Mathématiques universitaires — Licence 2 · Bachelor Year 2

16Équations différentielles

L’année 1 a résolu les équations linéaires qui admettent des formules. Ce chapitre fournit ce que les formules ne peuvent donner : le théorème de Cauchy–Lipschitz — existence et unicité pour $y' = f(t, y)$ — démontré à l’aide du théorème du point fixe de Banach, exactement comme promis au Chapitre 4 ; puis la théorie complète des systèmes linéaires $X' = A(t)X + B(t)$ , avec l’exponentielle de matrice et le wronskien comme moteurs de calcul.

16.1 Le théorème de Cauchy–Lipschitz

Théorème 16.1 (Cauchy–Lipschitz, version lipschitzienne globale)

Soient $I$ un segment et $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ continue et lipschitzienne en la seconde variable, uniformément en la première : $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ pour tout $t \in I$ . Alors pour tout $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$ , le problème de Cauchy

y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0

admet exactement une solution $y \colon I \to \R^n$ de classe $C^1$ .

Démonstration. Reformulation. Une fonction continue $y$ résout le problème si et seulement si elle satisfait l’équation intégrale

y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s =: T(y)(t)

(théorème fondamental de l’analyse dans les deux sens ; une solution continue de l’équation intégrale est automatiquement $C^1$ ).

Une contraction, après renormalisation. Sur l’espace de Banach $E = C(I, \R^n)$ muni de la norme pondérée

N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,

(équivalente à la norme sup : le poids est borné supérieurement et inférieurement sur le segment $I$ , donc $E$ reste complet), estimons pour $y, z \in E$ et, disons, $t \geq t_0$ :

\norm{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s \leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s \leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .

En multipliant par $\eu^{-2k(t - t_0)}$ et en prenant le sup (le cas $t < t_0$ est symétrique) : $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y - z)$ : $T$ est une $\frac12$ -contraction de l’espace complet $(E, N)$ . Le théorème du point fixe de Banach (Théorème 4.12) fournit un unique point fixe : l’unique solution. ∎

Remarque 16.2

Pour $f$ seulement $C^1$ (localement lipschitzienne), le théorème vaut localement, avec une solution maximale sur un intervalle ouvert maximal ; les solutions peuvent exploser en temps fini ( $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : $y(t) = \frac{1}{1-t}$ , disparue en $t = 1$ ). C’est l’hypothèse lipschitzienne globale qui garantit le segment tout entier. Deux conséquences à graver dans la mémoire : les courbes intégrales d’une EDO à champ lipschitzien ne se croisent jamais ; et la fonction nulle est la seule solution d’une équation linéaire homogène qui s’annule quelque part.

Exemple 16.3 (L’unicité est un théorème : un champ qui fuit)

Considérons $y' = 2\sqrt{\abs y}$ avec $y(0) = 0$ . La fonction nulle en est solution ; il en va de même de

y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0, \end{cases}

qui est $C^1$ (les deux morceaux ont une dérivée nulle au point de raccord) et vérifie $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ pour $t > 0$ — en effet, retarder le décollage fournit une solution pour chaque instant de départ $c \geq 0$ : une infinité de solutions issues des mêmes données initiales. Aucune contradiction avec le Théorème 16.1 : au voisinage de $y = 0$ ,

\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}} = \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,

le champ n’est pas lipschitzien en $y$ , et le théorème reste muet. Éclairage final : la lecture physique est celle d’un seau qui se vide sous l’effet de la gravité, le temps remonté — depuis l’état vide, on ne peut dire quand il a commencé à se remplir ; le déterminisme des EDO est exactement la condition de Lipschitz, non une loi de la nature.

16.2 Systèmes linéaires

Théorème 16.4 (Structure des systèmes linéaires)

Soient $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ et $B \colon I \to \R^n$ continues sur un intervalle $I$ . Pour tout $(t_0, X_0)$ , le problème

X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0

admet exactement une solution sur $I$ tout entier. Les solutions du système homogène ( $B = 0$ ) forment un espace vectoriel $\mathcal{S}_H$ de dimension exactement $n$ , et l’évaluation $X \mapsto X(t_0)$ est un isomorphisme $\mathcal{S}_H \to \R^n$ ; solution générale $=$ particulière $+$ homogène.

Démonstration. Sur tout segment $J \subseteq I$ contenant $t_0$ : $f(t, X) = A(t)X + B(t)$ est continue, et lipschitzienne en $X$ de constante $k = \sup_J \vertiii{A(t)}$ (finie : continue sur un segment) : le Théorème 16.1 s’applique sur $J$ ; en faisant croître $J$ jusqu’à épuiser $I$ , l’unicité recolle les solutions en une seule sur $I$ . La linéarité de l’ensemble des solutions et de l’application d’évaluation est claire ; l’évaluation est bijective par existence (surjective) et unicité (injective) : $\dim \mathcal{S}_H = n$ . La structure affine est l’argument de l’année 1, mot pour mot. ∎

Exemple 16.5 (L’isomorphisme d’évaluation, concrètement)

Pour $y'' + y = 0$ , vue comme le système $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ avec $X = (y, y')$ : le théorème dit que l’espace des solutions est un plan, et que $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ est un isomorphisme sur $\R^2$ . Les solutions $\cos$ et $\sin$ s’évaluent en $(1, 0)$ et $(0, 1)$ — la base canonique de $\R^2$ — elles forment donc une base de l’espace des solutions, et toute solution s’écrit

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

avec les coefficients lus directement sur les données initiales, sans aucun système linéaire à résoudre. Éclairage final : choisir le système fondamental dont les valeurs initiales forment la base canonique (ici $\cos, \sin$ ) revient exactement à choisir les colonnes de $\eu^{tA}$ ; l’isomorphisme d’évaluation explique pourquoi les conditions initiales paramètrent les trajectoires — le contenu géométrique de la « dynamique déterministe » pour les équations linéaires.

Définition 16.6 (Wronskien)

Pour des solutions $X_1, \dots, X_n$ du système homogène, le wronskien est $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . D’après l’isomorphisme ci-dessus, ou bien $W$ s’annule identiquement (la famille est liée), ou bien ne s’annule jamais (un système fondamental) ; quantitativement, $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ , donc

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(formule de Liouville)}.

Exemple 16.7 (Liouville vérifiée sur une équation d’Euler)

Sur $\intoo{0}{\infty}$ , l’équation $t^2y'' + ty' - y = 0$ a pour solutions $y_1(t) = t$ et $y_2(t) = \frac1t$ (par substitution). Leur wronskien :

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

jamais nul : un système fondamental. Vérifions maintenant Liouville : sous forme normalisée $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ , la matrice compagnon $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ a pour trace $-\frac1t$ , donc

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

Éclairage final : Liouville prédit la forme du wronskien avant même de connaître aucune solution — ici, que $W$ doit valoir $\frac{c}{t}$ ; c’est ce qui alimente la méthode d’abaissement de l’ordre (Proposition 16.15), où la connaissance de $y_1$ et de la forme du wronskien détermine $y_2$ par une seule quadrature.

Démonstration de la formule de Liouville. $W(t) = \det M(t)$ avec $M' = AM$ . En dérivant le déterminant comme fonction multilinéaire des colonnes,

W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n) = \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .

Or l’application $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots, AC_j, \dots, C_n)$ est $n$ -linéaire et alternée (avec deux colonnes égales $C_i = C_k$ , les termes $j \notin \{i, k\}$ s’annulent d’emblée, et les termes $j = i$ et $j = k$ se compensent deux à deux après un échange de colonnes) : d’après le théorème d’unicité (Théorème 2.14), elle vaut $c \cdot \det$ , avec $c$ lu sur les colonnes canoniques : $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j, \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$ . Ainsi $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$ : une EDO linéaire scalaire, résolue par la formule de l’année 1. ∎

16.3 Coefficients constants : l’exponentielle de matrice

Théorème 16.8

Pour $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (ou $\C$ ), l’exponentielle $\eu^{tA} = \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ (Exemple 5.22) vérifie : $t \mapsto \eu^{tA}$ est $C^1$ (et même $C^\infty$ ), avec

\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A , \qquad \eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA}, \qquad (\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;

et $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ lorsque $AB = BA$ . Le problème de Cauchy $X' = AX$ , $X(0) = X_0$ a pour unique solution $X(t) = \eu^{tA}X_0$ ; avec un second membre, la formule de variation des constantes vaut :

X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s .

Démonstration. Différentiabilité : la série $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ et sa série dérivée terme à terme $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum \frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ convergent normalement sur tout segment (normes $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$ ) : on dérive terme à terme (Théorème 10.11, à valeurs vectorielles). Les deux ordres $A\eu^{tA}$ et $\eu^{tA}A$ coïncident, puisque toute somme partielle commute avec $A$ .

Loi de groupe : pour $A, B$ qui commutent, le produit de Cauchy des deux séries exponentielles se réorganise par la formule du binôme exactement comme dans l’Exemple 7.15 (la convergence absolue dans l’algèbre de Banach le justifie) : $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ ; avec $B = sA$ on obtient la loi de groupe à un paramètre, et avec $B = -A$ l’inverse.

Problème de Cauchy : $X(t) = \eu^{tA}X_0$ en est solution (dériver) ; unicité par le Théorème 16.4. Variation des constantes : posons $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$ ; en dérivant, $Y' = \eu^{-tA}(X' - AX) = \eu^{-tA}B(t)$ ; intégrer de $t_0$ à $t$ et multiplier à nouveau par $\eu^{tA}$ . ∎

Méthode 16.9 (Calcul de $\eu^{tA}$ )

Réduire $A$ (Chapitre 3) : si $A = PDP^{-1}$ est diagonale, $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ avec $\eu^{tD}$ diagonale formée des $\eu^{t\lambda_i}$ ; en général, utiliser Dunford $A = D + N$ (qui commutent) : $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ avec $\eu^{tN}$ un polynôme en $t$ (la nilpotence tronque la série). Les valeurs propres complexes s’apparient en blocs rotation-fois-exponentielle (Exercice 16.5).

Remarque 16.10 (Pièges classiques)

(i) $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ sans commutation : prenons $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Alors $\eu^A = I + A$ , $\eu^B = I + B$ (nilpotence), donc

\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad\text{tandis que}\qquad \eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B) = \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{pmatrix},

en utilisant $(A+B)^2 = I$ ; et $\cosh 1 \approx 1.54 \neq 2$ . La loi de groupe du Théorème 16.8 porte une véritable hypothèse. (ii) Intuition non linéaire en terrain linéaire : les solutions d’un système linéaire à coefficients continus vivent sur l’intervalle tout entier (Théorème 16.4) — si une solution candidate explose à l’intérieur de $I$ , l’équation n’était pas linéaire ou le calcul est faux ; réciproquement, pour les équations non linéaires, ne jamais promettre la globalité sans argument ( $y' = y^2$ ). (iii) Diviser par l’inconnue : séparer les variables dans $y' = y(1-y)$ écarte silencieusement les solutions constantes $0$ et $1$ — précisément celles qui organisent la droite des phases (Exercice 16.3) ; lister d’abord les solutions constantes. (iv) Les données initiales fixent des vecteurs, non des scalaires : une équation scalaire d’ordre $n$ nécessite $n$ conditions ( $y, y', \dots$ en $t_0$ ) ; n’imposer que $y(t_0)$ laisse une famille à $(n-1)$ paramètres, source classique de constantes « perdues ».

Exemple 16.11 (Une exponentielle $3\times3$ par Dunford)

Résolvons $X' = AX$ pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$ . Dunford par blocs : $A = D + N$ avec $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ et $N = E_{12}$ , qui commutent ( $N$ vit à l’intérieur du bloc associé à la valeur propre $2$ ), et $N^2 = 0$ :

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN} = \begin{pmatrix} \eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\ 0 & \eu^{2t} & 0\\ 0 & 0 & \eu^{3t} \end{pmatrix} .

La solution générale se lit colonne par colonne : $X(t) = \bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\ \eu^{3t}z_0\bigr)$ . Vérifications : en $t = 0$ la matrice vaut $I$ ; son déterminant est $\eu^{7t} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ , comme l’exige Liouville ; et le facteur $t$ apparaît exactement là où la valeur propre $2$ est défectueuse. Éclairage final : les polynômes fois exponentielles ne sont pas une supposition à mémoriser — ce sont les séries tronquées $\eu^{tN}$ , et leur degré est borné par l’indice de nilpotence, jamais plus.

Méthode 16.12 (Résoudre $X' = AX + B(t)$ , de bout en bout)

Spectre de $A$ ; puis $\eu^{tA}$ par la Méthode 16.9 (diagonaliser ; ou Dunford comme dans l’Exemple 16.11 ; ou une astuce polynomiale du type $A^2 = -I$ ).
Une solution particulière : la variation des constantes $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ marche toujours ; pour $B$ exponentielle-polynôme, un ansatz de même forme (degré relevé en cas de résonance, Exercice 16.10) est plus rapide.
Solution générale $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ particulière ; ajuster les données initiales en dernier, sur la formule complète.
Vérifications : $X(t_0)$ correct ; la croissance de la partie homogène correspond aux parties réelles des valeurs propres (Exercice 16.8) ; et le $\det$ d’une matrice fondamentale obéit à Liouville.

Exemple 16.13 (Un portrait de phase)

$X' = AX$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ : $A^2 = -I$ , donc la série se scinde en

\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} :

les trajectoires sont des cercles parcourus dans le sens horaire — l’oscillateur harmonique $x'' + x = 0$ en habit du premier ordre. Valeurs propres $\pm\iu$ sur l’axe imaginaire : un centre. Plus généralement, les parties réelles des valeurs propres de $A$ décident de la croissance ou de la décroissance de $\norm{X(t)}$ (Exercice 16.8).

Deux portraits de phase linéaires. À gauche : un centre (valeurs propres ±) — orbites circulaires fermées de l’oscillateur harmonique. À droite : un nœud stable (valeurs propres -1, -2) — toutes les trajectoires tombent vers l’origine tangentiellement à la direction propre lente. — Deux portraits de phase linéaires. À gauche : un *centre* (valeurs propres $\pm\iu$ ) — orbites circulaires fermées de l’oscillateur harmonique. À droite : un *nœud stable* (valeurs propres $-1, -2$ ) — toutes les trajectoires tombent vers l’origine tangentiellement à la direction propre lente.

Le plan trace–déterminant pour X' = AX en dimension 2 : sous l’axe horizontal, les selles ; entre l’axe et la parabole = 2/4, les nœuds ; à l’intérieur de la parabole, les foyers ; sur le demi-axe positif, les centres. Le problème du week-end démontre cette classification et en suit une droite verticale — l’oscillateur amorti — jusqu’à la résonance. — Le plan trace–déterminant pour $X' = AX$ en dimension $2$ : sous l’axe horizontal, les selles ; entre l’axe et la parabole $\delta = \tau^2/4$ , les nœuds ; à l’intérieur de la parabole, les foyers ; sur le demi-axe $\delta$ positif, les centres. Le problème du week-end démontre cette classification et en suit une droite verticale — l’oscillateur amorti — jusqu’à la résonance.

Remarque 16.14 (Où cela sert)

Les systèmes linéaires sont le modèle local de tout ce qui est non linéaire : au voisinage d’un équilibre, un champ de vecteurs régulier se comporte (dans les cas hyperboliques) comme sa linéarisation, dont le plan trace–déterminant classe le portrait. Le problème du week-end développe entièrement l’histoire de l’oscillateur — amortissement, forçage, résonance, et théorèmes de comparaison de Sturm pour les coefficients variables — les mathématiques derrière les amortisseurs, les circuits à courant alternatif et les trous spectraux. Le volume de l’année 3 y revient avec la théorie qualitative (flots, stabilité, intégrales premières) sur les variétés.

16.4 Second ordre à coefficients variables

Proposition 16.15

L’équation $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ ( $a, b, c$ continues sur $I$ ) est le système $X' = A(t)X + B(t)$ pour $X = (y, y')$ : les solutions existent et sont uniques sur $I$ tout entier pour toute donnée initiale $(y(t_0), y'(t_0))$ ; les solutions homogènes forment un plan. Si l’on connaît une solution homogène $y_1$ ne s’annulant pas, on en trouve une seconde, indépendante, par abaissement de l’ordre : poser $y = y_1 z$ transforme l’équation homogène en une équation du premier ordre en $z'$ , résolue par quadratures.

Démonstration. La mise sous forme de système et le Théorème 16.4 donnent tout ce qui est structurel. Abaissement : en substituant $y = y_1z$ ,

y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' + by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :

une équation linéaire du premier ordre en $u = z'$ , résoluble par la formule de l’année 1 ; intégrer $u$ donne $z$ , d’où $y_2 = y_1 z$ , indépendante de $y_1$ dès que $z$ n’est pas constante. ∎

Exemple 16.16

$t^2y'' - 2y = 0$ sur $\intoo{0}{\infty}$ : $y_1 = t^2$ est solution. Substituons $y = t^2z$ : de $y' = t^2z' + 2tz$ et $y'' = t^2z'' + 4tz' + 2z$ ,

t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0, \qquad\text{c.-à-d.}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :

$z' = t^{-4}$ (à une constante près), $z = -\frac{1}{3t^3}$ , et $y_2 = t^2z = -\frac{1}{3t}$ . Solution générale : $y = \alpha t^2 + \frac{\beta}{t}$ .

16.5 Exercices

Exercice 16.1 ★

Résoudre $X' = AX$ , $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$ , pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (diagonaliser) et $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (Dunford).

Solution

Solution de Exercice 16.1.

Première matrice : valeurs propres $1, 2$ , vecteurs propres $(1,0)$ et $(1,1)$ . Décomposons $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$ : la solution est

X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .

(Le vecteur initial est lui-même un vecteur propre.)

Seconde : $A = 2I + N$ , $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ : $\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN)$ , donc

X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.

Exercice 16.2 ★

Quels problèmes de Cauchy ont des solutions globales uniques sur $\R$ d’après le Théorème 16.1 ? $y' = \sin(ty)$ ; $\;y' = y^2$ ; $\;y' = \abs y$ . Pour le dernier, résoudre explicitement avec $y(0) = 0$ et $y(0) = 1$ .

Solution

Solution de Exercice 16.2.

$y' = \sin(ty)$ : $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y - z}$ — lipschitzienne en $y$ uniformément sur tout segment de temps : solutions globales uniques sur $\R$ (appliquer le théorème sur chaque segment).

$y' = y^2$ : seulement localement lipschitzienne ; pas de théorème global, et en effet $y(0) = 1$ explose en $t = 1$ .

$y' = \abs y$ : $\abs\cdot$ est $1$ -lipschitzienne : existence et unicité globales. Avec $y(0) = 0$ : $y \equiv 0$ (unicité !). Avec $y(0) = 1$ : $y$ reste positive (ne peut traverser la solution nulle), donc $y' = y$ : $y = \eu^t$ .

Exercice 16.3 ★

Montrer que deux solutions maximales distinctes de $y' = f(t,y)$ ( $f$ lipschitzienne en $y$ ) ne prennent jamais la même valeur au même instant, et en déduire que les solutions de $y' = y(1 - y)$ partant dans $\intoo{0}{1}$ y restent pour toujours.

Solution

Solution de Exercice 16.3.

Si $y(t_1) = z(t_1)$ à un certain instant, alors $y$ et $z$ résolvent le même problème de Cauchy en $t_1$ : l’unicité impose $y = z$ sur leur intervalle commun — des solutions distinctes ne se rencontrent jamais.

Pour $y' = y(1-y)$ : les constantes $0$ et $1$ sont solutions. Une solution partant dans $\intoo{0}{1}$ ne peut jamais atteindre $0$ ni $1$ (elle heurterait une solution constante) : elle reste dans $\intoo{0}{1}$ , donc est globale (bornée : pas d’explosion — par exemple par le critère de l’Exercice 16.9, ou parce que le champ de vecteurs est borné sur la bande piège).

Exercice 16.4 ★★

Calculer $\eu^{tA}$ pour $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ (Dunford : $(A - 2I)^2 = 0$ ), et résoudre $X' = AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$ , $X(0) = 0$ , par variation des constantes.

Solution

Solution de Exercice 16.4.

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$ : Dunford avec $D = 2I$ , $N = A - 2I$ :

\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.

Variation des constantes avec $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$ :

X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s = \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s) \end{pmatrix}\dd s = \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2} \end{pmatrix},

en utilisant $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf T}$ . (Vérification : $X(0) = 0$ ; $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf T}$ par dérivation.)

Exercice 16.5 ★★

Pour $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ , montrer que $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\ \sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ — trajectoires en spirale — de deux façons : par la série (écrire $A = \alpha I + \beta J$ , $J^2 = -I$ ), et par l’identification complexe $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ .

Solution

Solution de Exercice 16.5.

Série : $A = \alpha I + \beta J$ avec $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , $J^2 = -I$ ; les deux termes commutent, donc $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$ , et la série de $\eu^{\beta t J}$ se scinde selon les puissances paires/impaires en $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$ : la matrice de rotation-homothétie annoncée.

Complexe : identifions $(x, y) \in \R^2$ avec $z = x + \iu y$ ; le système $X' = AX$ s’écrit $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ , dont la solution $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ est exactement la spirale : module $\eu^{\alpha t}$ , argument avançant à la vitesse $\beta$ .

Exercice 16.6 ★★

(Lemme de Gronwall) Soit $u$ continue positive vérifiant $u(t) \leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ sur $\intco{t_0}{T}$ . Montrer que $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ (dériver $v(t) = \eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$ ). En déduire de nouveau l’unicité dans Cauchy–Lipschitz et la dépendance continue $\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ pour deux solutions de données initiales différentes.

Solution

Solution de Exercice 16.6.

Posons $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$ . Alors

v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr) \leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},

par l’hypothèse. En intégrant de $t_0$ à $t$ ( $v(t_0) = 0$ ) : $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$ , c’est-à-dire $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$ ; en réinjectant dans l’hypothèse : $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$ .

Unicité/dépendance : deux solutions $y, z$ de l’équation intégrale vérifient

\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} + k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},

et Gronwall avec $C = \norm{y_0 - z_0}$ donne la borne exponentielle ; $C = 0$ donne l’unicité.

Exercice 16.7 ★★

Sachant que $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ résout $ty'' + 2y' + ty = 0$ sur $\intoo{0}{\pi}$ , trouver une seconde solution indépendante par abaissement de l’ordre, et donner la solution générale.

Solution

Solution de Exercice 16.7.

Substituons $y = y_1 z$ avec $y_1 = \frac{\sin t}{t}$ : la formule générale d’abaissement (Proposition 16.15) donne, pour $u = z'$ ,

y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0

(l’équation normalisée en $y'' + \frac2t y' + y = 0$ ). Calculons $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} + \frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$ : ainsi

\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t} = -2\cot t \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{\sin^2 t} \quad (\text{à une constante près}),

et $z = -\cot t$ , d’où $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$ . Solution générale sur $\intoo{0}{\pi}$ :

y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .

(Ce sont les fonctions de Bessel sphériques d’ordre zéro.)

Exercice 16.8 ★★★

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de partie réelle (strictement) négative. Montrer que toute solution de $X' = AX$ tend vers $0$ lorsque $t \to +\infty$ , à un taux exponentiel : $\norm{X(t)} \leq C\,\eu^{-\alpha t}$ pour un certain $\alpha > 0$ . (Trigonaliser ; traiter le système triangulaire à partir de la dernière ligne en remontant, ou utiliser Dunford : $\eu^{tA} = \eu^{tD}\eu^{tN}$ avec $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ et $\eu^{tN}$ polynomial en $t$ .)

Solution

Solution de Exercice 16.8.

Dunford : $A = D + N$ qui commutent, $D$ diagonalisable de mêmes valeurs propres, $N$ nilpotent, donc

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}, \qquad \eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!} \ \text{(un polynôme matriciel en } t).

Posons $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$ . Dans une base diagonalisant $D$ , $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (coefficients $\eu^{t\lambda_i}$ de module $\eu^{t\Re\lambda_i}$ ) ; les normes dans des bases différentes diffèrent d’une constante. D’où

\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0} \leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0} \leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,

en absorbant le polynôme dans un unique facteur exponentiel ( $\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$ , donc borné).

Exercice 16.9 ★★★

(Pas d’échappement en temps fini pour une croissance linéaire) Supposons $f$ continue avec $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ sur $\intco{0}{\infty} \times \R^n$ , localement lipschitzienne en $y$ . À l’aide de Gronwall (Exercice 16.6) sur la forme intégrale, montrer que les solutions maximales sont globales (définies sur $\intco{0}{\infty}$ tout entier).

Solution

Solution de Exercice 16.9.

Soit $y$ une solution maximale sur $\intco{0}{T}$ , $T \leq \infty$ , et supposons $T < \infty$ . La forme intégrale donne, pour $t < T$ ,

\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} + b\bigr)\dd s \leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,

et Gronwall borne $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} + bT)\,\eu^{aT} =: M$ sur $\intco{0}{T}$ : la solution reste dans une boule compacte. Alors $y' = f(t, y)$ est bornée au voisinage de $T$ , donc $y$ est lipschitzienne au voisinage de $T$ et se prolonge continûment en $T$ (critère de Cauchy) ; résoudre le problème de Cauchy en $(T, y(T))$ prolonge $y$ au-delà de $T$ , contredisant la maximalité. Donc $T = \infty$ : pas d’échappement en temps fini sous croissance linéaire.

Exercice 16.10 ★

Résoudre $y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$ : solutions homogènes, puis une solution particulière de la forme $\alpha t\,\eu^{t}$ (pourquoi la supposition naïve $\alpha\eu^t$ échoue-t-elle ?) ; solution générale et la solution vérifiant $y(0) = y'(0) = 0$ .

Solution

Solution de Exercice 16.10.

Racines caractéristiques de $r^2 - 3r + 2$ : $1$ et $2$ , donc les solutions homogènes sont $a\eu^t + b\eu^{2t}$ . La supposition $\alpha\eu^t$ échoue car $\eu^t$ résout déjà l’équation homogène (la racine $r = 1$ « entre en résonance » avec le second membre). Avec $y = \alpha t\,\eu^t$ : $y' = \alpha(1 + t)\eu^t$ , $y'' = \alpha(2 + t)\eu^t$ , et

y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr) = -\alpha\,\eu^t :

$\alpha = -1$ , $y_p = -t\,\eu^t$ . Solution générale : $y = a\eu^t + b\eu^{2t} - t\eu^t$ . Données initiales $y(0) = y'(0) = 0$ : $a + b = 0$ et $a + 2b - 1 = 0$ : $b = 1$ , $a = -1$ :

y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .

Exercice 16.11 ★★

Calculer $\eu^{tA}$ pour le bloc de Jordan

A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},

et décrire toutes les solutions de $X' = AX$ : des exponentielles fois des vecteurs polynomiaux, de degrés allant jusqu’à $2$ . D’où vient le degré du polynôme ?

Solution

Solution de Exercice 16.11.

$A = \lambda I + N$ avec $N = E_{12} + E_{23}$ : $N^2 = E_{13}$ , $N^3 = 0$ , et $\lambda I$ commute avec $N$ :

\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr) = \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2}\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Solutions : $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 + \frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — chaque composante est $\eu^{\lambda t}$ fois un polynôme de degré $\leq 2$ . La borne sur le degré est l’indice de nilpotence moins un : la série de $\eu^{tN}$ se tronque à $N^2$ .

Exercice 16.12 ★★★

(Forçage périodique, réponse périodique) Soient $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ et $B \colon \R \to \R^n$ continue et $T$ -périodique.

Montrer qu’une solution de $X' = AX + B(t)$ est $T$ -périodique si et seulement si $X(T) = X(0)$ (comparer $X(\cdot + T)$ et $X$ ).
Montrer que les valeurs propres de $\eu^{TA}$ sont les $\eu^{T\lambda}$ , $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ (trigonaliser sur $\C$ ). En déduire : si aucune valeur propre de $A$ n’appartient à $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ , alors $I - \eu^{TA}$ est inversible.
Sous cette hypothèse, montrer que le système a exactement une solution $T$ -périodique, avec

$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1} \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$

À quoi correspond le cas exclu, pour l’oscillateur harmonique ? (Le problème du week-end répond : la résonance.)

Solution

Solution de Exercice 16.12.

Si $X(T) = X(0)$ , alors $Y(t) = X(t + T)$ résout $Y' = AY + B(t + T) = AY + B(t)$ avec $Y(0) = X(0)$ : l’unicité (Théorème 16.4) donne $Y = X$ , c’est-à-dire $X$ est $T$ -périodique. La réciproque est triviale.
Trigonaliser sur $\C$ : $A = PT'P^{-1}$ avec $T'$ triangulaire supérieure, de diagonale $(\lambda_i)$ . Toute puissance d’une matrice triangulaire est triangulaire de diagonale $(\lambda_i^k)$ , donc $\eu^{TA} = P\eu^{TT'}P^{-1}$ est triangulaire dans la même base, de diagonale $(\eu^{T\lambda_i})$ : ce sont les valeurs propres. Alors $I - \eu^{TA}$ est inversible ssi $\eu^{T\lambda} \neq 1$ pour toute valeur propre, c’est-à-dire ssi $T\lambda \notin 2\iu\pi\Z$ , ce qui est l’hypothèse énoncée.
Variation des constantes : $X(T) = \eu^{TA}X(0) + \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$ , donc $X(T) = X(0)$ s’écrit

$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) = \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$

qui a une unique solution $X(0)$ sous l’hypothèse d’inversibilité : exactement une solution $T$ -périodique. Pour l’oscillateur harmonique ( $\lambda = \pm\iu\omega$ ), le cas exclu est $\omega T \in 2\pi\Z$ : un forçage dont la période est un multiple de la période propre — la résonance, comme le quantifie le problème du week-end.

16.6 Problème : oscillations, résonance et théorèmes de comparaison de Sturm

Problème 16.1

Une seule équation régit le monde mécanique et électrique :

x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t), \qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .

Ce problème l’étudie complètement — via la classification trace–déterminant des systèmes linéaires plans, les trois régimes d’amortissement, la réponse en régime permanent à un forçage périodique avec son pic de résonance et la catastrophe de résonance — puis quitte les coefficients constants pour les théorèmes de séparation et de comparaison de Sturm, qui contrôlent les zéros des solutions de $y'' + q(t)y = 0$ sans aucune formule.

Partie I — Le plan trace–déterminant. Soient $A \in \mathcal M_2(\R)$ , $\tau = \operatorname{tr}A$ , $\delta = \det A$ , $\Delta = \tau^2 - 4\delta$ .

Montrer que les valeurs propres de $A$ sont $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ et classer : deux valeurs propres réelles de signes opposés ssi $\delta < 0$ ; valeurs propres réelles de même signe ssi $\delta > 0$ , $\Delta \geq 0$ (signe de $\tau$ ) ; paire conjuguée non réelle ssi $\Delta < 0$ (partie réelle $\frac\tau2$ ).
(Selle, $\delta < 0$ ) Avec les valeurs propres $\mu < 0 < \lambda$ et les vecteurs propres $v_\pm$ , écrire la solution générale et décrire les trajectoires : deux demi-droites stables et deux instables, toutes les autres orbites asymptotes aux deux. Pourquoi aucune solution autre que $0$ ne peut-elle rester bornée sur $\R$ tout entier ?
(Nœuds, $\delta > 0$ , $\Delta > 0$ ) Pour $\mu < \lambda < 0$ : montrer que toute solution non nulle tend vers $0$ et que toutes les orbites, sauf celles sur l’axe rapide, arrivent tangentiellement à la direction propre lente (comparer $\eu^{\mu t}$ et $\eu^{\lambda t}$ ).
(Foyers et centres, $\Delta < 0$ ) En écrivant les valeurs propres $\alpha \pm \iu\beta$ , utiliser l’Exercice 16.5 (après un changement de base réel, admis dans cette généralité ou démontré pour les systèmes de la partie II, qui sont ceux utilisés ci-dessous) pour décrire les orbites : des spirales convergeant pour $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , divergeant pour $\tau > 0$ , des courbes fermées (centre) pour $\tau = 0$ .
(Cas limites) Pour une valeur propre double ( $\Delta = 0$ ) : montrer que $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ avec $N = A - \lambda I$ nilpotent, et distinguer l’étoile ( $N = 0$ ) du nœud impropre ( $N \neq 0$ ). Résumer la partie I dans le dessin trace–déterminant de la figure de ce chapitre.

Partie II — L’oscillateur amorti. Maintenant $F = 0$ : $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$ , c’est-à-dire $X' = AX$ avec $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega\end{pmatrix}$ .

Calculer $\tau, \delta, \Delta$ et placer les trois régimes dans le plan trace–déterminant : sous-amorti $0 < \zeta < 1$ (foyer stable), amortissement critique $\zeta = 1$ (valeur propre double), sur-amorti $\zeta > 1$ (nœud stable) ; $\zeta = 0$ est le centre.
Résoudre explicitement les trois régimes :

$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}; \qquad \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$

$\zeta > 1$ : deux exponentielles réelles. Définir la pseudo-période $\frac{2\pi}{\omega_d}$ et montrer que le rapport des maxima successifs de $\abs x$ est la constante $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ (le décrément logarithmique).
(Le principe du ferme-porte) Pour $\zeta \geq 1$ , le taux de décroissance est régi par la plus lente des valeurs propres $\lambda_{\mathrm{slow}} = -\omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ . Montrer que $\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ est une fonction décroissante de $\zeta \geq 1$ : l’amortissement critique $\zeta = 1$ donne le retour au repos non oscillant le plus rapide.
(Énergie) Posons $E(t) = \frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ . Montrer que $E' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ , et en déduire que pour $\zeta > 0$ l’équation n’a aucune solution périodique non nulle (une période forcerait $E$ à être constante, donc $x' \equiv 0$ ).
Expliquer en deux phrases pourquoi le centre $\zeta = 0$ est structurellement fragile : tout $\zeta > 0$ , aussi petit soit-il, détruit la périodicité — et où cela se voit dans le plan trace–déterminant (la droite des centres est d’intérieur vide).

Partie III — Oscillations forcées et résonance. Maintenant $F(t) = F\cos(\gamma t)$ avec $F, \gamma > 0$ .

( $\zeta > 0$ : le régime permanent) Chercher $x_p = \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$ : montrer que

$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma}, \qquad A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 - \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$

et écrire $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ avec $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$ .
Montrer que toute solution est $x_p$ plus un transitoire issu de la partie II, qui tend vers $0$ : quelles que soient les données initiales, le système se cale sur le régime permanent — amplitude $A(\gamma)$ , déphasage $\varphi$ .
(La courbe de résonance) Maximiser $A$ : montrer que $A(\gamma)$ a un maximum intérieur ssi $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ , en

$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2}, \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$

et que pour $\zeta$ petit le pic amplifie la réponse statique $A(0) = \frac F{\omega^2}$ du facteur $\approx \frac{1}{2\zeta}$ .
( $\zeta = 0$ , hors résonance) Pour $\gamma \neq \omega$ , montrer que la solution vérifiant $x(0) = x'(0) = 0$ est

$x(t) = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr) = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2} \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2} \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$

bornée, avec des battements — une oscillation rapide sous une enveloppe lente — lorsque $\gamma$ est proche de $\omega$ .
( $\zeta = 0$ , résonance) Pour $\gamma = \omega$ , montrer que $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ est une solution, et la retrouver comme limite de la question 14 quand $\gamma \to \omega$ : l’amplitude croît linéairement sans fin — la catastrophe de résonance.
(Lien avec Fourier) Un forçage périodique général se décompose en harmoniques (le chapitre de Fourier) ; par linéarité, le régime permanent est la somme des réponses harmoniques. Pour un oscillateur non amorti de fréquence $\omega = 3$ forcé par le signal carré du type de l’Exercice 14.1 (harmoniques à tous les entiers impairs), quelle harmonique entre en résonance ? Une phrase sur les raisons pour lesquelles les ingénieurs craignent les signaux carrés.

Partie IV — Les théorèmes de Sturm. Considérons $y'' + q(t)\,y = 0$ sur un intervalle $I$ , $q$ continue. (Toute équation $y'' + ay' + by = 0$ se ramène à cette forme normale par la substitution $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$ ; la question 21 montre une variante de l’astuce à l’œuvre.)

Pour deux solutions $y_1, y_2$ , montrer que le wronskien $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ est constant, nul ssi les solutions sont proportionnelles ; et qu’une solution non nulle n’a que des zéros simples et isolés.
(Séparation de Sturm) Soient $y_1, y_2$ deux solutions indépendantes et $a < b$ deux zéros consécutifs de $y_1$ . Montrer que $y_2$ s’annule exactement une fois dans $\intoo{a}{b}$ (évaluer la constante $W$ en $a$ et $b$ : $W = y_1'y_2$ en ces points, et $y_1'(a)$ , $y_1'(b)$ sont de signes opposés) : les zéros de solutions indépendantes s’entrelacent.
(Comparaison de Sturm) Soient $q_1 \leq q_2$ sur $I$ , $y \neq 0$ avec $y'' + q_1y = 0$ , $z \neq 0$ avec $z'' + q_2z = 0$ , et $a < b$ deux zéros consécutifs de $y$ . Montrer que $z$ s’annule dans $\intcc{a}{b}$ — strictement à l’intérieur si $q_1 < q_2$ quelque part sur $\intoo ab$ (si $z \neq 0$ sur $\intoo ab$ , étudier $(yz' - y'z)' = (q_1 - q_2)yz$ avec des signes fixes pour $y, z$ et comparer les valeurs aux bords).
En déduire les bornes d’espacement : si $0 < m^2 \leq q(t) \leq M^2$ sur $I$ , alors deux zéros consécutifs $a < b$ d’une solution non nulle de $y'' + qy = 0$ vérifient

$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$

(comparer avec $u'' + M^2u = 0$ et $u'' + m^2u = 0$ , dont les zéros sont espacés de $\frac\pi M$ et $\frac\pi m$ ). Vérifier sur l’oscillateur harmonique.
Transformer $ty'' + 2y' + ty = 0$ (Exercice 16.7) par $u = ty$ en $u'' + u = 0$ , retrouver aussitôt ses solutions $\frac{\sin t}t$ , $\frac{\cos t}{t}$ , et conclure que les zéros de toute solution non nulle sont espacés exactement de $\pi$ : la vision du monde de Sturm — les zéros sont contrôlés par le coefficient $q$ , formules ou pas.

Partie V — Duhamel et la frontière de bornitude.

(Duhamel pour l’oscillateur) Montrer que pour $F$ continue, la solution de $x'' + \omega^2x = F(t)$ vérifiant $x(0) = x'(0) = 0$ est

$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t - s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$

et en redériver la solution résonante de la question 15 avec $F(s) = F\cos(\omega s)$ (produit en somme).
( $\zeta > 0$ : entrée bornée, sortie bornée) Montrer que pour $\zeta > 0$ et toute fonction continue bornée $F$ , toute solution de l’équation amortie est bornée sur $\intco{0}{\infty}$ (variation des constantes plus la décroissance exponentielle $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ de l’Exercice 16.8).
( $\zeta = 0$ ) Montrer que sans amortissement, un forçage périodique borné maintient toutes les solutions bornées sauf exactement à la résonance ( $\gamma = \omega$ , question 15 contre question 14) : c’est l’amortissement qui transforme la frontière de bornitude en stabilité uniforme.
Synthèse. En une phrase chacune : (i) comment le plan trace–déterminant organise les parties I–II et où le forçage (partie III) le quitte ; (ii) le sens physique de $\gamma_*$ , $A(\gamma_*)$ et du facteur $\frac1{2\zeta}$ ; (iii) ce que les théorèmes de Sturm disent que les formules explicites ne peuvent dire ; (iv) lesquels des deux résultats de ce problème le reste du livre réutilisera discrètement (wronskiens constants par Liouville ; stabilité entrée bornée).

Solution

Solution de Problème 16.1.

1. Le polynôme caractéristique est $\lambda^2 - \tau\lambda + \delta$ , de racines $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ . Si $\delta < 0$ alors $\Delta = \tau^2 - 4\delta > 0$ et les deux racines réelles ont pour produit $\delta < 0$ : signes opposés. Si $\delta > 0$ et $\Delta \geq 0$ : racines réelles de produit $> 0$ et de somme $\tau$ : toutes deux du signe de $\tau$ . Si $\Delta < 0$ : paire conjuguée $\alpha \pm \iu\beta$ avec $\alpha = \frac\tau2$ , $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}2$ .

2. $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$ . Les orbites avec $a = 0$ (resp. $b = 0$ ) courent le long de la droite propre instable (resp. stable) ; toutes les autres ont $\norm X \to \infty$ dans les deux sens du temps, asymptotes à $\R v_+$ quand $t \to +\infty$ et à $\R v_-$ quand $t \to -\infty$ : l’image de la selle. La bornitude sur $\R$ tout entier force $b = 0$ (sinon explosion en $+\infty$ ) et $a = 0$ (en $-\infty$ ) : seulement l’origine.

3. Avec $\mu < \lambda < 0$ , les deux exponentielles décroissent : $X(t) \to 0$ . Si $b \neq 0$ , factorisons $\eu^{\lambda t}$ :

X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu - \lambda)t}v_\mu\bigr), \qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :

la direction de $X(t)$ tend vers $\R v_\lambda$ , la direction propre lente — toutes les orbites sauf l’axe rapide y arrivent tangentiellement (le panneau de droite des portraits de phase du chapitre).

4. Dans la base où $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ (Exercice 16.5 ; pour les systèmes de l’oscillateur de la partie II, cette forme est atteinte par un changement de base réel explicite), la solution est $\eu^{\alpha t}$ fois une rotation d’angle $\beta t$ : des spirales logarithmiques, contractantes lorsque $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , dilatantes lorsque $\tau > 0$ , et des courbes fermées (des ellipses dans les coordonnées d’origine) lorsque $\tau = 0$ : le centre.

5. $\Delta = 0$ donne la valeur propre double $\lambda = \frac\tau2$ ; par Cayley–Hamilton (Théorème 3.21), $(A - \lambda I)^2 = 0$ , donc $N = A - \lambda I$ est nilpotent, commute avec $\lambda I$ , et $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ . Si $N = 0$ : $A = \lambda I$ , toutes les demi-droites sont des orbites (nœud en étoile). Si $N \neq 0$ : $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 + tNX_0)$ , et pour $NX_0 \neq 0$ la direction converge vers l’unique direction propre $\operatorname{im}N$ : nœud impropre. Ceci complète l’image trace–déterminant.

6. $\tau = -2\zeta\omega$ , $\delta = \omega^2 > 0$ , $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$ . Donc : $0 < \zeta < 1$ donne $\Delta < 0$ , $\tau < 0$ : foyer stable ; $\zeta = 1$ : $\Delta = 0$ : nœud stable dégénéré ; $\zeta > 1$ : $\Delta > 0$ , $\tau < 0$ , $\delta > 0$ : nœud stable ; $\zeta = 0$ : $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : centre. Un trajet vertical dans le plan à $\delta = \omega^2$ .

7. Racines $r = -\zeta\omega \pm \omega\sqrt{\zeta^2-1}$ . Pour $\zeta < 1$ : $r = -\zeta\omega \pm \iu\omega_d$ , $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$ :

x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt + b\sin\omega_dt\bigr) = R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .

Pour $\zeta = 1$ : $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$ . Pour $\zeta > 1$ : $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$ , les deux taux négatifs. Les maxima successifs de $\abs x$ dans le cas sous-amorti se produisent à des instants séparés de la pseudo-période $\frac{2\pi}{\omega_d}$ (même phase du cosinus), et leur rapport est $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} = \eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ : le décrément logarithmique, un indicateur d’amortissement lisible sur un oscilloscope.

8. En rationalisant,

\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr) = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,

dont le dénominateur croît avec $\zeta \geq 1$ : le taux de décroissance est maximal en $\zeta = 1$ , où il vaut $\omega$ . Une porte sur-amortie se ferme sans claquer mais lentement ; l’amortissement critique est l’optimum de l’ingénieur.

9. $E' = x'x'' + \omega^2xx' = x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ . Si $x$ était périodique et non constante, $E$ serait périodique et décroissante, donc constante, forçant $x' \equiv 0$ : $x$ constante, et alors $\omega^2x = 0$ : $x \equiv 0$ . Donc pour $\zeta > 0$ la seule solution périodique est le repos : l’amortissement tue tout cycle.

10. Le centre $\zeta = 0$ vit sur la droite $\tau = 0$ du plan trace–déterminant — un ensemble d’intérieur vide : une perturbation arbitrairement petite de la matrice (tout amortissement physique) déplace $\tau$ hors de zéro et transforme les orbites fermées en spirales. La périodicité de l’oscillateur non amorti est donc un phénomène sur le fil du rasoir, non un phénomène robuste.

11. En substituant $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ dans l’équation :

\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma + \omega^2\bigr)z = F \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},

donc $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ avec $\varphi = \arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$ , c’est-à-dire $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 - \gamma^2}$ , et le $A(\gamma) = \abs z$ annoncé.

12. La différence de deux solutions résout l’équation homogène, qui pour $\zeta > 0$ décroît vers $0$ (question 7) : toute solution est égale à $x_p$ plus un transitoire s’évanouissant à l’infini. Le régime permanent est un attracteur global : les conditions initiales sont oubliées, seuls subsistent $A(\gamma)$ et le déphasage $\varphi$ .

13. Minimisons $g(u) = (\omega^2 - u)^2 + 4\zeta^2\omega^2u$ sur $u = \gamma^2 \geq 0$ : $g'(u) = -2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ en $u = \omega^2(1 - 2\zeta^2)$ , intérieur ssi $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ . Là,

g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2) = 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2), \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .

Face à la réponse statique $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$ : amplification $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx \frac{1}{2\zeta}$ pour $\zeta$ petit — un système faiblement amorti proche de $\gamma_* \approx \omega$ multiplie l’entrée au centuple lorsque $\zeta = 0.005$ .

14. Le $x$ annoncé vérifie $x(0) = x'(0) = 0$ et

x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 - \gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t

(les parties en $\cos\omega t$ se compensent). La forme produit découle de $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ avec $p = \gamma t$ , $q = \omega t$ . Pour $\gamma$ proche de $\omega$ , le facteur $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ est une enveloppe lente modulant l’oscillation rapide $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$ : des battements, d’amplitude $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ — grande, mais bornée.

15. Pour $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ :

x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t - \omega^2t\sin\omega t\bigr) = F\cos\omega t - \omega^2x_p :

une solution. Et à $t$ fixé, en faisant $\gamma \to \omega$ dans la question 14 :

\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2 \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}} {(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)} \longrightarrow \frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma) \cdot\sin\omega t}{2\omega} = \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .

L’amplitude croît linéairement sans borne : la catastrophe de résonance — la raison pour laquelle les soldats rompent le pas sur les ponts.

16. Le signal carré porte des harmoniques à toute fréquence impaire $n = 1, 3, 5, \dots$ ; par linéarité, chaque harmonique $n$ est amplifiée par la réponse de l’oscillateur en $\gamma = n$ . Pour $\omega = 3$ , la troisième harmonique atteint exactement la résonance. Les ingénieurs craignent les entrées carrées (et en dents de scie) parce qu’elles excitent toutes les harmoniques impaires à la fois : quelle que soit la fréquence propre de la structure, une harmonique l’attend.

17. $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 = 0$ : $W$ est constant (Liouville avec une matrice compagnon de trace nulle). $W = 0$ en un point rend les données initiales de $y_2$ proportionnelles à celles de $y_1$ , donc $y_2$ proportionnelle à $y_1$ (unicité) ; $W \neq 0$ ssi indépendantes. Si $y(t_0) = y'(t_0) = 0$ alors $y \equiv 0$ (unicité) : une solution non nulle a des zéros simples, et un zéro simple est isolé ( $y'$ de signe fixe au voisinage).

18. Entre deux zéros consécutifs $a < b$ , $y_1$ garde un signe constant, disons $y_1 > 0$ sur $\intoo ab$ : alors $y_1'(a) > 0$ et $y_1'(b) < 0$ (zéros simples). En évaluant la constante $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ en $a$ et $b$ :

W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,

donc $y_2(a)$ et $y_2(b)$ sont de signes opposés ( $W \neq 0$ interdit à l’un ou l’autre de s’annuler) : $y_2$ s’annule dans $\intoo ab$ (valeurs intermédiaires). Il ne peut s’y annuler deux fois : deux zéros de $y_2$ encadreraient un zéro de $y_1$ par le même argument avec les rôles échangés, contredisant la consécutivité : exactement un zéro — l’entrelacement.

19. Supposons que $z$ n’a aucun zéro dans $\intoo ab$ ; en remplaçant $y, z$ par leurs opposés, supposons $y > 0$ et $z > 0$ sur $\intoo ab$ . Posons $\varphi = yz' - y'z$ : $\varphi' = yz'' - y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ sur $\intoo ab$ : $\varphi$ est décroissante. Mais $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ (car $y'(a) > 0$ , $z(a) \geq 0$ ) et $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq 0$ (car $y'(b) < 0$ , $z(b) \geq 0$ ) : une fonction décroissante allant de $\leq 0$ à $\geq 0$ s’annule identiquement, donc $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ sur $\intoo ab$ . Si $q_1 < q_2$ quelque part dans $\intoo ab$ , c’est absurde ( $y, z > 0$ en ce point) : $z$ doit s’annuler strictement à l’intérieur. En général ( $q_1 \leq q_2$ ), ou bien $z$ s’annule dans $\intoo ab$ , ou bien $\varphi \equiv 0$ force $z$ proportionnelle à $y$ , qui s’annule en $a$ et $b$ : dans tous les cas $z$ a un zéro dans $\intcc ab$ .

20. Borne supérieure : comparons $y$ (coefficient $q \geq m^2$ ) avec $u(t) = \sin(m(t - a))$ (coefficient $m^2 \leq q$ , donc $y$ joue le rôle de $z$ dans la question 19) : si $y$ n’avait aucun zéro dans $\intoc{a}{a + \pi/m}$ , les zéros $a$ et $a + \frac\pi m$ de $u$ seraient consécutifs avec $y \neq 0$ entre eux, contredisant la question 19 : deux zéros consécutifs de $y$ sont à distance $\leq \frac\pi m$ . Borne inférieure : si deux zéros consécutifs $a < b$ de $y$ vérifiaient $b - a < \frac\pi M$ , alors $z(t) = \sin(M(t-a))$ (coefficient $M^2 \geq q$ ) devrait s’annuler dans $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M} \cup\{a\}$ , où son unique zéro est $a$ lui-même — mais la question 19 appliquée sur $\intoo{a}{b}$ avec stricte inégalité aux extrémités donne un zéro dans $\intcc ab$ , et $z > 0$ sur $\intoc ab$ : contradiction. Donc $\frac\pi M \leq b - a \leq \frac\pi m$ ; pour $q \equiv \omega^2$ les deux bornes se rejoignent à l’espacement exact $\frac\pi\omega$ de l’oscillateur harmonique.

21. Avec $u = ty$ : $u'' = ty'' + 2y'$ , donc $ty'' + 2y' + ty = u'' + u = 0$ : $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t + \varphi)$ , et $y = \frac{u}{t}$ retrouve $\frac{\sin t}t$ et $\frac{\cos t}t$ (Exercice 16.7) sans aucun abaissement de l’ordre. Les zéros de toute solution non nulle sont ceux de $R\sin(t + \varphi)$ : espacés exactement de $\pi$ — la philosophie de Sturm à l’œuvre : le coefficient $q \equiv 1$ dicte les zéros, avec ou sans formule.

22. Posons $x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$ . Alors $x(0) = 0$ ;

x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) + \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s = \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,

donc $x'(0) = 0$ ; et $x''(t) = F(t) - \omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (dérivation d’une intégrale à paramètre à borne variable, comme dans le chapitre d’intégration). Avec $F(s) = F\cos\omega s$ , la transformation produit en somme donne

\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s = \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t - 2\omega s)\bigr)\dd s = \frac{t}{2}\sin\omega t ,

(le second morceau s’intègre en zéro), donc $x = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ : de nouveau la question 15, à partir de Duhamel.

23. Sous forme de système $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ avec $\operatorname{Sp}A$ de parties réelles négatives ( $\zeta > 0$ ) : la variation des constantes et l’Exercice 16.8 ( $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ) donnent

\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} + \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s \leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :

entrée bornée, sortie bornée — uniformément en les données initiales après le transitoire.

24. Pour $\zeta = 0$ et $\gamma \neq \omega$ , la solution de la question 14 est bornée, et ajouter une solution homogène quelconque (bornée : les orbites du centre sont des cercles) la maintient bornée ; en $\gamma = \omega$ , la question 15 croît linéairement. Ainsi, pour l’oscillateur non amorti, la bornitude sous forçage périodique échoue à exactement une fréquence — la résonance — tandis que la question 23 montre que tout amortissement positif restaure la bornitude pour toutes les entrées bornées.

25. (i) Le plan trace–déterminant classe toute la dynamique linéaire plane autonome, et l’oscillateur de la partie II en parcourt une droite verticale ; le forçage quitte le plan (non autonome), et Duhamel prend le relais. (ii) $\gamma_*$ est la fréquence que le système préfère, $A(\gamma_*)$ le prix à payer pour l’exciter, et $\frac{1}{2\zeta}$ le facteur d’amplification — l’acuité de la résonance que les ingénieurs appellent le facteur de qualité. (iii) Les théorèmes de Sturm lisent l’oscillation sur le seul signe et la seule taille de $q$ : ils gouvernent des équations (Bessel, Schrödinger) dont les solutions n’ont pas de formule élémentaire. (iv) Les wronskiens constants (question 17, via Liouville) et la stabilité entrée bornée (question 23) sont réutilisés discrètement chaque fois que le livre rencontre des équations à coefficients variables ou des systèmes perturbés.

Termes définis dans ce chapitre

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