विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · स्नातक वर्ष 2

17आनत समष्टियाँ

सदिश समष्टियों में एक विशेषाधिकार प्राप्त बिंदु होता है — मूल बिंदु — जो ज्यामिति को नहीं चाहिए। आनत समष्टि वह सदिश समष्टि है जो अपना मूल बिंदु भूल चुकी है: बिंदु और सदिश अलग-अलग जातियाँ बन जाते हैं, जिन्हें स्थानांतरण जोड़ता है। यह छोटा अध्याय वह शब्दकोश बनाता है (बिंदु, बैरिकेंद्र, आनत उपसमष्टियाँ और प्रतिचित्रण), उत्तलता का आनत दृष्टिकोण, और आगे के ज्यामिति अध्यायों में काम आने वाले वर्गीकरण-औज़ार।

17.1 बिंदु और सदिश

परिभाषा 17.1

किसी वास्तविक सदिश समष्टि $E$ से दिशित आनत समष्टि कोई अरिक्त समुच्चय $\mathcal{E}$ है जिस पर ऐसा प्रतिचित्रण $(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E$ हो कि

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC} \quad \text{(शाल)}, \qquad \text{प्रत्येक } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ के लिए एकैकी आच्छादक } \mathcal{E} \to E .

और $\vect{AB} = u$ वाले अद्वितीय बिंदु को $B = A + u$ लिखा जाता है। $\mathcal{E}$ की विमा $\dim E$ है। हर सदिश समष्टि अपने ऊपर आनत समष्टि है ( $\vect{AB} = B - A$ ); और मूल बिंदु $O \in \mathcal{E}$ का हर चुनाव $M \mapsto \vect{OM}$ के द्वारा $\mathcal{E}$ को $E$ से पहचान देता है।

उदाहरण 17.2 (बिना स्वाभाविक मूल बिंदु की एक आनत समष्टि)

हल-समतल $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ सदिश उपसमष्टि नहीं है ( $0 \notin \mathcal E$ ), परंतु वह $E = \{x + y + z = 0\}$ से दिशित आनत समष्टि है: $A, B \in \mathcal E$ के लिए अंतर $\vect{AB} = B - A$ $E$ में उतरता है (योग कट जाते हैं), शाल $\R^3$ से विरासत में मिलती है, और $B \mapsto \vect{AB}$ $E$ पर एकैकी आच्छादक है। $\mathcal E$ का कोई बिंदु विशिष्ट नहीं है — “मूल बिंदु” का कोई भी चुनाव $O \in \mathcal E$ उतना ही अच्छा है, और सारी पहचानें $M \mapsto \vect{OM}$ स्थानांतरणों से भिन्न होती हैं। यही विशिष्ट स्थिति है: असमांगी रैखिक समस्याओं (रैखिक निकाय, अध्याय 16 में रैखिक अवकल समीकरण) के हल-समुच्चय आनत होते हैं, रैखिक कभी नहीं; और नारा “विशिष्ट हल जमा केंद्रक” ठीक अगली परिभाषा का कथन $\mathcal F = A + F$ है।

परिभाषा 17.3 (बैरिकेंद्र)

मान लीजिए $(A_i, \lambda_i)_{i \leq k}$ भारित बिंदु हैं जहाँ $\sum\lambda_i \neq 0$ । बैरिकेंद्र $G = \operatorname{bar}\bigl((A_i, \lambda_i)\bigr)$ वह अद्वितीय बिंदु है जिसके लिए

\sum_i \lambda_i\, \vect{GA_i} = 0 \qquad\text{समतुल्य रूप से}\qquad \vect{OG} = \frac{1}{\sum\lambda_i}\sum_i \lambda_i\,\vect{OA_i} \quad (\text{किसी भी } O).

बैरिकेंद्र साहचर्यी होते हैं (बिंदुओं के उपसमूहों के स्थान पर उनका आंशिक बैरिकेंद्र जोड़े गए भार के साथ रखा जा सकता है) और सारे भारों के मापन बदलने पर अपरिवर्त्य रहते हैं।

अस्तित्व और सूत्रों की उपपत्ति. $O$ स्थिर कीजिए और $s = \sum_i\lambda_i \neq 0$ लिखिए। शाल से

\sum_i\lambda_i\,\vect{GA_i} = 0 \iff \sum_i\lambda_i\bigl(\vect{GO} + \vect{OA_i}\bigr) = 0 \iff s\,\vect{OG} = \sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i},

जो $G = O + \frac1s\sum_i\lambda_i\vect{OA_i}$ को अद्वितीय रूप से निर्धारित कर देता है। $O$ से स्वतंत्रता: किसी अन्य मूल बिंदु $O'$ के लिए

\frac1s\sum_i\lambda_i\,\vect{O'A_i} = \frac1s\sum_i\lambda_i\bigl(\vect{O'O} + \vect{OA_i}\bigr) = \vect{O'O} + \frac1s\sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i} = \vect{O'G} :

अर्थात् वही बिंदु $G$ । साहचर्यता: सूचकांक समुच्चय को $s_I = \sum_{i\in I}\lambda_i \neq 0$ के साथ $I \sqcup J$ में बाँटिए, और $G_I$ को $(A_i, \lambda_i)_{i\in I}$ का बैरिकेंद्र लीजिए, ताकि $\sum_{i\in I}\lambda_i\vect{OA_i} = s_I\,\vect{OG_I}$ । तब

s\,\vect{OG} = \sum_{i\in I}\lambda_i\vect{OA_i} + \sum_{j\in J}\lambda_j\vect{OA_j} = s_I\,\vect{OG_I} + \sum_{j\in J}\lambda_j\vect{OA_j} :

अर्थात् $G$ $(G_I, s_I)$ तथा $(A_j, \lambda_j)_{j\in J}$ का बैरिकेंद्र है, जैसा दावा किया गया। मापन-परिवर्तन: हर $\lambda_i$ के स्थान पर $t\lambda_i$ ( $t \neq 0$ ) रखने से $s$ और भारित योग दोनों $t$ से गुणा हो जाते हैं, जिससे $\vect{OG}$ अपरिवर्तित रहता है। ∎

टिप्पणी 17.4 (सामान्य भूलें)

परिभाषा के चारों ओर दो जाल हैं। पहला, यदि भारों का योग शून्य हो तो कोई बैरिकेंद्र नहीं होता: तब प्रतिचित्रण $O \mapsto \sum\lambda_i\vect{OA_i}$ $O$ से स्वतंत्र हो जाता है और कोई सदिश परिभाषित करता है, बिंदु नहीं — उदाहरण के लिए $(A, -1;\ B, 1)$ $\vect{AB}$ को संकेतित करता है। किसी परिकलन से दोनों में से क्या निकल रहा है, इसका हिसाब रखना बैरिकेंद्रीय स्वच्छता का आधा हिस्सा है। दूसरा, भार केवल किसी साझे अशून्य गुणक तक ही अर्थपूर्ण होते हैं; और “ $G$ के निर्देशांक $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ हैं” जैसे सूत्र किसी सामान्यीकरण (प्रायः $\sum\lambda_i = 1$ ) को मान लेते हैं, तथा सामान्यीकरण भूल जाना किसी चित्र पर ग़लत अनुपातों का मानक स्रोत है।

परिभाषा 17.5 (आनत उपसमष्टियाँ; आनत प्रतिचित्रण)

आनत उपसमष्टि ऐसा समुच्चय $\mathcal{F} = A + F = \{A + u : u \in F\}$ है जिसके लिए $F$ कोई सदिश उपसमष्टि हो (उसकी दिशा); और समतुल्य रूप से, बैरिकेंद्रों के अंतर्गत स्थायी कोई अरिक्त समुच्चय। $\R^n$ की आनत उपसमष्टियाँ ठीक रैखिक निकायों $MX = B$ के हल-समुच्चय हैं (प्रथम वर्ष: विशिष्ट हल जमा केंद्रक)। कोई प्रतिचित्रण $f \colon \mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ आनत कहलाता है जब वह बैरिकेंद्र सुरक्षित रखे — समतुल्य रूप से, जब किसी (अद्वितीय) रैखिक प्रतिचित्रण $\varphi = \vec f$ , अर्थात् रैखिक भाग, के लिए

f(A + u) = f(A) + \varphi(u)

हो। $\R^n$ के आनत प्रतिचित्रण: $X \mapsto MX + C$ . संयोजन आनत होते हैं और उनके रैखिक भाग संयोजित; और $f$ एकैकी आच्छादक है तभी जब $\vec f$ हो।

प्रतिचित्रणों के लिए तुल्यता की उपपत्ति. यदि $f(A + u) = f(A) + \varphi(u)$ : तो $(A_i, \lambda_i)$ के किसी बैरिकेंद्र $G$ के लिए हर बिंदु को $A$ से खोलने पर $f(G) = f(A) + \varphi(\vect{AG})$ और $\varphi(\vect{AG}) = \frac{\sum\lambda_i\varphi(\vect{AA_i})}{\sum\lambda_i}$ : अर्थात् $f(G)$ प्रतिबिंबों का बैरिकेंद्र है। विलोमतः $A$ स्थिर कीजिए और $\varphi(u) = \vect{f(A)\,f(A + u)}$ परिभाषित कीजिए। समघातता: प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए $A + tu = \operatorname{bar}\bigl(A, 1-t;\ A + u, t\bigr)$ , अतः (परिकल्पना के अनुसार स्वेच्छ वास्तविक भारों वाले) बैरिकेंद्रों का सुरक्षित रहना सीधे $\varphi(tu) = t\,\varphi(u)$ दे देता है। योज्यता: $A + u + v = \operatorname{bar}\bigl(A + 2u, \tfrac12;\ A + 2v, \tfrac12\bigr)$ , अतः समघातता का उपयोग करके $\varphi(u + v) = \tfrac12\varphi(2u) + \tfrac12\varphi(2v) = \varphi(u) + \varphi(v)$ । इस प्रकार $\varphi$ रैखिक है। ∎

टिप्पणी 17.6

उपपत्ति ने स्वेच्छ वास्तविक भारों वाले बैरिकेंद्र काम में लिए: समघातता वाला पग $t$ को $\intcc01$ के बाहर ले जाता है। यदि किसी प्रतिचित्रण के बारे में केवल यह माना जाए कि वह अऋणात्मक भारों वाले बैरिकेंद्र सुरक्षित रखता है — अर्थात् मध्यबिंदु और खंड — तो सदिश प्रतिचित्रण की रैखिकता मुफ़्त में नहीं मिलती: केवल $\Q$ -रैखिकता मिलती है, और निष्कर्ष के लिए कोई संततता परिकल्पना चाहिए, ठीक जैसा अभ्यास 17.5 में। “सारे बैरिकेंद्र सुरक्षित रखता है” और “उत्तल संचय सुरक्षित रखता है” में भेद करना आनत शब्दावली की एक छोटी पर सच्ची सूक्ष्मता है।

उदाहरण 17.7 (क्लासिक बैरिकेंद्रीय ज्यामिति)

त्रिभुज $ABC$ का गुरुत्व केंद्र बैरिकेंद्र $G = \operatorname{bar}(A,1; B,1; C,1)$ है। मध्यबिंदु $A' = \operatorname{bar}(B, 1; C, 1)$ के साथ साहचर्यता दिखाती है

G = \operatorname{bar}(A, 1;\ A', 2) :

अर्थात् $G$ माध्यिका $AA'$ पर उसके दो-तिहाई भाग पर पड़ता है — और शेष दोनों माध्यिकाओं के लिए भी वैसा ही: इस प्रकार तीनों माध्यिकाएँ संगामी हैं, और वह भी बैरिकेंद्रीय कलन की एक ही पंक्ति में।

उदाहरण 17.8 (किसी चतुर्भुज की द्वि-माध्यिकाएँ)

मान लीजिए $ABCD$ कोई भी चतुर्भुज है (समतलीय हो या न हो!) और उसकी द्वि-माध्यिकाएँ लीजिए: अर्थात् आमने-सामने की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले खंड $M_{AB}M_{CD}$ और $M_{BC}M_{DA}$ । $(A,1; B,1; C,1; D,1)$ का बैरिकेंद्र $G$ लीजिए और भारों को दो तरह से समूहबद्ध कीजिए:

G = \operatorname{bar}\bigl(M_{AB}, 2;\ M_{CD}, 2\bigr) = \operatorname{bar}\bigl(M_{BC}, 2;\ M_{DA}, 2\bigr) :

अर्थात् $G$ दोनों द्वि-माध्यिकाओं का मध्यबिंदु है — इसलिए दोनों द्वि-माध्यिकाएँ सदा एक-दूसरे को समद्विभाजित करती हैं, और चारों मध्यबिंदुओं का चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज है (उसके विकर्ण वही द्वि-माध्यिकाएँ हैं)। न कोई स्थिति-विश्लेषण, न निर्देशांक, और यह तर्क $\R^3$ में किसी विषमतलीय चतुर्भुज के लिए भी ज्यों का त्यों चलता है, जहाँ चित्र पर आधारित उपपत्ति पहले ही नाज़ुक हो जाती: साहचर्यता को विमा से कोई मतलब नहीं।

उदाहरण 17.9 (किसी आनत प्रतिचित्रण का वर्गीकरण, आरंभ से अंत तक)

$\R^2$ पर $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ लीजिए। उसका रैखिक भाग $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$ है, जिसका वर्णक्रम $\{2, 3\}$ $1$ से बचा रहता है: अतः नीचे सिद्ध की गई अचल-बिंदु कसौटी (प्रतिज्ञप्ति 17.17) से $f$ का ठीक एक अचल बिंदु है, जो

x = 2x - 1, \qquad y = 3y - 4 \qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = (1, 2).

हल करने पर मिलता है। $\Omega$ पर पुनःकेंद्रण ( $x = 1 + u$ , $y = 2 + v$ रखिए):

f(1 + u,\ 2 + v) = (1 + 2u,\ 2 + 3v) :

अर्थात् $\Omega$ वाले ढाँचे में $f$ ही उसका रैखिक भाग है: एक असमदैशिक विस्फारण, जो केंद्र $(1, 2)$ से क्षैतिज दिशा में $2$ और ऊर्ध्वाधर में $3$ गुना खींचता है। सामान्य पाठ: कोई आनत प्रतिचित्रण “रैखिक प्रतिचित्रण जमा स्थान-सूचना” है, और जब भी $1$ अभिलक्षणिक मान न हो तब वह स्थान-सूचना किसी एक अच्छी तरह चुने गए मूल बिंदु पर सिमट जाती है। विलोमतः मूल बिंदु को ग़लत जगह ले जाने से अचर पद बन जाते हैं: आनत ज्यामिति यह चुनने की कला है कि $0$ कहाँ रखा जाए।

टिप्पणी 17.10 (विधि: बैरिकेंद्रों से संगामिता और संरेखता)

उदाहरण 17.7 इसी सामान्य विधि का एक उदाहरण है। किसी त्रिभुज की तीन चेवियन संगामी हैं, यह सिद्ध करने के लिए कोई एक भारित निकाय $(A, \alpha; B, \beta; C, \gamma)$ दिखाइए और साहचर्यता तीन तरह से लगाइए: $(B, C)$ समूहबद्ध करने पर बैरिकेंद्र $A$ से आने वाली चेवियन पर दिखता है, $(C, A)$ समूहबद्ध करने पर $B$ से आने वाली पर, और $(A, B)$ समूहबद्ध करने पर तीसरी पर। माध्यिकाओं के लिए निकाय $(A, 1; B, 1; C, 1)$ सारा काम कर देता है; और नियत अनुपातों में भुजाएँ काटने वाली चेवियनों के लिए भार उन्हीं अनुपातों से पढ़ लिए जाते हैं। और तीन बिंदुओं की संरेखता सिद्ध करने के लिए एक को शेष दो का बैरिकेंद्र लिखिए (अभ्यास 17.2), अथवा अभ्यास 17.11 की सारणिक-कसौटी काम में लीजिए। दोनों विधियाँ ज्यामितीय चतुराई के स्थान पर भार का लेखा-जोखा रख देती हैं — और बैरिकेंद्रीय कलन ठीक इसी के लिए है।

17.2 उत्तलता, आनत रूप में

परिभाषा 17.11

किसी आनत समष्टि का उपसमुच्चय $C$ उत्तल कहलाता है जब वह अपने बिंदुओं के अऋणात्मक भारों वाले हर बैरिकेंद्र को समाहित करे — समतुल्य रूप से, अपने बिंदुओं के बीच का हर खंड $\intcc{A}{B} = \{\operatorname{bar}(A, 1-t; B, t) : t \in \intcc{0}{1}\}$ । उत्तल कवच $\operatorname{conv}(S)$ $S$ के बिंदुओं के सभी अऋणात्मक-भार बैरिकेंद्रों का समुच्चय है — अर्थात् $S$ को समाहित करने वाला सबसे छोटा उत्तल समुच्चय।

उदाहरण 17.12 (अधिआलेख उत्तल समुच्चय होते हैं)

परवलय के ऊपर का क्षेत्र $C = \{(x, y) : y \geq x^2\}$ उत्तल है: $(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in C$ और $t \in \intcc01$ के लिए वर्ग फलन की उत्तलता असमिका देती है

\bigl((1-t)x_1 + tx_2\bigr)^2 \leq (1-t)x_1^2 + tx_2^2 \leq (1-t)y_1 + ty_2 ,

अतः बैरिकेंद्र परवलय के ऊपर ही रहता है। यह परिकलन सामान्य है: $\{y \geq f(x)\}$ ठीक तब उत्तल है जब $f$ उत्तल फलन हो — अर्थात् उत्तल समुच्चय और उत्तल फलन (अध्याय 8) एक ही धारणा के दो चेहरे हैं, और अधिआलेख उनका शब्दकोश। और यही वह ज्यामितीय कारण है कि उत्तल फलनों की अवलंब रेखाएँ विद्यमान होती हैं — वही तथ्य जो अध्याय 22 में जेनसन की असमिका सिद्ध करेगा।

उदाहरण 17.13 (किसी उत्तल कवच के अनावश्यक जनक)

$S = \{(0,0), (2,0), (2,2), (0,2), (1,1)\}$ लीजिए। पाँचवाँ बिंदु बैरिकेंद्र

(1,1) = \operatorname{bar}\bigl((0,0), \tfrac12;\ (2,2), \tfrac12\bigr),

है, अतः वह पहले ही शेष चारों के कवच में पड़ा है: $\operatorname{conv}(S)$ वही वर्ग है जिसके चारों कोने शीर्ष हैं। सामान्य रूप में $S$ का वह बिंदु जो $S$ के शेष बिंदुओं का अऋणात्मक-भार बैरिकेंद्र हो, कवच बदले बिना हटाया जा सकता है; और जिन बिंदुओं को कभी नहीं हटाया जा सकता (यहाँ चारों कोने) वे कवच के चरम बिंदु हैं। उनका निर्धारण विशुद्ध बैरिकेंद्रीय परिकलन है: मान लीजिए $(2,0)$ को शेष बिंदुओं के अऋणात्मक भारों वाले $\operatorname{bar}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, क्योंकि पहला निर्देशांक सारा भार $x = 2$ वाले बिंदुओं पर डाल देता है और तब दूसरा निर्देशांक विफल हो जाता है। उत्तलता के प्रश्न बार-बार छोटे भारित निकाय हल करने पर सिमट आते हैं।

प्रमेय 17.14 (कारेथेओदोरी)

विमा $n$ की आनत समष्टि में $\operatorname{conv}(S)$ का हर बिंदु $S$ के अधिकतम $n + 1$ बिंदुओं का बैरिकेंद्र होता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $\lambda_i > 0$ , $\sum\lambda_i = 1$ तथा $k + 1 > n + 1$ बिंदुओं के साथ $G = \operatorname{bar}(A_0, \lambda_0; \dots; A_k, \lambda_k)$ । $k$ सदिश $\vect{A_0A_i}$ ( $i \geq 1$ ) परस्पर जुड़े हैं ( $k > n$ ): अतः $\sum_{i\geq1}\mu_i \vect{A_0A_i} = 0$ अतुच्छ रूप से; और $\mu_0 = -\sum_{i\geq1}\mu_i$ रखने पर भार $(\mu_i)$ मिलते हैं जिनके लिए $\sum\mu_i = 0$ , $\sum \mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ (कोई भी $O$ ), और सब शून्य नहीं। तब प्रत्येक वास्तविक $t$ के लिए भार $\lambda_i - t\mu_i$ का योग तब भी $1$ रहता है, और चूँकि $\sum_i\mu_i\vect{OA_i} = 0$ ,

\sum_i(\lambda_i - t\mu_i)\,\vect{OA_i} = \sum_i\lambda_i\,\vect{OA_i} :

वे वही बिंदु $G$ देते हैं। अब $t$ को $0$ से सरकाइए: कोई $\mu_i$ धनात्मक है (उनका योग शून्य है और सब शून्य नहीं), अतः

t^* = \min\Bigl\{\frac{\lambda_i}{\mu_i} : \mu_i > 0\Bigr\}

सुपरिभाषित और धनात्मक है। $t = t^*$ पर: $\mu_i > 0$ वाले सूचकांकों के लिए न्यूनतमता से $\lambda_i - t^*\mu_i \geq 0$ , और किसी न्यूनतमकारी सूचकांक पर समता; और $\mu_i \leq 0$ वाले सूचकांकों के लिए $\lambda_i - t^*\mu_i \geq \lambda_i > 0$ । इस प्रकार सारे भार अऋणात्मक बने रहते हैं और कम से कम एक मर जाता है: अर्थात् $G$ कम बिंदुओं के बैरिकेंद्र के रूप में फिर से लिखा जाता है। और जब तक $n + 1$ से अधिक बिंदु बचे हों तब तक दोहराइए। ∎

उदाहरण 17.15

समतल में ( $n = 2$ ): किसी परिमित समुच्चय के उत्तल कवच का हर बिंदु उसी समुच्चय के शीर्षों वाले किसी त्रिभुज में पड़ता है — यही कारेथेओदोरी की ज्यामितीय सामग्री है, जो अनुकूलन और प्रायिकता (मिश्रण) दोनों में काम आती है।

उदाहरण 17.16 (कारेथेओदोरी की कलनविधि चलाकर)

उदाहरण 17.13 के वर्ग का केंद्र उसके चारों कोनों $A_1 = (0,0)$ , $A_2 = (2,0)$ , $A_3 = (2,2)$ , $A_4 = (0,2)$ से लिखिए:

(1,1) = \operatorname{bar}\bigl(A_1, \tfrac14;\ A_2, \tfrac14;\ A_3, \tfrac14;\ A_4, \tfrac14\bigr),

अर्थात् विमा $2$ में चार बिंदु — एक अधिक। उपपत्ति की विधि $\sum\mu_i = 0$ तथा $\sum\mu_i\vect{OA_i} = 0$ वाले भार $(\mu_i)$ माँगती है: यहाँ $\mu = (1, -1, 1, -1)$ काम कर जाता है (दोनों विकर्णों का मध्यबिंदु साझा है)। $\lambda_i \mapsto \lambda_i - t\mu_i$ को सरकाने पर प्रत्येक $t$ के लिए बैरिकेंद्र अपरिवर्तित रहता है; और चरम स्वीकार्य मान $t = \frac14$ भारों को $(0, \tfrac12, 0, \tfrac12)$ बना देता है, जो $A_1$ और $A_3$ दोनों को एक साथ मार देता है:

(1,1) = \operatorname{bar}\bigl(A_2, \tfrac12;\ A_4, \tfrac12\bigr),

अर्थात् दो बिंदुओं से निरूपण — और यह प्रमेय की गारंटी वाले तीन से भी बेहतर है, क्योंकि यहाँ केंद्र संयोग से जनकों के बीच के किसी खंड पर पड़ता है। कलनविधि पूरी तरह यांत्रिक है: कोई परतंत्रता ढूँढ़िए, तब तक सरकाइए जब तक कोई भार मर जाए, और दोहराइए।

17.3 आनत वर्गीकरण के औज़ार

प्रतिज्ञप्ति 17.17 (आनत प्रतिचित्रणों के अचल बिंदु)

मान लीजिए $f$ किसी परिमित-विमीय आनत समष्टि का आनत अंतःरूपांतरण है जिसका रैखिक भाग $\varphi$ है। यदि $1 \notin \operatorname{Sp}(\varphi)$ , तो $f$ का ठीक एक अचल बिंदु $\Omega$ है, और $\Omega$ पर सदिशीकरण में $f$ ही उसका रैखिक भाग है। (स्थानांतरण, जिनके लिए $\varphi = \mathrm{id}$ और कोई अचल बिंदु नहीं, मूल बाधा हैं।)

उपपत्ति. $O$ स्थिर कीजिए और $f(O + x) = f(O) + \varphi(x)$ लिखिए। बिंदु $O + x$ अचल है तभी जब $O + x = f(O) + \varphi(x)$ , अर्थात्

(\mathrm{id} - \varphi)(x) = \vect{O f(O)} .

परिमित विमा में $\mathrm{id} - \varphi$ प्रतिलोमनीय है तभी जब $0$ $\mathrm{id} - \varphi$ का अभिलक्षणिक मान न हो, अर्थात् तभी जब $1 \notin \operatorname{Sp}\varphi$ — और उस स्थिति में प्रदर्शित समीकरण का ठीक एक हल $x^*$ है, जो अद्वितीय अचल बिंदु $\Omega = O + x^*$ देता है। पुनःकेंद्रण: किसी भी सदिश $u$ के लिए

f(\Omega + u) = f(\Omega) + \varphi(u) = \Omega + \varphi(u),

अतः मूल बिंदु $\Omega$ वाले ढाँचे में प्रतिचित्रण $u \mapsto \varphi(u)$ पढ़ा जाता है: अर्थात् विशुद्ध रैखिक। और $1 \in \operatorname{Sp}\varphi$ होने पर या तो कोई अचल बिंदु विद्यमान ही नहीं होता (प्रदर्शित समीकरण अहल्य हो सकता है, जैसे किसी स्थानांतरण के लिए) या उनकी पूरी आनत उपसमष्टि होती है (किसी हल में अभिलक्षणिक मान $1$ का कोई भी अभिलक्षणिक सदिश जोड़ दीजिए): अतः अद्वितीयता ठीक वही वर्णक्रमीय शर्त है। ∎

उदाहरण 17.18 (समतलीय समदूरिक प्रतिचित्रण, पूरे)

यूक्लिडीय समतल के किसी आनत समदूरिक प्रतिचित्रण का रैखिक भाग $O(2)$ में होता है: कोई घूर्णन $R_\theta$ अथवा कोई परावर्तन (प्रथम वर्ष का खंड)। यदि $\theta \neq 0$ : तो $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$ , अतः प्रतिचित्रण किसी अद्वितीय केंद्र के परितः घूर्णन है (प्रतिज्ञप्ति 17.17)। और यदि रैखिक भाग कोई परावर्तन हो: तो या तो किसी अक्ष में परावर्तन (अचल बिंदु विद्यमान) अथवा कोई सर्पी परावर्तन (अक्ष के अनुदिश स्थानांतरण के साथ संयोजित परावर्तन, बिना किसी अचल बिंदु के)। स्थानांतरणों को मिलाकर यही समतलीय समदूरिक प्रतिचित्रणों का पूरा वर्गीकरण है।

टिप्पणी 17.19 (समतलीय समदूरिक प्रतिचित्रण, एक नज़र में)

स्थितियाँ इकट्ठी कीजिए: तत्समक; स्थानांतरण ( $\vec f = \mathrm{id}$ , और तुच्छ को छोड़कर कोई अचल बिंदु नहीं); घूर्णन (रैखिक भाग $R_\theta$ , $\theta \neq 0$ : एक केंद्र); परावर्तन (रैखिक भाग कोई परावर्तन, और अचल बिंदुओं की एक रेखा); तथा सर्पी परावर्तन (वही रैखिक भाग, पर कोई अचल बिंदु नहीं)। अर्थात् तत्समक के अतिरिक्त चार कुल, और हर एक केवल दो आँकड़ों से पहचाना जाता है: रैखिक भाग और अचल-बिंदु समुच्चय — यानी प्रतिज्ञप्ति 17.17 का ढर्रा, पूरी तरह गिनाया हुआ।

उदाहरण 17.20 (एक सर्पी परावर्तन, रंगे हाथ पकड़ा हुआ)

$f(x, y) = (y + 1,\ x + 1)$ लीजिए। रैखिक भाग $(x, y) \mapsto (y, x)$ विकर्ण $y = x$ में परावर्तन है, अतः $1 \in \operatorname{Sp}\vec f$ और प्रतिज्ञप्ति 17.17 चुप है। अचल बिंदुओं के लिए एक साथ $x = y + 1$ तथा $y = x + 1$ चाहिए: जो असंभव है — अतः कोई अचल बिंदु नहीं, इसलिए $f$ परावर्तन नहीं है। वर्ग करने से वर्गीकरण तय हो जाता है:

f\bigl(f(x, y)\bigr) = f(y + 1,\ x + 1) = (x + 2,\ y + 2),

अर्थात् $(2, 2)$ से स्थानांतरण: इसलिए $f$ वह सर्पी परावर्तन है जिसका अक्ष रेखा $y = x$ है (उपयुक्त रूप से खिसकाई हुई: $M$ और $f(M)$ का मध्यबिंदु सदा $y = x + {}$ अचर पर पड़ता है, यहाँ $y = x$ , जैसा $M = (0, 0) \mapsto (1,1)$ पर जाँचा जा सकता है) और सर्पण सदिश $(1, 1)$ है, जो $f \circ f$ का आधा है। इसकी तुलना अभ्यास 17.6 से कीजिए, जहाँ वही रैखिक भाग पर भिन्न अचर पद सच्चा परावर्तन देता है: अभिलक्षणिक मान $1$ के उपस्थित होने पर अचर पद ही सब कुछ तय करता है।

उदाहरण 17.21 (आनत पुनरावृत्तियाँ आनत गतिकी हैं)

क्लासिक पुनरावृत्ति $u_{n+1} = au_n + b$ ( $a \neq 1$ ) रेखा के आनत प्रतिचित्रण $f(x) = ax + b$ को दोहराती है, जिसका रैखिक भाग $a$ अभिलक्षणिक मान $1$ से बचा रहता है: अतः कोई अद्वितीय अचल बिंदु $\omega = \frac{b}{1-a}$ है, और वहाँ पुनःकेंद्रण करने पर (ऊपर वाली प्रतिज्ञप्ति की एक-विमीय स्थिति) $f$ $a$ से गुणन बन जाता है:

u_{n+1} - \omega = a\,(u_n - \omega) \qquad\Longrightarrow\qquad u_n = \omega + a^n(u_0 - \omega) .

$u_{n+1} = \frac{u_n}2 + 3$ के लिए: $\omega = 6$ और $u_n = 6 + (u_0 - 6)2^{-n} \to 6$ । ऐसी पुनरावृत्तियों के लिए अध्याय 7 में सिखाई गई विधि — “अचल बिंदु घटा दीजिए” — ठीक किसी आनत प्रतिचित्रण का उसके अचल बिंदु पर सदिशीकरण है; और $\abs a < 1$ के लिए अभिसरण वही संकुचन-परिघटना है जिसे अध्याय 4 ने बानाख अचल बिंदु प्रमेय बना दिया। एक विचार, तीन अध्याय।

उदाहरण 17.22 (किसी घूर्णन का केंद्र ढूँढ़ना)

$f(x, y) = (-y + 2,\ x)$ लीजिए। रैखिक भाग $\varphi(x, y) = (-y, x)$ है: अर्थात् कोण $\frac\pi2$ का घूर्णन, जिसका वर्णक्रम $\{\iu, -\iu\}$ $1$ से बचा रहता है। प्रतिज्ञप्ति 17.17 के अनुसार ठीक एक अचल बिंदु है: $x = -y + 2$ और $y = x$ $x = 1$ , $y = 1$ देते हैं, अतः $\Omega = (1, 1)$ , और $f$ केंद्र $(1, 1)$ तथा कोण $\frac\pi2$ का घूर्णन ही है। सामान्य पाठ: जब $1 \notin \operatorname{Sp}\vec f$ हो, तब $f$ के वर्गीकरण की क़ीमत एक रैखिक निकाय है — ज्यामिति पूरी तरह रैखिक भाग में है और अंकगणित पूरी तरह केंद्र ढूँढ़ने में।

टिप्पणी 17.23 (आनत भाषा आगे कहाँ काम आती है)

बैरिकेंद्र और आनत प्रतिचित्रण आगे के ज्यामिति अध्यायों का व्याकरण हैं: स्पर्श रेखाएँ और समतल आनत वस्तुएँ हैं (अध्याय 18 और 19), आनत चर-परिवर्तन क्षेत्रफल और आयतन को $\abs{\det \vec f}$ से गुणा कर देता है (अध्याय 20), और प्रत्याशा किसी प्रायिकता वितरण से मिले भारों वाला बैरिकेंद्र है, और इसीलिए उत्तलता जेनसन की असमिका पर शासन करती है (अध्याय 22)। तृतीय वर्ष के खंड में यही उत्तलता-शब्दावली $L^p$ मानदंडों तथा समाकल असमिकाओं का अध्ययन उठाए चलती है।

टिप्पणी 17.24 (इसी खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य)

इस अध्याय से दो धागे निकलते हैं। आनत धागा: स्पर्श रेखाएँ (अध्याय 18) और स्पर्श समतल (अध्याय 19) अरैखिक वस्तुओं से जुड़ी आनत उपसमष्टियाँ हैं, और पृष्ठ वाले अध्याय में द्विघातीय पृष्ठों का वर्गीकरण इसी अध्याय के केंद्र-समीकरण $A\Omega = -b$ पर चलता है। और उत्तल धागा लंबा है: अर्धसमतलों तथा चक्रिकाओं की उत्तलता सप्ताहांत समस्या का हेली-सिद्धांत चलाती है; फलनों की उत्तलता जेनसन की असमिका देती है (अध्याय 22); और पुस्तक की अंतिम प्रमेय — शाखन प्रक्रियाओं के लिए विलोपन-कसौटी (अध्याय 23) — विकर्ण के सापेक्ष किसी उत्तल वक्र की स्थिति से तय होती है, और वह चित्र जितना प्रायिकता का है उतना ही इस अध्याय का भी। बैरिकेंद्र भी वहाँ लौटते हैं: कोई प्रत्याशा प्रायिकता-भारों वाला बैरिकेंद्र ही है।

17.4 अभ्यास

अभ्यास 17.1 ★

$\R^3$ में क्या निम्नलिखित आनत उपसमष्टियाँ हैं? दिशाएँ और विमाएँ दीजिए। $\{x + y + z = 1\}$ ; $\;\{x + y + z = 1,\ x - z = 3\}$ ; $\;\{x^2 + y^2 = 1\}$ ; और किसी दिए हुए संगत निकाय $MX = B$ का हल-समुच्चय।

हल

हल — अभ्यास 17.1.

$\{x + y + z = 1\}$ : आनत समतल, जिसकी दिशा सदिश समतल $\{x + y + z = 0\}$ और विमा $2$ है। $x - z = 3$ जोड़ने पर: कोई आनत रेखा (दो स्वतंत्र समीकरण), दिशा $\{x + y + z = 0,\ x = z\} = \operatorname{Vect}\bigl((1, -2, 1)\bigr)$ , विमा $1$ । $\{x^2 + y^2 = 1\}$ : एक बेलन — बैरिकेंद्रों के अंतर्गत स्थायी नहीं ( $(1,0,0)$ और $(-1,0,0)$ का मध्यबिंदु मूल बिंदु है, जो बेलन पर नहीं): अतः आनत नहीं। और कोई संगत निकाय $MX = B$ : विमा $\dim\ker M$ की आनत उपसमष्टि $X_0 + \ker M$ , जैसा परिभाषा 17.5 में स्मरण किया गया।

अभ्यास 17.2 ★

सिद्ध कीजिए कि किसी आनत समष्टि के तीन भिन्न बिंदु $A, B, C$ संरेख हैं तभी जब $C$ $A$ और $B$ का बैरिकेंद्र हो, तभी जब सदिश $\vect{AB}, \vect{AC}$ परस्पर जुड़े हों। इससे मेनेलौस-शैली का भार-लेखा निष्कर्ष रूप में निकालिए: यदि $C = \operatorname{bar}(A, 1 - t; B, t)$ , तो $t = \frac12$ , $t = 2$ , $t = -1$ के लिए $C$ ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.2.

$C = \operatorname{bar}(A, 1-t; B, t)$ का अर्थ है $\vect{AC} = t\,\vect{AB}$ : और ऐसे $t$ का अस्तित्व ठीक $\vect{AC}$ का $\vect{AB} \neq 0$ के साथ जुड़ा होना है, अर्थात् संरेखता। स्थितियाँ: $t = \frac12$ : मध्यबिंदु; $t = 2$ : $B$ से आगे, उससे $B$ की दूरी पर ( $\vect{AC} = 2\vect{AB}$ ); $t = -1$ : $A$ से होकर $B$ का परावर्तन।

अभ्यास 17.3 ★

मान लीजिए $f$ $\R^2$ का वह आनत प्रतिचित्रण है जो $M = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ तथा $C = (1, 0)^{\mathsf T}$ के साथ $f(X) = MX + C$ से दिया गया है। $f$ का प्रतिबिंब, उसके अचल बिंदु (यदि कोई हों), और $f \circ f$ निर्धारित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.3.

$M$ $(1,-1)$ के अनुदिश $\operatorname{Vect}(1,1)$ पर प्रक्षेप आव्यूह है ( $M^2 = M$ जाँचिए)। $f$ का प्रतिबिंब: $\{MX + C\} = C + \operatorname{im} M$ : अर्थात् $(1,1)$ से दिशित $(1,0)$ से होकर जाने वाली आनत रेखा। अचल बिंदु: $X = MX + C$ , अर्थात् $(I - M)X = C$ ; परंतु $C = (1, 0)^{\mathsf T}$ और $\operatorname{im}(I - M) = \operatorname{Vect}(1,-1)$ ; क्या $(1,0)$ उसमें है? $(1, 0) = \alpha(1,-1)$ $\alpha = 1$ तथा $0 = -1$ को बाध्य कर देता है: नहीं। अतः कोई अचल बिंदु नहीं। और

f(f(X)) = M(MX + C) + C = MX + MC + C = f(X) + MC, \qquad MC = \tfrac12(1,1)^{\mathsf T} :

$f\circ f$ $f$ के बाद प्रतिबिंब-रेखा के अनुदिश स्थानांतरण है — अर्थात् $f$ एक “सर्पी प्रक्षेप” है: रेखा पर प्रक्षेप के साथ संयोजित सर्पण।

अभ्यास 17.4 ★★

(साहचर्यता क्रिया में) किसी त्रिभुज $ABC$ में मान लीजिए $I, J, K$ $BC$ , $CA$ , $AB$ को क्रमशः अनुपातों $\vect{BI} = \frac13\vect{BC}$ , $\vect{CJ} = \frac13\vect{CA}$ , $\vect{AK} = \frac13\vect{AB}$ में बाँटते हैं। $I, J, K$ को बैरिकेंद्रों के रूप में व्यक्त कीजिए और $(I,1;J,1;K,1)$ का बैरिकेंद्र परिकलित कीजिए: आपको क्या मिलता है, और वह पहले से ही अनुमेय क्यों था?

हल

हल — अभ्यास 17.4.

$I = \operatorname{bar}(B, 2; C, 1)$ (क्योंकि $\vect{BI} = \frac13\vect{BC}$ $I$ को $B$ के अधिक निकट रखता है: $B$ पर भार $2$ , $C$ पर $1$ — जाँचिए: $\vect{BI} = \frac{1}{3}\vect{BC}$ )। इसी प्रकार $J = \operatorname{bar}(C, 2; A, 1)$ , $K = \operatorname{bar}(A, 2; B, 1)$ । तीनों भारित निकाय जोड़ने पर $(I, 1; J, 1; K, 1)$ का बैरिकेंद्र (हर एक का कुल भार $3$ है, अतः $I$ के स्थान पर उसका निकाय रखिए, इत्यादि)

\operatorname{bar}\bigl(A, 1 + 2;\ B, 2 + 1;\ C, 1 + 2\bigr) = \operatorname{bar}(A, 1; B, 1; C, 1) = G ,

है, अर्थात् $ABC$ का गुरुत्व केंद्र: इस प्रकार त्रिभुज $IJK$ का गुरुत्व केंद्र वही है — और यह अनुमेय था, क्योंकि रचना $A, B, C$ को चक्रीय रूप से बरतती है और गुरुत्व केंद्र भारों की चक्रीय सममिति का अद्वितीय अचल बिंदु है।

अभ्यास 17.5 ★★

सिद्ध कीजिए कि मध्यबिंदु सुरक्षित रखने वाला ( $f\bigl(\frac{A+B}{2}\bigr) = \frac{f(A) + f(B)}{2}$ ) और संतत प्रतिचित्रण $f \colon \R^n \to \R^n$ आनत होता है। (दिखाइए कि सदिश प्रतिचित्रण $u \mapsto f(O + u) - f(O)$ मध्यबिंदुओं के द्वारा योज्य है, फिर $\Q$ -समघातीय, फिर संततता से $\R$ -समघातीय — वही सघनता वाली रणनीति जो प्रथम वर्ष के खंड में कोशी के फलनात्मक समीकरण के लिए प्रयुक्त हुई थी; आवश्यक पग यहीं फिर से निकालिए।)

हल

हल — अभ्यास 17.5.

$g(u) = f(O + u) - f(O)$ रखिए ( $O$ पर सदिशीकृत $\R^n$ में काम करते हुए), $g(0) = 0$ ।

योज्यता: $\frac{(O + u) + (O + v)}{2} = O + \frac{u + v}{2}$ , अतः मध्यबिंदु का सुरक्षित रहना $g\bigl(\frac{u+v}{2}\bigr) = \frac{g(u) + g(v)}{2}$ देता है; और $v = 0$ के साथ: $g(u/2) = g(u)/2$ ; दोनों मिलाकर $g(u + v) = 2g\bigl(\frac{u+v}{2}\bigr) = g(u) + g(v)$ ।

$\Q$ -समघातता: योज्यता $g(nu) = ng(u)$ देती है ( $n \in \N$ , आगमन), फिर $g(-u) = -g(u)$ (जोड़िए), फिर $g(\frac pq u) = \frac pq g(u)$ ( $q$ लगाइए, और मापन के एकैकीपन का उपयोग कीजिए)।

$\R$ -समघातता: $t \in \R$ के लिए परिमेय $t_n \to t$ लीजिए: $g(t_nu) = t_ng(u)$ , और $g$ की संततता (जो $f$ से विरासत में मिली) सीमा तक ले जाती है: $g(tu) = tg(u)$ । अतः $g$ रैखिक है और $f = f(O) + g$ : यानी आनत।

अभ्यास 17.6 ★★

यूक्लिडीय समतल के आनत प्रतिचित्रण $f(x, y) = (y + 1,\; x - 1)$ का वर्गीकरण कीजिए: रैखिक भाग, अचल बिंदु, ज्यामितीय प्रकृति (परावर्तन? सर्पी?)। $f \circ f$ परिकलित कीजिए और निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 17.6.

रैखिक भाग $\varphi(x,y) = (y, x)$ : विकर्ण $y = x$ में परावर्तन (लांबिक, सारणिक $-1$ )। अचल बिंदु: $(x, y) = (y + 1, x - 1)$ अकेले समीकरण $y = x - 1$ पर सिमट आता है (दोनों घटक तुल्य हैं): अतः रेखा $y = x - 1$ का हर बिंदु अचल है। इस प्रकार $f$ उस रेखा को बिंदुवार अचल रखता है: $f$ उसी अक्ष में परावर्तन है (अचल बिंदुओं की एक रेखा तथा परावर्तन रैखिक भाग वाला समदूरिक प्रतिचित्रण)। और इसके अनुरूप $f \circ f(x,y) = f(y+1, x-1) = (x - 1 + 1, y + 1 - 1) = (x, y)$ : अर्थात् अंतर्वलन, जैसा किसी परावर्तन को होना ही चाहिए।

अभ्यास 17.7 ★★★

(रादों) मान लीजिए $A_1, \dots, A_{n+2}$ विमा $n$ की किसी आनत समष्टि के बिंदु हैं। सिद्ध कीजिए कि उन्हें ऐसे दो असंयुक्त समूहों में बाँटा जा सकता है जिनके उत्तल कवच प्रतिच्छेद करते हैं। (कारेथेओदोरी की उपपत्ति की तरह ऐसे भार $\mu_i$ ढूँढ़िए जो सब शून्य न हों और $\sum\mu_i = 0$ तथा $\sum\mu_i\vect{OA_i} = 0$ पूरा करें; फिर धनात्मक और ऋणात्मक भार अलग कीजिए और दोनों पक्षों का सामान्यीकरण कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 17.7.

$i \geq 2$ सदिश $\vect{A_1A_i}$ ( $n + 1$ ) विमा $n$ में परस्पर जुड़े हैं: अतः ऐसे $\mu_i$ हैं जो सब शून्य नहीं और $\sum_{i\geq2} \mu_i\vect{A_1A_i} = 0$ ; $\mu_1 = -\sum_{i \geq 2}\mu_i$ रखिए, तब $\sum_{i}\mu_i = 0$ और प्रत्येक $O$ के लिए $\sum_i \mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ , जहाँ सारे $\mu_i$ शून्य नहीं। सूचकांकों को बाँटिए: $P = \{i : \mu_i > 0\}$ , $N = \{i : \mu_i < 0\}$ , और दोनों अरिक्त ( $\mu_i$ का योग शून्य है और वे सब शून्य नहीं)। $s = \sum_{i\in P}\mu_i = -\sum_{i \in N}\mu_i > 0$ के साथ:

\operatorname{bar}\bigl(A_i, \tfrac{\mu_i}{s}\bigr)_{i \in P} = \operatorname{bar}\bigl(A_i, \tfrac{-\mu_i}{s}\bigr)_{i \in N},

(दोनों पक्ष उसी संबंध से $\vect{OX} = \frac1s\sum_{i\in P}\mu_i\vect{OA_i}$ वाला बिंदु $X$ देते हैं): अर्थात् दोनों उत्तल कवचों का कोई साझा बिंदु, और सूचकांक-समूह असंयुक्त।

अभ्यास 17.8 ★★★

मान लीजिए $f$ $\R^n$ का आनत अंतःरूपांतरण है जहाँ $f \circ f = f$ । सिद्ध कीजिए कि $f$ दिशा $\ker\vec f$ के अनुदिश आनत उपसमष्टि $\operatorname{Fix}(f) = \operatorname{im} f$ पर आनत प्रक्षेप है, और विलोमतः ऐसे सारे प्रक्षेप वर्गसम होते हैं। (पहले दिखाइए कि $\operatorname{im} f$ अचल बिंदुओं से बना है।)

हल

हल — अभ्यास 17.8.

प्रतिबिंब = अचल बिंदु: $Y = f(X)$ के लिए $f(Y) = f(f(X)) = f(X) = Y$ : अर्थात् हर प्रतिबिंब-बिंदु अचल है; और विलोमतः अचल बिंदु प्रतिबिंब हैं। अतः $\mathcal{F} = \operatorname{im} f = \operatorname{Fix}(f)$ अरिक्त है, और वह आनत उपसमष्टि है (किसी आनत प्रतिचित्रण का प्रतिबिंब) जिसकी दिशा $\operatorname{im}\vec f$ है।

प्रक्षेप संरचना: $\vec f$ वर्गसम है ( $\vec{f\circ f} = \vec f^{\,2} = \vec f$ ), अतः $E = \operatorname{im}\vec f \oplus \ker \vec f$ (उदाहरण 3.18)। किसी भी बिंदु $X$ के लिए सदिश $\vect{f(X)\,X}$ लीजिए; $\vec f$ लगाने पर:

\vec f\bigl(\vect{f(X)\,X}\bigr) = \vect{f(f(X))\,f(X)} = 0 \qquad (f \circ f = f),

अतः $\vect{f(X)\,X} \in \ker\vec f$ । इसलिए $X = f(X) + \vect{f(X)X}$ $X$ को $\mathcal{F}$ के किसी बिंदु के रूप में दिखा देता है जो $\ker\vec f$ के किसी सदिश से स्थानांतरित है: अर्थात् $f$ ठीक $\ker\vec f$ के अनुदिश $\mathcal{F}$ पर प्रक्षेप है। और विलोमतः ऐसे प्रक्षेप स्पष्टतः $f \circ f = f$ पूरा करते हैं।

अभ्यास 17.9 ★

किसी त्रिभुज $ABC$ में $G = \operatorname{bar}(A, 1;\ B, 2;\ C, 3)$ लीजिए। साहचर्यता का उपयोग करके दिखाइए कि रेखा $AG$ $BC$ से $M = \operatorname{bar}(B, 2;\ C, 3)$ पर मिलती है, और $G$ को खंड $\intcc AM$ पर ज्ञात कीजिए; इसी प्रकार $BG$ तथा $CA$ का प्रतिच्छेद भी ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.9.

मान लीजिए $M = \operatorname{bar}(B, 2;\ C, 3)$ , जिसका कुल भार $5$ है। साहचर्यता $G = \operatorname{bar}(A, 1;\ M, 5)$ देती है, अतः $\vect{AG} = \frac56\,\vect{AM}$ : अर्थात् $G$ खंड $\intcc AM$ पर $A$ से उसके पाँच-छठे भाग पर पड़ता है। और चूँकि $A \notin (BC)$ , रेखा $(AG) = (AM)$ $(BC)$ से अकेले बिंदु $M$ पर मिलती है, जहाँ $\vect{BM} = \frac35\,\vect{BC}$ । इसी प्रकार $N = \operatorname{bar}(C, 3;\ A, 1)$ (कुल भार $4$ , $\vect{CN} = \frac14\,\vect{CA}$ ) के साथ साहचर्यता $G = \operatorname{bar}(B, 2;\ N, 4)$ देती है: अतः रेखा $(BG)$ $(CA)$ से $N$ पर मिलती है, और $\vect{BG} = \frac46\,\vect{BN} = \frac23\,\vect{BN}$ ।

अभ्यास 17.10 ★★

$\lambda \neq 0$ के लिए समरूपण $h_{\Omega, \lambda}$ वह आनत प्रतिचित्रण है जो $\Omega$ को अचल रखता है और जिसका रैखिक भाग $\lambda\,\mathrm{id}$ है। सिद्ध कीजिए कि संयोजन $h_{\Omega', \mu} \circ h_{\Omega, \lambda}$ $\lambda\mu \neq 1$ होने पर अनुपात $\lambda\mu$ का समरूपण है, और $\lambda\mu = 1$ होने पर स्थानांतरण; तथा $\lambda = \mu = -1$ वाली स्थिति (दो बिंदु परावर्तन) में स्थानांतरण सदिश परिकलित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 17.10.

किसी मूल बिंदु $O$ पर सदिशीकरण कीजिए और बिंदुओं को सदिश लिखिए: $\omega = \vect{O\Omega}$ के साथ $h_{\Omega, \lambda}(x) = \omega + \lambda(x - \omega)$ । संयोजन $g = h_{\Omega', \mu} \circ h_{\Omega, \lambda}$ रैखिक भाग $\mu\lambda\,\mathrm{id}$ के साथ आनत है। यदि $\lambda\mu \neq 1$ : तो $1 \notin \operatorname{Sp}(\lambda\mu\,\mathrm{id})$ , अतः प्रतिज्ञप्ति 17.17 अद्वितीय अचल बिंदु $\Omega''$ दे देता है और वहाँ सदिशीकरण करने पर $g = \lambda\mu\,\mathrm{id}$ : अर्थात् समरूपण $h_{\Omega'', \lambda\mu}$ । और यदि $\lambda\mu = 1$ , तो रैखिक भाग तत्समक है, अतः $g$ स्थानांतरण है; और खोलने पर

g(x) = \omega' + \mu\bigl(\omega + \lambda(x - \omega) - \omega'\bigr) = x + (1 - \mu)\,\omega' + \mu(1 - \lambda)\,\omega .

$\lambda = \mu = -1$ (बिंदु परावर्तन) के लिए सदिश $2\omega' - 2\omega = 2\,\vect{\Omega\Omega'}$ है: अर्थात् पहले $\Omega$ में और फिर $\Omega'$ में बिंदु परावर्तनों का संयोजन $2\,\vect{\Omega\Omega'}$ से स्थानांतरण है।

अभ्यास 17.11 ★★

(मेनेलौस) किसी त्रिभुज $ABC$ में $A' \in (BC)$ , $B' \in (CA)$ , $C' \in (AB)$ लीजिए, जो सब शीर्षों से भिन्न हों, और $\vect{A'B} = \alpha\,\vect{A'C}$ , $\vect{B'C} = \beta\,\vect{B'A}$ , $\vect{C'A} = \gamma\,\vect{C'B}$ से $\alpha, \beta, \gamma$ परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $A', B', C'$ संरेख हैं यदि और केवल यदि $\alpha\beta\gamma = 1$ । (हर बिंदु को दो शीर्षों का बैरिकेंद्र लिखिए; और दिखाइए कि तीन बिंदु संरेख हैं तभी जब $(A, B, C)$ के सापेक्ष उनकी बैरिकेंद्रीय निर्देशांक-पंक्तियाँ कोई अपभ्रष्ट $3 \times 3$ आव्यूह बनाएँ।)

हल

हल — अभ्यास 17.11.

$\vect{A'B} = \alpha\,\vect{A'C}$ ठीक $1\cdot \vect{A'B} - \alpha\,\vect{A'C} = 0$ कहता है, अर्थात् $A' = \operatorname{bar}(B, 1;\ C, -\alpha)$ (कुल भार $1 - \alpha \neq 0$ , क्योंकि $B \neq C$ ); इसी प्रकार $B' = \operatorname{bar}(C, 1;\ A, -\beta)$ और $C' = \operatorname{bar}(A, 1;\ B, -\gamma)$ ।

संरेखता की कसौटी। हर बिंदु $P$ को $(A, B, C)$ के सापेक्ष उसकी सामान्यीकृत बैरिकेंद्रीय पंक्ति $p = (p_A, p_B, p_C)$ , $p_A + p_B + p_C = 1$ दीजिए। यदि तीन बिंदुओं $P_1, P_2, P_3$ के लिए $(c_1, c_2, c_3) \neq 0$ सहित $\sum_i c_i p_i = 0$ हो, तो प्रविष्टियाँ जोड़ने पर $\sum c_i = 0$ मिलता है, और $\sum_i c_i \vect{OP_i} = \sum_j \bigl(\sum_i c_ip_{ij}\bigr)\vect{OV_j} = 0$ : अर्थात् $P_i$ आनत रूप से परतंत्र, यानी संरेख हैं। विलोमतः कोई आनत परतंत्रता $(t_i)$ $0$ तक जुड़ने वाली प्रविष्टियों तथा $\sum_j w_j\vect{OV_j} = 0$ के साथ $w = \sum t_ip_i$ देती है; और $A$ से खोलने पर $w_B \vect{AB} + w_C\vect{AC} = 0$ , अतः $(A, B, C)$ की आनत स्वतंत्रता से $w = 0$ : यानी पंक्तियाँ रैखिकतः परतंत्र हैं। इस प्रकार संरेखता किसी $3 \times 3$ सारणिक के लुप्त होने पर सिमट आती है, और पंक्तियों को अशून्य गुणकों $1 - \alpha$ , $1 - \beta$ , $1 - \gamma$ से मापित करने से कुछ नहीं बदलता:

\det\begin{pmatrix} 0 & 1 & -\alpha\\ -\beta & 0 & 1\\ 1 & -\gamma & 0\end{pmatrix} = 1 - \alpha\beta\gamma .

अतः $A', B', C'$ संरेख हैं तभी जब $\alpha\beta\gamma = 1$ : यही मेनेलौस की प्रमेय है।

अभ्यास 17.12 ★★★

सिद्ध कीजिए कि $\R^n$ के किसी संहत उपसमुच्चय $K$ का उत्तल कवच संहत होता है। (प्रमेय 17.14 के अनुसार $\operatorname{conv}(K)$ किसी संहत समुच्चय का संतत प्रतिचित्रण के अंतर्गत प्रतिबिंब है।) $\R^2$ में किसी उदाहरण से दिखाइए कि किसी संवृत समुच्चय का उत्तल कवच संवृत होना आवश्यक नहीं।

हल

हल — अभ्यास 17.12.

मान लीजिए $\Delta = \{\lambda \in \R^{n+1} : \lambda_i \geq 0,\ \sum\lambda_i = 1\}$ : यह $\R^{n+1}$ में संवृत और परिबद्ध है, अतः संहत, और $K^{n+1}$ परिमित गुणन के रूप में संहत है। प्रतिचित्रण

\Phi \colon \Delta \times K^{n+1} \to \R^n, \qquad \Phi(\lambda, x_0, \dots, x_n) = \sum_{i=0}^n \lambda_i x_i

संतत है, और प्रमेय 17.14 ठीक यही कहता है कि $\operatorname{conv}(K) = \Phi(\Delta \times K^{n+1})$ : अर्थात् किसी संहत समुच्चय का संतत प्रतिबिंब (प्रमेय 4.16), इसलिए संहत।

किसी संवृत समुच्चय के लिए: $S = (\R \times \{0\}) \cup \{(0, 1)\}$ लीजिए, जो $\R^2$ में संवृत है। $(0,1)$ पर भार $t$ और अक्ष-बिंदुओं पर $1 - t$ डालने वाले किसी उत्तल संचय का दूसरा निर्देशांक $t$ होता है, अतः

\operatorname{conv}(S) = \bigl(\R \times \intco01\bigr) \cup \{(0,1)\}

( $0 \leq t < 1$ के लिए $(x, t) = t\,(0,1) + (1-t)\,\bigl(\tfrac x{1-t}, 0\bigr)$ )। बिंदु $(1, 1) = \lim_{t \to 1}(1, t)$ संलग्न है पर कवच में नहीं: अतः संवृत नहीं।

17.5 समस्या: रादों से हेली तक, केंद्रबिंदु और युंग की प्रमेय

व्यापक स्थिति में समतल के चार बिंदुओं के लिए दोनों रादों प्रकार: या तो एक बिंदु शेष तीन के त्रिभुज के भीतर (विभाजन \A_4\ \A_1, A_2, A_3\), या उत्तल स्थिति, जहाँ रादों बिंदु (नारंगी) दोनों विकर्णों का प्रतिच्छेद है। — व्यापक स्थिति में समतल के चार बिंदुओं के लिए दोनों रादों प्रकार: या तो एक बिंदु शेष तीन के त्रिभुज के भीतर (विभाजन $\{A_4\} \mid \{A_1, A_2, A_3\}$ ), या उत्तल स्थिति, जहाँ रादों बिंदु (नारंगी) दोनों विकर्णों का प्रतिच्छेद है।

समस्या 17.1

सप्ताहांत समस्या — हेली की प्रमेय और उसके दो लाभ

रादों की प्रमेयिका (अभ्यास 17.7) कहती है कि $n$ -विमीय आनत समष्टि के $n + 2$ बिंदु सदा ऐसे दो समूहों में बँट जाते हैं जिनके उत्तल कवच प्रतिच्छेद करते हैं। यह समस्या रैखिक बीजगणित के उसी एक तथ्य को संचयात्मक ज्यामिति की प्रमेयों की शृंखला में बदल देती है: हेली की प्रतिच्छेदन प्रमेय, केंद्रबिंदु प्रमेय (एक द्विविमीय माध्यिका), और युंग की आच्छादन प्रमेय। आगे सर्वत्र समतल $\R^2$ है अपनी सामान्य यूक्लिडीय संरचना के साथ, और $\det$ विहित आधार में सारणिक है।

भाग I — बैरिकेंद्रीय निर्देशांक। बिंदु $A_0, \dots, A_k$ आनत रूप से स्वतंत्र कहलाते हैं जब सदिश $\vect{A_0A_1}, \dots, \vect{A_0A_k}$ रैखिकतः स्वतंत्र हों।

दिखाइए कि आनत स्वतंत्रता आधार-बिंदु $A_0$ के चुनाव पर निर्भर नहीं करती, और यह इसके तुल्य है: जब भी $1$ तक जुड़ने वाले भारों के दो कुल $(A_0, \dots, A_k)$ का एक ही बैरिकेंद्र परिभाषित करें, तब भार भी एक ही हों।
मान लीजिए $(A, B, C)$ समतल में आनत रूप से स्वतंत्र हैं। दिखाइए कि हर बिंदु $M$ के लिए $\alpha + \beta + \gamma = 1$ तथा $M = \operatorname{bar}(A, \alpha; B, \beta; C, \gamma)$ वाला अद्वितीय त्रिक $(\alpha, \beta, \gamma)$ है — अर्थात् उसके बैरिकेंद्रीय निर्देशांक।
सारणिक सूत्र सिद्ध कीजिए

$\alpha = \frac{\det(\vect{MB}, \vect{MC})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})}, \qquad \beta = \frac{\det(\vect{MC}, \vect{MA})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})}, \qquad \gamma = \frac{\det(\vect{MA}, \vect{MB})}{\det(\vect{AB}, \vect{AC})} :$

अर्थात् बैरिकेंद्रीय निर्देशांक चिह्नित क्षेत्रफलों के अनुपात हैं।
रेखाएँ $BC$ , $CA$ , $AB$ निर्देशांक-रेखाएँ $\{\alpha = 0\}$ , $\{\beta = 0\}$ , $\{\gamma = 0\}$ हैं। दिखाइए कि $M$ संवृत त्रिभुज $\operatorname{conv}\{A, B, C\}$ में पड़ता है तभी जब $\alpha, \beta, \gamma \geq 0$ , और यह कि तीनों रेखाएँ समतल को ठीक सात क्षेत्रों में काटती हैं, जिनका वर्गीकरण $(\alpha, \beta, \gamma)$ के चिह्नों से होता है (और चिह्न-प्रतिरूप $(-, -, -)$ असंभव है)।
मान लीजिए $u \colon \R^2 \to \R$ कोई आनत प्रतिचित्रण है (एक आनत फलनिक)। दिखाइए $u(M) = \alpha\,u(A) + \beta\,u(B) + \gamma\,u(C)$ , कि किसी अनचर आनत फलनिक के स्तर समुच्चय रेखाएँ हैं, कि हर रेखा इसी तरह मिलती है, और यह कि संवृत अर्धसमतल $\{u \geq c\}$ उत्तल हैं।

भाग II — रादों विभाजन, परिष्कृत। $\R^n$ के $n + 2$ बिंदुओं का कुल व्यापक स्थिति में तब कहलाता है जब उनमें से कोई भी $n + 1$ आनत रूप से स्वतंत्र हों। $(A_1, \dots, A_{n+2})$ की आनत परतंत्रता ऐसा कुल $(\mu_i)$ है जिसके लिए $\sum_i \mu_i = 0$ और किसी (अतः हर) मूल बिंदु $O$ के लिए $\sum_i \mu_i\,\vect{OA_i} = 0$ ।

चार बिंदुओं $A_1 = (0,0)$ , $A_2 = (3,0)$ , $A_3 = (0,3)$ , $A_4 = (1,1)$ की कोई अशून्य आनत परतंत्रता परिकलित कीजिए; रादों विभाजन और रादों बिंदु दीजिए।
दिखाइए कि व्यापक स्थिति के बिंदुओं के लिए आनत परतंत्रताओं की सदिश समष्टि की विमा ठीक $1$ है, और किसी अशून्य परतंत्रता का कोई भी गुणांक शून्य नहीं होता।
इससे निष्कर्ष निकालिए कि व्यापक स्थिति के $n + 2$ बिंदुओं का रादों विभाजन अद्वितीय है (दोनों खंडों की अदला-बदली को छोड़कर), जहाँ हर खंड उन सूचकांकों का समुच्चय है जिन पर $\mu_i$ का चिह्न एक ही रहता है।
समतल के व्यापक स्थिति वाले चार बिंदुओं के लिए द्विभाजन दिखाइए: या तो विभाजन का प्रकार $(1, 3)$ है — अर्थात् एक बिंदु शेष तीन के त्रिभुज के भीतर — या प्रकार $(2, 2)$ : चारों बिंदु उत्तल स्थिति में हैं और दोनों युग्मों को जोड़ने वाले खंड (विकर्ण) रादों बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रश्न 6 को इकाई वर्ग $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ , $(0,1)$ के लिए कीजिए: परतंत्रता, विभाजन, रादों बिंदु।

भाग III — समतल में हेली की प्रमेय।

मान लीजिए $C_1, C_2, C_3, C_4$ $\R^2$ के उत्तल उपसमुच्चय हैं जिनमें से किन्हीं तीन का कोई साझा बिंदु है। $x_i \in \bigcap_{j \neq i} C_j$ चुनिए और $x_1, \dots, x_4$ पर रादों की प्रमेयिका लगाइए: दिखाइए कि रादों बिंदु चारों समुच्चयों में है। (प्रत्येक $k$ के लिए जिस खंड में $x_k$ नहीं है वह $C_k$ के बिंदुओं से बना है।)
(हेली) मान लीजिए $C_1, \dots, C_m$ ( $m \geq 3$ ) $\R^2$ के उत्तल उपसमुच्चय हैं जिनमें से किन्हीं तीन का प्रतिच्छेद अरिक्त है। $m$ पर आगमन से $\bigcap_{i=1}^m C_i \neq \emptyset$ सिद्ध कीजिए: $C_{m-1}$ और $C_m$ के स्थान पर $C_{m-1} \cap C_m$ रखिए और नए कुल के लिए परिकल्पना प्रश्न 11 से जाँचिए।
तीन प्रतिउदाहरण, हर परिकल्पना के लिए एक: (क) किसी त्रिभुज की तीनों संवृत भुजाएँ जोड़े-जोड़े में प्रतिच्छेद करती हैं पर उनका कोई साझा बिंदु नहीं ( $3$ को $2$ तक नहीं घटाया जा सकता); (ख) व्यापक स्थिति के चार बिंदुओं के लिए चारों समुच्चय $S_i = \{x_1, \dots, x_4\} \setminus \{x_i\}$ त्रिक-प्रतिच्छेदन परिकल्पना पूरी करते हैं पर निष्कर्ष नहीं (उत्तलता मायने रखती है); (ग) संवृत अर्धसमतल $H_k = \intco{k}{+\infty} \times \R$ , $k \in \N$ , जोड़े-जोड़े और तीन-तीन में प्रतिच्छेद करते हैं पर $\bigcap_k H_k = \emptyset$ (अनंत कुलों को संहतता चाहिए)।
(संहत हेली) मान लीजिए $(K_i)_{i \in I}$ $\R^2$ के संहत उत्तल उपसमुच्चयों का कोई भी कुल है जिनमें से किन्हीं तीन का प्रतिच्छेद अरिक्त है। प्रश्न 12 और बोरेल–लेबेग गुणधर्म (प्रमेय 4.20) का उपयोग करके दिखाइए $\bigcap_{i \in I} K_i \neq \emptyset$ ।
(पहला लाभ) मान लीजिए $S$ समतल के बिंदुओं का कोई परिमित समुच्चय है और $r > 0$ । दिखाइए: यदि $S$ के किन्हीं तीन बिंदु त्रिज्या $r$ की किसी संवृत चक्रिका में पड़ते हों, तो $S$ पूरा त्रिज्या $r$ की किसी एक संवृत चक्रिका में पड़ता है। (चक्रिकाओं $\overline D(p, r)$ , $p \in S$ पर हेली लगाइए।)

भाग IV — केंद्रबिंदु प्रमेय। समतल के $n$ बिंदुओं के किसी परिमित समुच्चय $S$ का केंद्रबिंदु ऐसा बिंदु $c$ है (जो $S$ में हो, यह आवश्यक नहीं) कि $c$ को समाहित करने वाला हर संवृत अर्धसमतल $S$ के कम से कम $n/3$ बिंदु समाहित करे।

(विमा $1$ ) वास्तविक $x_1 \leq \dots \leq x_n$ के लिए दिखाइए कि माध्यिका $c = x_{\lceil n/2 \rceil}$ यह पूरा करती है: $c$ को समाहित करने वाली हर संवृत अर्धरेखा $x_i$ में से कम से कम $n/2$ समाहित करती है।
(गिनती प्रमेयिका) यदि $S$ के उपसमुच्चय $A, B, C$ ऐसे हों कि $\abs A, \abs B, \abs C > \tfrac{2n}3$ , तो दिखाइए $A \cap B \cap C \neq \emptyset$ ।
मान लीजिए $m = \floor{2n/3} + 1$ , और $\mathcal F$ $\operatorname{conv}(T)$ , $T \subseteq S$ , $\abs T = m$ वाले उत्तल कवचों का (परिमित) कुल है। दिखाइए कि $\mathcal F$ के किन्हीं तीन सदस्यों का कोई साझा बिंदु है, और हेली से उन सबमें साझा कोई बिंदु $c$ निष्कर्ष रूप में निकालिए।
सिद्ध कीजिए कि यही $c$ $S$ का केंद्रबिंदु है: अर्थात् केंद्रबिंदु प्रमेय। (यदि $c$ से होकर जाने वाले किसी संवृत अर्धसमतल में $n/3$ से कम बिंदु होते, तो उसका विवृत पूरक $m$ बिंदुओं का कोई समुच्चय $T$ समाहित करता, और $\operatorname{conv}(T)$ $c$ से बच जाता।)
तीक्ष्णता: $n = 3k$ लीजिए और किसी बड़े त्रिभुज के शीर्षों पर केंद्रित छोटी त्रिज्या $\varepsilon$ की तीन चक्रिकाओं में से हर एक में $k$ बिंदु रखिए। दिखाइए कि समतल के प्रत्येक बिंदु $c$ के लिए $c$ को समाहित करने वाले किसी संवृत अर्धसमतल में $S$ के अधिकतम $n/3$ बिंदु होते हैं, अतः अचर $1/3$ को सुधारा नहीं जा सकता। ( $c$ से चक्रिका-केंद्रों की तीन दिशाओं में से दो का कोण अधिकतम $2\pi/3$ होता है।)

भाग V — युंग की प्रमेय और संश्लेषण।

(त्रिभुज प्रमेयिका) मान लीजिए $P, Q, R$ तीन ऐसे बिंदु हैं जिनकी जोड़े-जोड़े में दूरियाँ $\leq 1$ हैं। दिखाइए कि वे त्रिज्या $1/\sqrt3$ की किसी संवृत चक्रिका में पड़ते हैं। (यदि कोई कोण $\geq \pi/2$ हो, तो सबसे लंबी भुजा को व्यास मानकर चक्रिका लीजिए और माध्यिका सूत्र $\norm{RM}^2 = \tfrac12\norm{RP}^2 + \tfrac12\norm{RQ}^2 - \tfrac14\norm{PQ}^2$ काम में लीजिए; और यदि त्रिभुज न्यूनकोण हो, तो उसके सबसे बड़े कोण, जो $\intco{\pi/3}{\pi/2}$ में पड़ता है, से परित्रिज्या $a/(2\sin \widehat A)$ को परिबद्ध कीजिए।)
(युंग) निष्कर्ष निकालिए: व्यास $\leq 1$ वाला समतल का हर संहत उपसमुच्चय त्रिज्या $1/\sqrt3$ की किसी संवृत चक्रिका में समाहित है।
तीक्ष्णता: भुजा $1$ और गुरुत्व केंद्र $G$ वाले समबाहु त्रिभुज $A_1A_2A_3$ के लिए प्रत्येक बिंदु $O$ हेतु लाइब्नित्स सर्वसमिका $\sum_i \norm{\vect{OA_i}}^2 = 3\norm{\vect{OG}}^2 + \sum_i \norm{\vect{GA_i}}^2$ सिद्ध कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि तीनों शीर्षों को समाहित करने वाली किसी भी चक्रिका की त्रिज्या $\geq 1/\sqrt3$ है, और समता केवल परिवृत्त के लिए।
( $\R^n$ में हेली) $\R^n$ में हेली की प्रमेय कहिए और सिद्ध कीजिए: यदि परिमित उत्तल समुच्चय ऐसे हों कि उनमें से कोई भी $n + 1$ प्रतिच्छेद करते हों, तो वे सब प्रतिच्छेद करते हैं। (रादों की प्रमेयिका अभ्यास 17.7 $n + 2$ समुच्चयों को निपटा देती है; फिर प्रश्न 12 की तरह आगमन कीजिए।)
संश्लेषण। शृंखला

$\text{आनत परतंत्रता} \Rightarrow \text{रादों} \Rightarrow \text{हेली} \Rightarrow \text{केंद्रबिंदु और युंग},$

जोड़िए और एक-एक वाक्य में बताइए: रैखिक बीजगणित कहाँ प्रवेश करता है, भारों के चिह्न कहाँ, उत्तलता कहाँ, और किस अकेले पग ने समतल की विमा का उपयोग किया। अचर $3$ (हेली में), $1/3$ (केंद्रबिंदु) और $1/\sqrt3$ (युंग) $\R^n$ में क्या बन जाते हैं? (बिना उपपत्ति के कहिए।)

हल

हल — समस्या 17.1.

1. $A_j$ पर आधार बदलिए: $i \neq j$ के लिए $\vect{A_jA_i} = \vect{A_0A_i} - \vect{A_0A_j}$ । यदि $\sum_{i \neq j} c_i\vect{A_jA_i} = 0$ , तो खोलने पर $\sum_{i \notin \{0, j\}} c_i\,\vect{A_0A_i} - \bigl(\sum_{i\neq j} c_i\bigr)\vect{A_0A_j} = 0$ ; और $\vect{A_0A_i}$ की स्वतंत्रता $i \notin \{0, j\}$ के लिए $c_i = 0$ को बाध्य कर देती है, फिर $c_0 = 0$ : अर्थात् $A_j$ पर स्वतंत्रता। तुल्यता के लिए: $1$ तक जुड़ने वाले तथा एक ही बैरिकेंद्र वाले दो भार-कुल $(\lambda_i)$ , $(\lambda_i')$ $\nu = \lambda - \lambda'$ के साथ $\sum\nu_i = 0$ और (मूल बिंदु $A_0$ से) $\sum_{i \geq 1}\nu_i\,\vect{A_0A_i} = 0$ देते हैं, अतः स्वतंत्रता के अंतर्गत $\nu = 0$ । विलोमतः $\mu_0 = -\sum_{i\geq1} \mu_i$ से पूरा किया गया कोई अतुच्छ संबंध $\sum_{i\geq1}\mu_i \vect{A_0A_i} = 0$ बैरिकेंद्र हिलाए बिना किसी भी भार-कुल में $t(\mu_i)$ जोड़ने देता है: अर्थात् अनद्वितीयता।

2. $(\vect{AB}, \vect{AC})$ $\R^2$ का आधार है: $\vect{AM} = \beta\,\vect{AB} + \gamma\,\vect{AC}$ (अद्वितीय) लिखिए और $\alpha = 1 - \beta - \gamma$ रखिए; और मूल बिंदु $A$ पर बैरिकेंद्र-शर्त ठीक $\vect{AM} = \beta\,\vect{AB} + \gamma\,\vect{AC}$ पढ़ी जाती है। अद्वितीयता प्रश्न 1 है।

3. $\alpha\vect{MA} + \beta\vect{MB} + \gamma\vect{MC} = 0$ और शाल से $\vect{MA} = -\beta\,\vect{AB} - \gamma\,\vect{AC}$ । $D = \det(\vect{AB}, \vect{AC})$ के साथ:

\begin{align*} \det(\vect{MB}, \vect{MC}) &= \det(\vect{MA} + \vect{AB},\ \vect{MA} + \vect{AC})\\ &= \det(\vect{MA}, \vect{AC}) + \det(\vect{AB}, \vect{MA}) + D = -\beta D - \gamma D + D = \alpha D, \end{align*}

जिसमें द्विरैखिकता तथा $\det(\vect{MA}, \vect{AC}) = -\beta D$ , $\det(\vect{AB}, \vect{MA}) = -\gamma D$ का उपयोग हुआ। शेष दोनों सूत्र भूमिकाओं को चक्रीय रूप से बदलकर उसी परिकलन से निकलते हैं।

4. परिभाषा से $\operatorname{conv}\{A, B, C\}$ अऋणात्मक भारों वाले बैरिकेंद्रों का समुच्चय है; और भारों को $1$ तक सामान्यीकृत करके अद्वितीयता (प्रश्न 2) का सहारा लेने पर $M \in \operatorname{conv}\{A,B,C\}$ तभी जब $\alpha, \beta, \gamma \geq 0$ । हर निर्देशांक $M$ का आनत फलन है (प्रश्न 3: $M$ में आनत एक स्तंभ वाला $2\times2$ सारणिक), अतः हर विवृत चिह्न-शर्त कोई विवृत अर्धसमतल परिभाषित करती है। प्रतिरूप $(-,-,-)$ $\alpha + \beta + \gamma = 1$ के विरुद्ध है; और शेष सातों प्रतिरूप साकार होते हैं: चिह्नों का पालन करने वाले किसी त्रिक को, जिसमें कम से कम एक $+$ प्रविष्टि हो, इस प्रकार मापित कीजिए कि (धनात्मक) योग $1$ हो जाए — जैसे $(-1, 1, 1)$ , $(3, -1, -1)$ , $(\frac13, \frac13, \frac13)$ , और उनके क्रमचय।

5. कोई आनत प्रतिचित्रण बैरिकेंद्र सुरक्षित रखता है (परिभाषा 17.5), अतः $u(M) = \alpha u(A) + \beta u(B) + \gamma u(C)$ । $(a, b) \neq (0,0)$ के साथ $u(x, y) = ax + by + c$ लिखने पर: $\{u = c'\}$ कोई रेखा है, और हर रेखा $ax + by = c'$ ऐसा ही स्तर समुच्चय है। और यदि $u(M), u(N) \geq c$ तथा $t \in \intcc01$ , तो $u\bigl(\operatorname{bar}(M, 1-t; N, t)\bigr) = (1-t)u(M) + tu(N) \geq c$ : अर्थात् अर्धसमतल उत्तल हैं।

6. शर्तें $\sum\mu_i = 0$ , $3\mu_2 + \mu_4 = 0$ , $3\mu_3 + \mu_4 = 0$ ( $\mu_4 = 3$ लेकर) परतंत्रता $(\mu_1, \mu_2, \mu_3, \mu_4) = (-1, -1, -1, 3)$ देती हैं। चिह्न $\{A_4\} \mid \{A_1, A_2, A_3\}$ के रूप में बँटते हैं, और हर पक्ष को $3$ से सामान्यीकृत करने पर:

A_4 = \operatorname{bar}\bigl(A_1, \tfrac13;\ A_2, \tfrac13;\ A_3, \tfrac13\bigr) = (1,1),

अर्थात् त्रिभुज का गुरुत्व केंद्र: रादों बिंदु स्वयं $A_4$ है, जो वास्तव में त्रिभुज $A_1A_2A_3$ के भीतर पड़ता है।

7. रैखिक प्रतिचित्रण $\Phi \colon \R^{n+2} \to \R \times \R^n$ , $\mu \mapsto (\sum\mu_i,\ \sum\mu_i\vect{OA_i})$ , की कोटि $\leq n + 1$ है, अतः $\dim\ker \Phi \geq 1$ । यदि दो स्वतंत्र परतंत्रताएँ $\mu, \mu'$ होतीं, तो कोई उपयुक्त संचय $\nu = \mu'_{n+2}\mu - \mu_{n+2}\mu'$ (अथवा $\mu$ स्वयं, यदि दोनों के अंतिम गुणांक लुप्त हों) $\nu_{n+2} = 0$ वाली अशून्य परतंत्रता होती; और $A_1, \dots, A_{n+1}$ तक प्रतिबंधित करके $A_1$ पर आधार बदलने पर कोई $\nu_i \neq 0$ $i \geq 2$ के साथ मिलता (अकेला अशून्य भार शून्य तक नहीं जुड़ सकता), जिससे अतुच्छ संबंध $\sum_{i\geq2}\nu_i\vect{A_1A_i} = 0$ मिलता: अर्थात् $n+1$ बिंदु आनत रूप से परतंत्र होते, जो व्यापक स्थिति के विरुद्ध है। अतः $\dim\ker \Phi = 1$ । और वही प्रतिबंधन-तर्क दिखाता है कि किसी अशून्य परतंत्रता का कोई गुणांक लुप्त नहीं होता।

8. मान लीजिए $\mu \neq 0$ कोई परतंत्रता है, $P = \{i : \mu_i > 0\}$ और $N = \{i : \mu_i < 0\}$ : दोनों अरिक्त ( $\sum\mu_i = 0$ , $\mu \neq 0$ ) और पूर्ण (कोई गुणांक शून्य नहीं)। रादों की रचना (अभ्यास 17.7) ठीक इसी विभाजन से साझा कवच-बिंदु उत्पन्न करती है। और चूँकि परतंत्रता किसी अशून्य अदिश तक अद्वितीय है (प्रश्न 7), अक्रमित युग्म $\{P, N\}$ — अतः रादों विभाजन — अद्वितीय है।

9. खंड अरिक्त हैं, अतः प्रकार $(1,3)$ या $(2,2)$ है। प्रकार $(1,3)$ , खंड $\{j\}$ : रादों बिंदु $\operatorname{conv}\{A_j\} = \{A_j\}$ में पड़ता है, अतः शेष तीन का $A_j \in \operatorname{conv}$ ; और वह किसी भुजा पर नहीं पड़ सकता (तब तीन बिंदु संरेख हो जाते, जो व्यापक स्थिति के विरुद्ध है), अतः $A_j$ त्रिभुज के भीतर है। प्रकार $(2,2)$ , खंड $\{i,j\} \mid \{k,l\}$ : रादों बिंदु $z$ $\intcc{A_i}{A_j} \cap \intcc{A_k}{A_l}$ पर पड़ता है, और $z$ कोई अंत्यबिंदु नहीं (तब तीन बिंदु संरेख हो जाते): अतः दोनों खंड किसी अभ्यंतरीय बिंदु पर कटते हैं। इसके अतिरिक्त कोई भी बिंदु शेष के कवच में नहीं है: ऐसा समावेश $\lambda_i \geq 0$ के साथ $A_l = \operatorname{bar}(A_i, \lambda_i)_{i \neq l}$ $(+,+,+,-)$ चिह्न-प्रतिरूप वाली आनत परतंत्रता होती, जो अद्वितीयता (प्रश्न 8) से विभाजन को $(1,3)$ बना देती। अतः $(2,2)$ वाली स्थिति में चारों बिंदु उत्तल स्थिति में हैं और कटते हुए खंड विकर्ण हैं।

10. समीकरण $\mu_2 + \mu_3 = 0$ , $\mu_3 + \mu_4 = 0$ , $\sum\mu_i = 0$ परतंत्रता $(1, -1, 1, -1)$ देते हैं: विभाजन $\{(0,0), (1,1)\} \mid \{(1,0), (0,1)\}$ , और

\operatorname{bar}\bigl((0,0), \tfrac12;\ (1,1), \tfrac12\bigr) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr) = \operatorname{bar}\bigl((1,0), \tfrac12;\ (0,1), \tfrac12\bigr) :

अर्थात् रादों बिंदु वर्ग का केंद्र है, जहाँ दोनों विकर्ण कटते हैं — प्रकार $(2,2)$ , जैसा चित्र बताता है।

11. $x_1, \dots, x_4$ पर लगाई गई रादों खंड $I \mid J$ तथा कोई बिंदु $z \in \operatorname{conv}\{x_i : i \in I\} \cap \operatorname{conv}\{x_j : j \in J\}$ देती है। $k \in \{1, \dots, 4\}$ स्थिर कीजिए, मान लीजिए $k \in I$ । हर $j \in J$ $j \neq k$ पूरा करता है, अतः $x_j \in \bigcap_{l \neq j}C_l$ के चुनाव से $x_j \in C_k$ ; और चूँकि $C_k$ उत्तल है, $z \in \operatorname{conv}\{x_j : j \in J\} \subseteq C_k$ । और $k$ स्वेच्छ था, अतः $z \in C_1 \cap C_2 \cap C_3 \cap C_4$ ।

12. $m$ पर आगमन। $m = 3$ के लिए परिकल्पना ही निष्कर्ष है; और $m = 4$ प्रश्न 11 है। मान लीजिए $m \geq 4$ , कथन $m$ समुच्चयों के लिए मान लीजिए, और त्रिक-प्रतिच्छेदन गुणधर्म वाले $C_1, \dots, C_{m+1}$ लीजिए। $C_m' = C_m \cap C_{m+1}$ रखिए, जो उत्तल है। कुल $C_1, \dots, C_{m-1}, C_m'$ के $m$ सदस्य हैं; $C_m'$ से बचने वाला कोई त्रिक परिकल्पना से प्रतिच्छेद करता है, और त्रिक $\{C_i, C_j, C_m'\}$ का प्रतिच्छेद $C_i \cap C_j \cap C_m \cap C_{m+1}$ है, जो $C_i, C_j, C_m, C_{m+1}$ पर लगाए गए प्रश्न 11 से अरिक्त है (इनमें से कोई भी तीन परिकल्पना से मिलते हैं)। अब आगमन परिकल्पना नए कुल का, अर्थात् सभी $m+1$ समुच्चयों का, साझा बिंदु दे देती है।

13. (क) किसी अनपभ्रष्ट त्रिभुज की संवृत भुजाएँ $\intcc PQ$ , $\intcc QR$ , $\intcc RP$ : कोई भी दो कोई शीर्ष साझा करती हैं, पर तीनों का साझा बिंदु $\intcc PQ \cap \intcc RP = \{P\}$ तथा $\intcc QR$ में होता, जो $P$ को अपवर्जित करता है। (ख) समुच्चयों $S_i = \{x_1, \dots, x_4\} \setminus \{x_i\}$ में से कोई भी तीन चारों बिंदुओं में से तीन छोड़ देते हैं, जिससे ठीक एक साझा बिंदु बचता है; पर कुल प्रतिच्छेद हर बिंदु छोड़ देता है। $S_i$ परिमित हैं, उत्तल नहीं: अर्थात् उत्तलता अनिवार्य है। (ग) परिमित $H_k = \intco{k}{+\infty} \times \R$ का प्रतिच्छेद $\intco{k_{\max}}{+\infty} \times \R \neq \emptyset$ है, फिर भी किसी बिंदु के लिए सभी $k \in \N$ हेतु $x \geq k$ नहीं: अनंत कुलों के लिए संहतता अनिवार्य है।

14. मान लीजिए $\bigcap_{i \in I}K_i = \emptyset$ और $i_0$ स्थिर कीजिए। हर $x \in K_{i_0}$ किसी न किसी $K_i$ से चूक जाता है, अतः $K_{i_0} \subseteq \bigcup_{i \in I}(\R^2 \setminus K_i)$ , जो विवृत समुच्चयों से आच्छादन है ( $K_i$ संहत है, अतः संवृत)। बोरेल–लेबेग (प्रमेय 4.20) से परिमित ही पर्याप्त हैं: $K_{i_0} \cap K_{i_1} \cap \dots \cap K_{i_N} = \emptyset$ । परंतु उत्तल समुच्चयों के इस परिमित कुल के किन्हीं तीन सदस्य प्रतिच्छेद करते हैं, अतः प्रश्न 12 प्रतिच्छेद को अरिक्त बना देता है: विरोधाभास।

15. $p \in S$ के लिए $D_p = \overline D(p, r)$ रखिए: ये संहत उत्तल समुच्चय हैं। $p, q, s \in S$ के लिए परिकल्पना $p, q, s$ को समाहित करने वाली कोई संवृत चक्रिका $\overline D(z, r)$ देती है; तब $\norm{\vect{zp}}, \norm{\vect{zq}}, \norm{\vect{zs}} \leq r$ , अर्थात् $z \in D_p \cap D_q \cap D_s$ । हेली (प्रश्न 12; कुल परिमित है) से कोई $c \in \bigcap_{p \in S}D_p$ है: अतः हर $p \in S$ $\norm{\vect{cp}} \leq r$ पूरा करता है, यानी $S \subseteq \overline D(c, r)$ ।

16. मान लीजिए $c = x_{\lceil n/2\rceil}$ । $c$ को समाहित करने वाली कोई संवृत अर्धरेखा $t \geq c$ के साथ $\intoc{-\infty}{t}$ है अथवा $t \leq c$ के साथ $\intco{t}{+\infty}$ । पहली $x_1, \dots, x_{\lceil n/2\rceil}$ को समाहित करती है: अर्थात् कम से कम $\lceil n/2\rceil \geq n/2$ बिंदु। और दूसरी $x_{\lceil n/2\rceil}, \dots, x_n$ को: ठीक $n - \lceil n/2\rceil + 1 = \floor{n/2} + 1 > n/2$ बिंदु।

17. $\abs{A \cap B} = \abs A + \abs B - \abs{A \cup B} \geq \abs A + \abs B - n > \tfrac{4n}3 - n = \tfrac n3$ , अतः

\abs{A \cap B \cap C} \geq \abs{A \cap B} + \abs C - n > \tfrac n3 + \tfrac{2n}3 - n = 0 .

18. ध्यान दीजिए $m > 2n/3$ । गणनसंख्या $m$ वाले $T_1, T_2, T_3 \subseteq S$ के लिए प्रश्न 17 कोई बिंदु $x \in T_1 \cap T_2 \cap T_3$ देता है; तब हर $i$ के लिए $x \in \operatorname{conv}(T_i)$ : अर्थात् $\mathcal F$ के किन्हीं तीन सदस्य मिलते हैं। कुल परिमित है ( $S$ के परिमित उपसमुच्चय) और उत्तल समुच्चयों से बना है, अतः हेली (प्रश्न 12) $c \in \bigcap_{\abs T = m}\operatorname{conv}(T)$ दे देती है।

19. मान लीजिए किसी संवृत अर्धसमतल $H \ni c$ में $S$ के $n/3$ से कम बिंदु हैं। उसका पूरक $U$ विवृत अर्धसमतल है, उत्तल, जहाँ $\abs{S \cap U} > 2n/3$ , अतः $\abs{S \cap U} \geq \floor{2n/3} + 1 = m$ ; और $\abs T = m$ वाला $T \subseteq S \cap U$ चुनिए। तब $U$ की उत्तलता से $\operatorname{conv}(T) \subseteq U$ , अतः $c \in \operatorname{conv}(T) \subseteq U$ : जो $c \in H$ के विरुद्ध है। इसलिए $c$ को समाहित करने वाला हर संवृत अर्धसमतल कम से कम $n/3$ बिंदु समाहित करता है: अर्थात् $c$ केंद्रबिंदु है।

20. भुजा $L$ वाला समबाहु त्रिभुज और $\varepsilon = L/100$ लीजिए। मान लीजिए $c$ कोई बिंदु है; हम $c$ को समाहित करने वाला ऐसा संवृत अर्धसमतल दिखाते हैं जिसमें अधिकतम $k$ बिंदु हों।

स्थिति 1: $c$ किसी शीर्ष, मान लीजिए $B$ , से $L/10$ के भीतर है। $c$ से $A$ तथा $C$ की दिशाएँ दिशाओं $B \to A$ , $B \to C$ से अधिकतम $\arcsin\bigl(\tfrac{L/10}{9L/10}\bigr) = \arcsin\tfrac19$ हटती हैं, अतः उनके बीच का कोण $\leq \tfrac\pi3 + 2\arcsin\tfrac19 < \tfrac{2\pi}3$ है। स्थिति 2: $c$ सारे शीर्षों से $> L/10$ दूरी पर है। यदि $c$ त्रिभुज में हो, तो $c$ से शीर्षों की दिशाओं $u_A, u_B, u_C$ के बीच के तीनों कोणीय अंतराल $2\pi$ तक जुड़ते हैं, अतः कोई अंतराल $\leq 2\pi/3$ है; और यदि $c$ बाहर हो, तो तीनों दिशाएँ दिशाओं के किसी विवृत अर्धसमतल में पड़ती हैं और उनमें से दो का कोण $< \pi/2$ होता है। हर स्थिति में दो दिशाएँ, मान लीजिए $X$ और $Y$ की ओर, कोण $\leq 2\pi/3$ बनाती हैं; मान लीजिए $w$ उनका इकाई समद्विभाजक है, अतः $\langle u_X, w\rangle, \langle u_Y, w\rangle \geq \cos\tfrac\pi3 = \tfrac12$ । $X$ के चारों ओर वाली चक्रिका के किसी भी बिंदु $b$ के लिए:

\langle \vect{cb}, w\rangle \geq \tfrac12\norm{\vect{cX}} - \varepsilon > 0,

क्योंकि $\norm{\vect{cX}} \geq L/10 > 2\varepsilon$ (और $Y$ के लिए भी वैसा ही): अतः विवृत अर्धसमतल $\{\langle \vect{cx}, w\rangle > 0\}$ दोनों गुच्छ निगल लेता है। और उसका संवृत पूरक $c$ तथा अधिकतम तीसरे गुच्छ के $k$ बिंदु समाहित करता है। इस प्रकार समतल का कोई बिंदु $n/3$ को नहीं हरा पाता: और प्रश्न 19 के साथ केंद्रबिंदु अचर ठीक $1/3$ है।

21. कोणों को क्रमित कीजिए; सबसे बड़ा $\theta$ $\theta \geq \pi/3$ पूरा करता है (तीनों का योग $\pi$ है)। यदि $\theta \geq \pi/2$ , मान लीजिए $R$ पर, तो $M$ को सामने वाली भुजा $\intcc PQ$ का मध्यबिंदु लीजिए। माध्यिका सूत्र ( $\vect{RM} = \tfrac12(\vect{RP} + \vect{RQ})$ , खोलिए और कोसाइन नियम से $\langle\vect{RP}, \vect{RQ}\rangle$ हटा दीजिए) देता है

\norm{\vect{RM}}^2 = \tfrac12\norm{\vect{RP}}^2 + \tfrac12\norm{\vect{RQ}}^2 - \tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2 \leq \tfrac12\norm{\vect{PQ}}^2 - \tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2 = \tfrac14\norm{\vect{PQ}}^2,

जिसमें $\norm{\vect{PQ}}^2 = \norm{\vect{RP}}^2 + \norm{\vect{RQ}}^2 - 2\langle\vect{RP}, \vect{RQ}\rangle \geq \norm{\vect{RP}}^2 + \norm{\vect{RQ}}^2$ का उपयोग हुआ (अंतर्गुणन $\leq 0$ है)। अतः व्यास $\intcc PQ$ वाली, यानी त्रिज्या $\leq \tfrac12 < \tfrac1{\sqrt3}$ वाली चक्रिका तीनों बिंदु समाहित कर लेती है (और अपभ्रष्ट संरेख त्रिक $\theta = \pi$ के अंतर्गत आ जाते हैं)। और यदि $\theta < \pi/2$ , तो त्रिभुज न्यूनकोण है; ज्या-नियम से परित्रिज्या $R_c = a/(2\sin\theta)$ है, जहाँ $a \leq 1$ $\theta$ के सामने की भुजा है, और $\theta \in \intco{\pi/3}{\pi/2}$ $\sin\theta \geq \sqrt3/2$ देता है, अतः $R_c \leq 1/\sqrt3$ : अर्थात् परिवृत्त काम कर देता है।

22. $p \in S$ के लिए $K_p = \overline D(p, 1/\sqrt3)$ रखिए: यह संहत उत्तल है। $S$ के किन्हीं तीन बिंदु $p, q, s$ जोड़े-जोड़े में $\leq 1$ दूरी पर हैं, अतः प्रश्न 21 उन्हें समाहित करने वाली त्रिज्या $1/\sqrt3$ की कोई चक्रिका देता है, जिसका केंद्र $K_p \cap K_q \cap K_s$ में पड़ता है। संहत हेली (प्रश्न 14, जहाँ स्वेच्छ कुल अनुमत हैं) से कोई $c \in \bigcap_{p\in S}K_p$ है: अतः हर $p \in S$ $c$ से $1/\sqrt3$ के भीतर है, अर्थात् $S \subseteq \overline D(c, 1/\sqrt3)$ । यही समतल में युंग की प्रमेय है।

23. गुरुत्व केंद्र $G$ के साथ $\sum_i\vect{GA_i} = 0$ , अतः

\sum_i\norm{\vect{OA_i}}^2 = \sum_i\norm{\vect{OG} + \vect{GA_i}}^2 = 3\norm{\vect{OG}}^2 + 2\Bigl\langle \vect{OG}, \sum_i\vect{GA_i}\Bigr\rangle + \sum_i\norm{\vect{GA_i}}^2,

और बीच वाला पद लुप्त हो जाता है: यही लाइब्नित्स सर्वसमिका है। भुजा $1$ वाले समबाहु त्रिभुज के लिए $\norm{\vect{GA_i}} = 1/\sqrt3$ (ऊँचाई $\sqrt3/2$ का दो-तिहाई), अतः $\sum_i\norm{\vect{GA_i}}^2 = 1$ । और यदि $\overline D(O, r)$ शीर्षों को समाहित करे, तो $3r^2 \geq \sum_i\norm{\vect{OA_i}}^2 = 3\norm{\vect{OG}}^2 + 1 \geq 1$ : $r \geq 1/\sqrt3$ , जहाँ समता $O = G$ तथा तीनों दूरियों के $r$ के बराबर होने को बाध्य कर देती है — अर्थात् परिवृत्त। इस प्रकार युंग का अचर $1/\sqrt3$ तीखा है।

24. $\R^n$ में हेली: यदि $C_1, \dots, C_m$ ( $m \geq n + 1$ ) $\R^n$ के उत्तल उपसमुच्चय हों और उनमें से कोई भी $n + 1$ प्रतिच्छेद करते हों, तो वे सब प्रतिच्छेद करते हैं। आधार स्थिति $m = n + 2$ : $x_i \in \bigcap_{j\neq i}C_j$ चुनिए; रादों की प्रमेयिका (अभ्यास 17.7) $x_1, \dots, x_{n+2}$ को खंड $I \mid J$ में बाँट देती है जिनका साझा कवच-बिंदु $z$ है, और प्रत्येक $k$ के लिए जिस खंड में $k$ नहीं है वह $C_k$ के बिंदुओं से बना है, अतः उत्तलता से $z \in C_k$ , ठीक जैसा प्रश्न 11 में। $m \geq n + 2$ के लिए आगमन-चरण: $C_m, C_{m+1}$ के स्थान पर $C_m \cap C_{m+1}$ रखिए; नए कुल का कोई ऐसा $(n+1)$ -क्रम जिसमें प्रतिच्छेदित सदस्य हो, पुराने समुच्चयों के $n + 2$ के बराबर है और आधार स्थिति उसे निपटा देती है, तथा शेष क्रम परिकल्पना से ढँक जाते हैं। अब आगमन परिकल्पना से निष्कर्ष निकालिए।

25. रैखिक बीजगणित एक ही बार प्रवेश करता है: युग्मों (कुल भार, भारित स्थिति) की $(n+1)$ -विमीय समष्टि में $n + 2$ सदिश परतंत्र होने ही चाहिए — और वही आनत परतंत्रता है। उसके गुणांकों के चिह्न बिंदुओं को दोनों रादों खंडों में बाँट देते हैं और एक रैखिक संबंध को दो अऋणात्मक बैरिकेंद्रों की समता में बदल देते हैं। उत्तलता ठीक दो बार काम आती है: हेली वाले पग में ( $C_k$ के बिंदुओं का कवच $C_k$ में ही रहता है) और अनुप्रयोगों में (अर्धसमतल और चक्रिकाएँ उत्तल हैं)। समतल की विमा केवल रादों को दिए गए बिंदुओं की संख्या $4 = 2 + 2$ के द्वारा आई, अर्थात् हेली की परिकल्पना वाले “ $3 = 2 + 1$ ” के द्वारा; और शेष सब विमा-निरपेक्ष था, जैसा प्रश्न 24 पुष्ट करता है। $\R^n$ में अचर ये बन जाते हैं: हेली संख्या $n + 1$ ; केंद्रबिंदु अचर $\frac1{n+1}$ (हर परिमित समुच्चय का कोई ऐसा बिंदु होता है कि उससे होकर जाने वाला हर संवृत अर्ध-समष्टि उसका $\geq \frac1{n+1}$ भाग समाहित करे); और व्यास $1$ वाले समुच्चयों के लिए युंग त्रिज्या $\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}$ — जो $n = 2$ होने पर $1/\sqrt3$ के बराबर है।