cosh⁡, sinh⁡, tanh⁡ কী?

उदाहरण 4.20 ($\tanh$ का योग-सूत्र)

प्रतिज्ञप्ति 4.18 (3) के दोनों योग-सूत्रों को $\cosh x\cosh y$ से भाग देने पर:

यह स्पर्शज्या के योग-सूत्र का अतिपरवलयिक सहोदर है — जहाँ त्रिकोणमिति में $-$ है, वहाँ $+$। एक लाभांश: चूँकि $\abs{\tanh} < 1$, दायाँ पक्ष “वेग-योग” का ऐसा नियम है जो $\intoo{-1}1$ कभी नहीं छोड़ता: यदि $u, v \in \intoo{-1}1$, तो $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ भी (एकैकी आच्छादकता से संभव $u = \tanh a$, $v = \tanh b$ लिखिए और सूत्र को उलटी दिशा में पढ़िए)। इसकी जाँच बीजगणितीय रूप से, अतिपरवलयिक फलनों के बिना, कुछ कष्टप्रद अभ्यास है; $\tanh$ से प्राचलन उसे एक पंक्ति का बना देता है — वही रणनीति जो वृत्तीय फलन इकाई वृत्त के लिए देते हैं।

उदाहरण 4.22 (संवृत रूप काम पर)

$t \geq 0$ के साथ $\cosh t = 2$ का हल, संवृत रूप से, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ है; दूसरा हल समता से $-t$ है — और सचमुच $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$: द्विघात $u^2 - 4u + 1 = 0$ के दोनों मूल $u = \eu^t$ परस्पर प्रतिलोम हैं, जैसा उनका गुणनफल $1$ (व्येता) माँगता है। यह छोटी संगणना सामान्य प्रतिरूप दिखा देती है: अतिपरवलयिक समीकरण $\eu^t$ में द्विघातों में बदल जाते हैं, और सममिति $t \mapsto -t$ द्विघात की सममिति $u \mapsto 1/u$ के रूप में प्रकट होती है — अभ्यास 4.7 हल करते समय यह स्मरण रखने योग्य है।