1रसायनज्ञों के लिए क्वांटम यांत्रिकी: मॉडल निकाय

उपपत्ति. मान लीजिए $\hat Af = af$। तब $\langle f|\hat Af\rangle = a\langle f|f\rangle$ और $\langle\hat Af|f\rangle = a^*\langle f|f\rangle$। संकारक हर्मिटी है, अतः दोनों बराबर हैं, और $\langle f|f\rangle > 0$: $a = a^*$। अब मान लीजिए $\hat Af_1 = a_1f_1$ और $\hat Af_2 = a_2f_2$, जहाँ $a_1 \ne a_2$, दोनों वास्तविक। तब $\langle f_1|\hat Af_2\rangle = a_2\langle f_1|f_2\rangle$ और $\langle\hat Af_1| f_2\rangle = a_1\langle f_1|f_2\rangle$; इनकी समता से $(a_2 - a_1) \langle f_1|f_2\rangle = 0$ मिलता है, अतः $\langle f_1|f_2\rangle = 0$। ∎

उपपत्ति. $\hat A(\hat Bf) = \hat B\hat Af = a(\hat Bf)$: फलन $\hat Bf$ या तो $\hat A$ का अभिलक्षणिक फलन है, उसी अभिलक्षणिक मान $a$ के साथ, या शून्य है। अभिलक्षणिक मान अनपभ्रष्ट होने से $\hat Bf$, $f$ का एक गुणज है, मान लीजिए $bf$। ∎

स्थिति. यह एक अभिगृहीत है, जिसका औचित्य उसके परिणाम हैं: आगे हल किए गए हर निकाय के स्तर स्पेक्ट्रमिकी से मेल खाते हैं। काल-आश्रित समीकरण, जिसकी यह स्थिर स्थिति है, भौतिकी का विषय है। ∎

उपपत्ति. भीतर $\psi'' = -k^2\psi$, जहाँ $k^2 = 2mE/\hbar^2$, अतः $\psi = A\sin kx + B\cos kx$। बाहर $\psi = 0$ है और सांतत्य से $\psi(0) = 0$, अतः $B = 0$, और $\psi(L) = 0$, अतः $\sin kL = 0$, जहाँ $A \ne 0$: $kL = n\pi$, $n$ एक धनात्मक पूर्णांक ($n = 0$ से $\psi = 0$ मिलता है; ऋणात्मक $n$ वही फलन दोहराते हैं)। तब $E = \hbar^2k^2/2m = n^2\pi^2\hbar^2/2mL^2 = n^2h^2/8mL^2$। अंत में $\int_0^L A^2\sin^2(n\pi x/L)\,\dd x = A^2L/2 = 1$ से $A = \sqrt{2/L}$ मिलता है। ∎

उपपत्ति. भीतर $V = 0$ होने से $\hat H$ तीन एकविमीय संकारकों का योग है, हर निर्देशांक के लिए एक। तीन एकविमीय अभिलक्षणिक फलनों का गुणनफल योग का अभिलक्षणिक फलन है, तीनों अभिलक्षणिक मानों के योग के साथ; वह हर फलक पर लुप्त होता है, जैसा अपेक्षित है। ∎

उपपत्ति. $\Delta E = E_{N/2+1} - E_{N/2} = [(N/2+1)^2 - (N/2)^2]\,h^2/8mL^2 = (N+1)\,h^2/8mL^2$, और $\lambda = hc/\Delta E$। ∎

उपपत्ति. $[\hat x,\hat p] = \iu\hbar$ से परिकलित होता है कि $[\hat a,\hat a^\dagger] = 1$ और $\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a + \frac12)$। $\hat N = \hat a^\dagger\hat a$ लिखिए। तब $[\hat N,\hat a] = -\hat a$ और $[\hat N,\hat a^\dagger] = \hat a^\dagger$: यदि $\hat N\psi = \nu\psi$, तो $\hat N(\hat a\psi) = (\nu - 1)\hat a\psi$ और $\hat N(\hat a^\dagger\psi) = (\nu + 1)\hat a^\dagger\psi$; $\hat a$ अभिलक्षणिक मान को एक से घटाता है, $\hat a^\dagger$ उसे बढ़ाता है। परंतु $\nu = \langle\psi|\hat a^\dagger\hat a\psi\rangle/\langle\psi|\psi \rangle = \|\hat a\psi\|^2/\|\psi\|^2 \ge 0$: अवरोहण रुकना ही चाहिए, और यह केवल ऐसे फलन पर होता है जिसके लिए $\hat a\psi_0 = 0$, अभिलक्षणिक मान $\nu = 0$ के साथ। अतः $\hat N$ के अभिलक्षणिक मान $v = 0, 1, 2, \dots$ हैं, और $\hat H$ के $(v + \frac12)\hbar\omega$। ∎

उपपत्ति. $\hat a\psi_0 = 0$ का अर्थ है $y\psi_0 + \dd\psi_0/\dd y = 0$, जिसका हल गाउसी फलन है। हर अगला फलन पिछले पर लगाया गया $\hat a^\dagger$ है, $\hat a^\dagger = \frac{1}{\sqrt2}(y - \dd/\dd y)$, जो बहुपद को $2y$ से गुणा करता है और उसका अवकलज घटाता है: $1 \to 2y \to 4y^2 - 2 \to 8y^3 - 12y$ (गुणकों को छोड़कर)। $y$ को $-y$ में बदलने से $y$ का और $\dd/\dd y$ का चिह्न बदलता है, अतः $\hat a^\dagger$ हर चरण पर समता उलट देता है। ∎

उपपत्ति. एकमात्र निर्देशांक कोण $\phi$ है, और $\hat H = -(\hbar^2/2I)\, \dd^2/\dd\phi^2$। $\psi'' = -(2IE/\hbar^2)\psi$ के हल $\eu^{\iu m\phi}$ हैं, जहाँ $m^2 = 2IE/\hbar^2$। एकमानी फलन को $\phi$ और $\phi + 2\pi$ पर समान मान लेना चाहिए: $\eu^{2\pi\iu m} = 1$, अतः $m$ पूर्णांक है। $m$ और $-m$ वाले फलनों की ऊर्जा समान है और वे स्वतंत्र हैं। ∎

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उपपत्ति. सामान्य चिह्न परिपाटी के साथ $Y_{1,\pm1} \propto \mp\sin\theta\,\eu^{\pm\iu\phi}$, अतः उनका अंतर, $\sqrt2$ से विभाजित, $\propto\sin\theta\cos\phi = x/r$ है और $\iu$-भारित योग $\propto\sin\theta\sin\phi = y/r$; $\cos\theta = z/r$। अपभ्रष्ट अभिलक्षणिक फलनों का हर संयोजन अब भी $\hat L^2$ का अभिलक्षणिक फलन है (उसी $l$ के साथ), यद्यपि अब $\hat L_z$ का नहीं। $l = 2$ की स्थिति वही बीजगणित है, $\sin^2\theta\,\eu^{\pm2\iu\phi}$ और $\sin\theta\cos\theta\,\eu^{\pm\iu\phi}$ के साथ। ∎

आंशिक उपपत्ति. $Z = 1$ लीजिए और $R = \eu^{-r/a}$ आज़माइए, $l = 0$ के साथ। तब $R' = -R/a$ और $\frac{1}{r^2}(r^2R')' = R/a^2 - 2R/(ar)$। त्रिज्य समीकरण बन जाता है $-\frac{\hbar^2}{2\mu}\big(\frac{1}{a^2} - \frac{2}{ar}\big) - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0r} = E$, सभी $r$ के लिए: $1/r$ वाले पद निरस्त होते हैं यदि $a = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/\mu e^2$, और तब $E = -\hbar^2/2\mu a^2 = -\mu e^4/8\varepsilon_0^2h^2$, यही $n = 1$ स्तर है। $R = r\eu^{-r/b}$ और $l = 1$ के साथ वही प्रतिस्थापन $1/r^2$ वाले पद छोड़ता है (जो अपकेंद्री पद से निरस्त होते हैं), $1/r$ वाले पद (जो निरस्त होते हैं यदि $b = 2a$) और एक अचर, $E = -\hbar^2/2\mu b^2$, पिछले का एक-चौथाई: यही $n = 2$ स्तर है। सामान्य स्थिति, एक बहुपद गुणा $\eu^{-r/na}$, जिसकी श्रेणी को प्रसामान्यीकरणीय बने रहने के लिए समाप्त होना ही चाहिए, अधिक उन्नत पाठ्यक्रमों में दी जाती है। ∎

आंशिक उपपत्ति. अवरोध में श्रोडिंगर समीकरण $\psi'' = \kappa^2\psi$ हो जाता है, जिसके हल दो चरघातांकी हैं। दोनों भित्तियों पर $\psi$ और $\psi'$ का, बाहर की तरंगों $\eu^{\pm\iu kx}$ से, मिलान करने पर चार रैखिक समीकरण मिलते हैं; उनका हल, एक पृष्ठ का बीजगणित, $T$ का सूत्र है, जिसे स्वीकार किया गया है। बड़े $\kappa a$ के लिए $\sinh\kappa a \approx \frac12\eu^{\kappa a}$ प्रभावी होता है और मोटे अवरोध वाला रूप देता है। ∎