Physique universitaire — 2e année · Bachelor Year 2

16Ondes guidées et cavités

L’impulsion d’un radar va de l’émetteur à l’antenne dans un tuyau de cuivre rectangulaire ; la lumière d’une liaison internet parcourt dix mille kilomètres dans un fil de verre plus fin qu’un cheveu ; les micro-ondes d’un four rebondissent entre ses parois et s’installent en un motif de points chauds et froids. Une onde confinée par des parois conductrices ou réfringentes n’est plus une onde plane libre d’aller partout : elle doit satisfaire les conditions aux limites sur les parois, et cela sélectionne les formes qu’elle peut prendre — les modes — et les interdit en dessous d’une fréquence de coupure. Ce chapitre construit le guide le plus simple, deux plans conducteurs parallèles, à partir des réflexions du Chapitre 15 ; puis le guide rectangulaire, la cavité fermée et, dans l’optique géométrique, la fibre optique.

16.1 Ondes entre deux plans conducteurs

Proposition 16.1 (Modes du guide à plans parallèles)

Deux plans parfaitement conducteurs $y = 0$ et $y = a$ délimitent du vide. Cherchons une onde se propageant selon $z$ avec $\vect E = E(y)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} \vect e_x$ (le champ parallèle aux plans, perpendiculaire à la propagation). Les équations de Maxwell dans le vide et la condition $E = 0$ sur les plans imposent

E(y) = E_0\sin\frac{n\pi y}a , \qquad k_g^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \Bigl(\frac{n\pi}a\Bigr)^2 , \qquad n = 1, 2, \dots

Le mode $n$ ne se propage qu’au-dessus de sa fréquence de coupure $f_n = nc/2a$ ; en dessous, $k_g$ est imaginaire et le champ décroît le long du guide. Ses vitesses de phase et de groupe valent

v_\varphi = \frac c{\sqrt{1 - f_n^2/f^2}} > c , \qquad v_g = c\sqrt{1 - f_n^2/f^2} < c , \qquad v_\varphi v_g = c^2 ,

et son champ magnétique a des composantes selon $y$ et selon $z$ : une onde guidée n’est pas transversale dans la direction de propagation.

Démonstration. Reportons dans $\Delta\vect E = \partial_t^2\vect E/c^2$ : $E'' - k_g^2E = -(\omega^2/c^2)E$ , soit $E'' + (\omega^2/c^2 - k_g^2)E = 0$ , dont les solutions qui s’annulent en $y = 0$ et $y = a$ sont les sinus avec $\omega^2/c^2 - k_g^2 = (n\pi/a)^2$ ; $\operatorname{div} \vect E = 0$ est vérifiée puisque $E_x$ ne dépend pas de $x$ . Faraday donne $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ et $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E$ , cette dernière en quadrature. Les vitesses découlent de la forme de Klein–Gordon de la relation de dispersion (Chapitre 8). ∎

Remarque 16.2 (Le mode vu comme deux ondes planes)

$\sin(n\pi y/a)\eu^{-\iu k_gz}$ est la somme de deux ondes planes de vecteurs d’onde $(0, \pm n\pi/a, k_g)$ , de module $\omega/c$ , qui rebondissent entre les plans sous l’angle $\theta$ avec l’axe tel que $\cos\theta = k_gc/\omega$ : un mode guidé est une onde plane qui zigzague entre les parois, réfléchie avec $r = -1$ sur chacune, l’onde stationnaire transversale exprimant la condition qu’elle interfère constructivement avec elle-même. L’énergie parcourt le zigzag à $c$ , donc l’axe à $c\cos\theta = v_g$ ; les intersections des crêtes avec l’axe filent à $c/\cos\theta = v_\varphi$ . À la coupure l’onde fait l’aller-retour en travers du guide et n’avance nulle part.

À gauche : un mode guidé est une onde plane qui rebondit entre les plans ; l’angle s’ouvre à mesure que la fréquence approche la coupure. À droite : les profils transversaux E(y) des deux premiers modes, nuls sur les parois conductrices. — À gauche : un mode guidé est une onde plane qui rebondit entre les plans ; l’angle $\theta$ s’ouvre à mesure que la fréquence approche la coupure. À droite : les profils transversaux $E(y)$ des deux premiers modes, nuls sur les parois conductrices.

À gauche : les courbes de dispersion des trois premiers modes d’un guide, chacune une hyperbole partant de sa coupure. À droite : vitesses de phase et de groupe d’un mode en fonction de la fréquence ; l’énergie rampe près de la coupure et approche c bien au-dessus. — À gauche : les courbes de dispersion des trois premiers modes d’un guide, chacune une hyperbole partant de sa coupure. À droite : vitesses de phase et de groupe d’un mode en fonction de la fréquence ; l’énergie rampe près de la coupure et approche $c$ bien au-dessus.

Exemple 16.3 (Applications numériques)

Des plans distants de $3\,\mathrm{cm}$ : $f_1 = 5\,\mathrm{GHz}$ , $f_2 = 10\,\mathrm{GHz}$ ; entre ces fréquences un seul mode se propage (fonctionnement monomode, qui empêche une impulsion de se scinder en plusieurs de $v_g$ différentes). À $8\,\mathrm{GHz}$ le mode $n = 1$ a $v_g = 0.78c$ , $v_\varphi = 1.28c$ , et la longueur d’onde guidée $\lambda_g = 2\pi/k_g = 4.8\,\mathrm{cm}$ au lieu de $3.75\,\mathrm{cm}$ dans le vide. À $4\,\mathrm{GHz}$ rien ne passe : le champ décroît en $\eu^{-z/\ell}$ avec $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.6\,\mathrm{cm}$ — c’est le principe de la grille d’une porte de four, du guide sous la coupure employé comme atténuateur étalonné, et des gaines métalliques de ventilation qui laissent passer l’air mais pas la radio.

16.2 Le guide rectangulaire et la cavité

Proposition 16.4 (Le guide rectangulaire ; le mode TE $_{10}$ )

Un tuyau métallique creux de section rectangulaire $a \times b$ ( $a > b$ ) porte des modes dont les fréquences de coupure valent

f_{mn} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2} ;

le plus bas, le mode TE $_{10}$ ( $f_{10} = c/2a$ ), a $\vect E = E_0\sin (\pi x/a)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\,\vect e_y$ : une demi-sinusoïde en travers du grand côté, uniforme en travers du petit, nulle sur les deux parois $x = 0$ , $x = a$ — exactement le mode à plans parallèles, les parois latérales $y = 0$ , $b$ étant perpendiculaires à $\vect E$ et ne lui imposant rien. Le guide s’utilise entre $f_{10}$ et la coupure suivante ; ses lignes de champ magnétique se referment dans le plan $xz$ et les courants qu’elles induisent dans les parois sont ce qu’une fente ne doit pas couper. La puissance transportée vaut $\tfrac14\varepsilon_0cE_0^2\,ab \sqrt{1 - f_{10}^2/f^2}$ .

Démonstration. Le mode général est un produit de $\cos$ et de $\sin$ en $x$ et en $y$ avec les conditions aux limites sur les quatre parois, ce qui donne $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (m\pi/a)^2 - (n\pi/b)^2$ (admis en général ; le cas TE $_{10}$ est la proposition ci-dessus). Puissance : le vecteur de Poynting moyen selon $z$ vaut $E_0^2\sin^2(\pi x/a) \,k_g/2\mu_0\omega$ intégré sur la section. ∎

Le mode TE_10 d’un guide rectangulaire : le champ électrique occupe la petite dimension avec un profil en demi-sinusoïde en travers de la grande ; le champ magnétique se referme en boucles dans le plan des grandes faces, longues d’une demi-longueur d’onde guidée. — Le mode TE $_{10}$ d’un guide rectangulaire : le champ électrique occupe la petite dimension avec un profil en demi-sinusoïde en travers de la grande ; le champ magnétique se referme en boucles dans le plan des grandes faces, longues d’une demi-longueur d’onde guidée.

Proposition 16.5 (Cavité résonante)

Fermer un guide par deux parois conductrices distantes de $d$ en fait une cavité, où l’onde guidée doit former une onde stationnaire selon $z$ aussi : $k_g = p\pi/d$ , et les fréquences de résonance d’une boîte rectangulaire $a \times b \times d$ valent

f_{mnp} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2 + \Bigl(\frac pd\Bigr)^2} .

Le nombre de modes de fréquence inférieure à $f$ croît comme $8\pi V f^3/3c^3$ pour une boîte de volume $V$ (admis : on compte les points du réseau $(m/2a, n/2b, p/2d)$ dans un huitième de sphère, avec deux polarisations) — la densité de modes dont aura besoin la théorie du rayonnement thermique (Chapitre 26). Chaque mode a un facteur de qualité $Q$ fixé par les pertes dans les parois (la résistance de surface du Chapitre 14), typiquement $10^3$ à $10^4$ pour du cuivre aux fréquences micro-ondes, $10^{10}$ pour une cavité supraconductrice.

Démonstration. Ondes stationnaires selon les trois directions avec des nœuds sur les six parois ; le vecteur d’onde $(m\pi/a, n\pi/b, p\pi/d)$ a pour module $\omega/c$ . ∎

Exemple 16.6 (Fours, radars, horloges)

Un four à micro-ondes de $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ possède, au voisinage de $2.45\,\mathrm{GHz}$ , des dizaines de modes à quelques pour cent de la fréquence du magnétron : le champ est une superposition d’ondes stationnaires, aux maxima distants de $6\,\mathrm{cm}$ , que le plateau tournant (et un « brasseur de modes ») lissent. Le magnétron d’un radar est lui-même une cavité résonante ; un accélérateur de particules est une chaîne de cavités supraconductrices dont le mode TM pousse les paquets ; les atomes d’une horloge au césium traversent une cavité hyperfréquence accordée sur $9.19\,\mathrm{GHz}$ .

16.3 La fibre optique en optique géométrique

Proposition 16.7 (Fibre à saut d’indice)

Un cœur de verre d’indice $n_1$ entouré d’une gaine d’indice légèrement plus bas $n_2$ guide la lumière par réflexion totale sur la frontière du cœur. Un rayon qui entre par la face d’entrée depuis l’air sous l’angle $\alpha$ avec l’axe est piégé si $\sin\alpha < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , l’ouverture numérique ; des rayons d’angles différents parcourent des longueurs différentes, et une impulsion entrant dans une fibre de longueur $L$ s’étale de

\Delta t = \frac{n_1L}c\Bigl(\frac{n_1}{n_2} - 1\Bigr) ,

c’est la dispersion modale — quelque $50\,\mathrm{ns}$ par kilomètre pour $n_1 - n_2 = 0.01$ , ce qui limite une fibre multimode à quelques mégabits par seconde sur dix kilomètres. Une fibre monomode a un cœur si fin ( $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) qu’un seul mode s’y propage, comme le guide entre ses deux premières coupures ; il ne reste alors que la dispersion chromatique du verre (Chapitre 8).

Démonstration. La réflexion totale à l’interface cœur–gaine exige $\sin\theta > n_2/n_1$ pour l’angle $\theta$ avec la normale à la frontière, c’est-à-dire $\cos \theta' > n_2/n_1$ pour l’angle $\theta'$ avec l’axe à l’intérieur ; la réfraction à l’entrée donne $\sin\alpha = n_1\sin\theta'$ , d’où $\sin\alpha < n_1\sqrt{1 - n_2^2/n_1^2}$ . Le rayon piégé le plus incliné parcourt $L/\cos\theta' = Ln_1/n_2$ contre $L$ pour le rayon axial, à $c/n_1$ . ∎

Une fibre à saut d’indice en optique géométrique : les rayons contenus dans le cône d’acceptance sont piégés par réflexion totale ; le rayon en zigzag arrive après le rayon axial — c’est la dispersion modale.

Méthode 16.8 (Le bilan d’une onde guidée)

(1) Identifier les parois et leur condition (sur un conducteur, $\vect E = 0$ tangentiellement ; pour un diélectrique, réflexion totale). (2) Écrire le champ comme une onde stationnaire transversale multipliée par un facteur progressif le long du guide ; les conditions aux limites quantifient le nombre d’onde transversal. (3) La relation de dispersion $k_g^2 = \omega^2/c^2 - k_\perp^2$ donne la coupure, $v_\varphi$ , $v_g$ , $\lambda_g$ . (4) Compter les modes propagatifs à la fréquence de travail ; viser un seul. (5) Pour une cavité, ajouter la condition longitudinale et trouver les fréquences de résonance ; pour les pertes, utiliser la résistance de surface.

16.4 Exercices

Exercice 16.1 ★

Des plans distants de $2.0\,\mathrm{cm}$ : fréquences de coupure des trois premiers modes ; à $12\,\mathrm{GHz}$ , quels modes se propagent, et pour le premier $k_g$ , $\lambda_g$ , $v_\varphi$ , $v_g$ ; à $6\,\mathrm{GHz}$ , longueur de décroissance du champ.

Solution

Solution de Exercice 16.1.

$f_n = nc/2a = 7.5$ , $15$ , $22.5\,\mathrm{GHz}$ . À $12\,\mathrm{GHz}$ seul $n = 1$ : $k_g = (2\pi/c)\sqrt{f^2 - f_1^2} = 196\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda_g = 3.2\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = c/0.78 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 2.3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . À $6\,\mathrm{GHz}$ : $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.1\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 16.2 ★

Un guide standard en bande X a $a = 22.9\,\mathrm{mm}$ , $b = 10.2\,\mathrm{mm}$ . Coupure de TE $_{10}$ , de TE $_{20}$ et de TE $_{01}$ ; la bande monomode ; à $10\,\mathrm{GHz}$ : $\lambda_g$ , $v_g$ , l’angle du zigzag. Pourquoi $b \approx a/2$ est-il un bon choix ?

Solution

Solution de Exercice 16.2.

TE $_{10}$ $6.55\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{20}$ $13.1\,\mathrm{GHz}$ , TE $_{01}$ $14.7\,\mathrm{GHz}$ : monomode de $6.55$ à $13.1\,\mathrm{GHz}$ . À $10\,\mathrm{GHz}$ : $\sqrt{1 - (6.55/10)^2} = 0.756$ , $\lambda_g = 4.0\,\mathrm{cm}$ , $v_g = 0.76c$ , $\cos\theta = 0.756$ , $\theta = 41{}^{\circ}$ . $b \approx a/2$ maintient TE $_{01}$ au-dessus de TE $_{20}$ (la plus large bande monomode) tout en laissant le plus grand écart au champ (puissance avant claquage).

Exercice 16.3 ★

Une cavité de $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ : fréquences des modes $(1,1,0)$ , $(1,0,1)$ , $(2,1,1)$ , $(3,2,1)$ ; nombre de modes sous $2.5\,\mathrm{GHz}$ par la formule de dénombrement ; le mode le plus bas d’une cavité cubique à $9.19\,\mathrm{GHz}$ — son côté.

Solution

Solution de Exercice 16.3.

$f = 1.5 \times 10^8\sqrt{(m/0.3)^2 + (n/0.3)^2 + (p/0.2)^2}$ : $0.71\,\mathrm{GHz}$ , $0.90\,\mathrm{GHz}$ , $1.35\,\mathrm{GHz}$ , $1.95\,\mathrm{GHz}$ . $N = 8\pi Vf^3/3c^3 = 8\pi \times 0.018 \times 1.56 \times 10^{28}/ 8.1 \times 10^{25} \approx 260$ . Cube : $f = c\sqrt2/2L$ , $L = 2.3\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 16.4 ★

Une fibre a $n_1 = 1.48$ , $n_2 = 1.46$ . Ouverture numérique et demi-angle d’acceptance ; étalement modal par kilomètre ; débit binaire maximal sur $2\,\mathrm{km}$ si un bit doit durer plus longtemps que l’étalement ; idem avec $n_1 - n_2 = 0.003$ .

Solution

Solution de Exercice 16.4.

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = 0.24$ , $14{}^{\circ}$ ; $\Delta t = (n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $135\,\mathrm{ns}$ sur $2\,\mathrm{km}$ : $7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ ; avec $0.003$ : $10\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

Exercice 16.5 ★★

Pour le mode $n = 1$ du guide à plans parallèles : (a) trouver $\vect B$ par la loi de Faraday et montrer qu’il possède une composante selon $z$ en quadrature avec $E$ . (b) Courant surfacique sur chaque plan (relation de passage). (c) Vecteur de Poynting moyen selon $z$ et puissance par unité de largeur ; vérifier que sa composante transversale est de moyenne nulle. (d) Montrer que la vitesse de l’énergie, puissance divisée par l’énergie moyenne par unité de longueur, vaut $v_g$ .

Solution

Solution de Exercice 16.5.

(a) $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ , $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E = (\iu\pi/a\omega) E_0\cos(\pi y/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}$ : en quadrature. (b) En $y = 0$ , $B_y = 0$ et $\vect j_s = \vect e_y\wedge\vect B/\mu_0 = (B_z/\mu_0)\vect e_x$ : selon le champ. (c) $\langle\Pi_z\rangle = E_0^2k_g\sin^2(\pi y/a)/2\mu_0\omega$ , puissance par unité de largeur $E_0^2k_ga/4\mu_0\omega$ ; $\langle\Pi_y\rangle \propto \operatorname{Re}(\underline E\,\iu\underline B_z^*) = 0$ . (d) Énergie moyenne par unité de longueur et de largeur $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2a$ (les moitiés électrique et magnétique valant chacune $\tfrac18\varepsilon_0E_0^2a$ ) ; le rapport vaut $c^2k_g/\omega = v_g$ .

Exercice 16.6 ★★

Sous la coupure. (a) Un trou de $1\,\mathrm{mm}$ dans la grille de $0.5\,\mathrm{mm}$ d’une porte de four à $2.45\,\mathrm{GHz}$ : le traiter comme un guide de largeur $a = 1\,\mathrm{mm}$ ; longueur de décroissance et atténuation à travers la tôle en dB (comparer au Chapitre 14). (b) Une gaine de ventilation de $20\,\mathrm{cm}$ de section dans une pièce blindée : jusqu’à quelle fréquence bloque-t-elle la radio, et de combien atténue-t-elle $100\,\mathrm{MHz}$ sur $1\,\mathrm{m}$ ? (c) Un « atténuateur à guide sous la coupure » utilise un tube de $1\,\mathrm{cm}$ de diamètre à $1\,\mathrm{GHz}$ : atténuation par centimètre (utiliser la formule des plans avec $a = 1\,\mathrm{cm}$ comme estimation). (d) Pourquoi l’atténuation est-elle indépendante de la conductivité des parois ?

Solution

Solution de Exercice 16.6.

(a) $f_1 = 150\,\mathrm{GHz} \gg f$ : $\ell \approx a/\pi = 0.32\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-0.5/0.32}$ : $-14\,\mathrm{dB}$ en amplitude, $-27$ en puissance. (b) $f_1 = 750\,\mathrm{MHz}$ ; à $100\,\mathrm{MHz}$ $\ell = 6.4\,\mathrm{cm}$ : $-136\,\mathrm{dB}$ sur un mètre. (c) $f_1 = 15\,\mathrm{GHz}$ , $\ell = 3.2\,\mathrm{mm}$ : $27\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}$ . (d) L’onde n’y tient pas ; l’évanescence est géométrique, non dissipative.

Exercice 16.7 ★★

Puissance et claquage. Le guide en bande X de l’Exercice 16.2 porte TE $_{10}$ à $10\,\mathrm{GHz}$ . (a) Puissance pour $E_0 = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ . (b) L’air claque à $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ : puissance maximale ; comment les radars transportent-ils des mégawatts (mise en pression, gaz) ? (c) Pertes dans les parois : le courant surfacique sur la grande face est de l’ordre de $E_0/\mu_0c$ ; avec $R_s = 0.026\,\Omega$ pour le cuivre à $10\,\mathrm{GHz}$ , estimer la perte par mètre et l’atténuation en dB/m. (d) Comparer aux $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ d’un câble coaxial : pourquoi emploie-t-on des guides à ces fréquences ?

Solution

Solution de Exercice 16.7.

(a) $P = \tfrac14\varepsilon_0cE_0^2ab\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2} = 120\,\mathrm{kW}$ . (b) $\times9$ : $1\,\mathrm{MW}$ ; l’azote sous pression ou le SF $_6$ élèvent le champ de claquage. (c) $j_s \approx E_0/\mu_0c = 2.7\,\mathrm{kA}/\mathrm{m}$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 = 9 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ sur $2a = 0.046\,\mathrm{m}^{2}$ par mètre : $4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}$ , soit $3.5\%$ par mètre, environ $0.15\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) Trois fois moins que le câble, et des mégawatts au lieu de kilowatts.

Exercice 16.8 ★★

Qualité d’une cavité. Une cavité cubique en cuivre de $10\,\mathrm{cm}$ de côté dans son mode le plus bas. (a) Fréquence. (b) L’énergie emmagasinée vaut $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V/4$ (admis) et la perte dans les parois $\tfrac12R_sH_0^2\times$ l’aire avec $H_0 \approx E_0/ \mu_0c$ et $R_s = 1/\gamma\delta$ : facteur de qualité $Q = \omega W/P$ — le calculer. (c) Largeur de bande $f/Q$ de la résonance ; temps de décroissance $Q/\omega$ . (d) Une cavité supraconductrice a $R_s \sim 1 \times 10^{-8}\,\Omega$ : $Q$ , et pourquoi les accélérateurs en utilisent.

Solution

Solution de Exercice 16.8.

(a) $f = c\sqrt2/2L = 2.12\,\mathrm{GHz}$ . (b) $\delta = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 12\,\mathrm{m}\Omega$ ; $W = \varepsilon_0E_0^2V/8 = 1.1 \times 10^{-15}\,E_0^2$ ; $P = \tfrac12R_s(E_0/377)^2 \times 6L^2 = 2.5 \times 10^{-9}\,E_0^2$ : $Q = \omega W/P \approx 6000$ . (c) $360\,\mathrm{kHz}$ ; $0.45\,\text{µ}\mathrm{s}$ . (d) $Q \sim 10^{10}$ : un champ de dizaines de mégavolts par mètre est entretenu par des kilowatts au lieu de gigawatts.

Exercice 16.9 ★★

Dénombrement des modes. (a) Montrer que le nombre de modes d’une boîte de volume $V$ de fréquence inférieure à $f$ vaut $N(f) = 8\pi Vf^3/3c^3$ (points $(m, n, p)$ dans le huitième de sphère de rayon $2fL/c$ pour un cube, deux polarisations). (b) Le nombre de modes par unité de volume et de fréquence, $\dd N/V\dd f = 8\pi f^2/c^3$ . (c) Une pièce de $1\,\mathrm{m}^{3}$ : modes par hertz à $1\,\mathrm{GHz}$ ; à $500\,\mathrm{THz}$ (lumière visible). (d) Pourquoi une petite cavité a-t-elle des modes clairsemés alors qu’une grande pièce en a un continuum — et qu’en est-il du four à $2.45\,\mathrm{GHz}$ ?

Solution

Solution de Exercice 16.9.

(a) Les points $(m, n, p)$ vérifiant $m^2 + n^2 + p^2 \le (2fL/c)^2$ remplissent un huitième de sphère : $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi(2fL/c)^3$ , multiplié par deux polarisations : $8\pi L^3f^3/3c^3$ . (b) $8\pi f^2/c^3$ . (c) $9 \times 10^{-7}$ par hertz (un par mégahertz) à $1\,\mathrm{GHz}$ ; $2 \times 10^5$ par hertz à $500\,\mathrm{THz}$ . (d) Les modes sont discrets quand leur espacement dépasse leur largeur ; dans le four, un mode par $10\,\mathrm{MHz}$ environ autour de $2.45\,\mathrm{GHz}$ — des dizaines à quelques pour cent.

Exercice 16.10 ★★★

TE $_{10}$ en détail. Dans le guide $0 < x < a$ , $0 < y < b$ : $\vect E = E_0\sin(\pi x/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\vect e_y$ . (a) Par Faraday, trouver $\underline B_x$ et $\underline B_z$ ; vérifier $\operatorname{div}\vect B = 0$ . (b) Vérifier Maxwell–Ampère dans le vide, et retrouver $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (\pi/a)^2$ . (c) Courants surfaciques sur les quatre parois (les grandes faces $y = 0$ , $b$ et les petites $x = 0$ , $a$ ) ; quels courants circulent selon $z$ , lesquels en travers ? (d) Une fente pratiquée selon $z$ au milieu d’une grande face ne rayonne pas, une fente transversale rayonne : expliquer.

Solution

Solution de Exercice 16.10.

(a) De $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ :

\underline B_x = -\frac{k_g}\omega\underline E , \qquad \underline B_z = \frac{\iu\pi}{a\omega}E_0\cos\frac{\pi x}a\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} ,

et $\partial_xB_x + \partial_zB_z = -(k_g\pi/a\omega)E_0\cos(\pi x/a) + (k_g\pi/a\omega)E_0 \cos(\pi x/a) = 0$ . (b) $(\operatorname{\vect{curl}}\vect B)_y = \partial_zB_x - \partial_xB_z = (\iu/\omega)(k_g^2 + \pi^2/a^2)\underline E = (\iu\omega/c^2)\underline E$ : $k_g^2 = \omega^2/c^2 - \pi^2/a^2$ . (c) Grandes faces : $\vect j_s = \pm(B_z\vect e_x - B_x\vect e_z)/\mu_0$ — selon $z$ en $\sin(\pi x/a)$ , en travers en $\cos(\pi x/a)$ (nul au milieu) ; petites faces : selon $y$ seulement. (d) Une fente longitudinale centrale ne coupe que les courants transversaux, qui y sont nuls ; une fente transversale coupe les courants longitudinaux et rayonne : c’est l’antenne à fentes.

Exercice 16.11 ★★★

Guide diélectrique. Une lame d’indice $n_1$ et d’épaisseur $a$ dans un milieu $n_2 < n_1$ guide la lumière par réflexion totale. (a) Pour un rayon faisant l’angle $\theta$ avec la normale aux faces, la condition de guidage est que la phase d’un aller-retour en travers de la lame, $2k_0n_1a\cos\theta - 2\varphi_r$ ( $\varphi_r$ étant le déphasage de la réflexion totale, pris $\approx 0$ ici), soit un multiple de $2\pi$ : nombre de modes pour $a = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $\lambda = 1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $n_1 = 1.48$ , $n_2 = 1.46$ (admettre le dénombrement $\approx 2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda$ par polarisation). (b) Épaisseur pour un mode unique. (c) Comparer à un cœur de fibre monomode de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Pourquoi le guide diélectrique, contrairement au guide métallique, ne peut-il pas avoir de coupure pour son mode le plus bas ?

Solution

Solution de Exercice 16.11.

(a) $2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda = 2 \times 50 \times 0.242/1.5 \approx 16$ par polarisation. (b) $a < \lambda/2\mathrm{NA} = 3.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (c) Un cœur circulaire d’ $\mathrm{NA} = 0.12$ est monomode en dessous de $d = 2.405\lambda/\pi\mathrm{NA} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : d’où le standard à $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) Un rayon rasant est toujours totalement réfléchi : le mode le plus bas existe à toute fréquence, ses queues évanescentes s’étalant simplement davantage dans la gaine.

Exercice 16.12 ★★★

Fibre à gradient d’indice. Pour réduire la dispersion modale, l’indice du cœur décroît de l’axe vers l’extérieur, $n(r) = n_1\sqrt{1 - 2\Delta(r/a)^2}$ avec $\Delta \approx 0.01$ . (a) Expliquer qualitativement pourquoi un rayon hors axe, bien que plus long, peut mettre le même temps que le rayon axial. (b) À l’aide de l’équation des rayons dans un milieu stratifié, $n(r)\cos\theta(r) =$ const, montrer qu’un rayon lancé depuis l’axe sous un petit angle oscille sinusoïdalement autour de lui (développer $n$ au second ordre). (c) Période de l’oscillation pour $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$ . (d) L’étalement modal résiduel est de l’ordre de $n_1L\Delta^2/2c$ : valeur par kilomètre, comparée au $n_1L\Delta/c$ du saut d’indice.

Solution

Solution de Exercice 16.12.

(a) Le rayon hors axe passe son temps dans un indice plus faible, où la lumière est plus rapide : le trajet plus long est compensé. (b) $n(r)\cos\theta = n_1\cos\theta_0$ avec $n \approx n_1(1 - \Delta r^2/a^2)$ et $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$ : $(\dd r/\dd z)^2 = \theta_0^2 - 2\Delta r^2/a^2$ , une oscillation harmonique $r = r_0\sin(\sqrt{2\Delta}\,z/a)$ . (c) $2\pi a/\sqrt{2\Delta} = 1.1\,\mathrm{mm}$ . (d) $n_1L\Delta^2/2c = 0.25\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ contre $49\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ : deux cents fois mieux.

Des fibres optiques éclairées par leur extrémité opposée : une lumière piégée par réflexion totale dans un cœur plus fin qu’un cheveu, et guidée à travers chaque courbe douce.

16.5 Problème : la cavité du four et la fibre optique

Problème 16.1

Problème du week-end — deux systèmes à ondes guidées présents dans chaque cuisine et chaque ville : le four qui cuit avec des ondes stationnaires et la fibre qui transporte l’internet

Partie I — Du magnétron à la cavité. Un magnétron injecte $800\,\mathrm{W}$ à $2.45\,\mathrm{GHz}$ dans un guide d’ondes rectangulaire ( $a = 8.6\,\mathrm{cm}$ , $b = 4.3\,\mathrm{cm}$ ) qui débouche dans la cavité du four ( $30 \times 30 \times 20$ cm $^3$ ) ; parois en acier, $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ .

Fréquences de coupure des modes TE $_{10}$ , TE $_{20}$ , TE $_{01}$ du guide ; vérifier que seul TE $_{10}$ se propage à $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Longueur d’onde guidée, vitesses de phase et de groupe à $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
Amplitude du champ $E_0$ dans le guide pour $800\,\mathrm{W}$ (formule de puissance de TE $_{10}$ ) ; comparer au champ de claquage de l’air.
Amplitude du courant surfacique sur la grande face (de l’ordre de $E_0/\mu_0c$ ) ; épaisseur de peau et résistance de surface de l’acier ; perte par mètre de guide.
Modes de la cavité : énumérer ceux dont la fréquence est à $3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$ (essayer $(m, n, p)$ jusqu’à $4$ ) ; combien ?
Distance entre les points chauds d’un tel mode selon chaque axe ; pourquoi le plateau tourne-t-il, et qu’est-ce qu’un « brasseur de modes » ?
Le facteur de qualité de la cavité chargée d’aliments vaut environ $200$ : largeur de bande de sa réponse ; pourquoi un écart entre la fréquence du magnétron et les modes importe peu.
La cavité vide a $Q \approx 3000$ : énergie emmagasinée pour $800\,\mathrm{W}$ injectés, densité d’énergie moyenne, amplitude du champ ; comparer à la question 3 et au claquage. Qu’est-ce qui protège le magnétron lorsque le four tourne à vide ?
Temps mis par l’énergie pour parcourir les $20\,\mathrm{cm}$ de guide entre le magnétron et la cavité.
Le magnétron est alimenté par un redressement mono-alternance et n’émet que pendant une demi-période du secteur : puissance crête pendant les salves pour une moyenne de $800\,\mathrm{W}$ ; que fait la cavité entre les salves (prendre $Q \approx 200$ ) ?

Partie II — La porte et la coupure.

La grille de la porte a des trous de $1.5\,\mathrm{mm}$ dans une tôle de $1\,\mathrm{mm}$ : longueur de décroissance dans un trou et atténuation en dB à travers la tôle.
Le bord de la porte est fermé par un « piège » quart d’onde : une cavité de profondeur $\lambda/4$ courant autour du cadre, qui présente un circuit ouvert au niveau de l’interstice (rappel : Chapitre 15) : profondeur de la cavité à $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
La fuite réglementaire vaut $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ à $5\,\mathrm{cm}$ : à quelle fraction des $800\,\mathrm{W}$ à travers une porte de $100\,\mathrm{cm}^{2}$ cela correspond-il ?
Un conduit de $30\,\mathrm{cm}$ et de $4\,\mathrm{cm}$ de diamètre ventile la cavité : est-il sous la coupure à $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? Atténuation sur sa longueur.
Pourquoi la grille doit-elle être reliée électriquement au cadre de la porte tout autour (à quoi s’apparenterait une rupture de cette liaison) ?

Partie III — La fibre. Une fibre à saut d’indice : cœur $n_1 = 1.465$ , gaine $n_2 = 1.460$ , diamètre de cœur $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (multimode) ou $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ (monomode) ; $\lambda = 1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; atténuation $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .

Ouverture numérique et angle d’acceptance ; est-il facile d’y injecter la lumière ?
Étalement modal par kilomètre pour la fibre multimode ; débit binaire maximal sur $10\,\mathrm{km}$ (un bit par durée d’étalement).
Nombre de modes de la fibre multimode (admettre $N \approx \tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2$ ) ; de la monomode ( $d = 9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : montrer que la même formule donne environ $1$ ).
Dans la fibre monomode l’étalement restant est chromatique : avec $\omega'' \approx -0.2\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ (Chapitre 8) et des impulsions de $50\,\mathrm{ps}$ , distance sur laquelle une impulsion double ; débit binaire sur $100\,\mathrm{km}$ .
Atténuation sur $100\,\mathrm{km}$ en dB et en rapport de puissances ; $1\,\mathrm{mW}$ en entrée : puissance de sortie ; avec des amplificateurs tous les $80\,\mathrm{km}$ , combien en faut-il pour une liaison transatlantique de $6000\,\mathrm{km}$ ?
Fréquence et énergie du photon à $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; photons par seconde dans $1\,\mathrm{mW}$ , et par bit à $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ , à l’entrée et après $100\,\mathrm{km}$ .
Pourquoi $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ (penser aux deux mécanismes de perte de la silice : la diffusion Rayleigh, décroissant en $1/\lambda^4$ , et l’absorption infrarouge croissant au-delà de $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) ?
Réflexion de Fresnel au bout clivé d’une fibre face à l’air : perte en dB ; pourquoi les connecteurs utilisent un gel d’adaptation d’indice ou un contact physique poli.
Pourquoi une fibre ne rayonne-t-elle pas dans une courbe douce, et pourquoi perd-elle de la lumière dans une courbe serrée (penser à l’angle du rayon sur la frontière du cœur) ?
Comparer les deux guides de ce problème : ce qui confine l’onde, ce qui limite la bande passante, ce que sont les pertes.

Solution

Solution de Problème 16.1.

1. $c/2a = 1.74\,\mathrm{GHz}$ ; TE $_{20}$ et TE $_{01}$ : $3.49\,\mathrm{GHz}$ : seul TE $_{10}$ à $2.45\,\mathrm{GHz}$ .

2. $\sqrt{1 - (1.74/2.45)^2} = 0.70$ : $\lambda_g = 17.4\,\mathrm{cm}$ , $v_\varphi = 1.42c$ , $v_g = 0.70c = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

3. $E_0^2 = 4P/\varepsilon_0c\,ab\sqrt{\cdot} = 3200/6.9 \times 10^{-6}$ : $E_0 = 21\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ , soit un centième du claquage.

4. $j_s \approx E_0/\mu_0c = 57\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ ; $\delta = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $R_s = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sj_s^2 \times 2a = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ : $3.5\%$ par mètre — l’acier est dissipatif, mais le guide est court.

5. $f = 1.5 \times 10^8\sqrt{11.1(m^2 + n^2) + 25p^2}$ à $\pm3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$ : $(1, 2, 3)$ , $(2, 1, 3)$ à $2.51\,\mathrm{GHz}$ , $(4, 0, 2)$ , $(0, 4, 2)$ , $(4, 3, 0)$ , $(3, 4, 0)$ à $2.50\,\mathrm{GHz}$ — environ six.

6. Demi-longueurs d’onde $a/m$ , $b/n$ , $d/p$ : de $7$ à $10\,\mathrm{cm}$ d’écart. Le plateau tournant entraîne les aliments à travers maxima et minima ; un brasseur (un ventilateur métallique tournant) rebat les modes.

7. $f/Q = 12\,\mathrm{MHz}$ : les résonances chargées se recouvrent en un continuum ; le magnétron trouve toujours un mode à alimenter.

8. $W = QP/\omega = 3000 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 0.16\,\mathrm{J}$ ; $u = 8.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ ; $E_0 \approx \sqrt{4u/\varepsilon_0} = 2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ — près du claquage : des arcs ; la puissance réfléchie retourne au magnétron, protégé (un peu) par une charge fictive ou un circulateur — d’où le « ne jamais le faire tourner à vide ».

9. $0.2/2.1 \times 10^8 = 1\,\mathrm{ns}$ .

10. $1.6\,\mathrm{kW}$ crête ; entre les salves le champ décroît en $Q/\omega = 13\,\mathrm{ns}$ : la cavité est vide la plupart du temps.

11. $\ell \approx a/\pi = 0.48\,\mathrm{mm}$ ; $\eu^{-1/0.48}$ : $-18\,\mathrm{dB}$ en amplitude, $-36\,\mathrm{dB}$ en puissance.

12. $\lambda/4 = 3.1\,\mathrm{cm}$ .

13. $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ $\times$ $100\,\mathrm{cm}^{2}$ = $0.5\,\mathrm{W}$ : soit $0.06\%$ .

14. $f_1 \approx c/2d = 3.75\,\mathrm{GHz} > 2.45\,\mathrm{GHz}$ : sous la coupure ; $\ell = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $\eu^{-30/1.7}$ : $-150\,\mathrm{dB}$ .

15. Les courants de paroi doivent passer sans rupture dans la grille ; une rupture de la liaison est une fente qui les coupe — une antenne à fente qui rayonne vers l’extérieur.

16. $\mathrm{NA} = \sqrt{1.465^2 - 1.460^2} = 0.12$ , $7{}^{\circ}$ : un cône étroit, qui exige un laser et une lentille.

17. $(n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 17\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ ; $170\,\mathrm{ns}$ sur $10\,\mathrm{km}$ : $6\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$ .

18. $\tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2 = 75$ ; pour $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : $2.4$ — le régime monomode ( $V = \pi d\,\mathrm{NA}/\lambda = 2.2 < 2.4$ ).

19. $\Delta x_0 = (c/n)\tau = 1\,\mathrm{cm}$ : $t_{\text{ét}} = 10^{-4}/0.2 = 0.5\,\mathrm{ms}$ , $100\,\mathrm{km}$ : $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ sur cette distance avant compensation.

20. $20\,\mathrm{dB}$ , un facteur $100$ : $10\,\text{µ}\mathrm{W}$ ; $6000/80 = 75$ amplificateurs.

21. $f = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ , $hf = 0.8\,\mathrm{eV}$ ; $8 \times 10^{15}$ photons par seconde ; $8 \times 10^5$ par bit à l’entrée, $8 \times 10^3$ après $100\,\mathrm{km}$ .

22. La somme des deux pertes est minimale au voisinage de $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ ).

23. $R = ((1.465 - 1)/2.465)^2 = 3.6\%$ : $0.16\,\mathrm{dB}$ par face, deux fois à un connecteur, plus l’interférence de l’intervalle ; un gel ou un contact physique supprime l’air.

24. Dans une courbe douce le rayon rencontre encore la frontière au-delà de l’angle critique ; dans une courbe serrée l’incidence sur la paroi extérieure passe en dessous et la lumière fuit.

25. Four : parois métalliques, réflexion avec $r = -1$ ; bande passante fixée par les modes de la cavité ; pertes dans la peau de l’acier. Fibre : réflexion totale à une frontière verre–verre ; bande passante fixée par les dispersions modale et chromatique ; pertes par diffusion et absorption, $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$ .