Qu'est-ce que « space » ?

Pour $1 \leq p < \infty$, $\mathcal L^p(\mu)$ est l’ensemble des $f$ mesurables avec $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$, et $\mathcal L^\infty(\mu)$ l’ensemble des $f$ bornées hors d’un ensemble nul, avec $\norm f_\infty$ le sup essentiel — le plus petit $M$ avec $\abs f \leq M$ p.p. (l’inf est atteint : intersecter les ensembles nuls pour $M + \frac1n$). Comme $\norm f_p = 0$ ne force $f = 0$ que p.p. (Exercice 10.5), on définit

les éléments sont des classes de fonctions modulo les ensembles nuls, et $\norm\cdot_p$ est une vraie norme sur $L^p$.