Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

69Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, une fois qu’on connaît un angle aigu, la forme du triangle est fixée — seule sa taille peut varier. Les rapports de ses côtés ne dépendent donc que de l’angle : ces rapports sont le cosinus, le sinus et la tangente. Avec le théorème de Pythagore, ils permettent de calculer chaque côté et chaque angle d’un triangle rectangle à partir de très peu d’informations.

69.1 Le théorème de Pythagore, encore

Théorème 69.1 (Pythagore)

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit :

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

Réciproquement, si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ dans un triangle, alors le triangle est rectangle en $A$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 69.2

Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit $AB = 5$ et $AC = 12$ . Alors

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{donc}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

Pour trouver un côté de l’angle droit : si $BC = 10$ et $AB = 6$ , alors $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , donc $AC = 8$ .

69.2 Cosinus, sinus, tangente

Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu $\theta$ , les trois côtés ont des noms : l’hypoténuse (opposée à l’angle droit, le plus long côté), le côté opposé à $\theta$ , et le côté adjacent à $\theta$ (le côté de l’angle droit touchant $\theta$ ).

Définition 69.3 (Rapports trigonométriques)

Pour un angle aigu $\theta$ d’un triangle rectangle :

\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} .

Ces rapports ne dépendent que de $\theta$ , pas de la taille du triangle (tous les triangles rectangles de même angle aigu sont des homothéties les uns des autres, par Thalès).

Les trois côtés vus depuis l’angle = B : l’hypoténuse [BC], le côté adjacent [BA], le côté opposé [AC]. — Les trois côtés vus depuis l’angle $\theta = \widehat B$ : l’hypoténuse $[BC]$ , le côté adjacent $[BA]$ , le côté opposé $[AC]$ .

Proposition 69.4 (Premières propriétés)

Pour tout angle aigu $\theta$ :

$0 < \cos\theta < 1$ et $0 < \sin\theta < 1$ (un côté de l’angle droit est plus court que l’hypoténuse) ;
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Démonstration. Noter $a$ le côté adjacent, $o$ le côté opposé, $h$ l’hypoténuse d’un triangle rectangle d’angle $\theta$ .

1. $0 < a < h$ et $0 < o < h$ , donc les deux rapports sont strictement entre $0$ et $1$ .

2. Par Pythagore, $a^2 + o^2 = h^2$ . Diviser tout par $h^2$ :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ . ∎

Méthode 69.5 (Trouver un côté)

Pour calculer un côté inconnu lorsqu’un côté et un angle aigu sont connus :

marquer l’angle connu et étiqueter les trois côtés (hypoténuse, opposé, adjacent) depuis cet angle ;
choisir le rapport (cos, sin ou tan) qui implique le côté connu et le côté cherché ;
écrire l’équation et la résoudre ;
contrôle de bon sens : l’hypoténuse doit sortir la plus longue.

Exemple 69.6

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure $8$ et un angle est $35^\circ$ ; calculer le côté qui lui est opposé. Le rapport impliquant le côté opposé et l’hypoténuse est le sinus :

\sin 35^\circ = \frac{\text{opposé}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{opposé} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

Pour le côté adjacent, utiliser le cosinus : $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ . Vérifier avec Pythagore : $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ .

Méthode 69.7 (Trouver un angle)

Lorsque deux côtés sont connus, calculer le rapport qu’ils forment, l’identifier comme cosinus, sinus ou tangente de l’angle inconnu, et appliquer la fonction inverse de la calculatrice ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ ) au rapport.

Exemple 69.8

Une échelle de $5$ m s’appuie contre un mur, son pied à $1.4$ m du mur. L’angle $\theta$ entre l’échelle et le sol satisfait

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{donc}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

Le problème de l’échelle : le côté adjacent (1.4 m) et l’hypoténuse (5 m) sont connus, donc le cosinus donne l’angle. — Le problème de l’échelle : le côté adjacent ( $1.4$ m) et l’hypoténuse ( $5$ m) sont connus, donc le cosinus donne l’angle.

Exemple 69.9 (Angles remarquables)

Deux triangles donnent des valeurs exactes. La moitié d’un carré de côté $1$ (un triangle rectangle isocèle) a pour hypoténuse $\sqrt2$ et des angles de $45^\circ$ :

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

La moitié d’un triangle équilatéral de côté $1$ donne les angles $30^\circ$ et $60^\circ$ :

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 Exercices

Exercice 69.1 ★

Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit $9$ et $12$ . Calculer son hypoténuse. Un autre a pour hypoténuse $17$ et un côté de l’angle droit $8$ : calculer l’autre côté.

Solution

Solution de Exercice 69.1.

Hypoténuse : $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Autre côté : $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ .

Exercice 69.2 ★

Un triangle a pour côtés $7$ , $24$ et $25$ . Est-il rectangle ? Même question pour les côtés $5$ , $6$ et $8$ .

Solution

Solution de Exercice 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : oui, rectangle (réciproque de Pythagore), avec l’angle droit opposé au côté $25$ .

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : non rectangle.

Exercice 69.3 ★

Dans un triangle $DEF$ rectangle en $D$ , avec l’angle en $E$ noté $\theta$ : quel côté est l’hypoténuse ? Quel côté est opposé à $\theta$ ? Écrire $\cos\theta$ , $\sin\theta$ et $\tan\theta$ comme rapports des côtés $DE$ , $DF$ , $EF$ .

Solution

Solution de Exercice 69.3.

L’hypoténuse est $[EF]$ (opposée à l’angle droit en $D$ ). Le côté opposé à $\theta = \widehat E$ est $[DF]$ ; le côté adjacent est $[DE]$ . D’où

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

Exercice 69.4 ★

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure $10$ et un angle aigu est $28^\circ$ . Calculer les deux côtés de l’angle droit (arrondir au dixième ; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ ).

Solution

Solution de Exercice 69.4.

Côté opposé : $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ . Côté adjacent : $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ . (Vérification : $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ .)

Exercice 69.5 ★

Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à l’angle $\theta$ mesure $6$ et le côté opposé mesure $4.5$ . Calculer $\tan\theta$ , puis $\theta$ (arrondir au degré ; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ ).

Solution

Solution de Exercice 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , donc $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ .

Exercice 69.6 ★★

Un drone vole à une altitude de $120$ m. Depuis un observateur au sol, on le voit sous un angle d’élévation de $32^\circ$ . À quelle distance horizontale de l’observateur se trouve le drone ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 69.6.

Dans le triangle rectangle formé par l’observateur, le point au sol sous le drone, et le drone : l’altitude $120$ m est le côté opposé à l’angle d’élévation, la distance horizontale $d$ est adjacente. Donc

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.

Exercice 69.7 ★★

Une rampe d’accès doit monter de $1.2$ m avec un angle d’au plus $5^\circ$ par rapport à l’horizontale. Quelle longueur minimale le long de la pente la rampe doit-elle avoir ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ ) ? Arrondir au dixième de mètre supérieur.

Solution

Solution de Exercice 69.7.

La montée ( $1.2$ m) est opposée à l’angle ; la longueur $L$ de la rampe est l’hypoténuse :

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m}.

La rampe doit mesurer au moins $13.8$ m.

Exercice 69.8 ★★

En utilisant Proposition 69.4 : un angle aigu $\theta$ satisfait $\cos\theta = 0.6$ . Calculer $\sin\theta$ sans trouver $\theta$ , puis $\tan\theta$ .

Solution

Solution de Exercice 69.8.

De $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ , et $\sin\theta > 0$ pour un angle aigu, donc $\sin\theta = 0.8$ . Puis $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ .

Exercice 69.9 ★★★

Justifier les valeurs exactes de Exemple 69.9 : dans le triangle rectangle isocèle de côtés de l’angle droit $1$ , calculer l’hypoténuse ; dans le triangle équilatéral de côté $1$ , calculer la hauteur, et en déduire le cosinus et le sinus de $30^\circ$ et $60^\circ$ .

Solution

Solution de Exercice 69.9.

Triangle rectangle isocèle de côtés de l’angle droit $1$ : hypoténuse $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; chaque angle aigu vaut $45^\circ$ , et

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

Triangle équilatéral de côté $1$ : sa hauteur le partage en deux triangles rectangles d’hypoténuse $1$ , de base $\frac12$ , et de hauteur $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pythagore). Les angles sont $60^\circ$ (à la base) et $30^\circ$ (au sommet). En lisant les rapports :

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .