Mathématiques universitaires — Licence 1 · Bachelor Year 1

12Topologie de la droite réelle

Les limites renvoient sans cesse au même vocabulaire géométrique : des points « proches » d’un ensemble, des ensembles « sans fuite par la frontière », des intervalles dont les suites ne peuvent s’échapper. Ce chapitre fixe ce vocabulaire — ouverts et fermés, intérieur et adhérence, densité — sur la droite réelle, et démontre la compacité des segments sous sa forme séquentielle. Les mêmes notions, dans les espaces vectoriels normés, relèvent de la deuxième année ; sur $\R$ elles sont à notre portée et immédiatement utiles pour le Chapitre 13.

12.1 Ouverts, fermés

Définition 12.1 (Voisinage, ouvert)

Une partie $V \subseteq \R$ est un voisinage de $x \in \R$ lorsqu’elle contient un intervalle $\intoo{x - r}{x + r}$ pour un certain $r > 0$ . Une partie $U \subseteq \R$ est ouverte lorsqu’elle est un voisinage de chacun de ses points :

\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r} \subseteq U .

Exemple 12.2

Les intervalles ouverts sont des ouverts : pour $x \in \intoo{a}{b}$ , prendre $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$ . Les demi-droites $\intoo{a}{+\infty}$ sont ouvertes ; $\R$ et $\emptyset$ sont ouverts (le second trivialement). $\intcc{0}{1}$ n’est pas ouvert : aucun intervalle autour de $0$ n’y reste contenu.

Proposition 12.3 (Stabilité des ouverts)

Toute réunion d’ouverts est un ouvert ; une intersection finie d’ouverts est un ouvert. Les intersections infinies peuvent échouer : $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$ , qui n’est pas ouvert.

Démonstration. Réunion : si $x \in \bigcup_i U_i$ , alors $x \in U_{i_0}$ pour un certain $i_0$ , et l’intervalle fourni par $U_{i_0}$ est contenu dans la réunion. Intersection finie : si $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$ , prendre $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ parmi les rayons fournis par chaque $U_j$ . Pour le contre-exemple : tout intervalle autour de $0$ contient un $\frac{1}{n}$ (Archimède), donc sort de l’intersection. ∎

Exemple 12.4 (Certifier l’ouverture par des rayons explicites)

L’ensemble $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ est-il ouvert ? Oui, et le certificat peut s’écrire explicitement : $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$ , réunion de deux demi-droites ouvertes, ouverte d’après la Proposition 12.3. On peut aussi raisonner point par point : pour $x \in U$ avec $x > \sqrt 2$ , prendre $r = x - \sqrt2 > 0$ : tout $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ vérifie $y > \sqrt 2$ , donc $y^2 > 2$ ; symétriquement à gauche. Les deux styles comptent — le style structurel (construire à partir d’ouverts connus par réunions et intersections finies) passe mieux à l’échelle, le style en $\varepsilon$ fonctionne lorsque aucune structure n’est visible ; et le Chapitre 13 en ajoutera un troisième, le plus puissant : $U$ est l’image réciproque de l’ouvert $\intoo{2}{+\infty}$ par l’application continue $x \mapsto x^2$ .

Définition 12.5 (Fermé)

Une partie $F \subseteq \R$ est fermée lorsque son complémentaire $\R \setminus F$ est ouvert. Par les lois de de Morgan et la Proposition 12.3 : toute intersection de fermés est fermée, toute réunion finie de fermés est fermée.

Théorème 12.6 (Caractérisation séquentielle des fermés)

$F$ est fermé si et seulement si : pour toute suite $(u_n)$ de points de $F$ convergeant vers un $\ell \in \R$ , la limite $\ell$ appartient à $F$ . (« Fermé » $=$ « stable par passage à la limite ».)

Démonstration. ( $\Rightarrow$ ) Soit $F$ fermé, $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ , et supposons $\ell \notin F$ . Le complémentaire est ouvert : un certain $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ évite $F$ . Mais la convergence place $u_n$ dans cet intervalle pour $n$ grand : contradiction avec $u_n \in F$ .

( $\Leftarrow$ ) Supposons $F$ non fermé : le complémentaire n’est pas ouvert, donc il existe $x \notin F$ tel qu’aucun intervalle $\intoo{x - r}{x + r}$ ne soit contenu dans le complémentaire ; en prenant $r = \frac{1}{n+1}$ , choisissons $u_n \in F$ avec $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$ . Alors $u_n \in F$ , $u_n \to x \notin F$ : la propriété séquentielle est en défaut. ∎

Exemple 12.7 (Le test séquentiel, dans les deux sens)

Fermé : $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$ . Soit $u_k \in F$ avec $u_k \to \ell$ . La fenêtre $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ ne contient qu’un nombre fini de points de $F$ (un nombre fini d’entiers, un nombre fini de $n + \frac1n$ ), et à partir d’un certain rang tous les $u_k$ y sont : la suite ne prend alors qu’un nombre fini de valeurs et, convergeant, est stationnaire (comme dans l’Exercice 12.3) : $\ell \in F$ . Fermé — bien que $F$ contienne des couples de points à distance $\frac1n$ , arbitrairement proches.

Non fermé : $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ . La suite $\frac1n + \frac1n \in G$ tend vers $0$ , et $0 \notin G$ (somme de deux termes strictement positifs) : le test séquentiel échoue, $G$ n’est pas fermé. Fait remarquable, chaque $\frac1m$ appartient bel et bien à $\overline G \cap G$ : en effet $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$ . L’idée à retenir : pour démontrer qu’un ensemble est fermé, il faut contrôler toutes les suites convergentes d’un coup (en général par un argument de finitude locale ou de formule fermée) ; pour le réfuter, une seule suite fuyante bien choisie suffit — cette asymétrie fait du sens négatif le plus facile, et les contre-exemples de ce chapitre ont tous cette forme en une ligne.

Exemple 12.8

Les segments $\intcc{a}{b}$ , les demi-droites $\intco{a}{+\infty}$ , les ensembles finis, $\Z$ (une suite convergente d’entiers est stationnaire) sont fermés. $\intoc{0}{1}$ n’est ni ouvert (cela échoue en $1$ ) ni fermé ( $\frac 1n \to 0 \notin$ l’ensemble) : la plupart des parties ne sont ni l’un ni l’autre. $\R$ et $\emptyset$ sont à la fois ouverts et fermés — et ce sont les seules parties de $\R$ dans ce cas (Exercice 12.9).

Exemple 12.9 (Un ouvert assemblé à partir d’une infinité de morceaux)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$ : une réunion infinie d’intervalles ouverts, ouverte d’après la Proposition 12.3 — donc $\Z$ est fermé sans le moindre argument séquentiel. Notons le partage des tâches dans les règles de stabilité : les réunions d’ouverts peuvent être quelconques (chaque point n’a besoin que de son propre certificat, fourni par l’unique ensemble qui le contient), tandis que les intersections doivent rester finies (les certificats doivent être intersectés, et une infinité de rayons peuvent se contracter jusqu’à rien). Exercice 12.10 montrera que cet exemple est la forme générale : tout ouvert de $\R$ est une réunion dénombrable disjointe d’intervalles ouverts.

12.2 Intérieur, adhérence, densité

Définition 12.10 (Intérieur, adhérence, frontière)

Soit $A \subseteq \R$ .

Un point $x$ est intérieur à $A$ lorsque $A$ est un voisinage de $x$ ; l’intérieur $\mathring{A}$ est l’ensemble des points intérieurs.
Un point $x$ est adhérent à $A$ lorsque tout voisinage de $x$ rencontre $A$ ; l’adhérence $\overline{A}$ est l’ensemble des points adhérents.
La frontière est $\partial A = \overline A \setminus \mathring A$ .

On a alors $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$ .

Proposition 12.11 (Propriétés principales)

$\mathring A$ est le plus grand ouvert contenu dans $A$ ; $A$ est ouvert si et seulement si $A = \mathring A$ .
$\overline A$ est le plus petit fermé contenant $A$ ; $A$ est fermé si et seulement si $A = \overline A$ .
(Caractérisation séquentielle de l’adhérence) $x \in \overline A$ si et seulement si $x$ est limite d’une suite de points de $A$ .
Le passage au complémentaire échange les notions : $\R \setminus \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

Démonstration. (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ un voisinage de $x$ évite $A$ $\iff$ un intervalle autour de $x$ est contenu dans $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ est intérieur à $\R \setminus A$ .

(1) $\mathring A$ est ouvert : si $x \in \mathring A$ , un certain $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$ ; tout point $y$ de cet intervalle admet autour de lui un intervalle plus petit contenu dedans, donc contenu dans $A$ : l’intervalle tout entier est dans $\mathring A$ . Tout ouvert $U \subseteq A$ est formé de points intérieurs à $A$ , donc $U \subseteq \mathring A$ : c’est bien le plus grand. La caractérisation des ouverts s’en déduit.

(2) En détail. D’après (4), $\R \setminus \overline A$ est l’intérieur de $\R \setminus A$ , un ouvert d’après (1) : donc $\overline A$ est fermé, et il contient $A$ . Minimalité : soit $F \supseteq A$ un fermé. Alors $\R \setminus F$ est ouvert et contenu dans $\R \setminus A$ , donc par la maximalité de (1),

\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ} = \R \setminus \overline A ,

et en repassant au complémentaire : $\overline A \subseteq F$ . Ainsi $\overline A$ est le plus petit fermé contenant $A$ . Caractérisation : si $A = \overline A$ alors $A$ est fermé (ce qu’on vient de voir) ; si $A$ est fermé, il est lui-même un fermé contenant $A$ , donc la minimalité impose $\overline A \subseteq A$ , d’où l’égalité.

(3) Si $u_n \in A$ , $u_n \to x$ : tout voisinage de $x$ contient un $u_n \in A$ , donc $x \in \overline A$ . Réciproquement, si $x \in \overline A$ : chaque intervalle $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x + \frac{1}{n+1}}$ rencontre $A$ en un point $u_n$ , et $u_n \to x$ . ∎

Exemple 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ ; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$ ; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$ . Pour $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\overline A = A \cup \{0\}$ , $\mathring A = \emptyset$ , $\partial A = A \cup \{0\}$ . Pour $\Q$ : par densité (Théorème 10.14) tout réel est adhérent à $\Q$ , donc $\overline{\Q} = \R$ tandis que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (tout intervalle contient des irrationnels) : la frontière de $\Q$ est $\R$ tout entier.

Exemple 12.13 (Une anatomie complète)

Soit $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$ . Calculons les trois ensembles de la Définition 12.10, morceau par morceau.

Intérieur. Un point de $\intoo{0}{1}$ possède tout un intervalle contenu dans $A$ : il est intérieur. Le point $1$ : tout intervalle autour de lui déborde à droite de $1$ , où $A$ ne contient rien jusqu’à $2$ : il n’est pas intérieur. Aucun point de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ n’est intérieur (tout intervalle contient des irrationnels, Théorème 10.14) ; le point isolé $4$ non plus. Donc $\mathring A = \intoo{0}{1}$ .

Adhérence. Les limites de points de $A$ : tout $\intcc{0}{1}$ ( $0 = \lim \frac1n$ avec $\frac 1n \in A$ ) ; tout $\intcc{2}{3}$ (tout réel de cet intervalle est limite de rationnels de l’intervalle, densité encore) ; et $4$ . Rien d’autre : un point hors de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ est à distance strictement positive de ce fermé. Donc $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ .

Frontière. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ .

L’idée à retenir : les trois opérations agissent localement — chaque morceau de $A$ contribue selon sa nature propre (un intervalle plein garde son intérieur, un morceau dense mais poreux se transforme entièrement en frontière, un point isolé est frontière pure), et un croquis de $A$ en deux traits prédit toutes les réponses avant qu’aucune démonstration ne soit écrite.

Remarque 12.14 (Pièges classiques du raisonnement topologique)

(i) « Non ouvert » ne signifie pas « fermé » : la plupart des parties ne sont ni l’un ni l’autre ( $\intoc{0}{1}$ ), et deux parties sont les deux à la fois ( $\emptyset$ , $\R$ ) — ouvert et fermé ne sont pas des contraires mais des duaux par passage au complémentaire. (ii) L’intérieur et l’adhérence ne commutent pas : pour $A = \Q$ ,

\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset \qquad\text{tandis que}\qquad \bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :

les deux opérateurs itérés diffèrent autant que deux ensembles le peuvent. (iii) Une réunion infinie de fermés peut ne pas être fermée : $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — le miroir du contre-exemple sur les intersections de la Proposition 12.3. (iv) Dense ne veut pas dire gros : $\Q$ est dense, dénombrable, d’intérieur vide, et son complémentaire est dense lui aussi ; la densité dit « arbitrairement proche de tout », et non « presque tout » — l’ensemble de Cantor du devoir maison (Problème 12.1) illustre le point opposé, un ensemble topologiquement petit et pourtant non dénombrable, donc énorme.

Exemple 12.15 (Une adhérence calculée exactement)

Soit $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (venu de l’Exemple 12.7). Affirmation :

\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\} \,\cup\, \{0\} .

( $\supseteq$ ) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ et $0 = \lim_n \frac2n$ : adhérents par la caractérisation séquentielle. ( $\subseteq$ ) Soit $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$ ; ordonnons chaque couple de sorte que $m_k \leq n_k$ . Si $(m_k)$ n’est pas bornée, une suite extraite vérifie $m_k \to \infty$ , donc $n_k \to \infty$ aussi et $x = 0$ . Sinon $(m_k)$ ne prend qu’un nombre fini de valeurs, dont l’une, disons $m$ , une infinité de fois ; le long de cette suite extraite, $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$ : si $(n_k)$ est bornée, elle prend une valeur $n$ une infinité de fois et $x = \frac1m + \frac1n \in G$ ; sinon, $x = \frac1m$ . Tous les cas retombent dans l’ensemble annoncé. L’idée à retenir : calculer une adhérence, c’est mener une disjonction de cas sur les indices à la manière de la compacité — un indice borné signifie un nombre fini de valeurs (principe des tiroirs), un indice non borné signifie qu’une limite s’échappe — et la réponse fait apparaître la structure typique à deux étages des points limites : l’ensemble, ses limites de première génération, et leur limite $0$ .

Définition 12.16 (Densité, forme topologique)

$A$ est dense dans $\R$ lorsque $\overline A = \R$ — de façon équivalente, tout intervalle ouvert non vide rencontre $A$ ; de façon équivalente encore (par Proposition 12.11 (3)), tout réel est limite d’éléments de $A$ . Exemples : $\Q$ , $\R \setminus \Q$ , les nombres dyadiques (Exercice 10.8), les sous-groupes denses (Exercice 10.9).

Exemple 12.17 (La densité est relative)

« Dense » au sens défini ici signifie dense dans $\R$ ; un ensemble peut au contraire n’être dense que dans une partie de la droite. Les dyadiques de $\intcc{0}{1}$ , c’est-à-dire $D \cap \intcc{0}{1}$ (Exercice 10.8), rencontrent tout intervalle ouvert inclus dans $\intcc{0}{1}$ mais manquent bien sûr entièrement $\intoo{2}{3}$ : ils sont denses dans $\intcc{0}{1}$ , au sens où $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ . La formule générale « $A$ est dense dans $B$ » abrège $B \subseteq \overline A$ — nommez toujours l’ensemble ambiant, car les extrémités du devoir maison sont denses dans l’ensemble de Cantor tout en étant nulle part denses dans $\R$ : le même ensemble, deux descriptions véridiques et d’apparence opposée.

Exemple 12.18 (Manipuler la densité)

Trois gestes rapides qui reviennent constamment. Agrandir : si $A$ est dense et $A \subseteq B$ , alors $B$ est dense (tout intervalle rencontre déjà $A$ ). Transporter : si $A$ est dense, alors $\lambda A + \mu$ l’est aussi pour $\lambda \neq 0$ — un intervalle $I$ rencontre $\lambda A + \mu$ si et seulement si l’intervalle $\frac{I - \mu}{\lambda}$ rencontre $A$ ; ainsi les multiples impairs de $10^{-9}$ , par exemple, sont denses. Intersecter échoue : deux ensembles denses peuvent se manquer entièrement ( $\Q$ et $\R \setminus \Q$ ) : la densité survit aux réunions et aux applications affines, jamais aux intersections.

12.3 Compacité des segments

Théorème 12.19 (Les segments sont séquentiellement compacts)

Soient $a \leq b$ . De toute suite de points de $\intcc{a}{b}$ on peut extraire une suite convergeant vers un point de $\intcc{a}{b}$ .

Plus généralement, les parties de $\R$ possédant cette propriété (de toute suite on peut extraire une suite convergeant dans la partie) sont exactement les parties fermées et bornées.

Démonstration. Une suite à valeurs dans $\intcc{a}{b}$ est bornée, donc le théorème de Bolzano–Weierstrass permet d’en extraire une suite convergente (Théorème 11.16) ; sa limite reste dans $\intcc{a}{b}$ car les segments sont fermés (Théorème 12.6).

Cas général. (Fermé borné $\Rightarrow$ compact) : soit $F$ fermé et borné, et $(u_n)$ une suite de $F$ . Le caractère borné de $F$ borne la suite, donc Bolzano–Weierstrass en extrait $u_{\varphi(n)} \to \ell$ ; et $\ell \in F$ car $F$ est fermé et la suite extraite est une suite convergente de points de $F$ (Théorème 12.6) : les deux hypothèses sont consommées une par une, le caractère borné pour l’existence de la limite, le caractère fermé pour son appartenance. (Compact $\Rightarrow$ fermé et borné) : si $F$ n’est pas borné, choisissons $u_n \in F$ avec $\abs{u_n} \geq n$ ; toute suite extraite est non bornée, donc divergente (Proposition 11.4) : aucune suite extraite ne converge. Si $F$ n’est pas fermé, prenons $u_n \in F$ avec $u_n \to \ell \notin F$ (Théorème 12.6) : toute suite extraite converge vers $\ell \notin F$ , donc aucune suite extraite ne converge dans $F$ . ∎

Exemple 12.20 (Compacts emboîtés)

Un premier exercice d’application du théorème. Soient $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dots$ des parties compactes (fermées bornées) non vides de $\R$ . Alors $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ . En effet, choisissons $x_n \in K_n$ pour chaque $n$ : la suite vit dans le compact $K_0$ , donc une suite extraite $x_{\varphi(n)}$ converge vers un certain $x$ (Théorème 12.19). Pour tout $m$ fixé, les termes $x_{\varphi(n)}$ avec $\varphi(n) \geq m$ appartiennent tous au fermé $K_m$ , donc la limite $x$ appartient à $K_m$ (Théorème 12.6) ; comme $m$ était quelconque, $x \in \bigcap_n K_n$ . Un compagnon utile : si un ouvert $U$ contient $\bigcap_n K_n$ , alors $U \supseteq K_n$ pour un certain $n$ — appliquer le même argument à des points $x_n \in K_n \setminus U$ ; la limite $x$ appartiendrait à $\bigcap K_n \subseteq U$ , or $U$ ouvert force $x_{\varphi(n)} \in U$ à partir d’un certain rang, contradiction. Les deux énoncés tombent en défaut sans compacité : $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ et $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$ . L’idée à retenir : la compacité convertit une chaîne infinie d’assertions de non-vacuité en un unique point limite — c’est l’outil qui survit au passage à l’intersection infinie, et le devoir maison (Problème 12.1) s’y appuiera deux fois.

Les quatre premières étapes de la construction par tiers médians : chaque segment de C_n perd son tiers médian ouvert, laissant les 2n+1 segments de C_n+1, de longueur totale (2/3)n+1. L’ensemble de Cantor C = _n C_n — objet du devoir maison — est le résidu compact non vide garanti par l’argument des compacts emboîtés ci-dessus : longueur nulle, et pourtant une infinité non dénombrable de points survivent. — Les quatre premières étapes de la construction par tiers médians : chaque segment de $C_n$ perd son tiers médian ouvert, laissant les $2^{n+1}$ segments de $C_{n+1}$ , de longueur totale $(\frac23)^{n+1}$ . L’ensemble de Cantor $C = \bigcap_n C_n$ — objet du devoir maison Problème 12.1 — est le résidu compact non vide garanti par l’argument des compacts emboîtés ci-dessus : longueur nulle, et pourtant une infinité non dénombrable de points survivent.

Remarque 12.21

C’est le moteur du théorème des bornes atteintes (Chapitre 13) et du théorème de Heine sur la continuité uniforme. Le mot « compact » recevra sa définition générale (par recouvrements) en deuxième année ; sur $\R$ , la compacité séquentielle suffit, et « compact $=$ fermé $+$ borné » est l’énoncé à retenir.

Exemple 12.22 (Frontières et réunions)

On a toujours $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$ : un point de $\partial(A \cup B)$ a tous ses voisinages qui rencontrent $A \cup B$ (donc $A$ ou $B$ , l’un des deux une infinité de fois) et qui rencontrent le complémentaire de $A \cup B$ , lequel est contenu dans les deux complémentaires — une brève vérification place alors le point dans $\partial A$ ou dans $\partial B$ . L’inclusion peut être spectaculairement stricte : avec $A = \Q$ et $B = \R\setminus\Q$ ,

\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset , \qquad \partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :

deux ensembles déchiquetés peuvent se recoller en un ensemble sans couture, leurs frontières s’annihilant l’une l’autre. L’idée à retenir : l’intérieur et l’adhérence se comportent monotonement vis-à-vis des réunions et des intersections, mais pas les frontières — traitez $\partial$ comme une quantité dérivée ( $\overline A \setminus \mathring A$ ), jamais comme un opérateur doté d’une algèbre propre.

Remarque 12.23 (Perspectives à l’intérieur de ce volume)

Le vocabulaire construit ici est réemployé deux fois encore dans ce livre. Dans le Chapitre 13, chaque théorème est un énoncé de topologie déguisé : le théorème des valeurs intermédiaires dit que les applications continues préservent la propriété d’intervalle, le théorème des bornes atteintes qu’elles préservent la compacité — et les démonstrations appellent les Théorèmes 12.6 et 12.19 par leur nom. Dans le Chapitre 25, les mêmes définitions sont relues dans $\R^2$ avec des disques à la place des intervalles : ouverts, adhérences et compacité se transposent mot pour mot, et le théorème des bornes atteintes à deux variables repose de nouveau sur Bolzano–Weierstrass (extraire sur chaque coordonnée). La seule notion qui ne se généralise pas sans douleur est l’intervalle lui-même — dans le plan, la connexité remplace la convexité, une histoire qui commence avec le « seuls $\emptyset$ et $\R$ sont à la fois ouverts et fermés » de l’Exercice 12.9.

12.4 Exercices

Exercice 12.1 ★

Pour chacune des parties suivantes, dire si elle est ouverte, fermée, les deux, ou ni l’une ni l’autre (avec justification) : $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ ; $\;\intco{0}{1}$ ; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ ; $\;\R \setminus \Z$ ; $\;\Q \cap \intoo{0}{1}$ .

Solution

Solution de Exercice 12.1.

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ : ouvert (réunion d’ouverts), non fermé ( $\frac 1n \to 0$ , qui est en dehors).

$\intco{0}{1}$ : ni l’un ni l’autre. Non ouvert (aucun intervalle autour de $0$ n’y est contenu) ; non fermé ( $1 - \frac1n \to 1 \notin$ l’ensemble).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ : fermé (réunion finie de fermés), non ouvert (cela échoue en $0$ ).

$\R \setminus \Z$ : ouvert ( $\Z$ est fermé), non fermé : la suite $\bigl(\frac 1n\bigr)$ y est à valeurs, mais sa limite $0$ appartient à $\Z$ , c’est-à-dire s’échappe de l’ensemble.

$\Q \cap \intoo{0}{1}$ : ni l’un ni l’autre. Non ouvert : tout intervalle autour d’un rationnel contient des irrationnels. Non fermé : il contient des suites tendant vers l’irrationnel $\frac{\sqrt 2}{2}$ (densité).

Exercice 12.2 ★

Déterminer $\mathring A$ , $\overline A$ et $\partial A$ pour : $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ ; $\;A = \R \setminus \Q$ ; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$ .

Solution

Solution de Exercice 12.2.

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ : $\mathring A = \intoo{0}{1}$ , $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$ , $\partial A = \{0, 1, 2\}$ .

$A = \R \setminus \Q$ : $\mathring A = \emptyset$ (tout intervalle contient des rationnels), $\overline A = \R$ (densité des irrationnels), $\partial A = \R$ .

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$ : les termes pairs tendent vers $1$ , les termes impairs vers $-1$ , et aucune de ces deux valeurs n’appartient à $A$ . $\mathring A = \emptyset$ (points isolés), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$ , $\partial A = \overline A$ .

Exercice 12.3 ★

Démontrer qu’un ensemble fini est fermé, d’abord par le complémentaire, puis par la caractérisation séquentielle.

Solution

Solution de Exercice 12.3.

Par le complémentaire. $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$ : le complémentaire est la réunion des intervalles ouverts $\intoo{-\infty}{a_1}$ , $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$ , $\intoo{a_k}{+\infty}$ — ouvert d’après la Proposition 12.3.

Par les suites. Soit $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ . Avec $\varepsilon = \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (ou n’importe quel $\varepsilon$ si $F$ est un singleton) : à partir d’un certain rang, tous les termes sont à distance $\leq \varepsilon$ de $\ell$ , donc à distance $\leq 2\varepsilon$ les uns des autres, ce qui les force à être un seul et même $a_i$ à partir de ce rang ; alors $\ell = a_i \in F$ .

Exercice 12.4 ★

Démontrer que, pour toutes parties $A, B \subseteq \R$ : $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$ . Montrer sur un exemple que $\overline{A \cap B}$ peut différer de $\overline A \cap \overline B$ .

Solution

Solution de Exercice 12.4.

$\subseteq$ : $\overline A \cup \overline B$ est fermé (réunion finie) et contient $A \cup B$ , donc il contient le plus petit fermé contenant $A \cup B$ , à savoir $\overline{A \cup B}$ . $\supseteq$ : $A \subseteq A \cup B$ donne $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ (l’adhérence est croissante : les points adhérents à $A$ le sont au plus grand ensemble), et de même pour $B$ .

Contre-exemple pour les intersections : $A = \intoo{0}{1}$ , $B = \intoo{1}{2}$ : $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ mais $\overline A \cap \overline B = \{1\}$ .

Exercice 12.5 ★★

Soit $u_n \to \ell$ dans $\R$ . Démontrer que l’ensemble $\{u_n : n \in \N\} \cup \{\ell\}$ est fermé (donc compact si l’on ajoute qu’il est borné — ce qu’il est).

Solution

Solution de Exercice 12.5.

Utilisons la caractérisation séquentielle (Théorème 12.6). Posons $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ et soit $(v_k)$ une suite de $S$ avec $v_k \to m$ ; montrons que $m \in S$ . Deux cas. Si une valeur $v \in S$ est prise une infinité de fois par $(v_k)$ , une suite extraite constante donne $m = v \in S$ . Sinon, chaque valeur n’est prise qu’un nombre fini de fois ; en particulier, pour chaque $n$ , le terme $u_n$ n’apparaît qu’un nombre fini de fois, et $\ell$ aussi. Alors, pour tout $N$ , les indices $k$ tels que $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ sont en nombre fini : les $v_k$ restants sont des termes $u_n$ avec $n > N$ . Étant donné $\varepsilon > 0$ , choisissons $N$ tel que $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ pour $n > N$ : tous les $v_k$ sauf un nombre fini vérifient $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$ . Donc $v_k \to \ell$ , et $m = \ell \in S$ .

Exercice 12.6 ★★

Soient $U$ un ouvert et $A$ une partie quelconque. Démontrer que $U + A = \{u + a\}$ est ouvert. En déduire que la somme d’un ouvert et d’une partie quelconque est ouverte, et contraster : exhiber deux fermés dont la somme n’est pas fermée. (Essayer $\Z$ et $\sqrt 2\,\Z$ , avec l’Exercice 10.9.)

Solution

Solution de Exercice 12.6.

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$ , et chaque translaté $U + a$ est ouvert (il suffit de translater les certificats d’intervalles). Une réunion d’ouverts est ouverte (Proposition 12.3).

Fermés : $\Z$ et $\sqrt 2\,\Z$ sont fermés (comme tout $\alpha\Z$ : les suites convergentes y sont stationnaires, cf. Exemple 12.8). Leur somme $\Z + \sqrt 2\,\Z$ est dense dans $\R$ (Exercice 10.9) mais n’est pas $\R$ (elle est dénombrable, ou plus simplement : $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$ , sans quoi $\sqrt 2$ serait rationnel — écrire $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ force $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$ , donc $\sqrt 2 \in \Q$ sauf si $n = \frac12$ , ce qui est impossible). Une partie dense et propre n’est pas fermée : son adhérence est $\R$ , distincte d’elle-même.

Exercice 12.7 ★★

Un point $x \in A$ est isolé dans $A$ lorsqu’un voisinage de $x$ rencontre $A$ en $x$ seulement. Démontrer que tout point de $\Z$ est isolé dans $\Z$ , que $A = \{\frac1n\}$ a tous ses points isolés alors que $\overline A \neq A$ , et qu’un ensemble dont tous les points sont isolés est d’intérieur vide.

Solution

Solution de Exercice 12.7.

$\Z$ : le voisinage $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ de $n$ rencontre $\Z$ en $n$ seulement.

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$ : autour de $\frac 1n$ , l’intervalle de rayon $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (divisé par deux, disons) le sépare de ses voisins — tous les points sont isolés. Pourtant $0 \in \overline A \setminus A$ : des points isolés n’empêchent pas des adhérents venus de l’extérieur.

Si tous les points de $A$ sont isolés : aucun point de $A$ n’est intérieur, car un point intérieur possède autour de lui tout un intervalle de points de $A$ (un intervalle est infini), ce qui contredit l’isolement. Donc $\mathring A = \emptyset$ .

Exercice 12.8 ★★

Démontrer que l’adhérence d’une partie bornée est bornée, et que $\sup \overline A = \sup A$ pour $A$ non vide et majorée. En déduire que $\sup A \in \overline A$ : la borne supérieure est toujours adhérente.

Solution

Solution de Exercice 12.8.

Si $A \subseteq \intcc{-M}{M}$ , le fermé $\intcc{-M}{M}$ contient $A$ , donc contient $\overline A$ (plus petit fermé contenant $A$ ) : $\overline A$ est bornée.

Soit $s = \sup A$ (fini). Comme $A \subseteq \overline A$ , on a $\sup \overline A \geq s$ . Réciproquement, $\overline A \subseteq \intoc{-\infty}{s}$ : cette demi-droite est fermée et contient $A$ ; donc tout élément de $\overline A$ est $\leq s$ , ce qui donne $\sup\overline A \leq s$ . D’où l’égalité.

$s \in \overline A$ : par la caractérisation en $\varepsilon$ (Proposition 10.4), tout intervalle $\intoo{s - \varepsilon}{s + \varepsilon}$ contient un élément de $A$ : $s$ est adhérent.

Exercice 12.9 ★★★

Démontrer que les seules parties de $\R$ à la fois ouvertes et fermées sont $\emptyset$ et $\R$ . Indication : supposer $A$ ouvert, fermé, avec $A \neq \emptyset$ et $\R \setminus A \neq \emptyset$ ; choisir $a \in A$ , $b \notin A$ , disons $a < b$ , et considérer $s = \sup\,(A \cap \intcc{a}{b})$ ; décider si $s$ peut appartenir à $A$ ou à son complémentaire.

Solution

Solution de Exercice 12.9.

Supposons $A$ ouvert et fermé, avec $a \in A$ et $b \in \R \setminus A$ ; quitte à échanger les rôles, $a < b$ . L’ensemble $B = A \cap \intcc{a}{b}$ est non vide (il contient $a$ ) et borné : posons $s = \sup B$ . D’après l’Exercice 12.8, $s \in \overline B \subseteq \overline A = A$ ( $A$ fermé). Remarquons que $s \leq b$ et, puisque $b \notin A$ : $s < b$ . Or $A$ est ouvert : un intervalle $\intoo{s - r}{s + r}$ est contenu dans $A$ , et on peut prendre $r < b - s$ . Alors $s + \frac{r}{2}$ appartient à $A \cap \intcc{a}{b} = B$ et dépasse $s$ — ce qui contredit $s = \sup B$ . Il n’existe donc aucun tel couple $(a, b)$ : l’un des ensembles $A$ , $\R \setminus A$ est vide.

Exercice 12.10 ★★★

(Structure des ouverts) Soit $U \subseteq \R$ un ouvert non vide. Pour $x \in U$ , soit $I_x$ la réunion de tous les intervalles ouverts contenant $x$ et contenus dans $U$ . Démontrer que $I_x$ est un intervalle ouvert, que deux ensembles $I_x$ , $I_y$ sont égaux ou disjoints, et que $U$ est une réunion dénombrable d’intervalles ouverts deux à deux disjoints (choisir un rationnel dans chacun).

Solution

Solution de Exercice 12.10.

$I_x$ est une réunion d’intervalles ouverts contenant tous $x$ : il est ouvert, et c’est un intervalle, car il est convexe — si $u < z < v$ avec $u, v \in I_x$ , alors $u$ et $v$ appartiennent à des sous-intervalles ouverts $J_u \ni x$ , $J_v \ni x$ de $U$ , et $J_u \cup J_v$ est un intervalle (tous deux contiennent $x$ ) inclus dans $U$ et contenant $z$ ; donc $z \in I_x$ (Proposition 10.19).

Si $I_x \cap I_y \neq \emptyset$ : $I_x \cup I_y$ est alors un intervalle ouvert (convexe : deux intervalles qui se chevauchent) contenu dans $U$ et contenant $x$ et $y$ , donc $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ et $\subseteq I_y$ par maximalité de chacun : $I_x = I_y$ .

Ainsi $U$ est la réunion disjointe des ensembles $I_x$ distincts (chaque $x \in U$ appartient à son propre $I_x$ ). Dénombrabilité : chaque intervalle ouvert non vide $I$ de la famille contient un rationnel $q_I$ (Théorème 10.14), et des intervalles distincts, donc disjoints, reçoivent des rationnels distincts : la famille s’injecte dans $\Q$ , qui est dénombrable (il est indexé par des couples d’entiers). Il y a donc au plus une infinité dénombrable d’intervalles.

Exercice 12.11 ★★

Un point $x \in \R$ est un point d’accumulation de $A$ lorsque tout voisinage de $x$ rencontre $A \setminus \{x\}$ ; leur ensemble est l’ensemble dérivé $A'$ . Démontrer que $\overline A = A \cup A'$ , et que $A$ est fermé si et seulement si $A' \subseteq A$ . Déterminer $A'$ pour $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ , pour $A = \Z$ , et pour $A = \Q$ .

Solution

Solution de Exercice 12.11.

$\overline A = A \cup A'$ . ( $\supseteq$ ) On a toujours $A \subseteq \overline A$ ; et si $x \in A'$ , tout voisinage de $x$ rencontre $A \setminus \{x\} \subseteq A$ , donc $x$ est adhérent. ( $\subseteq$ ) Soit $x \in \overline A$ . Si $x \in A$ , c’est fini. Si $x \notin A$ , tout voisinage de $x$ rencontre $A = A \setminus \{x\}$ : $x \in A'$ .

Par conséquent, $A$ est fermé $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$ .

$A = \{\frac 1n\}$ : $0$ est point d’accumulation ( $\frac 1n \to 0$ , termes $\neq 0$ ) ; chaque $\frac 1n$ est isolé (Exercice 12.7), donc n’est pas dans $A'$ ; et un point $x \notin A \cup \{0\}$ possède tout un intervalle évitant $A$ (entre les deux voisins de $x$ dans $A \cup \{0\}$ , ou au-delà de $1$ ). Donc $A' = \{0\}$ .

$\Z' = \emptyset$ : tout entier est isolé, tout non-entier possède un voisinage contenu dans $\R \setminus \Z$ .

$\Q' = \R$ : tout intervalle autour d’un réel quelconque contient une infinité de rationnels (Théorème 10.14), en particulier un différent du centre.

Exercice 12.12 ★★★

Pour $A \subseteq \R$ non vide, on pose $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a} : a \in A\}$ . Démontrer :

$\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ pour tous $x, y$ ( $d_A$ est $1$ -lipschitzienne) ;
$d_A(x) = 0$ si et seulement si $x \in \overline A$ ; en particulier, si $F$ est fermé et $x \notin F$ , alors $d_F(x) > 0$ ;
pour tout $\varepsilon > 0$ , l’ensemble $V_\varepsilon = \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ est ouvert, contient $F$ , et $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ lorsque $F$ est fermé : tout fermé est une intersection dénombrable d’ouverts.

Solution

Solution de Exercice 12.12.

Pour tout $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ , donc $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; en passant à la borne inférieure sur $a$ : $d_A(x) \leq \abs{x - y} + d_A(y)$ . En échangeant $x$ et $y$ on obtient l’autre inégalité : $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
$d_A(x) = 0$ $\iff$ pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $a \in A$ avec $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ tout intervalle autour de $x$ rencontre $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Si $F$ est fermé et $x \notin F = \overline F$ , alors $d_F(x) \neq 0$ , c’est-à-dire $d_F(x) > 0$ .
Si $d_F(x) < \varepsilon$ , posons $r = \varepsilon - d_F(x) > 0$ : pour $\abs{y - x} < r$ , le point (1) donne $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : l’intervalle $\intoo{x - r}{x + r}$ est contenu dans $V_\varepsilon$ , qui est donc ouvert ; il contient $F$ puisque $d_F = 0$ sur $F$ . Enfin $x \in \bigcap_{\varepsilon>0} V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) < \varepsilon$ pour tout $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline F = F$ . Comme $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , tout fermé est une intersection dénombrable d’ouverts.

12.5 Problème : l’ensemble de Cantor, minuscule et énorme à la fois

Problème 12.1

Devoir maison — l’ensemble triadique de Cantor : longueur nulle, non dénombrable, parfait, et $C + C = \intcc{0}{2}$

Retirer de $\intcc{0}{1}$ son tiers médian ouvert, puis le tiers médian de chaque segment restant, et recommencer indéfiniment : ce qui survit est l’ensemble de Cantor $C$ , la fabrique fondamentale de contre-exemples de l’analyse. Ce problème le construit, le lit à travers la machinerie en base $3$ du Problème 10.1, et établit son portrait paradoxal : longueur totale nulle, et pourtant non dénombrable ; intérieur vide, et pourtant aucun point isolé ; totalement discontinu, et pourtant $C + C$ remplit le segment $\intcc{0}{2}$ tout entier. Formellement : $C_0 = \intcc{0}{1}$ , et $C_{n+1}$ s’obtient à partir de $C_n$ en supprimant le tiers médian ouvert de chaque segment de $C_n$ ; finalement $C = \bigcap_{n \geq 0} C_n$ . Dans tout le problème, un code ternaire de $x \in \intcc{0}{1}$ est une suite de chiffres $(d_k)_{k\geq1}$ avec $d_k \in \{0, 1, 2\}$ dont la valeur $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ vaut $x$ — les codes impropres (égaux à $2$ à partir d’un rang) sont autorisés ; d’après le Problème 10.1 (questions 9 à 11), tout $x \in \intcc{0}{1}$ possède un ou deux codes, deux exactement lorsque $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ .

Partie I — La construction.

Décrire explicitement $C_1$ et $C_2$ comme réunions de segments, et démontrer par récurrence : $C_n$ est une réunion disjointe de $2^n$ segments fermés, chacun de longueur $3^{-n}$ .
Montrer que $C$ est fermé, borné — donc compact (Théorème 12.19) — non vide, et que toute extrémité de tout segment de tout $C_n$ appartient à $C$ .
La longueur totale de $C_n$ vaut $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . En déduire que, pour tout $\varepsilon > 0$ , l’ensemble $C$ peut être recouvert par un nombre fini de segments de longueur totale $\leq \varepsilon$ : l’ensemble de Cantor est de longueur nulle.
Montrer qu’un intervalle contenu dans $C$ a une longueur $\leq 3^{-n}$ pour tout $n$ , donc est vide ou réduit à un point : $\mathring C = \emptyset$ . Étant fermé et d’intérieur vide, $C$ est nulle part dense.

Partie II — Le code ternaire.

Démontrer la relation d’autosimilarité

$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr), \qquad\text{d'où}\qquad C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C\bigr),$

les deux morceaux étant disjoints : $C$ est formé de deux copies de lui-même à l’échelle $\frac13$ .
Démontrer par récurrence sur $n$ : $x \in C_n$ si et seulement si $x$ possède un code ternaire dont les $n$ premiers chiffres sont dans $\{0, 2\}$ . En déduire, en utilisant le fait que $x$ possède au plus deux codes : $x \in C$ si et seulement si $x$ possède un code sans aucun chiffre égal à $1$ (un code sans $1$ ).
Les codes en action : donner des codes sans $1$ pour $0$ , $1$ , $\frac13$ , $\frac23$ ; montrer que $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ et $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , de sorte que tous deux appartiennent à $C$ ; et vérifier que $\frac14$ n’est pas une extrémité d’un $C_n$ (les extrémités sont de la forme $m/3^n$ ).
Montrer que chaque $x \in C$ possède exactement un code sans $1$ (lorsque $x$ possède deux codes, démontrer qu’exactement l’un des deux contient le chiffre $1$ ). Conclure : l’application « valeur » est une bijection de l’ensemble des suites $\{0,2\}$ sur $C$ .
(Diagonale) Soit $k \mapsto x_k$ une application quelconque $\N^* \to C$ . Construire une suite $\{0, 2\}$ différant à l’indice $k$ du code de $x_k$ , et en conclure que $C$ n’est pas dénombrable — alors que, par contraste, la question 3 le dit métriquement négligeable.

Partie III — Portrait topologique.

Rassembler le bilan obtenu : $C$ est compact, non dénombrable, de longueur nulle, nulle part dense. Pour chaque propriété, dire si la seule inclusion $C \subseteq C_n$ suffit à la porter.
( $C$ est parfait) Soit $x \in C$ de code sans $1$ égal à $(d_k)$ . Échanger le chiffre $d_n$ ( $0 \leftrightarrow 2$ ) produit $x_n \in C$ avec $\abs{x_n - x} = 2 \cdot 3^{-n}$ . En conclure que $C$ n’a aucun point isolé : tout point de $C$ est limite d’autres points de $C$ .
Montrer que les extrémités de la question 2 forment une partie dénombrable dense de $C$ (tronquer le code après $n$ chiffres et poursuivre par des $0$ ; dénombrabilité comme dans l’Exercice 12.10). Conclure : le point typique de $C$ — comme $\frac14$ — n’est pas une extrémité : les extrémités forment un squelette dénombrable à l’intérieur d’un corps non dénombrable.
(Totalement discontinu) Soient $x < y$ dans $C$ . Choisir $n$ tel que $3^{-n} < y - x$ et produire un point $z \in \intoo{x}{y}$ avec $z \notin C$ . En conclure que les seuls intervalles non vides contenus dans $C$ sont les singletons.

Partie IV — Arithmétique de $C$ .

Montrer que $1 - C = C$ (que fait $x \mapsto 1 - x$ à un code sans $1$ ? rappelons que $1 = (0.\overline{2})_3$ ).
(Addition des codes) Montrer que si $x$ , $x'$ ont pour codes $(a_k)$ , $(b_k)$ , alors $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ où $t_n, t'_n$ sont les sommes partielles. En déduire : tout $y \in \intcc{0}{1}$ est le milieu de deux points de $C$ — étant donné un code $(e_k)$ de $y$ , choisir des chiffres $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ tels que $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ .
En conclure que $C + C = \intcc{0}{2}$ et, avec la question 14, que $C - C = \intcc{-1}{1}$ . Cas concret : écrire $1$ comme somme des deux points non extrémités trouvés à la question 7.
Réfléchir : un ensemble de longueur nulle dont l’ensemble des différences remplit $\intcc{-1}{1}$ . Pourquoi n’y a-t-il pas de contradiction entre « $C$ est métriquement négligeable » et « $C + C$ est de longueur pleine » ? (Une phrase ; réfléchir à ce que la longueur contrôle et à ce qu’elle ne contrôle pas.)

Partie V — Des éléments, rationnels et irrationnels.

Combiner la question 8 avec le critère de périodicité du Problème 10.1 : un point de $C$ est rationnel si et seulement si son code sans $1$ est périodique à partir d’un certain rang. Effectuer la division en base $3$ pour vérifier que $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ .
Produire un élément explicitement irrationnel de $C$ : la valeur du code valant $d_k = 2$ aux positions triangulaires $k = \frac{j(j+1)}{2}$ et $d_k = 0$ ailleurs. Justifier l’irrationalité par l’argument des écarts croissants du Problème 10.1 (question 20).
(Sur un segment tout entier) Considérer $h$ qui envoie le point de $C$ de code sans $1$ égal à $(d_k)$ sur la valeur de la suite binaire $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , c’est-à-dire $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Montrer que $h$ envoie $C$ sur $\intcc{0}{1}$ tout entier. Ainsi le négligeable $C$ se surjecte sur un segment de longueur pleine — une seconde démonstration du fait que $C$ n’est pas dénombrable.
(Longueur et autosimilarité) Supposons qu’une notion de longueur $L$ soit définie pour $C$ et ses copies réduites, respectant l’homothétie ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), l’invariance par translation et l’additivité sur la décomposition disjointe de la question 5. Montrer qu’alors $L(C) = \frac23\,L(C)$ , ce qui force $L(C) = 0$ : l’autosimilarité seule condamne déjà $C$ à la longueur nulle.

Partie VI — Un cousin gras, et la morale.

(Ensemble de Cantor gras) Reprendre la construction, mais en retirant à l’étape $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ) de chacun des $2^n$ segments courants un intervalle ouvert central de longueur $4^{-(n+1)}$ seulement. Montrer que les longueurs $l_n$ des segments vérifient $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ , que l’ensemble $K = \bigcap K_n$ ainsi obtenu est compact d’intérieur vide, et que la longueur totale retirée vaut $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} = \frac12$ . En admettant l’additivité (intuitive, Licence 3) de la longueur pour les réunions finies d’intervalles, et en utilisant les deux énoncés de l’Exemple 12.20, montrer que toute famille finie d’intervalles ouverts recouvrant $K$ a une longueur totale $\geq \frac12$ : $K$ est nulle part dense mais non négligeable. La petitesse a plusieurs sens non équivalents.
(Distances) Montrer que, pour un fermé non vide $F \subseteq \R$ et $x \in \R$ , la borne inférieure $d(x, F)$ est atteinte (suite minimisante et Bolzano–Weierstrass). Calculer ensuite

$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$

maximum atteint exactement au centre $y = \frac12$ (un point d’un trou créé à l’étape $n$ est à distance au plus $\frac{3^{-n}}{2}$ des extrémités du trou, lesquelles appartiennent à $C$ ).
(Tout point est valeur d’adhérence) En utilisant les questions 12 et 2, produire une seule suite de $C$ dont l’ensemble des valeurs d’adhérence est $C$ tout entier. (À comparer : pour une suite convergente cet ensemble est réduit à un point — $C$ réalise l’extrême opposé parmi les compacts.)
Synthèse, une phrase pour chaque point : (i) quels théorèmes de ce chapitre la construction a-t-elle réellement consommés (stabilité des fermés, compacité, caractérisations séquentielles) ? (ii) énumérer les quatre couples paradoxaux du portrait (longueur nulle/non dénombrable, fermé/intérieur vide, parfait/totalement discontinu, négligeable/ $C+C$ plein) ; (iii) où $C$ refait-il surface plus tard (l’escalier du diable construit sur $h$ dans la théorie de la continuité, et la théorie de la mesure du volume de Licence 3, où $C$ sépare « dénombrable » de « négligeable ») ?

Solution

Solution de Problème 12.1.

1. $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ et

C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13} \cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .

Récurrence : si $C_n$ est une réunion disjointe de $2^n$ segments fermés de longueur $3^{-n}$ , supprimer le tiers médian ouvert de chacun laisse deux segments fermés de longueur $3^{-n-1}$ par parent : $2^{n+1}$ segments, deux à deux disjoints (les enfants de parents distincts sont séparés parce que les parents l’étaient ; les enfants d’un même parent sont séparés par le trou retiré).

2. Chaque $C_n$ est une réunion finie de segments, donc fermé ; $C = \bigcap C_n$ est une intersection de fermés : c’est un fermé (Définition 12.5) ; borné ( $\subseteq \intcc{0}{1}$ ) : donc compact d’après le Théorème 12.19. Non vide : $0$ appartient au segment le plus à gauche de chaque $C_n$ . Soit $a$ une extrémité d’un segment $S$ de $C_n$ . Pour $m \leq n$ , $a \in C_n \subseteq C_m$ . Pour les étapes suivantes : la suppression du tiers médian n’enlève jamais une extrémité, et $a$ est de nouveau une extrémité de l’un des deux enfants de $S$ (celui qui touche $a$ ) ; par récurrence $a \in C_m$ pour tout $m \geq n$ : $a \in C$ .

3. Longueur totale de $C_n$ : $2^n \cdot 3^{-n} = (\frac23)^n \to 0$ . Étant donné $\varepsilon > 0$ , choisissons $n$ tel que $(\frac23)^n \leq \varepsilon$ : alors $C \subseteq C_n$ , réunion d’un nombre fini de segments de longueur totale $\leq \varepsilon$ .

4. Soit $I \subseteq C$ un intervalle contenant deux points distincts. Pour tout $n$ : $I \subseteq C_n$ , et $I$ , étant convexe, doit être contenu dans un seul segment de $C_n$ (rencontrer deux segments forcerait $I$ à contenir un point du trou qui les sépare, lequel est hors de $C_n$ ). Donc la longueur de $I$ est $\leq 3^{-n}$ pour tout $n$ : contradiction. Ainsi les seuls intervalles contenus dans $C$ sont vides ou réduits à un point ; en particulier aucun $\intoo{x-r}{x+r}$ ne tient dans $C$ : $\mathring C = \emptyset$ . Comme $C$ est fermé, $\overline C = C$ est d’intérieur vide : $C$ est nulle part dense.

5. Posons $\varphi_0(x) = \frac x3$ et $\varphi_2(x) = \frac{2 + x}{3}$ , bijections affines croissantes de $\intcc{0}{1}$ sur $\intcc{0}{\frac13}$ et $\intcc{\frac23}{1}$ . Affirmation : $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ . Pour $n = 0$ c’est la question 1. Récurrence : une application affine croissante envoie le tiers médian d’un segment sur le tiers médian du segment image, donc la suppression des tiers médians commute avec $\varphi_0$ et $\varphi_2$ ; en appliquant l’étape de suppression à $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ on obtient $C_{n+2} = \varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$ . En intersectant sur $n$ : pour $x \leq \frac13$ , $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ pour tout $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$ ; de même sur $\intcc{\frac23}{1}$ ; et aucun point de $\intoo{\frac13}{\frac23}$ n’appartient à $C_1$ . Donc $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$ , de façon disjointe.

6. Récurrence sur $n$ ; le cas $n = 0$ dit que tout $x \in \intcc{0}{1}$ possède un code, ce qui est le Problème 10.1 (question 9 pour $x < 1$ ; $1 = (0.\overline 2)_3$ ). Supposons l’équivalence au rang $n$ . Si $x \in C_{n+1}$ : d’après la question 5, $x = \varphi_i(z)$ avec $z \in C_n$ et $i \in \{0, 2\}$ ; si $(e_k)$ est un code de $z$ dont les $n$ premiers chiffres sont sans $1$ , alors $(i, e_1, e_2, \dots)$ a pour sommes partielles $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m} e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$ : c’est un code de $x$ dont les $n + 1$ premiers chiffres sont sans $1$ . Réciproquement, si $x$ possède un code $(d_k)$ avec $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$ : la suite décalée $(d_2, d_3, \dots)$ a une certaine valeur $z \in \intcc{0}{1}$ , ses $n$ premiers chiffres sont sans $1$ , et le calcul des sommes partielles lu à l’envers donne $x = \varphi_{d_1}(z)$ ; par hypothèse de récurrence $z \in C_n$ , donc $x \in C_{n+1}$ par la question 5. Enfin : un code entièrement sans $1$ place $x$ dans chaque $C_n$ , donc dans $C$ ; réciproquement si $x \in C$ , alors pour chaque $n$ l’un des au plus deux codes de $x$ (Problème 10.1, question 11) a ses $n$ premiers chiffres sans $1$ ; un même code fixé doit convenir pour des $n$ arbitrairement grands (principe des tiroirs entre deux codes), et un code dont les $n$ premiers chiffres sont sans $1$ pour des $n$ arbitrairement grands est sans $1$ tout court.

7. $0 = (0.\overline 0)_3$ , $1 = (0.\overline 2)_3$ , $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (le jumeau impropre de $(0.1)_3$ ), $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$ . Sommes géométriques :

(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}} = \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 , \qquad (0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,

tous deux sans $1$ : $\frac14, \frac34 \in C$ . (Les sommes infinies abrègent des bornes supérieures de sommes partielles, comme dans le Problème 10.1.) Les extrémités des segments de $C_n$ sont de la forme $m/3^n$ (récurrence : les extrémités des enfants sont des extrémités du parent, ou en diffèrent d’un multiple de $3^{-n-1}$ ). Si $\frac14 = \frac{m}{3^n}$ alors $3^n = 4m$ , et $4 \nmid 3^n$ : impossible. Donc $\frac14 \in C$ sans jamais être une extrémité.

8. Supposons que $x$ ait deux codes sans $1$ distincts. Avoir deux codes signifie (Problème 10.1, question 11, en base $3$ ) que $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ et que les deux codes sont : le code fini, dont le dernier chiffre non nul $d_N \in \{1, 2\}$ est suivi de $0$ , et son jumeau, portant $d_N - 1$ à la position $N$ puis des $2$ . Si $d_N = 1$ le premier contient un $1$ ; si $d_N = 2$ le jumeau porte $d_N - 1 = 1$ . Dans les deux cas, au plus l’un des deux est sans $1$ : contradiction. Donc chaque $x \in C$ possède exactement un code sans $1$ (l’existence vient de la question 6), et des suites $\{0,2\}$ distinctes ont des valeurs distinctes. Toute suite $\{0,2\}$ a une valeur dans $\intcc{0}{1}$ (sommes partielles $\leq 1$ ) dont tous les préfixes sont sans $1$ , donc une valeur dans chaque $C_n$ , c’est-à-dire dans $C$ : l’application « valeur » est une bijection de l’ensemble des suites $\{0,2\}$ sur $C$ .

9. Soit $(d^{(k)})$ le code sans $1$ de $x_k$ et posons $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$ : c’est une suite $\{0,2\}$ dont la valeur $y$ appartient à $C$ et admet $(e_k)$ pour unique code sans $1$ (question 8). Pour chaque $k$ , les codes de $y$ et de $x_k$ diffèrent à la position $k$ , donc $y \neq x_k$ : aucune application $\N^* \to C$ n’est surjective. Un ensemble non dénombrable de longueur nulle : énorme en cardinal, minuscule en mesure — simultanément.

10. Compacité : le caractère fermé de l’intersection infinie, plus le caractère borné (question 2) — la seule propriété qui ne soit pas portée par une simple inclusion. Longueur nulle : $C \subseteq C_n$ , de longueur totale $(\frac23)^n$ (question 3). Nulle part dense : $C \subseteq C_n$ force les intervalles contenus dans $C$ à être de longueur $\leq 3^{-n}$ (question 4). La non-dénombrabilité ne repose sur aucune inclusion : elle réclame toute la structure de l’intersection, encodée dans la bijection de la question 8.

11. Remplaçons $d_n$ par $2 - d_n$ : la nouvelle suite est encore une suite $\{0,2\}$ , donc sa valeur $x_n$ appartient à $C$ ; les sommes partielles au-delà du rang $n$ diffèrent exactement de $2\cdot3^{-n}$ , donc $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$ . Ainsi $x_n \neq x$ et $x_n \to x$ : tout point de $C$ est limite d’autres points de $C$ — $C$ est parfait, sans point isolé.

12. D’après la récurrence de la question 5, les segments de $C_n$ sont exactement les $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ où $t$ parcourt les valeurs des suites $\{0,2\}$ de longueur $n$ . Étant donné $x \in C$ de code $(d_k)$ , la troncature $t_n$ (chiffres $d_1 \dots d_n$ puis des $0$ ) est donc une extrémité gauche, et $0 \leq x - t_n \leq 3^{-n}$ : les extrémités sont denses dans $C$ . Elles forment une partie de $\{m/3^n : m, n\}$ , ensemble indexé par des couples d’entiers, donc dénombrable (comme pour $\Q$ dans l’Exercice 12.10). Comme $C$ n’est pas dénombrable (question 9), tous les points de $C$ sauf une infinité dénombrable ne sont pas des extrémités — $\frac14$ (question 7) est la partie émergée de cet iceberg.

13. Choisissons $n$ tel que $3^{-n} < y - x$ . Les deux points $x, y$ sont dans $C_n$ , et ils ne peuvent pas appartenir au même segment (de longueur $3^{-n} < y - x$ ) : le trou retiré entre leurs segments fournit un $z$ avec $x < z < y$ et $z \notin C_n \supseteq C$ . Ainsi deux points quelconques de $C$ sont séparés par le complémentaire : les seules parties convexes de $C$ sont les singletons — $C$ est totalement discontinu.

14. Si $(d_k)$ est le code sans $1$ de $x$ , la suite $(2 - d_k)$ est encore une suite $\{0,2\}$ , de sommes partielles

\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :

donc $1 - x \in C$ . Ainsi $1 - C \subseteq C$ , et en appliquant l’application deux fois on obtient $1 - C = C$ : l’ensemble de Cantor est symétrique par rapport à $\frac12$ .

15. Les sommes partielles vérifient $t_n \to x$ et $t'_n \to x'$ (une suite croissante converge vers sa borne supérieure, c’est-à-dire vers la valeur), donc $t_n + t'_n \to x + x'$ d’après le Théorème 11.5. Étant donné $y \in \intcc{0}{1}$ de code $(e_k)$ , choisissons $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ selon que $e_k = 0, 1, 2$ : alors $a_k + b_k = 2e_k$ , les suites $(a_k)$ , $(b_k)$ sont des suites $\{0,2\}$ de valeurs $x, x' \in C$ , et

x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k} = 2y :

tout $y \in \intcc{0}{1}$ est le milieu de deux points de $C$ .

16. La question 15 donne $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1} \subseteq C + C$ , et $C + C \subseteq \intcc{0}{1} + \intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$ : d’où l’égalité. Puis, en utilisant $1 - C = C$ :

C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .

Cas concret : $1 = \frac14 + \frac34$ , somme de deux éléments de $C$ qui ne sont pas des extrémités.

17. La longueur mesure la portion de droite qu’occupe l’ensemble lui-même ; elle ne dit rien de l’ensemble des sommes, qui est l’image de la famille à deux paramètres $C \times C$ par $(x, x') \mapsto x + x'$ — les deux suites de chiffres sont choisies indépendamment, et c’est exactement cette liberté qui remplit $\intcc{0}{2}$ . Aucun théorème ne majore la longueur d’un ensemble somme par les longueurs des termes, et $C$ est la preuve qu’aucun ne le peut.

18. D’après le Problème 10.1 (question 18), $x$ est rationnel si et seulement si son développement propre est périodique à partir d’un certain rang. Le code sans $1$ de $x \in C$ est soit ce développement propre, soit le jumeau impropre d’un développement fini ; or un développement fini et son jumeau (des $2$ à partir d’un rang) sont tous deux périodiques à partir d’un certain rang, de sorte que la périodicité du code sans $1$ équivaut à la rationalité de $x$ . Division de $\frac1{13}$ en base $3$ ( $r_0 = 1$ ) : $3 = 13\cdot0 + 3$ , $9 = 13\cdot0 + 9$ , $27 = 13\cdot2 + 1$ , et le reste revient à $1$ : chiffres $\overline{002}$ , donc $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$ , sans $1$ et périodique : un élément rationnel de $C$ . (Vérification : $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$ .)

19. La suite valant $d_k = 2$ aux positions triangulaires $k = \frac{j(j+1)}{2}$ et $0$ ailleurs est une suite $\{0,2\}$ , donc sa valeur $x^*$ appartient à $C$ (question 8). Elle comporte une infinité de $2$ séparés par des écarts $j + 1 \to \infty$ entre deux consécutifs, donc elle n’est pas périodique à partir d’un certain rang (une période $T$ finirait par imposer des $2$ à des écarts $\leq T$ : l’argument des écarts croissants du Problème 10.1, question 20) ; d’après la question 18, $x^* \notin \Q$ . Et d’après la question 9 jointe à la dénombrabilité de $\Q$ , tous les éléments de $C$ sauf une infinité dénombrable sont irrationnels : $x^*$ est la norme, non l’exception.

20. Soit $y \in \intcc{0}{1}$ : il possède un code binaire $(c_k)$ avec $c_k \in \{0, 1\}$ (Problème 10.1, question 9, en base $2$ ; $y = 1$ prend la suite constante égale à $1$ ). Alors $(2c_k)$ est une suite $\{0,2\}$ , sa valeur $x$ appartient à $C$ , et $h(x)$ est la valeur de $(c_k)$ , à savoir $y$ : $h$ envoie $C$ sur $\intcc{0}{1}$ tout entier. Si $C$ était l’image d’une application définie sur $\N^*$ , la composition avec $h$ énumérerait tout $\intco{0}{1}$ , ce qui contredirait le théorème diagonal du Problème 10.1 (question 22) : $C$ n’est pas dénombrable, de nouveau. Un ensemble de longueur nulle qui se surjecte sur un segment tout entier.

21. D’après la question 5, $C$ est la réunion disjointe de $\varphi_0(C)$ et $\varphi_2(C)$ , chacun étant un translaté de la copie réduite $\frac13 C$ . L’additivité, l’homothétie et l’invariance par translation donnent

L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C)) = \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),

donc $\frac13 L(C) = 0$ : $L(C) = 0$ . L’autosimilarité seule condamne $C$ à la longueur nulle — la question 3 n’a fait qu’exécuter la sentence.

22. Un segment de longueur $l_n$ perd un intervalle central de longueur $4^{-(n+1)}$ , ce qui laisse deux segments de longueur $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ ; partant de $l_0 = 1$ , une récurrence confirme $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$ : en effet $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr) = \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} + 1}{2\cdot4^{n+1}}$ , et $l_n > 0$ toujours : la construction ne s’épuise jamais. $K = \bigcap K_n$ est fermé et borné, donc compact ; un intervalle contenu dans $K$ est contenu dans un segment de $K_n$ , de longueur $l_n \to 0$ : intérieur vide. Longueur retirée : $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot 4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$ , et chaque $K_n$ a pour longueur totale $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} > \frac12$ . Soit maintenant un nombre fini d’intervalles ouverts de réunion $U \supseteq K$ . D’après l’énoncé compagnon de l’Exemple 12.20, $U \supseteq K_n$ pour un certain $n$ ; en admettant l’additivité de la longueur sur les réunions finies d’intervalles, la longueur totale des intervalles du recouvrement est au moins celle de $K_n$ , qui dépasse $\frac12$ . Ainsi $K$ est nulle part dense, et pourtant aucun recouvrement bon marché n’existe : petitesse topologique (nulle part dense) et petitesse métrique (longueur nulle) sont deux notions réellement différentes, et $K$ les sépare.

23. Atteinte : posons $d = d(x, F)$ et choisissons $a_k \in F$ avec $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$ : les $a_k$ sont bornés, donc Bolzano–Weierstrass (Théorème 11.16) en extrait $a_{\varphi(k)} \to a$ , avec $a \in F$ ( $F$ fermé, Théorème 12.6) et $\abs{x - a} = \lim \abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$ . Passons au maximum : si $y \in C$ , $d(y, C) = 0$ ; sinon $y$ appartient à un trou retiré à une étape $n \geq 1$ , intervalle ouvert de longueur $3^{-n}$ dont les deux extrémités appartiennent à $C$ (question 2), donc $d(y, C) \leq \frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$ , avec égalité seulement si $n = 1$ et $y$ au centre du trou $\intoo{\frac13}{\frac23}$ , c’est-à-dire $y = \frac12$ ; et en effet $d\bigl(\frac12, C\bigr) = \frac16$ puisque $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ et $\frac13, \frac23 \in C$ . Donc $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16$ , atteint exactement en $\frac12$ .

24. Les extrémités forment une partie dénombrable dense de $C$ (question 12) : énumérons-les en une seule suite $(e_j)_{j\geq1}$ , à valeurs dans $C$ . Ses valeurs d’adhérence appartiennent toutes à $C$ ( $C$ fermé). Réciproquement, fixons $x \in C$ : pour chaque $n$ , les segments des $C_m$ contenant $x$ ( $m \geq n$ ) ont leurs extrémités à distance $\leq 3^{-m} \leq 3^{-n}$ de $x$ , donc une infinité d’extrémités distinctes sont à distance $\leq 3^{-n}$ de $x$ ; choisissons des indices $j_1 < j_2 < \dots$ avec $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$ : voilà une suite extraite convergeant vers $x$ . Ainsi l’ensemble des valeurs d’adhérence de $(e_j)$ est exactement $C$ — une seule suite s’accumulant en une infinité non dénombrable de points, l’extrême opposé d’une suite convergente, dont l’ensemble des valeurs d’adhérence est un singleton.

25. (i) La construction a consommé : la stabilité des fermés par intersection quelconque (existence de $C$ comme fermé), le théorème de compacité Théorème 12.19 (questions 2, 22, 23), et les caractérisations séquentielles du caractère fermé et de l’adhérence (l’argument des compacts emboîtés de l’Exemple 12.20 et la question 23). (ii) Les quatre couples : longueur nulle et pourtant non dénombrable (questions 3, 9) ; fermé et pourtant d’intérieur vide (question 4) ; parfait — sans point isolé — et pourtant totalement discontinu (questions 11, 13) ; négligeable et pourtant $C + C = \intcc{0}{2}$ (question 16). (iii) La surjection $h$ de la question 20, rendue continue et croissante, devient l’escalier du diable dans la théorie des fonctions continues ; et dans la théorie de la mesure du volume de Licence 3, $C$ est le témoin standard que « négligeable » ne signifie pas « dénombrable », son cousin gras (question 22) séparant « nulle part dense » de « négligeable ».