Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

65Racines carrées

Quelle longueur a la diagonale d’un carré de côté $1$ ? Le théorème de Pythagore répond $\sqrt 2$ , un nombre dont le carré est $2$ — et qui se révèle ne pas être une fraction. Ce chapitre définit les racines carrées, établit les règles pour calculer avec elles, et enseigne à simplifier des expressions comme $\sqrt{75}$ .

65.1 Définition et premières propriétés

Définition 65.1 (Racine carrée)

Soit $a \geq 0$ . La racine carrée de $a$ , notée $\sqrt a$ , est l’unique nombre positif ou nul dont le carré est $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée, car tout carré est positif ou nul.

Exemple 65.2

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt 0 = 0$ , $\sqrt 1 = 1$ , $\sqrt{2.25} = 1.5$ . Les premières racines carrées à connaître par cœur sont celles des carrés parfaits : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

La diagonale d’un carré unité a pour longueur √12 + 12 = √2 1.414, par le théorème de Pythagore ( le rappelle). Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne se répètent jamais. — La diagonale d’un carré unité a pour longueur $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , par le théorème de Pythagore (Chapitre 69 le rappelle). Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne se répètent jamais.

Proposition 65.3 (Racine carrée d’un carré)

Pour tout nombre réel $x$ (positif ou non) :

\sqrt{x^2} = \abs{x} = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0,\\ -x & \text{si } x < 0 . \end{cases}

Démonstration. Le nombre $\abs{x}$ est positif ou nul et son carré est $x^2$ (un nombre et son opposé ont le même carré). Étant l’unique nombre positif ou nul de carré $x^2$ , il est $\sqrt{x^2}$ . ∎

Exemple 65.4

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : la racine carrée « oublie » le signe, elle ne le restaure pas. En particulier $\sqrt{x^2} = x$ est faux pour $x$ négatif.

65.2 Produits et quotients de racines carrées

Théorème 65.5 (Règles de multiplication et de division)

Pour tous $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b, \qquad\text{et pour } b > 0:\quad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .

Démonstration. Le nombre $\sqrt a \times \sqrt b$ est positif ou nul (produit de nombres positifs ou nuls), et son carré est

\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a b .

Par unicité du nombre positif ou nul dont le carré est $ab$ , il égale $\sqrt{ab}$ . La règle du quotient se prouve de la même façon. ∎

Remarque 65.6 (Pas de telle règle pour les sommes !)

$\sqrt{a + b}$ n’est pas $\sqrt a + \sqrt b$ en général :

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \qquad\text{mais}\qquad \sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .

Méthode 65.7 (Simplifier $\sqrt n$ )

Pour simplifier la racine carrée d’un entier :

trouver le plus grand carré parfait divisant $n$ (décomposer $n$ si besoin) ;
scinder avec la règle du produit et extraire le carré : $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
vérifier qu’aucun carré parfait ne divise ce qui reste sous la racine.

Exemple 65.8

Simplifier $\sqrt{75}$ : puisque $75 = 25 \times 3$ ,

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .

Simplifier $\sqrt{72}$ : puisque $72 = 36 \times 2$ , $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ . Et un quotient : $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$ .

Exemple 65.9 (Additionner des racines carrées)

Les sommes de racines carrées ne se simplifient que lorsque les racines sont semblables. Calculer $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , en simplifiant d’abord chaque terme :

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

donc la somme est $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Exemple 65.10 (Développer avec des racines carrées)

Les identités de l’algèbre s’appliquent aux racines carrées. Développer $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ avec $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

Et avec la troisième identité, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

le produit de deux nombres irrationnels peut être un entier.

65.3 L’équation $x^2 = a$

Théorème 65.11 (Résoudre $x^2 = a$ )

Si $a > 0$ , l’équation $x^2 = a$ a exactement deux solutions : $\sqrt a$ et $-\sqrt a$ ;
si $a = 0$ , la seule solution est $0$ ;
si $a < 0$ , il n’y a pas de solution.

Démonstration. Réécrire $x^2 = a$ comme $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ lorsque $a \geq 0$ , et factoriser en différence de carrés :

\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,

donc $x = \sqrt a$ ou $x = -\sqrt a$ (ils coïncident lorsque $a = 0$ ). Lorsque $a < 0$ il n’y a pas de solution, car $x^2 \geq 0 > a$ pour tout $x$ . ∎

Résoudre x2 = 3 sur la parabole y = x2 : la droite horizontale y = 3 la coupe aux deux abscisses ±√3. — Résoudre $x^2 = 3$ sur la parabole $y = x^2$ : la droite horizontale $y = 3$ la coupe aux deux abscisses $\pm\sqrt3$ .

Exemple 65.12

$x^2 = 16$ : solutions $4$ et $-4$ . $x^2 = 5$ : solutions $\sqrt5$ et $-\sqrt5$ (valeurs exactes ; $\sqrt5 \approx 2.236$ ). $x^2 = -9$ : pas de solution. $3x^2 = 21$ : diviser d’abord par 3, $x^2 = 7$ , solutions $\pm\sqrt7$ .

65.4 Exercices

Exercice 65.1 ★

Calculer sans calculatrice :

\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad \sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad \sqrt{(-4)^2} .

Solution

Solution de Exercice 65.1.

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (car $0.3^2 = 0.09$ ) ; $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$ .

Exercice 65.2 ★

Simplifier :

\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .

Solution

Solution de Exercice 65.2.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$ .

Exercice 65.3 ★

Calculer et simplifier :

\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad \sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .

Solution

Solution de Exercice 65.3.

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$ .

Exercice 65.4 ★

Résoudre : $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$ .

Solution

Solution de Exercice 65.4.

$x^2 = 36$ : $x = 6$ ou $x = -6$ .

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ ou $x = -\sqrt{11}$ .

$x^2 + 4 = 0$ signifie $x^2 = -4 < 0$ : pas de solution.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$ , donc $x = 5$ ou $x = -5$ .

Exercice 65.5 ★

Réduire en un seul terme : $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ , puis $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$ .

Solution

Solution de Exercice 65.5.

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$ .

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2 = (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$ .

Exercice 65.6 ★★

Développer et simplifier :

\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad \left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).

Solution

Solution de Exercice 65.6.

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$ .

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9 = 29 - 12\sqrt5$ .

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$ .

Exercice 65.7 ★★

Un champ carré a pour aire $6400$ m $^2$ . Quelle est la longueur de son côté ? De sa diagonale (valeur exacte, puis arrondie au mètre le plus proche) ?

Solution

Solution de Exercice 65.7.

Côté : $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonale (Pythagore) : $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

Exercice 65.8 ★★

Montrer que $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (multiplier numérateur et dénominateur par $\sqrt2$ ). Utiliser le même truc pour écrire $\dfrac{6}{\sqrt3}$ et $\dfrac{10}{\sqrt5}$ sans racine carrée au dénominateur.

Solution

Solution de Exercice 65.8.

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$ .

Exercice 65.9 ★★

Vrai ou faux ? Justifier par une preuve ou un contre-exemple.

Pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
Pour tous $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
Pour tout $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
$\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

Solution

Solution de Exercice 65.9.

1. Vrai : c’est la règle du produit (Théorème 65.5).

2. Faux : $\sqrt{9 + 16} = 5$ mais $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ .

3. Faux pour $x$ négatif : $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$ . L’énoncé correct est $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

4. Vrai : $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$ .

Exercice 65.10 ★★★

Soit $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ . Calculer $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ , et en déduire une expression plus simple de $x$ . Même question pour $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (viser un carré de la forme $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ , et faire attention au signe).

Solution

Solution de Exercice 65.10.

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ . Donc $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (un nombre positif ou nul, donc la racine enlève juste le carré).

De même $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$ , et $\sqrt5 - 2 > 0$ , donc $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (pas $2 - \sqrt5$ , qui est négatif !).

65.1 Définition et premières propriétés

65.2 Produits et quotients de racines carrées

65.3 L’équation x2=ax^2 = ax2=a

65.4 Exercices

65.3 L’équation $x^2 = a$