Mathematics · Book 2 · Grades 10–12

Mathématiques du lycée

Mathématiques du lycée · Grades 10–12

16Le produit scalaire dans le plan

Le produit scalaire attache un nombre à une paire de vecteurs, et ce nombre voit la géométrie : il s’annule exactement pour des directions perpendiculaires, et il mesure angles et longueurs. C’est le moteur derrière la loi des cosinus, les équations de cercles, et les calculs de perpendicularité. Le même outil, dans l’espace, est le sujet du Chapitre 31.

16.1 Définition et premiers calculs

Définition 16.1 (Produit scalaire)

Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v est le nombre

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

où ∥u⃗∥\norm{\vec u} désigne la longueur (norme) de u⃗\vec u.

Théorème 16.2 (Les quatre faces du produit scalaire)

Soient u⃗ (x,y)\vec u\,(x, y) et v⃗ (x′,y′)\vec v\,(x', y') des vecteurs non nuls, et θ\theta l’angle entre eux. Alors

  1. (coordonnées) u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' ;
  2. (cosinus) u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta ;
  3. (projection) u⃗⋅v⃗=u⃗⋅v⃗′\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec v', où v⃗′\vec v' est la projection orthogonale de v⃗\vec v sur la direction de u⃗\vec u ; si u⃗=OA→\vec u = \vect{OA} et v⃗=OB→\vec v = \vect{OB}, alors u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, un produit de longueurs algébriques, où HH est le pied de la perpendiculaire issue de BB à la droite (OA)(OA) ;
  4. (normes) la formule définissante de la Définition 16.1.

Démonstration de 1 et 2. 1. En coordonnées, ∥u⃗∥2=x2+y2\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 (Pythagore) et u⃗+v⃗\vec u + \vec v a pour coordonnées (x+x′,y+y′)(x + x', y + y'), donc

2 u⃗⋅v⃗=(x+x′)2+(y+y′)2−(x2+y2)−(x′2+y′2)=2xx′+2yy′,\begin{align*} 2\,\vec u \cdot \vec v &= (x + x')^2 + (y + y')^2 - (x^2 + y^2) - (x'^2 + y'^2)\\ &= 2xx' + 2yy', \end{align*}

après développement des carrés et annulations.

2. Choisir le repère pour que u⃗\vec u pointe le long de l’axe des xx positifs :

u⃗ (∥u⃗∥,0)etv⃗ (∥v⃗∥cos⁡θ, ∥v⃗∥sin⁡θ)\vec u\,(\norm{\vec u}, 0) \quad\text{et}\quad \vec v\,(\norm{\vec v}\cos\theta,\ \norm{\vec v}\sin\theta)

(Chapitre 14). La formule 1 donne alors u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ+0\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta + 0. La formule 3 lit le même calcul : la projection de v⃗\vec v sur l’axe des xx a pour longueur algébrique ∥v⃗∥cos⁡θ=OH‾\norm{\vec v}\cos\theta = \overline{OH}. ∎

La vue en projection : u v = OA × OH, où H est le pied de la perpendiculaire depuis l’extrémité de v. Le segment orange OH a pour longueur algébrique v.
La vue en projection : u⃗⋅v⃗=OA‾×OH‾\vec u \cdot \vec v = \overline{OA} \times \overline{OH}, où HH est le pied de la perpendiculaire depuis l’extrémité de v⃗\vec v. Le segment orange OHOH a pour longueur algébrique ∥v⃗∥cos⁡θ\norm{\vec v}\cos\theta.

Exemple 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) et v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4) : u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. Les normes sont ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} et ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, donc cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10} : l’angle est un peu inférieur à 82∘82^\circ.

Proposition 16.4 (Règles algébriques)

Pour tous vecteurs et tout λ∈R\lambda \in \R :

u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ (u⃗⋅v⃗),\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u, \qquad \vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w, \qquad (\lambda \vec u)\cdot \vec v = \lambda\,(\vec u \cdot \vec v),
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2,∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2.\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2, \qquad \norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 .

Démonstration. Tout suit de la formule en coordonnées : par exemple u⃗⋅(v⃗+w⃗)=x(x′+x′′)+y(y′+y′′)=(xx′+yy′)+(xx′′+yy′′)\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = x(x' + x'') + y(y' + y'') = (xx' + yy') + (xx'' + yy''). La dernière identité développe ∥u⃗+v⃗∥2=(u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)\norm{\vec u + \vec v}^2 = (\vec u + \vec v)\cdot(\vec u + \vec v) en utilisant les trois premières règles — le produit scalaire se comporte exactement comme un produit ordinaire, donc les identités algébriques usuelles s’appliquent aux vecteurs. ∎

16.2 Orthogonalité

Définition 16.5 (Vecteurs orthogonaux)

Deux vecteurs sont orthogonaux, noté u⃗⊥v⃗\vec u \perp \vec v, si u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.

Remarque 16.6

Pour des vecteurs non nuls, la formule 2 du Théorème 16.2 montre u⃗⋅v⃗=0  ⟺  cos⁡θ=0  ⟺  \vec u \cdot \vec v = 0 \iff \cos\theta = 0 \iff les directions sont perpendiculaires. Le vecteur nul est orthogonal à tout.

Exemple 16.7

u⃗ (3,2)\vec u\,(3, 2) et v⃗ (−4,6)\vec v\,(-4, 6) : u⃗⋅v⃗=−12+12=0\vec u \cdot \vec v = -12 + 12 = 0 : orthogonaux. En général, u⃗ (a,b)\vec u\,(a, b) est toujours orthogonal à v⃗ (−b,a)\vec v\,(-b, a) — une rotation d’un quart de tour.

16.3 La loi des cosinus

Théorème 16.8 (Loi des cosinus)

Dans un triangle ABCABC de côtés a=BCa = BC, b=CAb = CA, c=ABc = AB et d’angle A^\widehat A au sommet AA :

a2=b2+c2−2bc cos⁡A^.a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\,\cos\widehat A .

Démonstration. Écrire BC→=BA→+AC→=AC→−AB→\vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB} et développer avec la Proposition 16.4 :

a2=∥BC→∥2=∥AC→∥2−2 AC→⋅AB→+∥AB→∥2=b2+c2−2 AB→⋅AC→.a^2 = \norm{\vect{BC}}^2 = \norm{\vect{AC}}^2 - 2\,\vect{AC}\cdot\vect{AB} + \norm{\vect{AB}}^2 = b^2 + c^2 - 2\,\vect{AB}\cdot\vect{AC}.

Par la formule du cosinus, AB→⋅AC→=c b cos⁡A^\vect{AB}\cdot\vect{AC} = c\,b\,\cos\widehat A. ∎

Remarque 16.9

Lorsque A^\widehat A est un angle droit, cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 et la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2 : c’est Pythagore avec un terme correctif pour les angles non droits.

La loi des cosinus : connaître deux côtés b, c et l’angle entre eux détermine le troisième côté a.
La loi des cosinus : connaître deux côtés bb, cc et l’angle entre eux détermine le troisième côté aa.

Exemple 16.10

Deux côtés d’un triangle mesurent b=5b = 5 et c=8c = 8, enfermant un angle A^=π3\widehat A = \frac\pi3. Alors

a2=25+64−2×5×8×12=89−40=49,a^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac12 = 89 - 40 = 49,

donc a=7a = 7.

16.4 Applications : cercles et droites perpendiculaires

Proposition 16.11 (Cercle de diamètre donné)

Un point MM est sur le cercle de diamètre [AB][AB] si et seulement si

MA→⋅MB→=0.\vect{MA} \cdot \vect{MB} = 0 .

Démonstration. Si M≠A,BM \neq A, B, la condition dit que l’angle en MM dans le triangle AMBAMB est droit, et les points qui voient un segment sous un angle droit sont exactement ceux du cercle de ce diamètre. Voici une preuve directe : soit OO le milieu de [AB][AB] et r=AB2r = \frac{AB}{2}. Alors MA→=MO→+OA→\vect{MA} = \vect{MO} + \vect{OA} et MB→=MO→+OB→=MO→−OA→\vect{MB} = \vect{MO} + \vect{OB} = \vect{MO} - \vect{OA}, donc

MA→⋅MB→=∥MO→∥2−∥OA→∥2=MO2−r2,\vect{MA}\cdot\vect{MB} = \norm{\vect{MO}}^2 - \norm{\vect{OA}}^2 = MO^2 - r^2,

qui s’annule exactement lorsque MO=rMO = r, c’est-à-dire lorsque MM est sur le cercle de centre OO et de rayon rr. ∎

Proposition 16.12 (Vecteur normal d’une droite)

Le vecteur n⃗ (a,b)\vec n\,(a, b) est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite d:ax+by+c=0d : ax + by + c = 0 ; on dit que n⃗\vec n est un vecteur normal de dd. Deux droites sont perpendiculaires exactement lorsque leurs vecteurs normaux (ou directeurs) sont orthogonaux.

Démonstration. Un vecteur directeur de dd est u⃗ (−b,a)\vec u\,(-b, a) (Théorème 15.9), et n⃗⋅u⃗=a(−b)+b(a)=0\vec n \cdot \vec u = a(-b) + b(a) = 0. ∎

Méthode 16.13 (Utiliser les vecteurs normaux)

  • Droite par AA de normale n⃗ (a,b)\vec n\,(a,b) : écrire AM→⋅n⃗=0\vect{AM} \cdot \vec n = 0, qui se développe en ax+by+c=0ax + by + c = 0 avec cc déterminé par AA.
  • Perpendicularité de d:ax+by+c=0d: ax+by+c = 0 et d′:a′x+b′y+c′=0d': a'x+b'y+c' = 0 : vérifier aa′+bb′=0aa' + bb' = 0.

Exemple 16.14

La droite par P(2,−1)P(2, -1) perpendiculaire à d:3x−y+4=0d : 3x - y + 4 = 0 : un vecteur directeur de dd est (1,3)(1, 3), qui sert de vecteur normal de la perpendiculaire. Équation : x+3y+c=0x + 3y + c = 0 avec 2−3+c=02 - 3 + c = 0, donc c=1c = 1 : la droite est x+3y+1=0x + 3y + 1 = 0.

Exemple 16.15 (Équation d’un cercle)

Le cercle de centre Ω(1,2)\Omega(1, 2) et de rayon 33 est l’ensemble des points M(x,y)M(x,y) tels que ΩM2=9\Omega M^2 = 9 :

(x−1)2+(y−2)2=9.(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 .

Réciproquement, x2+y2−2x−4y−4=0x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0 se réécrit, en complétant les carrés (Chapitre 10), comme (x−1)2+(y−2)2=9(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 : le même cercle.

16.5 Exercices

Exercice 16.1 ★

Calculer u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v pour

u⃗ (2,5), v⃗ (3,−1);u⃗ (1,−4), v⃗ (8,2);∥u⃗∥=3, ∥v⃗∥=4, θ=π3.\vec u\,(2, 5),\ \vec v\,(3, -1); \qquad \vec u\,(1, -4),\ \vec v\,(8, 2); \qquad \norm{\vec u} = 3,\ \norm{\vec v} = 4,\ \theta = \frac{\pi}{3} .
Solution

Solution de Exercice 16.1.

(2,5)⋅(3,−1)=6−5=1(2,5)\cdot(3,-1) = 6 - 5 = 1.

(1,−4)⋅(8,2)=8−8=0(1,-4)\cdot(8,2) = 8 - 8 = 0 (vecteurs orthogonaux).

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3=12×12=6\vec u\cdot\vec v = 3 \times 4 \times \cos\frac\pi3 = 12 \times \frac12 = 6.

Exercice 16.2 ★

ABCABC est un triangle équilatéral de côté 66. Calculer AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} et AB→⋅BC→\vect{AB} \cdot \vect{BC}.

Solution

Solution de Exercice 16.2.

AB→⋅AC→=6×6×cos⁡60∘=18\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 6 \times 6 \times \cos 60^\circ = 18.

Les vecteurs AB→\vect{AB} et BC→\vect{BC} font un angle de 180∘−60∘=120∘180^\circ - 60^\circ = 120^\circ (les placer bout à bout en BB), donc AB→⋅BC→=36cos⁡120∘=−18\vect{AB}\cdot\vect{BC} = 36 \cos 120^\circ = -18.

Exercice 16.3 ★

Pour quelle valeur de tt les vecteurs u⃗ (3,t)\vec u\,(3, t) et v⃗ (t−8,1)\vec v\,(t - 8, 1) sont-ils orthogonaux ? Et pour quelle(s) valeur(s) de tt le vecteur u⃗ (t,2)\vec u\,(t, 2) est-il orthogonal à lui-même moins v⃗ (4,2)\vec v\,(4, 2), c’est-à-dire u⃗⊥(u⃗−v⃗)\vec u \perp (\vec u - \vec v) ?

Solution

Solution de Exercice 16.3.

u⃗⋅v⃗=3(t−8)+t=4t−24=0\vec u \cdot \vec v = 3(t - 8) + t = 4t - 24 = 0 donne t=6t = 6.

u⃗−v⃗=(t−4, 0)\vec u - \vec v = (t - 4,\ 0), donc u⃗⋅(u⃗−v⃗)=t(t−4)+0=t2−4t\vec u \cdot (\vec u - \vec v) = t(t-4) + 0 = t^2 - 4t, qui s’annule pour t=0t = 0 ou t=4t = 4.

Exercice 16.4 ★

Calculer l’angle θ\theta entre u⃗ (1,2)\vec u\,(1, 2) et v⃗ (3,1)\vec v\,(3, 1) (donner cos⁡θ\cos\theta exactement, puis θ\theta au degré le plus proche).

Solution

Solution de Exercice 16.4.

u⃗⋅v⃗=3+2=5\vec u \cdot \vec v = 3 + 2 = 5, ∥u⃗∥=5\norm{\vec u} = \sqrt5, ∥v⃗∥=10\norm{\vec v} = \sqrt{10}, donc

cos⁡θ=55 10=552=22,\cos\theta = \frac{5}{\sqrt5\,\sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2},

d’où θ=45∘\theta = 45^\circ exactement.

Exercice 16.5 ★★

Un triangle a pour côtés b=4b = 4, c=6c = 6 et pour angle A^=2π3\widehat A = \frac{2\pi}{3} entre eux. Calculer le troisième côté aa. Puis, dans un triangle de côtés a=7a = 7, b=5b = 5, c=4c = 4, calculer cos⁡A^\cos\widehat A et décider si A^\widehat A est aigu ou obtus.

Solution

Solution de Exercice 16.5.

a2=16+36−2×4×6×cos⁡2π3=52−48×(−12)=76a^2 = 16 + 36 - 2 \times 4 \times 6 \times \cos\frac{2\pi}{3} = 52 - 48 \times \left(-\frac12\right) = 76, donc a=76=219≈8.7a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \approx 8.7.

Pour le second triangle, la loi des cosinus résolue pour l’angle donne

cos⁡A^=b2+c2−a22bc=25+16−492×5×4=−840=−15,\cos\widehat A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 49}{2 \times 5 \times 4} = -\frac{8}{40} = -\frac15,

négatif : A^\widehat A est obtus.

Exercice 16.6 ★★

Soient A(1,1)A(1, 1), B(5,−1)B(5, -1) et C(3,5)C(3, 5). Calculer AB→⋅AC→\vect{AB} \cdot \vect{AC} ; l’angle A^\widehat A est-il droit ? Calculer les trois longueurs de côtés et vérifier avec la loi des cosinus.

Solution

Solution de Exercice 16.6.

AB→ (4,−2)\vect{AB}\,(4, -2) et AC→ (2,4)\vect{AC}\,(2, 4) : AB→⋅AC→=8−8=0\vect{AB}\cdot\vect{AC} = 8 - 8 = 0, donc l’angle en AA est droit. Côtés : AB=16+4=20AB = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}, AC=4+16=20AC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}, et BC→ (−2,6)\vect{BC}\,(-2, 6) donne BC=40BC = \sqrt{40}. Cohérence : BC2=40=20+20=AB2+AC2BC^2 = 40 = 20 + 20 = AB^2 + AC^2, la loi des cosinus avec cos⁡A^=0\cos\widehat A = 0 (Pythagore).

Exercice 16.7 ★★

Donner une équation du cercle de centre Ω(−2,3)\Omega(-2, 3) et de rayon 55. Puis déterminer le centre et le rayon du cercle

x2+y2−6x+2y−6=0.x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0 .
Solution

Solution de Exercice 16.7.

Forme centre–rayon : (x+2)2+(y−3)2=25(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25.

Pour le second cercle, compléter les carrés :

x2−6x+y2+2y=6  ⟺  (x−3)2−9+(y+1)2−1=6  ⟺  (x−3)2+(y+1)2=16:x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6 \iff (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 = 6 \iff (x-3)^2 + (y+1)^2 = 16 :

centre (3,−1)(3, -1), rayon 44.

Exercice 16.8 ★★

Soient A(−3,0)A(-3, 0) et B(0,2)B(0, 2). En utilisant la Proposition 16.11, trouver une équation du cercle de diamètre [AB][AB], et vérifier que l’origine O(0,0)O(0,0) y est.

Solution

Solution de Exercice 16.8.

M(x,y)M(x,y) est sur le cercle lorsque MA→⋅MB→=0\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 0 avec MA→ (−3−x, −y)\vect{MA}\,(-3 - x,\ -y) et MB→ (−x, 2−y)\vect{MB}\,(-x,\ 2 - y) :

(−3−x)(−x)+(−y)(2−y)=x2+3x+y2−2y=0.(-3 - x)(-x) + (-y)(2 - y) = x^2 + 3x + y^2 - 2y = 0 .

Pour l’origine : 0+0+0−0=00 + 0 + 0 - 0 = 0, donc OO est sur le cercle — géométriquement, OA→ (−3,0)\vect{OA}\,(-3,0) et OB→ (0,2)\vect{OB}\,(0,2) sont orthogonaux, donc OO voit [AB][AB] sous un angle droit. (En complétant les carrés : centre (−32,1)\left(-\frac32, 1\right), rayon 132\frac{\sqrt{13}}{2}.)

Exercice 16.9 ★★

Trouver une équation de la droite passant par P(1,3)P(1, 3) perpendiculaire à d:2x+y−7=0d : 2x + y - 7 = 0, et les coordonnées du pied HH de la perpendiculaire (l’intersection des deux droites). En déduire la distance de PP à dd.

Solution

Solution de Exercice 16.9.

La perpendiculaire par PP a le vecteur directeur de dd, à savoir (−1,2)(-1, 2), comme vecteur normal : équation −x+2y+c=0-x + 2y + c = 0 ; par P(1,3)P(1,3) : −1+6+c=0-1 + 6 + c = 0, c=−5c = -5, donc x−2y+5=0x - 2y + 5 = 0.

Intersection avec dd : de 2x+y=72x + y = 7, y=7−2xy = 7 - 2x ; en substituant, x−2(7−2x)+5=5x−9=0x - 2(7 - 2x) + 5 = 5x - 9 = 0, donc x=95x = \frac95, y=175y = \frac{17}5 : H(95,175)H\left(\frac95, \frac{17}5\right). Alors PH→(45,25)\vect{PH}\left(\frac45, \frac25\right) et

PH=1625+425=205=255≈0.89.PH = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{5} = \frac{2\sqrt5}{5} \approx 0.89 .

Exercice 16.10 ★★

En utilisant ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 et son analogue pour u⃗−v⃗\vec u - \vec v, prouver l’identité du parallélogramme :

∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2 ,

et l’interpréter dans un parallélogramme (diagonales contre côtés).

Solution

Solution de Exercice 16.10.

En additionnant

∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2et∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\norm{\vec u + \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 + 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2 \quad\text{et}\quad \norm{\vec u - \vec v}^2 = \norm{\vec u}^2 - 2\vec u\cdot\vec v + \norm{\vec v}^2,

les termes croisés s’annulent et ∥u⃗+v⃗∥2+∥u⃗−v⃗∥2=2∥u⃗∥2+2∥v⃗∥2\norm{\vec u + \vec v}^2 + \norm{\vec u - \vec v}^2 = 2\norm{\vec u}^2 + 2\norm{\vec v}^2. Dans un parallélogramme de côtés u⃗\vec u et v⃗\vec v, les diagonales sont u⃗+v⃗\vec u + \vec v et u⃗−v⃗\vec u - \vec v : la somme des carrés des deux diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.

Exercice 16.11 ★★★

Soient AA et BB deux points avec AB=4AB = 4, et II le milieu de [AB][AB].

  1. Montrer que pour tout point MM : MA→⋅MB→=MI2−4\vect{MA}\cdot\vect{MB} = MI^2 - 4. (Insérer II : MA→=MI→+IA→\vect{MA} = \vect{MI} + \vect{IA}.)
  2. En déduire l’ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12.
Solution

Solution de Exercice 16.11.

1. Comme II est le milieu, IB→=−IA→\vect{IB} = -\vect{IA} et IA=2IA = 2. Alors

MA→⋅MB→=(MI→+IA→)⋅(MI→−IA→)=∥MI→∥2−∥IA→∥2=MI2−4.\vect{MA}\cdot\vect{MB} = (\vect{MI} + \vect{IA})\cdot(\vect{MI} - \vect{IA}) = \norm{\vect{MI}}^2 - \norm{\vect{IA}}^2 = MI^2 - 4 .

2. La condition MA→⋅MB→=12\vect{MA}\cdot\vect{MB} = 12 devient MI2=16MI^2 = 16, c’est-à-dire MI=4MI = 4 : l’ensemble est le cercle de centre II et de rayon 44.