पूर्ण दूरिक समष्टि क्या है? — गणित

परिभाषा 4.7 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 4 — दूरिक समष्टियों की सांस्थिति

कोई अनुक्रम $(x_n)$ कोशी कहलाता है जब $N \to \infty$ होने पर $\sup_{p, q \geq N} d(x_p, x_q) \to 0$ । कोई दूरिक समष्टि पूर्ण कहलाती है जब उसका हर कोशी अनुक्रम अभिसरित हो। अभिसारी $\Rightarrow$ सदा कोशी; पूर्ण समष्टियों के संवृत उपसमुच्चय पूर्ण होते हैं, और किसी भी समष्टि के पूर्ण उपसमुच्चय संवृत (वही उपपत्तियाँ जो $\R$ पर थीं: प्रथम वर्ष का खंड)।

उदाहरण

उदाहरण 4.8 (कोशी, पर बिना सीमा के)

सामान्य दूरी वाले $X = \Q$ में $\sqrt2$ के दशमलव छेदन

x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414, \quad\dots

$\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$ पूरा करते हैं: अर्थात् $\Q$ में कोशी। $\Q$ में कोई सीमा $\R$ में भी सीमा होती, अर्थात् $\sqrt2 \notin \Q$ : अतः $X$ में कोई सीमा नहीं है। अपूर्णता ऐसी ही “प्रेत सीमाओं” की उपस्थिति है; और प्रथम वर्ष के खंड में $\R$ की पूर्णता ठीक इसीलिए गढ़ी गई थी कि हर कोशी अनुक्रम को घर मिल जाए।

उदाहरण 4.13 (एक समाकल समीकरण)

$X = C(\intcc{0}{1})$ पर (जो पूर्ण है, प्रमेय 4.9), $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$ लीजिए। $f, g \in X$ के लिए:

\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq \frac12\, d_\infty(f, g),

अतः $T$ एक $\frac12$ -संकुचन है: उसका अद्वितीय संतत अचल बिंदु है — अर्थात् $f' = \frac f2$ , $f(0) = 1$ का हल, जो $\eu^{x/2}$ है। यही योजना औद्योगिक रूप ले लेने पर अध्याय 16 की कोशी–लिप्शिट्स प्रमेय बन जाती है।

उदाहरण 4.14 (एक संख्यात्मक अचल बिंदु: $x = \cos x$ )

पूर्ण $X = \intcc{0}{1}$ पर प्रतिचित्रण $f = \cos$ $X$ को $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ में भेजता है और संकुचन है: मध्यमान असमिका से,

\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr) \abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y}, \qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .

बानाख: $\intcc01$ में $x = \cos x$ का अद्वितीय हल (अतः $\R$ में भी: कोई भी वास्तविक अचल बिंदु $\intcc{-1}{1}$ में पड़ता है, और एक बार प्रतिचित्रण लगाने पर $\intcc{\cos 1}{1}$ में), और पुनरावृत्ति $x_{n+1} = \cos x_n$ किसी भी आरंभ से उस पर अभिसरित होती है: $x_\infty \approx 0.739085$ , वही प्रसिद्ध संख्या जो परिकलक की कोसाइन कुंजी बार-बार दबाने से मिलती है। त्रुटि-परिबंध $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ क्षय की भविष्यवाणी करता है — अर्थात् लगभग $13$ दबावों में एक अंक; और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या (प्रश्न 14) का पश्चगामी परिबंध हर पग को हाथों-हाथ प्रमाणित कर देता है।

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परिभाषा 7.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 7 — पूर्ण समष्टियाँ: बेयर, आस्कोली, स्टोन–वाइरश्ट्रास

कोई मापीय समष्टि पूर्ण कहलाती है यदि उसका प्रत्येक कोशी अनुक्रम अभिसरित हो (दूसरा वर्ष: $\R^n$ पूर्ण है; $\norm\cdot_\infty$ के साथ $\mathcal C(\intcc01)$ पूर्ण है)। किसी पूर्ण समष्टि का संवृत उपसमुच्चय पूर्ण होता है; और किसी भी मापीय समष्टि का पूर्ण उपसमुच्चय संवृत होता है।

उदाहरण

उदाहरण 7.5 (तत्समक का विक्षोभ)

मान लीजिए $g \colon \R^d \to \R^d$ $k < 1$ के साथ $k$ -लिप्शिट्ज़ है। तब $\varphi = \mathrm{id} + g$ $\R^d$ की $\R^d$ पर समस्थितिकता है। एकैकीपन, एक मात्रात्मक मापांक सहित:

\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .

आच्छादकता स्थिर बिंदु प्रमेय है: $\varphi(x) = y$ हल करने का अर्थ है $x = y - g(x)$ , और $x \mapsto y - g(x)$ पूर्ण $\R^d$ का $k$ -संकुचन है — अतः प्रत्येक $y$ के लिए एक अद्वितीय हल $x = \psi(y)$ विद्यमान है। प्रदर्शित असमिका प्रतिलोम $\psi$ को नियतांक $\frac1{1-k}$ के साथ लिप्शिट्ज़ बना देती है: अर्थात् एक समस्थितिकता, जिसके दोनों मापांकों पर स्पष्ट परिबंध हैं। यह भोला-सा दिखने वाला कथन प्रतिलोम फलन प्रमेय (अध्याय 20) के भीतर का इंजन है: जिस बिंदु के निकट $Df$ व्युत्क्रमणीय है, वहाँ $f$ वस्तुतः एक व्युत्क्रमणीय रैखिक प्रतिचित्रण और एक छोटा लिप्शिट्ज़ विक्षोभ है, और शेष काम आज का उदाहरण कर देता है। यह सांख्यिक दृढ़ता को भी माप देता है: प्रतिलोम के अंतराल से कम विक्षुब्ध कोई निकाय हल्य बना रहता है, और हल विक्षोभ के अधिकतम $\frac{1}{1-k}$ गुना ही खिसकता है।

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उदाहरण

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