Qu'est-ce que « Noyau et image » ?

Exemple 20.8 (Construire une application sur cahier des charges)

Construisons $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ avec $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ et $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$. Vérification d’abord : le théorème du rang exige $1 + 2 = 3$ — c’est cohérent, donc une solution peut exister. Choisissons une base adaptée au noyau, disons $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (Exemple 19.7), et prescrivons les images (Proposition 20.2) :

Alors $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ et $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$ ; le théorème du rang force $\dim\ker u = 1$, donc le noyau est exactement la droite prescrite. Explicitement, en décomposant $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ :

La recette se généralise : une application linéaire de noyau prescrit $N$ et d’image prescrite $I$ existe exactement lorsque $\dim N + \dim I = \dim E$ — la nécessité est le théorème du rang, la suffisance est cette construction.

Exemple 20.10 (L’interpolation, structurellement)

Fixons $x_0, \dots, x_n$ distincts et soit $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ : elle est linéaire. Son noyau est $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ racines}\} = \{0\}$ (Corollaire 8.8). Dimensions égales $n + 1$ : $u$ est un isomorphisme — existence et unicité du polynôme d’interpolation de Lagrange (Théorème 8.23) en une ligne.

Le même schéma en une ligne traite des données mêlant valeurs et dérivées : $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ est linéaire, et son noyau est formé des polynômes de degré $\leq 3$ ayant une racine double en $0$ et en $1$, c’est-à-dire divisibles par $X^2(X-1)^2$, de degré $4$ : seul $P = 0$ convient. Dimensions égales à nouveau : tout quadruplet de données $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ est réalisé par exactement une cubique — l’interpolation d’Hermite, acquise par un calcul de noyau avant qu’aucune formule ne soit écrite (le devoir maison du Chapitre 22 y rencontre son déterminant).

Exemple 20.11 (Le théorème du rang à l’œuvre : l’opérateur de différence)

Soit $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ : elle est linéaire. Noyau : si $\Delta P = 0$, alors $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$, donc $P - P(0)$ a une infinité de racines et est nul (Corollaire 8.8) : $\ker\Delta$ est la droite des constantes. Théorème du rang : $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$. Comme $\deg \Delta P < \deg P$ pour $P$ non constant (les termes de plus haut degré s’annulent), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, qui est de dimension exactement $n$ : l’inclusion est une égalité. Conclusion, sans aucun calcul d’images réciproques : tout polynôme $Q$ de degré $\leq n - 1$ est une différence $Q = P(X+1) - P(X)$ — la primitive discrète existe. (Comparer avec le devoir maison du Chapitre 18, où $\Delta$ était inversé explicitement dans la base binomiale.)