Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

65Racines carrées

Quelle longueur a la diagonale d’un carré de côté $1$ ? Le théorème de Pythagore répond $\sqrt 2$ , un nombre dont le carré est $2$ — et qui se révèle ne pas être une fraction. Ce chapitre définit les racines carrées, établit les règles pour calculer avec elles, et enseigne à simplifier des expressions comme $\sqrt{75}$ .

65.1 Définition et premières propriétés

Définition 65.1 (Racine carrée)

Soit $a \geq 0$ . La racine carrée de $a$ , notée $\sqrt a$ , est l’unique nombre positif ou nul dont le carré est $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée, car tout carré est positif ou nul.

Exemple 65.2

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt 0 = 0$ , $\sqrt 1 = 1$ , $\sqrt{2.25} = 1.5$ . Les premières racines carrées à connaître par cœur sont celles des carrés parfaits : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

La diagonale d’un carré unité a pour longueur √12 + 12 = √2 1.414, par le théorème de Pythagore ( le rappelle). Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne se répètent jamais. — La diagonale d’un carré unité a pour longueur $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , par le théorème de Pythagore (Chapitre 69 le rappelle). Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne se répètent jamais.

Proposition 65.3 (Racine carrée d’un carré)

Pour tout nombre réel $x$ (positif ou non) :

\sqrt{x^2} = \abs{x} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0,\\ -x & \text{si } x < 0 . \end{cases}

Démonstration. Le nombre $\abs{x}$ est positif ou nul et son carré est $x^2$ (un nombre et son opposé ont le même carré). Étant l’unique nombre positif ou nul de carré $x^2$ , il est $\sqrt{x^2}$ . ∎

Exemple 65.4

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : la racine carrée « oublie » le signe, elle ne le restaure pas. En particulier $\sqrt{x^2} = x$ est faux pour $x$ négatif.

65.2 Produits et quotients de racines carrées

Théorème 65.5 (Règles de multiplication et de division)

Pour tous $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b, \qquad\text{et pour } b > 0:\quad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .

Démonstration. Le nombre $\sqrt a \times \sqrt b$ est positif ou nul (produit de nombres positifs ou nuls), et son carré est

\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a b .

Par unicité du nombre positif ou nul dont le carré est $ab$ , il égale $\sqrt{ab}$ . La règle du quotient se prouve de la même façon. ∎

Remarque 65.6 (Pas de telle règle pour les sommes !)

$\sqrt{a + b}$ n’est pas $\sqrt a + \sqrt b$ en général :

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \qquad\text{mais}\qquad \sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .

Méthode 65.7 (Simplifier $\sqrt n$ )

Pour simplifier la racine carrée d’un entier :

trouver le plus grand carré parfait divisant $n$ (décomposer $n$ si besoin) ;
scinder avec la règle du produit et extraire le carré : $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
vérifier qu’aucun carré parfait ne divise ce qui reste sous la racine.

Exemple 65.8

Simplifier $\sqrt{75}$ : puisque $75 = 25 \times 3$ ,

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .

Simplifier $\sqrt{72}$ : puisque $72 = 36 \times 2$ , $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ . Et un quotient : $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$ .

Exemple 65.9 (Additionner des racines carrées)

Les sommes de racines carrées ne se simplifient que lorsque les racines sont semblables. Calculer $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , en simplifiant d’abord chaque terme :

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

donc la somme est $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Exemple 65.10 (Développer avec des racines carrées)

Les identités de l’algèbre s’appliquent aux racines carrées. Développer $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ avec $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

Et avec la troisième identité, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

le produit de deux nombres irrationnels peut être un entier.

65.3 L’équation $x^2 = a$

Théorème 65.11 (Résoudre $x^2 = a$ )

Si $a > 0$ , l’équation $x^2 = a$ a exactement deux solutions : $\sqrt a$ et $-\sqrt a$ ;
si $a = 0$ , la seule solution est $0$ ;
si $a < 0$ , il n’y a pas de solution.

Démonstration. Réécrire $x^2 = a$ comme $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ lorsque $a \geq 0$ , et factoriser en différence de carrés :

\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,

donc $x = \sqrt a$ ou $x = -\sqrt a$ (ils coïncident lorsque $a = 0$ ). Lorsque $a < 0$ il n’y a pas de solution, car $x^2 \geq 0 > a$ pour tout $x$ . ∎

Résoudre x2 = 3 sur la parabole y = x2 : la droite horizontale y = 3 la coupe aux deux abscisses ±√3. — Résoudre $x^2 = 3$ sur la parabole $y = x^2$ : la droite horizontale $y = 3$ la coupe aux deux abscisses $\pm\sqrt3$ .

Exemple 65.12

$x^2 = 16$ : solutions $4$ et $-4$ . $x^2 = 5$ : solutions $\sqrt5$ et $-\sqrt5$ (valeurs exactes ; $\sqrt5 \approx 2.236$ ). $x^2 = -9$ : pas de solution. $3x^2 = 21$ : diviser d’abord par 3, $x^2 = 7$ , solutions $\pm\sqrt7$ .

65.4 Exercices

Exercice 65.1 ★

Calculer sans calculatrice :

\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad \sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad \sqrt{(-4)^2} .

Solution

Solution de Exercice 65.1.

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (car $0.3^2 = 0.09$ ) ; $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$ .

Exercice 65.2 ★

Simplifier :

\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .

Solution

Solution de Exercice 65.2.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$ .

Exercice 65.3 ★

Calculer et simplifier :

\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad \sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .

Solution

Solution de Exercice 65.3.

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$ .

Exercice 65.4 ★

Résoudre : $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$ .

Solution

Solution de Exercice 65.4.

$x^2 = 36$ : $x = 6$ ou $x = -6$ .

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ ou $x = -\sqrt{11}$ .

$x^2 + 4 = 0$ signifie $x^2 = -4 < 0$ : pas de solution.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$ , donc $x = 5$ ou $x = -5$ .

Exercice 65.5 ★

Réduire en un seul terme : $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ , puis $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$ .

Solution

Solution de Exercice 65.5.

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$ .

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2 = (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$ .

Exercice 65.6 ★★

Développer et simplifier :

\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad \left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).

Solution

Solution de Exercice 65.6.

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$ .

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9 = 29 - 12\sqrt5$ .

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$ .

Exercice 65.7 ★★

Un champ carré a pour aire $6400$ m $^2$ . Quelle est la longueur de son côté ? De sa diagonale (valeur exacte, puis arrondie au mètre le plus proche) ?

Solution

Solution de Exercice 65.7.

Côté : $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonale (Pythagore) : $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

Exercice 65.8 ★★

Montrer que $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (multiplier numérateur et dénominateur par $\sqrt2$ ). Utiliser le même truc pour écrire $\dfrac{6}{\sqrt3}$ et $\dfrac{10}{\sqrt5}$ sans racine carrée au dénominateur.

Solution

Solution de Exercice 65.8.

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$ .

Exercice 65.9 ★★

Vrai ou faux ? Justifier par une preuve ou un contre-exemple.

Pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
Pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
Pour tout $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
$\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

Solution

Solution de Exercice 65.9.

1. Vrai : c’est la règle du produit (Théorème 65.5).

2. Faux : $\sqrt{9 + 16} = 5$ mais $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ .

3. Faux pour $x$ négatif : $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$ . L’énoncé correct est $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

4. Vrai : $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$ .

Exercice 65.10 ★★★

Soit $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ . Calculer $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ , et en déduire une expression plus simple de $x$ . Même question pour $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (viser un carré de la forme $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ , et faire attention au signe).

Solution

Solution de Exercice 65.10.

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ . Donc $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (un nombre positif ou nul, donc la racine enlève juste le carré).

De même $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$ , et $\sqrt5 - 2 > 0$ , donc $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (pas $2 - \sqrt5$ , qui est négatif !).

65.5 Problème : le nombre qui n’est pas une fraction

Problème 65.1

Devoir maison — la démonstration légendaire de l’irrationalité de $\sqrt2$ , ses nombreux cousins, et la recette étonnamment efficace de Héron pour l’approcher

La diagonale du carré unité est une longueur parfaitement réelle — on l’a tracée dans Exemple 58.9 — et pourtant, comme les pythagoriciens l’ont découvert avec horreur il y a quelque vingt-cinq siècles, aucune fraction ne la mesure. La légende prétend que la découverte fut punie par noyade. Ce problème parcourt pas à pas la démonstration immortelle (quatre questions, et elle est à nous pour la vie), multiplie les victimes, et s’achève sur la recette qu’ont employée les ingénieurs pendant deux mille ans pour apprivoiser l’inapprivoisable.

Partie I — La démonstration.

Traquons-le d’abord : vérifier que $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ , puis que $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , en élevant les bornes au carré. Une décimale de plus : entre quels nombres à trois décimales $\sqrt2$ se situe-t-il ?
Supposons maintenant — pour aboutir à une absurdité — que $\sqrt2 = \frac ab$ pour une certaine fraction irréductible (Méthode 64.16). Élever les deux membres au carré et montrer que $a^2 = 2 b^2$ . Quelle est la parité de $a^2$ ?
Les faits de parité du Problème 58.1 disent que les nombres impairs ont des carrés impairs. En déduire que $a$ est pair, écrire $a = 2k$ , substituer — et montrer que $b$ doit être pair lui aussi.
Où est la contradiction ? Conclure, et énoncer le théorème en entier : $\sqrt2$ est irrationnel — ce n’est le quotient d’aucun couple d’entiers.
La démonstration s’est appuyée une fois, discrètement, sur le mot « irréductible ». Désigner l’étape exacte qui s’effondrerait sans lui, et expliquer pourquoi il était légitime de supposer la fraction irréductible dès le départ.

Partie II — Les victimes se multiplient.

Un second style de démonstration, par les décompositions en facteurs premiers (Théorème 64.6) : dans $a^2 = 3b^2$ , comparer la parité de l’exposant de $3$ de chaque côté (Problème 64.1 : les carrés portent des exposants pairs). En conclure que $\sqrt3$ est irrationnel.
Reprendre le même argument d’exposants sur $a^2 = n b^2$ pour un entier $n$ quelconque : pour quels $n$ produit-il une contradiction, et pour lesquels échoue-t-il ? Énoncer le résultat complet : $\sqrt n$ est irrationnel exactement lorsque …
Démontrer le lemme protecteur : un rationnel non nul multiplié par un irrationnel donne un irrationnel. (Supposer $r x = q$ avec $r, q$ rationnels, $r \neq 0$ , et isoler $x$ .) En déduire que $2\sqrt2$ et $\frac{\sqrt2}{2}$ sont irrationnels.
Démontrer que $1 + \sqrt2$ est irrationnel. Puis la jolie : en supposant $s = \sqrt2 + \sqrt3$ rationnel, calculer $s^2$ , isoler $\sqrt6$ , et trouver la contradiction.
Tempérons l’enthousiasme : donner deux nombres irrationnels dont la somme est rationnelle, et deux dont le produit est rationnel. (L’irrationalité ne se conserve pas par les opérations — chaque cas réclame sa propre démonstration.)

Partie III — La recette de Héron. Deux mille ans avant les calculatrices, Héron d’Alexandrie approchait $\sqrt2$ ainsi : deviner $x$ ; remplacer la devinette par la moyenne de $x$ et de $\frac2x$ ; recommencer.

Partir de la devinette $x = 1$ et calculer les deux devinettes suivantes sous forme de fractions exactes.
Calculer la troisième devinette, encore sous forme de fraction exacte, puis sa valeur décimale. Comparer avec la question 1 : combien de décimales de $\sqrt2$ sont déjà exactes ?
L’idée derrière la recette : un rectangle d’aire $2$ dont un côté vaut $x$ a l’autre côté égal à $\frac2x$ . Montrer que $\sqrt2$ se situe toujours entre $x$ et $\frac2x$ (examiner les deux cas $x^2 > 2$ et $x^2 < 2$ ) : faire la moyenne des deux côtés resserre donc le rectangle vers le carré.
Les devinettes $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ cachent une pépite : calculer $3^2 - 2 \times 2^2$ , puis $17^2 - 2 \times 12^2$ , puis $577^2 - 2 \times 408^2$ . La partie I a démontré que $a^2 - 2b^2 = 0$ est impossible — de combien les fractions de Héron s’approchent-elles de l’impossible ?
Bouquet final, en deux phrases : la diagonale du carré unité existe sur le papier, aucune fraction ne la mesure, et son écriture décimale ne peut jamais être périodique (Problème 63.1). Quelle sorte de « nouveaux nombres » la droite graduée doit-elle donc contenir — et où, dans cette série, leur histoire complète est-elle racontée ?

Solution

Solution de Problème 65.1.

1. $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ ; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ . Trois décimales : $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ , donc $1.414 < \sqrt2 < 1.415$ .

2. En élevant $\sqrt2 = \frac ab$ au carré, on obtient $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , d’où $a^2 = 2b^2$ : le nombre $a^2$ est le double d’un entier — il est pair.

3. Si $a$ était impair, $a^2$ serait impair (Problème 58.1) ; comme $a^2$ est pair, $a$ est pair : $a = 2k$ . En substituant : $4k^2 = 2b^2$ , donc $b^2 = 2k^2$ est pair, et par le même fait de parité, $b$ est pair.

4. $a$ et $b$ tous deux pairs signifie qu’ils sont tous deux divisibles par $2$ — mais $\frac ab$ était irréductible, sans aucun diviseur commun. Contradiction : la fraction supposée ne peut pas exister. Théorème : $\sqrt2$ est irrationnel.

5. La contradiction tient tout entière au mot « irréductible » : sans lui, « $a$ et $b$ tous deux pairs » ne contredit rien. Supposer la fraction irréductible est légitime parce que toute fraction possède une forme irréductible (Méthode 64.16 : diviser par le PGCD) — si $\sqrt2$ était une fraction quelconque, il serait aussi une fraction irréductible, et celle-là est impossible.

6. Dans les décompositions en facteurs premiers, les carrés portent des exposants pairs (Problème 64.1). Dans $a^2 = 3b^2$ , l’exposant de $3$ est pair à gauche, mais impair à droite (pair venant de $b^2$ , plus un). Or aucun nombre n’a deux décompositions (Théorème 64.6) : contradiction, et $\sqrt3$ est irrationnel.

7. Dans $a^2 = n b^2$ , l’argument trouve un nombre premier dont la parité de l’exposant se contredit exactement lorsqu’un nombre premier apparaît dans $n$ avec un exposant impair. Si tous les exposants de $n$ sont pairs, $n$ est un carré parfait ( $n = m^2$ , et $\sqrt n = m$ est entier). Résultat complet : $\sqrt n$ est irrationnel pour tout entier $n$ qui n’est pas un carré parfait — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

8. De $r x = q$ avec $r \neq 0$ on tire $x = \frac qr$ , un quotient de rationnels, donc rationnel. Ainsi, si $x$ est irrationnel, $r x$ ne peut pas être rationnel : $2\sqrt2$ et $\frac{\sqrt2}{2}$ sont irrationnels (multiplicateurs $2$ et $\frac12$ ).

9. Si $1 + \sqrt2 = q$ était rationnel, alors $\sqrt2 = q - 1$ le serait aussi : contradiction. Si $s = \sqrt2 + \sqrt3$ était rationnel, alors $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ le serait aussi, ce qui rendrait $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ rationnel — or $\sqrt6$ est irrationnel (question 7). Donc $\sqrt2 + \sqrt3$ est irrationnel.

10. Sommes : $\sqrt2$ et $-\sqrt2$ (ou $\sqrt2$ et $1 - \sqrt2$ ) sont chacun irrationnels, de sommes rationnelles $0$ et $1$ . Produits : $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$ . L’irrationalité peut s’évaporer au fil des opérations — d’où les démonstrations au cas par cas.

11. À partir de $x = 1$ : moyenne de $1$ et de $\frac21 = 2$ : $x_1 = \frac32$ . Puis moyenne de $\frac32$ et de $\frac{2}{3/2} = \frac43$ : $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$ .

12. $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ Face à $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ : cinq décimales exactes après trois étapes — la recette double à peu près le nombre de décimales exactes à chaque tour.

13. Si $x^2 > 2$ (devinette trop grande), alors $x > \sqrt2$ , et $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ : le côté compagnon est trop petit. Si $x^2 < 2$ , les inégalités s’inversent. Dans les deux cas, $\sqrt2$ se situe entre $x$ et $\frac2x$ , donc leur moyenne — la devinette suivante — est plus proche que le pire des deux côtés : le rectangle d’aire $2$ devient plus carré à chaque étape.

14. $9 - 8 = 1$ ; $289 - 288 = 1$ ; $332\,929 - 332\,928 = 1$ . Chaque devinette $\frac ab$ de Héron vérifie $a^2 - 2b^2 = 1$ : la partie I a démontré qu’atteindre $0$ est impossible, et ces fractions manquent l’impossible d’exactement une unité — au plus près que des entiers puissent jamais aller.

15. La droite graduée doit contenir des nombres au-delà des fractions — des longueurs comme $\sqrt2$ , dont les écritures décimales courent indéfiniment sans jamais se répéter : les nombres réels. Leur construction honnête est une histoire pour le volume suivant et, en toute rigueur, pour les volumes universitaires.

Termes définis dans ce chapitre

Racine carrée

Voir les 395 termes du glossaire

65.1 Définition et premières propriétés

65.2 Produits et quotients de racines carrées

65.3 L’équation x2=ax^2 = ax2=a

65.4 Exercices

65.5 Problème : le nombre qui n’est pas une fraction

Termes définis dans ce chapitre

65.3 L’équation $x^2 = a$