विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Bachelor Year 2

8एक वास्तविक चर के फलन

इससे पहले कि विश्लेषण फलनों के फलनों की ओर बढ़े (अध्याय 10), एक-चर वाले परिदृश्य को प्रथम वर्ष की आवश्यकता से अधिक बारीकी से जान लेना लाभकारी है: कोई एकदिष्ट फलन कितना असंतत हो सकता है, कोई उत्तल फलन कितना नियमित होना ही पड़ता है, और अवकलजों को कौन-से विशेष गुणधर्म प्राप्त हैं (डार्बू)। ये संरचनात्मक परिणाम छोटे हैं, तीखे हैं, और परीक्षकों को बहुत प्रिय।

8.1 एकदिष्ट फलन

प्रमेय 8.1 (एकदिष्ट फलनों की नियमितता)

मान लीजिए $f \colon I \to \R$ किसी अंतराल पर वर्धमान है।

प्रत्येक अभ्यंतरीय बिंदु $a$ पर एकपक्षीय सीमाएँ विद्यमान होती हैं:

$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\; f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$

अर्थात् हर असंततता कोई उछाल है।
$f$ की असंततताओं का समुच्चय अधिकतम गणनीय होता है।

उपपत्ति. (1) समुच्चय $\{f(x) : x < a\}$ अरिक्त है और ऊपर से $f(a)$ द्वारा परिबद्ध: उसका उच्चतम $s$ $x \to a^-$ होने पर $f(x) \to s$ पूरा करता है ( $\varepsilon$ दिया हो तो कोई $f(x_0) > s - \varepsilon$ , और एकदिष्टता $x \in \intoo{x_0}{a}$ के लिए $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ को फँसा लेती है)। दाईं ओर सममित रूप से।

(2) हर असंततता $a$ के साथ अरिक्त विवृत अंतराल $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (एक सच्चा उछाल) जोड़ दीजिए। $a < b$ असंततताओं के लिए $J_a$ और $J_b$ असंयुक्त हैं: बीच के किसी भी $c$ के लिए $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ । हर $J_a$ में कोई परिमेय संख्या है; और भिन्न असंततताओं को भिन्न परिमेय मिलती हैं: अर्थात् असंतति-समुच्चय का $\Q$ में एकैकी प्रतिचित्रण, जो गणनीय है (प्रतिज्ञप्ति 1.6)। ∎

उदाहरण 8.2

यह परिबंध तीखा है: $\Q \cap \intoo{0}{1}$ की कोई गणना $(r_n)$ स्थिर कीजिए और $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ रखिए (यह योग्य-कुल वाली परिभाषा है, परिभाषा 7.8)। तब $f$ $\intcc{0}{1}$ पर वर्धमान है और ठीक $\intoo{0}{1}$ की हर परिमेय संख्या पर असंतत ( $r_n$ पर उछाल $2^{-n}$ ): अर्थात् कोई एकदिष्ट फलन किसी सघन गणनीय समुच्चय पर असंतत हो सकता है।

उदाहरण 8.3 (उछाल चढ़ाई से भारी नहीं हो सकते)

$\intcc{a}{b}$ पर वर्धमान $f$ के लिए उछालों का एक बजट होता है: यदि $a < c_1 < \dots < c_m < b$ उछालों $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$ वाली असंततताएँ हों, तो बीच-बीच के बिंदु $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ चुनकर और हर टुकड़े पर एकदिष्टता का उपयोग करके

\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :

अर्थात् कुल चढ़ाई कुल उछाल को परिबद्ध कर देती है। परिणाम: प्रत्येक $k$ के लिए अधिकतम $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ असंततताओं का उछाल $\geq \frac1k$ होता है — यह प्रमेय 8.1 (2) का परिमाणात्मक परिष्कार है, क्योंकि असंतति-समुच्चय $k$ पर इन्हीं परिमित समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन है। ऊपर के परिमेय-उछाल वाले फलन पर यह बजट पूरा-का-पूरा ख़र्च होता है: उछाल $2^{-n}$ स्पष्ट विस्तारित अर्थ में $1 = f(1^+) - f(0^-)$ तक जुड़ जाते हैं। एकदिष्ट फलन सघन रूप से उछल सकते हैं, पर केवल एक कड़े भत्ते के भीतर।

8.2 उत्तल फलन

प्रमेयिका 8.4 (ढाल असमिका)

मान लीजिए $f$ $I$ पर उत्तल है और $I$ में $x < y < z$ । तब

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :

अर्थात् जीवाओं की ढालें दोनों अंत्यबिंदुओं में बढ़ती हैं।

उपपत्ति. $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$ लिखिए: यह उत्तल संचय है, क्योंकि दोनों गुणांक धनात्मक हैं और उनका योग $1$ है। उत्तलता देती है

f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).

बाईं असमिका के लिए दोनों पक्षों में से $f(x)$ घटाइए और $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$ का उपयोग कीजिए:

f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

और $y - x > 0$ से भाग दीजिए। दाईं असमिका के लिए इसके बदले $f(z)$ में से घटाइए:

f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) - \frac{y-x}{z-x}f(z) = \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

और $z - y > 0$ से भाग दीजिए। दोनों प्रदर्शित पग वही बैरिकेंद्रीय सर्वसमिका हैं, बस अलग-अलग अंत्यबिंदु के सापेक्ष पढ़ी गई। ∎

प्रमेय 8.5 (उत्तल फलनों की नियमितता)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर उत्तल है।

प्रत्येक अभ्यंतरीय बिंदु पर $f$ के परिमित एकपक्षीय अवकलज $f'_g \leq f'_d$ होते हैं; दोनों बिंदु के वर्धमान फलन हैं; और विशेष रूप से $f$ $I$ के अभ्यंतर पर संतत है (पर अंत्यबिंदुओं पर शायद नहीं)।
$f$ हर अवलंब रेखा के ऊपर रहता है: अभ्यंतरीय $a$ और किसी भी $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$ के लिए

$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$
(जेनसन, भारित) $x_i \in I$ तथा भार $\lambda_i \geq 0$ , $\sum\lambda_i = 1$ के लिए:

$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) .$

उपपत्ति. (1) कोई अभ्यंतरीय $a$ स्थिर कीजिए। प्रमेयिका 8.4 से ढाल $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ $h$ का वर्धमान फलन है (दोनों ओर, और $h_- < 0 < h_+$ के लिए $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ )। अतः $h \to 0^-$ होने पर $\tau$ की परिमित सीमा है (वर्धमान, और ऊपर से किसी भी दाईं ढाल से परिबद्ध) — यही $f'_g(a)$ है — और $h \to 0^+$ होने पर भी ( $f'_d(a)$ ), जहाँ $f'_g(a) \leq f'_d(a)$ । परिमित एकपक्षीय अवकलज $a$ पर संततता को बाध्य कर देते हैं। बिंदु में एकदिष्टता: अभ्यंतरीय $a < b$ के लिए $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$ , फिर ढाल असमिका से।

(2) $x > a$ के लिए: $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$ ; और $x < a$ के लिए: $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$ । दोनों पुनर्व्यवस्थित होकर दावा दे देते हैं।

(3) बिंदुओं की संख्या पर आगमन, ठीक प्रथम वर्ष के खंड की तरह (दो-बिंदु वाली स्थिति परिभाषा ही है) — अथवा एक ही झटके में: (2) को $a = \sum\lambda_i x_i$ पर लगाइए और बिंदुओं $x_i$ पर अवलंब-रेखा असमिकाओं का भार $\lambda_i$ के साथ औसत लीजिए: $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$ । ∎

एक ही चित्र में उत्तलता: -1.5 और 2 के बीच f(x) = x2 का आलेख अपनी जीवा के नीचे रहता है (यही परिभाषा) और x = 0.5 पर अवलंब रेखा के ऊपर ( (2)) — और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या की हर असमिका इन्हीं दो स्थितियों का पुनर्विन्यास है। — एक ही चित्र में उत्तलता: $-1.5$ और $2$ के बीच $f(x) = x^2$ का आलेख अपनी जीवा के नीचे रहता है (यही परिभाषा) और $x = 0.5$ पर अवलंब रेखा के ऊपर (प्रमेय 8.5 (2)) — और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या की हर असमिका इन्हीं दो स्थितियों का पुनर्विन्यास है।

उदाहरण 8.6 (अंत्यबिंदु पर असंततता)

$\intcc{0}{1}$ पर फलन $f(0) = 1$ , और $x > 0$ के लिए $f(x) = 0$ , उत्तल है परंतु अंत्यबिंदु $0$ पर असंतत: अर्थात् कथन (1) तीखा है।

उदाहरण 8.7 (कोने और अवलंब रेखाओं का पूला)

$a = 0$ पर $f(x) = \abs x$ के लिए: एकपक्षीय अवकलज $f'_g(0) = -1$ और $f'_d(0) = +1$ हैं, और प्रमेय 8.5 (2) प्रत्येक ढाल $m \in \intcc{-1}{1}$ के लिए एक अवलंब रेखा दे देती है:

\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),

जिनमें से हर एक ठीक किसी अर्धरेखा पर अथवा $0$ पर समता है। कोई उत्तल फलन $a$ पर ठीक तभी अवकलनीय होता है जब यह पूला सिमटकर एक ही रेखा बन जाए ( $f'_g(a) = f'_d(a)$ ); और कोनों पर स्पर्श रेखाओं का पूरा अंतराल होता है। यह पूला उत्तल अनुकूलन के उपअवकलज का परिमित-विमीय बीज है — और यही कारण है कि उत्तल फलन इतने मज़बूत हैं: जहाँ अवकलज विफल हो जाता है वहाँ भी अवलंब ज्यामिति बची रहती है, और जेनसन की उपपत्ति को इतना ही चाहिए था।

उदाहरण 8.8 (घात माध्य असमिका)

$0 < p < q$ तथा $1$ तक जुड़ने वाले भार $\lambda_i$ के साथ धनात्मक $x_i$ के लिए, बिंदुओं $x_i^p$ पर उत्तल $t \mapsto t^{q/p}$ पर जेनसन लगाने से:

\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :

अर्थात् घात माध्य घातांक के साथ बढ़ते हैं — जिसमें समांतर–वर्गमाध्य असमिका समाहित है, और सीमा $p \to 0$ (अभ्यास 8.6) में एक बार फिर समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका भी।

मानों 1, 2, 4 (समान भार) का घात माध्य M_p, घातांक p के फलन के रूप में: = 1 से (p -∈fty होने पर) = 4 तक (p +∈fty होने पर) बढ़ता हुआ, और बीच में हरात्मक (p = -1), गुणोत्तर (p = 0 पर खाली जगह, मान 2), समांतर (p = 1) तथा वर्गमाध्य (p = 2) माध्यों से होकर। क्लासिक माध्य-असमिकाओं की पूरी शृंखला एक ही बढ़ता हुआ वक्र है — जो इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या, भाग III में सिद्ध होती है। — मानों $1, 2, 4$ (समान भार) का घात माध्य $M_p$ , घातांक $p$ के फलन के रूप में: $\min = 1$ से ( $p \to -\infty$ होने पर) $\max = 4$ तक ( $p \to +\infty$ होने पर) बढ़ता हुआ, और बीच में हरात्मक ( $p = -1$ ), गुणोत्तर ( $p = 0$ पर खाली जगह, मान $2$ ), समांतर ( $p = 1$ ) तथा वर्गमाध्य ( $p = 2$ ) माध्यों से होकर। क्लासिक माध्य-असमिकाओं की पूरी शृंखला एक ही बढ़ता हुआ वक्र है — जो इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या, भाग III में सिद्ध होती है।

उदाहरण 8.9 (महत्तम एन्ट्रॉपी)

किसी प्रायिकता सदिश $(p_1, \dots, p_n)$ (धनात्मक, और $1$ तक जुड़ने वाला) के लिए एन्ट्रॉपी $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ पूरा करती है

H(p) \leq \ln n , \qquad\text{और समता तभी जब सभी } i . \text{ के लिए } p_i = \frac1n

उपपत्ति: भार $p_i$ के साथ बिंदुओं $\frac{1}{p_i}$ पर अवतल $\ln$ पर जेनसन (प्रमेय 8.5 (3)) लगाइए:

H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i} \leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,

और समता सारे बिंदुओं $\frac1{p_i}$ को बराबर होने पर बाध्य कर देती है (यथार्थ अवतलता), अर्थात् $p$ एकसमान। समतुल्य रूप से यह एकसमान $q$ के साथ अभ्यास 8.7 है। अनिश्चितता तब महत्तम होती है जब अज्ञान एकसमान रूप से फैला हो — और यही वह चरमीय सिद्धांत है जो कूटलेखन, सांख्यिकीय यांत्रिकी तथा अध्याय 22 की एन्ट्रॉपी-उपस्थितियों के पीछे है।

विधि 8.10 (किसी असमिका के पीछे का उत्तल फलन खोजना)

अधिकांश क्लासिक असमिकाएँ भेस बदले हुए जेनसन हैं; और किसी एक का भेस उतारने के लिए: (1) इस प्रकार सामान्यीकृत कीजिए कि कोई भारित औसत प्रकट हो जाए (भार धनात्मक और $1$ तक जुड़ने वाले — आवश्यकता हो तो कुल द्रव्यमान से भाग दीजिए); (2) देखिए कि औसत के भीतर और बाहर कौन-सा फलन लगाया गया है: दावा “ $f(\text{औसत}) \leq$ $f$ का औसत” उत्तल $f$ का नाम बता देता है; (3) उत्तलता को दूसरे अवकलज से प्रमाणित कीजिए और समता को यथार्थता के द्वारा सँभालिए; (4) यदि कोई औसत दिखाई ही न दे, तो पहले लघुगणक लीजिए — गुणनफल और घातें औसत बन जाते हैं, और $\ln$ की अवतलता समांतर–गुणोत्तर माध्य, यंग तथा उनके सगे-संबंधियों को उठा लेती है (इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या उन सब पर चरण 1–4 चलाती है)। और यदि लघुगणक भी कोई औसत न दिखाएँ, तो असमिका को ढालों की एकदिष्टता के रूप में पढ़िए (प्रमेयिका 8.4) — अभ्यास 8.9 जैसे अधियोज्यता-कथन वहीं रहते हैं।

टिप्पणी 8.11 (सामान्य भूलें)

(क) उत्तलता गुणनफल के अंतर्गत सुरक्षित नहीं रहती: $x$ और $(x - 1)^2$ $\intcc{0}{2}$ पर उत्तल हैं, परंतु उनके गुणनफल $x(x-1)^2$ का दूसरा अवकलज $6x - 4$ है, जो $\intco{0}{\frac23}$ पर ऋणात्मक है — अतः उत्तल नहीं; और न ही उत्तलता एकदिष्टता के बिना संयोजन के अंतर्गत सुरक्षित रहती है (अभ्यास 8.10)। (ख) अवतल फलनों के लिए जेनसन पलट जाती है: आधी क्लासिक असमिकाएँ अवतल $\ln$ वाला रूप हैं; और उत्तल रूप को $\ln$ पर लगाना समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका को उलटा सिद्ध करने का सबसे तेज़ रास्ता है। (ग) अकेली मध्यबिंदु उत्तलता से उत्तलता नहीं निकलती — संततता (अथवा केवल परिबद्धता) चाहिए (अभ्यास 8.8); और विकृत प्रतिउदाहरण इस पुस्तक के अभिगृहीतों से परे रहते हैं। (घ) किसी विवृत अंतराल पर उत्तल फलन संतत होता है, बल्कि स्थानीय रूप से लिप्शिट्स भी (अभ्यास 8.12); अंत्यबिंदुओं पर कुछ भी मुफ़्त नहीं। (ङ) अवकलज डार्बू का पालन करते हैं पर उनका संतत होना आवश्यक नहीं (उदाहरण 8.15): “ $f'$ में कोई उछाल नहीं” का अर्थ कभी “ $f'$ संतत है” नहीं होता।

8.3 डार्बू गुणधर्म

प्रमेय 8.12 (डार्बू)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर अवकलनीय है। तब $f'$ अपने किन्हीं दो मानों के बीच का हर मान लेता है — यद्यपि $f'$ का संतत होना आवश्यक नहीं है।

उपपत्ति. मान लीजिए $I$ में $a < b$ है और $v$ $f'(a)$ तथा $f'(b)$ के यथार्थतः बीच में है, मान लीजिए $f'(a) < v < f'(b)$ । फलन $g(x) = f(x) - vx$ अवकलनीय है और $g'(a) < 0 < g'(b)$ : $\intcc{a}{b}$ पर उसका न्यूनतम (जो प्राप्त होता है: संहत पर संततता) न $a$ पर है ( $a$ के ठीक बाद $g$ $g(a)$ से नीचे उतरता है) और न $b$ पर ( $b$ के ठीक पहले $g$ $g(b)$ से नीचे है): अतः वह अभ्यंतरीय है, और वहाँ $g'(c) = 0$ , अर्थात् $f'(c) = v$ । (यह प्रथम वर्ष का तारांकित अभ्यास था; सिद्धांत में उसका स्थान यहाँ है।) ∎

उदाहरण 8.13 (कौन-से फलन अवकलज होते हैं?)

डार्बू की प्रमेय अनस्तित्व की मशीन है। महत्तम पूर्णांक फलन $\lfloor x\rfloor$ $\R$ पर किसी भी फलन का अवकलज नहीं है: वह मान $0$ और $1$ लेता है पर $\intcc{0}{1}$ पर $\frac12$ छोड़ देता है, और अवकलजों के लिए प्रमेय 8.12 इसे वर्जित करती है। यही निर्णय हर उछाल वाले फलन पर पड़ता है — चिह्न फलन, हेविसाइड, सारे सोपान फलन — चाहे वे कितने ही निर्दोष क्यों न दिखें; उनके “प्रतिअवकलज” (चिह्न के लिए $\abs x$ , इत्यादि) केवल उछाल से दूर विद्यमान होते हैं और वहाँ कोने के साथ गाँठ बना लेते हैं। इसके विपरीत उदाहरण 8.15 का उग्र रूप से असंतत $f'$ अवकलज है — उसकी असंततता दोलन है, जिसे डार्बू सह लेती है। दोनों व्यवहारों के बीच की सीमा ठीक नीचे वाला “कोई उछाल नहीं” उपप्रमेय है।

उपप्रमेय 8.14

किसी अवकलज में उछाल-असंततताएँ नहीं होतीं: यदि $f'(a^-)$ और $f'(a^+)$ विद्यमान हों, तो वे $f'(a)$ के बराबर होते हैं। किसी अवकलज की असंततताएँ सदा दोलन-प्रकार की होती हैं ( $0$ पर $x^2\sin\frac1x$ का अवकलज, प्रथम वर्ष का खंड)।

उपपत्ति. यदि $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ विद्यमान हो और $f'(a)$ से भिन्न हो, तो उनके यथार्थतः बीच के मान $f'$ किसी दाएँ प्रतिवेश पर छोड़ देता — जो अंतरालों $\intcc{a}{a + h}$ पर डार्बू के विरुद्ध है। (वैकल्पिक रूप से: मध्यमान प्रमेय $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$ को बाध्य कर देती है, क्योंकि अंतर-भागफल किसी मध्यवर्ती बिंदु पर $f'$ का मान है।) बाईं ओर भी वैसा ही। ∎

उदाहरण 8.15 (विहित दोलनशील अवकलज)

$x \neq 0$ के लिए $f(x) = x^2\sin\frac1x$ और $f(0) = 0$ लीजिए। $0$ पर: $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , अतः $f'(0) = 0$ विद्यमान है। और $0$ से दूर,

f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,

जिसका पहला पद $0$ की ओर जाता है जबकि $\cos\frac1x$ हर अंतराल $\intoo{0}{\delta}$ पर $\intcc{-1}{1}$ में दोलन करता है: अतः सीमा $f'(0^+)$ विद्यमान नहीं है। इस प्रकार $f'$ सर्वत्र परिभाषित है पर $0$ पर असंतत — और ठीक जैसा उपप्रमेय 8.14 बताती है, यह असंततता दोलन है, उछाल नहीं: हर $\intoo{0}{\delta}$ पर $f'$ $0$ के चारों ओर पूरा एक अंतराल छान मारता है। अवकलज उग्र हो सकते हैं, पर केवल डार्बू के अनुकूल ढंग से।

टिप्पणी 8.16 (यह अध्याय कहाँ काम आता है)

उत्तलता असमिका-उद्योग का इंजन है: इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या उसी से यंग, हॉल्डर, मिंकोव्स्की और घात-माध्य शृंखला बना देती है, जिन्हें अध्याय 5 का मानदंड सिद्धांत और अध्याय 9 के समाकल आकलन उपभोग करते हैं; और जेनसन प्रायिकता में अध्याय 22 की आघूर्ण-असमिकाओं के रूप में लौटती है। एकदिष्ट नियमितता अध्याय 9 में लौटती है (एकदिष्ट फलन समाकलनीय होते हैं) और तृतीय वर्ष के खंड में एकदिष्ट फलनों की लगभग-सर्वत्र अवकलनीयता के रूप में — जहाँ “गणनीय उछाल” लेबेग के सिद्धांत का पहला चरण बन जाता है।

8.4 अभ्यास

अभ्यास 8.1 ★

असंतति-समुच्चय और उछालों के आकार निर्धारित कीजिए: $\lfloor x \rfloor$ ; $\;x - \lfloor x\rfloor$ ; $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ ; और प्रमेय 8.1 के बाद वाले उदाहरण का फलन, जिसे द्विआधारी परिमेय $r_n$ तक प्रतिबंधित कर दिया गया हो।

हल

हल — अभ्यास 8.1.

$\lfloor x\rfloor$ : हर पूर्णांक पर $1$ आकार के उछाल। $x - \lfloor x\rfloor$ : पूर्णांकों पर $-1$ आकार के उछाल (बाईं सीमा $1$ , मान $0$ )। $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ : किसी पूर्णांक $n$ पर बाईं सीमा $(n - 1) + 1 = n$ और मान $n$ : अर्थात् सर्वत्र संतत (वर्गमूल उछाल को सुधार देता है), यद्यपि पूर्णांकों पर अवकलनीय नहीं। परिमेय-उछाल वाला फलन: उस रचना को द्विआधारी परिमेयों की किसी गणना तक प्रतिबंधित करने पर वह ठीक $n$ -वीं द्विआधारी परिमेय पर $2^{-n}$ जितना उछलता है और अन्यत्र संतत रहता है।

अभ्यास 8.2 ★

सिद्ध कीजिए कि मध्यमान गुणधर्म वाला वर्धमान फलन $f \colon I \to \R$ (जिसका किसी भी उपअंतराल का प्रतिबिंब अंतराल हो) संतत होता है।

हल

हल — अभ्यास 8.2.

मान लीजिए वर्धमान $f$ किसी अभ्यंतरीय $a$ पर असंतत है: तब $f(a^-) < f(a^+)$ (प्रमेय 8.1) और $I$ का प्रतिबिंब अरिक्त विवृत अंतराल $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ को छोड़ देता है, सिवाय संभवतः अकेले मान $f(a)$ के: अर्थात् जिस भी उपअंतराल के अभ्यंतर में $a$ हो उसका प्रतिबिंब अंतराल नहीं है (उसमें $f(a)$ के कम से कम एक ओर खाली जगह है)। यह मध्यमान गुणधर्म के विरुद्ध है। और अंत्यबिंदु की असंततताएँ इसी तरह एकपक्षीय खाली जगहों से अपवर्जित हो जाती हैं।

अभ्यास 8.3 ★

इनमें से कौन अपने प्रांत पर उत्तल हैं? $x \mapsto x\ln x$ ( $x > 0$ ); $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$ ; $\;x \mapsto \sqrt{1 + x^2}$ ; $\;x \mapsto x^3$ ।

हल

हल — अभ्यास 8.3.

$x\ln x$ : दूसरा अवकलज $\frac1x > 0$ : अतः उत्तल। $\ln(1 + \eu^x)$ : अवकलज $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 + \eu^x}$ , जो वर्धमान है: अतः उत्तल। $\sqrt{1 + x^2}$ : दूसरा अवकलज $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$ : अतः उत्तल। $x^3$ : $\R$ पर उत्तल नहीं ( $f'' = 6x$ का चिह्न बदलता है); केवल $\R_+$ पर उत्तल।

अभ्यास 8.4 ★★

मान लीजिए $f$ $\R$ पर उत्तल है और ऊपर से परिबद्ध। सिद्ध कीजिए कि $f$ अचर है। (यदि $f(a) \neq f(b)$ , तो ढाल असमिका अशून्य जीवा-ढाल को आगे फैला देती है: बड़े मान वाले बिंदु के आगे $f$ कम से कम रैखिक रूप से बढ़ता है — जो परिबद्धता के विरुद्ध है। ढाल के दोनों चिह्नों को सँभालिए।) इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\R$ पर दोनों सिरों पर अनंतस्पर्शी रेखा वाला उत्तल फलन आनत होता है।

हल

हल — अभ्यास 8.4.

मान लीजिए $f(a) \neq f(b)$ , कहिए $a < b$ के साथ $f(b) > f(a)$ (स्थिति $f(b) < f(a)$ सममित है, बाईं ओर देखते हुए)। $x > b$ के लिए $a < b < x$ पर ढाल असमिका (प्रमेयिका 8.4) देती है

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,

जो ऊपर से परिबद्ध होने के विरुद्ध है। अतः $f$ अचर है।

अनंतस्पर्शी रेखाएँ: यदि $+\infty$ पर $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ और $-\infty$ पर $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ हो, तो उत्तल फलन $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ $+\infty$ के पास ऊपर से परिबद्ध है; और उत्तलता तथा $-\infty$ पर अनंतस्पर्शी रेखा (जो $\mp\infty$ पर ढालों की तुलना करने से पहले $\alpha' \leq \alpha$ और फिर $\alpha' = \alpha$ को बाध्य कर देती है: उत्तल फलन की ढालें बढ़ती हैं) $g$ को पूरे $\R$ पर ऊपर से परिबद्ध बना देती हैं, अतः वह अचर है और सीमा में वह अचर $= 0$ है: इसलिए $f$ आनत है।

अभ्यास 8.5 ★★

मान लीजिए $f$ $I$ पर अवकलनीय है और $f'$ एकदिष्ट। सिद्ध कीजिए कि $f'$ संतत है (प्रमेय 8.1 और उपप्रमेय 8.14 को मिलाइए)।

हल

हल — अभ्यास 8.5.

$f'$ एकदिष्ट है, अतः प्रमेय 8.1 के अनुसार उसकी एकमात्र संभव असंततताएँ उछाल हैं, और एकपक्षीय सीमाएँ सर्वत्र विद्यमान हैं। और उपप्रमेय 8.14 के अनुसार किसी अवकलज में उछाल-असंततताएँ नहीं होतीं। अतः $f'$ में कोई असंततता है ही नहीं: वह संतत है।

अभ्यास 8.6 ★★

(सीमा के रूप में गुणोत्तर माध्य) धनात्मक $x_i$ तथा $1$ तक जुड़ने वाले भार $\lambda_i$ के लिए $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$ के द्वारा सिद्ध कीजिए

\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} = \prod_i x_i^{\lambda_i} ,

और उदाहरण 8.8 से भारित समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका निष्कर्ष रूप में निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 8.6.

लघुगणक लीजिए:

\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr) = \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p^2)\Bigr) = \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p) \xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,

जिसमें $\sum\lambda_i = 1$ और $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ का उपयोग हुआ। घातांकी लेने पर गुणोत्तर माध्य मिल जाता है। अब प्रत्येक $p \in \intoo{0}{1}$ के लिए घात-माध्य असमिका (उदाहरण 8.8, घातांक $p < 1$ ) देती है

\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;

और बाईं ओर $p \to 0^+$ लेने पर $\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$ मिलता है: अर्थात् भारित समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका।

अभ्यास 8.7 ★★

(एन्ट्रॉपी असमिका) $t \mapsto t\ln t$ की यथार्थ उत्तलता का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\sum p_i = \sum q_i = 1$ वाले धनात्मक $p_i, q_i$ के लिए:

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,

और समता तभी जब $p = q$ । ( $\varphi(t) = t\ln t$ के साथ बाएँ पक्ष को $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ के रूप में लिखिए और भार $q_i$ के साथ जेनसन लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 8.7.

$\varphi(t) = t\ln t$ (जो उत्तल है: $\varphi'' = \frac1t > 0$ ) तथा बिंदुओं $t_i = \frac{p_i}{q_i}$ पर भार $q_i$ के साथ जेनसन (प्रमेय 8.5 (3)) से:

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} = \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr) \;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr) = \varphi(1) = 0 ,

और यथार्थतः उत्तल फलन के लिए जेनसन में समता सारे बिंदुओं $t_i$ को एक होने पर बाध्य कर देती है: अर्थात् $\frac{p_i}{q_i}$ अचर, और योग लेने पर वह अचर $1$ है: $p = q$ । (यह राशि — कुलबैक–लाइब्लर विचलन — अध्याय 22 की दुनिया में लौटती है।)

अभ्यास 8.8 ★★★

(मध्यबिंदु उत्तलता) $f \colon I \to \R$ मध्यबिंदु उत्तल कहलाता है जब सदा $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ हो। सिद्ध कीजिए कि संतत मध्यबिंदु उत्तल फलन उत्तल होता है। ( $m$ पर आगमन से द्विआधारी भार $\frac{k}{2^m}$ के लिए उत्तलता असमिका स्थापित कीजिए, फिर सघनता और संततता के द्वारा सीमा लीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 8.8.

द्विआधारी भार। $m$ पर आगमन: $m = 1$ वाली स्थिति परिकल्पना ही है। भार $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ (विषम $k$ ) के लिए $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$ सहित $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ लिखिए, जहाँ सरलीकरण के बाद दोनों का हर $2^m$ है; तब

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) = f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr) \leq \frac{f(u) + f(v)}{2} \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),

जहाँ $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ और $v = \lambda_2 x + (1-\lambda_2)y$ , और इसमें पहले मध्यबिंदु उत्तलता तथा फिर $u, v$ पर आगमन परिकल्पना का उपयोग हुआ।

सीमा तक जाना। किसी भी $\lambda \in \intcc{0}{1}$ के लिए द्विआधारी $\lambda_n \to \lambda$ लीजिए: $f$ तथा आनत प्रतिचित्रणों की संततता असमिका $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) + (1-\lambda_n)f(y)$ को सीमा तक ले जाती है: अतः $f$ उत्तल है।

अभ्यास 8.9 ★★★

मान लीजिए $f$ $\intco{0}{+\infty}$ पर उत्तल है और $f(0) \leq 0$ । सिद्ध कीजिए कि $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर वर्धमान है, और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $f(0) = 0$ वाले उत्तल $f$ के लिए $x, y \geq 0$ होने पर $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ (अधियोज्यता)।

हल

हल — अभ्यास 8.9.

$0 < x < y$ के लिए बिंदुओं $0 < x < y$ पर ढाल असमिका (प्रमेयिका 8.4) देती है

\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y}, \qquad\text{अर्थात्}\qquad \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} + f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).

और चूँकि $f(0) \leq 0$ तथा $\frac1x - \frac1y > 0$ , अंतिम पद $\leq 0$ है: $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$ । अतः $x \mapsto \frac{f(x)}x$ बढ़ता है।

$f(0) = 0$ के लिए अधियोज्यता: $x, y > 0$ के लिए (जिन स्थितियों में कोई चर शून्य है वे तुच्छ हैं),

f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y}, \qquad f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},

अभी सिद्ध की गई एकदिष्टता से; और जोड़ने पर $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$ ।

अभ्यास 8.10 ★

मान लीजिए $f$ $I$ पर उत्तल है और $g$ $f(I)$ को समाहित करने वाले किसी अंतराल पर उत्तल तथा वर्धमान। सिद्ध कीजिए कि $g \circ f$ उत्तल है, और प्रतिउदाहरण से दिखाइए कि $g$ की एकदिष्टता हटाई नहीं जा सकती।

हल

हल — अभ्यास 8.10.

$x, y \in I$ और $\lambda \in \intcc01$ के लिए: $f$ की उत्तलता, फिर $g$ की एकदिष्टता, फिर $g$ की उत्तलता:

g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr) \leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr) \leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).

एकदिष्टता के बिना प्रतिउदाहरण: $g(t) = -t$ उत्तल (आनत) है पर ह्रासमान, $f(x) = x^2$ उत्तल है, और $g \circ f = -x^2$ यथार्थतः अवतल है।

अभ्यास 8.11 ★★

(एर्मीत–आदामार) मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर उत्तल और संतत है। सिद्ध कीजिए

f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .

(बाएँ: मध्यबिंदु पर अवलंब रेखा का समाकलन कीजिए। दाएँ: $f$ को जीवा से परिबद्ध कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 8.11.

बाईं असमिका: $m = \frac{a+b}2$ लीजिए और $m$ पर कोई अवलंब रेखा (प्रमेय 8.5 (2)): अर्थात् सभी $t \in \intcc ab$ के लिए $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ । $\intcc{a}{b}$ पर समाकलन कीजिए: रैखिक पद का समाकल $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ हो जाता है ( $m$ के परितः सममिति), अतः $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$ ।

दाईं असमिका: $\intcc ab$ पर उत्तलता $f$ को उसकी जीवा से परिबद्ध कर देती है: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$ । समाकलन करने पर: $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$ । अब $b - a$ से भाग दीजिए।

अभ्यास 8.12 ★★★

सिद्ध कीजिए कि किसी विवृत अंतराल $I$ पर उत्तल फलन स्थानीय रूप से लिप्शिट्स होता है: प्रत्येक खंड $\intcc{a}{b} \subseteq I$ तथा $\intcc{a - \delta}{b + \delta} \subseteq I$ वाले हाशिये $\delta > 0$ के लिए $\intcc{a}{b}$ पर $f$ का प्रतिबंधन लिप्शिट्स है, और उसका अचर $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|, \bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ (ढाल असमिका से हर जीवा-ढाल को इन दोनों के बीच फँसाइए)।

हल

हल — अभ्यास 8.12.

मान लीजिए $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$ , और ये सब $I$ में हैं। ढाल असमिका (प्रमेयिका 8.4) के दो प्रयोग, पहले $a - \delta < a \leq x < y$ पर और फिर $x < y \leq b < b + \delta$ पर:

\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}

(जब दोनों अंत्यबिंदु दाईं ओर खिसकते हैं तब जीवा-ढालें बढ़ती हैं)। अतः $\intcc ab$ के भीतर हर जीवा-ढाल दो निश्चित संख्याओं के बीच फँस जाती है, और

\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x}, \qquad K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|, \Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):

अर्थात् $f$ $\intcc ab$ पर लिप्शिट्स है। विवृत $I$ के हर बिंदु के चारों ओर ऐसा हाशिये-सहित खंड मिल जाता है: अतः स्थानीय रूप से लिप्शिट्स, इसलिए (फिर से) $I$ पर संतत।

8.5 समस्या: उत्तलता का औज़ार-बक्सा

एक ही परिभाषा — आलेख के ऊपर जीवा — क्लासिक असमिकाओं का पूरा औज़ार-बक्सा उत्पन्न कर देती है। यह सप्ताहांत समस्या उसे तार्किक क्रम में बनाती है: पहले उत्तलता की कसौटियाँ और यथार्थ जेनसन, फिर यंग, हॉल्डर तथा मिंकोव्स्की ( $p$ -मानदंडों के जन्म-प्रमाणपत्र), न्यूनतम से महत्तम तक पूरी घात-माध्य शृंखला, और दो मुकुट-लाभ — कार्लेमान की असमिका, तथा द्वैतता के रूप में पढ़ी गई हॉल्डर। सब कुछ सिद्ध किया गया है; कुछ भी आयातित नहीं।

समस्या 8.1

सप्ताहांत समस्या — यंग, हॉल्डर, मिंकोव्स्की और घात-माध्य शृंखला

आगे सर्वत्र $p, q > 1$ संयुग्मी घातांक हैं: $\frac1p + \frac1q = 1$ ; सदिश $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ हैं; और भार $\lambda_i > 0$ $\sum_i\lambda_i = 1$ पूरा करते हैं।

भाग I — कसौटियाँ और यथार्थ जेनसन।

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर अवकलनीय है। सिद्ध कीजिए कि $f$ उत्तल है यदि और केवल यदि $f'$ वर्धमान हो (एक दिशा ढाल असमिका प्रमेयिका 8.4 में सीमा लेकर; दूसरी मध्यमान प्रमेय से)। इससे $C^2$ कसौटी $f'' \geq 0$ निष्कर्ष रूप में निकालिए।
मान लीजिए $I$ पर $f''> 0$ । सिद्ध कीजिए कि $f$ यथार्थतः उत्तल है ( $x \neq y$ तथा $\lambda \in \intoo01$ के लिए यथार्थ असमिका), और यह कि यथार्थतः उत्तल फलन जेनसन असमिका (प्रमेय 8.5 (3)) में समता केवल तब देता है जब सारे $x_i$ एक ही हों।
औज़ार-बक्से का कच्चा माल प्रमाणित कीजिए: $-\ln$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर यथार्थतः उत्तल है; $t \mapsto t^r$ वहाँ $r > 1$ के लिए यथार्थतः उत्तल और $0 < r < 1$ के लिए यथार्थतः अवतल है; और $\exp$ $\R$ पर यथार्थतः उत्तल है।
(यंग की असमिका) $a, b \geq 0$ के लिए सिद्ध कीजिए

$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$

और समता तभी जब $a^p = b^q$ ( $\ln$ की अवतलता को भार $\frac1p, \frac1q$ के साथ दोनों बिंदुओं $a^p, b^q$ पर लगाइए)।
$\ln$ की अवतलता से एक ही पंक्ति में भारित समांतर–गुणोत्तर माध्य असमिका पुनः निकालिए:

$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$

समता की स्थिति सहित; और अभ्यास 8.6 के सीमा-मार्ग से तुलना कीजिए।

भाग II — हॉल्डर और मिंकोव्स्की। $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ और $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$ लिखिए।

(हॉल्डर) सिद्ध कीजिए

$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$

और समता तभी जब सदिश $(\abs{a_i}^p)$ तथा $(\abs{b_i}^q)$ अनुपाती हों ( $\norm a_p = \norm b_q = 1$ को सामान्यीकृत कीजिए और पद-दर-पद यंग लगाइए)।
विशेष स्थितियाँ पहचानिए: $p = q = 2$ (कोशी–श्वार्ज़), और अंत्य युग्म $(p, q) = (1, \infty)$ : $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$ कहिए और सिद्ध कीजिए।
(मिंकोव्स्की) $p \geq 1$ के लिए सिद्ध कीजिए

$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$

( $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ लिखिए और हर गुणनफल पर हॉल्डर लगाइए)। निष्कर्ष: प्रत्येक $p \in \intco{1}{+\infty}$ के लिए $\norm\cdot_p$ $\R^n$ पर मानदंड है, जिससे अध्याय 5 का चित्र पूरा हो जाता है।
समाकल रूप: $\intcc{a}{b}$ पर संतत $f, g$ के लिए $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ के लिए हॉल्डर और मिंकोव्स्की कहिए और सिद्ध कीजिए (वही उपपत्तियाँ, बस समता की चर्चा के लिए समाकल की यथार्थ धनात्मकता के साथ)।
$1 \leq p \leq q$ के लिए एकदिष्टता $\norm a_q \leq \norm a_p$ सिद्ध कीजिए, $p \to \infty$ होने पर सीमा $\norm a_p \to \norm a_\infty$ , और तीखे अचर के साथ उलटी तुलना भी:

$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$

(अचर सदिश के विरुद्ध हॉल्डर)। हर समता को साकार करने वाले सदिश पहचानिए।
(अंतर्वेशन) $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$ वाले $1 \leq p < r < q$ और $\theta \in \intoo01$ के लिए सिद्ध कीजिए

$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$

( $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ पर घातांक $\frac{p}{\theta r}$ और $\frac{q}{(1-\theta)r}$ के साथ हॉल्डर लगाइए)।

भाग III — घात-माध्य शृंखला, पूरी। $p \neq 0$ के लिए $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ ( $x_i > 0$ ) रखिए, और $M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$ ।

सिद्ध कीजिए कि $p \mapsto M_p$ पूरे $\R^*$ पर वर्धमान है: $p < q < 0$ को व्युत्क्रम सर्वसमिका $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ से निपटाइए, और $p < 0 < q$ के लिए $M_p \leq M_0 \leq M_q$ दिखाकर $0$ के पार पुल बनाइए ( $\ln$ की अवतलता $x_i^q$ पर लगाइए, और ऋणात्मक घातांकों के लिए उलटी असमिका)।
सीमाएँ सिद्ध कीजिए: $p \to +\infty$ होने पर $M_p \to \max_i x_i$ , और $p \to -\infty$ होने पर $M_p \to \min_i x_i$ ।
समान भारों के लिए शृंखला $\min \leq \mathrm{HM} \leq \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq \max$ लिखकर क्लासिक परिणाम सिद्ध कीजिए: धनात्मक $a_1, \dots, a_n$ के लिए

$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$
माध्यों को मानदंडों से जोड़िए: समान भारों $\lambda_i = \frac1n$ के लिए $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ । दोनों एकदिष्टताओं में मेल बिठाइए — माध्य $p$ के साथ बढ़ते हैं जबकि मानदंड घटते हैं (प्रश्न 10) — गुणक $n^{-1/p}$ के बारे में एक ही वाक्य में।
प्रश्न 14 की पूरी शृंखला पर समता की स्थितियाँ निर्धारित कीजिए (धनात्मक भार): कहीं भी समता सारे $x_i$ को बराबर होने पर बाध्य कर देती है — यथार्थ उत्तलता का प्रतिफल।

भाग IV — लाभ।

(घुंडी वाला यंग) $a, b \geq 0$ और $\varepsilon > 0$ के लिए सिद्ध कीजिए

$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$

और श्रमिक स्थिति $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ : यही वह अवशोषण-युक्ति है जो पूरे विश्लेषण में काम आती है।
(कार्लेमान की ओर) मान लीजिए $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ । क्रमिक निरसन सर्वसमिका $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$ सिद्ध कीजिए, और संख्याओं $c_ka_k$ पर समांतर–गुणोत्तर माध्य लगाकर निष्कर्ष निकालिए

$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$
(कार्लेमान की असमिका) $n$ पर योग लीजिए, योग का क्रम बदलिए (धनात्मक योग्य कुल, प्रमेय 7.14), और $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ तथा $c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ का उपयोग करके निष्कर्ष निकालिए: धनात्मक पदों वाली प्रत्येक अभिसारी $\sum a_k$ के लिए

$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$
$\intcc{0}{1}$ पर संतत और धनात्मक $f$ के लिए सिद्ध कीजिए

$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$

और समता तभी जब $f$ अचर हो ( $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$ पर कोशी–श्वार्ज़)।
(गोलों की ज्यामिति) मिंकोव्स्की की समता-स्थिति का उपयोग करके दिखाइए कि $1 < p < \infty$ के लिए $\norm\cdot_p$ के इकाई गोलक में कोई खंड नहीं है (मानदंड समस्या 5.1 के अर्थ में यथार्थतः उत्तल है), जबकि $p = 1$ तथा $p = \infty$ के लिए है: सपाट टुकड़े दिखाइए।

भाग V — द्वैतता और संश्लेषण।

(द्वैतता के रूप में हॉल्डर) सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक $a \in \R^n$ के लिए

$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$

और महत्तम करने वाला $b$ स्पष्ट रूप से दिखाइए। ( $p$ -मानदंड $q$ -मानदंड का द्वैत है — $L^p$ द्वैतता का परिमित-विमीय बीज।)
(आघूर्ण) मान लीजिए $X$ कोई ऐसा यादृच्छिक चर है जो परिमित धनात्मक मान $x_i$ प्रायिकताओं $\lambda_i$ के साथ लेता है। प्रश्न 12 को इस रूप में फिर से कहिए: $r \mapsto \E[X^r]^{1/r}$ वर्धमान है — अर्थात् आघूर्ण (ल्यापुनोव) असमिका, जो अध्याय 22 में फिर काम आएगी।
नामित औज़ारों से दो-दो पंक्तियों में हल कीजिए: (क) धनात्मक $a, b, c$ के लिए $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ख) धनात्मक $x_1, \dots, x_n$ के लिए $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ ।
(संश्लेषण) पाँच वाक्यों में वंशावली खींचिए: जीवा वाली परिभाषा से ढाल प्रमेयिका तक; ढालों से अवलंब रेखाओं तक और जेनसन तक; $\ln$ की अवतलता से यंग तक, हॉल्डर तक, मिंकोव्स्की तक और $p$ -मानदंडों तक; जेनसन से घात-माध्य शृंखला तक और आघूर्णों तक; समांतर–गुणोत्तर माध्य से कार्लेमान तक। शिखर नाम लीजिए (हॉल्डर–मिंकोव्स्की; कार्लेमान), और बताइए कि औज़ार-बक्सा कहाँ जा रहा है: तृतीय वर्ष के खंड की $L^p$ समष्टियाँ, जिनके अभिगृहीत ठीक प्रश्न 6 और 8 हैं।

हल

हल — समस्या 8.1.

1. उत्तल $\Rightarrow$ $f'$ वर्धमान: $a < b$ के लिए ढाल असमिका छोटे $h > 0$ के लिए $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$ देती है; और $h \to 0$ लेने पर: $f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)$ । विलोमतः, यदि $f'$ बढ़ता हो और $x < y < z$ , तो मध्यमान प्रमेय $c_1 \in \intoo{x}{y}$ , $c_2 \in \intoo yz$ देता है जहाँ

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(z) - f(y)}{z - y},

और यह तीन-बिंदु ढाल असमिका $y = \lambda x + (1 - \lambda)z$ के साथ लगाने पर उत्तलता असमिका में पुनर्व्यवस्थित हो जाती है। $C^2$ के लिए: $f'' \geq 0$ तभी जब $f'$ बढ़े।

2. यदि $f'' > 0$ , तो $f'$ यथार्थतः वर्धमान है, और ऊपर वाला मध्यमान परिकलन दोनों जीवा-ढालों के बीच यथार्थ असमिका दे देता है: अर्थात् यथार्थ उत्तलता। यथार्थ अवलंब: अवलंब-ढाल $m$ वाले किसी अभ्यंतरीय $a$ पर, यदि किसी $x_0 \neq a$ के लिए $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ हो, तो $a$ से $x_0$ तक के खंड पर अवलंब रेखा और जीवा मिल जाती हैं, और मध्यबिंदु पर यथार्थ उत्तलता $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$ देती है, जो अवलंब असमिका के विरुद्ध है। अतः सभी $x \neq a$ के लिए $f(x) > f(a) + m(x - a)$ । यथार्थ जेनसन: $a = \sum\lambda_ix_i$ के साथ अवलंब असमिकाओं का औसत लेने पर $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$ मिलता है, और समता तभी जब हर पद समता हो, अर्थात् तभी जब हर $x_i = a$ ।

3. $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$ ; $(t^r)'' = r(r - 1)t^{r-2}$ , जो $r > 1$ के लिए धनात्मक और $0 < r < 1$ के लिए ऋणात्मक है; $\exp'' = \exp > 0$ । प्रश्न 2 के अनुसार सब यथार्थ।

4. $ab = 0$ वाली स्थितियाँ तुच्छ हैं। $a, b > 0$ के लिए बिंदुओं $a^p, b^q$ पर भार $\frac1p, \frac1q$ के साथ $\ln$ की अवतलता:

\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq \frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),

और $\ln$ बढ़ता है: $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ । समता तभी जब दोनों बिंदु एक हों (यथार्थ अवतलता): $a^p = b^q$ ।

5. भार $\lambda_i$ के साथ $\ln$ की अवतलता: $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i = \ln\prod x_i^{\lambda_i}$ ; अब घातांकी लीजिए। समता तभी जब सारे $x_i$ बराबर हों (प्रश्न 2)। अभ्यास 8.6 वाले मार्ग ने वही असमिका घात माध्यों की सीमा के रूप में पाई थी; यहाँ वह जेनसन का एक ही प्रयोग है — औज़ार-बक्से में अतिरेक जन्मजात है।

6. यदि $a = 0$ अथवा $b = 0$ हो तो असमिका तुच्छ है। सामान्यीकरण कीजिए: $a$ के स्थान पर $a/\norm a_p$ और $b$ के स्थान पर $b/\norm b_q$ रखने पर हम $\norm a_p = \norm b_q = 1$ मान सकते हैं और $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$ दिखाना है। पद-दर-पद यंग:

\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq \sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} + \frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .

समता तभी जब हर यंग असमिका कसी हुई हो: अर्थात् सभी $i$ के लिए $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ — और सामान्यीकरण उलटने पर $(\abs{a_i}^p)$ $(\abs{b_i}^q)$ के अनुपाती।

7. $p = q = 2$ वही समता-स्थिति (अनुपातिता) वाला कोशी–श्वार्ज़ है। अंत्य: $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} = \norm a_1\norm b_\infty$ , जो पद-दर-पद तत्काल है।

8. $p = 1$ के लिए यह पद-दर-पद त्रिभुज असमिका है। $p > 1$ के लिए, संयुग्मी $q$ के साथ:

\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p \leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} + \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},

और हर योग पर हॉल्डर, यह ध्यान रखते हुए कि $(p - 1)q = p$ :

\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p = \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,

और $b$ के साथ भी वैसे ही। अतः $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a + b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$ ; और यदि $a + b \neq 0$ हो, तो $\norm{a+b}_p^{p/q}$ से भाग दीजिए और $p - \frac pq = 1$ का उपयोग कीजिए। समघातता और पृथक्करण (जो स्पष्ट हैं) के साथ $\norm\cdot_p$ $\R^n$ पर मानदंड है।

9. $\intcc ab$ पर संतत $f, g$ के लिए: हॉल्डर

\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}

वही सामान्यीकरण और बिंदुवार यंग के समाकलन से; और मिंकोव्स्की $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ उसी विभाजन तथा हर टुकड़े पर हॉल्डर से। मानदंड का पृथक्करण यथार्थ धनात्मकता पर टिका है: शून्य समाकल वाला संतत $\abs f^p$ सर्वथा लुप्त होता है (प्रथम वर्ष का खंड)।

10. एकदिष्टता: हम $\norm a_p = 1$ मान सकते हैं; तब हर $\abs{a_i} \leq 1$ , अतः $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ और $\norm a_q^q \leq 1$ : $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$ । समता के लिए प्रत्येक $i$ पर $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ आवश्यक है, अर्थात् हर $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$ ; और $\sum\abs{a_i}^p = 1$ के साथ इससे ठीक एक ही निर्देशांक का मापांक $1$ बचता है: अतः समता तभी जब $a$ का अधिकतम एक निर्देशांक अशून्य हो। सीमा: $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$ , और $n^{1/p} \to 1$ । उलटी तुलना: घातांक $\frac qp$ और उसके संयुग्मी $\frac{q}{q-p}$ के साथ $\abs{a_i}^p\cdot 1$ पर हॉल्डर:

\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q} = \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},

जिससे $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$ , और समता तभी जब सारे $\abs{a_i}$ बराबर हों (अचर सदिश के विरुद्ध हॉल्डर की समता-स्थिति)।

11. $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ लिखिए और संयुग्मी घातांक $\frac{p}{\theta r}$ तथा $\frac{q}{(1-\theta)r}$ के साथ हॉल्डर लगाइए (जो ठीक इसलिए संयुग्मी हैं कि $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$ ):

\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p} \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q} = \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .

$r$ -वाँ मूल लीजिए: अर्थात् $p$ -मानदंड $\frac1p$ में लघु-उत्तल हैं।

12. दोनों ऋणात्मक: यदि $p < q < 0$ हो तो $0 < -q < -p$ , और $y = (1/x_i)$ पर लगाई गई धनात्मक घातांकों वाली स्थिति (पाठ की स्थिति, उदाहरण 8.8) से $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ ; और सर्वसमिका $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ का प्रतिलोमन असमिका को उलटकर $M_p(x) \leq M_q(x)$ बना देता है। पुल: $q > 0$ के लिए $\ln$ की अवतलता $\ln M_q = \frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq \frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$ देती है; और $p < 0$ के लिए वही अवतलता $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq p\sum\lambda_i\ln x_i$ देती है, तथा $p < 0$ से भाग देने पर वह पलट जाती है: $\ln M_p \leq \ln M_0$ । अतः जब भी $p < 0 < q$ तब $M_p \leq M_0 \leq M_q$ : और समान चिह्न वाली दोनों स्थितियों के साथ $M$ पूरे $\R^*$ पर (तथा $0$ के पार भी) बढ़ता है।

13. मान लीजिए $x_{\max} = \max x_i$ , जो $i^*$ पर प्राप्त होता है। $p > 0$ के लिए:

\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},

और $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$ : $M_p \to x_{\max}$ । $p \to -\infty$ के लिए: $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to \bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$ ।

14. $\lambda_i = \frac1n$ के साथ शृंखला $M_{-\infty} \leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ यह पढ़ी जाती है

\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .

और समांतर–हरात्मक माध्य असमिका ( $M_{-1} \leq M_1$ ) सीधे $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$ में पुनर्व्यवस्थित हो जाती है।

15. समान भारों के साथ $M_p(x) = \bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$ । $p$ के बढ़ने पर $\norm x_p$ घटता है (प्रश्न 10) पर सामान्यक $n^{-1/p}$ उससे तेज़ बढ़ता है, और गुणनफल बढ़ जाता है (प्रश्न 12): माध्य औसत लेते हैं, मानदंड इकट्ठा करते हैं, और गुणक $n^{-1/p}$ ठीक दोनों लेखा-पद्धतियों के बीच की विनिमय दर है।

16. हर कड़ी प्रश्न 3 के यथार्थतः उत्तल/अवतल फलनों ( $t^{q/p}$ , $\ln$ ) के साथ यथार्थ जेनसन (प्रश्न 2) का एक उदाहरण है, अतः किसी भी कड़ी पर समता सारे $x_i$ को बराबर होने पर बाध्य कर देती है; और $\min = M_p$ अथवा $M_p = \max$ भी इसी तरह सारे मानों को साझे चरम के बराबर होने पर बाध्य कर देते हैं। दो $x_i$ के भिन्न होते ही पूरी शृंखला यथार्थ हो जाती है।

17. युग्म $\varepsilon^{1/p}a$ और $\varepsilon^{-1/p}b$ पर यंग (प्रश्न 4) लगाइए:

ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b) \leq \varepsilon\,\frac{a^p}p + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .

और $p = q = 2$ के लिए $\varepsilon$ के स्थान पर $2\varepsilon$ रखने पर: $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — यही अवशोषण असमिका है: कोई गुणनफल एक वर्ग के छोटे गुणज और दूसरे के बड़े गुणज के बदले में दे दिया जाता है।

18. क्रमिक निरसन:

\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k} {\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}} = \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}} = (n+1)^n,

जिसमें अंश का हर गुणनखंड $(k+1)^k$ हर के अगले पद से कट जाता है। $n$ संख्याओं $c_ka_k$ पर समांतर–गुणोत्तर माध्य:

(a_1\cdots a_n)^{1/n} = \frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)} \leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .

19. $n$ पर योग लेकर दोनों योगों का क्रम बदलिए (सारे पद धनात्मक: प्रमेय 7.14):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k = \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)} = \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},

जिसमें क्रमिक निरसन $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$ का उपयोग हुआ। अंत में $\frac{c_k}k = \frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (सीमा $\eu$ वाला वर्धमान अनुक्रम, प्रथम वर्ष का खंड):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \eu\sum_{k\geq1}a_k :

अर्थात् कार्लेमान की असमिका। (अचर $\eu$ अनुकूलतम है, यद्यपि हम यह सिद्ध नहीं करते।)

20. $\sqrt f$ और $\frac1{\sqrt f}$ पर लगाया गया कोशी–श्वार्ज़ (प्रश्न 9, $p = q = 2$ ):

1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2} \leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).

समता तभी जब $\sqrt f$ और $\frac1{\sqrt f}$ अनुपाती हों, अर्थात् $f^2$ अचर हो, अर्थात् $f$ अचर ( $f > 0$ संतत)।

21. मान लीजिए $1 < p < \infty$ , $\norm a_p = \norm b_p = 1$ , $a \neq b$ , और मान लीजिए $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$ , अर्थात् $a, b$ के लिए मिंकोव्स्की समता है। प्रश्न 8 की उपपत्ति का अनुसरण करने पर समता दोनों हॉल्डर प्रयोगों में तथा पद-दर-पद त्रिभुज असमिकाओं में भी समता को बाध्य कर देती है: $(\abs{a_i}^p)$ और $(\abs{b_i}^p)$ दोनों $(\abs{a_i + b_i}^p)$ के अनुपाती, और $a_i, b_i$ एक ही चिह्न के — अतः किसी $t \geq 0$ के लिए $b = ta$ , और $\norm b_p = \norm a_p$ से $t = 1$ मिलता है: $b = a$ , जो विरोधाभास है। अतः $p$ -गोलक में भिन्न गोलक-बिंदुओं का कोई मध्यबिंदु नहीं है: कोई खंड नहीं। $\R^2$ में $p = \infty$ के लिए: सारे $(1, t)$ , $\abs t \leq 1$ , इकाई गोलक पर हैं — अर्थात् एक सपाट किनारा; और $p = 1$ के लिए खंड $(t, 1 - t)$ , $t \in \intcc01$ , ऐसा ही करता है।

22. $a = 0$ के लिए दोनों पक्ष लुप्त हैं। अन्यथा हॉल्डर हर $\sum a_ib_i$ को $\norm a_p\norm b_q \leq \norm a_p$ से परिबद्ध कर देता है। प्राप्ति: $(p-1)q = p$ और $p - \frac pq = 1$ का उपयोग करके

b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}} {\norm a_p^{p/q}} : \qquad \norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}} = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1, \quad \sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} = \norm a_p ,

लीजिए। अतः उच्चतम महत्तम है और $\norm a_p$ के बराबर: अर्थात् हर $p$ -मानदंड अपने संयुग्मी का द्वैत मानदंड है — यही $L^p$ – $L^q$ द्वैतता का बीज है।

23. $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$ , अतः $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$ , जो प्रश्न 12 के अनुसार $r$ में वर्धमान है (और प्रश्न 12–13 के अनुसार $r \to 0, \pm\infty$ के पार भी): अर्थात् ल्यापुनोव की आघूर्ण असमिका, जो विशुद्ध रूप से भारित घात माध्यों के बारे में कथन है। सच्चे यादृच्छिक चरों के लिए वह अध्याय 22 में लौटती है।

24. (क) समान भारों के साथ घात माध्य $M_1 \leq M_3$ : $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$ ; घन कीजिए और $3$ से गुणा कीजिए: $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}9$ । (ख) अचर सदिश के विरुद्ध कोशी–श्वार्ज़: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq \bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$ ; अब वर्ग कीजिए।

25. जीवा वाली परिभाषा एक ही बीजगणितीय पुनर्व्यवस्था से ढाल प्रमेयिका दे देती है; किसी बिंदु पर निचोड़ी गई ढालें एकपक्षीय अवकलज और अवलंब रेखाएँ उत्पन्न करती हैं, जिनका भारित औसत जेनसन है। $-\ln$ पर लगाई गई जेनसन यंग बन जाती है, जो सामान्यीकृत सदिशों के विरुद्ध जोड़ने पर हॉल्डर है, और जो बाँटकर पुनः अवशोषित करने पर मिंकोव्स्की — और इस प्रकार अध्याय 5 के $p$ -मानदंडों का जन्म होता है, अपनी द्वैतता (प्रश्न 22) और अपनी ज्यामिति (प्रश्न 21) के साथ। घातों के पैमाने पर लगाई गई जेनसन $\min$ से $\max$ तक सारे माध्यों को शृंखलाबद्ध कर देती है (प्रश्न 12–14), और यादृच्छिक चरों पर पढ़ी जाने पर वही आघूर्ण असमिका है (प्रश्न 23)। और समांतर–गुणोत्तर माध्य, एक क्रमिक निरसन की युक्ति से भारित होकर, कार्लेमान का परिबंध अपने अखंडनीय अचर $\eu$ के साथ दे देती है (प्रश्न 18–19)। शिखर: हॉल्डर–मिंकोव्स्की, और कार्लेमान। गंतव्य: तृतीय वर्ष के खंड की $L^p$ समष्टियाँ, जिनके संस्थापक अभिगृहीत ठीक प्रश्न 6 और 8 हैं, बस योगों के स्थान पर समाकल।