet — et $\varphi$ n’a pas d’extension continue à $\ell^2$ , illustrant que la densité sans continuité uniforme est impuissante (Théorème 7.2).

Exercice 8.8 ★★★

(Hellinger–Toeplitz) Soit $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ linéaire (partout définie) et symétrique : $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ pour tous $x, y$ , où $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$ . Montrer que $T$ est borné. (Graphe fermé : si $x_k \to x$ et $Tx_k \to z$ , tester contre $y$ arbitraire.) Morale : les opérateurs symétriques non bornés — les hamiltoniens de la mécanique quantique — ne peuvent jamais être définis sur tout l’espace.

Solution

Solution de Exercice 8.8.

On vérifie l’hypothèse du graphe fermé. Soit $x_k \to x$ et $Tx_k \to z$ dans $\ell^2$ . Pour tout $y$ :

\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle,

en utilisant la continuité du produit scalaire dans chaque créneau (Cauchy–Schwarz) et la symétrie deux fois. Donc $z - Tx$ est orthogonal à tout $y$ , en particulier à lui-même : $z = Tx$ . Le graphe est fermé et $\ell^2$ est de Banach : $T$ est borné (Théorème 8.14). Donc un opérateur symétrique défini sur tout $\ell^2$ est automatiquement borné ; les opérateurs symétriques véritablement non bornés (position, impulsion, hamiltoniens) doivent vivre sur des sous-espaces denses propres.

Exercice 8.9 ★★★

(Théorème de Pólya sur la quadrature) Pour chaque $n$ , soit $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ une règle de quadrature sur $\mathcal C(\intcc01)$ ( $x_{i,n} \in \intcc01$ , $w_{i,n} \in \R$ ). Montrer que $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ pour toute $f$ continue si et seulement si : (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ pour tout polynôme $P$ , et (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$ . (Calculer $\norm{\Lambda_n}$ ; utiliser Banach–Steinhaus et Weierstrass.) Vérifier que les règles à poids positifs exactes sur les constantes satisfont (ii) automatiquement.

Solution

Solution de Exercice 8.9.

D’abord, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : $\leq$ est l’inégalité triangulaire ; $\geq$ en testant une $f$ affine par morceaux avec $\norm f_\infty \leq 1$ et $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpoler linéairement entre les nœuds finiment nombreux).

( $\Rightarrow$ ) La convergence ponctuelle en toute $f$ implique (i), et la bornitude ponctuelle, donc Banach–Steinhaus (Théorème 8.9) sur le Banach $\mathcal C(\intcc01)$ donne (ii).

( $\Leftarrow$ ) Soit $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$ . Étant donné $f$ et $\varepsilon$ , choisir un polynôme $P$ avec $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ (Corollaire 7.16) ; alors

\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon .

Poids positifs, exactitude sur les constantes : $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ pour les règles exactes sur les constantes — (ii) tient avec constante $1$ .

Exercice 8.10 ★★

Montrer que $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , est une isométrie linéaire (utiliser Corollaire 8.7(2)), et qu’elle est surjective quand $\dim E < \infty$ . Montrer aussi que si $E'$ est séparable alors $E$ l’est. (Choisir $x_n$ presque normant une suite dense de $E'$ et montrer que leur sous-espace engendré fermé est $E$ , via Corollaire 8.7(3).)

Solution

Solution de Exercice 8.10.

La linéarité de $J$ est formelle ; $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ par Corollaire 8.7(2). Si $\dim E = n$ : $\dim E' = n$ (une base donne des fonctionnelles coordonnées), donc $\dim E'' = n$ , et le $J$ injectif (isométrique) est surjectif. Séparabilité : soit $(f_n)$ dense dans $E'$ et choisir $\norm{x_n} = 1$ avec $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ . Soit $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ; si $F \neq E$ , prendre $g \in E'$ , $g \neq 0$ , s’annulant sur $F$ (Corollaire 8.7(3)) ; choisir $f_{n_k} \to g$ :

\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),

donc $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : contradiction. D’où $F = E$ , et les combinaisons rationnelles (ou $\Q + \iu\Q$ ) des $x_n$ forment un dense dénombrable.

Exercice 8.11 ★★

(Espaces quotients) Soit $E$ un espace de Banach et $F \subseteq E$ un sous-espace fermé. Sur $E/F$ définir

\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .

(a) Montrer que c’est une norme bien définie sur $E/F$ (où entre la fermeture de $F$ ?), et que la projection $\pi \colon E \to E/F$ a $\vertiii\pi \leq 1$ et envoie la boule unité ouverte sur la boule unité ouverte. (b) Montrer que $E/F$ est complet. (Utiliser le critère de séries de l’Exercice 7.1(b) : étant donné des classes $\bar x_k$ avec $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ , relever chacune en $x_k \in E$ avec $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ et sommer dans $E$ .) (c) Calculer : pour $E = c$ (suites convergentes) et $F = c_0$ , montrer $c/c_0 \cong K$ isométriquement via $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ .

Solution

Solution de Exercice 8.11.

(a) Bien définie : $d(x, F)$ ne dépend que de $\bar x$ (translater $x$ par $F$ ne change pas la distance). Homogénéité et inégalité triangulaire passent de $\norm\cdot$ via l’infimum. La séparation demande la fermeture : $\norm{\bar x} = 0$ signifie $d(x, F) = 0$ , c’est-à-dire $x \in \bar F = F$ , c’est-à-dire $\bar x = 0$ . $\vertiii\pi \leq 1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$ . Boule ouverte sur boule ouverte : si $\norm{\bar x} < 1$ , quelque représentant a $\norm{x - y} < 1$ ; réciproquement $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ par l’inégalité de norme — donc $\pi$ est ouverte, le cas modèle du théorème de l’application ouverte.

(b) Soit $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ et relever avec $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ : alors $\sum\norm{x_k} < \infty$ , donc $s = \sum_kx_k$ converge dans le Banach $E$ (Exercice 7.1(b)), et la continuité de $\pi$ donne $\sum_k\bar x_k = \bar s$ : toute série absolument convergente de $E/F$ converge, ce qui équivaut à la complétude (même exercice).

(c) L’application $\lambda(x) = \lim_nx_n$ est linéaire $c \to K$ , s’annule exactement sur $c_0$ , donc induit une bijection linéaire $c/c_0 \to K$ . Isométrie : $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$ : soustraire de $x$ la suite $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ , laissant $\lambda(x)\mathbf 1$ de norme $\abs{\lambda(x)}$ ; $\geq$ : pour $y \in c_0$ , $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$ .

Exercice 8.12 ★★

(Projections bornées et sous-espaces complémentés) Soit $E$ un espace de Banach et $P \colon E \to E$ linéaire avec $P^2 = P$ (une projection algébrique), $V = \operatorname{im}P$ , $W = \ker P$ . (a) Supposer $P$ bornée. Montrer que $V$ et $W$ sont fermés et $E = V \oplus W$ avec la décomposition $x = Px + (x - Px)$ . (b) Réciproquement, supposer $E = V \oplus W$ avec les deux $V, W$ fermés, et soit $P$ la projection sur $V$ le long de $W$ . Montrer que $P$ est bornée. (Graphe fermé : si $x_n \to x$ et $Px_n \to z$ , alors $z \in V$ , $x_n - Px_n \to x - z \in W$ , et l’unicité de la décomposition identifie $z = Px$ .) (c) En déduire l’équivalence : un sous-espace $V$ admet une projection bornée ssi il est fermé et a un complément algébrique fermé — et noter (sans preuve) que des sous-espaces fermés sans cette propriété existent ( $c_0$ dans $\ell^\infty$ est l’exemple classique) : les espaces de Hilbert, où $V^\perp$ marche toujours (Chapitre 13), sont l’exception, non la règle.

Solution

Solution de Exercice 8.12.

(a) $W = \ker P$ est fermé (image réciproque de $0$ sous une application continue) ; $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (en effet $Px = x$ ssi $x \in \operatorname{im}P$ , en utilisant $P^2 = P$ ), fermé de même. Tout $x$ se scinde en $Px + (x - Px)$ avec $Px \in V$ , $x - Px \in W$ , et $V \cap W = 0$ ( $x = Px = 0$ ) : $E = V \oplus W$ .

(b) L’argument du graphe : soit $x_n \to x$ et $Px_n \to z$ . Alors $z \in V$ ( $V$ fermé, $Px_n \in V$ ) et $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ( $W$ fermé). Donc $x = z + (x - z)$ avec $z \in V$ , $x - z \in W$ ; par unicité de la décomposition, $z = Px$ . Le graphe de $P$ est fermé, $E$ est de Banach : $P$ est bornée (Théorème 8.14).

(c) (a) et (b) ensemble sont l’équivalence. Dans un espace de Hilbert tout $V$ fermé a le complément fermé $V^\perp$ (Chapitre 13) : tout sous-espace fermé est complémenté. Dans les Banach généraux cela échoue — $c_0$ n’a pas de complément fermé dans $\ell^\infty$ (théorème de Phillips, hors de nos outils) — donc les projections bornées sont un privilège, et le théorème du graphe fermé est exactement la comptabilité qui convertit les scindages géométriques en opérateurs bornés.

8.6 Problème : la dualité des espaces $\ell^p$

Problème 8.1

Problème de fin de semaine — $(\ell^p)' = \ell^q$ , réflexivité, et l’étrangeté de $\ell^\infty$

Fixer $1 < p < \infty$ et soit $q$ l’exposant conjugué, $\frac1p + \frac1q = 1$ . Le crochet tout au long est $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Partie I — Hölder et Minkowski pour les suites.

(Inégalité de Young) Pour $a, b \geq 0$ montrer $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , en utilisant la concavité de $\log$ ou en étudiant $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
(Hölder) En déduire : $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ pour $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ ; identifier le cas d’égalité.
(Minkowski) En déduire l’inégalité triangulaire pour $\norm\cdot_p$ . (Écrire $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ et appliquer Hölder à chaque terme.)
Prouver que $\ell^p$ est complet et que les suites finies y sont denses.

Partie II — La dualité $(\ell^p)' = \ell^q$ .

Pour $y \in \ell^q$ , montrer que $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ définit $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ avec $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ , et, en testant sur $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (convenablement tronqué et normalisé), que $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
Réciproquement, étant donné $\Lambda \in (\ell^p)'$ , poser $y_n = \Lambda(e_n)$ ; montrer $y \in \ell^q$ avec $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ (tester sur des troncatures comme à la question 5 et laisser croître la longueur de troncature), et conclure $\Lambda = \Lambda_y$ : l’application $y \mapsto \Lambda_y$ est un isomorphisme isométrique $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
En déduire que $\ell^p$ est réflexif pour $1 < p < \infty$ : en composant les deux dualités, tout élément de $(\ell^p)''$ vient de $\ell^p$ ; vérifier soigneusement que le composé est le $J$ canonique.

Partie III — $\ell^1$ et $\ell^\infty$ sont des animaux différents.

Montrer que $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) et $c_0$ sont séparables, mais $\ell^\infty$ ne l’est pas. (Les suites indicatrices non dénombrables de parties de $\N$ sont deux à deux à distance $1$ .)
Déduire de l’Exercice 8.10 que $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ mais $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : $\ell^1$ n’est pas réflexif. (Si $(\ell^\infty)'$ était $\ell^1$ , il serait séparable, forçant $\ell^\infty$ séparable.)
(Une limite de Banach, explicitement) Sur $\ell^\infty_\R$ , soit $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Montrer que $p$ est sous-linéaire, et que sur le sous-espace $c$ des suites convergentes, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ satisfait $\mathrm{LIM} \leq p$ . Étendre par Hahn–Banach en $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ et montrer : $\mathrm{LIM}$ est positive ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), invariante par décalage ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), prolonge la limite, et satisfait $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
Montrer qu’une telle $\mathrm{LIM}$ , vue dans $(\ell^\infty)'$ , n’est pas de la forme $\Lambda_y$ pour aucun $y \in \ell^1$ ; conclure à nouveau $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . (Évaluer sur les suites unitaires $e_n$ , puis sur la suite constante $1$ .)
Évaluer $\mathrm{LIM}$ sur $(0,1,0,1,\dots)$ , et montrer qu’aucune extension multiplicative invariante par décalage de la limite ne peut exister (considérer $x = (0,1,0,1,\dots)$ et $x\cdot Sx$ où $S$ est le décalage).

Partie IV — Épilogue : pourquoi la réflexivité compte.

En utilisant Corollaire 8.10 et la question 6, montrer que toute suite bornée de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) a une sous-suite $(x^{(k)})$ qui converge faiblement : $\Lambda(x^{(k)})$ converge pour toute $\Lambda \in (\ell^p)'$ . (Extraction diagonale sur les dénombrablement coordonnées ; identifier la limite faible dans $\ell^p$ en utilisant la bornitude uniforme des normes et Hölder.) Montrer par exemple ( $e_n$ dans $\ell^1$ , contre des éléments bien choisis de $\ell^\infty$ ) que cela échoue dans $\ell^1$ : la compacité faible est un privilège des espaces réflexifs.

Partie V — La topologie faible au travail, et la surprise de Schur. Écrire $x^{(k)} \rightharpoonup x$ dans un espace normé $E$ (convergence faible) quand $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ pour toute $\Lambda \in E'$ .

Compléter le recensement : montrer $(c_0)' \cong \ell^1$ isométriquement, par le schéma des questions 5–6 (que remplacent les suites tests ?). Assembler la chaîne $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ de duaux successifs et marquer où la réflexivité échoue.
Montrer que toute suite faiblement convergente d’un espace de Banach est bornée : voir les $x^{(k)}$ à travers l’immersion canonique $J$ comme fonctionnelles sur $E'$ et appliquer Banach–Steinhaus (Théorème 8.9) — sur quel espace de Banach, et pourquoi la complétude y est disponible
Montrer que dans $\ell^p$ , $1 < p < \infty$ : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ ssi $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ et $x^{(k)}_n \to x_n$ pour chaque coordonnée $n$ (un sens utilise Banach–Steinhaus via l’immersion canonique ; pour l’autre, approximer $y \in \ell^q$ par des suites finies). En déduire $e_k \rightharpoonup 0$ dans $\ell^2$ tandis que $\norm{e_k}_2 = 1$ : les limites faibles peuvent perdre de la masse.
Montrer que la norme est faiblement semi-continue inférieurement : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ implique $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ (choisir une fonctionnelle normante pour $x$ , Corollaire 8.7).
(Radon–Riesz dans $\ell^2$ ) Montrer que dans $\ell^2$ , la convergence faible jointe à la convergence des normes implique la convergence en norme (développer $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ ). Donner un contre-exemple au même énoncé sans l’hypothèse de norme.
(Schur, étape 1) Soit $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ dans $\ell^1$ et supposer, par contradiction, $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ le long d’une sous-suite. Montrer d’abord que $x^{(k)}_n \to 0$ pour chaque $n$ (quelles fonctionnelles ?), puis construire récursivement des indices $k_1 < k_2 < \cdots$ et des entiers $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ tels que la masse de $x^{(k_j)}$ se concentre sur le bloc $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ :

$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$
(Schur, étape 2) Définir $y \in \ell^\infty$ par $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ pour $n \in B_j$ . Montrer $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ et dériver une contradiction avec $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Conclure le théorème de Schur : dans $\ell^1$ , les suites faiblement convergentes convergent en norme.
En déduire que $(e_k)$ n’a pas de sous-suite faiblement convergente dans $\ell^1$ (sa seule limite candidate est $0$ , coordonnée par coordonnée — puis appliquer Schur), retrouvant l’échec de compacité faible de la question 13 ; et résoudre le paradoxe apparent : dans $\ell^1$ les convergences faible et en norme des suites coïncident, pourtant les topologies faible et en norme diffèrent et les ensembles bornés échouent encore à être séquentiellement faiblement compacts — pas de contradiction, seulement l’échec de la réflexivité.
(Tableau de synthèse) Pour $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabuler : le dual ; la séparabilité ; la réflexivité ; si les suites bornées admettent des sous-suites faiblement convergentes ; et une propriété signature de chaque espace, justifiée en une ligne depuis ce problème.

Partie VI — Compléments : points les plus proches, convergence moyennée, la valeur d’une limite de Banach.

(Points les plus proches : un dividende de la réflexivité) Soit $F$ un sous-espace fermé de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) et $x \in \ell^p$ . Montrer que $d = \operatorname{dist}(x, F)$ est atteint : extraire d’une suite minimisante une sous-suite faiblement convergente (question 13), garder la limite faible dans $F$ en construisant, via Hahn–Banach, une fonctionnelle s’annulant sur $F$ mais pas en un point hors de $F$ , et conclure avec la question 17. Puis montrer que le privilège n’est pas universel : dans $c_0$ , pour $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ , prouver que $\norm\Lambda = 1$ n’est pas atteint sur la boule unité, établir la formule de distance $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ , et en déduire qu’aucun $x \notin \ker\Lambda$ n’a de point le plus proche dans l’hyperplan fermé $\ker\Lambda$ .
(Banach–Saks dans $\ell^2$ ) Soit $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ dans $\ell^2_{\R}$ avec $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$ . Construire une sous-suite $(y_j)$ avec $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ pour tous $i < j$ , et en déduire

$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$

après extraction, les moyennes de Cesàro convergent en norme. Vérifier sur $(e_k)$ , dont les moyennes ont pour norme $\frac1{\sqrt m}$ : la convergence faible, inutile pour la suite elle-même (question 16), devient convergence en norme pour les moyennes.
(La valeur d’une limite de Banach) Soit $L$ une limite de Banach quelconque (question 10) et $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . Montrer $L(A_mx) = L(x)$ et $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; en déduire que toutes les limites de Banach coïncident sur les suites périodiques, avec pour valeur la moyenne sur une période — $\frac13$ sur $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ , cohérent avec la $\frac12$ de la question 12. Puis montrer que l’accord échoue en général : pour la suite par blocs $x$ égale à $1$ sur $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ pour $j$ pair et $0$ ailleurs, montrer que les moyennes de Cesàro oscillent entre $\leq \frac13$ et $\geq \frac23$ , et construire deux limites de Banach $L_\pm$ avec $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ (étendre depuis $c \oplus \R x$ avec les valeurs extrêmes admissibles $\pm$ : vérifier que $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ est dominée par le sous-linéaire $p$ de la question 10).

Solution

Solution de Problème 8.1.

1. Pour $a, b > 0$ : par concavité de $\log$ , $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ; exponentier. (Si $ab = 0$ l’inégalité est triviale.) Égalité ssi $a^p = b^q$ .

2. On peut supposer $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (homogénéité). Alors

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1.

L’égalité demande $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ pour tout $n$ et l’alignement des phases de $x_ny_n$ .

3. $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ; sommer et appliquer Hölder ( $p$ contre $q$ , notant $(p - 1)q = p$ ) :

\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};

si $\norm{x + y}_p \neq 0$ , diviser par $\norm{x+y}_p^{p/q}$ et utiliser $p - \frac pq = 1$ .

4. Complétude : comme pour $\ell^1$ (Exercice 8.3), limites coordonnée par coordonnée plus borne uniforme de queue. Densité des suites finies : $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$ .

5. Hölder donne $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ . Tester : $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ pour $n \leq N$ : $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ et $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ , d’où $\norm{\Lambda_y} \geq \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \to \norm y_q$ .

6. Poser $y_n = \Lambda(e_n)$ . Avec les mêmes vecteurs tests, $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ pour tout $N$ : $y \in \ell^q$ . Les fonctionnelles $\Lambda$ et $\Lambda_y$ coïncident sur les suites finies denses : $\Lambda = \Lambda_y$ . Avec la question 5, $y \mapsto \Lambda_y$ est un isomorphisme isométrique $\ell^q \cong (\ell^p)'$ .

7. Soit $\xi \in (\ell^p)''$ . En composant avec l’isométrie $\ell^q \cong (\ell^p)'$ , $\xi$ définit un élément de $(\ell^q)'$ , qui (question 6 avec $p, q$ échangés) est $\Lambda_z$ pour un unique $z \in \ell^p$ . Alors $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n = J(z)(\Lambda_y)$ : $\xi = J(z)$ , $J$ est surjective — $\ell^p$ est réflexif.

8. Les suites finies à entrées rationnelles sont dénombrables et denses dans $\ell^p$ ( $p < \infty$ ) et dans $c_0$ . Dans $\ell^\infty$ : la famille $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ est non dénombrable avec $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ pour $A \neq B$ : pas de dense dénombrable.

9. Si $\ell^1$ était réflexif, alors $(\ell^\infty)' \cong J(\ell^1)$ serait séparable ; par Exercice 8.10, la séparabilité du dual forcerait $\ell^\infty$ séparable — contredisant la question 8. Donc $\ell^1$ n’est pas réflexif.

10. Homogénéité de $p$ claire ; sous-additivité : $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ . Sur $c$ : les moyennes de Cesàro d’une suite convergente convergent vers sa limite, donc $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ là. Hahn–Banach (Théorème 8.6) étend $\mathrm{LIM}$ à $\ell^\infty_\R$ avec $\mathrm{LIM} \leq p$ . Positivité : pour $x \geq 0$ , $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) \leq 0$ . Invariance par décalage : les moyennes de $x - Sx$ se télescopent en $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ , donc $p(\pm(x - Sx)) = 0$ et $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$ . Bornes : $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ , et appliquer à $-x$ pour la borne inférieure.

11. $e_n \in c_0$ , donc $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ . Si $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ avec $y \in \ell^1$ , alors $y_n = 0$ pour tout $n$ : $\Lambda_y = 0$ ; mais $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$ . Donc $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ .

12. Pour $x = (0,1,0,1,\dots)$ : $x + Sx = \mathbf 1$ , donc $2\,\mathrm{LIM}(x) = 1$ : $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$ . Si $\varphi$ était multiplicative et invariante par décalage : $x\cdot Sx = 0$ donne $\varphi(x)^2 = 0$ , donc $\varphi(x) = 0$ ; mais $\varphi(x) + \varphi(Sx) = 1$ donne $2\varphi(x) = 1$ : contradiction.

13. Soit $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$ . Les coordonnées sont bornées par $M$ : une extraction diagonale donne une sous-suite avec $x^{(k)}_n \to x_n$ pour tout $n$ . Alors $x \in \ell^p$ (bornes de sections finies). Convergence faible : pour $y \in \ell^q$ , découper en tête finie + queue Hölder. Dans $\ell^1$ cela échoue : $(e_n)$ est bornée, toute sous-suite converge coordonnée par coordonnée vers $0$ , mais tester contre $y_{n_k} = (-1)^k$ fait diverger $\Lambda_y(e_{n_k})$ .

14. $(c_0)' \cong \ell^1$ par le schéma des questions 5–6 avec tests $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ . Chaîne des duaux : $(c_0)' = \ell^1$ , $(\ell^1)' = \ell^\infty$ , $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ : la réflexivité échoue dès la première étape ( $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ ).

15. $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ est une famille de fonctionnelles bornées sur le Banach $E'$ ; pour chaque $\Lambda$ , $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ converge, donc est bornée. Banach–Steinhaus sur $E'$ donne $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ , et $J$ est isométrique : $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$ .

16. ( $\Rightarrow$ ) Bornitude : question 15 ; coordonnées : les $\Lambda_{e_n}$ . ( $\Leftarrow$ ) Approximer $y \in \ell^q$ par des suites finies et utiliser la bornitude. Pour $e_k$ dans $\ell^2$ : bornée, coordonnée par coordonnée $\to 0$ , donc $e_k \rightharpoonup 0$ , pourtant $\norm{e_k} = 1$ .

17. Prendre $\Lambda$ avec $\norm\Lambda = 1$ et $\Lambda(x) = \norm x$ (Corollaire 8.7) : $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm{x^{(k)}}$ .

18. Dans $\ell^2$ , $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ . Convergence faible de $\Lambda_x$ et convergence des normes : le second membre $\to 0$ . Contre-exemple sans convergence de normes : $e_k \rightharpoonup 0$ , $\norm{e_k} = 1 \not\to 0$ .

19. Convergence coordonnée : appliquer $\Lambda_{e_n}$ . Construction des blocs : choisir $k_j$ assez grand pour que la tête jusqu’à $N_{j-1}$ porte moins de $\frac\delta{20}$ de masse, puis $N_j$ assez grand pour que la queue au-delà de $N_j$ porte moins de $\frac\delta{20}$ : le bloc $B_j$ porte tout sauf $\frac\delta{10}$ .

20. Avec $y_n = \operatorname{sign}(x^{(k_j)}_n)$ sur $B_j$ : $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{4\delta}5 > 0$ , contredisant $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Donc les suites faiblement nulles de $\ell^1$ sont nulles en norme : théorème de Schur.

21. Une sous-suite faiblement convergente de $(e_k)$ aurait pour limite $0$ (coordonnées), donc par Schur $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — mais les normes valent $1$ . Pas de paradoxe : Schur dit que les suites ne distinguent pas les topologies faible et en norme dans $\ell^1$ , mais la compacité séquentielle faible de la boule est une propriété plus forte, équivalente à la réflexivité.

22. Tableau : $c_0$ dual $\ell^1$ , séparable, non réflexif, pas de cpt. faible seq. ( $e_1+\dots+e_k$ ) ; $\ell^1$ dual $\ell^\infty$ , séparable, non réflexif, pas de cpt. faible seq. ( $e_k$ , Schur) ; $\ell^p$ dual $\ell^q$ , séparable, réflexif, cpt. faible seq. oui ; $\ell^\infty$ dual $\supsetneq\ell^1$ , non séparable, non réflexif. Signatures : $c_0$ — bidual $\ell^\infty$ ; $\ell^1$ — Schur ; $\ell^p$ — réflexivité ; $\ell^\infty$ — non-séparabilité et limites de Banach.

23. Suite minimisante $(f_k)$ bornée : sous-suite faiblement convergente $f_{k_j} \rightharpoonup f$ (question 13). Si $f \notin F$ , Hahn–Banach produit $\Lambda$ s’annulant sur $F$ avec $\Lambda(f) = 1$ : $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to 1$ , contradiction. Donc $f \in F$ , et par semi-continuité inférieure faible $\norm{x - f} = d$ . Dans $c_0$ : $\norm\Lambda = 1$ pour $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ n’est jamais atteint (une suite nulle non nulle ne peut saturer $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ pour tout $n$ ) ; la formule de distance $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ implique qu’aucun point le plus proche n’existe hors de $\ker\Lambda$ .

24. Extraire $(y_j)$ avec $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ pour $i < j$ (chaque crochet tend vers $0$ par convergence faible). Alors $\norm{\frac1m\sum_j y_j}_2^2 \leq \frac{C^2+2}m \to 0$ : moyennes de Cesàro convergentes en norme (Banach–Saks). Sur $(e_k)$ : $\norm{\frac1m(e_1+\dots+e_m)}_2 = \frac1{\sqrt m}$ .

25. $L(A_mx) = L(x)$ par linéarité et invariance par décalage. Les bornes $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ suivent de la positivité. Sur les suites $T$ -périodiques, $A_Tx$ est la constante égale à la moyenne de période : toutes les limites de Banach coïncident. Pour la suite par blocs (uns sur $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ pour $j$ pair) : les moyennes de Cesàro oscillent entre $\leq \frac13$ et $\geq \frac23$ . Étendre depuis $c \oplus \R x$ avec $\Lambda_\pm(y + tx) = \lim y \pm t\,p(\pm x)$ dominées par $p$ : deux limites de Banach $L_\pm$ avec $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ .

Compléments détaillés pour les parties IV–VI.

Sur la convergence faible (questions 13–16) : l’extraction diagonale sur les coordonnées d’une suite bornée de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) produit une limite coordonnée $x$ qui appartient à $\ell^p$ par les bornes de sections finies $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p \leq M^p$ . Pour vérifier la convergence faible contre tout $y \in \ell^q$ , découper le crochet en une tête finie (qui tend vers $0$ coordonnée par coordonnée) et une queue contrôlée par Hölder et la bornitude uniforme des normes. Dans $\ell^1$ le même raisonnement échoue : $(e_n)$ est bornée, toute sous-suite converge coordonnée par coordonnée vers $0$ , mais le crochet contre la suite de signes alternés $(-1)^k$ sur les indices extraits diverge. Banach–Steinhaus appliqué aux $J x^{(k)}$ sur le dual $E'$ (qui est toujours complet) convertit la convergence des crochets en bornitude des normes : toute suite faiblement convergente est bornée.

Sur Schur (questions 19–21) : la construction récursive des blocs isole la masse de chaque $x^{(k_j)}$ sur un intervalle d’indices $B_j$ disjoint des précédents, en tuant d’abord la tête (convergence coordonnée) puis la queue (convergence de la série définissant la norme $\ell^1$ ). Le signe de $y$ sur chaque bloc récupère presque toute la norme, contredisant la convergence faible vers $0$ . Ainsi dans $\ell^1$ les convergences faible et en norme des suites coïncident — pourtant les topologies diffèrent (les voisinages faibles ne sont jamais bornés en norme) et la boule unité n’est pas séquentiellement faiblement compacte, ce qui est cohérent avec la non-réflexivité.

Sur les points les plus proches et Banach–Saks (questions 23–24) : la réflexivité fournit une sous-suite faiblement convergente d’une suite minimisante ; Hahn–Banach empêche la limite faible de sortir de $F$ (sinon une fonctionnelle s’annulant sur $F$ séparerait) ; la semi-continuité inférieure faible de la norme donne l’atteinte. Dans $c_0$ la fonctionnelle $\Lambda(x) = \sum_n 2^{-n}x_n$ n’atteint pas sa norme sur la boule unité (une suite nulle ne peut saturer $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ pour tout $n$ ), et la formule de distance $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ implique qu’aucun point hors de $\ker\Lambda$ n’a de projection sur cet hyperplan fermé. Banach–Saks dans $\ell^2$ extrait une sous-suite presque orthogonale (chaque crochet croisé $< \frac1j$ ) dont les moyennes de Cesàro tendent vers $0$ en norme, convertissant la convergence faible en convergence en norme pour les moyennes — visible sur $(e_k)$ où $\norm{\frac1m\sum_{j=1}^m e_j}_2 = \frac1{\sqrt m}$ .

Sur les limites de Banach (question 25) : $L(A_mx) = L(x)$ par linéarité et invariance par décalage, et les bornes $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ suivent de la positivité appliquée aux queues. Sur les suites périodiques, $A_Tx$ est la suite constante égale à la moyenne de période : toutes les limites de Banach coïncident. Pour la suite par blocs égale à $1$ sur $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ pour $j$ pair, les moyennes de Cesàro en $N = 3^j$ oscillent entre $\leq \frac13$ ( $j$ impair) et $\geq \frac23$ ( $j$ pair). L’extension depuis $c \oplus \R x$ avec les valeurs extrêmes $\pm p(\pm x)$ est dominée par le sous-linéaire $p$ (sous-additivité sur $y \pm sx$ ), et Hahn–Banach produit deux limites de Banach $L_\pm$ séparant $x$ : hors du monde périodique (et plus généralement presque-convergent), une limite de Banach est un véritable choix.

Détails supplémentaires pour les parties I–III. L’inégalité de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ se lit comme la concavité de $\log$ (ou comme le minimum de $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ en $t = 1$ quand $b = 1$ ). Hölder s’en déduit par sommation après normalisation, et Minkowski en écrivant $\abs{x_n+y_n}^p \leq (\abs{x_n}+\abs{y_n})\abs{x_n+y_n}^{p-1}$ puis en appliquant Hölder avec l’exposant conjugué (noter $(p-1)q = p$ ). La dualité $(\ell^p)' = \ell^q$ repose sur le test $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (tronqué) : le crochet récupère $\sum\abs{y_n}^q$ tandis que la norme $\ell^p$ est $(\sum\abs{y_n}^q)^{1/p}$ , d’où $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ après passage à la limite sur la longueur de troncature. La réciproque pose $y_n = \Lambda(e_n)$ et utilise les mêmes tests pour obtenir $y \in \ell^q$ ; l’accord sur les suites finies denses donne $\Lambda = \Lambda_y$ . La réflexivité suit en composant les deux dualités et en vérifiant que le composé est le $J$ canonique. La non-séparabilité de $\ell^\infty$ (famille non dénombrable de suites indicatrices à distance mutuelle $1$ ) bloque la réflexivité de $\ell^1$ via Exercice 8.10. Les limites de Banach, construites par Hahn–Banach depuis le sous-linéaire $p(x) = \limsup\frac{x_1+\dots+x_n}{n}$ , vivent hors de $\ell^1$ (elles s’annulent sur les $e_n$ mais pas sur $\mathbf 1$ ) et illustrent concrètement $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ .

8.1 Opérateurs bornés ; espaces de suites

8.2 Hahn–Banach

8.3 La trilogie de Baire

8.4 Espaces duaux, concrètement

8.5 Exercices

8.6 Problème : la dualité des espaces ℓp\ell^pℓp

8.6 Problème : la dualité des espaces $\ell^p$