Mathématiques universitaires — Licence 3 · Bachelor Year 3

5Représentations des groupes finis

Pour comprendre un groupe abstrait, le faire agir sur un espace vectoriel et utiliser l’algèbre linéaire — valeurs propres, traces, produits scalaires — sur l’action. Ce programme, la théorie des représentations, est étonnamment efficace pour les groupes finis sur $\C$ : toute représentation se scinde en irréductibles (Maschke), les irréductibles sont repérées par leurs caractères (traces), et les caractères satisfont des relations d’orthogonalité qui rendent les calculs mécaniques. Le chapitre construit ce calcul et ses premiers chefs-d’œuvre — tables de caractères des petits groupes — et le problème du week-end récolte un théorème bien au-delà de la pure théorie des groupes : le théorème $p^aq^b$ de Burnside. Tout au long, $G$ est un groupe fini et tous les espaces vectoriels sont de dimension finie sur $\C$ .

5.1 Représentations, Maschke, Schur

Définition 5.1

Une représentation de $G$ est un morphisme $\rho \colon G \to GL(V)$ pour un $\C$ -espace vectoriel $V$ ; $\dim V$ est son degré. Un sous-espace $W \subseteq V$ est invariant si $\rho(g)W \subseteq W$ pour tout $g$ ; la restriction fait de $W$ une sous-représentation. $\rho$ est irréductible si $V \neq 0$ et ses seuls sous-espaces invariants sont $0$ et $V$ . Un morphisme entre $(\rho, V)$ et $(\sigma, W)$ est une application linéaire $f\colon V \to W$ avec $f\rho(g) = \sigma(g)f$ pour tout $g$ (équivariance) ; les $f$ bijectifs sont des isomorphismes.

Exemple 5.2

(a) Degré $1$ : morphismes $G \to \C^\times$ . (b) La représentation régulière : $V = \C^G$ de base $(e_h)_{h \in G}$ , $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ; degré $\abs G$ . (c) Une action de permutation de $G$ sur un ensemble fini $X$ donne la représentation de permutation sur $\C^X$ : $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$ . (d) $S_n$ agit sur $\C^n$ en permutant les coordonnées ; l’hyperplan $\{\sum x_i = 0\}$ est invariant : la représentation standard, de degré $n - 1$ .

Théorème 5.3 (Maschke)

Tout sous-espace invariant $W$ d’une représentation $(V, \rho)$ admet un supplémentaire invariant. Par conséquent toute représentation est somme directe d’irréductibles (semisimplicité).

Démonstration. Soit $p \colon V \to V$ une projection d’image $W$ (choisir un quelconque supplémentaire). La moyenner sur le groupe :

\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.

Chaque terme envoie $V$ dans $W$ ( $W$ invariant), et fixe $W$ point par point : pour $w \in W$ , $\rho(g)^{-1}w \in W$ , $p$ le fixe, et $\rho(g)$ le ramène — donc $\tilde p$ est encore une projection sur $W$ . Elle est équivariante : pour $h \in G$ , $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ réindexe la même somme. Donc $\ker \tilde p$ est un supplémentaire invariant de $W$ . En itérant sur les facteurs (dimension finie) on décompose $V$ en irréductibles. ∎

Théorème 5.4 (Lemme de Schur)

Soit $f \colon V \to W$ un morphisme de représentations irréductibles. Alors $f = 0$ ou $f$ est un isomorphisme ; et si $(V,\rho) = (W,\sigma)$ , alors $f = \lambda\,\mathrm{id}$ pour un $\lambda \in \C$ . D’où $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ vaut $1$ si $V \cong W$ , $0$ sinon.

Démonstration. $\ker f$ et $\operatorname{im} f$ sont invariants (équivariance), donc chacun est $0$ ou tout : soit $f = 0$ , soit $f$ est injectif d’image pleine. Si $V = W$ : $f$ a une valeur propre $\lambda$ ( $\C$ algébriquement clos) ; $f - \lambda\,\mathrm{id}$ est un morphisme non injectif $V \to V$ , donc $0$ . Pour le dénombrement de dimension quand $V \cong W$ : en fixant un isomorphisme $u$ , tout morphisme $f$ donne l’endomorphisme $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$ : $f = \lambda u$ . ∎

5.2 Caractères et orthogonalité

Définition 5.5

Le caractère de $(V, \rho)$ est $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$ . Il vérifie $\chi_\rho(e) = \dim V$ , $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (les traces sont invariantes par conjugaison) : les caractères sont des fonctions de classe — éléments de l’espace $\mathcal{CF}(G)$ des fonctions constantes sur les classes de conjugaison, muni du produit scalaire hermitien

\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \overline{\varphi(g)}\,\psi(g).

Proposition 5.6

$\rho(g)$ est diagonalisable à valeurs propres racines de l’unité ; $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$ , et $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ avec égalité ssi $\rho(g)$ est scalaire. Les caractères s’ajoutent sur les sommes directes : $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ .

Démonstration. $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ pour $N = \abs G$ (Lagrange) : $\rho(g)$ annule $X^N - 1$ , scindé à racines simples, donc diagonalisable à valeurs propres $\lambda_i \in \mu_N$ . Alors $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i = \overline{\chi(g)}$ , et $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i} \leq \dim V$ , avec égalité dans l’inégalité triangulaire ssi toutes les $\lambda_i$ sont égales, i.e. $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ . Additivité sur les sommes directes : traces par blocs. ∎

Lemme 5.7

Soient $(V, \rho)$ , $(W, \sigma)$ des représentations. L’opérateur de moyenne sur $\operatorname{Hom}(W, V)$ ,

c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},

est une projection sur $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ , et pour l’application $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ on a $\operatorname{tr}\Phi_g = \chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$ .

Démonstration. $c(A)$ est équivariant (réindexer la somme comme chez Maschke), et $c$ fixe les applications équivariantes (chaque terme égale $A$ ) : $c$ est une projection d’image $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ . Trace : en bases, $\Phi_g(A) = BAC$ avec $B = \rho(g)$ , $C = \sigma(g)^{-1}$ ; sur la base $(E_{kl})$ des matrices, $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$ , donc le coefficient de $E_{kl}$ dans $\Phi_g(E_{kl})$ est $b_{kk}c_{ll}$ : $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$ , et $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$ . ∎

Théorème 5.8 (Premières relations d’orthogonalité)

Soient $\rho, \sigma$ irréductibles. Alors

\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle = \begin{cases} 1 & \text{si } \rho \cong \sigma,\\ 0 & \text{sinon~:} \end{cases}

les caractères irréductibles forment une famille orthonormée dans $\mathcal{CF}(G)$ .

Démonstration. La trace d’une projection est la dimension de son image :

\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c = \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g = \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)} = \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,

et le lemme de Schur évalue le premier membre à $\delta_{\rho \cong \sigma}$ . ∎

Corollaire 5.9

Décomposer $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ en irréductibles distincts ( $V_i \not\cong V_j$ ). Alors $m_i = \langle \chi_{V_i}, \chi_V\rangle$ : les multiplicités — donc la représentation à isomorphisme près — sont déterminées par le caractère. De plus $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i m_i^2$ ; en particulier $V$ est irréductible ssi $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$ .

Démonstration. $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ (Proposition 5.6) ; prendre les produits scalaires avec chaque $\chi_{V_i}$ et utiliser l’orthonormalité. Deux représentations de mêmes caractères ont mêmes multiplicités, donc sont isomorphes. ∎

Théorème 5.10 (La représentation régulière)

Soient $\chi_1, \dots, \chi_r$ les caractères irréductibles distincts, de degrés $n_i = \chi_i(e)$ . La représentation régulière se décompose avec multiplicités $m_i = n_i$ ; par suite

\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G, \qquad \sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).

Démonstration. Le caractère régulier : $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh = h\}$ , qui vaut $\abs G$ pour $g = e$ et $0$ sinon. Donc $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle = \frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$ . Évaluer $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ en $e$ et en $g \neq e$ donne les deux identités affichées. ∎

Théorème 5.11

Les caractères irréductibles forment une base orthonormée de $\mathcal{CF}(G)$ : le nombre de représentations irréductibles égale le nombre de classes de conjugaison de $G$ .

Démonstration. Il ne reste que la complétude : soit $f \in \mathcal{CF}(G)$ orthogonal à tout $\chi_i$ ; on montre $f = 0$ . Pour une représentation $(V,\rho)$ , poser $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$ . Elle est équivariante : pour $h \in G$ ,

\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\rho(hgh^{-1}) = \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') = T_{f,\rho}

( $f$ est une fonction de classe). Si $\rho$ est irréductible de degré $n$ , Schur donne $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ avec

\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n} = \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g) = \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .

Donc $T_{f,\rho} = 0$ sur toute irréductible, d’où (sommes directes) sur toute représentation — en particulier sur la régulière. L’appliquer au vecteur de base $e_e$ : $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$ , forçant chaque $\overline{f(g)} = 0$ . Ainsi la famille orthonormée $(\chi_i)$ engendre $\mathcal{CF}(G)$ , dont la dimension est le nombre de classes de conjugaison. ∎

Corollaire 5.12 (Orthogonalité des colonnes)

Pour $g, h \in G$ :

\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) = \begin{cases} \abs{Z_G(g)} & \text{si } g, h \text{ sont conjugués},\\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}

Démonstration. Soient $g_1, \dots, g_r$ des représentants des classes, $c_j$ les tailles de classes. La matrice $r \times r$ $U_{ij} = \sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ a des lignes orthonormées (Théorème 5.8 écrite par classes : $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$ ), i.e. $UU^* = I$ ; une matrice carrée avec $UU^* = I$ a aussi $U^*U = I$ : les colonnes sont orthonormées, ce qui se déplie en l’identité affichée ( $\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$ , la relation orbite–stabilisateur pour la conjugaison). ∎

Proposition 5.13 (Caractères de dimension un ; relèvement)

(a) $G$ est abélien ssi toutes ses représentations irréductibles sont de degré $1$ ; le nombre de caractères de degré $1$ de tout $G$ est $[G : D(G)]$ (ce sont les caractères de l’abélianisé). (b) Si $N \trianglelefteq G$ , les représentations irréductibles de $G/N$ se relèvent (composer avec $G \to G/N$ ) en exactement les représentations irréductibles de $G$ dont le noyau contient $N$ .

Démonstration. (a) Si $G$ est abélien, chaque classe est un singleton : $r = \abs G$ , et $\sum n_i^2 = \abs G$ force tous les $n_i = 1$ ; réciproquement si tous les $n_i = 1$ , la représentation régulière est somme d’unidimensionnelles, donc $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ est simultanément diagonalisable, d’où commutative, et $\rho_{\mathrm{reg}}$ est fidèle : $G$ abélien. Les représentations de degré $1$ sont des morphismes $G \to \C^\times$ à but abélien : elles se factorisent par $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ (Exercice 1.9), et les caractères distincts de l’abélien $G^{\mathrm{ab}}$ sont au nombre de $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (autant de classes, tous degrés $1$ ). (b) Composer avec la projection préserve l’irréductibilité (les sous-espaces invariants se correspondent), et une représentation triviale sur $N$ se factorise par le quotient (Théorème 1.3). ∎

5.3 Tables de caractères

Définition 5.14

La table de caractères de $G$ est la matrice $r \times r$ $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ : lignes indexées par les caractères irréductibles, colonnes par les classes de conjugaison (avec leurs tailles affichées). Les lignes sont orthonormées pour le produit pondéré, les colonnes orthogonales (Corollaire 5.12) : la table est sévèrement surdéterminée, ce qui la rend calculable.

Exemple 5.15 (La table de $S_3$ )

Classes : $e$ (taille $1$ ), transpositions ( $3$ ), $3$ -cycles ( $2$ ) ; donc $r = 3$ irréductibles, de degrés $n_i$ avec $\sum n_i^2 = 6$ : $1, 1, 2$ . Degré $1$ : triviale $\mathbf 1$ et signature $\varepsilon$ . La dernière ligne suit de l’orthogonalité des colonnes (ou de $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ ) :

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

Vérification : $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}} \rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : irréductible.

Exemple 5.16 (La table de $S_4$ )

Classes : $e$ [1], transpositions [6], doubles transpositions [3], $3$ -cycles [8], $4$ -cycles [6] : cinq irréductibles, $\sum n_i^2 = 24$ avec deux de degré $1$ ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ; $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ) : degrés $1, 1, 2, 3, 3$ . Le degré $2$ se relève de $S_4/V \cong S_3$ (Proposition 5.13(b), $V$ le groupe de Klein) ; degré $3$ : la représentation standard et sa torsion par $\varepsilon$ :

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; $\chi_2$ évalue la table de $S_3$ sur l’image de chaque classe mod $V$ .) Toutes les vérifications d’orthogonalité de lignes et colonnes passent — en faire deux est l’échauffement de Exercice 5.3.

Méthode 5.17

Pour construire une table de caractères : (1) lister les classes de conjugaison et leurs tailles ; (2) compter les caractères de degré $1$ via $G/D(G)$ et les écrire ; (3) trouver les degrés restants par $\sum n_i^2 = \abs G$ (petite combinatoire d’entiers) ; (4) obtenir des irréductibles bon marché : relever des quotients, soustraire $\mathbf 1$ des caractères de permutation (vérifier $\langle\chi,\chi\rangle = 1$ ), multiplier des caractères connus par des degrés $1$ ; (5) terminer les lignes inconnues par orthogonalité des colonnes — chaque colonne est orthogonale aux colonnes déjà complètes, et la colonne $e$ porte les degrés. Tout vérifier par un balayage d’orthogonalité complet.

La représentation régulière de S_3, diagonalisée par blocs : ℂ[S_3] ℂ × ℂ × M_2(ℂ), dimensions 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. En général ℂ[G] _i M_n_i(ℂ) : l’identité n_i2 = G est un énoncé sur des blocs matriciels. — La représentation régulière de $S_3$ , diagonalisée par blocs : $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$ , dimensions $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$ . En général $\C[G] \cong \prod_i M_{n_i}(\C)$ : l’identité $\sum n_i^2 = \abs G$ est un énoncé sur des blocs matriciels.

5.4 Exercices

Exercice 5.1 ★

(a) Montrer que les caractères irréductibles de $\Z/n\Z$ sont les $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ , $k = 0, \dots, n-1$ , et écrire la table de caractères de $\Z/4\Z$ . (b) Vérifier les deux relations d’orthogonalité dessus — et reconnaître la matrice : où ce livre l’a-t-il déjà vue ?

Solution

Solution de Exercice 5.1.

(a) $\Z/n\Z$ est abélien : toutes les irréductibles sont de degré $1$ (Proposition 5.13), c’est-à-dire des morphismes $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$ , déterminés par $\chi(\bar 1) = \omega$ avec $\omega^n = 1$ : les $n$ caractères $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ . Pour $n = 4$ (classes $=$ éléments $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$ ) :

\begin{array}{c|cccc} & \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu \end{array}

(b) Lignes : $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m \eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (somme géométrique) ; colonnes de même. La matrice $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ est la matrice de la transformée de Fourier discrète — le même filtre en racines de l’unité que dans le chapitre des fonctions génératrices du volume de L2 ; l’orthogonalité des caractères généralise la formule d’inversion de la TFD.

Exercice 5.2 ★

Soit $G$ agissant sur un ensemble fini $X$ et $\chi$ le caractère de la représentation de permutation $\C^X$ . (a) Montrer $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ et $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{orbites}\}$ — le lemme de dénombrement de Burnside (Exercice 1.5) est un calcul de caractères. (b) Supposer l’action transitive, donc $\chi = \mathbf 1 + \psi$ . Montrer que $\psi$ est irréductible ssi l’action est $2$ -transitive (transitive sur les couples ordonnés de points distincts). (Calculer $\langle\chi,\chi\rangle$ comme le nombre d’orbites sur $X \times X$ .) (c) Conclure que la représentation standard de $S_n$ ( $n \geq 2$ ) est irréductible.

Solution

Solution de Exercice 5.2.

(a) La matrice de $\rho(g)$ dans la base $(e_x)$ est une matrice de permutation, de trace le nombre de $x$ avec $g\cdot x = x$ . Alors

\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{orbites}\}

par le lemme de dénombrement de Burnside (Exercice 1.5) — de façon équivalente, on calcule la multiplicité de la représentation triviale, dont l’espace isotypique est l’espace des vecteurs $G$ -invariants, de dimension le nombre d’orbites (un indicateur par orbite).

(b) Comme $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) = \operatorname{Fix}_X(g)^2$ , la partie (a) appliquée à $X \times X$ donne $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{orbites sur } X\times X\}$ ( $\chi$ est réel). En écrivant $\chi = \mathbf 1 + \psi$ : $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (transitivité), donc $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$ . L’action sur $X\times X$ a la diagonale comme une orbite ; il y a exactement une autre orbite ssi $G$ est transitif sur les paires distinctes : $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ ssi $2$ -transitive (Corollaire 5.9).

(c) $S_n$ est $2$ -transitive sur $\{1,\dots,n\}$ (envoyer toute paire distincte n’importe où) : $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ est irréductible.

Exercice 5.3 ★

Reconstruire la table de $S_3$ depuis zéro en suivant la Méthode 5.17, puis vérifier deux relations d’orthogonalité de lignes et deux de colonnes dans la table de $S_4$ de Exemple 5.16. Décomposer le caractère de permutation de $S_4$ agissant sur $\{1,2,3,4\}$ et le caractère $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (carré pointwise) en irréductibles.

Solution

Solution de Exercice 5.3.

$S_3$ : trois classes, $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$ ; les deux caractères de degré $1$ sont $\mathbf 1, \varepsilon$ ( $[S_3 : A_3] = 2$ ) ; la troisième ligne $(2, a, b)$ suit de l’orthogonalité des colonnes avec la colonne de $e$ : $1 - 1 + 2a = 0$ et $1 + 1 + 2b = 0$ : $a = 0$ , $b = -1$ — la table de Exemple 5.15.

Vérifications $S_4$ (lignes) : $\langle\chi_{\mathrm{std}}, \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0$ ; $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12 + 8 + 0) = 1$ . Colonnes : $e$ contre $(1\,2)$ : $1 - 1 + 0 + 3 - 3 = 0$ ; $(1\,2)$ contre elle-même : $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 = \abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$ .

Caractère de permutation sur $4$ points : $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf 1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (comptages de points fixes ; soustraire la ligne du haut). Pour $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$ :

\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} = 1,\quad \langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad \langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad \langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad \langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:

$\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (dimensions : $9 = 1 + 2 + 3 + 3$ ).

Exercice 5.4 ★★

Calculer les tables de caractères de $D_4$ et de $Q_8$ . Conclure que deux groupes non isomorphes peuvent avoir des tables de caractères identiques — quelles données groupes-théoriques la table capture-t-elle néanmoins dans cette paire (ordres des centres, abélianisés, nombre d’involutions) ? Lesquelles échoue-t-elle à capturer ?

Solution

Solution de Exercice 5.4.

Les deux groupes ont cinq classes et le motif de degrés $(1,1,1,1,2)$ (quatre degrés $1$ issus de l’abélianisé $\cong (\Z/2\Z)^2$ , puis $\sum n_i^2 = 8$ ). En ordonnant les classes $e$ , $z$ (l’involution centrale : $r^2$ , resp. $-1$ ), et les trois classes à deux éléments :

\begin{array}{c|ccccc} & e & z & C_1 & C_2 & C_3\\ \hline \chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{array}

(la dernière ligne par orthogonalité des colonnes). Tables identiques pour $D_4$ et $Q_8$ , qui ne sont pas isomorphes (Problème 1.1). La table capture bien : $\abs G$ , tailles des classes, le centre ( $\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\ \forall i\}$ : ordre $2$ dans les deux cas), l’abélianisé, tout le treillis des sous-groupes normaux (noyaux et intersections, Exercice 5.6). Elle échoue à capturer les ordres d’éléments : $D_4$ a cinq involutions, $Q_8$ en a une — le type d’isomorphisme est vraiment plus fin que la table de caractères.

Exercice 5.5 ★★

Table de caractères de $A_4$ : classes $e$ [1], doubles transpositions [3], et deux classes de $3$ -cycles [4], [4]. (a) Expliquer le scindage des $3$ -cycles (comparer les centralisateurs dans $S_4$ et $A_4$ , comme dans Exercice 1.11). (b) Trouver les trois caractères de degré $1$ (via $A_4/V \cong \Z/3\Z$ ) et le caractère de degré $3$ (restreindre $\chi_{\mathrm{std}}$ de $S_4$ ), et assembler la table. (c) Lire les sous-groupes normaux de $A_4$ sur la table (noyaux $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ et leurs intersections).

Solution

Solution de Exercice 5.5.

(a) Dans $S_4$ , le centralisateur de $(1\,2\,3)$ a ordre $24/8 = 3$ : c’est $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$ . Donc $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ a ordre $3$ et la classe de $A_4$ a $12/3 = 4$ éléments : les huit $3$ -cycles se scindent en deux classes de $A_4$ (représentées par $(1\,2\,3)$ et son inverse).

(b) $A_4/V \cong \Z/3\Z$ donne trois caractères de degré $1$ ( $\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; les classes de $3$ -cycles s’envoient sur $\bar1, \bar2$ ) ; la restriction de $\chi_{\mathrm{std}}$ reste irréductible ( $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3 \cdot 1 + 0 + 0) = 1$ ) :

\begin{array}{c|cccc} A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] & (1\,3\,2)\,[4]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\ \chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\ \chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0 \end{array}

(c) Noyaux : $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$ ; $\ker\chi_3 = \{e\}$ (aucune autre entrée n’a module $3$ ). Les sous-groupes normaux sont les intersections de noyaux (Exercice 5.6) : $\{e\}$ , $V$ , $A_4$ — en particulier $A_4$ n’a pas de sous-groupe normal d’ordre $2$ ni d’indice $2$ .

Exercice 5.6 ★★

(a) Montrer que $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ est le noyau de la représentation sous-jacente (Proposition 5.6, cas d’égalité). (b) Montrer que tout sous-groupe normal de $G$ est une intersection de noyaux de caractères irréductibles. (Représenter $G/N$ fidèlement : sa représentation régulière.) (c) En déduire : $G$ est simple ssi $\ker\chi_i = \{e\}$ pour tout irréductible non trivial $\chi_i$ — la simplicité se lit sur la table de caractères.

Solution

Solution de Exercice 5.6.

(a) Si $\chi(g) = \chi(e) = n$ : l’égalité dans $\abs{\chi(g)} \leq n$ force $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ (Proposition 5.6) avec $n\lambda = n$ : $\rho(g) = \mathrm{id}$ . La réciproque est claire.

(b) Soit $N \trianglelefteq G$ . La représentation régulière de $G/N$ est fidèle ; la décomposer en irréductibles de $G/N$ et les relever à $G$ (Proposition 5.13(b)) : caractères irréductibles $\chi_{i_1}, \dots$ de $G$ dont les noyaux contiennent $N$ et dont le noyau commun est exactement l’image réciproque de $\{e\}$ , i.e. $N$ (fidélité sur le quotient). Donc $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$ .

(c) Si $G$ est simple : pour un irréductible non trivial $\chi$ , $\ker\chi \trianglelefteq G$ n’est pas $G$ (une représentation irréductible triviale sur tout $G$ est le caractère trivial), donc $\ker\chi = \{e\}$ . Réciproquement, supposons tous les noyaux non triviaux triviaux, et soit $N \trianglelefteq G$ avec $N \neq G$ . Dans l’expression de $N$ en (b) comme intersection de noyaux, un caractère impliqué est non trivial (si tous étaient triviaux, l’intersection serait $G$ ), et son noyau est $\{e\}$ : $N = \{e\}$ . Donc les seuls sous-groupes normaux sont $\{e\}$ et $G$ .

Exercice 5.7 ★★

Degrés pour $|G| = 8$ : montrer qu’un groupe non abélien d’ordre $8$ a le motif de degrés $(1,1,1,1,2)$ , et que sa représentation de degré $2$ est fidèle. Plus généralement montrer qu’un groupe non abélien d’ordre $p^3$ a le motif $(1^{\,p^2}, p, \dots, p)$ avec $p^2$ uns et $p - 1$ caractères de degré $p$ . (Utiliser $[G : D(G)]$ et $\sum n_i^2 = |G|$ ; ici $D(G) = Z(G)$ a ordre $p$ .)

Solution

Solution de Exercice 5.7.

Ordre $8$ non abélien : le nombre de caractères de degré $1$ est $[G : D(G)]$ , un diviseur propre de $8$ (non abélien : $D(G) \neq \{e\}$ ), et $\sum n_i^2 = 8$ . Avec $k$ uns et les degrés restants $\geq 2$ : $8 - k \equiv 0$ avec des carrés $\geq 4$ , et $k \mid 8$ , $k < 8$ . $k = 4$ : un degré $2$ — cohérent. $k = 2$ : $6$ restants, pas une somme de carrés $\geq 4$ . $k = 1$ : impossible, car $k = [G : D(G)] \geq 2$ — $G/D(G)$ est un $2$ -groupe abélien non trivial, car $G$ est un $2$ -groupe avec $D(G) \neq G$ par résolubilité des $p$ -groupes (Exemple 1.30). Donc le motif est $(1,1,1,1,2)$ . Fidélité de $\chi_5$ : les quatre caractères de degré $1$ contiennent tous $D(G)$ dans leurs noyaux ; si $\ker\chi_5 \supseteq N \neq \{e\}$ pour un normal minimal $N$ ( $N \subseteq D(G)$ ou non — prendre $N \subseteq \ker\chi_5$ non trivial), alors $N$ serait dans les cinq noyaux, dont l’intersection est triviale (la représentation régulière est fidèle) : contradiction. Ordre $p^3$ non abélien : $Z(G)$ a ordre $p$ (ordre $p^2$ rendrait $G/Z$ cyclique, $G$ abélien), $G/Z(G)$ d’ordre $p^2$ est abélien, donc $D(G) \subseteq Z(G)$ , et $D(G) \ne \{e\}$ : $D(G) = Z(G)$ , donnant $p^2$ caractères de degré $1$ . Les degrés restants vérifient $\sum n_i^2 = p^3 - p^2$ avec chaque $n_i > 1$ divisant $\abs G$ (Problème 5.1, question 8) d’où $n_i \in \{p\}$ ( $n_i = p^2$ dépasserait : $p^4 > p^3 - p^2$ ) : exactement $p - 1$ caractères de degré $p$ .

Exercice 5.8 ★★★

Pour des groupes finis $G, H$ : montrer que les fonctions de classe $\chi(g)\psi(h)$ sur $G \times H$ , pour $\chi, \psi$ caractères irréductibles de $G, H$ , sont exactement les caractères irréductibles de $G \times H$ . (L’orthonormalité est un calcul direct ; la complétude en comptant les classes.) En déduire la table de caractères de $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ et redériver la Proposition 5.13 pour les groupes abéliens finis via le théorème de structure.

Solution

Solution de Exercice 5.8.

Définir, pour des représentations $\rho, \sigma$ de $G, H$ dans $V, W$ , la représentation $\rho \boxtimes \sigma$ de $G \times H$ sur $V \otimes W$ — concrètement, sur les matrices : $(\rho\boxtimes \sigma)(g,h)$ est le produit de Kronecker $\rho(g)\otimes \sigma(h)$ , dont la trace est $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) = \chi(g)\psi(h)$ (le produit de Kronecker de matrices $A \otimes B$ a pour trace $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ : sa diagonale est $a_{kk}b_{ll}$ ). Donc $\chi\psi$ est un caractère, et

\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H} = \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h} \overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h) = \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H = \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.

En particulier $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$ : chaque $\chi\psi$ est irréductible (Corollaire 5.9). Ce sont $r_Gr_H$ caractères irréductibles distincts ; les classes de $G\times H$ sont les produits de classes ( $(g,h) \sim (g',h')$ composante par composante), donc il y en a $r_Gr_H$ : la liste est complète (Théorème 5.11). Pour $(\Z/2\Z)^2$ : les quatre caractères de signe $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — la table du bloc en haut à gauche de Exercice 5.4. Un groupe abélien fini est un produit de groupes cycliques (Corollaire 3.13) ; ses caractères irréductibles sont des produits des cycliques (Exercice 5.1) : tous de degré $1$ .

Exercice 5.9 ★★★

La table de caractères de $A_5$ (classes de tailles $1, 15, 20, 12, 12$ de Exercice 1.11) : (a) Montrer que les degrés sont $1, 3, 3, 4, 5$ (la seule solution de $\sum n_i^2 = 60$ avec $n_1 = 1$ et, en utilisant Exercice 5.6(c) avec la simplicité, aucun autre $n_i = 1$ ). (b) Construire le caractère de degré $4$ (action de permutation sur $5$ points) et le caractère de degré $5$ (l’action sur les six $5$ -sous-groupes de Sylow donne le degré $6 = 1 + 5$ ; vérifier l’irréductibilité), et compléter les deux lignes de degré $3$ par orthogonalité des colonnes : des entrées en nombre d’or $\frac{1\pm\sqrt5}2$ apparaissent sur les classes de $5$ -cycles. (c) Vérifier sur la table finie que $A_5$ est simple (Exercice 5.6(c)).

Solution

Solution de Exercice 5.9.

(a) $D(A_5) = A_5$ (simple non abélien), donc le seul caractère de degré $1$ est $\mathbf 1$ (Proposition 5.13). Il faut $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ avec chaque $n_i \geq 2$ ; en testant les carrés $4, 9, 16, 25, 36, 49$ : le seul multiensemble qui marche est $\{9, 9, 16, 25\}$ : avec plus grand carré $49$ , le reste $10$ n’est pas une somme de trois carrés $\geq 4$ ; avec $36$ , le reste $23$ non plus ( $16 + 4 + 4 = 24$ , $9 + 9 + 4 = 22$ ) ; avec plus grand $25$ , on vérifie $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ marche et les variantes $25 + 25$ , $25 + 16 + 16$ , $25 + 16 + 4$ échouent ; avec plus grand $16$ : $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$ . Degrés : $1, 3, 3, 4, 5$ .

(b) Permutation sur $5$ points : points fixes $(5, 1, 2, 0, 0)$ , donc $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ avec $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60} = 1$ : irréductible. Action sur les six $5$ -Sylow : une involution en fixe exactement $2$ (les normalisateurs sont diédraux d’ordre $10$ , chacun contenant $5$ involutions : $30$ incidences pour $15$ involutions), un $3$ -élément en fixe $0$ (pas d’ordre $3$ dans $D_5$ ), un $5$ -élément en fixe exactement $1$ (il appartient à un unique Sylow) : caractère de permutation $(6, 2, 0, 1, 1)$ , et $\chi_5 = (5, 1, -1, 0, 0)$ avec norme $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} = 1$ : irréductible. Deux lignes $(3, a, b, c, d)$ , $(3, a', b', c', d')$ restent. Normes de colonnes (Corollaire 5.12) : sur la classe de $(1\,2)(3\,4)$ , $\abs{Z} = 4$ : $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$ ; colonne contre $e$ : $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a') = 0$ : $a + a' = -2$ , $a^2 + a'^2 = 2$ : $a = a' = -1$ . Sur les $3$ -cycles, $\abs Z = 3$ : $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$ : $b = b' = 0$ . Sur chaque $5$ -classe, $\abs Z = 5$ : la colonne contre $e$ lit $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$ , donc $c + c' = 1$ ; et $c^2 + c'^2 = 3$ : $\{c, c'\} = \bigl\{\frac{1+\sqrt5}2, \frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — le nombre d’or et son conjugué ; la seconde $5$ -classe porte les valeurs échangées (les deux lignes doivent être orthogonales).

(c) Dans la table finie, aucune entrée d’une ligne non triviale n’égale son degré hors de la première colonne : chaque noyau $\{g : \chi_i(g) = n_i\}$ est trivial. Par Exercice 5.6(c), $A_5$ est simple.

Exercice 5.10 ★★

Soit $\rho$ une représentation irréductible de degré $n$ et $z \in Z(G)$ . Montrer $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ avec $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ un morphisme (le caractère central), et en déduire $|\chi(z)| = n$ pour $z$ central. Application : si $G$ a une représentation irréductible fidèle, alors $Z(G)$ est cyclique.

Solution

Solution de Exercice 5.10.

$\rho(z)$ commute avec tout $\rho(g)$ ( $z$ est central), i.e. $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (Schur) : $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ , et $z \mapsto \lambda_z$ est multiplicatif : un morphisme $Z(G) \to \C^\times$ . Alors $\chi(z) = n\lambda_z$ avec $\abs{\lambda_z} = 1$ (racine de l’unité) : $\abs{\chi(z)} = n$ . Si $\rho$ est fidèle, $\lambda$ est injectif sur $Z(G)$ ( $\rho(z) = \mathrm{id} \iff \lambda_z = 1$ ), donc $Z(G)$ s’injecte dans $\C^\times$ ; un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique (Théorème 4.12).

Exercice 5.11 ★★

(Projections isotypiques) Soit $(V, \rho)$ une représentation de $G$ et $\chi_i$ un caractère irréductible de degré $n_i$ . Définir

p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G} \overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).

(a) Montrer que $p_i$ est $G$ -équivariant, et calculer sa restriction à une sous-représentation irréductible $W \subseteq V$ de caractère $\chi_j$ : c’est $\delta_{ij}\, \mathrm{id}_W$ (Schur ; prendre les traces pour identifier le scalaire). (b) En déduire que $p_i$ est une projection sur la somme $V_i$ de toutes les sous-représentations irréductibles de caractère $\chi_i$ (la composante isotypique), que $\sum_ip_i = \mathrm{id}_V$ , et que la décomposition $V = \bigoplus_iV_i$ est canonique — contrairement au scindage plus fin de chaque $V_i$ en irréductibles. (c) Pour la représentation régulière de $S_3$ et le caractère signature $\varepsilon$ , écrire $p_\varepsilon$ explicitement comme élément de l’algèbre du groupe et vérifier $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ à la main.

Solution

Solution de Exercice 5.11.

(a) Équivariance : $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ réindexe la somme ( $g \mapsto hgh^{-1}$ , et $\chi_i$ est une fonction de classe) : $p_i$ commute avec l’action. Sur une irréductible $W$ de caractère $\chi_j$ , Schur fait de la restriction un scalaire $\lambda\,\mathrm{id}_W$ ; en prenant les traces,

\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g \overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i, \chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}

(première orthogonalité) : $\lambda = \delta_{ij}$ .

(b) Décomposer $V$ en irréductibles (Maschke) : $p_i$ agit comme l’identité sur les facteurs de caractère $\chi_i$ et comme $0$ sur tous les autres, donc $p_i$ est la projection sur leur somme $V_i$ le long de la somme du reste ; l’image $V_i$ ne dépend pas de la décomposition choisie (c’est l’ensemble des vecteurs fixés par $p_i$ , défini sans choix). $\sum_ip_i$ agit comme l’identité sur chaque facteur irréductible : c’est $\mathrm{id}_V$ . Le scindage plus fin de $V_i \cong W_i^{\oplus m_i}$ implique le choix d’une base de $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$ : il n’est pas canonique.

(c) Pour $\varepsilon$ (degré $1$ ) : $p_\varepsilon = \frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$ , i.e. dans l’algèbre du groupe

p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3) + (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .

En élevant au carré : le coefficient de $g$ dans $p_\varepsilon^2$ est $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) = \frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 = \frac{6}{36}\varepsilon(g)$ : $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ . (Son image dans la représentation régulière est la droite engendrée par $\sum_g\varepsilon(g)e_g$ : la représentation signature apparaît avec multiplicités $1$ , comme le demande la théorie générale.)

Exercice 5.12 ★★

(Lire une table) La table de caractères d’un certain groupe $G$ d’ordre $24$ est partiellement connue : elle a $5$ classes, de tailles $1, 6, 8, 6, 3$ , et des degrés $1, 1, 2, 3, 3$ . (a) Retrouver la table complète : les deux caractères linéaires (un trivial ; l’autre prend la valeur $-1$ exactement sur les classes de tailles $6$ et $6$ ), puis le caractère de degré $2$ via l’orthogonalité des colonnes avec la colonne de l’identité, puis les deux caractères de degré $3$ de même (l’un est $\chi_2\chi_4$ ). (b) Identifier $G$ ( $\cong S_4$ : comparer les classes aux types de cycles), et extraire de la table les sous-groupes normaux via Exercice 5.6 : noyaux de $\chi_2$ (indice $2$ : $A_4$ ) et de $\chi_3$ (le Klein $V_4$ ), et rien d’autre que $\{e\}, G$ . (c) Expliquer comment la table montre $G/V_4 \cong S_3$ (quels caractères se factorisent à travers le quotient ?).

Solution

Solution de Exercice 5.12.

(a) Ordonner les classes $e$ [1], transpositions [6], $3$ -cycles [8], $4$ -cycles [6], doubles transpositions [3]. Le second caractère linéaire est $\chi_2 = \varepsilon$ avec valeurs $1, -1, 1, -1, 1$ . Pour le caractère de degré $2$ $\chi_3$ , l’orthogonalité de chaque colonne avec la colonne de l’identité ( $\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ pour $g \neq e$ ) donne, sur les transpositions : $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 + \chi_5) = 0$ ; le tour de signature $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (un caractère de degré $3$ multiplié par un linéaire reste irréductible — même norme) fait s’annuler $\chi_4 + \chi_5$ sur les classes impaires : $\chi_3 = 0$ là. Sur les $3$ -cycles : $1 + 1 + 2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ avec $\chi_5 = \chi_4$ sur les classes paires ; la colonne de $c_3$ avec elle-même donne des données en $\abs{\chi_3}^2$ ; en résolvant le petit système (utiliser aussi l’orthogonalité de ligne de $\chi_3$ avec $\mathbf 1$ et $\varepsilon$ ) : $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$ , puis $\chi_4 = (3, 1, 0, -1, -1)$ et $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1, 0, 1, -1)$ . La table complète :

	$e$	$6\,t$	$8\,c_3$	$6\,c_4$	$3\,v$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$\chi_3$	$2$	$0$	$-1$	$0$	$2$
$\chi_4$	$3$	$1$	$0$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$3$	$-1$	$0$	$1$	$-1$

(Toutes les lignes ont norme $1$ ; toutes les colonnes sont orthogonales : les vérifications passent.)

(b) Les données de classes $1, 6, 8, 6, 3$ avec ces degrés sont celles de $S_4$ (types de cycles $e$ , $2$ , $3$ , $4$ , $2{+}2$ ). Noyaux : $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (classes $e, c_3, v$ : $1 + 8 + 3 = 12$ , indice $2$ ) ; $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ = classes $e, v$ : le groupe de Klein $V_4$ , d’ordre $4$ , normal. $\chi_4, \chi_5$ sont fidèles ( $\chi_i(g) = n_i$ seulement en $e$ ). Intersections de noyaux : $\{e\}$ , $V_4$ , $A_4$ , $G$ — par Exercice 5.6(b) ce sont tous les sous-groupes normaux de $S_4$ .

(c) Les caractères avec $V_4 \subseteq \ker$ sont $\chi_1, \chi_2, \chi_3$ : ils se factorisent par $G/V_4$ , un groupe d’ordre $6$ possédant des degrés irréductibles $1, 1, 2$ — la table de $S_3$ . Comme la table du quotient est un invariant complet parmi les deux groupes d’ordre $6$ ( $\Z/6\Z$ aurait six caractères linéaires), $G/V_4 \cong S_3$ : le quotient est visible dans la table comme le bloc des lignes contenant $V_4$ dans leur noyau.

5.5 Problème : le théorème $p^aq^b$ de Burnside

Problème 5.1

Problème du week-end — résolubilité des groupes d’ordre $p^aq^b$

Burnside montra en 1904 que tout groupe dont l’ordre a au plus deux facteurs premiers est résoluble — un énoncé sur les groupes abstraits dont les seules démonstrations connues pendant un demi-siècle passaient par la théorie des caractères. Ce problème construit la démonstration en entier, en assemblant le Chapitre 1 (résolubilité), le Chapitre 3 (modules de type fini sur $\Z$ ) et ce chapitre. Tout au long, $\chi_1, \dots, \chi_r$ sont les caractères irréductibles de $G$ , $n_i = \chi_i(e)$ .

Partie I — Entiers algébriques. Un entier algébrique est une racine d’un polynôme unitaire de $\Z[X]$ .

Montrer que $\alpha$ est un entier algébrique ssi l’anneau $\Z[\alpha]$ est un $\Z$ -module de type fini.
En déduire que les entiers algébriques forment un sous-anneau de $\C$ . (Si $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ sont de type fini, $\Z[\alpha, \beta]$ l’est aussi, et les sous-modules des $\Z$ -modules de type fini sont de type fini, par le Théorème 3.5.)
Montrer qu’un entier algébrique rationnel est un entier. (Théorème des racines rationnelles.)
Montrer que toute valeur de caractère $\chi(g)$ est un entier algébrique.

Partie II — Les relations de sommes de classes. Fixer une irréductible $(V, \rho)$ de degré $n$ et de caractère $\chi$ . Pour une classe de conjugaison $C$ , soit $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in \mathcal L(V)$ .

Montrer que $S_C$ est équivariant, donc $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ avec

$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} \qquad (g_C \in C \text{ un représentant quelconque}).$
Montrer que $S_CS_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,S_{C''}$ où $a_{CC'C''} \in \N$ compte, pour un $z \in C''$ fixé, les paires $(x, y) \in C \times C'$ avec $xy = z$ . En déduire que les $\omega_C$ vérifient $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
Conclure que chaque $\omega_C$ est un entier algébrique.
En déduire la divisibilité de Frobenius : $n_i$ divise $\abs G$ pour tout degré irréductible. (Calculer $\frac{\abs G}{n}$ comme entier algébrique rationnel.)

Partie III — Le critère de simplicité de Burnside.

Soit $\chi$ irréductible de degré $n$ et $C$ une classe avec $\gcd(\abs C, n) = 1$ . En utilisant Bézout et les questions 4–7, montrer que $\frac{\chi(g_C)}{n}$ est un entier algébrique.
Supposer de plus $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . Montrer que c’est impossible : l’entier algébrique $\alpha = \chi(g_C)/n$ a tous ses conjugués de module $\leq 1$ , donc le produit des conjugués $N$ est un entier algébrique rationnel avec $0 < \abs N < 1$ . Conclure : soit $\chi(g_C) = 0$ , soit $\rho(g_C)$ est scalaire.
(Critère de Burnside) Soit $C \neq \{e\}$ une classe de conjugaison de taille puissance de premier $p^k > 1$ , et supposer $G$ simple non abélien. L’orthogonalité des colonnes sur la colonne de $C$ contre celle de $e$ donne $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . Montrer qu’un certain $\chi_i$ non trivial avec $p \nmid n_i$ a $\chi_i(g_C) \neq 0$ ; par la question 10, $\rho_i(g_C)$ est scalaire ; dériver une contradiction avec la simplicité. Conclure : aucun groupe simple non abélien n’a de classe de conjugaison de taille puissance de premier $> 1$ .

Partie IV — Le théorème.

Soit $\abs G = p^aq^b$ avec $a + b \geq 1$ . Si $G$ est simple, montrer qu’il est abélien : choisir $z \neq e$ dans le centre d’un $q$ -sous-groupe de Sylow (Théorème 1.12) et considérer la taille de sa classe de conjugaison $[G : Z_G(z)]$ , une puissance de $p$ ; appliquer la question 11.
Conclure par récurrence sur $\abs G$ : tout groupe d’ordre $p^aq^b$ est résoluble (Burnside). Pourquoi l’argument casse-t-il pour trois premiers — et le doit-il, étant donné $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot 5$ ?

Partie V — La table de caractères de $A_5$ . Le plus petit groupe que le théorème de Burnside ne peut toucher mérite son portrait complet ; tout ce qui suit n’utilise que ce chapitre et Exercice 1.11.

Rappeler de Exercice 1.11 les cinq classes de conjugaison de $A_5$ : $\{e\}$ , les $15$ doubles transpositions, les $20$ $3$ -cycles, et deux classes de $12$ $5$ -cycles chacune, représentées par $c = (1\,2\,3\,4\,5)$ et $c^2$ . Expliquer pourquoi les $5$ -cycles se scindent en deux classes de $A_5$ alors qu’ils forment une seule classe de $S_5$ .
Montrer que les degrés irréductibles de $A_5$ sont exactement $1, 3, 3, 4, 5$ : utiliser $\sum_in_i^2 = 60$ avec $r = 5$ classes, et le fait que $A_5$ est parfait ( $D(A_5) = A_5$ ), donc le caractère trivial est son seul linéaire ; puis éliminer tout autre multiensemble (écrire $59$ comme somme de quatre carrés d’entiers $\geq 2$ : vérifier qu’il n’y a qu’une façon avec des degrés plausibles).
Soit $\pi$ le caractère de permutation de $A_5$ sur $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ , avec valeurs $5, 1, 2, 0, 0$ sur les cinq classes. Calculer $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ et $\langle\pi, \pi\rangle$ , et en déduire que $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ est irréductible de degré $4$ , avec valeurs $4, 0, 1, -1, -1$ .
Même jeu sur les $10$ paires non ordonnées $\{i, j\}$ : les comptages de points fixes sont $10, 2, 1, 0, 0$ . Calculer $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ , $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ et $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ , en déduire la décomposition $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi_5$ , et obtenir l’irréductible $\chi_5$ de degré $5$ avec valeurs $5, 1, -1, 0, 0$ .
Les deux irréductibles restants $\chi_2, \chi_3$ ont degré $3$ . L’orthogonalité des colonnes (chaque colonne non identité contre celle de l’identité, et chaque colonne avec elle-même) détermine leurs valeurs hors des $5$ -cycles : montrer $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ sur les doubles transpositions et $0$ sur les $3$ -cycles.
Sur les classes de $5$ -cycles, poser $x = \chi_2(c)$ et $y = \chi_2(c^2)$ ; par symétrie on peut prendre $\chi_3(c) = y$ , $\chi_3(c^2) = x$ . De la colonne de $c$ appairée avec celle de l’identité et avec celle de $c^2$ , dériver $x + y = 1$ et $xy = -1$ (et vérifier la valeur $x^2 + y^2 = 3$ donnée par la colonne de $c$ avec elle-même), d’où

$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 - \sqrt5}2\Bigr\} :$

le nombre d’or et son conjugué. Assembler la table de caractères complète de $A_5$ .
Lancer les vérifications : la norme de ligne de $\chi_2$ vaut $1$ (utiliser $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ ), $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ , et la divisibilité de Frobenius (question 8) pour les cinq degrés. Où dans la table voit-on une différence avec $S_5$ , dont toutes les valeurs de caractères sont des entiers rationnels ?
Déduire de la table seule que $A_5$ est simple : un sous-groupe normal est une réunion de classes de conjugaison contenant $e$ dont le cardinal divise $60$ — vérifier qu’aucune sous-somme propre de $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ contenant le terme $1$ ne divise $60$ . Recouper avec le critère de la question 11 : vérifier qu’aucune classe de $A_5$ n’a taille puissance de premier $> 1$ .
(Coda icosaédrale) $A_5$ est le groupe des rotations de l’icosaèdre, et les représentations de degré $3$ sont les deux actions géométriques sur $\R^3$ . Vérifier l’identité de trace : une rotation d’angle $\theta$ a pour trace $1 + 2\cos\theta$ , et $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . Expliquer sans calcul pourquoi l’autre caractère de degré $3$ doit porter la valeur conjuguée : le groupe de Galois de $\Q(\sqrt5)/\Q$ agit sur toute la table de caractères (entrée par entrée), en permutant les caractères irréductibles.

Partie VI — Compléments : une borne centrale et le carré tensoriel.

(Plus fin qu’une divisibilité) Soit $\chi$ irréductible de degré $n$ . Montrer que $\abs{\chi(z)} = n$ pour tout $z \in Z(G)$ (lemme de Schur : $\rho(z)$ est scalaire, d’ordre fini), et déduire de $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ la borne

$n^2 \leq [G : Z(G)] .$

Montrer que les groupes non abéliens d’ordre $8$ ont des degrés irréductibles $1, 1, 1, 1, 2$ (cinq classes de conjugaison ; écrire $8$ comme somme de cinq carrés) et atteignent l’égalité $4 = [G : Z(G)]$ ; vérifier la borne sur $A_5$ , dont le centre est trivial.
(Carré tensoriel de $\chi_2$ ) Pour $g$ d’ordre fini, $\rho(g)$ est diagonalisable à valeurs propres racines de l’unité ; en déduire les formules de caractères

$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2, \qquad \chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2 .$

Les appliquer à $\chi_2$ de $A_5$ (noter que $g^2$ parcourt la classe de $c^2$ quand $g$ parcourt celle de $c$ , et réciproquement) : montrer $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ et $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ , d’où

$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$

Interpréter $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ géométriquement via le produit vectoriel sur $\R^3$ .
(Audit final de la table) Vérifier numériquement : l’orthogonalité des colonnes entre les deux colonnes de $5$ -cycles ( $\varphi\bar\varphi = -1$ ), la valeur $5 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ pour la colonne de $c$ contre elle-même, et l’annulation du caractère régulier $\sum_i n_i\chi_i(g) = 0$ sur chacune des quatre colonnes non identité de la table.

Solution

Solution de Problème 5.1.

1. Si $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 = 0$ ( $c_i \in \Z$ ), alors $\alpha^n \in \Z\text{-span}(1, \dots, \alpha^{n-1})$ , et par récurrence toute puissance l’est : $\Z[\alpha]$ est engendré par $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ . Réciproquement soit $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$ . Écrire $\alpha g_i = \sum_j m_{ij}g_j$ avec $M = (m_{ij}) \in M_m(\Z)$ : le vecteur $g = (g_i)$ vérifie $(\alpha I - M)g = 0$ ; en multipliant par la comatrice, $\det(\alpha I - M)\,g_i = 0$ pour tout $i$ , et comme $1 \in \Z[\alpha]$ est une combinaison $\Z$ -linéaire des $g_i$ , $\det(\alpha I - M) = 0$ : $\alpha$ est racine du unitaire $\det(XI - M) \in \Z[X]$ .

2. Si $\Z[\alpha]$ est engendré par les puissances de $\alpha$ jusqu’à $n-1$ et $\Z[\beta]$ par celles de $\beta$ jusqu’à $m - 1$ , alors $\Z[\alpha,\beta]$ est engendré par les $nm$ produits $\alpha^i\beta^j$ (réduire tout monôme). Les sous-anneaux $\Z[\alpha + \beta]$ et $\Z[\alpha\beta]$ sont des $\Z$ -sous-modules du $\Z$ -module de type fini $\Z[\alpha, \beta]$ , donc de type fini ( $\Z[\alpha,\beta]$ , engendré par $nm$ éléments, est image de $\Z^{nm}$ ; un sous-module se tire en arrière en un sous-module de $\Z^{nm}$ , libre de rang $\leq nm$ par Théorème 3.5, et son image engendre). Par la question 1, $\alpha + \beta$ et $\alpha\beta$ sont des entiers algébriques.

3. Si $\frac pq$ (irréductible) est racine d’un polynôme unitaire à coefficients entiers de degré $n$ , le théorème des racines rationnelles (dénominateurs : $p^n = -q(\cdots)$ ) donne $q \mid p^n$ , donc $q = \pm1$ .

4. $\chi(g)$ est une somme de racines de l’unité (Proposition 5.6), chacune un entier algébrique (racine de $X^N - 1$ ) ; conclure par la question 2.

5. Pour $h \in G$ : $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ ( $C$ est une classe). Par Schur, $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ ; en prenant les traces, $\abs C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$ .

6. $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) = \sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ avec $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times C' : xy = z\}$ . La conjugaison par $h$ bijectionne les solutions pour $z$ avec celles pour $hzh^{-1}$ : $a$ est une fonction de classe à valeurs dans $\N$ , donc $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$ . En substituant $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ partout et en identifiant les scalaires : $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .

7. Soit $M$ le $\Z$ -module engendré par $1$ et tous les produits $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$ ; par la question 6 tout tel produit se réduit à une combinaison $\Z$ -linéaire de $1$ et des $\omega_C$ : $M$ est de type fini, et $\omega_C M \subseteq M$ pour chaque $C$ . En particulier $\Z[\omega_C] \subseteq M$ est de type fini (sous-module, comme en question 2), et la question 1 fait de $\omega_C$ un entier algébrique.

8. Pour un irréductible $\chi$ de degré $n$ :

\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle = \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)} = \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)} = \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .

Chaque $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ est un entier algébrique (question 4), donc le second membre en est un (questions 2, 7) ; il est rationnel, donc un entier (question 3) : $n \mid \abs G$ .

9. Bézout : $u\abs C + vn = 1$ avec $u, v \in \Z$ . Alors

\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} + v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),

un entier algébrique.

10. Supposer $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ et poser $\alpha = \chi(g_C)/n$ . Toutes les valeurs $\chi(g)$ vivent dans $\Q(\zeta_N)$ , $N = \abs G$ (sommes de racines $N$ -ièmes de l’unité). Pour $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ : $\sigma$ envoie racines de l’unité sur racines de l’unité ( $\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$ , Théorème 4.23), donc $\sigma(\chi(g_C))$ est encore une somme de $n$ racines de l’unité : $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$ ; de plus $\sigma(\alpha)$ est un entier algébrique (même polynôme minimal qu’ $\alpha$ ). Le produit $P = \prod_\sigma \sigma(\alpha)$ est fixé par tout le groupe de Galois, donc rationnel (Théorème 4.21(1)), et c’est un entier algébrique avec

0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1

(aucun facteur ne s’annule : $\sigma(\alpha) = 0$ forcerait $\alpha = 0$ ). Cela contredit la question 3. Donc $\chi(g_C) = 0$ ou $\abs{\chi(g_C)} = n$ , et dans ce dernier cas $\rho(g_C)$ est scalaire (Proposition 5.6).

11. Orthogonalité des colonnes ( $C \neq \{e\}$ ) : $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ , i.e. $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ . Si tout $\chi_i$ non trivial avec $p \nmid n_i$ s’annulait en $g_C$ , alors en regroupant le reste par leur facteur $p$ :

-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i} \frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},

un entier algébrique — contredisant la question 3. Donc un certain $\chi_i$ non trivial a $p \nmid n_i$ et $\chi_i(g_C) \neq 0$ ; comme $\abs C = p^k$ , $\gcd(\abs C, n_i) = 1$ , et la question 10 fait de $\rho_i(g_C)$ un scalaire. Or $G$ simple non abélien : $\chi_i$ est fidèle (Exercice 5.6(c)), et $Z_i = \{g : \rho_i(g) \text{ scalaire}\}$ est un sous-groupe normal (l’image réciproque sous $\rho_i$ des scalaires, qui forment un sous-groupe normal — voire central — de l’image) contenant $g_C \neq e$ : $Z_i = G$ . Alors $\rho_i(G)$ est abélien et fidèle, rendant $G$ abélien : contradiction. Aucun groupe simple non abélien n’a de classe de conjugaison de taille puissance de premier $> 1$ .

12. Soit $G$ simple d’ordre $p^aq^b$ . Si $b = 0$ ( $G$ un $p$ -groupe) : $Z(G) \neq \{e\}$ (Théorème 1.12) est normal, donc $Z(G) = G$ : abélien. Sinon prendre $Q$ un $q$ -Sylow et $z \in Z(Q) \setminus\{e\}$ (Théorème 1.12 encore). Alors $Q \subseteq Z_G(z)$ , donc la classe de $z$ a taille $[G : Z_G(z)]$ divisant $[G : Q] = p^a$ : une puissance de $p$ . Si la taille est $1$ , $z \in Z(G)$ : le centre est un sous-groupe normal non trivial, donc $Z(G) = G$ , abélien. Si la taille est $p^k > 1$ : la question 11 l’interdit pour $G$ simple non abélien. Dans les deux cas un groupe simple d’ordre $p^aq^b$ est abélien ( $\cong \Z/p\Z$ ).

13. Récurrence sur $\abs G$ ( $\abs G = 1$ : résoluble). Si $G$ est simple, la question 12 le rend abélien, donc résoluble. Sinon prendre $N$ un sous-groupe normal non trivial propre : $\abs N$ et $\abs{G/N}$ sont encore de la forme $p^{a'}q^{b'}$ et plus petits, donc $N$ et $G/N$ sont résolubles par récurrence, et $G$ est résoluble (Proposition 1.29). — Avec trois premiers, l’étape clé échoue : l’indice d’un Sylow n’est plus une puissance de premier, donc la classe d’un élément central d’un Sylow n’a pas forcément taille puissance de premier. Et un échec est inévitable : $A_5$ , d’ordre $2^2\cdot3\cdot5$ , est simple et non résoluble.

14. Les classes et tailles sont Exercice 1.11(a). La classe de $S_5$ de $c$ a taille $24$ ; si elle restait une seule classe de $A_5$ , le dénombrement orbite–stabilisateur donnerait $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$ , non entier — concrètement, $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ a ordre $5$ et vit dans $A_5$ , donc la classe de $A_5$ de $c$ a taille $60/5 = 12$ : la classe de $S_5$ se scinde en deux ( $c$ et $c^2$ sont conjugués dans $S_5$ par une permutation impaire seulement).

15. Un seul caractère linéaire : une représentation de degré $1$ se factorise par $G/D(G)$ , et $D(A_5) = A_5$ ( $A_5$ est simple non abélien, et $D(A_5)$ est normal, non trivial — $A_5$ n’est pas abélien). Donc $n_1 = 1$ et $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ avec chaque $n_i \geq 2$ . Carrés disponibles : $4, 9, 16, 25, 36, 49$ . Une somme de quatre d’entre eux égale à $59$ : le plus grand doit être $25$ ( $36 + 4 + 4 + 9 = 53$ n’ajuste pas : $36 + 16 + 4 + 4 = 60$ , $36 + 9 + 9 + 4 = 58$ , $36 + 16 + 9 + 4 = 65$ — aucune combinaison avec $36$ ou $49$ ne marche), et $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (la seule façon : $16 + 16 + 4 = 36$ , $25 + 9 + 4 = 38$ , $25 + 4 + 4 = 33$ ) : degrés $1, 3, 3, 4, 5$ .

16. $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 + 15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (une orbite — le dénombrement de Burnside), et $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 + 0 + 0) = 2$ : $\pi$ contient le caractère trivial une fois, et son autre constituant est un seul irréductible. Donc $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ est irréductible, de degré $4$ , avec valeurs $4, 0, 1, -1, -1$ .

17. Sur les paires, un élément fixe $\{i,j\}$ ssi il fixe ou échange $i, j$ : les comptages sont $10$ ( $e$ ), $2$ ( $t = (1\,2)(3\,4)$ fixe $\{1,2\}, \{3,4\}$ ), $1$ ( $(1\,2\,3)$ fixe $\{4,5\}$ ), $0, 0$ . Alors $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$ : trois constituants irréductibles, chacun une fois. Et $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20) = 1$ , $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 + 20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$ : donc $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi$ avec $\chi$ irréductible de degré $10 - 1 - 4 = 5$ et valeurs $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0, 0)$ .

18. Écrire $a, a'$ pour les valeurs de $\chi_2, \chi_3$ en $t$ , et $b, b'$ en $s = (1\,2\,3)$ ; les quatre sont réelles ( $t$ et $s$ sont conjugués à leurs inverses). Colonne $t$ contre colonne $e$ : $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$ , donc $a + a' = -2$ ; colonne $t$ avec elle-même : $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 = \frac{60}{15} = 4$ , donc $a^2 + a'^2 = 2$ ; d’où $(a + a')^2 = 4 = 2 + 2aa'$ donne $aa' = 1$ et $a = a' = -1$ . Colonne $s$ contre $e$ : $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ donne $b + b' = 0$ ; colonne $s$ avec elle-même : $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60}{20} = 3$ donne $b = b' = 0$ .

19. Colonne $c$ contre colonne $e$ : $1 + 3(x + y) + 4(-1) + 5\cdot0 = 0$ , donc $x + y = 1$ . Colonne $c$ contre colonne $c^2$ (classes distinctes, orthogonales) : $1 + xy + yx + 1 + 0 = 0$ , donc $xy = -1$ . Ainsi $x, y$ résolvent $T^2 - T - 1 = 0$ : $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ avec $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ . Cohérence : $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3 = \frac{60}{12} - 2$ — matchant l’identité de colonne sur elle-même $1 + x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$ . La table :

	$e$	$15\,t$	$20\,s$	$12\,c$	$12\,c^2$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$3$	$-1$	$0$	$\varphi$	$\bar\varphi$
$\chi_3$	$3$	$-1$	$0$	$\bar\varphi$	$\varphi$
$\chi_4$	$4$	$0$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$5$	$1$	$-1$	$0$	$0$

20. $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 + 0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 + 36}{60} = 1$ , en utilisant $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi + \bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$ . De même $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 + 12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$ . Divisibilité de Frobenius : $1, 3, 3, 4, 5$ divisent tous $60$ . Les valeurs irrationnelles $\varphi, \bar\varphi$ sont la différence visible avec $S_5$ : dans $S_5$ tout élément est conjugué à tous les générateurs de son groupe cyclique de même type de cycle — en particulier $c \sim c^2$ — forçant des valeurs de caractères rationnelles (voire entières) ; dans $A_5$ le scindage des $5$ -cycles ouvre la porte à $\Q(\sqrt5)$ .

21. Un sous-groupe normal $N$ est une réunion de classes, contient $e$ , et $\abs N \mid 60$ . Les sommes candidates : $1{+}15 = 16$ , $1{+}20 = 21$ , $1{+}12 = 13$ , $1{+}24 = 25$ , $1{+}15{+}20 = 36$ , $1{+}15{+}12 = 28$ , $1{+}15{+}24 = 40$ , $1{+}20{+}12 = 33$ , $1{+}20{+}24 = 45$ , $1{+}12{+}12 = 25$ , $1{+}15{+}20{+}12 = 48$ , $1{+}15{+}20{+}24 = 60 - 12 = \dots$ listant toutes les sous-sommes propres contenant $1$ : aucune de $13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, \dots$ ne divise $60$ sauf $1$ lui-même : $N = \{e\}$ ou $A_5$ . Simplicité, lue sur cinq nombres. Et le critère de la question 11 est visible aussi : les tailles de classes $15 = 3\cdot5$ , $20 = 4\cdot5$ , $12 = 4\cdot3$ sont toutes composées de deux premiers — aucune classe puissance de premier, exactement comme le critère de Burnside l’exige d’un groupe simple.

22. Une rotation de $\R^3$ d’angle $\theta$ a pour valeurs propres $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$ : trace $1 + 2\cos\theta$ . Pour $\theta = \frac{2\pi}5$ : $2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}2$ , donc la trace est $1 + \frac{\sqrt5-1}2 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . L’élément non trivial $\tau$ de $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$ appliqué entrée par entrée à une table de caractères envoie caractères sur caractères (il commute avec l’algèbre définissante : $\tau\circ\chi$ est le caractère de la représentation obtenue en transportant les matrices par $\tau$ sur les entrées, ou abstraitement : les relations d’orthogonalité sont $\Q$ -rationnelles, donc $\tau$ permute leurs solutions) ; $\tau$ fixe $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ (valeurs rationnelles) et doit donc échanger $\chi_2$ et $\chi_3$ : le second caractère de degré $3$ porte les valeurs conjuguées, sans calculer de matrice. Géométriquement, les deux représentations sont l’action icosaédrale et sa composée avec un automorphisme extérieur de $A_5$ (conjugaison par une transposition), qui échange les deux classes de $5$ -cycles.

23. Pour $z \in Z(G)$ , $\rho(z)$ commute avec tout $\rho(g)$ , donc par le lemme de Schur $\rho(z) = \lambda\, \mathrm{id}$ ; comme $z$ a ordre fini, $\lambda$ est une racine de l’unité, et $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$ . Alors

\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle = \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2 \geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2 = \abs{Z(G)}\,n^2,

i.e. $n^2 \leq [G : Z(G)]$ . Un groupe non abélien d’ordre $8$ ( $D_4$ ou $Q_8$ ) a cinq classes de conjugaison, donc cinq degrés irréductibles avec $\sum n_i^2 = 8$ ; la seule façon d’écrire $8$ comme somme de cinq carrés $\geq 1$ est $1 + 1 + 1 + 1 + 4$ : degrés $1, 1, 1, 1, 2$ . Les deux groupes ont un centre d’ordre $2$ , et le caractère de degré $2$ atteint l’égalité : $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — la borne est optimale. Pour $A_5$ , $Z = \{e\}$ et la borne lit $n^2 \leq 60$ : satisfaite par $1, 3, 3, 4, 5$ avec de la marge ( $25 \leq 60$ ), comme il se doit car l’égalité forcerait (par la même chaîne) $\chi$ à s’annuler hors du centre.

24. $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ pour $m$ l’ordre de $g$ , donc $\rho(g)$ est annihilé par $X^m - 1$ , scindé à racines simples sur $\C$ : diagonalisable, avec valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ racines de l’unité, dans une base propre $(e_i)$ . Les produits $e_ie_j$ ( $i \leq j$ ) forment une base propre de $\operatorname{Sym}^2V$ avec valeurs propres $\lambda_i\lambda_j$ , et $e_i \wedge e_j$ ( $i < j$ ) une de $\Lambda^2V$ ; comme

\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2 = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,

et la somme symétrique ajoute $\sum_i\lambda_i^2$ au lieu de la soustraire, les deux formules suivent. Pour $\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi)$ sur les classes $(e, (2,2)\text{-}, 3\text{-cycles}, c, c^2)$ : élever au carré envoie les doubles transpositions sur $e$ , les $3$ -cycles sur des $3$ -cycles, la classe de $c$ sur celle de $c^2$ et réciproquement ( $c^{-1} \sim c$ dans $A_5$ , donc $c^4 \sim c$ ). D’où $\chi_2(g^2)$ lit $(3, 3, 0, \bar\varphi, \varphi)$ , et, en utilisant $\varphi^2 = \varphi + 1$ , $\bar\varphi = 1 - \varphi$ :

\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2, \qquad \operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .

En décomposant ce dernier, avec les tailles de classes $1, 15, 20, 12, 12$ : $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 + 15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_5\rangle = \frac1{60}(30 + 30) = 1$ ; $\langle\cdot, \chi_4\rangle = \frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$ ; $\langle\cdot, \chi_2\rangle = \frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$ , et de même pour $\chi_3$ . Donc $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ (dimensions $6 = 1 + 5$ ) et $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (dimensions $9 = 1 + 3 + 5$ ). Géométrie : l’isomorphisme équivariant $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$ , $u \wedge v \mapsto u \times v$ , est exactement $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ pour un groupe de rotations ; le facteur $\mathbf 1$ du carré symétrique est la forme quadratique invariante $x^2 + y^2 + z^2$ , et $\chi_5$ vit sur l’espace de dimension cinq des tenseurs symétriques de trace nulle (quadratiques harmoniques).

25. Colonne de $c$ contre colonne de $c^2$ :

1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi + (-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,

comme l’exige l’orthogonalité pour des classes distinctes ( $\varphi \bar\varphi = -1$ ). Colonne de $c$ contre elle-même : $1 + \varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ . Caractère régulier $\sum_in_i\chi_i$ sur les quatre colonnes non identité :

1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad 1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,

sur doubles transpositions et $3$ -cycles, et sur la classe de $c$ (celle de $c^2$ est son conjugué galoisien) :

1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,

en utilisant $\varphi + \bar\varphi = 1$ . La table passe chaque audit : c’est la table de caractères de $A_5$ .

5.1 Représentations, Maschke, Schur

5.2 Caractères et orthogonalité

5.3 Tables de caractères

5.4 Exercices

5.5 Problème : le théorème paqbp^aq^bpaqb de Burnside

5.5 Problème : le théorème $p^aq^b$ de Burnside