आवर्ती दोलित्र, बल स्थिरांक, समानीत द्रव्यमान, शून्य-बिंदु ऊर्जा क्या है?

उदाहरण 1.6 (विहित क्रमविनिमेयक)

किसी भी फलन $f$ के लिए, $\hat x\hat pf = -\iu\hbar xf'$ और $\hat p\hat xf = -\iu\hbar(f + xf')$। अंतर $[\hat x,\hat p]f = \iu\hbar f$ है, अतः $[\hat x,\hat p] = \iu\hbar$: स्थिति और संवेग क्रमविनिमेय नहीं हैं। यही एक संबंध अनिश्चितता सिद्धांत का आधार है और, आगे चलकर, आवर्ती दोलित्र के पूरे स्पेक्ट्रम का भी।

उदाहरण 1.22 ($\ce{H2}$ और $\ce{D2}$ की शून्य-बिंदु ऊर्जाएँ)

आवर्ती तरंग-संख्याएँ $\tilde\omega_e = 4401.2\,\mathrm{cm}^{-1}$ ($\ce{H2}$ के लिए) और $3115.5\,\mathrm{cm}^{-1}$ ($\ce{D2}$ के लिए) हैं, अनुपात $1.413$ में, जो $\sqrt2$ के निकट है: वही आबंध और बल स्थिरांक, दुगुना समानीत द्रव्यमान। आवर्ती शून्य-बिंदु ऊर्जाएँ इनकी आधी हैं, 2200.6 और $1557.8\,\mathrm{cm}^{-1}$, अर्थात् $26.3\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ और $18.6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$। कोई अणु इस ऊर्जा को कभी नहीं खो सकता; समस्थानिकों के बीच का यह अंतर अध्याय 11 और 12 के समस्थानिक प्रभावों का स्रोत है।

उदाहरण 1.29 (हाइड्रोजन की आयनन ऊर्जा)

$hcR_\infty = 13.6057\,\mathrm{eV}$ और $\mu/m_e = 1/(1 + m_e/m_p) = 0.999456$, अतः $-E_1 = 13.598\,\mathrm{eV}$: यह हाइड्रोजन की मापी गई आयनन ऊर्जा है, प्रथम वर्ष के खंड में दिए गए अंतिम अंक तक। समानीत द्रव्यमान चौथे सार्थक अंक को बदलता है।