Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

69Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, une fois qu’on connaît un angle aigu, la forme du triangle est fixée — seule sa taille peut varier. Les rapports de ses côtés ne dépendent donc que de l’angle : ces rapports sont le cosinus, le sinus et la tangente. Avec le théorème de Pythagore, ils permettent de calculer chaque côté et chaque angle d’un triangle rectangle à partir de très peu d’informations.

69.1 Le théorème de Pythagore, encore

Théorème 69.1 (Pythagore)

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit :

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

Réciproquement, si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ dans un triangle, alors le triangle est rectangle en $A$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 69.2

Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit $AB = 5$ et $AC = 12$ . Alors

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{donc}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

Pour trouver un côté de l’angle droit : si $BC = 10$ et $AB = 6$ , alors $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , donc $AC = 8$ .

69.2 Cosinus, sinus, tangente

Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu $\theta$ , les trois côtés ont des noms : l’hypoténuse (opposée à l’angle droit, le plus long côté), le côté opposé à $\theta$ , et le côté adjacent à $\theta$ (le côté de l’angle droit touchant $\theta$ ).

Définition 69.3 (Rapports trigonométriques)

Pour un angle aigu $\theta$ d’un triangle rectangle :

\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} .

Ces rapports ne dépendent que de $\theta$ , pas de la taille du triangle (tous les triangles rectangles de même angle aigu sont des homothéties les uns des autres, par Thalès).

Les trois côtés vus depuis l’angle = B : l’hypoténuse [BC], le côté adjacent [BA], le côté opposé [AC]. — Les trois côtés vus depuis l’angle $\theta = \widehat B$ : l’hypoténuse $[BC]$ , le côté adjacent $[BA]$ , le côté opposé $[AC]$ .

Proposition 69.4 (Premières propriétés)

Pour tout angle aigu $\theta$ :

$0 < \cos\theta < 1$ et $0 < \sin\theta < 1$ (un côté de l’angle droit est plus court que l’hypoténuse) ;
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Démonstration. Noter $a$ le côté adjacent, $o$ le côté opposé, $h$ l’hypoténuse d’un triangle rectangle d’angle $\theta$ .

1. $0 < a < h$ et $0 < o < h$ , donc les deux rapports sont strictement entre $0$ et $1$ .

2. Par Pythagore, $a^2 + o^2 = h^2$ . Diviser tout par $h^2$ :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ . ∎

Méthode 69.5 (Trouver un côté)

Pour calculer un côté inconnu lorsqu’un côté et un angle aigu sont connus :

marquer l’angle connu et étiqueter les trois côtés (hypoténuse, opposé, adjacent) depuis cet angle ;
choisir le rapport (cos, sin ou tan) qui implique le côté connu et le côté cherché ;
écrire l’équation et la résoudre ;
contrôle de bon sens : l’hypoténuse doit sortir la plus longue.

Exemple 69.6

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure $8$ et un angle est $35^\circ$ ; calculer le côté qui lui est opposé. Le rapport impliquant le côté opposé et l’hypoténuse est le sinus :

\sin 35^\circ = \frac{\text{opposé}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{opposé} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

Pour le côté adjacent, utiliser le cosinus : $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ . Vérifier avec Pythagore : $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ .

Méthode 69.7 (Trouver un angle)

Lorsque deux côtés sont connus, calculer le rapport qu’ils forment, l’identifier comme cosinus, sinus ou tangente de l’angle inconnu, et appliquer la fonction inverse de la calculatrice ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ ) au rapport.

Exemple 69.8

Une échelle de $5$ m s’appuie contre un mur, son pied à $1.4$ m du mur. L’angle $\theta$ entre l’échelle et le sol satisfait

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{donc}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

Le problème de l’échelle : le côté adjacent (1.4 m) et l’hypoténuse (5 m) sont connus, donc le cosinus donne l’angle. — Le problème de l’échelle : le côté adjacent ( $1.4$ m) et l’hypoténuse ( $5$ m) sont connus, donc le cosinus donne l’angle.

Exemple 69.9 (Angles remarquables)

Deux triangles donnent des valeurs exactes. La moitié d’un carré de côté $1$ (un triangle rectangle isocèle) a pour hypoténuse $\sqrt2$ et des angles de $45^\circ$ :

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

La moitié d’un triangle équilatéral de côté $1$ donne les angles $30^\circ$ et $60^\circ$ :

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 Exercices

Exercice 69.1 ★

Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit $9$ et $12$ . Calculer son hypoténuse. Un autre a pour hypoténuse $17$ et un côté de l’angle droit $8$ : calculer l’autre côté.

Solution

Solution de Exercice 69.1.

Hypoténuse : $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Autre côté : $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ .

Exercice 69.2 ★

Un triangle a pour côtés $7$ , $24$ et $25$ . Est-il rectangle ? Même question pour les côtés $5$ , $6$ et $8$ .

Solution

Solution de Exercice 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : oui, rectangle (réciproque de Pythagore), avec l’angle droit opposé au côté $25$ .

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : non rectangle.

Exercice 69.3 ★

Dans un triangle $DEF$ rectangle en $D$ , avec l’angle en $E$ noté $\theta$ : quel côté est l’hypoténuse ? Quel côté est opposé à $\theta$ ? Écrire $\cos\theta$ , $\sin\theta$ et $\tan\theta$ comme rapports des côtés $DE$ , $DF$ , $EF$ .

Solution

Solution de Exercice 69.3.

L’hypoténuse est $[EF]$ (opposée à l’angle droit en $D$ ). Le côté opposé à $\theta = \widehat E$ est $[DF]$ ; le côté adjacent est $[DE]$ . D’où

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

Exercice 69.4 ★

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure $10$ et un angle aigu est $28^\circ$ . Calculer les deux côtés de l’angle droit (arrondir au dixième ; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ ).

Solution

Solution de Exercice 69.4.

Côté opposé : $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ . Côté adjacent : $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ . (Vérification : $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ .)

Exercice 69.5 ★

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l’angle $\theta$ mesure $6$ et le côté opposé mesure $4.5$ . Calculer $\tan\theta$ , puis $\theta$ (arrondir au degré ; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ ).

Solution

Solution de Exercice 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , donc $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ .

Exercice 69.6 ★★

Un drone vole à une altitude de $120$ m. Depuis un observateur au sol, on le voit sous un angle d’élévation de $32^\circ$ . À quelle distance horizontale de l’observateur se trouve le drone ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 69.6.

Dans le triangle rectangle formé par l’observateur, le point au sol sous le drone, et le drone : l’altitude $120$ m est le côté opposé à l’angle d’élévation, la distance horizontale $d$ est adjacente. Donc

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.

Exercice 69.7 ★★

Une rampe d’accès doit monter de $1.2$ m avec un angle d’au plus $5^\circ$ par rapport à l’horizontale. Quelle longueur minimale le long de la pente la rampe doit-elle avoir ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ ) ? Arrondir au dixième de mètre supérieur.

Solution

Solution de Exercice 69.7.

La montée ( $1.2$ m) est opposée à l’angle ; la longueur $L$ de la rampe est l’hypoténuse :

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m}.

La rampe doit mesurer au moins $13.8$ m.

Exercice 69.8 ★★

En utilisant Proposition 69.4 : un angle aigu $\theta$ satisfait $\cos\theta = 0.6$ . Calculer $\sin\theta$ sans trouver $\theta$ , puis $\tan\theta$ .

Solution

Solution de Exercice 69.8.

De $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ , et $\sin\theta > 0$ pour un angle aigu, donc $\sin\theta = 0.8$ . Puis $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ .

Exercice 69.9 ★★★

Justifier les valeurs exactes de Exemple 69.9 : dans le triangle rectangle isocèle de côtés de l’angle droit $1$ , calculer l’hypoténuse ; dans le triangle équilatéral de côté $1$ , calculer la hauteur, et en déduire le cosinus et le sinus de $30^\circ$ et $60^\circ$ .

Solution

Solution de Exercice 69.9.

Triangle rectangle isocèle de côtés de l’angle droit $1$ : hypoténuse $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; chaque angle aigu vaut $45^\circ$ , et

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

Triangle équilatéral de côté $1$ : sa hauteur le partage en deux triangles rectangles d’hypoténuse $1$ , de base $\frac12$ , et de hauteur $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pythagore). Les angles sont $60^\circ$ (à la base) et $30^\circ$ (au sommet). En lisant les rapports :

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .

69.4 Problème : mesurer ce qu’on ne peut pas atteindre

Problème 69.1

Devoir maison — la méthode des deux stations des géomètres pour les hauteurs inaccessibles, les pentes de route, la distance de l’horizon, et la course de la tangente vers l’infini

Aucun mètre ruban n’atteint le sommet d’une montagne, le faîte d’une tour de l’autre côté d’une rivière, ni l’horizon en mer — mais un instrument de visée et les trois rapports de ce chapitre, si. La pièce maîtresse de ce problème est la classique méthode des deux stations des géomètres, qui calcule une hauteur sans jamais approcher son pied ; autour d’elle : des panneaux routiers, des échelles, des escaliers, la courbure de la Terre, et un premier aperçu d’une fonction qui explose vers l’infini.

Partie I — Une seule station. (Valeurs : $\tan 35^\circ \approx 0.700$ , $\sin 35^\circ \approx 0.574$ , $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\tan 1^\circ \approx 0.0175$ .)

D’un point situé à $60$ m du pied d’un phare, on voit le sommet sous un angle d’élévation de $35^\circ$ (mesuré depuis l’horizontale, à hauteur d’œil). À quelle hauteur au-dessus du niveau de l’œil se trouve le sommet ?
Un panneau routier annonce une pente de $12\,\%$ : la route s’élève de $12$ m par $100$ m parcourus à l’horizontale. Quel angle la route fait-elle avec l’horizontale ? Et quel pourcentage de pente aurait une route inclinée à $45^\circ$ ?
Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires, et le côté opposé à l’un est le côté adjacent à l’autre. En déduire les identités du « co » :

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$
Une échelle de $8$ m est appuyée à $60^\circ$ du sol. À l’aide des valeurs exactes de l’Exemple 69.9, donner la hauteur atteinte et la distance du pied au mur — exactement, puis au centimètre près.
Vérifier $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ numériquement pour $\theta = 35^\circ$ et exactement pour $\theta = 60^\circ$ . Pourquoi cette identité (Proposition 69.4) est-elle une bonne habitude pour contrôler un travail à la calculatrice ?

Partie II — Deux stations. Le sommet d’une montagne est visible, son pied inaccessible. Depuis un point $A$ , l’angle d’élévation du sommet vaut $30^\circ$ ; après $200$ m de marche en ligne droite vers la montagne, jusqu’en $B$ , l’élévation devient $40^\circ$ . Notons $h$ la hauteur du sommet au-dessus du niveau de l’œil et $x$ la distance horizontale de $B$ à la verticale du sommet. ( $\tan 30^\circ \approx 0.577$ , $\tan 40^\circ \approx 0.839$ .)

Exprimer $\tan 40^\circ$ et $\tan 30^\circ$ à l’aide de $h$ , $x$ et $x + 200$ : deux équations à deux inconnues.
Tirer de chaque équation la distance horizontale en fonction de $h$ , soustraire, et établir la formule des deux stations :

$h = \frac{200} {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$

Calculer $h$ à la dizaine de mètres près.
Calculer aussi $x$ , et contrôler la vraisemblance des deux réponses avec la visée à $30^\circ$ depuis $A$ .
En une phrase : pourquoi la méthode des deux stations est-elle indispensable — quelle mesure unique, impossible ici, la méthode à une station de la question 1 aurait-elle exigée ?
Une tour est visée sous $30^\circ$ , puis sous $60^\circ$ après $200$ m de marche vers elle. À l’aide de $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ et de $\tan 60^\circ = \sqrt3$ , calculer la hauteur exactement — la réponse est un multiple de $\sqrt3$ — puis au mètre près.

Partie III — Jusqu’à l’horizon et le long du mur.

À quelle distance est l’horizon ? Debout, l’œil à $h$ mètres au-dessus d’une Terre sphérique de rayon $R$ , la ligne de visée effleure la sphère : la ligne de visée, le rayon aboutissant au point de contact et le rayon aboutissant à nos pieds forment un triangle rectangle. Montrer par Pythagore (Théorème 69.1) que la distance $d$ jusqu’à l’horizon vérifie $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ , et calculer $d$ pour un œil à $1.80$ m ( $R = 6.37 \times 10^6$ m).
Même question depuis le sommet d’une tour de $324$ m. (Règle empirique des marins : l’horizon en kilomètres vaut environ $3.6\sqrt{h}$ avec $h$ en mètres — contrôler les deux réponses avec elle.)
Notre pouce, large d’environ $2$ cm, tenu à bout de bras, à environ $60$ cm de l’œil : quel angle couvre-t-il ? La pleine Lune couvre environ $0.5^\circ$ : quelle portion du pouce cache la Lune tout entière ?
Un escalier confortable a des contremarches de $17$ cm et des girons de $29$ cm. Sous quel angle monte-t-il ? Comparer avec les $30^\circ$ de l’Exemple 69.9, puis avec une échelle de grenier inclinée à $60^\circ$ : quelle contremarche celle-ci exigerait-elle sur un giron de $29$ cm ?
La course de la tangente : calculer à la calculatrice $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ . Que se passe-t-il lorsque l’angle approche $90^\circ$ , et pourquoi (penser au côté adjacent) ? Le mur est vertical, le rapport n’a plus de valeur, et le graphe file vers l’infini — voilà notre première asymptote, une créature étudiée de près dans le volume suivant.

Solution

Solution de Problème 69.1.

1. La hauteur au-dessus du niveau de l’œil est le côté opposé à $35^\circ$ , le côté adjacent valant $60$ m : $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m.

2. $\tan\theta = 0.12$ donne $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — raide pour une route, et pourtant un angle modeste. Une route à $45^\circ$ a $\tan 45^\circ = 1$ : une pente de $100\,\%$ . (« Cent pour cent » est bien loin de la verticale — un malentendu classique au pied des remontées mécaniques.)

3. Dans un triangle rectangle d’angles aigus $\theta$ et $90^\circ - \theta$ , le côté opposé à l’un est adjacent à l’autre, et l’hypoténuse est commune. Donc $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{son côté opposé}}{h} = \frac{\text{côté adjacent à }\theta}{h} = \cos\theta$ , et symétriquement $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ : le cosinus est le sinus du complémentaire.

4. Hauteur : $8 \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ m. Pied : $8 \cos 60^\circ = 4$ m exactement.

5. $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (aux arrondis près) ; et $\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$ . Tout couple de valeurs qui échoue à l’identité trahit une lecture erronée ou une calculatrice mal réglée — un détecteur d’erreurs gratuit.

6. $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ et $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$ .

7. $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ et $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$ ; en soustrayant, $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} - \frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$ , d’où la formule. Numériquement : $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$ , $\frac{1}{0.839} \approx 1.192$ , différence $0.540$ : $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m.

8. $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx \frac{370}{0.839} \approx 441$ m. Contrôle depuis $A$ : $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 = \tan 30^\circ$ : cohérent.

9. La méthode à une station réclame la distance horizontale jusqu’au point situé à la verticale du sommet — impossible à mesurer par-dessus une gorge ou à travers une montagne. La méthode des deux stations la remplace par une distance que l’on peut arpenter soi-même : les $200$ m qui séparent nos deux points de visée.

10. $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m — le deuxième étage de la tour Eiffel, mesuré avec deux visées et une promenade.

11. Ligne de visée $d$ , rayons $R$ (jusqu’au point de contact, perpendiculaire à la ligne de visée) et $R + h$ (jusqu’à l’œil) : Pythagore donne $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$ , donc $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ( $h$ est minuscule devant $R$ ). Pour un œil à $1.80$ m : $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8} \approx 4\,800$ m — l’horizon marin est à peine à cinq kilomètres.

12. $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 324} \approx 64$ km. Règle des marins : $3.6\sqrt{1.8} \approx 4.8$ km et $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — les deux concordent.

13. $\tan\theta = \frac{2}{60}$ donne $\theta \approx 1.9^\circ$ . Les $0.5^\circ$ de la Lune font environ un quart de pouce : la Lune paraît énorme et se cache derrière un ongle — l’œil est un piètre rapporteur.

14. Escalier : $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — un escalier confortable monte presque exactement sous les $30^\circ$ des valeurs particulières. À $60^\circ$ sur un giron de $29$ cm, la contremarche vaudrait $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx 50$ cm : une échelle, pas un escalier.

15. $\tan 10^\circ \approx 0.18$ ; $\tan 45^\circ = 1$ ; $\tan 80^\circ \approx 5.7$ ; $\tan 89^\circ \approx 57.3$ . Lorsque $\theta$ tend vers $90^\circ$ , le côté adjacent se réduit à rien tandis que le côté opposé tient bon : le quotient croît au-delà de toute borne. À $90^\circ$ exactement, il n’y a plus de triangle ni de valeur — le graphe de la tangente escalade une asymptote verticale, la première d’une longue série dans le volume suivant.

Termes définis dans ce chapitre

Rapports trigonométriques

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