संवृत समुच्चय কী?

उदाहरण 12.7 (अनुक्रमीय कसौटी, दोनों ओर)

संवृत: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$। मान लीजिए $u_k \to \ell$ के साथ $u_k \in F$। खिड़की $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ में $F$ के केवल परिमित कितने बिंदु हैं (परिमित कितने पूर्णांक, परिमित कितने $n + \frac1n$), और किसी कोटि के आगे सभी $u_k$ उसी में हैं: तब अनुक्रम परिमित कितने मान लेता है, और अभिसारी होने से अंततः अचर हो जाता है (जैसा अभ्यास 12.3 में है): $\ell \in F$। अतः संवृत — यद्यपि $F$ में $\frac1n$ दूरी पर, अर्थात् मनचाहे निकट, बिंदु-युग्म हैं।

संवृत नहीं: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$। अनुक्रम $\frac1n + \frac1n \in G$ $0$ की ओर जाता है, और $0 \notin G$ (दो धनात्मक पदों का योग): अनुक्रमीय कसौटी विफल हो जाती है, अतः $G$ संवृत नहीं है। रोचक बात यह कि प्रत्येक $\frac1m$ $\overline G \cap G$ का सदस्य है: वस्तुतः $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$। समापन का सार: संवृतता सिद्ध करने के लिए सभी अभिसारी अनुक्रमों को एक साथ नियंत्रित कीजिए (प्रायः किसी स्थानीय परिमितता या संवृत-सूत्र वाले तर्क से); उसका खंडन करने के लिए एक सुचयनित भागता हुआ अनुक्रम पर्याप्त है — यह असममिति ऋणात्मक दिशा को आसान बना देती है, और इस अध्याय के सभी प्रति-उदाहरणों का यही एक-पंक्ति आकार है।

उदाहरण 12.8

खंड $\intcc{a}{b}$, अर्धरेखाएँ $\intco{a}{+\infty}$, परिमित समुच्चय, $\Z$ (पूर्णांकों का अभिसारी अनुक्रम अंततः अचर होता है) संवृत हैं। $\intoc{0}{1}$ न विवृत है ($1$ पर विफल) और न संवृत ($\frac 1n \to 0 \notin$ समुच्चय): अधिकांश समुच्चय दोनों में से कुछ भी नहीं हैं। $\R$ और $\emptyset$ दोनों विवृत भी हैं और संवृत भी — और $\R$ के ऐसे केवल यही उपसमुच्चय हैं (अभ्यास 12.9)।

उदाहरण 12.9 (अनंत टुकड़ों से बना एक विवृत समुच्चय)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$: विवृत अंतरालों का अनंत सम्मिलन, जो प्रतिज्ञप्ति 12.3 से विवृत है — अतः $\Z$ संवृत है, और उसके लिए किसी अनुक्रमीय तर्क की आवश्यकता नहीं। स्थायित्व के नियमों में श्रम-विभाजन पर ध्यान दीजिए: सम्मिलन स्वेच्छ हो सकते हैं (हर बिंदु को केवल अपना प्रमाणपत्र चाहिए, जो उसे समेटने वाला एक ही समुच्चय दे देता है), जबकि प्रतिच्छेदन परिमित रहने चाहिए (प्रमाणपत्रों का प्रतिच्छेदन लेना पड़ता है, और अनंत कितनी त्रिज्याएँ सिकुड़कर शून्य हो सकती हैं)। अभ्यास 12.10 दिखाएगा कि यह उदाहरण ही सामान्य आकार है: $\R$ का प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय विवृत अंतरालों का गणनीय असंयुक्त सम्मिलन होता है।