Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

4Topologie des espaces métriques

La topologie de la droite réelle (volume de première année) se généralise, presque sans changer un mot, à tout ensemble muni d’une distance. Le gain est énorme : suites de fonctions, matrices, courbes — toutes deviennent des points d’espaces métriques, et les trois piliers démontrés ici — la complétude avec le théorème du point fixe de Banach, la compacité, la connexité — s’appliquent à elles uniformément. Ce chapitre est la colonne vertébrale de toute la moitié analytique du livre.

4.1 Espaces métriques

Définition 4.1

Un espace métrique est un ensemble $X$ muni d’une application $d \colon X \times X \to \R_+$ telle que, pour tous $x, y, z$ :

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

Boules : $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (ouverte), $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (fermée). Une partie $A \subseteq X$ devient un espace métrique pour la distance induite.

Exemple 4.2

$\R$ avec $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ avec l’une des distances

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

l’ensemble $C(\intcc{a}{b})$ des fonctions continues avec la distance sup $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finie : $f - g$ est bornée) ; tout ensemble muni de la distance discrète ( $d(x,y) = 1$ pour $x \neq y$ ). Les distances issues de normes font l’objet du Chapitre 5.

Définition 4.3 (Topologie d’un espace métrique)

$U \subseteq X$ est ouvert lorsque chaque point de $U$ est le centre d’une boule contenue dans $U$ ; $F$ est fermé lorsque son complémentaire est ouvert. Les voisinages, l’intérieur, l’adhérence, la densité, la frontière se définissent exactement comme sur la droite réelle (volume de première année), les boules remplaçant les intervalles, et les énoncés qui y sont démontrés — réunions/intersections d’ouverts, caractérisations de l’intérieur et de l’adhérence, l’adhérence comme plus petit fermé contenant — se transposent avec les mêmes démonstrations. Les boules ouvertes sont ouvertes, les boules fermées sont fermées (inégalité triangulaire).

Exemple 4.4 (Intérieur, adhérence, frontière sur un ensemble)

Dans $\R$ , soit $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ . Intérieur : $\intoo{0}{1}$ — autour de tout $x \in \intoo01$ une petite boule reste dans $A$ ; autour de $1$ , toute boule $\intoo{1-r}{1+r}$ fuit de $A$ vers la droite, donc $1$ n’est pas intérieur ; et le point isolé $2$ ne l’est pas non plus. Adhérence : $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (le point $0$ est une limite de $A$ , rien d’autre n’est ajouté). Frontière (adhérence privée de l’intérieur) : $\{0, 1, 2\}$ . Notez les asymétries à retenir : une extrémité peut appartenir à un ensemble sans être intérieure ( $1$ ), peut être adhérente sans y appartenir ( $0$ ), et un point isolé est sa propre frontière ( $2$ ). La même comptabilité s’applique mot pour mot dans tout espace métrique, avec des boules à la place des intervalles.

Définition 4.5 (Limites, continuité)

$x_n \to x$ dans $X$ lorsque $d(x_n, x) \to 0$ . Une application $f \colon X \to Y$ entre espaces métriques est continue en $a$ lorsque

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

de façon équivalente (même démonstration que sur $\R$ ), $f(x_n) \to f(a)$ pour toute suite $x_n \to a$ . $f$ est lipschitzienne de constante $k$ lorsque $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ toujours — alors uniformément continue, donc continue.

Théorème 4.6 (Caractérisation globale de la continuité)

$f \colon X \to Y$ est continue (en tout point) si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert est ouverte — si et seulement si l’image réciproque de tout fermé est fermée.

Démonstration. ( $\Rightarrow$ ) Soit $V \subseteq Y$ ouvert et $a \in f^{-1}(V)$ : une certaine boule $B(f(a), \varepsilon) \subseteq V$ ; la continuité en $a$ fournit $\delta$ tel que $f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a), \varepsilon)$ , donc $B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(V)$ .

( $\Leftarrow$ ) Étant donné $a$ et $\varepsilon$ : $f^{-1}\bigl(B(f(a), \varepsilon)\bigr)$ est ouvert et contient $a$ , donc contient une boule $B(a, \delta)$ : c’est la définition de la continuité en $a$ . Fermés : complémentaires (Proposition 1.1). ∎

4.2 Espaces complets

Définition 4.7

Une suite $(x_n)$ est de Cauchy lorsque $\sup_{p, q \geq N} d(x_p, x_q) \to 0$ quand $N \to \infty$ . Un espace métrique est complet lorsque toute suite de Cauchy converge. Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy toujours ; les parties fermées d’espaces complets sont complètes, et les parties complètes d’un espace quelconque sont fermées (mêmes démonstrations que sur $\R$ : volume de première année).

Exemple 4.8 (Cauchy sans limite)

Dans $X = \Q$ avec la distance usuelle, les troncatures décimales de $\sqrt2$ ,

x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414, \quad\dots

vérifient $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$ : de Cauchy dans $\Q$ . Une limite dans $\Q$ serait aussi la limite dans $\R$ , à savoir $\sqrt2 \notin \Q$ : aucune limite n’existe dans $X$ . L’incomplétude est la présence de telles « limites fantômes » ; la complétude de $\R$ a été construite dans le volume de première année précisément pour donner un foyer à toute suite de Cauchy.

Théorème 4.9

$\R^n$ (l’une quelconque des trois distances du Exemple 4.2) et $\bigl(C(\intcc{a}{b}), d_\infty\bigr)$ sont complets.

Démonstration. $\R^n$ : une suite de Cauchy est de Cauchy dans chaque coordonnée (chaque $\abs{x_i - y_i} \leq d(x,y)$ pour les trois distances), donc chaque coordonnée converge (complétude de $\R$ , volume de première année), et la convergence coordonnée par coordonnée entraîne la convergence pour $d_\infty$ (nombre fini de coordonnées), donc pour les trois (les trois distances se dominent mutuellement à des facteurs constants près : $d_\infty \leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$ ).

$C(\intcc{a}{b})$ : soit $(f_n)$ de Cauchy pour $d_\infty$ . Pour chaque $x$ , $(f_n(x))$ est de Cauchy dans $\R$ ( $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq d_\infty(f_p, f_q)$ ) : converge vers un $f(x)$ . En passant à la limite dans $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq \varepsilon$ (valable pour $p, q \geq N_\varepsilon$ , tout $x$ ) quand $q \to \infty$ : $\abs{f_p(x) - f(x)} \leq \varepsilon$ pour tout $x$ , c’est-à-dire $d_\infty(f_p, f) \leq \varepsilon$ : convergence uniforme. La limite est continue : étant donné $\varepsilon$ , choisir $p$ avec $\sup\abs{f_p - f} \leq \varepsilon$ , puis utiliser la continuité de $f_p$ en $a$ et le découpage en trois termes

\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_p(x)} + \abs{f_p(x) - f_p(a)} + \abs{f_p(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon

pour $x$ proche de $a$ . (Cet « argument des $3\varepsilon$ » revient comme théorème de la limite uniforme du Chapitre 10.) ∎

Exemple 4.10 (Ouverts et fermés reconnus par la continuité)

La caractérisation globale (Théorème 4.6) est l’outil quotidien de la comptabilité topologique. Dans $\R^2$ : l’ensemble $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ est ouvert — c’est $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ pour les fonctions continues $g(x,y) = x^2 + y^2$ et $h(x, y) = y - x^3$ , une intersection de deux images réciproques d’ouverts. Dans $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : l’ensemble des fonctions avec $f(0) = f(1)$ et $\int_0^1 f = 0$ est fermé — l’image réciproque de $\{(0,0)\}$ par l’application continue $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ à valeurs dans $\R^2$ (chaque coordonnée est $1$ -lipschitzienne, comme dans le Exercice 4.3). La méthode ne dessine jamais : exhiber une application continue, lire l’ensemble comme une image réciproque, invoquer le théorème.

Exemple 4.11 (Un fermé défini par une infinité de conditions)

Dans $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ , l’ensemble

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{pour tous } x, y\}

des fonctions $1$ -lipschitziennes est fermé, bien qu’il soit découpé par une infinité non dénombrable de conditions : pour chaque couple fixé $(x, y)$ , l’application $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ est continue (les évaluations sont $1$ -lipschitziennes), donc chaque condition prise seule définit un fermé, et $L$ est l’intersection de cette famille — une intersection quelconque de fermés est fermée. Le même modèle certifie la fermeture pour les fonctions monotones, les fonctions convexes, les fonctions majorées par une $g$ fixée : les limites uniformes héritent de toute propriété exprimable comme une famille de contraintes ponctuelles fermées. Ce dont les limites uniformes n’héritent pas automatiquement — la dérivabilité, par exemple — est exactement ce pour quoi le Chapitre 10 devra peiner.

Théorème 4.12 (Théorème du point fixe de Banach)

Soit $X$ un espace métrique complet non vide et $f \colon X \to X$ une contraction : lipschitzienne de constante $k < 1$ . Alors $f$ a un unique point fixe $\ell$ , et toute orbite $x_{n+1} = f(x_n)$ converge vers $\ell$ , avec

d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 - k}\, d(x_1, x_0) .

Démonstration. Unicité : deux points fixes sont à distance $\leq k$ fois elle-même. Existence : $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$ par récurrence, donc pour $q > p$ ,

d(x_q, x_p) \leq \sum_{j=p}^{q-1} d(x_{j+1}, x_j) \leq d(x_1, x_0) \sum_{j \geq p} k^j = \frac{k^p}{1-k}\, d(x_1, x_0) \xrightarrow[p\to\infty]{} 0 :

de Cauchy, donc convergente vers un $\ell$ ; la continuité de $f$ passe $x_{n+1} = f(x_n)$ à la limite : $\ell = f(\ell)$ . La majoration de l’erreur est l’estimation affichée avec $q \to \infty$ . ∎

Exemple 4.13 (Une équation intégrale)

Sur $X = C(\intcc{0}{1})$ (complet, Théorème 4.9), considérons $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$ . Pour $f, g \in X$ :

\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq \frac12\, d_\infty(f, g),

donc $T$ est une $\frac12$ -contraction : elle a un unique point fixe continu — la solution de $f' = \frac f2$ , $f(0) = 1$ , à savoir $\eu^{x/2}$ . Ce schéma, industrialisé, devient le théorème de Cauchy–Lipschitz du Chapitre 16.

Exemple 4.14 (Un point fixe numérique : $x = \cos x$ )

Sur le complet $X = \intcc{0}{1}$ , l’application $f = \cos$ envoie $X$ dans $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ et est une contraction : par l’inégalité des accroissements finis,

\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr) \abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y}, \qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .

Banach : une unique solution de $x = \cos x$ dans $\intcc01$ (donc dans $\R$ : tout point fixe réel est dans $\intcc{-1}{1}$ , puis dans $\intcc{\cos 1}{1}$ après une application), et l’itération $x_{n+1} = \cos x_n$ converge vers elle depuis tout point de départ : $x_\infty \approx 0.739085$ , le fameux nombre obtenu en martelant la touche cosinus d’une calculatrice. La majoration de l’erreur prédit une décroissance en $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — environ un chiffre tous les $13$ appuis ; la majoration a posteriori du problème de fin de semaine de ce chapitre (question 14) certifie chaque étape à la volée.

4.3 Compacité

Définition 4.15

Un espace métrique $X$ est compact lorsque toute suite de $X$ admet une sous-suite convergeant dans $X$ (la propriété de Bolzano–Weierstrass). Une partie est compacte lorsqu’elle l’est pour la distance induite.

Théorème 4.16 (Premières propriétés)

Une partie compacte est fermée et bornée ; une partie fermée d’un espace compact est compacte.
Dans $\R^n$ , la réciproque est vraie : compact $\iff$ fermé et borné.
Une image continue d’un espace compact est compacte ; une fonction réelle continue sur un espace compact non vide est bornée et atteint ses bornes.
(Heine) Une application continue sur un espace compact est uniformément continue.
Produits : si $X, Y$ sont compacts, alors $X \times Y$ l’est (avec $d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) = d(x,x') + d(y,y')$ ).

Démonstration. (1) Mêmes arguments que sur la droite (volume de première année) : une suite s’échappant à l’infini ou convergeant à l’extérieur n’a aucune sous-suite convergeant à l’intérieur ; pour la seconde assertion, extraire dans le compact ambiant et utiliser la fermeture.

(2) Les suites bornées de $\R^n$ ont des sous-suites convergentes composante par composante : extraire sur la première coordonnée (Bolzano–Weierstrass sur $\R$ ), puis, de cette sous-suite, sur la deuxième, et ainsi de suite ( $n$ extractions successives) ; la fermeture garde la limite à l’intérieur.

(3) Étant donné $(f(x_n))$ , extraire $x_{\varphi(n)} \to x \in X$ ; la continuité donne $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(X)$ . Cas réel : la compacité de $f(X) \subseteq \R$ la rend fermée et bornée, et $\sup f(X) \in f(X)$ (le sup d’un ensemble lui est adhérent, et $f(X)$ est fermé).

(4) La démonstration de première année se transfère mot pour mot ; la voici, en habit métrique. Supposons $f \colon X \to Y$ continue sur le compact $X$ mais non uniformément continue : un certain $\varepsilon > 0$ admet, pour tout $n$ , des points avec

d_X(x_n, y_n) \leq \frac{1}{n+1} \qquad\text{et}\qquad d_Y\bigl(f(x_n), f(y_n)\bigr) > \varepsilon .

Extraire $x_{\varphi(n)} \to a \in X$ ; alors $y_{\varphi(n)} \to a$ aussi (les distances mutuelles tendent vers $0$ ). La continuité en $a$ envoie les deux suites images vers $f(a)$ , donc $d_Y\bigl(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})\bigr) \to 0$ — contredisant l’écart uniforme $> \varepsilon$ . La compacité a fourni exactement une chose : le point d’accumulation $a$ où appliquer la continuité ordinaire.

(5) Extraire sur les coordonnées de $X$ , puis à nouveau sur les coordonnées de $Y$ . ∎

Exemple 4.17 (Le théorème de Heine, avec et sans compacité)

Sur $\intcc{0}{1}$ , la fonction $x \mapsto x^2$ est uniformément continue — Heine le dit sans aucun calcul, mais l’estimation directe est instructive :

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

donc $\delta = \varepsilon/2$ convient pour tous les points à la fois. Sur $\R$ la même fonction n’est pas uniformément continue : avec $x_n = n$ et $y_n = n + \frac1n$ , l’écart $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ tandis que $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : aucun $\delta$ unique ne sert $\varepsilon = 1$ . Le mécanisme est visible : la constante de Lipschitz locale $\abs{x + y}$ est bornée sur un compact et non bornée sur $\R$ — le théorème de Heine est exactement l’énoncé que la compacité plafonne uniformément de telles constantes locales.

Méthode 4.18 (Prouver qu’un ensemble est compact)

Trois voies, par ordre de fréquence. (1) Reconnaissance ambiante : dans $\R^n$ (ou tout espace normé de dimension finie, Chapitre 5), vérifier fermé — typiquement comme image réciproque, Exemple 4.10 — et borné. (2) Hérédité : une partie fermée d’un compact connu est compacte ; une réunion finie ou un produit de compacts est compact ; une image continue d’un compact est compacte. (3) À mains nues : extraire une sous-suite convergente d’une suite quelconque — généralement par extractions successives coordonnée par coordonnée. Pour prouver la non-compacité, un seul témoin suffit : une suite sans sous-suite convergente, le plus souvent des points à distance mutuelle $\geq \varepsilon$ .

Exemple 4.19 (Distances entre ensembles : la compacité gagne son pain)

Soit $K$ compact, $F$ fermé, $K \cap F = \emptyset$ dans un espace métrique. Alors

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

la fonction $x \mapsto d(x, F)$ est continue (Exercice 4.11) et positive sur $K$ ( $d(x, F) = 0$ mettrait $x \in \overline F = F$ ), donc elle atteint un minimum positif sur le compact $K$ (Théorème 4.16 (3)). La compacité n’est pas décorative : pour deux ensembles fermés l’infimum peut s’annuler sans être atteint — dans $\R^2$ , l’hyperbole $F_1 = \{xy = 1\}$ et l’axe $F_2 = \{y = 0\}$ sont deux fermés disjoints avec $d(F_1, F_2) = 0$ (les points $(n, \frac1n)$ approchent l’axe). La fuite à l’infini est exactement ce que la compacité interdit.

Théorème 4.20 (Borel–Lebesgue)

Un espace métrique $X$ est compact si et seulement si tout recouvrement de $X$ par des ouverts admet un sous-recouvrement fini.

Démonstration. ( $\Leftarrow$ ) Supposons que $(x_n)$ n’a aucune sous-suite convergente. Nous affirmons que tout $x \in X$ a une boule $B(x, r_x)$ contenant $x_n$ pour un nombre fini d’indices $n$ seulement : sinon, toute boule $B(x, \frac1{k+1})$ contiendrait une infinité de termes, et en choisissant des indices

\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots \quad\text{avec}\quad x_{\varphi(k)} \in B\Bigl(x, \frac{1}{k+1}\Bigr)

(possible à chaque étape précisément parce qu’il reste une infinité de candidats) on construirait une sous-suite convergeant vers $x$ . Les boules $B(x, r_x)$ recouvrent $X$ ; si un nombre fini d’entre elles recouvrait $X$ , l’ensemble d’indices $\N$ serait une réunion finie d’ensembles finis : absurde.

( $\Rightarrow$ ) Deux étapes. Nombre de Lebesgue : pour un recouvrement ouvert $(U_i)$ d’un compact $X$ , il existe $\rho > 0$ tel que toute boule de rayon $\rho$ est contenue dans un $U_i$ . Sinon, pour chaque $n$ choisir $x_n$ avec $B(x_n, \frac{1}{n+1})$ dans aucun $U_i$ ; extraire $x_{\varphi(n)} \to x \in U_{i_0} \supseteq B(x, r)$ ; pour $n$ grand, $B(x_{\varphi(n)}, \frac{1}{\varphi(n)+1}) \subseteq B(x, r) \subseteq U_{i_0}$ : contradiction. Précompacité : pour tout $\rho > 0$ , un nombre fini de boules de rayon $\rho$ recouvre $X$ . Sinon choisir par récurrence $x_{n+1}$ hors de $B(x_0, \rho) \cup \dots \cup B(x_n, \rho)$ : la suite a des distances deux à deux $\geq \rho$ , donc aucune sous-suite de Cauchy — donc aucune convergente : contradiction. En combinant : recouvrir $X$ par un nombre fini de boules de rayon $\rho$ (le nombre de Lebesgue), chacune dans un certain $U_i$ : un sous-recouvrement fini. ∎

Exemple 4.21 (Un $\varepsilon$ -réseau, compté)

La précompacité (issue de la démonstration du Théorème 4.20) est très concrète sur $\intcc{0}{1}$ : pour $\varepsilon > 0$ , les $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ boules centrées en $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ de rayon $\varepsilon$ le recouvrent — environ $\frac1{2\varepsilon}$ boules, et aucun recouvrement ne peut se contenter de moins de $\frac{1}{2\varepsilon}$ d’entre elles (chaque boule couvre une longueur au plus $2\varepsilon$ ). Dans $\intcc01^2$ le compte s’élève au carré, à l’ordre $\varepsilon^{-2}$ : les nombres de recouvrement croissent comme $\varepsilon^{-d}$ en dimension $d$ — une face quantitative de la compacité, et la raison pour laquelle les boules unités de dimension infinie du Chapitre 5 (où aucun $\frac13$ -réseau fini n’existe) ne peuvent être compactes.

Exemple 4.22 (Lire la compacité sur les recouvrements)

L’intervalle semi-ouvert $\intoc{0}{1}$ est recouvert par les ouverts $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$ , $n \geq 1$ ; toute sous-famille finie a un plus grand indice $N$ et manque $\intoc{0}{\frac1N}$ : aucun sous-recouvrement fini, donc $\intoc{0}{1}$ n’est pas compact — ce que la définition séquentielle voit à travers $x_n = \frac1n$ , dont la limite $0$ s’échappe. En revanche, ajouter le seul point $0$ répare les deux diagnostics d’un coup : sur $\intcc{0}{1}$ tout tel recouvrement doit contenir un ensemble contenant $0$ , qui avale un segment initial entier, et un nombre fini d’ensembles finit le reste. Les deux langages du Théorème 4.20 échouent ou réussissent toujours de concert — les recouvrements détectent la fuite exactement là où les suites la détectent.

Remarque 4.23 (Perspectives dans ce volume)

Ce chapitre est le mur porteur du volume ; observez où chaque pilier porte du poids. Complétude : le critère de Cauchy devient le test de convergence des séries dans les espaces de Banach (Chapitre 7), la convergence uniforme du Chapitre 10 est exactement la convergence dans le complet $\bigl(C, d_\infty\bigr)$ , et Cauchy–Lipschitz (Chapitre 16) est le théorème du point fixe de Banach déguisé en équation intégrale. Compacité : elle prouve l’équivalence des normes (Chapitre 5), l’atteinte des extrema pour l’optimisation du Chapitre 15, et l’existence des meilleures approximations (le problème de fin de semaine du Chapitre 5). Connexité : elle globalise les énoncés locaux — l’unicité des solutions d’équations différentielles, le théorème des valeurs intermédiaires sur les courbes (Chapitre 18), et les deux composantes de $GL_n(\R)$ que la théorie de l’orientation (Chapitre 20) gardera séparées.

Remarque 4.24 (Pièges classiques)

(i) « Fermé et borné implique compact » est un théorème sur $\R^n$ , non sur les espaces métriques : un ensemble infini muni de la distance discrète est fermé et borné en lui-même mais non compact (Exercice 4.4), et la boule unité fermée de $C(\intcc01)$ échoue elle aussi (Chapitre 5). (ii) La complétude est une propriété de la distance, non de la topologie : $\R$ avec $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ a les mêmes suites convergentes usuelles mais est incomplet (Exercice 4.1). (iii) Une bijection continue n’est pas nécessairement un homéomorphisme — la paramétrisation du cercle du Exercice 4.7 ; la compacité de la source y remédie. (iv) Le théorème de Banach a besoin de $k < 1$ uniformément : la condition $d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ à elle seule ne garantit rien sur un espace non compact (Exercice 4.5). (v) Connexe n’implique pas connexe par arcs en général — mais pour les parties ouvertes des espaces normés rencontrées dans ce livre, les deux coïncident (Chapitre 5).

Remarque 4.25 (Où ce chapitre est utilisé)

Partout dans la moitié analytique. La complétude de $C(\intcc{a}{b})$ alimente les théorèmes de convergence du Chapitre 10 et la théorie de Cauchy–Lipschitz du Chapitre 16 (le problème de fin de semaine de ce chapitre prouve déjà le théorème local de Picard–Lindelöf) ; la compacité donne l’équivalence des normes en dimension finie (Chapitre 5) et l’existence des extrema dans le Chapitre 15 ; la connexité sous-tend les arguments de valeurs intermédiaires du Chapitre 8 et la globalisation de l’unicité pour les équations différentielles. Dans le volume de troisième année, la compacité dans les espaces de fonctions (le théorème d’Arzelà–Ascoli) et le théorème de Baire (Exercice 4.12 ici) deviennent des outils d’usage quotidien.

Les premières étapes de l’ensemble de Cantor () : chaque niveau supprime le tiers central ouvert de chaque segment. L’intersection C = _n C_n est compacte, d’intérieur vide et de longueur nulle, et pourtant équipotente à ℝ — et elle revient comme point fixe d’une contraction sur les ensembles dans le problème de fin de semaine de ce chapitre (question 22). — Les premières étapes de l’ensemble de Cantor (Exercice 4.8) : chaque niveau supprime le tiers central ouvert de chaque segment. L’intersection $C = \bigcap_n C_n$ est compacte, d’intérieur vide et de longueur nulle, et pourtant équipotente à $\R$ — et elle revient comme *point fixe* d’une contraction sur les ensembles dans le problème de fin de semaine de ce chapitre (question 22).

4.4 Connexité

Définition 4.26

$X$ est connexe lorsqu’il n’admet aucune partition en deux parties ouvertes non vides — de façon équivalente, lorsque ses seules parties à la fois ouvertes et fermées sont $\emptyset$ et $X$ . $X$ est connexe par arcs lorsque deux points quelconques sont joints par une application continue $\gamma \colon \intcc{0}{1} \to X$ .

Théorème 4.27

Les parties connexes de $\R$ sont exactement les intervalles.
Une image continue d’un espace connexe est connexe — d’où le théorème des valeurs intermédiaires général : une fonction réelle continue sur un espace connexe prend toute valeur comprise entre deux de ses valeurs.
Connexe par arcs $\Rightarrow$ connexe. (La réciproque est fausse en général ; elle est vraie pour les parties ouvertes des espaces normés, Chapitre 5.)

Démonstration. (1) Un $A$ non intervalle manque un $z$ entre deux de ses points : $A = (A \cap \intoo{-\infty}{z}) \cup (A \cap \intoo{z}{+\infty})$ le scinde en deux morceaux non vides ouverts (dans $A$ ). Réciproquement, soit $I$ un intervalle et $I = U \cup V$ une partition en parties non vides relativement ouvertes ; choisir $a \in U$ , $b \in V$ , disons $a < b$ , et poser $s = \sup\,(U \cap \intcc{a}{b})$ , un point de $\intcc{a}{b} \subseteq I$ . Si $s \in U$ : alors $s \neq b$ , et l’ouverture relative de $U$ met tout un intervalle autour de $s$ (intersecté avec $I$ ) dans $U$ — donc des points de $U \cap \intcc{a}{b}$ dépassent $s$ , contredisant le supremum. Si $s \in V$ : l’ouverture relative de $V$ met un intervalle $\intoo{s - r}{s + r} \cap I$ dans $V$ ; mais le supremum est adhérent à $U \cap \intcc{a}{b}$ , qui doit rencontrer cet intervalle — contradiction avec $U \cap V = \emptyset$ . (C’est l’argument des ouverts-fermés de première année pour $\R$ , mené à l’intérieur de $I$ .)

(2) Si $f(X) = U' \cup V'$ se scinde en parties non vides relativement ouvertes, alors $X = f^{-1}(U') \cup f^{-1}(V')$ scinde $X$ (Théorème 4.6). TVI : $f(X) \subseteq \R$ est connexe, donc un intervalle par (1).

(3) Supposons $X = U \cup V$ , tous deux non vides ouverts, et joignons $a \in U$ à $b \in V$ par un chemin $\gamma$ : alors $\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)$ scindent $\intcc{0}{1}$ , contredisant (1). ∎

Exemple 4.28

$GL_n(\R)$ n’est pas connexe : $\det$ est continu (un polynôme en les coefficients) sur $\R^*$ , qui n’est pas connexe ; les images réciproques de $\R_+^*$ et $\R_-^*$ scindent $GL_n(\R)$ . (Chaque morceau est en fait connexe par arcs — un exercice agréable au-delà de nos besoins.) Par contraste $GL_n(\C)$ est connexe par arcs : Exercice 4.10.

Exemple 4.29 (Un point fixe par la connexité seule)

Toute application continue $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ a un point fixe — pas d’hypothèse de contraction, pas d’itération. Considérer $g(x) = f(x) - x$ , continue sur le connexe $\intcc01$ :

g(0) = f(0) \geq 0, \qquad g(1) = f(1) - 1 \leq 0 ,

et le théorème des valeurs intermédiaires (Théorème 4.27 (2)) livre un zéro de $g$ , c’est-à-dire un point fixe de $f$ . À comparer avec Banach (Théorème 4.12) : ici l’existence est topologique et gratuite, mais l’unicité et l’algorithme sont perdus — $f = \mathrm{id}$ a tout point fixe, et l’itération d’un $f$ non contractant peut boucler à jamais. Les deux théorèmes de point fixe de ce chapitre répondent à des questions différentes avec des monnaies différentes.

Exemple 4.30 ( $\R$ et $\R^2$ ne sont pas homéomorphes)

La connexité est une empreinte topologique. Supposons que $h \colon \R^2 \to \R$ soit un homéomorphisme (une bijection continue de réciproque continue). Retirer un point $a \in \R^2$ : la restriction $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ est encore un homéomorphisme. Mais $\R^2$ privé d’un point est connexe par arcs — joindre deux points quelconques par un segment, en faisant un détour par un second segment via un point auxiliaire si $a$ bloque le chemin direct — donc connexe (Théorème 4.27 (3)) ; tandis que $\R$ privé d’un point se scinde en deux demi-droites ouvertes non vides : non connexe. La connexité est préservée par les applications continues : contradiction. Le plan et la droite sont véritablement différents en tant qu’espaces topologiques — un fait que la cardinalité seule (des bijections de type Exercice 1.3 existent bien !) est trop grossière pour voir.

4.5 Exercices

Exercice 4.1 ★

Sur $\R$ , vérifier que $\delta(x, y) = \min(1, \abs{x - y})$ et $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ sont des distances. Quelles suites convergent pour chacune ? $(\R, d)$ est-il complet ?

Solution

Solution de Exercice 4.1.

$\delta$ : la symétrie et la séparation sont claires ; inégalité triangulaire : $\min(1, u + v) \leq \min(1,u) + \min(1,v)$ pour $u, v \geq 0$ (si l’un des min vaut $1$ , le membre de droite est $\geq 1$ ; sinon il vaut $u + v$ ). $d$ : c’est le tiré en arrière de $\abs{\cdot}$ par l’injective $\arctan$ : les trois axiomes se transfèrent.

Convergence : pour $\delta$ , $\delta(x_n, x) \to 0 \iff \abs{x_n - x} \to 0$ (pour les petites valeurs les deux distances coïncident) : mêmes suites convergentes que d’habitude. Pour $d$ : $d(x_n, x) \to 0 \iff \arctan x_n \to \arctan x \iff x_n \to x$ (continuité et stricte monotonie de $\arctan$ et de sa réciproque sur les plages concernées) : à nouveau la convergence usuelle.

$(\R, d)$ n’est pas complet : $x_n = n$ vérifie $d(x_p, x_q) = \abs{\arctan p - \arctan q} \to 0$ (les deux tendent vers $\frac\pi2$ ) : de Cauchy ; mais $(x_n)$ ne converge pas pour $d$ (sa $d$ -limite serait une limite ordinaire). La complétude est une propriété de la distance, non seulement des suites convergentes.

Exercice 4.2 ★

Dans un espace métrique, prouver qu’une suite convergente est de Cauchy et bornée, et qu’une suite de Cauchy ayant une sous-suite convergente converge. En déduire à nouveau que les espaces métriques compacts sont complets.

Solution

Solution de Exercice 4.2.

Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy : $d(x_p, x_q) \leq d(x_p, \ell) + d(\ell, x_q)$ . Bornée : au-delà de $N$ , $d(x_n, \ell) \leq 1$ ; les quelques premiers termes sont eux aussi dans un certain rayon.

De Cauchy $+$ sous-suite convergente $x_{\varphi(n)} \to \ell$ : étant donné $\varepsilon$ , pour $n$ grand, $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) \leq 2\varepsilon$ (le premier terme par Cauchy, puisque $\varphi(n) \geq n$ ).

Compact $\Rightarrow$ complet : une suite de Cauchy a une sous-suite convergente (compacité), donc converge.

Exercice 4.3 ★

Dans $\bigl(C(\intcc{0}{1}), d_\infty\bigr)$ , calculer la distance entre $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ ; décrire la boule fermée $\overline B(0, 1)$ ; et prouver que l’ensemble $\{f : f(0) = 0\}$ est fermé tandis que $\{f : f(0) > 0\}$ est ouvert.

Solution

Solution de Exercice 4.3.

$d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{0}{1}} \abs{x - x^2} = \frac14$ (maximum de $x - x^2$ en $x = \frac12$ ).

$\overline B(0, 1) = \{f : \sup\abs f \leq 1\}$ : les fonctions continues à valeurs dans $\intcc{-1}{1}$ .

$\{f : f(0) = 0\}$ est l’image réciproque de $\{0\}$ par l’évaluation $f \mapsto f(0)$ , qui est $1$ -lipschitzienne ( $\abs{f(0) - g(0)} \leq d_\infty(f,g)$ ), donc continue : l’ensemble est fermé (Théorème 4.6). De même $\{f : f(0) > 0\}$ est l’image réciproque de l’ouvert $\intoo{0}{+\infty}$ : ouvert.

Exercice 4.4 ★★

Prouver que l’espace métrique discret $X$ (un ensemble quelconque) est complet, et qu’il est compact si et seulement si $X$ est fini. Quelles parties sont connexes ?

Solution

Solution de Exercice 4.4.

Complet : une suite de Cauchy avec $\varepsilon = \frac12$ est constante à partir d’un certain rang, donc convergente.

Compact ssi fini : si $X$ est fini, toute suite prend une certaine valeur une infinité de fois (sous-suite constante). Si $X$ est infini, une suite de points deux à deux distincts a toutes ses distances mutuelles égales à $1$ : aucune sous-suite de Cauchy, donc aucune convergente.

Parties connexes : les singletons (et $\emptyset$ ). Tout $A$ ayant deux points $x \neq y$ se scinde en $\{x\} \cup (A \setminus\{x\})$ , tous deux ouverts dans $A$ (toute partie d’un espace discret est ouverte — les boules de rayon $\frac12$ sont des singletons).

Exercice 4.5 ★★

Soit $X$ compact et $f \colon X \to X$ avec

d\bigl(f(x), f(y)\bigr) < d(x, y) \quad \text{pour tous } x \neq y .

Prouver que $f$ a un unique point fixe (minimiser $x \mapsto d(x, f(x))$ ), et donner un exemple sur $X = \intco{1}{+\infty}$ (non compact) sans point fixe.

Solution

Solution de Exercice 4.5.

La fonction $g(x) = d(x, f(x))$ est continue sur le compact $X$ ( $\abs{g(x) - g(y)} \leq 2d(x,y)$ par deux inégalités triangulaires), donc elle atteint son minimum en un certain $a$ (Théorème 4.16). Si $f(a) \neq a$ :

g\bigl(f(a)\bigr) = d\bigl(f(a), f(f(a))\bigr) < d(a, f(a)) = g(a),

contredisant la minimalité. Donc $f(a) = a$ ; unicité comme d’habitude (deux points fixes $a \neq b$ donnent $d(a,b) = d(f(a), f(b)) < d(a,b)$ ).

Exemple non compact : $f(x) = x + \frac1x$ sur $\intco{1}{+\infty}$ : $\abs{f(x) - f(y)} = \abs{x - y}\,\abs{1 - \frac{1}{xy}} < \abs{x - y}$ pour $x \neq y$ (car $xy > 1$ ), et pourtant $f(x) > x$ partout.

Exercice 4.6 ★★

(Compacts emboîtés) Soit $(K_n)$ une suite décroissante de parties compactes non vides d’un espace métrique. Prouver que $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ (choisir $x_n \in K_n$ et extraire). Montrer par un exemple que des fermés emboîtés non vides dans $\R$ peuvent avoir une intersection vide.

Solution

Solution de Exercice 4.6.

Choisir $x_n \in K_n$ . Tous les termes à partir du rang $n$ sont dans $K_n$ ; en particulier toute la suite est dans le compact $K_0$ : extraire $x_{\varphi(k)} \to \ell$ . Pour chaque $n$ fixé, les termes $x_{\varphi(k)}$ avec $\varphi(k) \geq n$ sont dans le fermé $K_n$ , donc la limite $\ell \in K_n$ . Donc $\ell \in \bigcap K_n$ .

Contre-exemple fermé : $F_n = \intco{n}{+\infty}$ dans $\R$ : emboîtés, fermés, non vides, intersection vide.

Exercice 4.7 ★★

Soit $K$ compact et $f \colon K \to Y$ continue et bijective. Prouver que $f^{-1}$ est continue (utiliser les fermés : Théorème 4.6 et Théorème 4.16). Donner un contre-exemple sans compacité ( $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ sur $\intco{0}{2\pi}$ ).

Solution

Solution de Exercice 4.7.

La continuité de $f^{-1}$ signifie : les images $f(F)$ des fermés $F \subseteq K$ sont fermées (les images réciproques par $f^{-1}$ sont les images par $f$ ). Un fermé $F$ dans le compact $K$ est compact (Théorème 4.16 (1)) ; son image continue $f(F)$ est compacte, donc fermée. Donc $f^{-1}$ est continue : $f$ est un homéomorphisme.

Contre-exemple : $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ de $\intco{0}{2\pi}$ (non compact) sur le cercle unité est une bijection continue, mais $\gamma^{-1}$ est discontinue en $(1,0)$ : les points du cercle juste en dessous de l’axe ont des paramètres proches de $2\pi$ , non de $0$ .

Exercice 4.8 ★★

L’ensemble de Cantor $C$ s’obtient à partir de $\intcc{0}{1}$ en supprimant répétitivement les tiers centraux ouverts. Prouver que $C$ est compact, d’intérieur vide, et infini — en fait équipotent à $\{0,1\}^{\N}$ (développements en base trois avec chiffres $0,2$ ; Exercice 1.3).

Solution

Solution de Exercice 4.8.

$C = \bigcap_n C_n$ où chaque $C_n$ (réunion de $2^n$ intervalles fermés de longueur $3^{-n}$ ) est fermé : $C$ est fermé et borné dans $\R$ , donc compact (Théorème 4.16 (2)).

Intérieur vide : $C$ ne contient aucun intervalle de longueur $> 3^{-n}$ (il est dans $C_n$ , dont les composantes ont cette longueur), pour tout $n$ .

Cardinalité : les points de $C$ sont exactement les réels $\sum_{n\geq1} a_n 3^{-n}$ avec chiffres $a_n \in \{0, 2\}$ (à chaque étape, le tiers central supprimé retire le chiffre $1$ ) ; l’application $(a_n) \mapsto \sum a_n 3^{-n}$ est une bijection de $\{0,2\}^{\N^*}$ sur $C$ (injectivité comme dans le Exercice 1.3). Donc $C$ est équipotent à $\{0,1\}^{\N}$ : non dénombrable, bien que de « longueur nulle ».

Exercice 4.9 ★★★

Soit $X$ un espace métrique compact et $f \colon X \to X$ une isométrie : $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ . Prouver que $f$ est surjective. Indication : si $a \notin f(X)$ , alors $\varepsilon = d(a, f(X)) > 0$ (pourquoi ?) ; étudier l’orbite $a, f(a), f^2(a), \dots$ et montrer que ses points sont deux à deux distants de $\geq \varepsilon$ — contradiction avec la compacité.

Solution

Solution de Exercice 4.9.

Supposons $a \notin f(X)$ . L’image $f(X)$ est compacte (image continue), donc fermée ; ainsi

\varepsilon = d\bigl(a, f(X)\bigr) = \inf_{y \in f(X)} d(a, y) > 0

(l’infimum d’une fonction continue sur un compact est atteint ; s’il valait $0$ , $a$ serait adhérent au fermé $f(X)$ , donc dedans).

Considérer l’orbite $x_n = f^n(a)$ ( $x_0 = a$ ). Pour $p < q$ :

d(x_p, x_q) = d\bigl(f^p(a), f^p(f^{q-p}(a))\bigr) = d\bigl(a, f^{q-p}(a)\bigr) \geq \varepsilon,

(isométrie itérée $p$ fois ; et $f^{q-p}(a) \in f(X)$ puisque $q - p \geq 1$ ). Une suite à distances mutuelles $\geq \varepsilon$ n’a aucune sous-suite convergente — contredisant la compacité. Donc $f(X) = X$ .

Exercice 4.10 ★★★

Prouver que $GL_n(\C)$ est connexe par arcs. Indication : étant donné $A, B$ inversibles, considérer $p(z) = \det\bigl((1 - z)A + zB\bigr)$ pour $z \in \C$ : un polynôme en $z$ , non identiquement nul, donc à racines en nombre fini ; joindre $0$ à $1$ dans $\C$ par un chemin les évitant.

Solution

Solution de Exercice 4.10.

Soit $A, B \in GL_n(\C)$ et $p(z) = \det\bigl((1-z)A + zB\bigr)$ : un polynôme en $z$ (chaque coefficient est affine en $z$ ; le déterminant est un polynôme en les coefficients). $p(0) = \det A \neq 0$ : $p$ n’est pas identiquement nul, donc il a un nombre fini de racines $z_1, \dots, z_m$ (aucune égale à $0$ ni à $1$ : $p(1) = \det B \neq 0$ ). Le plan $\C$ privé d’un nombre fini de points est connexe par arcs : un chemin de $0$ à $1$ évitant les $z_i$ existe (prendre une ligne brisée passant par un point loin de toutes les racines, ou un arc de cercle ; un nombre fini d’obstacles seulement). Le long d’un tel chemin $\gamma$ , $t \mapsto (1 - \gamma(t))A + \gamma(t)B$ est un chemin continu à l’intérieur de $GL_n(\C)$ de $A$ à $B$ (le déterminant ne s’y annule jamais). Donc $GL_n(\C)$ est connexe par arcs — contrairement à son cousin réel (Exemple 4.28) : le plan complexe a la place de contourner les obstacles.

Exercice 4.11 ★★

Pour $\emptyset \neq A \subseteq X$ , poser $d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)$ . Prouver que $x \mapsto d(x, A)$ est $1$ -lipschitzienne, que $d(x, A) = 0$ si et seulement si $x \in \overline A$ , et que pour des fermés disjoints non vides $A, B$ la fonction

\varphi(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}

est bien définie, continue, égale à $0$ exactement sur $A$ et à $1$ exactement sur $B$ — un « interrupteur » continu séparant deux fermés disjoints quelconques.

Solution

Solution de Exercice 4.11.

Lipschitz : pour $a \in A$ , $d(x, a) \leq d(x, y) + d(y, a)$ ; prendre l’infimum sur $a$ : $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$ , et échanger $x, y$ : $\abs{d(x,A) - d(y,A)} \leq d(x,y)$ .

Annulation : $d(x, A) = 0$ ssi il existe $a_n \in A$ avec $d(x, a_n) \to 0$ ssi $x$ est limite de points de $A$ ssi $x \in \overline A$ .

L’interrupteur : pour des fermés disjoints $A, B$ : le dénominateur $d(x,A) + d(x,B)$ ne s’annule jamais (cela forcerait $x \in \overline A \cap \overline B = A \cap B = \emptyset$ ), donc $\varphi$ est bien définie, et continue comme quotient de fonctions continues de dénominateur ne s’annulant pas. $\varphi(x) = 0$ ssi $d(x, A) = 0$ ssi $x \in A$ ; $\varphi(x) = 1$ ssi $d(x, B) = 0$ ssi $x \in B$ ; et $0 \leq \varphi \leq 1$ partout.

Exercice 4.12 ★★★

(Baire) Soit $X$ un espace métrique complet et $(U_n)_{n\geq1}$ une suite de parties ouvertes denses. Prouver que $\bigcap_n U_n$ est dense dans $X$ (à l’intérieur d’une boule quelconque, construire des boules fermées emboîtées $\overline B(x_n, r_n) \subseteq U_n$ avec $r_n \to 0$ et utiliser la complétude). En déduire que $\R$ n’est pas une réunion dénombrable de fermés d’intérieur vide, et retrouver — encore — que $\R$ est non dénombrable.

Solution

Solution de Exercice 4.12.

Soit $B(x_0, r_0)$ une boule quelconque ; nous y trouvons un point de $\bigcap U_n$ . Comme $U_1$ est dense et ouvert, $U_1 \cap B(x_0, r_0)$ est non vide et ouvert : il contient une boule fermée $\overline B(x_1, r_1)$ avec $0 < r_1 \leq \frac{r_0}2$ (rétrécir le rayon). Par récurrence, $U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ est non vide ouvert : choisir $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ avec $r_{n+1} \leq \frac{r_n}2$ . Pour $p, q \geq n$ , $x_p$ et $x_q$ sont dans $B(x_n, r_n)$ avec $r_n \leq 2^{-n}r_0$ : la suite est de Cauchy, et converge vers un $\ell$ par complétude. Pour chaque $n$ , la queue de la suite est dans la boule fermée $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_0, r_0)$ , donc $\ell \in U_{n+1}$ pour tout $n$ et $\ell \in \overline B(x_1, r_1) \subseteq B(x_0, r_0)$ . Donc $\bigcap_n U_n$ rencontre toute boule : dense.

Application : si $\R = \bigcup_n F_n$ avec $F_n$ fermés d’intérieur vide, alors $U_n = \R \setminus F_n$ sont denses ( $\overline{U_n} = \R$ ssi $F_n$ est d’intérieur vide) et ouverts, et Baire donne un point dans $\bigcap U_n = \R \setminus \bigcup F_n$ : contradiction. En particulier $\R \neq \bigcup_{x \in D} \{x\}$ pour un $D$ dénombrable (les singletons sont fermés d’intérieur vide) : $\R$ est non dénombrable — Théorème 1.9 par une autre voie.

4.6 Problème : itération de Picard

Complétude plus contraction est une machine à résoudre : donnez-lui une équation écrite comme un problème de point fixe, et elle renvoie existence, unicité, un algorithme, et des barres d’erreur. Ce problème de fin de semaine fait tourner la machine à pleine puissance sur l’équation $y' = f(t, y)$ : nous prouvons le théorème local de Picard–Lindelöf (le cœur non linéaire de la théorie de Cauchy–Lipschitz du Chapitre 16), observons chaque hypothèse gagner son pain à travers des contre-exemples, et récoltons des dividendes purement métriques — dépendance continue par rapport aux données, équation de Kepler, et auto-similarité de l’ensemble de Cantor.

Itérés de Picard pour y' = y, y(0) = 1 : chaque passage par T(y)(t) = 1 + ∈t_0t y ajoute un terme de Taylor, et la contraction resserre toute la suite uniformément sur \,t. — Itérés de Picard pour $y' = y$ , $y(0) = 1$ : chaque passage par $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ ajoute un terme de Taylor, et la contraction resserre toute la suite uniformément sur $\eu^{\,t}$ .

Problème 4.1

Problème de fin de semaine — le théorème de Picard–Lindelöf

Tout au long, $t_0 \in \R$ , $y_0 \in \R$ , $a, b > 0$ , et $f$ est une fonction continue sur le rectangle $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a} \times \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ , bornée par $M = \sup_R\,\abs f$ , et $L$ -lipschitzienne en sa seconde variable : $\abs{f(t, y) - f(t, z)} \leq L\abs{y - z}$ dès que les deux points sont dans $R$ . Poser

h = \min\Bigl(a, \frac bM\Bigr) \quad (\text{avec } h = a \text{ si } M = 0), \qquad I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}.

Partie I — L’étage complet.

Prouver les deux assertions citées dans la Définition 4.7 : une partie fermée d’un espace métrique complet est complète, et une partie complète d’un espace métrique quelconque est fermée. En déduire que toute partie fermée de $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ est un espace métrique complet.
Montrer que l’application $C(I) \to C(I)$ , $y \mapsto \bigl(t \mapsto \int_{t_0}^{t}y(s)\,\dd s\bigr)$ , est $h$ -lipschitzienne pour $d_\infty$ .
(Les points fixes bougent moins que les applications) Soit $g \colon X \to X$ une $k$ -contraction d’un espace métrique de point fixe $\ell_g$ , et $\widetilde g \colon X \to X$ une application quelconque ayant un point fixe $\ell_{\widetilde g}$ . Prouver

$d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) \leq \frac{d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)}{1 - k} \leq \frac{\sup_{x \in X} d\bigl(g(x), \widetilde g(x)\bigr)}{1 - k}.$
(L’astuce de l’itéré) Soit $X$ complet non vide et $g \colon X \to X$ une application — non supposée continue — telle qu’un certain itéré $g^m$ soit une $k$ -contraction. Prouver que $g$ a un unique point fixe $\ell$ et que toute orbite $x_{n+1} = g(x_n)$ converge vers $\ell$ . (Les points fixes de $g$ sont des points fixes de $g^m$ ; réciproquement $g(\ell)$ est un point fixe de $g^m$ ; découper l’orbite selon les résidus mod $m$ .)

Partie II — Le théorème de Picard–Lindelöf.

Montrer qu’une fonction $y \colon I \to \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ est $C^1$ avec $y(t_0) = y_0$ et $y' = f(t, y)$ sur $I$ si et seulement si elle est continue et satisfait l’équation intégrale

$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s \qquad (t \in I).$
Soit $X_h = \{y \in C(I) : \abs{y(t) - y_0} \leq b \text{ sur } I\}$ et soit $T$ défini par $T(y)(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s$ . Montrer que $X_h$ est une partie fermée non vide de $C(I)$ , donc complète, et que $T$ envoie $X_h$ dans $X_h$ — c’est ici que $h \leq b/M$ opère.
Montrer que $d_\infty\bigl(T(y), T(z)\bigr) \leq Lh\,d_\infty(y, z)$ sur $X_h$ : si $Lh < 1$ , le théorème de Banach conclut déjà. Nous supprimons cette condition de petitesse ensuite.
Prouver par récurrence sur $n$ :

$\abs{T^n(y)(t) - T^n(z)(t)} \leq \frac{\bigl(L\abs{t - t_0}\bigr)^n}{n!}\, d_\infty(y, z) \qquad (y, z \in X_h,\ t \in I),$

de sorte qu’un certain itéré de $T$ est une contraction. Conclure avec la question 4 (le théorème de Picard–Lindelöf) : le problème de Cauchy $y' = f(t,y)$ , $y(t_0) = y_0$ a exactement une solution sur $I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}$ à valeurs dans $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .
Montrer que la restriction « à valeurs dans $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ » est automatique : toute solution du problème de Cauchy définie sur $I$ dont le graphe part dans $R$ reste dans $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ (considérer le premier instant de sortie et majorer $\abs{y(t) - y_0}$ par $M\abs{t - t_0}$ ). Donc l’unicité vaut parmi toutes les solutions sur $I$ .
Faire tourner la machine sur $y' = y$ , $y(0) = 1$ , en partant de la constante $y^{(0)} \equiv 1$ : calculer les itérés de Picard $y^{(n)}$ , les identifier, et décrire la convergence.

Partie III — Chaque hypothèse gagne son pain.

(Lipschitz échoue, l’unicité échoue) Pour $y' = 2\sqrt{\abs y}$ , $y(0) = 0$ : vérifier que $y \equiv 0$ et, pour tout $c \geq 0$ , la fonction $y_c(t) = 0$ pour $t \leq c$ , $y_c(t) = (t - c)^2$ pour $t > c$ , sont toutes des solutions $C^1$ sur $\R$ . Où exactement $y \mapsto 2\sqrt{\abs y}$ cesse-t-il d’être lipschitzien ?
(La localité est réelle) Pour $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : résoudre explicitement, donner l’intervalle maximal d’existence, et calculer le meilleur $h$ que le théorème peut certifier sur tous les choix du rectangle ( $a$ grand, $b$ libre) : montrer $h_{\max} = \sup_{b>0} \frac{b}{(1+b)^2} = \frac14$ , tandis que la vraie solution vit sur $\intoo{-\infty}{1}$ .
(La complétude n’est pas du décor) Sur $X = \Q \cap \intcc{1}{2}$ avec la distance usuelle, soit $g(x) = \frac x2 + \frac1x$ . Montrer que $g(X) \subseteq X$ , que $g$ est une $\frac12$ -contraction (inégalité des accroissements finis), et que $g$ n’a aucun point fixe dans $X$ . Quelle hypothèse du théorème de Banach échoue, et quel est le point fixe dans le complété ?
(Barres d’erreur) Pour une $k$ -contraction $g$ sur un espace complet, prouver l’estimation a posteriori $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}\,d(x_n, x_{n-1})$ . Pour l’application de Héron $g(x) = \frac x2 + \frac 1x$ sur $\intcc{1}{2}$ (point fixe $\sqrt2$ ), en partant de $x_0 = \frac32$ : combien d’étapes la majoration a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1, x_0)$ exige-t-elle pour une précision $10^{-6}$ , et combien d’étapes suffisent en réalité ? (Calculer $x_1, x_2, x_3$ et leurs erreurs ; la majoration par contraction est honnête mais pessimiste — Héron converge quadratiquement.)

Partie IV — Dépendance continue. Dans cette partie $Lh < 1$ , donc $T$ lui-même est une contraction sur $X_h$ (question 7) ; on note $y[\,y_0\,]$ la solution de valeur initiale $y_0$ .

(Dépendance en la valeur initiale) Soit $z_0$ une autre valeur initiale avec $\abs{z_0 - y_0}$ assez petit pour que les deux problèmes tiennent dans le rectangle. En utilisant la question 3, prouver

$d_\infty\bigl(y[y_0], y[z_0]\bigr) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh}.$
(Longs intervalles par chaînage) Supposons que les solutions existent sur un long segment découpé en $m$ morceaux consécutifs sur chacun desquels la majoration précédente s’applique avec $Lh \leq \frac12$ . Montrer que l’écart croît d’un facteur au plus $2$ par morceau, donc $d_\infty \leq 2^m\abs{y_0 - z_0}$ au total — une majoration exponentielle en la longueur, l’ombre discrète du $\eu^{L\abs{t - t_0}}$ du lemme de Gronwall (Chapitre 16).
(Dépendance en le champ) Soit $g$ un autre champ sur $R$ , également $L$ -lipschitzien en $y$ , avec $\sup_R \abs{f - g} \leq \varepsilon$ . Prouver que les solutions correspondantes satisfont $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ : l’erreur de modélisation se propage linéairement.
(Paramètres) Si une famille $f_\lambda$ de champs est $L$ -lipschitzienne en $y$ uniformément et $\sup_R\abs{f_\lambda - f_\mu} \leq C\abs{\lambda - \mu}$ , en déduire que $\lambda \mapsto y_\lambda$ est lipschitzienne de l’espace des paramètres vers $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ .
(Les systèmes ne coûtent rien) Expliquer pourquoi les parties I, II et IV valent mot pour mot pour $y$ à valeurs dans $\R^n$ (distances sup bâties sur l’une des distances du Exemple 4.2), puis calculer tous les itérés de Picard pour le système $y' = Ay$ , $y(0) = (c_1, c_2)$ , $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : montrer que l’itération devient stationnaire à la solution exacte après une étape.

Partie V — Dividendes métriques et synthèse.

(Perturbation de l’identité) Soit $X$ un étage complet de type espace normé : prendre $X = C(I)$ ou $\R^n$ . Si $\eta \colon X \to X$ est $k$ -lipschitzienne avec $k < 1$ , prouver que $x \mapsto x + \eta(x)$ est une bijection de $X$ dont la réciproque est $\frac1{1-k}$ -lipschitzienne (pour chaque $y$ , appliquer Banach à $x \mapsto y - \eta(x)$ ). C’est le cœur métrique du théorème d’inversion locale (Chapitre 15).
(Équation de Kepler) Pour $0 \leq e < 1$ et $m \in \R$ , prouver que $x = m + e\sin x$ a exactement une solution, que l’itération $x_{n+1} = m + e\sin x_n$ converge vers elle depuis tout point de départ, et estimer : pour $e = \frac12$ , $m = 1$ , combien d’itérations garantissent une erreur $\leq 10^{-3}$ par la majoration a priori ? (La solution est $x \approx 1.4987$ .)
(L’ensemble de Cantor est un point fixe) Soit $S_1(x) = \frac x3$ et $S_2(x) = \frac x3 + \frac23$ sur $\R$ , et soit $C$ l’ensemble de Cantor du Exercice 4.8. Prouver $C = S_1(C) \cup S_2(C)$ , et expliquer en une phrase pourquoi aucun autre ensemble compact non vide ne satisfait cette équation (l’application $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ est une contraction pour une distance entre compacts — la distance de Hausdorff, rendue rigoureuse dans le volume de troisième année).
(La connexité globalise l’unicité) Soit $f$ localement lipschitzienne en $y$ sur un ouvert, et soient $y, z$ deux solutions de $y' = f(t, y)$ sur un intervalle commun $J$ avec $y(t_0) = z(t_0)$ . Prouver $y = z$ sur $J$ : montrer que $\{t \in J : y(t) = z(t)\}$ est non vide, fermé dans $J$ , et ouvert dans $J$ (par unicité locale), et utiliser la connexité des intervalles (Théorème 4.27).
(Pas de petitesse pour les équations linéaires) Pour $y' = \alpha(t)y + \beta(t)$ avec $\alpha, \beta$ continues sur un segment $\intcc{A}{B}$ , adapter la question 8 pour montrer que la majoration factorielle vaut sur le segment entier, donc existence et unicité sont globales là-dessus — le cas scalaire du théorème de Cauchy–Lipschitz du Chapitre 16, sans restriction sur la longueur $B - A$ .
(Synthèse) Une phrase pour chacun : ce qu’a apporté la complétude ; ce qu’a apporté la contraction ; ce qu’a acheté l’astuce de l’itéré par rapport au Banach ordinaire ; où la connexité est entrée ; et quel contre-exemple de la partie III garde quelle hypothèse. Nommer le théorème sommet, et dire ce qui remplace la contraction lorsque $f$ est seulement continue (le théorème de Peano, via la compacité dans les espaces de fonctions — l’Arzelà–Ascoli du volume de troisième année).

Solution

Solution de Problème 4.1.

1. Soit $F$ fermé dans le complet $X$ et $(x_n) \subseteq F$ de Cauchy : elle converge dans $X$ vers un $\ell$ , et $\ell \in F$ car $F$ est fermé (les limites de suites de $F$ restent dans $\overline F = F$ ) : $F$ est complet. Réciproquement soit $A \subseteq X$ complet et $x \in \overline A$ : une certaine suite de $A$ converge vers $x$ ; elle est de Cauchy, donc elle converge dans $A$ ; les limites sont uniques, donc $x \in A$ : $A$ fermé. Comme $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ est complet (Théorème 4.9), ses parties fermées sont complètes.

2. Pour $y, z \in C(I)$ et $t \in I$ :

\Bigl|\int_{t_0}^{t}y - \int_{t_0}^{t}z\Bigr| \leq \abs{t - t_0}\,\sup_I\abs{y - z} \leq h\,d_\infty(y, z),

et prendre le sup sur $t$ .

3. En utilisant les deux équations de point fixe et l’inégalité triangulaire :

d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) = d\bigl(g(\ell_g), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq d\bigl(g(\ell_g), g(\ell_{\widetilde g})\bigr) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq k\,d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr),

et résoudre en $d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})$ (le coefficient $1 - k$ est positif). La seconde inégalité majore l’écart évalué par l’écart uniforme.

4. $g^m$ est une contraction sur un espace complet non vide : elle a un unique point fixe $\ell$ (Théorème 4.12). Alors $g^m(g(\ell)) = g(g^m(\ell)) = g(\ell)$ : $g(\ell)$ est un point fixe de $g^m$ , donc $g(\ell) = \ell$ par unicité. Tout point fixe de $g$ en est un de $g^m$ : unicité pour $g$ . Orbites : fixer $r \in \{0, \dots, m-1\}$ ; la sous-suite $(x_{qm + r})_q$ est la $g^m$ -orbite partant de $x_r$ , donc elle converge vers $\ell$ quand $q \to \infty$ (Banach à nouveau). Les $m$ sous-suites convergent vers le même $\ell$ , donc $x_n \to \ell$ : étant donné $\varepsilon$ , chaque classe de résidus est à terme à moins de $\varepsilon$ , et il y a un nombre fini de classes.

5. Si $y$ est continue à valeurs dans $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ , l’intégrande $s \mapsto f(s, y(s))$ est continu sur $I$ (composition), donc le membre de droite est $C^1$ de dérivée $f(t, y(t))$ (théorème fondamental de l’analyse, volume de première année). Si $y$ satisfait l’équation intégrale, elle est cette fonction $C^1$ , $y(t_0) = y_0$ , et $y' = f(t, y)$ . Réciproquement, en intégrant $y' = f(s, y(s))$ de $t_0$ à $t$ on obtient l’équation intégrale.

6. $X_h$ contient la constante $y_0$ ; il est fermé comme image réciproque de $\intcc{0}{b}$ par l’application continue $y \mapsto d_\infty(y, y_0)$ (les distances sont $1$ -lipschitziennes), donc complet par la question 1. Stabilité : pour $y \in X_h$ et $t \in I$ ,

\abs{T(y)(t) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s\Bigr| \leq M\abs{t - t_0} \leq Mh \leq b ,

la dernière étape par $h \leq b/M$ (ou $M = 0$ , trivial). Et $T(y)$ est continue ( $C^1$ même, question 5) : $T(y) \in X_h$ .

7. Pour $t \in I$ :

\abs{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t}\abs{f(s, y(s)) - f(s, z(s))}\,\abs{\dd s} \leq L\abs{t - t_0}\,d_\infty(y,z) \leq Lh\,d_\infty(y,z).

Si $Lh < 1$ : $T$ est une contraction du complet non vide $X_h$ , et Banach donne un unique point fixe — par la question 5, l’unique solution.

8. Récurrence ; le cas $n = 1$ est l’inégalité médiane de la question 7. En supposant la majoration pour $n$ , pour $t \geq t_0$ (le cas $t \leq t_0$ est symétrique) :

\abs{T^{n+1}(y)(t) - T^{n+1}(z)(t)} \leq L\int_{t_0}^{t}\abs{T^n(y)(s) - T^n(z)(s)}\dd s \leq L\int_{t_0}^{t}\frac{L^n(s - t_0)^n}{n!}\dd s\; d_\infty(y,z),

et l’intégrale vaut $\frac{L^n(t - t_0)^{n+1}}{(n+1)!}$ : la majoration avec $n + 1$ . Donc $d_\infty(T^n y, T^n z) \leq \frac{(Lh)^n}{n!}d_\infty(y, z)$ , et $\frac{(Lh)^n}{n!} \to 0$ (la série exponentielle converge) : un certain $T^m$ est une contraction. La question 4 s’applique sur le complet $X_h$ : $T$ a un unique point fixe, c’est-à-dire le problème de Cauchy a exactement une solution sur $I$ à valeurs dans $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .

9. Soit $y$ une solution du problème sur $I$ et supposons l’ensemble $E = \{t \in I, t > t_0 : \abs{y(t) - y_0} > b\}$ non vide (le côté $t < t_0$ est symétrique) ; soit $\tau = \inf E$ . Par continuité, $\abs{y(s) - y_0} \leq b$ pour $s \in \intcc{t_0}{\tau}$ , donc le graphe y est dans $R$ , l’équation intégrale vaut jusqu’à $\tau$ , et

\abs{y(\tau) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{\tau}f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s\Bigr| \leq M(\tau - t_0) \leq Mh \leq b .

Si $\tau < t_0 + h$ , des points de $E$ arbitrairement proches de $\tau$ par la droite donnent, par continuité, $\abs{y(\tau) - y_0} \geq b$ , donc $= b$ ; mais alors l’affichage force $M(\tau - t_0) = Mh$ , c’est-à-dire $\tau = t_0 + h$ : contradiction. Donc $\tau = t_0 + h$ , $E \subseteq \{t_0 + h\}$ , et l’affichage (en $\tau = t_0 + h$ ) donne $\abs{y(t_0 + h) - y_0} \leq b$ , contredisant l’appartenance à $E$ . Donc $E = \emptyset$ : toute solution sur $I$ reste dans la bande, est un point fixe de $T$ dans $X_h$ , et l’unicité est inconditionnelle.

10. $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ . En partant de $y^{(0)} \equiv 1$ :

y^{(1)}(t) = 1 + t,\quad y^{(2)}(t) = 1 + t + \frac{t^2}2,\quad\dots\quad y^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}

(récurrence : intégrer la somme partielle ajoute le terme suivant). Ce sont les sommes partielles de Taylor de $\eu^{\,t}$ ; sur tout $I$ borné elles convergent uniformément vers $\eu^{\,t}$ (la queue est dominée par la série numérique convergente $\sum h^k/k!$ ), qui est bien l’unique solution.

11. $y \equiv 0$ est une solution. Pour $y_c$ : elle est $C^1$ (les deux morceaux le sont, et en $t = c$ les dérivées coïncident : $0$ et $2(t - c) \to 0$ ), et pour $t > c$ : $y_c' = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{y_c}}$ ; pour $t \leq c$ les deux membres s’annulent. Donc le problème de Cauchy $y(0) = 0$ a une infinité de solutions ( $c \geq 0$ arbitraire, et $y \equiv 0$ ). Le champ $\varphi(y) = 2\sqrt{\abs y}$ n’est pas lipschitzien près de $0$ : $\frac{\varphi(y) - \varphi(0)}{y - 0} = \frac{2}{\sqrt y} \to +\infty$ quand $y \to 0^+$ : aucune constante $L$ ne convient sur un voisinage de $0$ — exactement là où toutes les solutions bifurquent.

12. En séparant les variables (ou en vérifiant directement), l’unique solution locale est $y(t) = \frac1{1 - t}$ , définie sur $\intoo{-\infty}{1}$ et explosant en $t = 1$ . Pour le rectangle $\intcc{-a}{a} \times \intcc{1 - b}{1 + b}$ : $M = \sup y^2 = (1 + b)^2$ , donc la demi-largeur certifiée est $h = \min\bigl(a, \frac{b}{(1+b)^2}\bigr)$ . En maximisant $\frac{b}{(1+b)^2}$ : dérivée nulle en $b = 1$ , valeur $\frac14$ . Donc le théorème ne garantit la vie que sur $\intcc{-\frac14}{\frac14}$ — correctement moins que la vraie durée de vie $1$ vers l’avant, et infiniment moins vers l’arrière : le théorème est local par nature, et l’explosion montre qu’il ne peut en être autrement.

13. $g$ envoie $\intcc12$ dans lui-même : $g$ décroît sur $\intcc{1}{\sqrt2}$ et croît après (étudier $g'(x) = \frac12 - \frac1{x^2}$ ), avec $g(1) = g(2) = \frac32$ et minimum $g(\sqrt2) = \sqrt2 > 1$ : $g(\intcc12) \subseteq \intcc{\sqrt2}{\frac32} \subseteq \intcc12$ ; et $g$ envoie les rationnels sur des rationnels. Contraction : $\abs{g'(x)} = \abs{\frac12 - \frac1{x^2}} \leq \frac12$ sur $\intcc12$ ( $\frac1{x^2} \in \intcc{\frac14}{1}$ ), donc l’inégalité des accroissements finis donne $\abs{g(x) - g(y)} \leq \frac12\abs{x - y}$ . Un point fixe vérifie $\frac x2 = \frac1x$ , c’est-à-dire $x^2 = 2$ : impossible dans $\Q$ . L’hypothèse en défaut est la complétude de $X$ ( $\Q \cap \intcc12$ n’est pas complet) ; dans le complété $\intcc12$ le point fixe est $\sqrt2$ — le théorème de Banach mené sur les rationnels crée l’irrationnel.

14. A posteriori : $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, \ell) \leq k\,d(x_{n-1}, x_n) + k\,d(x_n, \ell)$ , d’où $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}d(x_n, x_{n-1})$ . Héron à partir de $x_0 = \frac32$ : $x_1 = \frac{17}{12}$ , $d(x_1, x_0) = \frac1{12}$ , $k = \frac12$ : la majoration a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0) = \frac{2^{-n+1}}{12}$ passe sous $10^{-6}$ pour la première fois en $n = 18$ . En réalité $x_1 = \frac{17}{12} \approx 1.41667$ (erreur $2.5\cdot10^{-3}$ ), $x_2 = \frac{577}{408} \approx 1.4142157$ (erreur $2.1\cdot10^{-6}$ ), $x_3 \approx 1.41421356237469$ (erreur $1.6\cdot10^{-12}$ ) : trois étapes suffisent. Chaque pas de Héron élève au carré l’erreur, grosso modo (convergence quadratique, un phénomène de Newton : Chapitre 8) ; l’estimation par contraction, qui ne fait que la diviser par deux, est honnête pour le pire cas mais pessimiste ici.

15. Appliquer la question 3 avec $g = T_{y_0}$ (une $Lh$ -contraction, $Lh < 1$ ) et $\widetilde g = T_{z_0}$ , dont le point fixe est $y[z_0]$ . Pour tout $y$ ,

\abs{T_{y_0}(y)(t) - T_{z_0}(y)(t)} = \abs{y_0 - z_0},

(les intégrales sont identiques), donc $\sup_y d_\infty(T_{y_0}(y), T_{z_0}(y)) = \abs{y_0 - z_0}$ , et la question 3 donne

d_\infty(y[y_0], y[z_0]) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh} .

16. Sur chaque morceau, la question 15 appliquée avec les valeurs à l’extrémité gauche comme données initiales majore l’écart à l’extrémité droite :

d_\infty \leq \frac{1}{1 - 1/2}\,(\text{écart à gauche}) = 2\,(\text{écart à gauche}) .

Par récurrence sur les $m$ morceaux, l’écart final est au plus $2^m\abs{y_0 - z_0}$ , et l’écart uniforme sur tout le segment obéit à la même majoration (le sup de chaque morceau est contrôlé à son stade). Avec des morceaux de longueur $h \asymp \frac1{2L}$ , le facteur est $2^m = 2^{\,\text{longueur}\cdot 2L}$ : exponentiel en la longueur de l’intervalle, exactement comme le prédit la majoration de Gronwall $\eu^{L\abs{t-t_0}}$ , avec de meilleures constantes.

17. Même schéma : pour $y \in X_h$ ,

\abs{T_f(y)(t) - T_g(y)(t)} \leq \int_{t_0}^t \abs{f(s,y(s)) - g(s,y(s))}\,\abs{\dd s} \leq \varepsilon h ,

donc la question 3 (avec $T_f$ la contraction, $T_g$ l’application perturbée) donne $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ .

18. Par la question 17 appliquée à $f = f_\lambda$ , $g = f_\mu$ : $d_\infty(y_\lambda, y_\mu) \leq \frac{Ch}{1 - Lh}\abs{\lambda - \mu}$ : l’application solution est lipschitzienne de constante $\frac{Ch}{1-Lh}$ .

19. Chaque argument n’a utilisé que : les axiomes métriques, la complétude de l’étage, la majoration $\abs{\int} \leq \int\abs{\cdot}$ , et la propriété de Lipschitz de $f$ — toutes disponibles pour les fonctions à valeurs dans $\R^n$ avec $d_\infty$ bâtie sur l’une des distances équivalentes du Exemple 4.2 (complètes par Théorème 4.9). Pour $y' = Ay$ avec $A$ nilpotente : $y^{(0)} \equiv (c_1, c_2)$ ,

y^{(1)}(t) = (c_1, c_2) + \int_0^t (c_2, 0)\,\dd s = (c_1 + tc_2,\; c_2),

et $Ay^{(1)}(s) = (c_2, 0)$ à nouveau : $y^{(2)} = y^{(1)}$ . L’itération est stationnaire à partir de $n = 1$ , à la solution exacte $y(t) = (c_1 + tc_2, c_2) = \eu^{tA}y(0)$ — la nilpotence tronque la série exponentielle, et Picard le remarque.

20. Fixer $y \in X$ et poser $g_y(x) = y - \eta(x)$ : une $k$ -contraction du complet $X$ , donc il existe exactement un $x$ avec $x + \eta(x) = y$ : l’application $\Phi = \mathrm{id} + \eta$ est bijective. Réciproque lipschitzienne : si $\Phi(x) = y$ et $\Phi(x') = y'$ ,

d(x, x') \leq d(y, y') + d\bigl(\eta(x), \eta(x')\bigr) \leq d(y, y') + k\,d(x, x'),

donc $d(x, x') \leq \frac{1}{1-k}d(y, y')$ . (Les distances ici proviennent de la structure de norme, donc $d(a - c, b - c) = d(a, b)$ , ce qu’a utilisé la première inégalité.)

21. $g(x) = m + e\sin x$ est $e$ -lipschitzienne sur le complet $\R$ (inégalité des accroissements finis, $\abs{g'} = \abs{e\cos x} \leq e < 1$ ) : Banach donne une unique solution et la convergence globale de l’itération. Pour $e = \frac12$ , $m = 1$ , $x_0 = 1$ : $x_1 = 1 + \frac12\sin 1 \approx 1.42074$ , $d(x_1, x_0) \approx 0.4207$ , et la majoration a priori $\frac{(1/2)^n}{1/2}\cdot 0.4207 \leq 10^{-3}$ vaut pour la première fois en $n = 10$ : dix itérations certifiées (la vraie valeur $x \approx 1.4987$ est en fait atteinte à $10^{-3}$ près déjà vers $n = 5$ ).

22. Utiliser la description par chiffres (Exercice 4.8) : $C$ est l’ensemble des sommes $\sum_{n\geq1}a_n3^{-n}$ , $a_n \in \{0, 2\}$ . Alors $S_1(C) = \{x/3 : x \in C\}$ est le sous-ensemble avec $a_1 = 0$ , et $S_2(C) = \{x/3 + 2/3\}$ le sous-ensemble avec $a_1 = 2$ : leur réunion, sur le choix libre de $a_1$ , est exactement $C$ . Unicité en une phrase : sur l’espace des parties compactes non vides de $\intcc01$ métrisé par la distance de Hausdorff, $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ est une $\frac13$ -contraction d’un espace complet, donc Banach n’autorise qu’un seul ensemble fixe — le volume de troisième année rend la métrique de Hausdorff et cet argument rigoureux.

23. Soit $Z = \{t \in J : y(t) = z(t)\}$ : non vide ( $t_0 \in Z$ ), fermé dans $J$ (égaliseur de deux applications continues : image réciproque de $\{0\}$ par $y - z$ ). Ouvert : si $t_1 \in Z$ , appliquer le théorème local (question 8) au point $(t_1, y(t_1))$ , dans un rectangle où $f$ est lipschitzienne : sur un petit intervalle autour de $t_1$ , $y$ et $z$ résolvent le même problème de Cauchy, donc coïncident là (l’unicité inconditionnelle de la question 9) : un voisinage de $t_1$ est dans $Z$ . Une partie non vide de l’intervalle $J$ à la fois ouverte et fermée dans $J$ est $J$ tout entier (les intervalles sont connexes, Théorème 4.27) : $y = z$ sur $J$ .

24. Ici $f(t, y) = \alpha(t)y + \beta(t)$ est $L$ -lipschitzienne en $y$ sur tout $\intcc AB \times \R$ avec $L = \sup\abs\alpha$ (finie : $\alpha$ continue sur un segment), et aucune bande $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ n’est nécessaire : prendre $X = C(\intcc AB)$ entier, sur lequel $T$ est bien défini. La récurrence de la question 8 tourne mot pour mot et donne $d_\infty(T^ny, T^nz) \leq \frac{(L(B - A))^n}{n!}d_\infty(y, z)$ : un itéré est une contraction quelle que soit la longueur $B - A$ , et la question 4 conclut : une et une seule solution sur le segment entier. La linéarité entre exactement une fois : elle rend la majoration de Lipschitz globale en $y$ , supprimant le rectangle et son $h \leq b/M$ .

25. La complétude a transformé la suite de Cauchy des itérés en une solution effective (questions 1, 6, 8), et son absence a laissé $\sqrt2$ s’échapper de $\Q$ (question 13). La contraction a donné l’unicité, l’algorithme, et les barres d’erreur (questions 7, 14). L’astuce de l’itéré a supprimé la condition de petitesse $Lh < 1$ , de sorte que l’intervalle certifié ne dépend que de $M$ , non de $L$ — et a rendu les équations linéaires globales (questions 8, 24). La connexité a promu l’unicité locale en unicité globale (question 23). Les contre-exemples : $2\sqrt{\abs y}$ garde Lipschitz (question 11), $y^2$ garde la localité (question 12), $\Q$ garde la complétude (question 13). Le sommet est le théorème de Picard–Lindelöf (question 8) ; lorsque $f$ est seulement continue, l’existence survit mais l’unicité meurt, et la démonstration échange la contraction contre la compacité d’ensembles de fonctions — le théorème de Peano via Arzelà–Ascoli, dans le volume de troisième année.