15Opérateurs compacts et théorème spectral

Solution de Exercice 15.1.

(a) $T(B)$ est un sous-ensemble borné de l’espace de dimension finie $\operatorname{im}T$ : relativement compact par Heine–Borel (Corollaire 6.17, transporté par un homéomorphisme linéaire avec $\R^n$). (b) $I$ compact signifie que la boule unité fermée est compacte, ce qui par le théorème de Riesz (deuxième année) arrive exactement en dimension finie. Si un compact $T$ avait un inverse borné $T^{-1}$, alors $I = T^{-1}T$ serait compact (Proposition 15.2) : impossible en dimension infinie.

Solution de Exercice 15.2.

(a) $\norm{Tx}^2 = \sum\abs{\lambda_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \sup\abs{\lambda_n}^2\norm x^2$, avec quasi-égalité sur les $e_n$ réalisant le sup. (b) ($\Leftarrow$) Les troncatures $T_N$ (garder $n \leq N$, zéro au-delà) sont de rang fini et $\vertiii{T - T_N} = \sup_{n>N}\abs{\lambda_n} \to 0$ : compact par la Proposition 15.2. ($\Rightarrow$) Si $\abs{\lambda_{n_k}} \geq \delta > 0$ le long d’une sous-suite : $\norm{Te_{n_k} - Te_{n_l}}^2 = \abs{\lambda_{n_k}}^2 + \abs{\lambda_{n_l}}^2 \geq 2\delta^2$ : aucune sous-suite convergente de $(Te_{n_k})$. (c) $T^* =$ diagonale avec $(\bar\lambda_n)$ : autoadjoint ssi tous les $\lambda_n \in \R$. Alors la base standard $(e_n)$ est une base orthonormée de vecteurs propres, valeurs propres $\lambda_n \to 0$ : le théorème spectral mot pour mot.

Solution de Exercice 15.3.

Soit $(x_n)$ bornée. Alors $(Bx_n)$ est bornée ($\vertiii B < \infty$) ; la compacité de $S$ extrait $SBx_{n_k} \to y$ ; la continuité de $A$ donne $ASBx_{n_k} \to Ay$ : $ASB$ est compact. Si $ST = TS = I$ avec $T$ compact et $\dim H = \infty$ : $I = ST$ serait compact, contredisant Exercice 15.1(b) — qui est le même énoncé vu de l’autre côté.

Solution de Exercice 15.4.

(a) Par Cauchy–Schwarz en $y$ : $\abs{T_kf(x)}^2 \leq \bigl(\int\abs{k(x,y)}^2\dd y\bigr)\norm f_2^2$ ; intégrer en $x$ (Tonelli) : $\norm{T_kf}_2 \leq \norm k_{L^2(\square)} \norm f_2$.

(b) La famille $e_{mn}(x,y) = e_m(x)\overline{e_n(y)}$ est orthonormée dans $L^2(\intcc01^2)$ (Tonelli sépare l’intégrale double). Totale : si $h \perp$ tous les $e_{mn}$, alors pour chaque $m$, la fonction $y \mapsto \int h(x,y)\overline{e_m(x)}\dd x$ (dans $L^2$ par Cauchy–Schwarz et Tonelli) est orthogonale à tout $\overline{e_n}$ — et les conjugués $(\overline{e_n})$ forment une base hilbertienne dès que $(e_n)$ en forme une (la conjugaison est une bijection isométrique de $L^2$ préservant l’orthogonalité et la totalité) — donc elle est $0$ p.p. ; puis pour p.p. $y$, $h(\cdot, y) \perp$ tout $e_m$ : $h(\cdot, y) = 0$ p.p. : $h = 0$ (Tonelli). Donc $(e_{mn})$ est une base hilbertienne ; développer $k = \sum c_{mn}e_{mn}$. La troncature $k_N$ (indices $\leq N$) donne $T_{k_N}$ de rang fini (image dans $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_N)$), et par (a),

$T_k$ est une limite en norme d’opérateurs de rang fini : compact (Proposition 15.2).

Solution de Exercice 15.5.

(a) $\lambda\norm x^2 = \langle x, Tx\rangle \geq 0$ sur un vecteur propre. La formule est Proposition 15.5 avec toutes les valeurs $\langle x, Tx\rangle \geq 0$ : la valeur absolue est redondante. (b) $(x, y) \mapsto \langle x, Ty\rangle$ est une forme sesquilinéaire hermitienne positive (éventuellement dégénérée) ; la preuve usuelle de Cauchy–Schwarz (développer $\langle x + t\eu^{\iu\theta}y, T(x + t\eu^{\iu\theta}y)\rangle \geq 0$ et prendre le discriminant) n’utilise jamais la définitude.

Solution de Exercice 15.6.

(a) $\norm{Mf}_2 \leq \norm f_2$, et sur $f_n = \sqrt n\, \mathbf 1_{\intcc{1 - 1/n}1}$ (vecteurs unitaires), $\norm{Mf_n}_2 \geq 1 - \frac1n$ : $\vertiii M = 1$ ; autoadjoint car le multiplicateur est réel. Valeurs propres : $xf(x) = \lambda f(x)$ p.p. force $f = 0$ p.p. hors de l’ensemble nul $\{x = \lambda\}$ : $f = 0$ dans $L^2$. (b) Avec les mêmes $f_n$ : $\norm{Mf_n - f_n}_2 \leq \frac1n \to 0$, tandis que $f_n \rightharpoonup 0$ (pour $g \in L^2$ fixé, $\abs{\langle g, f_n\rangle} \leq \norm{g\,\mathbf 1_{\intcc{1-1/n}1}}_2 \to 0$ par DCT). Si $Mf_{n_k} \to h$ en norme, alors $f_{n_k} \to h$, forçant $h = 0$ (limite faible) pourtant $\norm h = 1$ : aucune sous-suite convergente. (c) Dans Lemme 15.6, précisément l’extraction « $Tx_{n_k} \to y$ » utilise la compacité ; pour $M$ les suites maximisantes se concentrent près de $x = 1$ et leurs images convergent faiblement vers $0$, jamais en norme : le vecteur propre au sommet du rayon numérique échoue simplement à exister.

Solution de Exercice 15.7.

(a) $V = T_k$ avec $k(x, y) = \mathbf 1_{y < x} \in L^2(\intcc01^2)$ : compact (Exercice 15.4). Son adjoint est l’opérateur à noyau $\overline{k(y, x)} = \mathbf 1_{y > x}$ : $V^*f(x) = \int_x^1f$ ; $V \neq V^*$ (tester sur $f = \mathbf 1$). (b) Si $Vf = \lambda f$, $\lambda \ne 0$ : $Vf$ est continue sur $\intcc01$ (convergence dominée dans $\int_0^x f$), donc $f = \frac1\lambda Vf$ a un représentant continu ; alors $Vf$ est $\mathcal C^1$ (théorème fondamental du calcul pour des intégrandes continues), donc $f$ est $\mathcal C^1$, et $\lambda f' = f$ avec $f(0) = \frac1\lambda Vf(0) = 0$ : $f = C\eu^{x/\lambda}$ avec $C = f(0) = 0$. (c) $V$ est compact sans aucune valeur propre sauf éventuellement $0$ ($Vf = 0$ force $f = 0$ p.p. en dérivant l’intégrale — donc pas même $0$) : la machinerie spectrale exige vraiment l’autoadjonction, pas seulement la compacité.

Solution de Exercice 15.8.

Écrire $x = \sum_ic_ie_i + z$, $z \in \ker T$, donc $\langle x, Tx\rangle = \sum_i\mu_i\abs{c_i}^2$. Borne inférieure : sur la sphère unité de $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$, $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i\leq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \geq \mu_k$ : le max sur $V$ du min est $\geq \mu_k$. Borne supérieure : soit $\dim V = k$ et $W_k = \overline{\operatorname{Vect}}(e_k, e_{k+1}, \dots) + \ker T$, de codimension $k - 1$ (son orthogonal est $V_{k-1}$) ; $V \cap W_k \neq \{0\}$ (une application linéaire $V \to H/W_k \cong V_{k-1}$ de rang $\leq k - 1$ a un noyau non trivial), et un $x$ unitaire dans $V\cap W_k$ a $\langle x, Tx\rangle = \sum_{i \geq k}\mu_i\abs{c_i}^2 \leq \mu_k$ : le min sur $V$ est $\leq \mu_k$. Ensemble : la première formule ; la seconde se prouve symétriquement (tester $W = W_k$ ; pour un $W$ arbitraire de codimension $k-1$, $W \cap V_k \neq 0$ donne un vecteur unitaire avec $\langle x, Tx\rangle \geq \mu_k$). Monotonie : $\langle x, Tx\rangle \leq \langle x, Sx\rangle$ ponctuellement se transfère à travers $\max\min$.

Solution de Exercice 15.9.

Réécrire $f - \lambda Tf = g$. Pour $\lambda = 0$ : $f = g$, toujours résoluble de façon unique. Pour $\lambda \neq 0$ : c’est $(T - \frac1\lambda)f = -\frac g\lambda$, et par l’alternative de Fredholm (Théorème 15.8) avec les valeurs propres $\lambda_n = \bigl((n + \frac12)\pi\bigr)^{-2}$ de $T$ (Exemple 15.9) : résolubilité unique pour tout $g$ ssi $\frac1\lambda \neq \lambda_n$ pour tout $n$, i.e.

En un $\lambda$ exceptionnel $= (n+\frac12)^2\pi^2$ : les solutions existent ssi $g \perp \sin\bigl((n{+}\frac12)\pi x\bigr)$, et sont alors uniques à l’addition de multiples de ce sinus près.

Solution de Exercice 15.10.

(a) $Sx = \lambda x$ : en comparant les coordonnées, $0 = \lambda x_1$ et $x_n = \lambda x_{n+1}$ ; si $\lambda \ne 0$ alors $x_1 = 0$ et par récurrence $x = 0$ ; si $\lambda = 0$, $Sx = 0$ force $x = 0$ ($S$ isométrique). Aucune valeur propre. $S^*x = \lambda x$ se lit $x_{n+1} = \lambda x_n$ : $x = x_1(1, \lambda, \lambda^2, \dots)$, dans $\ell^2$ exactement quand $\abs\lambda < 1$ : un disque ouvert plein de valeurs propres. (b) $\norm{Se_n - Se_m} = \norm{e_{n+1} - e_{m+1}} = \sqrt2$ : l’image de la suite bornée $(e_n)$ n’a aucune sous-suite de Cauchy ; de même $S^*e_{n+1} = e_n$. Ni l’un ni l’autre n’est compact. (c) Pour les opérateurs compacts autoadjoints les valeurs propres capturent tout (Théorème 15.7) ; en lâchant l’une ou l’autre hypothèse, les valeurs propres peuvent s’évanouir entièrement ($S$, Volterra) ou remplir un disque ($S^*$) : l’objet robuste est le spectre $\{\lambda : T - \lambda I \text{ non inversible}\}$, dont la théorie appartient à un cours ultérieur.

Solution de Exercice 15.11.

(a) $S$ est l’opérateur diagonal de coefficients $\sqrt{\mu_n} \to 0$ : compact (Exercice 15.2(b), transporté à la base $(e_n)$ complétée par $\ker T$, où $S = 0$), autoadjoint (diagonale réelle), positif ($\langle x, Sx\rangle = \sum\sqrt{\mu_n}\abs{\langle e_n, x\rangle}^2$), et $S^2 = T$ terme à terme.

(b) $R$ commute avec $T = R^2$ ; pour un vecteur propre $x$ de $T$ de valeur propre $\mu$ : $T(Rx) = RTx = \mu Rx$, donc l’espace propre de dimension finie $E_\mu = \ker(T - \mu)$ est $R$-stable. Sur $E_\mu$, $R$ est symétrique positif avec $R^2 = \mu\,\mathrm{id}$ : ses valeurs propres $\rho$ satisfont $\rho^2 = \mu$, $\rho \geq 0$ : toutes égales à $\sqrt\mu$, et un opérateur diagonalisable à une seule valeur propre est scalaire : $R = \sqrt\mu\,\mathrm{id}$ sur $E_\mu$. Sur $\ker T$ : $\norm{Rx}^2 = \langle x, R^2x\rangle = \langle x, Tx\rangle = 0$. Donc $R$ coïncide avec $S$ sur $\ker T$ et sur chaque espace propre, dont l’enveloppe fermée est $H$ (théorème spectral) : $R = S$.

(c) $\sqrt G$ agit comme $\frac1{n\pi}$ sur $e_n = \sqrt2\sin(n\pi x)$ : c’est l’opérateur à noyau

la série convergeant dans $L^2(\intcc01^2)$ (coefficients $\frac1{n\pi} \in \ell^2$ ; les noyaux de sommes partielles donnent les approximations de rang fini). Aucune forme fermée élémentaire n’est nécessaire : le côté spectral est l’opérateur.