Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

14Ondes électromagnétiques dans les plasmas, les conducteurs et les diélectriques

Une émission en ondes courtes traverse un océan en rebondissant sur la haute atmosphère, qui la réfléchit comme un miroir — et pourtant la même couche laisse passer la télévision et les signaux des satellites. Une cuillère métallique est brillante, une grille métallique dans la porte d’un four à micro-ondes retient les ondes pendant que vous regardez vos aliments au travers, et une plaque de verre est transparente à la lumière mais opaque à l’ultraviolet. Dans chaque cas une onde entre dans un matériau, les charges du matériau répondent, et leur réponse modifie l’onde : sa vitesse, son atténuation, voire son existence même. Ce chapitre traite les trois modèles usuels de milieu — un gaz d’électrons libres, un conducteur ohmique et des électrons liés — par la seule méthode qui les traite tous : ajouter le courant induit aux équations de Maxwell et y lire la relation de dispersion.

14.1 Ondes dans un plasma

Définition 14.1 (Plasma ; le modèle de l’électron libre)

Un plasma est un gaz globalement neutre d’électrons libres (densité $n$ , masse $m$ , charge $-e$ ) et d’ions positifs qui, étant des milliers de fois plus lourds, sont supposés fixes. La haute atmosphère (ionosphère, $n \sim 10^{11}$ à $10^{12}$ m $^{-3}$ ), un tube à décharge, la couronne solaire et — aux fréquences optiques — les électrons de conduction d’un métal sont des plasmas. Les chocs sont négligés (la période de l’onde est courte devant le temps entre deux chocs). Sa fréquence caractéristique est la fréquence plasma

\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}} , \qquad f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} \approx 9\,\text{Hz}\times\sqrt{n\,[\text{m}^{-3}]} :

de $3\,\mathrm{MHz}$ à $9\,\mathrm{MHz}$ pour l’ionosphère, $2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ (ultraviolet) pour un métal.

Théorème 14.2 (Relation de dispersion d’un plasma)

Pour une OPPH transversale $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ dans un plasma, les électrons oscillent selon $\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}/\iu m\omega$ et portent la densité de courant $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$ avec $\underline\gamma = ne^2/\iu m\omega$ ; les équations de Maxwell donnent alors

k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} .

Au-dessus de $\omega_p$ l’onde se propage, avec $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} > c$ et $v_g = c\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} < c$ , $v_\varphi v_g = c^2$ ; en dessous de $\omega_p$ , $k = -\iu\kappa$ avec $\kappa = \sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}/c$ : l’onde est évanescente, pénètre sur $1/\kappa$ et est totalement réfléchie (Chapitre 15) ; le plasma est alors un miroir. Pour $\omega \gg \omega_p$ les électrons ne peuvent plus suivre et le plasma est transparent.

Démonstration. Équation du mouvement $m\,\dd\vect v/\dd t = -e\vect E$ (la force magnétique $ev B \sim evE/c$ est négligeable pour $v \ll c$ , et le mouvement des ions est $m/M$ fois plus petit) : $\iu m\omega\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}$ . Puis $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$ . Le plasma reste neutre pour une onde transversale ( $\vect k\cdot\vect E = 0$ donne $\rho = 0$ par Gauss), de sorte que Maxwell–Ampère s’écrit $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect B} = \mu_0\underline\gamma\underline{\vect E} + \iu\omega\mu_0\varepsilon_0\underline{\vect E}$ et Maxwell–Faraday $\underline{\vect B} = \vect k \wedge\underline{\vect E}/\omega$ ; en combinant, $k^2\underline{\vect E} = \mu_0(\iu\omega\underline\gamma - \omega^2\varepsilon_0)(-1)\underline{\vect E}$ , c’est-à-dire $k^2 = \omega^2\mu_0\varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0 \underline\gamma = (\omega^2 - ne^2/\varepsilon_0m)/c^2$ . Les vitesses s’en déduisent comme au Chapitre 8. ∎

Remarque 14.3 (Où passe l’énergie)

La conductivité est imaginaire : $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$ , les électrons prennent de l’énergie à l’onde pendant une demi-période et la lui rendent pendant la suivante — un milieu sans pertes, dans lequel l’énergie de l’onde se partage entre les champs et l’énergie cinétique des électrons, et se déplace à $v_g$ . Les chocs ajoutent une petite partie réelle à $\underline\gamma$ et une faible absorption : la couche D de l’ionosphère absorbe les ondes moyennes le jour, d’où les stations AM lointaines que l’on capte la nuit.

Exemple 14.4 (L’ionosphère et la radio)

Avec $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ dans la couche F, $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$ : les émissions en ondes courtes situées en dessous sont réfléchies (et peuvent faire des bonds autour de la Terre entre l’ionosphère et le sol), la FM ( $100\,\mathrm{MHz}$ ), la télévision et les liaisons satellites passent. Une onde à $3\,\mathrm{MHz}$ ne pénètre que de $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 6\,\mathrm{m}$ dans la couche avant de faire demi-tour. Un engin qui rentre dans l’atmosphère est enveloppé d’un plasma de $n \sim 10^{18}$ m $^{-3}$ , $f_p \sim 10\,\mathrm{GHz}$ : le contact radio est perdu pendant plusieurs minutes.

À gauche : la relation de dispersion d’un plasma — aucune propagation en dessous de _p, une hyperbole qui s’approche de la droite de lumière au-dessus. À droite : les ondes courtes situées sous la fréquence plasma sont réfléchies par l’ionosphère et rebondissent autour de la Terre ; les fréquences plus hautes s’échappent vers l’espace. — À gauche : la relation de dispersion d’un plasma — aucune propagation en dessous de $\omega_p$ , une hyperbole qui s’approche de la droite de lumière au-dessus. À droite : les ondes courtes situées sous la fréquence plasma sont réfléchies par l’ionosphère et rebondissent autour de la Terre ; les fréquences plus hautes s’échappent vers l’espace.

14.2 Ondes dans un conducteur ohmique : l’effet de peau

Théorème 14.5 (Effet de peau)

Dans un conducteur ohmique ( $\vect j = \gamma\vect E$ , $\gamma$ réel, aux fréquences telles que $\omega\tau \ll 1$ et $\varepsilon_0\omega \ll \gamma$ , c’est-à-dire en dessous de $\sim1 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ pour le cuivre) le courant de déplacement est négligeable et les champs obéissent à l’équation de diffusion $\Delta\vect E = \mu_0\gamma\,\partial_t\vect E$ . Une OPPH qui entre dans le conducteur en $x = 0$ a

\underline k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega , \qquad \underline k = \frac{1 - \iu}\delta , \qquad \delta = \sqrt{\frac2{\mu_0\gamma\omega}} ,

de sorte que $\underline E = E_0\,\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$ : elle est amortie sur l’épaisseur de peau $\delta$ , avec une phase qui tourne aussi d’un radian par $\delta$ — une longueur d’onde $2\pi\delta$ , une vitesse de phase $\omega\delta \ll c$ . Le courant $\vect j = \gamma\vect E$ est confiné dans une couche d’épaisseur $\delta$ sous la surface, et $\vect B$ est en retard de $45{}^{\circ}$ sur $\vect E$ avec $|B| = |E|\sqrt2/\omega\delta$ . Pour le cuivre, $\delta = 9.2\,\mathrm{mm}$ à $50\,\mathrm{Hz}$ , $0.21\,\mathrm{mm}$ à $100\,\mathrm{kHz}$ , $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{GHz}$ .

Démonstration. $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = \mu_0\gamma\vect E$ (déplacement abandonné) et $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ : en prenant le rotationnel de la seconde, $-\Delta\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect E$ (le conducteur est neutre, $\operatorname{div} \vect E = 0$ ). Pour $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega$ , et $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ donne $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ (la racine qui décroît vers l’intérieur du conducteur). Faraday : $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu) \underline E/\omega\delta$ , de module $\sqrt2E/\omega\delta$ et de phase $-\pi/4$ . ∎

À gauche : le champ à l’intérieur d’un conducteur — une oscillation amortie, éteinte en quelques épaisseurs de peau. À droite : l’épaisseur de peau du cuivre et de l’eau de mer en fonction de la fréquence : des millimètres à la fréquence du secteur, des micromètres au gigahertz ; la mer ne laisse entrer que les ondes radio les plus longues.

Exemple 14.6 (Conséquences de l’effet de peau)

(i) Un fil de rayon $a \gg \delta$ transporte son courant dans une couronne d’épaisseur $\delta$ : sa résistance passe de $1/\gamma\pi a^2$ à environ $1/\gamma 2\pi a\delta$ par mètre — pour un fil de cuivre de $1\,\mathrm{mm}$ , quatre fois la valeur en continu à $1\,\mathrm{MHz}$ , cent fois à $1\,\mathrm{GHz}$ . Les bobines haute fréquence utilisent du fil « de Litz » (de nombreux brins isolés) ou des tubes argentés ; les conducteurs du réseau électrique sont câblés avec une gaine d’aluminium. (ii) Une boîte métallique atténue une onde de $\eu^{-d/\delta}$ par épaisseur $d$ : une enceinte d’aluminium de $1\,\mathrm{mm}$ bloque $1\,\mathrm{MHz}$ de $100\,\mathrm{dB}$ mais $50\,\mathrm{Hz}$ presque pas — les champs magnétiques de basse fréquence exigent du fer. (iii) Les sous-marins ne reçoivent que la radio à très grandes ondes ( $\delta = 2.3\,\mathrm{m}$ à $10\,\mathrm{kHz}$ dans l’eau de mer) ; les mines se détectent par les courants de Foucault qu’une bobine y induit (Chapitre 11, le temps de diffusion $\mu_0\gamma d^2$ ).

14.3 Ondes dans un diélectrique : l’électron lié

Proposition 14.7 (Électron élastiquement lié ; indice complexe)

Dans un isolant chaque électron est lié à son atome : un déplacement $\vect r$ hors de l’équilibre appelle la force de rappel $-m\omega_0^2\vect r$ et un amortissement $-m\Gamma\,\dd\vect r/\dd t$ (l’énergie rayonnée ou cédée au réseau). Excité par l’onde, $m\ddot{\vect r} = -m\omega_0^2\vect r - m\Gamma\dot{\vect r} - e\vect E$ ; les électrons déplacés donnent au milieu la polarisation (moment dipolaire par unité de volume) $\vect P = -ne\vect r = \varepsilon_0\underline\chi(\omega) \underline{\vect E}$ avec la susceptibilité

\underline\chi(\omega) = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega} , \qquad \omega_p^2 = \frac{ne^2}{\varepsilon_0m} ,

et le courant lié $\vect j = \partial_t\vect P$ . Les équations de Maxwell donnent alors

\underline k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\,(1 + \underline\chi) = \frac{\omega^2}{c^2}\,\underline n^2 , \qquad \underline n = n' - \iu n'' ,

où $n'$ est l’indice de réfraction (vitesse de phase $c/n'$ ) et $n''$ l’extinction (l’intensité décroît en $\eu^{-2n''\omega x/c}$ ). Très en dessous d’une résonance ( $\omega \ll \omega_0$ , $\Gamma$ négligeable), $n'^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + \omega_p^2\omega^2/\omega_0^4$ : l’indice croît avec la fréquence — c’est la dispersion normale, loi de Cauchy $n \approx A + B/\lambda^2$ — et l’absorption est négligeable ; près de $\omega_0$ le milieu absorbe, et juste au-dessus $n'$ décroît avec $\omega$ (dispersion anomale).

Démonstration. Amplitudes complexes : $(\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega)\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E} /m$ ; $\underline{\vect P} = -ne\underline{\vect r}$ . Puis, comme pour le plasma, $k^2 = \omega^2\mu_0 \varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$ avec $\underline{\vect j} = \iu\omega\underline{\vect P} = \iu\omega\varepsilon_0 \underline\chi\underline{\vect E}$ , c’est-à-dire $\underline\gamma = \iu\omega\varepsilon_0\underline\chi$ : $k^2 = (\omega^2/c^2) (1 + \underline\chi)$ . (Le plasma est le cas $\omega_0 = 0$ , $\Gamma = 0$ .) Développement : $1/(\omega_0^2 - \omega^2) \approx (1 + \omega^2/\omega_0^2)/\omega_0^2$ . ∎

Le modèle de l’électron lié (Lorentz) : la partie réelle de l’indice croît avec la fréquence en dessous de la résonance (dispersion normale : le violet est plus lent que le rouge dans le verre), la partie imaginaire est maximale à la résonance (absorption), et l’indice décroît à la traversée de la résonance (dispersion anomale).

Exemple 14.8 (Verre, eau, air)

Le verre a ses résonances électroniques dans l’ultraviolet ( $\omega_0 \sim 10^{16}$ rad/s) : dans le visible il est transparent et dispersif, $n = 1.51$ à $700\,\mathrm{nm}$ , $1.53$ à $400\,\mathrm{nm}$ , assez pour qu’un prisme étale un arc-en-ciel et pour que les impulsions d’une fibre s’étalent (Chapitre 8) ; dans l’ultraviolet il absorbe — on ne bronze pas derrière une vitre. L’eau possède en outre une résonance de rotation de ses molécules polaires vers $20\,\mathrm{GHz}$ (une relaxation de Debye plutôt qu’une raie fine) : elle absorbe fortement les micro-ondes, ce qui chauffe les aliments et aveugle les radars sous la pluie, et elle a $n'' \approx 0$ dans une étroite fenêtre visible — la fenêtre par laquelle les yeux ont évolué. L’air, avec $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ , courbe encore le Soleil couchant d’un demi-degré.

Remarque 14.9 (Une équation, trois milieux)

Tout milieu linéaire entre dans les équations de Maxwell par son courant induit $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ , et la relation de dispersion est toujours $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma(\omega)$ :

milieu	$\underline\gamma(\omega)$	$\underline k^2$
plasma	$ne^2/\iu m\omega$ (imaginaire)	$(\omega^2 - \omega_p^2)/c^2$ : coupure
conducteur ohmique	$\gamma$ (réel)	$-\iu\mu_0\gamma\omega$ : effet de peau
diélectrique	$\iu\omega\varepsilon_0\underline\chi(\omega)$	$(\omega^2/c^2)(1 + \underline\chi)$ : indice

Un métal est tour à tour les trois : ohmique en dessous de $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ , plasma (réfléchissant) dans le visible, transparent dans l’ultraviolet lointain.

Méthode 14.10 (Les ondes dans un milieu)

(1) Écrire l’équation du mouvement des charges et en tirer $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$ . (2) Reporter dans Maxwell–Ampère avec l’hypothèse OPPH : $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$ . (3) Prendre la racine telle que $\operatorname{Im}k \le 0$ (décroissance dans le sens de propagation), séparer en parties réelle (propagation, $v_\varphi = \omega/k'$ ) et imaginaire (atténuation). (4) Repérer les régimes en fréquence — propagatif, évanescent, absorbant — et la fréquence caractéristique ( $\omega_p$ , $1/\mu_0\gamma\delta^2$ , $\omega_0$ ). (5) Trouver $\vect B$ par Faraday et, s’il le faut, le flux de Poynting et la puissance dissipée.

14.4 Exercices

Exercice 14.1 ★

Fréquences plasma pour $n = 1 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ (ionosphère de nuit), $1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ (de jour), $1 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3}$ (gaine de rentrée), $8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ (cuivre), $1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-3}$ (espace interstellaire). Pour chacune, laquelle des ondes suivantes passe : une station AM à $1\,\mathrm{MHz}$ , une station FM à $100\,\mathrm{MHz}$ , un signal GPS à $1.5\,\mathrm{GHz}$ , la lumière visible ?

Solution

Solution de Exercice 14.1.

$f_p \approx 9\sqrt n$ Hz : $2.8\,\mathrm{MHz}$ , $9\,\mathrm{MHz}$ , $9\,\mathrm{GHz}$ , $2.6 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ ( $\lambda_p = 115\,\mathrm{nm}$ ), $2.8\,\mathrm{kHz}$ . L’AM à $1\,\mathrm{MHz}$ : seulement à travers l’espace interstellaire. La FM : à travers l’ionosphère, pas la gaine. Le GPS : tout sauf la gaine. La lumière : tout sauf le cuivre.

Exercice 14.2 ★

Épaisseur de peau du cuivre ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) à $50\,\mathrm{Hz}$ , $1\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ , $1\,\mathrm{GHz}$ ; de l’aluminium ( $3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) à $1\,\mathrm{MHz}$ ; de l’eau de mer ( $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) à $10\,\mathrm{kHz}$ et $1\,\mathrm{GHz}$ ; d’un sol humide ( $1 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) à $1\,\mathrm{MHz}$ . Quelles fréquences radio atteignent un sous-marin à $10\,\mathrm{m}$ ?

Solution

Solution de Exercice 14.2.

Cuivre : $9.2\,\mathrm{mm}$ , $2.1\,\mathrm{mm}$ , $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; aluminium à $1\,\mathrm{MHz}$ : $84\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; eau de mer : $2.3\,\mathrm{m}$ à $10\,\mathrm{kHz}$ , $7\,\mathrm{mm}$ à $1\,\mathrm{GHz}$ ; sol : $5\,\mathrm{m}$ à $1\,\mathrm{MHz}$ . Un sous-marin à $10\,\mathrm{m}$ demande $\delta \gtrsim 10\,\mathrm{m}$ : en dessous de $500\,\mathrm{Hz}$ environ.

Exercice 14.3 ★

Un verre suit $n = 1.50 + 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$ . Indice à $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ , $700\,\mathrm{nm}$ ; vitesses de phase ; indice de groupe $n_g = n - \lambda\,\dd n/\dd\lambda$ à $550\,\mathrm{nm}$ ; étalement angulaire d’un faisceau blanc réfracté sous incidence $45{}^{\circ}$ dans le verre.

Solution

Solution de Exercice 14.3.

$n = 1.528$ , $1.515$ , $1.509$ ; $v = 1.963$ , $1.980$ , $1.987 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $n_g = n + 2B/\lambda^2 = 1.545$ . Angles de réfraction $\arcsin(0.707/n)$ : $27.57{}^{\circ}$ et $27.93{}^{\circ}$ : un écart de $0.36{}^{\circ}$ .

Exercice 14.4 ★

Une onde à $5\,\mathrm{MHz}$ rencontre une couche de $n = 2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ : est-elle réfléchie ? Profondeur de pénétration ; idem à $2\,\mathrm{MHz}$ ; fréquence minimale qui traverse une couche de $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ . Pourquoi les bandes en ondes courtes « s’ouvrent » et « se ferment » avec l’heure et le cycle solaire ?

Solution

Solution de Exercice 14.4.

$f_p = 4.0\,\mathrm{MHz}$ : $5\,\mathrm{MHz}$ passe ; $2\,\mathrm{MHz}$ est réfléchie, pénétrant de $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 14\,\mathrm{m}$ . Pour $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $11\,\mathrm{MHz}$ . La densité suit le flux ionisant du Soleil — l’heure, la saison et le cycle de onze ans — de sorte que la fréquence maximale utilisable les suit.

Exercice 14.5 ★★

Résistance en alternatif. Un fil de cuivre de rayon $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ . (a) Résistance par mètre en continu. (b) À $1\,\mathrm{MHz}$ : $\delta$ ; résistance approchée par mètre avec le courant confiné dans une couronne d’épaisseur $\delta$ ; rapport au continu. (c) À $100\,\mathrm{MHz}$ . (d) Pourquoi une bobine de $N$ spires de ce fil a-t-elle un facteur de qualité qui cesse de s’améliorer avec $N$ à haute fréquence, et qu’est-ce que le fil de Litz ?

Solution

Solution de Exercice 14.5.

(a) $1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ . (b) $\delta = 65\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $R \approx 1/\gamma2\pi a\delta = 41\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ , soit $7.7$ fois le continu. (c) $\delta = 6.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $0.41\,\Omega/\mathrm{m}$ , $77$ fois. (d) $R \propto \sqrt f$ croît aussi vite que $L\omega$ dès que la peau domine, et chaque spire ajoute de la résistance ; le fil de Litz assemble de nombreux brins isolés plus fins que $\delta$ , de sorte que tout le cuivre conduit.

Exercice 14.6 ★★

Blindage. Une boîte d’aluminium ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) de $1.0\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur. Atténuation de l’amplitude du champ à la traversée de la paroi, en dB, à $50\,\mathrm{Hz}$ , $10\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ (le facteur $\eu^{-d/\delta}$ , réflexions aux surfaces négligées). Pourquoi blinde-t-on le champ magnétique du secteur avec du fer (haute perméabilité) plutôt qu’avec du cuivre ?

Solution

Solution de Exercice 14.6.

$\delta_{\text{Al}} = 11.9$ , $0.84$ , $0.084\,\mathrm{mm}$ : $d/\delta = 0.08$ , $1.2$ , $12$ : $0.7$ , $10$ , $103\,\mathrm{dB}$ . À $50\,\mathrm{Hz}$ le conducteur est transparent ; le fer de grand $\mu_r$ détourne le flux (blindage magnétique) et réduit aussi $\delta$ d’un facteur $\sqrt{\mu_r}$ .

Exercice 14.7 ★★

Énergie dans un plasma. Pour l’onde transversale du Théorème 14.2 : (a) amplitude de la vitesse des électrons et densité d’énergie cinétique $\tfrac12nm\langle v^2\rangle$ . (b) Densités d’énergie électrique et magnétique moyennes. (c) Montrer que la densité d’énergie totale vaut $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2(1 + \dots)$ — calculer la parenthèse — et que $\langle\Pi\rangle$ divisé par elle vaut $v_g$ . (d) Quelle fraction de l’énergie est dans les électrons pour $\omega = 2\omega_p$ ?

Solution

Solution de Exercice 14.7.

(a) $v_0 = eE_0/m\omega$ ; $\tfrac12nm\langle v^2\rangle = ne^2E_0^2/4m\omega^2 = \tfrac14\varepsilon_0 E_0^2\,\omega_p^2/\omega^2$ . (b) $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2$ et $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2(1 - \omega_p^2/ \omega^2)$ . (c) La somme vaut $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ (la parenthèse vaut $1$ ) ; $\langle\Pi \rangle = E_0^2k/2\mu_0\omega$ , et le rapport vaut $c^2k/\omega = v_g$ . (d) $\tfrac14\cdot\tfrac14 /\tfrac12 = 1/8$ .

Exercice 14.8 ★★

Dispersion d’un pulsar. Les impulsions radio d’un pulsar traversent une distance $L$ de plasma interstellaire ( $n \ll$ tout le reste, $\omega \gg \omega_p$ ). (a) Montrer que le retard de groupe vaut $t \approx (L/c)(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$ . (b) Le retard entre les arrivées à $f_1$ et $f_2$ vaut $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2 \varepsilon_0mc}\,nL\Bigl(\dfrac1{f_1^2} - \dfrac1{f_2^2}\Bigr)$ : calculer la constante. (c) Un pulsar à $L = 1\,\mathrm{kpc} = 3.1 \times 10^{19}\,\mathrm{m}$ à travers $n = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-3}$ : retard entre $400\,\mathrm{MHz}$ et $1.4\,\mathrm{GHz}$ . (d) Les astronomes mesurent $\Delta t$ et connaissent $n$ : qu’obtiennent-ils ? (La mesure de dispersion, la jauge de distance standard des pulsars.)

Solution

Solution de Exercice 14.8.

(a) $1/v_g = (1/c)(1 - \omega_p^2/\omega^2)^{-1/2} \approx (1 + \omega_p^2/2\omega^2)/c$ . (b) $\Delta t = (L\omega_p^2/2c)(1/\omega_1^2 - 1/\omega_2^2)$ avec $\omega_p^2 = ne^2/\varepsilon_0m$ et $\omega = 2\pi f$ : constante $e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc = 1.34 \times 10^{-7}\,$ (SI). (c) $nL = 9.3 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $(1/f_1^2 - 1/f_2^2) = 5.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta t = 0.72\,\mathrm{s}$ . (d) La colonne $nL$ (la mesure de dispersion), donc la distance pour un modèle de $n$ .

Exercice 14.9 ★★

Une raie spectrale. Dans un gaz dilué ( $\underline n \approx 1 + \underline\chi/2$ ) le modèle de Lorentz donne $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$ . (a) Montrer qu’au voisinage de $\omega_0$ , $n'' \approx \dfrac{\omega_p^2}{4\omega_0}\,\dfrac{\Gamma/2}{(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4}$ , une lorentzienne de largeur totale $\Gamma$ . (b) Coefficient d’absorption $\alpha = 2n''\omega/c$ au centre. (c) Vapeur de sodium, $n = 1 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $\lambda_0 = 589\,\mathrm{nm}$ , $\Gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\alpha$ au centre et épaisseur qui absorbe $90\%$ (négliger l’élargissement Doppler, qui en réalité élargit la raie d’un facteur cent). (d) Tracer $n' - 1$ en travers de la raie ; où la dispersion est-elle anomale ?

Solution

Solution de Exercice 14.9.

(a) $\operatorname{Im}\underline\chi = \omega_p^2\Gamma\omega/[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2]$ avec $\omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega)$ : $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$ est la lorentzienne annoncée. (b) $n''(\omega_0) = \omega_p^2/2\omega_0\Gamma$ , $\alpha = 2n''\omega_0/c = \omega_p^2/\Gamma c$ . (c) $\omega_p^2 = 3.2 \times 10^{20}\,\mathrm{s}^{-2}$ : $\alpha = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\ln10/\alpha = 0.13\,\mathrm{mm}$ . (d) $n' - 1 \propto (\omega_0 - \omega)/[(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4]$ : positif en dessous, négatif au-dessus, décroissant à moins de $\pm\Gamma/2$ de la raie — anomale en ce domaine.

Exercice 14.10 ★★★

Échauffement Joule dans la peau. Une onde $E_0\eu^{\iu\omega t}$ (selon $y$ ) entre dans un conducteur qui occupe $x > 0$ . (a) Écrire $\underline E(x, t)$ et en déduire $\underline B(x, t)$ (selon $z$ ) par Faraday. (b) Vecteur de Poynting moyen à la surface : montrer que $\langle\Pi_x(0)\rangle = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ . (c) Puissance Joule moyenne par unité d’aire, $\int_0^\infty\tfrac12\gamma|\underline E|^2\dd x$ : montrer qu’elle vaut (b). (d) Exprimer le résultat sous la forme $\tfrac12R_sH_0^2$ avec $H_0 = B_0/\mu_0$ le champ magnétique de surface et $R_s = 1/\gamma\delta$ la résistance de surface ; valeur pour le cuivre à $1\,\mathrm{GHz}$ , et perte d’une cavité hyperfréquence dont les parois portent $H_0 = 100\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 14.10.

(a) $\underline E = E_0\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$ , $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu)\underline E/\omega\delta$ . (b) $\langle\Pi_x\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}(\underline E \underline B^*)/\mu_0 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ en $x = 0$ . (c) $\int_0^\infty\tfrac12\gamma E_0^2 \eu^{-2x/\delta}\dd x = \gamma E_0^2\delta/4 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ en utilisant $\gamma = 2/\mu_0\omega\delta^2$ . (d) $H_0 = \sqrt2E_0/\mu_0\omega\delta$ , donc $\tfrac12R_sH_0^2 = E_0^2/\gamma\mu_0^2\omega^2\delta^3 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ . Cuivre à $1\,\mathrm{GHz}$ : $R_s = 1/\gamma\delta = 8\,\mathrm{m}\Omega$ ; $\tfrac12 \times 8 \times 10^{-3} \times 10^4 = 40\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

Exercice 14.11 ★★★

Pourquoi les métaux brillent. Traiter les électrons de conduction de l’argent ( $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) comme un plasma sans chocs aux fréquences optiques. (a) $\omega_p$ et la longueur d’onde correspondante. (b) À $500\,\mathrm{nm}$ : $k$ est imaginaire — profondeur de pénétration ; l’onde est totalement réfléchie (aucune absorption dans ce modèle) : l’argent est un miroir. (c) Et à $200\,\mathrm{nm}$ ? D’où la « transparence ultraviolette » des métaux alcalins. (d) L’argent réel réfléchit $95\%$ , l’or paraît jaune : qu’oublie le modèle (penser aux chocs, et aux électrons liés dont les résonances tombent dans le visible pour l’or) ?

Solution

Solution de Exercice 14.11.

(a) $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\lambda_p = 2\pi c/\omega_p = 140\,\mathrm{nm}$ . (b) $\omega = 3.8 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} < \omega_p$ : $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 23\,\mathrm{nm}$ , réflexion totale. (c) Encore en dessous de $\omega_p$ : réfléchissant ; la transparence n’apparaît qu’au-delà de $140\,\mathrm{nm}$ (dans le sodium, $210\,\mathrm{nm}$ ). (d) Les chocs donnent une partie réelle à $\underline\gamma$ et quelques pour cent d’absorption ; les résonances d’électrons liés dans le visible (or, cuivre) absorbent le bleu et colorent le métal.

Exercice 14.12 ★★★

L’eau dans le four à micro-ondes. L’orientation des molécules polaires de l’eau donne une susceptibilité $\underline\chi = \chi_s/(1 + \iu\omega\tau)$ (relaxation de Debye), $\chi_s \approx 80$ , $\tau = 8\,\mathrm{ps}$ , s’ajoutant à une constante $\chi_\infty \approx 4$ . (a) Parties réelle et imaginaire de $\underline\varepsilon_r = 1 + \chi_\infty + \underline\chi$ à $2.45\,\mathrm{GHz}$ et à $20\,\mathrm{GHz}$ . (b) Indice complexe et longueur d’absorption $1/(2n''\omega/c)$ de l’intensité à $2.45\,\mathrm{GHz}$ : sur quelle profondeur un four cuit-il ? (c) Puissance absorbée par unité de volume pour une amplitude de champ $E_0$ dans l’eau : $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2$ ; valeur pour $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ . (d) Pourquoi utilise-t-on $2.45\,\mathrm{GHz}$ plutôt que les $20\,\mathrm{GHz}$ d’absorption maximale ?

Solution

Solution de Exercice 14.12.

(a) $\omega\tau = 0.12$ : $\underline\varepsilon_r = 84 - 9.7\iu$ ; à $20\,\mathrm{GHz}$ , $\omega\tau = 1$ : $45 - 40\iu$ . (b) $\underline n \approx 9.2 - 0.53\iu$ ; $c/2n''\omega = 1.8\,\mathrm{cm}$ : le four cuit les deux centimètres extérieurs, la conduction fait le reste. (c) $\tfrac12 \times 1.54 \times 10^{10} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.7 \times 4 \times 10^6 = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ . (d) À $20\,\mathrm{GHz}$ la longueur d’absorption serait d’un millimètre : seule la peau cuirait ; $2.45\,\mathrm{GHz}$ pénètre, et c’est une bande libre.

Une station d’émission en ondes courtes au crépuscule : ses ondes, de quelques mégahertz sous la fréquence plasma de l’ionosphère, vont être renvoyées au sol mille kilomètres plus loin.

L’aurore australe photographiée depuis la Station spatiale internationale : des particules venues du Soleil, guidées par le champ magnétique terrestre, excitent le plasma de la haute atmosphère — l’ionosphère dont la fréquence plasma réfléchit les ondes radio (NASA).

14.5 Problème : l’ionosphère, la porte du four et le prisme

Problème 14.1

Problème du week-end — trois matériaux vus par une onde : le plasma qui courbe les signaux GPS, le métal qui retient les micro-ondes, et le verre qui étale la lumière blanche

Partie I — L’ionosphère et le GPS. Densité électronique dans la couche F $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; la colonne totale d’électrons sur un trajet vertical vaut $N_T = \int n\,\dd z = 2 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-2}$ de jour. GPS : $f_1 = 1575\,\mathrm{MHz}$ , $f_2 = 1228\,\mathrm{MHz}$ .

Fréquence plasma de la couche F ; le GPS passe-t-il ? Et une onde courte à $5\,\mathrm{MHz}$ ?
Montrer que pour $\omega \gg \omega_p$ la vitesse de groupe vaut $v_g \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$ et la vitesse de phase $c(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$ .
Retard de groupe supplémentaire du signal GPS à la traversée de la couche : montrer que $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2\varepsilon_0mc}\,\dfrac{N_T}{f^2}$ et le calculer pour $f_1$ ; erreur de distance $c\,\Delta t$ .
Le récepteur utilise les deux fréquences : des deux retards il élimine l’erreur. Exprimer $N_T$ en fonction de $\Delta t_1 - \Delta t_2$ ; quelle précision sur l’écart des retards donne $N_T$ à $1\%$ près ?
Combien de périodes de porteuse supplémentaires le retard de la question 3 représente-t-il à $f_1$ ?
La phase de la porteuse est avancée de la même quantité que le groupe est retardé : pourquoi (signes des deux corrections) ? Laquelle importe pour un récepteur qui compte les périodes de la porteuse ?
La nuit $N_T$ est dix fois plus faible : erreur pour un récepteur monofréquence de jour et de nuit.
Une éruption solaire porte $n$ dans la couche D ( $80\,\mathrm{km}$ ) à $1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$ avec de nombreux chocs : quels services radio sont touchés, et pourquoi le GPS ne se dégrade-t-il que légèrement ?

Partie II — La porte du four. Les parois de la cavité et la grille de la porte sont en acier ( $\gamma = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) ; les trous de la grille font $1.0\,\mathrm{mm}$ de large dans une tôle de $0.5\,\mathrm{mm}$ d’épaisseur ; $f = 2.45\,\mathrm{GHz}$ , $P = 800\,\mathrm{W}$ .

Épaisseur de peau dans l’acier à $2.45\,\mathrm{GHz}$ ; la paroi est-elle « épaisse » ?
Résistance de surface $R_s = 1/\gamma\delta$ ; avec un champ magnétique de surface d’amplitude $H_0 = 30\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ sur les parois ( $1\,\mathrm{m}^{2}$ ), puissance perdue dans les parois, $\tfrac12R_sH_0^2$ par unité d’aire ; fraction de $P$ .
Dans un trou de largeur $a \ll \lambda$ le champ ne peut pas se propager (le trou est un guide d’ondes sous la coupure, Chapitre 16) : il décroît en $\eu^{-\pi z/a}$ sur l’épaisseur $z$ . Atténuation de l’amplitude à travers la tôle de $0.5\,\mathrm{mm}$ , en dB.
Pourquoi voit-on à travers la grille (longueur d’onde de la lumière comparée à la taille des trous) alors que les micro-ondes ne peuvent pas sortir ?
La vitre est un diélectrique de $\underline\varepsilon_r = 4 - 0.02\iu$ : indice, et longueur d’atténuation de l’intensité dans le verre ; le verre chauffe-t-il ?
Une fourchette métallique dans le four : le champ à ses pointes est renforcé ; avec l’épaisseur de peau de la question 8, estimer la densité de courant à la surface pour $H_0 = 300\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (utiliser $j \approx H_0/\delta$ en surface) et l’échauffement local $j^2/\gamma$ — pourquoi des étincelles ?

Partie III — Le fil à haute fréquence. Un fil de cuivre de rayon $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) dans une bobine de chauffage par induction à $13.56\,\mathrm{MHz}$ transporte $20\,\mathrm{A}$ efficaces.

Épaisseur de peau ; section conductrice effective ; résistance en alternatif par mètre comparée au continu.
Puissance dissipée par mètre de fil de bobine ; température que le fil atteindrait avec un refroidissement par convection $h = 20\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
La bobine induit des courants dans une pièce d’acier ( $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $\mu_r \approx 1$ à chaud) : épaisseur de peau en ce point ; pourquoi le chauffage par induction ne chauffe-t-il qu’une couche superficielle, et comment cela sert-il à durcir les engrenages ?
Pour réduire les pertes de la bobine on remplace le fil par un tube de cuivre de $3\,\mathrm{mm}$ avec de l’eau à l’intérieur : nouvelle résistance par mètre ; l’intérieur du tube transporte-t-il du courant ?
À quelle fréquence l’épaisseur de peau dans le cuivre égalerait-elle le rayon du fil ? En dessous, quelle approximation remplace la formule du « fil épais » ?

Partie IV — Le prisme. Un verre suit $n(\lambda) = 1.500 + 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$ , sa résonance étant en $\lambda_0 = 100\,\mathrm{nm}$ .

Vérifier que la forme de Cauchy découle du modèle de Lorentz très en dessous de la résonance, et que $\omega_p^2/\omega_0^2 = n^2(\infty) - 1$ : valeur de $\omega_p^2/\omega_0^2$ et du $n$ effectif de ce verre.
Indice et vitesse de phase à $400\,\mathrm{nm}$ et $700\,\mathrm{nm}$ ; indice de groupe à $550\,\mathrm{nm}$ ; retard entre les deux couleurs sur $1\,\mathrm{km}$ d’un tel verre dans une fibre.
Un prisme de $60{}^{\circ}$ au minimum de déviation pour $550\,\mathrm{nm}$ : déviation (utiliser $n\sin(A/2) = \sin((A + D)/2)$ ) ; écart angulaire entre $400\,\mathrm{nm}$ et $700\,\mathrm{nm}$ (par différentiation) ; sur un écran à $2\,\mathrm{m}$ , largeur du spectre.
Pourquoi le verre est-il opaque à $200\,\mathrm{nm}$ , et quelle est sa couleur si une trace de fer ajoute une faible résonance à $700\,\mathrm{nm}$ ?
Dans l’image de Lorentz, pourquoi le bleu est-il plus dévié que le rouge par le prisme ?
Donner en un tableau, pour la couche F, l’acier, le cuivre et le verre à leurs fréquences de travail, la nature de $\underline\gamma$ et le sort de l’onde.

Solution

Solution de Problème 14.1.

1. $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$ : le GPS passe, l’onde courte est réfléchie.

2. $k = (\omega/c)\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}$ : $v_\varphi = \omega/k \approx c(1 + \omega_p^2/ 2\omega^2)$ , $v_g = \dd\omega/\dd k = c^2k/\omega \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$ .

3. $\Delta t = \int(1/v_g - 1/c)\dd z = \int\omega_p^2\dd z/2c\omega^2 = e^2N_T/2\varepsilon_0 mc\omega^2 = (e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc)N_T/f^2 = 1.34 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{17}/2.48 \times 10^{18} = 11\,\mathrm{ns}$ : soit $3.2\,\mathrm{m}$ .

4. $N_T = (\Delta t_1 - \Delta t_2)/K(1/f_1^2 - 1/f_2^2)$ ; l’écart vaut $7\,\mathrm{ns}$ : $1\%$ demande $0.07\,\mathrm{ns}$ .

5. $v_\varphi$ dépasse $c$ d’autant que $v_g$ lui est inférieure : la phase de la porteuse arrive en avance tandis que la modulation arrive en retard. Un récepteur à phase de porteuse applique la correction avec le signe opposé.

6. $3.2\,\mathrm{m}$ de jour, $0.3\,\mathrm{m}$ de nuit.

7. $f_p = 0.9\,\mathrm{MHz}$ avec des chocs : les ondes moyennes et courtes sont absorbées (une coupure radio) ; le GPS à $1.5\,\mathrm{GHz}$ subit une absorption $\propto 1/\omega^2$ , négligeable.

8. $f_1\Delta t = 1.575 \times 10^9 \times 1.1 \times 10^{-8} = 17$ périodes.

9. $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : une paroi d’un millimètre fait cent épaisseurs de peau.

10. $R_s = 1/\gamma\delta = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sH_0^2 = 45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $45\,\mathrm{W}$ , soit $6\%$ .

11. $\eu^{-\pi \times 0.5} = 0.21$ : $-14\,\mathrm{dB}$ en amplitude, $-27\,\mathrm{dB}$ en puissance (et le petit trou se couple mal au départ).

12. La lumière, $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , est deux mille fois plus petite que les trous et passe ; la micro-onde, $\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ , est cent fois plus grande.

13. $\underline n = 2 - 0.005\iu$ ; $c/2n''\omega = 1.9\,\mathrm{m}$ : le verre n’est guère chauffé.

14. $j \approx H_0/\delta = 3 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $j^2/\gamma = 9 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ dans une couche de dix micromètres : les pointes chauffent en quelques millisecondes, émettent des électrons, ionisent l’air — des étincelles.

15. $\delta = 18\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; section $2\pi a\delta = 5.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ contre $\pi a^2 = 7.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R_{\text{ca}} = 0.30\,\Omega/\mathrm{m}$ , quatorze fois le continu.

16. $RI^2 = 120\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; surface $\pi d = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ par mètre : $\Delta T \approx 1900\,\mathrm{K}$ — il fondrait ; de telles bobines sont des tubes refroidis à l’eau.

17. $\delta = 0.14\,\mathrm{mm}$ : le courant induit, et la chaleur, restent dans un dixième de millimètre ; une impulsion brève suivie d’une trempe durcit la surface d’un engrenage tandis que le cœur reste tenace.

18. $R = 1/\gamma2\pi a\delta = 0.10\,\Omega/\mathrm{m}$ , trois fois moins ; l’intérieur ne transporte rien — d’où le tube, avec le fluide de refroidissement là où le cuivre serait gaspillé.

19. $\delta = a$ pour $f = 1/\pi\mu_0\gamma a^2 = 17\,\mathrm{Hz}$ ; en dessous, le courant est uniforme et la formule du continu s’applique.

20. $n^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + (\omega_p^2/\omega_0^2)(\lambda_0/\lambda)^2$ : la forme de Cauchy avec $n(\infty)^2 - 1 = \omega_p^2/\omega_0^2 = 1.25$ pour $n(\infty) = 1.5$ .

21. $n = 1.531$ et $1.510$ , $v = 1.96$ et $1.99 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $n_g(550) = 1.550$ ; $n_g(400) - n_g(700) = 0.063$ : $210\,\mathrm{ns}$ sur un kilomètre.

22. $\sin((A + D)/2) = 1.5165 \times 0.5$ : $D = 38.6{}^{\circ}$ ; $\dd D = 2\sin (A/2)\dd n/\cos((A + D)/2) = 1.53\,\dd n$ : $\Delta D = 1.85{}^{\circ}$ , soit $6.5\,\mathrm{cm}$ à $2\,\mathrm{m}$ .

23. À $200\,\mathrm{nm}$ la fréquence approche la résonance et $n''$ croît : opaque. Une faible résonance à $700\,\mathrm{nm}$ absorbe le rouge : un verre vert.

24. Le bleu est plus proche de la résonance ultraviolette : les électrons liés répondent davantage, $n$ est plus grand, et la déviation aussi.

25. Couche F à $1.5\,\mathrm{GHz}$ : $\underline\gamma$ imaginaire, propagation avec un faible retard de groupe. Acier à $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $\underline\gamma$ réel, effet de peau, réflexion. Cuivre à $13.56\,\mathrm{MHz}$ : de même, une peau de $18\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Verre dans le visible : $\iu\omega\varepsilon_0\chi$ , un indice réel, un milieu transparent et dispersif.

Termes définis dans ce chapitre

Plasma ; le modèle de l’électron libre

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