Qu'est-ce que « espace probabilisé » ?

Exemple 22.2

Les lois standard et leurs transformées d’intérêt : Bernoulli $\mathcal B(p)$, binomiale $\mathcal B(n, p)$, géométrique, Poisson $\mathcal P(\lambda)$ (discrètes : les tables de l’année 2 restent valides) ; uniforme sur $\intcc01$ (la mesure de Lebesgue elle-même) ; exponentielle $\mathcal E(\lambda)$ (densité $\lambda\eu^{-\lambda x}\mathbf 1_{x>0}$) ; la gaussienne $\mathcal N(m, \sigma^2)$ de densité $\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\bigl(-\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2}\bigr)$ — une densité de probabilité par le Problème 10.1, d’espérance $m$ et de variance $\sigma^2$ (moments gaussiens, Exercice 11.10).

Exemple 22.14 (Ce que la loi forte achète)

(a) Fréquences : pour des piles ou faces i.i.d., la fréquence observée de faces converge p.s. vers $p$ — la justification empirique de la probabilité elle-même. (b) Monte-Carlo : pour $g \in L^1(\intcc01)$ et $(U_n)$ i.i.d. uniformes (Théorème 22.6), $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ p.s. : intégrales par échantillonnage, en toute dimension, au taux indépendant de la dimension $\sim n^{-1/2}$ précisé au Chapitre 23. (c) Nombres normaux : presque tout nombre réel a, dans son développement binaire, une fréquence asymptotique $\frac12$ de uns (appliquer la loi forte aux variables chiffres du Théorème 22.6) — le théorème de Borel, un énoncé sur les nombres de tous les jours prouvé par la mesure : le Problème 22.1 le complète dans toutes les bases.