विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

14अवकलन

उच्चतर माध्यमिक खंड में अवकलज लगातार संगणित किए गए थे; जो अनुपस्थित था वह प्रमेयों की वह शृंखला है जो संगणना को फलनों के विषय में सूचना में बदल देती है: रोल की प्रमेय, माध्य मान प्रमेय, और उनके परिणाम — एकदिष्टता की कसौटियाँ, लिप्शिट्ज़ परिबंध, उत्तलता। इस अध्याय की हर बात किसी अंतराल $I$ पर परिभाषित फलनों की है।

14.1 अवकलज

परिभाषा 14.1

$f \colon I \to \R$ $x_0 \in I$ पर अवकलनीय तब है जब $x \to x_0$ होने पर अंतर-भागफल $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ की कोई (परिमित) सीमा हो; उस सीमा को $f'(x_0)$ लिखा जाता है। समतुल्य रूप से:

f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varepsilon(h), \qquad \varepsilon(h) \xrightarrow[h \to 0]{} 0 ,

और तब आलेख स्पर्श रेखा $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ स्वीकार करता है। $x_0$ पर अवकलनीयता से $x_0$ पर सांतत्य आती है (ऊपर का प्रदर्शन पढ़िए)। $f$ $I$ पर अवकलनीय तब है जब वह हर बिंदु पर हो; $f$ $C^1$ वर्ग का तब है जब इसके अतिरिक्त $f'$ संतत हो, और $C^k$ वर्ग का तब जब $f$ को $k$ बार अवकलित किया जा सके और $f^{(k)}$ संतत हो।

उदाहरण 14.2

“अवकलनीय $\Rightarrow$ संतत” का विलोम विफल है: $0$ पर $\abs{\,\cdot\,}$ । और अधिक आश्चर्यजनक बात यह कि अवकलनीय होने से $C^1$ होना नहीं आता: फलन $f(x) = x^2 \sin\frac 1x$ ( $f(0) = 0$ ) सर्वत्र अवकलनीय है, जहाँ $f'(0) = 0$ , पर $f'(x) = 2x \sin\frac1x - \cos\frac 1x$ की $0$ पर कोई सीमा नहीं (अभ्यास 14.2)।

उदाहरण 14.3 (ठीक एक ही बिंदु पर अवकलनीय)

मान लीजिए $x \in \Q$ के लिए $f(x) = x^2$ और $x \notin \Q$ के लिए $f(x) = 0$ । $0$ पर: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| \leq \abs h \to 0$ , अतः $f$ $0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ । किसी भी $x_0 \neq 0$ पर $f$ संतत तक नहीं है: $x_0$ की ओर अभिसरित होते परिमेय और अपरिमेय अनुक्रम $f$ को क्रमशः $x_0^2 \neq 0$ और $0$ पर भेजते हैं (सघनता, प्रमेय 10.14)। अतः अवकलनीयता सचमुच बिंदुवार धारणा है: वह $\R$ के एक बिंदु पर सत्य हो सकती है और अन्यत्र कहीं नहीं। व्यवहार के लिए उपदेश: एकदिष्टता कसौटी या रोल जैसे कथनों को अवकलज किसी अंतराल पर चाहिए — वियुक्त बिंदुओं पर, चाहे कितने ही हों, $f'(x_0)$ का होना किसी भी समग्र निष्कर्ष का आधार नहीं बनता।

प्रमेय 14.4 (संक्रियाएँ)

यदि $f, g$ $x_0$ पर अवकलनीय हैं (और जहाँ सूत्र अर्थपूर्ण हों):

(f + g)' = f' + g', \qquad (fg)' = f'g + fg', \qquad \Bigl(\frac fg\Bigr)' = \frac{f'g - fg'}{g^2},

और यदि $g$ $f(x_0)$ पर अवकलनीय है: $\;(g \circ f)'(x_0) = g'\bigl(f(x_0)\bigr)\, f'(x_0)$ (शृंखला नियम)।

उपपत्ति. योग: तुरंत। गुणनफल: लिखिए

f(x)g(x) - f(x_0)g(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr) g(x) + f(x_0)\bigl(g(x) - g(x_0)\bigr),

$x - x_0$ से भाग दीजिए और $x \to x_0$ लीजिए ( $g$ $x_0$ पर संतत है)। भागफल: $\frac{1/g(x) - 1/g(x_0)}{x - x_0} = \frac{-1}{g(x)g(x_0)}\cdot\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0}$ के द्वारा $\frac 1g$ सँभालिए, फिर गुणनफल नियम लगाइए। शृंखला नियम: $y_0 = f(x_0)$ के साथ $y \neq y_0$ के लिए $\theta(y) = \frac{g(y) - g(y_0)}{y - y_0}$ और $\theta(y_0) = g'(y_0)$ परिभाषित कीजिए: $\theta$ $y_0$ पर संतत है, और $x \neq x_0$ के लिए

\frac{g(f(x)) - g(f(x_0))}{x - x_0} = \theta\bigl(f(x)\bigr)\cdot \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \longrightarrow g'(y_0)\, f'(x_0),

जहाँ पहला गुणक सीमाओं के संयोजन से मिलता है (यह युक्ति $f(x) = f(x_0)$ वाली स्थिति स्वच्छ रूप से सँभाल लेती है, जहाँ भोला “ $f(x) - f(x_0)$ से गुणा और भाग” टूट जाता है)। ∎

प्रमेय 14.5 (प्रतिलोम फलन का अवकलज)

मान लीजिए $f$ $I$ पर संतत और कठोरतः एकदिष्ट है, $x_0$ पर अवकलनीय है और $f'(x_0) \neq 0$ । तब $f^{-1}$ (प्रमेय 13.16) $y_0 = f(x_0)$ पर अवकलनीय है, जहाँ

(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y_0)\bigr)} .

यदि $f'(x_0) = 0$ , तो प्रतिलोम की $y_0$ पर ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा होती है।

उपपत्ति. $y \to y_0$ के लिए $x = f^{-1}(y)$ रखिए: $f^{-1}$ की सांतत्य $x \to x_0$ देती है, और

\frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \longrightarrow \frac{1}{f'(x_0)} .

ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा का दावा: यदि $f'(x_0) = 0$ , तो दिखाया गया भागफल ऐसी राशि का प्रतिलोम है जो $0$ की ओर जाती है और एक ही चिह्न बनाए रखती है (कठोरतः वर्धमान $f$ के लिए सभी $x \neq x_0$ पर $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$ ): अतः $f^{-1}$ का अंतर-भागफल $+\infty$ की ओर जाता है (ह्रासमान $f$ के लिए $-\infty$ की ओर)। प्रतिलोम संतत तो रहता है पर $y_0$ पर अवकलनीय नहीं — उसका आलेख, जो $f$ के आलेख का विकर्ण में परावर्तन है, ठीक वहीं ऊर्ध्वाधर खड़ा हो जाता है जहाँ $f$ का क्षैतिज चला था, जैसा $x^3$ के सामने $0$ पर $x^{1/3}$ दिखाता है। ∎

उदाहरण 14.6 (प्रतिलोम अवकलज, दो बार)

यह प्रमेय चिरपरिचित अवकलजों को बिना किसी सीमा-कार्य के फिर से संगणित कर देती है। $\ln = \exp^{-1}$ के लिए: $y = \eu^x$ पर,

(\ln)'(y) = \frac{1}{\exp'(x)} = \frac{1}{\eu^{x}} = \frac1y ,

जो प्रत्येक $y > 0$ के लिए वैध है, क्योंकि $\exp' = \exp$ कभी लुप्त नहीं होता। $\arctan = \tan^{-1}$ के लिए: $y = \tan x$ पर,

(\arctan)'(y) = \frac{1}{1 + \tan^2 x} = \frac{1}{1 + y^2} ,

जहाँ $\tan' = 1 + \tan^2 > 0$ प्रयुक्त हुआ। समापन का सार: यह सूत्र किसी फलन के विषय में ज्ञान को उसके प्रतिलोम के विषय में ज्ञान में बदल देता है, और उसकी क़ीमत एक प्रतिस्थापन है — और वह प्रतिस्थापन ( $x = \ln y$ , $x = \arctan y$ ) ठीक यही कथन है कि दोनों चर एकैकी आच्छादन के आमने-सामने के पक्षों पर रहते हैं।

14.2 रोल और माध्य मान प्रमेय

प्रतिज्ञप्ति 14.7 (भीतरी चरम)

यदि $f$ $I$ के किसी भीतरी बिंदु $x_0$ पर अवकलनीय है और वहाँ उसका स्थानीय चरम है, तो $f'(x_0) = 0$ ।

उपपत्ति. मान लीजिए स्थानीय अधिकतम: ऐसा $r > 0$ है कि $\abs{x - x_0} \leq r$ के लिए $f(x) \leq f(x_0)$ , और भीतरी होने से $I$ के भीतर $x_0$ के दोनों पक्ष उपलब्ध हैं। $0 < h \leq r$ के लिए भागफल $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ का अंश $\leq 0$ और हर $> 0$ है: वह $\leq 0$ है, और उसकी सीमा $f'(x_0)$ $\leq 0$ विरासत में पाती है (चौड़ी असमिकाएँ सीमाओं तक जाती हैं, प्रमेय 11.7); और $-r \leq h < 0$ के लिए भागफल $\geq 0$ है, जो $f'(x_0) \geq 0$ देता है। अतः $f'(x_0) = 0$ । (सिरे पर केवल एक ही चिह्न उपलब्ध होता है: वहाँ निष्कर्ष विफल हो जाता है — $\intcc{0}{1}$ पर $x$ देखिए, जिसका अधिकतम $1$ पर है और अवकलज $1$ ।) ∎

प्रमेय 14.8 (रोल)

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर संतत, $\intoo{a}{b}$ पर अवकलनीय है और $f(a) = f(b)$ । तब किसी $c \in \intoo{a}{b}$ के लिए $f'(c) = 0$ ।

उपपत्ति. चरम मान प्रमेय (प्रमेय 13.13) से $f$ $\intcc{a}{b}$ पर अपने अधिकतम और न्यूनतम प्राप्त करता है। यदि दोनों सिरों पर प्राप्त होते हैं, तो ( $f(a) = f(b)$ होने से) अधिकतम $=$ न्यूनतम और $f$ अचर है: कोई भी भीतरी $c$ काम करता है। अन्यथा कोई चरम किसी भीतरी बिंदु $c$ पर प्राप्त होता है, और प्रतिज्ञप्ति 14.7 $f'(c) = 0$ दे देती है। ∎

प्रमेय 14.9 (माध्य मान प्रमेय)

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर संतत और $\intoo{a}{b}$ पर अवकलनीय है। ऐसा $c \in \intoo{a}{b}$ विद्यमान है कि

f(b) - f(a) = f'(c)\,(b - a) .

माध्य मान असमिका: यदि इसके अतिरिक्त $\intoo{a}{b}$ पर $m \leq f' \leq M$ , तो $m(b-a) \leq f(b) - f(a) \leq M(b-a)$ ; विशेष रूप से $\abs{f'} \leq K$ से $f$ का $K$ -लिप्शिट्ज़ होना आ जाता है।

उपपत्ति. $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ पर रोल लगाइए: $g$ $\intcc{a}{b}$ पर संतत है, भीतर अवकलनीय है, और $g(a) = f(a) = g(b)$ । जिस बिंदु $c$ पर $g'(c) = 0$ , वहाँ: $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ । असमिका $f'(c)$ को परिबद्ध करने से निकलती है; और लिप्शिट्ज़ वाला कथन उसे हर बिंदु-युग्म पर लगाने से। ∎

माध्य मान प्रमेय: कोई स्पर्श रेखा (बिंदुकित) जीवा (धूसर) के समांतर है। उसका भुज c वही है जहाँ फलन में से उसकी जीवा घटाकर रोल की प्रमेय क्रांतिक बिंदु ढूँढ़ लेती है। — माध्य मान प्रमेय: कोई स्पर्श रेखा (बिंदुकित) जीवा (धूसर) के समांतर है। उसका भुज $c$ वही है जहाँ फलन में से उसकी जीवा घटाकर रोल की प्रमेय क्रांतिक बिंदु ढूँढ़ लेती है।

उदाहरण 14.10 (न्यूटन की विधि हीरो की ही है)

$f(x) = 0$ हल करने की न्यूटन विधि वक्र के स्थान पर वर्तमान अनुमान $x_n$ पर उसकी स्पर्श रेखा रख देती है और उस स्पर्श रेखा का मूल अगला अनुमान मान लेती है:

0 = f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1} - x_n) \quad\Longrightarrow\quad x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .

इसे $f(x) = x^2 - 2$ पर चलाइए:

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n} = \frac12\Bigl(x_n + \frac{2}{x_n}\Bigr) :

यह ठीक हीरो की पुनरावृत्ति (उदाहरण 11.24) है, दो सहस्राब्दी पहले। वहाँ देखी गई द्विघातीय गति अब स्पर्श रेखा के चित्र से समझ में आ जाती है: किसी सरल मूल के पास वक्र और स्पर्श रेखा द्वितीय कोटि की त्रुटि भर भिन्न होते हैं, अतः हर पद त्रुटि का लगभग वर्ग कर देता है — व्यापक कथन अध्याय 16 के टेलर परिबंधों से निकलता है। समापन का सार: जहाँ द्विभाजन (उदाहरण 13.12) केवल सांतत्य का प्रयोग करता है और प्रति पद एक बिट कमाता है, वहाँ न्यूटन एक अवकलज ख़र्च करके प्रति पद सही अंकों की संख्या दुगुनी कर देता है।

उदाहरण 14.11 (आकलक के रूप में माध्य मान प्रमेय)

$\sqrt{101}$ कितना बड़ा है? प्रमेय को $\intcc{100}{101}$ पर $f(t) = \sqrt t$ के लिए लगाइए: किसी $c \in \intoo{100}{101}$ के लिए,

\sqrt{101} - 10 = \frac{1}{2\sqrt c}, \qquad\text{अतः}\qquad \frac{1}{2\sqrt{101}} < \sqrt{101} - 10 < \frac{1}{20} = 0.05 ,

और चूँकि $\sqrt{101} < 10.05$ , बायाँ परिबंध $\frac{1}{20.1} > 0.0497$ से बड़ा है: अतः $10.0497 < \sqrt{101} < 10.05$ (सच्चा मान $10.049875\dots$ ) — अर्थात् एक ही अवकलज-मूल्यांकन से तीन सही दशमलव। इसी प्रकार $\abs{\sin a - \sin b} \leq \abs{a - b}$ (परिबंध $\abs{\cos}\leq 1$ ): अध्याय 11 से प्रयुक्त सभी लिप्शिट्ज़ आकलन यही प्रमेय हैं। समापन का सार: माध्य मान प्रमेय शून्य कोटि का टेलर सूत्र है — वह एक अज्ञात बिंदु $c$ के बदले एक कठोर असमिका दे देती है, और अध्याय 16 ठीक इसी सौदे को बार-बार दोहराएगा।

उपप्रमेय 14.12 (एकदिष्टता की कसौटी)

मान लीजिए $f$ $I$ पर संतत है और अंतःभाग पर अवकलनीय।

अंतःभाग पर $f' \geq 0$ $\iff$ $f$ वर्धमान है; $f' = 0$ $\iff$ $f$ अचर।
यदि परिमित कितने बिंदुओं को छोड़कर, जहाँ वह लुप्त होता है, $f' > 0$ , तो $f$ कठोरतः वर्धमान है।

उपपत्ति. यदि $f' \geq 0$ : $I$ में $x < y$ के लिए $\intcc{x}{y}$ पर माध्य मान प्रमेय $f(y) - f(x) = f'(c)(y - x) \geq 0$ देती है। विलोमतः, वर्धमान फलन के अंतर-भागफल $\geq 0$ हैं, अतः उनकी सीमाएँ भी। अचर वाली स्थिति: पिछली बात $f'$ और $-f' \geq 0$ पर लगाइए। कठोर रूप: $f$ वर्धमान है; और $x < y$ के लिए समता $f(x) = f(y)$ $f$ को $\intcc{x}{y}$ पर जमा देती, जिससे वहाँ $f' = 0$ अनिवार्य हो जाता — अर्थात् अनंत कितने बिंदु। ∎

उदाहरण 14.13 (बराबर अवकलज, असमान फलन)

$\R^* = \intoo{-\infty}{0} \cup \intoo{0}{+\infty}$ पर $f(x) = \ln\abs x$ और $g(x) = \ln\abs x + \mathbf{1}_{x>0}$ (दाईं अर्धरेखा पर ही $1$ जोड़िए) दोनों $f' = g' = \frac1x$ संतुष्ट करते हैं। वे किसी अचर भर भिन्न नहीं हैं: कसौटी “ $f' = 0 \implies f$ अचर” अंतराल का कथन है — उसकी उपपत्ति दो बिंदुओं के बीच माध्य मान प्रमेय चलाती है, जिसके लिए उन्हें जोड़ने वाले पूरे खंड का प्रांत में होना आवश्यक है। अलग-अलग हर अर्धरेखा पर $\frac1x$ के प्रतिअवकलज $\ln\abs x + c$ हैं, जिनमें प्रति अर्धरेखा एक अचर है, अर्थात् कुल दो स्वतंत्र अचर। अध्याय 15 यही महीन शर्त विरासत में पाता है: किसी फलन का “वही” प्रतिअवकलज उसके प्रांत के प्रत्येक अंतराल पर अचर तक सुपरिभाषित होता है, और प्रतिअवकलज सारणियाँ चुपचाप संबद्धता मान लेती हैं।

उदाहरण 14.14 (कठोरता मुफ़्त में)

$x \mapsto x^3$ $\R$ पर कठोरतः वर्धमान है, यद्यपि उसका अवकलज $0$ पर लुप्त हो जाता है: कसौटी का उपवाक्य “परिमित कितने बिंदुओं को छोड़कर $f' > 0$ ” ठीक ऐसे चपटे बिंदुओं के लिए बना है। इसके विपरीत, अकेला $f' \geq 0$ केवल चौड़े अर्थ में वृद्धि देता है (अचर फलन भी योग्य है), और किसी पूरे उपअंतराल पर लुप्त होने वाला अवकलज फलन को वहाँ जमा ही देता है। व्यावहारिक नियम: कठोर एकदिष्टता का दावा करने के लिए $f'$ के शून्य गिनाइए; परिमित कितने (और अधिक व्यापक रूप से, किसी उपअंतराल पर एक भी नहीं) निरापद हैं, पर उनका पूरा अंतराल घातक है।

उदाहरण 14.15 (एक पूरा विचरण-अध्ययन)

$\R$ पर $f(x) = x^3 - 3x + 1$ का अध्ययन कीजिए। अवकलज: $f'(x) = 3(x^2 - 1)$ , जो $\intoo{-\infty}{-1}$ पर धनात्मक, $\intoo{-1}{1}$ पर ऋणात्मक और $\intoo{1}{+\infty}$ पर धनात्मक है: अतः एकदिष्टता कसौटी से $f$ बढ़ता है, फिर घटता है, फिर बढ़ता है, जिसमें स्थानीय अधिकतम $f(-1) = 3$ और स्थानीय न्यूनतम $f(1) = -1$ है। सीमाएँ: $\mp\infty$ पर $\mp\infty$ । प्रत्येक एकदिष्ट शाखा पर मध्यवर्ती मान प्रमेय के साथ विचरण सारणी से पढ़े गए परिणाम: $f$ इनमें से प्रत्येक में ठीक एक बार लुप्त होता है

\intoo{-\infty}{-1}, \qquad \intoo{-1}{1}, \qquad \intoo{1}{+\infty}

(संधियों पर मानों के चिह्न विपरीत हैं: $3 > 0 > -1$ ), अतः समीकरण $x^3 - 3x + 1 = 0$ के ठीक तीन वास्तविक मूल हैं; संख्यात्मक रूप से वे $-1.88$ , $0.35$ , $1.53$ के पास बैठते हैं। समापन का सार: विचरण सारणी एक उपपत्ति-यंत्र है, कोई रेखाचित्र नहीं — एकदिष्ट शाखा और चिह्न-परिवर्तन मिलकर ठीक एक मूल देते हैं, और सारणी सभी शाखाएँ पूरी तरह गिना देती है।

प्रमेय 14.16 (लाइब्निज़ सूत्र)

यदि $f, g$ $n$ बार अवकलनीय हैं, तो $fg$ भी है, और

(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk f^{(k)}\, g^{(n-k)} .

उपपत्ति. $n$ पर आगमन, ठीक द्विपद प्रमेय के समांतर। स्थिति $n = 1$ गुणनफल नियम है। कोटि $n$ पर सूत्र मानकर एक बार और अवकलन कीजिए:

(fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \Bigl( f^{(k+1)} g^{(n-k)} + f^{(k)} g^{(n-k+1)} \Bigr),

फिर पहले योग को $j = k + 1$ से पुनःसूचीबद्ध कीजिए और $f^{(j)} g^{(n+1-j)}$ का गुणांक इकट्ठा कीजिए: वह पास्कल के नियम (प्रतिज्ञप्ति 2.15) से $\binom{n}{j-1} + \binom nj = \binom{n+1}{j}$ है, और सीमांत पद $j = 0$ तथा $j = n + 1$ $\binom{n+1}{0} = \binom{n+1}{n+1} = 1$ ढो रहे हैं, जैसा उन्हें ढोना चाहिए। ∎

उदाहरण 14.17 (लाइब्निज़ काम पर)

$n \geq 2$ के लिए $\bigl(x^2 \eu^x\bigr)^{(n)}$ संगणित कीजिए। $f = x^2$ लीजिए, जिसके अवकलज शीघ्र मर जाते हैं ( $f' = 2x$ , $f'' = 2$ , और $k \geq 3$ के लिए $f^{(k)} = 0$ ), और $g = \eu^x$ : तो लाइब्निज़ योग के केवल तीन पद बचते हैं,

\bigl(x^2\eu^x\bigr)^{(n)} = \binom n0 x^2 \eu^x + \binom n1 (2x)\,\eu^x + \binom n2\, 2\,\eu^x = \eu^x\bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr).

$n = 1$ पर संगति की जाँच: $\eu^x(x^2 + 2x)$ , जो सचमुच $(x^2\eu^x)'$ है। समापन का सार: लाइब्निज़ का प्रयोग तब कीजिए जब एक गुणक बहुपद हो — तब योग में केवल $\deg + 1$ पद रहते हैं, और सूत्र संवृत रूप है, कोई अमूर्त सर्वसमिका नहीं। (दो अनंत जीवंत गुणकों, जैसे $\eu^x\sin x$ , के लिए अध्याय 3 के सम्मिश्र चरघातांकी बेहतर औज़ार हैं।)

14.3 उत्तलता

परिभाषा 14.18

$f \colon I \to \R$ उत्तल तब है जब हर जीवा आलेख के ऊपर हो:

\forall x, y \in I,\ \forall t \in \intcc{0}{1}, \quad f\bigl(tx + (1-t)y\bigr) \leq t f(x) + (1-t) f(y).

( $f$ अवतल तब है जब $-f$ उत्तल हो।)

प्रमेय 14.19 (अवकलीय अभिलक्षण)

मान लीजिए $f$ $I$ पर अवकलनीय है। ये तुल्य हैं:

$f$ उत्तल है;
$f'$ $I$ पर वर्धमान है;
आलेख हर स्पर्श रेखा के ऊपर है: सभी $x, y \in I$ के लिए $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y - x)$ ।

यदि $f$ दो बार अवकलनीय है: $f$ उत्तल $\iff f'' \geq 0$ ।

उपपत्ति. (1 $\Rightarrow$ 3) उत्तलता को $t \in \intoc{0}{1}$ के लिए $\frac{f(x + t(y-x)) - f(x)}{t} \leq f(y) - f(x)$ के रूप में लिखिए; और $t \to 0^+$ लीजिए: $f'(x)(y - x) \leq f(y) - f(x)$ ।

(3 $\Rightarrow$ 2) $x < y$ के लिए $x$ पर और $y$ पर दोनों स्पर्श-असमिकाएँ $f'(x)(y-x) \leq f(y) - f(x) \leq f'(y)(y - x)$ देती हैं, अतः $f'(x) \leq f'(y)$ ।

(2 $\Rightarrow$ 1) $x < y$ और $t \in \intoo{0}{1}$ नियत कीजिए, और $z = tx + (1-t)y \in \intoo{x}{y}$ रखिए। $\intcc{x}{z}$ तथा $\intcc{z}{y}$ पर माध्य मान प्रमेय से ऐसे $c_1 < z < c_2$ हैं कि

\frac{f(z) - f(x)}{z - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(y) - f(z)}{y - z} ,

और हर हटाने ( $z - x = (1-t)(y-x)$ , $y - z = t(y-x)$ ) पर यह ठीक उत्तलता असमिका में पुनर्व्यवस्थित हो जाता है।

दो बार अवकलनीय स्थिति: $f'' \geq 0 \iff f'$ वर्धमान (उपप्रमेय 14.12)। ∎

उत्तलता, दो बार: हर जीवा (धूसर) आलेख के ऊपर है, और आलेख हर स्पर्श रेखा (बिंदुकित) के ऊपर।

उदाहरण 14.20 (चिरपरिचित उत्तलता असमिकाएँ)

$\exp$ उत्तल है ( $\exp'' = \exp > 0$ ): $0$ पर उसकी स्पर्श रेखा सभी $x$ के लिए $\eu^x \geq 1 + x$ देती है। $\ln$ अवतल है: $1$ पर उसकी स्पर्श रेखा $\ln x \leq x - 1$ देती है; और $0 < a \leq b$ के लिए उसकी जीवाएँ गुणोत्तर तथा समांतर माध्यों के बीच की असमिका देती हैं: अवतलता में $t = \frac12$ लेने पर,

\ln\frac{a + b}{2} \geq \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln\sqrt{ab}, \qquad\text{अतः}\qquad \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} .

व्यापक समांतर–गुणोत्तर असमिका अभ्यास 14.9 है।

उदाहरण 14.21 (शून्य से एक उत्तलता असमिका)

फलन $f(t) = t\ln t$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर उत्तल है: $f''(t) = \frac1t > 0$ । उसकी मध्यबिंदु असमिका, $2$ से गुणा करने पर, कहती है: सभी $a, b > 0$ के लिए,

a\ln a + b\ln b \;\geq\; (a + b)\,\ln\frac{a + b}{2} ,

जहाँ समता तभी जब $a = b$ (कठोर उत्तलता)। परीक्षण: $a = 1$ , $b = 3$ $4\ln 2 = 2.773$ के सामने $3\ln 3 = 3.296$ देता है। यह निर्दोष दिखने वाली असमिका उस एंट्रॉपी तुलना की दो-बिंदु स्थिति है जो येंसन असमिका (अभ्यास 14.9) के साथ और स्नातक वर्ष 3 के खंड के सूचना-सैद्धांतिक अनंतस्पर्शी में फिर प्रकट होती है। समापन का सार: कोई असमिका गढ़नी हो तो ऐसा फलन खोजिए जिसके द्वितीय अवकलज का कोई चिह्न हो, और लिख डालिए कि उत्तलता क्या कहती है — अवकलीय अभिलक्षण एक ही चिह्न-जाँच को अनंत असमिकाओं में बदल देता है।

टिप्पणी 14.22 (अवकलजों की सामान्य भूलें)

(क) एक बिंदु पर धनात्मक अवकलज उसके पास एकदिष्टता नहीं देता: $f(x) = \frac x2 + x^2\sin\frac1x$ ( $f(0) = 0$ के साथ) में $f'(0) = \frac12 > 0$ है, फिर भी

f'(x) = \frac12 + 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x

प्रत्येक $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ पर वह $-\frac12$ के बराबर है: अर्थात् $0$ के हर प्रतिवेश में उतार हैं। एकदिष्टता को $f' \geq 0$ किसी अंतराल पर चाहिए (उपप्रमेय 14.12); बिंदुवार चिह्न केवल स्पर्श रेखा के काटे जाने को नियंत्रित करता है। (ख) रोल की तीनों परिकल्पनाएँ सक्रिय हैं: $\intcc{-1}{1}$ पर $\abs x$ (कोई भीतरी अवकलनीयता नहीं), $\intcc{0}{1}$ पर $x$ (सिरे बराबर नहीं), और $\intcc{0}{1}$ पर $x - \lfloor x\rfloor$ ( $1$ पर सांतत्य विफल) — हर एक ठीक एक परिकल्पना और निष्कर्ष तोड़ देता है। (ग) अवकलज असंतत हो सकते हैं, पर मनमाने ढंग से नहीं: $f'$ दोलन कर सकता है (उदाहरण 14.2) फिर भी वह सदा मध्यवर्ती मान गुणधर्म संतुष्ट करता है (डार्बू, अभ्यास 14.10): अवकलज कभी कूदता नहीं — यदि आपने कूद वाली कोई एकपक्षीय “अवकलज-सीमा” संगणित की है, तो आपने किसी अनवकलनीय फलन का अवकलन किया है। (घ) प्रतिलोम वाले सूत्र को $f' \neq 0$ चाहिए: $x \mapsto x^3$ एक चिकना कठोरतः वर्धमान एकैकी आच्छादन है जिसके प्रतिलोम $x^{1/3}$ की $0$ पर ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा है — प्रतिलोम की अवकलनीयता ठीक वहीं खोती है जहाँ $f'$ लुप्त होता है (प्रमेय 14.5)।

टिप्पणी 14.23 (माध्य मान प्रमेय आगे कहाँ काम करती है)

अगले अध्यायों का लगभग हर परिमाणात्मक कथन इसी अध्याय की माध्य मान प्रमेय है, बस वेश बदले हुए: कलन की मूल प्रमेय (अध्याय 15) क्षेत्रफल फलन का अवकलन करती है और एकदिष्टता कसौटी पर समाप्त होती है; टेलर–लाग्रांज सूत्र (अध्याय 16) $n$ बार दोहराई गई माध्य मान प्रमेय है; न्यूटन विधि और अचल-बिंदु पुनरावृत्तियों (अभ्यास 14.11) का त्रुटि-विश्लेषण लिप्शिट्ज़ रूप है; और इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या (समस्या 14.1) उसी लिप्शिट्ज़ परिबंध को संख्या-सिद्धांत में बदल देती है — बीजीय संख्याओं और परिमेय संख्याओं के बीच एक प्रतिकर्षण असमिका, जिससे इतिहास की पहली अबीजीय संख्या मिलती है। स्नातक वर्ष 2 के खंड में माध्य मान असमिका कई चरों में बची रहती है, यद्यपि समता नहीं।

उदाहरण 14.24 (अवतलता से यंग असमिका)

मान लीजिए $p, q > 1$ और $\frac1p + \frac1q = 1$ । सभी $a, b > 0$ के लिए:

ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

उपपत्ति: भार $\frac1p, \frac1q$ के साथ $\ln$ की अवतलता का एक ही प्रयोग (दो-बिंदु येंसन असमिका, जैसा अभ्यास 14.9 में है):

\ln\Bigl(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\Bigr) \;\geq\; \frac1p \ln(a^p) + \frac1q \ln(b^q) = \ln a + \ln b = \ln(ab),

और $\ln$ के वर्धमान होने से लघुगणकों की असमिका दावे में बदल जाती है; समता तभी जब $a^p = b^q$ (कठोर अवतलता)। स्थिति $p = q = 2$ वेश बदली हुई समांतर-गुणोत्तर असमिका $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ है। समापन का सार: यंग असमिका स्नातक वर्ष 2 के खंड की होल्डर और मिंकोव्स्की असमिकाओं का बीजीय बीज है — $\ln$ के विषय में एक ही अवतलता कथन, जिसे मानकों के लिए काट लिया जाता है।

टिप्पणी 14.25 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि)

खंड समाप्त होने से पहले अवकलज तीन नए जीवन पाता है। अध्याय 16 में वह दोहराता है: किसी बिंदु पर $n$ अवकलज एक बहुपद और एक नियंत्रित त्रुटि में सिमट जाते हैं, और माध्य मान प्रमेय लाग्रांज शेषफल बन जाती है। अध्याय 24 में अवकलन ज्यामितीय हो जाता है: प्राचलित वक्र $t \mapsto (x(t), y(t))$ के लिए युग्म $(x'(t), y'(t))$ वेग सदिश है, स्पर्शिता संरेखता बन जाती है, और क्रांतिक बिंदु वर्गीकृत करने योग्य उभयाग्र बन जाते हैं। अध्याय 25 में एक समय में एक चर जमा दिया जाता है: आंशिक अवकलज इस अध्याय को दो बार दोहरा देते हैं, और स्पर्श रेखा बढ़कर स्पर्श तल बन जाती है। तीनों अध्याय वही व्याकरण विरासत में पाते हैं — स्थानीय रैखिक सन्निकटन और एक त्रुटि पद — जो पहली बार यहीं बोला गया है।

14.4 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

इनका अवकलन कीजिए (प्रांत बताते हुए): $x^x$ ; $\;\ln\bigl(x + \sqrt{x^2+1}\bigr)$ ; $\;\arctan\frac{1}{x}$ ; $\;\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ ।

हल

हल — अभ्यास 14.1.

$\intoo{0}{+\infty}$ पर $x^x = \eu^{x\ln x}$ : अवकलज $(\ln x + 1)\,x^x$ ।

$\R$ पर $\ln(x + \sqrt{x^2+1})$ (प्रांतिक सदा $> 0$ रहता है): अवकलज $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (प्रतिज्ञप्ति 4.21 में संगणित — वह $\operatorname{arsinh}$ है)।

$\R^*$ पर $\arctan\frac1x$ : अवकलज $\frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{1 + x^2}$ (प्रतिज्ञप्ति 4.12 (2) के अनुरूप: फलन प्रत्येक अर्धरेखा पर $\pm\frac\pi2 - \arctan x$ है)।

$\R$ पर $\sqrt{1 + \eu^{2x}}$ : अवकलज $\frac{\eu^{2x}}{\sqrt{1 + \eu^{2x}}}$ ।

अभ्यास 14.2 ★

उदाहरण 14.2 पूरा कीजिए: सिद्ध कीजिए कि $f(x) = x^2 \sin\frac1x$ , $f(0) = 0$ , $0$ पर अवकलनीय है और $f'(0) = 0$ , तथा यह कि $f'$ की $0$ पर कोई सीमा नहीं है।

हल

हल — अभ्यास 14.2.

$0$ पर: $\bigl|\frac{f(h) - 0}{h}\bigr| = \abs{h \sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , अतः $f'(0) = 0$ । $x \neq 0$ के लिए सामान्य नियम $f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ देते हैं। $x_n = \frac{1}{2\pi n}$ के अनुदिश: $f'(x_n) = 0 - 1 \to -1$ ; $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$ के अनुदिश: $f'(y_n) = 0 + 1 \to 1$ । $0$ की ओर जाते दो अनुक्रम, जिनके $f'$ की सीमाएँ भिन्न हैं: अतः कोई सीमा नहीं (प्रमेय 13.3), इसलिए $f'$ $0$ पर संतत नहीं है और $f$ $C^1$ हुए बिना अवकलनीय है।

अभ्यास 14.3 ★

माध्य मान प्रमेय अथवा स्पर्श-असमिकाओं का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $x > 0$ के लिए:

\frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x .

प्रत्येक $x > 0$ के लिए $\lim_{n\to\infty} \bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^x$ निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 14.3.

$x > 0$ के लिए $\ln(1+x) < x$ : $0$ पर अवतलता की स्पर्श-असमिका (संपर्क बिंदु से दूर कठोर, क्योंकि $\ln$ कठोरतः अवतल है; अथवा माध्य मान प्रमेय लगाइए: किसी $c \in \intoo{0}{x}$ के लिए $\ln(1+x) = \frac{x}{1+c}$ , और $\frac{x}{1+c} < x$ )। वही माध्य-मान सर्वसमिका निचला परिबंध देती है: $\frac{x}{1+c} > \frac{x}{1+x}$ ।

परिणाम: $x$ के स्थान पर $x/n$ रखने पर,

\frac{x/n}{1 + x/n} < \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < \frac xn \quad\implies\quad \frac{x}{1 + x/n} < n \ln\Bigl(1 + \frac xn\Bigr) < x .

बायाँ पद $x$ की ओर जाता है: अतः दबाव से $n\ln(1 + \frac xn) \to x$ , और $\exp$ की सांतत्य से $\bigl(1 + \frac xn\bigr)^n = \eu^{n\ln(1 + x/n)} \to \eu^x$ ।

अभ्यास 14.4 ★

मान लीजिए $P$ ऐसा वास्तविक बहुपद है जिसके $k$ भिन्न वास्तविक मूल हैं। सिद्ध कीजिए कि $P'$ के कम से कम $k - 1$ भिन्न वास्तविक मूल हैं, जो $P$ के मूलों के बीच-बीच में आते हैं। उससे निकालिए कि यदि $P$ के सभी मूल वास्तविक हैं, तो $P'$ के भी।

हल

हल — अभ्यास 14.4.

मान लीजिए $x_1 < x_2 < \dots < x_k$ $P$ के भिन्न मूल हैं। प्रत्येक $\intcc{x_i}{x_{i+1}}$ पर रोल (प्रमेय 14.8) ऐसा $c_i \in \intoo{x_i}{x_{i+1}}$ देता है कि $P'(c_i) = 0$ : अर्थात् $P'$ के $k - 1$ मूल, जो भिन्न हैं क्योंकि वे खुले अंतराल असंयुक्त हैं — और रचना से बीच-बीच में आते हैं।

यदि $P$ (घात $n$ ) के सभी मूल वास्तविक हैं, तो उन्हें बहुलताओं $m_1 + \dots + m_k = n$ के साथ लिखिए। बहुलता $m_i \geq 2$ वाला प्रत्येक मूल $P'$ का बहुलता $m_i - 1$ वाला मूल है (प्रतिज्ञप्ति 8.11), और $\sum (m_i - 1) = n - k$ का योगदान करता है; रोल $k - 1$ और देता है, जो इन सबसे भिन्न हैं। कुल $\geq n - 1 = \deg P'$ : अतः $P'$ के सभी मूल वास्तविक हैं।

अभ्यास 14.5 ★★

मान लीजिए $f$ $\R$ पर अवकलनीय है और $x \to +\infty$ होने पर $f' (x)\to \ell$ । सिद्ध कीजिए कि $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ ( $\intcc{A}{x}$ पर माध्य मान प्रमेय)। क्या $f(x+1) - f(x) \to \ell$ भी सत्य है?

हल

हल — अभ्यास 14.5.

$\varepsilon > 0$ नियत कीजिए और ऐसा $A$ कि $t \geq A$ के लिए $\abs{f'(t) - \ell} \leq \varepsilon$ । $x > A$ के लिए $\intcc{A}{x}$ पर माध्य मान प्रमेय ऐसा $c \in \intoo{A}{x}$ देती है कि

f(x) = f(A) + f'(c)(x - A), \qquad\text{अतः}\qquad \Bigl|\frac{f(x)}{x} - \ell\Bigr| \leq \frac{\abs{f(A)} + \abs\ell A}{x} + \abs{f'(c) - \ell} \cdot\frac{x - A}{x} \leq \frac{C_A}{x} + \varepsilon .

बड़े $x$ के लिए $\frac{C_A}{x} \leq \varepsilon$ : अतः $\frac{f(x)}{x} \to \ell$ ।

हाँ: $c_x \in \intoo{x}{x+1}$ के साथ $f(x+1) - f(x) = f'(c_x)$ ( $\intcc{x}{x+1}$ पर माध्य मान प्रमेय), और $c_x \to +\infty$ , अतः $f(x+1) - f(x) \to \ell$ ।

अभ्यास 14.6 ★★

(एक विविक्त रोल) मान लीजिए $f$ $I$ पर $n$ बार अवकलनीय है और $n + 1$ भिन्न बिंदुओं पर लुप्त होता है। सिद्ध कीजिए कि $f^{(n)}$ कम से कम एक बार लुप्त होता है। अनुप्रयोग: $n+1$ बिंदुओं पर लुप्त होने वाला घात $\leq n$ का बहुपद शून्य है (फिर से)।

हल

हल — अभ्यास 14.6.

$n$ पर आगमन। $n = 1$ के लिए: रोल। यदि दावा $n - 1$ के लिए सत्य है: $f$ $n+1$ बिंदुओं पर लुप्त होता है, अतः $n$ अंतरालों पर रोल लगाने से $f'$ $n$ भिन्न बिंदुओं पर लुप्त होता है; और आगमन परिकल्पना $f'$ ( $n-1$ बार अवकलनीय, $n$ शून्य) पर लगाने से $(f')^{(n-1)} = f^{(n)}$ कहीं न कहीं लुप्त हो जाता है।

अनुप्रयोग: यदि घात $\leq n$ का $P$ $n+1$ बिंदुओं पर लुप्त होता है, तो $P^{(n)}$ , जो अग्र गुणांक का $n!$ गुना अचर है, लुप्त हो जाता है: अतः अग्र गुणांक $0$ है, और फिर अवरोही आगमन से निष्कर्ष निकलता है (अथवा सीधे: सभी गुणांक लुप्त हो जाते हैं)।

अभ्यास 14.7 ★★

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर दो बार अवकलनीय है, $f(a) = f(b) = 0$ , और किसी भीतरी $x_0$ के लिए $f(x_0) > 0$ । सिद्ध कीजिए कि किसी $c \in \intoo{a}{b}$ के लिए $f''(c) < 0$ । (दो माध्य मान प्रमेय और प्रवणताओं की तुलना।)

हल

हल — अभ्यास 14.7.

$\intcc{a}{x_0}$ पर और $\intcc{x_0}{b}$ पर माध्य मान प्रमेय से:

f'(c_1) = \frac{f(x_0) - f(a)}{x_0 - a} = \frac{f(x_0)}{x_0 - a} > 0, \qquad f'(c_2) = \frac{f(b) - f(x_0)}{b - x_0} = \frac{-f(x_0)}{b - x_0} < 0,

जहाँ $c_1 < x_0 < c_2$ । फिर $\intcc{c_1}{c_2}$ पर $f'$ पर माध्य मान प्रमेय लगाने से ऐसा $c$ मिलता है कि

f''(c) = \frac{f'(c_2) - f'(c_1)}{c_2 - c_1} < 0 . \qedhere

अभ्यास 14.8 ★★

$\intoo{0}{+\infty}$ पर फलन $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ का अध्ययन कीजिए: विचरण, सीमाएँ, अधिकतम। उससे निकालिए कि सभी वास्तविक $\eu \leq a < b$ के लिए $a^b > b^a$ , और प्रसिद्ध विशेष स्थिति तय कीजिए: $\eu^\pi$ , $\pi^\eu$ में कौन बड़ा है? छोटे पूर्णांक युग्मों $(2,3)$ और $(2,4)$ के सामने जाँचिए: वे भिन्न व्यवहार क्यों करते हैं?

हल

हल — अभ्यास 14.8.

$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$ : $f$ $\intoc{0}{\eu}$ पर बढ़ता है, $\intco{\eu}{+\infty}$ पर घटता है, और उसका अधिकतम $f(\eu) = \frac1\eu$ है; सीमाएँ $0^+$ पर $-\infty$ और $+\infty$ पर $0$ (वृद्धि तुलना)।

$\eu \leq a < b$ के लिए: वहाँ कठोरतः ह्रासमान $f$ $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$ देता है, अर्थात् $b \ln a > a \ln b$ , अर्थात् $a^b > b^a$ ।

$a = \eu < b = \pi$ के साथ: $\eu^\pi > \pi^\eu$ ।

छोटे युग्म: $(2, 3)$ : $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ — उलटा! कारण: $2 < \eu$ , और $\intoo{0}{\eu}$ पर फलन $f$ वर्धमान है, अतः जब दोनों संख्याएँ $\eu$ से नीचे बैठती हैं तब तुलना पलट जाती है, और $\eu$ को पार करते ही वह अप्रत्याशित हो जाती है ( $f(2) = f(4)$ समता $2^4 = 4^2 = 16$ समझा देता है)।

अभ्यास 14.9 ★★

(समांतर–गुणोत्तर असमिका) व्यापक भारों के साथ $\ln$ की अवतलता का प्रयोग करके ( $n$ बिंदुओं के लिए येंसन असमिका, जिसे $n$ पर आगमन से सिद्ध करना है) दिखाइए कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a_1, \dots, a_n$ के लिए:

\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{a_1 + \dots + a_n}{n},

जहाँ समता तभी जब सभी $a_i$ बराबर हों।

हल

हल — अभ्यास 14.9.

$n$ पर आगमन से $\ln$ के लिए येंसन। दावा: धनात्मक $x_i$ और $\sum \lambda_i = 1$ वाले भार $\lambda_i > 0$ के लिए $\ln\bigl(\sum \lambda_i x_i\bigr) \geq \sum \lambda_i \ln x_i$ । $n = 2$ के लिए यह अवतलता है। पद: $\Lambda = \lambda_1 + \dots + \lambda_{n-1} = 1 - \lambda_n$ और $y = \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda} x_i$ के साथ,

\ln\Bigl(\sum_{i \leq n} \lambda_i x_i\Bigr) = \ln\bigl(\Lambda y + \lambda_n x_n\bigr) \geq \Lambda \ln y + \lambda_n \ln x_n \geq \Lambda \sum_{i<n} \frac{\lambda_i}{\Lambda}\ln x_i + \lambda_n \ln x_n,

जहाँ पहले अवतलता ( $n = 2$ ) और फिर आगमन परिकल्पना प्रयुक्त हुई।

$\lambda_i = \frac 1n$ और $x_i = a_i$ के साथ: $\ln\frac{\sum a_i}{n} \geq \frac 1n \sum \ln a_i = \ln\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$ ; अब चरघातांकी लीजिए। समता: $\ln$ कठोरतः अवतल है ( $\ln'' < 0$ ), अतः हर पद पर समता के लिए औसतित बिंदुओं का संपाती होना अनिवार्य है — अर्थात् सभी $a_i$ बराबर; और यदि सभी बराबर हों तो समता स्पष्ट है।

अभ्यास 14.10 ★★★

(डार्बू: अवकलज मध्यवर्ती मान लेते हैं) मान लीजिए $f$ $I$ पर अवकलनीय है और $I$ में $a < b$ ऐसे हैं कि $f'(a) < v < f'(b)$ । $g(x) = f(x) - vx$ पर और उस बिंदु पर विचार करके जहाँ $g$ $\intcc{a}{b}$ पर अपना न्यूनतम प्राप्त करता है, सिद्ध कीजिए कि किसी $c \in \intoo{a}{b}$ के लिए $f'(c) = v$ — यद्यपि $f'$ का संतत होना आवश्यक नहीं (अभ्यास 14.2)।

हल

हल — अभ्यास 14.10.

मान लीजिए $g(x) = f(x) - vx$ : यह अवकलनीय है, जहाँ $g'(a) = f'(a) - v < 0$ और $g'(b) = f'(b) - v > 0$ । चरम मान प्रमेय से $g$ $\intcc{a}{b}$ पर अपना न्यूनतम किसी $c$ पर प्राप्त करता है। वह $a$ पर नहीं है: चूँकि $g'(a) < 0$ , $a$ के ठीक दाईं ओर के बिंदुओं पर $g < g(a)$ । वह $b$ पर भी नहीं है: चूँकि $g'(b) > 0$ , $b$ के ठीक बाईं ओर के बिंदुओं पर $g < g(b)$ । अतः $c$ भीतरी है, और प्रतिज्ञप्ति 14.7 $g'(c) = 0$ देता है, अर्थात् $f'(c) = v$ ।

अभ्यास 14.11 ★★★

मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ अवकलनीय है और सभी $x$ के लिए $\abs{f'(x)} \leq k < 1$ (एक संकुचन)। सिद्ध कीजिए कि $f$ का ठीक एक अचल बिंदु $\ell$ है, और यह कि प्रत्येक अनुक्रम $u_{n+1} = f(u_n)$ $\ell$ की ओर अभिसरित होता है, जहाँ $\abs{u_n - \ell} \leq k^n\abs{u_0 - \ell}$ । (अस्तित्व: लिप्शिट्ज़ परिबंध का प्रयोग करते हुए किसी बड़े खंड पर $f(x) - x$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए; अथवा कोशी कसौटी के साथ पूर्णता का प्रयोग कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 14.11.

अद्वितीयता: दो अचल बिंदु $\ell \neq \ell'$ $\abs{\ell - \ell'} = \abs{f(\ell) - f(\ell')} \leq k\abs{\ell - \ell'} < \abs{\ell - \ell'}$ देते, जो असंगत है।

अस्तित्व: माध्य मान असमिका से $g(x) = f(x) - x$ $f(x) \leq f(0) + k\abs x$ संतुष्ट करता है; अतः $x \geq \frac{\abs{f(0)}}{1 - k}$ के लिए $g(x) \leq f(0) + kx - x \leq 0$ , और सममित रूप से बड़े $x$ के लिए $g(-x) \geq 0$ । मध्यवर्ती मान प्रमेय $g$ का कोई शून्य $\ell$ दे देती है: अर्थात् एक अचल बिंदु।

अभिसरण: फिर माध्य मान असमिका:

\abs{u_{n+1} - \ell} = \abs{f(u_n) - f(\ell)} \leq k\abs{u_n - \ell},

अतः आगमन से $\abs{u_n - \ell} \leq k^n \abs{u_0 - \ell} \to 0$ ।

अभ्यास 14.12 ★★★

(कोशी की माध्य मान प्रमेय और लोपिताल का नियम)

मान लीजिए $f, g$ $\intcc{a}{b}$ पर संतत और $\intoo{a}{b}$ पर अवकलनीय हैं, तथा वहाँ $g'$ कभी शून्य नहीं होता। सिद्ध कीजिए कि $g(b) \neq g(a)$ और यह कि कोई $c \in \intoo{a}{b}$ यह संतुष्ट करता है

$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

(उपयुक्त अचर $\lambda$ के लिए $h = f - \lambda g$ पर रोल लगाइए)।
उससे किसी बिंदु पर $\frac00$ रूप में लोपिताल का नियम निकालिए: यदि $x \to a^+$ होने पर $f(a) = g(a) = 0$ और $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to \ell$ , तो $\frac{f(x)}{g(x)} \to \ell$ ।
दिखाइए कि विलोम विफल है: $f(x) = x^2\sin\frac1x$ ( $f(0) = 0$ ) और $g(x) = x$ के लिए भागफल $\frac{f}{g}$ की $0$ पर सीमा है पर $\frac{f'}{g'}$ की कोई नहीं।

हल

हल — अभ्यास 14.12.

यदि $g(b) = g(a)$ , तो रोल $g'$ का कोई भीतरी शून्य देता: वर्जित। $\lambda = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ और $h = f - \lambda g$ रखिए: $h$ $\intcc{a}{b}$ पर संतत है, भीतर अवकलनीय है, और $h(b) - h(a) = f(b) - f(a) - \lambda(g(b) - g(a)) = 0$ । रोल ऐसा $c$ देता है कि $h'(c) = 0$ , अर्थात् $f'(c) = \lambda\,g'(c)$ ; अब $g'(c) \neq 0$ से भाग दीजिए।
$a$ के निकट $x > a$ के लिए, $\intcc{a}{x}$ पर (जहाँ $g' \neq 0$ ) भाग (1) ऐसे $g(x) \neq 0$ और $c_x \in \intoo{a}{x}$ देता है कि

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} .$

जब $x \to a^+$ , तब $c_x \to a^+$ (दबाव), अतः दायाँ पक्ष $\ell$ की ओर जाता है: $\frac{f}{g} \to \ell$ ।
$\frac{f(x)}{g(x)} = x\sin\frac1x \to 0$ , जबकि $\frac{f'(x)}{g'(x)} = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x$ की $0$ पर कोई सीमा नहीं है (अभ्यास 14.2): लोपिताल का नियम सूचना केवल $\frac{f'}{g'}$ से $\frac fg$ तक ले जाता है, कभी वापस नहीं।

14.5 समस्या: लिउविल असमिका और पहली अबीजीय संख्या

समस्या 14.1

सप्ताहांत समस्या — बीजीय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को दूर धकेलती हैं: $\abs{x - p/q} \geq C/q^d$ , और $\sum 10^{-n!}$ की अबीजीयता

कोई वास्तविक संख्या बीजीय तब है जब वह पूर्णांक गुणांकों वाले किसी अशून्य बहुपद का मूल हो, और अन्यथा अबीजीय। 1844 में लिउविल ने वह पहली संख्या प्रस्तुत की जिसकी अबीजीयता कभी सिद्ध हुई थी, और उसकी उपपत्ति का इंजन इसी अध्याय की माध्य मान प्रमेय है: घात $d$ की बीजीय संख्या का परिमेय संख्याओं से $C/q^d$ से बेहतर सन्निकटन नहीं हो सकता — अतः जिस संख्या का सन्निकटन हर घात से तेज़ हो सके वह बीजीय नहीं हो सकती। यह समस्या वह असमिका खड़ी करती है, लिउविल की संख्या $L = 0.110001000\dots$ (क्रमगुणित स्थानों पर इकाइयाँ, समस्या 10.1 की अंक-मशीनरी से) बनाती है, उसकी अबीजीयता सिद्ध करती है, और कैंटर की प्रतिद्वंद्वी उपपत्ति तथा $\sqrt2$ और $2^{1/3}$ के लिए प्रभावी परिबंधों पर समाप्त होती है।

भाग I — परिमेय संख्याओं का सन्निकटन कितना अच्छा हो सकता है?

दिखाइए कि दो भिन्न परिमेय $\frac ab \neq \frac pq$ ( $b, q \geq 1$ के साथ लिखे हुए) $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{bq}$ संतुष्ट करते हैं। उससे निकालिए: यदि $x = \frac ab$ और $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{bq}$ , तो ऐसा कोई $\frac pq$ है ही नहीं — अर्थात् परिमेय संख्या शेष सभी परिमेय संख्याओं को $\frac 1q$ के पैमाने पर दूर धकेल देती है।
सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक परिमेय $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ) के लिए $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{4q^2}$ (यदि दूरी $1$ से अधिक हो तो यह स्पष्ट है; अन्यथा $\abs{\sqrt2 + p/q} < 4$ को परिबद्ध कीजिए और अशून्य पूर्णांक $\abs{p^2 - 2q^2} \geq 1$ का प्रयोग कीजिए)।
दूसरी दिशा में: जाँचिए कि $(p, q) \mapsto (p + 2q, p + q)$ $\abs{p^2 - 2q^2} = 1$ सुरक्षित रखता है, $(1,1)$ से युग्म $(3,2)$ , $(7,5)$ , $(17,12)$ , $(41,29)$ , $(99,70)$ उत्पन्न कीजिए, और दिखाइए कि हर एक यह संतुष्ट करता है

$\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2\,(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} :$

अर्थात् कोटि $2$ के अनंत कितने सन्निकटन। प्रश्न 2 के साथ: $\sqrt 2$ का सन्निकटन-घातांक ठीक $2$ है।
(डिरिक्ले) मान लीजिए $x$ अपरिमेय है और $N \in \N^*$ । $N$ डिब्बों $\intco{\frac kN}{\frac{k + 1}{N}}$ में $0, x, 2x, \dots, Nx$ के $N + 1$ भिन्नात्मक भागों पर विचार कीजिए: कबूतरखाना सिद्धांत (उपप्रमेय 2.3) से दो एक ही डिब्बे में गिरते हैं। उससे $\abs{qx - p} < \frac 1N$ के साथ $q \leq N$ और $p$ निकालिए, अतः $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ वाली अनंत कितनी परिमेय संख्याएँ: अर्थात् प्रत्येक अपरिमेय संख्या का कोटि $2$ तक सन्निकटन हो सकता है।

भाग II — लिउविल असमिका। मान लीजिए $x$ अपरिमेय और बीजीय है।

दिखाइए कि $x$ पर लुप्त होने वाले अशून्य पूर्णांक बहुपदों में एक ऐसा है, मान लीजिए घात $d$ का $P$ , जिसका कोई परिमेय मूल नहीं; और $d \geq 2$ जाँचिए ( $\Q$ पर गुणनखंड $X - \frac ab$ भाग दीजिए और हर हटाइए; घात $1$ $x$ को परिमेय बना देती)।
दिखाइए कि प्रत्येक परिमेय $\frac pq$ ( $q \geq 1$ ) के लिए $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq \frac{1}{q^d}$ ( $q^d P(p/q)$ अशून्य पूर्णांक है)।
मान लीजिए $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} \abs{P'}$ (प्रमेय 13.13)। $x$ और $\frac pq$ के बीच माध्य मान प्रमेय का प्रयोग करके लिउविल असमिका सिद्ध कीजिए: $C = \min\bigl(1, \frac 1M\bigr) > 0$ के साथ,

$\Bigl| x - \frac pq \Bigr| \geq \frac{C}{q^{\,d}} \qquad\text{प्रत्येक परिमेय } \frac pq,\ q \geq 1 .$
$x$ को लिउविल संख्या तब कहिए जब प्रत्येक $n \in \N$ के लिए ऐसी परिमेय $\frac pq$ हो कि $q \geq 2$ और $0 < \bigl|x - \frac pq\bigr| < q^{-n}$ । सिद्ध कीजिए कि लिउविल संख्या अपरिमेय होती है (प्रश्न 1: ऐसा $n$ चुनिए कि $2^{\,n-1} > b$ )।
लिउविल की प्रमेय सिद्ध कीजिए: लिउविल संख्या अबीजीय होती है (प्रश्न 7 और 8 मिलाइए: बड़े $n$ के लिए असमिका $C < q^{\,d-n}$ विफल हो जाती है)।

भाग III — संख्या $L$ ।

मान लीजिए $L$ उस दशमलव अंक-माला का मान (समस्या 10.1 के अर्थ में) है जिसमें स्थानों $n!$ ( $n = 1, 2, 3, \dots$ ) पर अंक $1$ है और अन्यत्र $0$ , अर्थात् $t_k = \sum_{n=1}^{k} 10^{-n!}$ के साथ $L = \sup_k t_k$ । $L$ के पहले $25$ अंक लिखिए।
प्रत्येक $k \geq 1$ के लिए पूँछ का घेराव सिद्ध कीजिए:

$10^{-(k+1)!} \;\leq\; L - t_k \;\leq\; \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} \;<\; 2\cdot 10^{-(k+1)!}$

( $t_k$ से आगे हर आंशिक योग को किसी परिमित गुणोत्तर योग से परिबद्ध कीजिए)।
$q_k = 10^{k!}$ के साथ $t_k = \frac{p_k}{q_k}$ लिखिए। दिखाइए $0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}}$ , और निष्कर्ष निकालिए कि $L$ प्रश्न 8 के अर्थ में लिउविल संख्या है।
निष्कर्ष: $L$ अबीजीय है — इतिहास का पहला स्पष्ट उदाहरण (लिउविल, 1844)। उसकी अपरिमेयता सीधे भी जाँचिए: उसके अंक अंततः आवर्ती नहीं हैं (बढ़ते अंतराल, जैसा समस्या 10.1, प्रश्न 20 में है)।
सामान्यीकृत कीजिए: प्रत्येक अंक $1$ के स्थान पर कोई स्वेच्छ अशून्य अंक $d_n \in \intint{1}{9}$ रखिए। दिखाइए कि मान अब भी लिउविल संख्या है, और उससे — इन अंक-चयनों पर समस्या 10.1 (प्रश्न 22) का विकर्ण तर्क लगाकर — निकालिए कि इस आकार की अगणनीय कितनी अबीजीय संख्याएँ हैं।

भाग IV — सन्निकटन-कोटियों की सोपान-रचना। $x$ को कोटि $\mu$ तक सन्निकटनीय तब कहिए जब किसी अचर $c > 0$ के लिए अनंत कितनी परिमेय संख्याएँ $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^{\mu}}$ संतुष्ट करें।

भाग I से III तक की सोपान-रचना जोड़िए: परिमेय संख्याएँ कोटि $1$ तक सन्निकटनीय हैं और उससे बेहतर नहीं; $\sqrt 2$ कोटि $2$ तक और उससे बेहतर नहीं; प्रत्येक अपरिमेय संख्या कम से कम कोटि $2$ तक; घात $d$ की बीजीय संख्या $d$ से आगे किसी कोटि तक नहीं; और लिउविल संख्याएँ हर कोटि तक। प्रत्येक दावे को संबंधित प्रश्न का हवाला देकर न्यायसंगत ठहराइए।
दिखाइए कि प्रत्येक परिमेय $r = \frac ab$ के लिए $L + r$ लिउविल संख्या है (सन्निकटकों का स्थानांतरण कीजिए: नए हर $b\,q_k$ हैं)। निष्कर्ष निकालिए कि लिउविल — और इसलिए अबीजीय — संख्याएँ $\R$ में सघन हैं।
(कैंटर, 1874) सिद्ध कीजिए कि बीजीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है: ऐसे पूर्णांक बहुपद परिमित कितने हैं जिनकी घात और $\abs{\text{गुणांकों}}$ का योग मिलकर $h$ से परिबद्ध हों, और हर एक के अधिक से अधिक $\deg$ मूल हैं; और परिमित समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन गणनीय होता है। चूँकि कोई अनुक्रम $\R$ को नहीं भरता (समस्या 10.1, प्रश्न 22), अतः अबीजीय संख्याएँ विद्यमान हैं — वस्तुतः वे अगणनीय समुच्चय बनाती हैं। दोनों उपपत्तियों की तुलना कीजिए: लिउविल की उपपत्ति क्या देती है जो कैंटर की नहीं दे सकती?
प्रश्न 2 से सीधे सिद्ध कीजिए कि $\sqrt 2$ लिउविल संख्या नहीं है ( $n \geq 3$ के लिए असमिका $q^{-n} > \frac{1}{4q^2}$ $q$ को परिबद्ध कर देती है; तब केवल परिमित कितने उम्मीदवार परिमेय बचते हैं, और वे सब $\sqrt2$ से धनात्मक दूरी पर हैं)। सामान्यीकृत कीजिए: कोई भी बीजीय संख्या लिउविल नहीं है।

भाग V — प्रभावी अचर।

पेल युग्म $(99, 70)$ के लिए: $99^2 - 2\cdot70^2 = 1$ सत्यापित कीजिए और यथार्थ त्रुटि निकालिए

$\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{-1}{70^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac{99}{70}\bigr)}, \qquad \Bigl|\sqrt 2 - \frac{99}{70}\Bigr| \approx 7.2\cdot 10^{-5} :$

अर्थात् तीन अंकों की भिन्न से पाँच सही अंक।
$x = 2^{1/3}$ , $P = X^3 - 2$ पर भाग II चलाइए: जाँचिए कि $P$ का कोई परिमेय मूल नहीं है, $M = \max_{\intcc{x-1}{x+1}} 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 16$ को परिबद्ध कीजिए, और प्रभावी असमिका पर पहुँचिए

$\Bigl| 2^{1/3} - \frac pq \Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad \text{सभी } \frac pq .$
लाभ: दिखाइए कि $2^{1/3}$ का $10^{-6}$ के भीतर सन्निकटन करने वाली किसी भी परिमेय संख्या का हर $q \geq 40$ होना चाहिए।
दिखाइए कि आधार $10$ निरर्थक है: द्विआधारी अनुरूप $\sum_{n\geq1} 2^{-n!}$ (क्रमगुणित स्थानों पर इकाइयों वाली द्विआधारी माला का मान) भी लिउविल संख्या है, अतः अबीजीय।

भाग VI — सीमांत और संश्लेषण।

मान लीजिए $x^\dagger$ उस दशमलव माला का मान है जिसमें ठीक स्थानों $3^k$ ( $k \geq 0$ ) पर इकाइयाँ हैं। दिखाइए कि $x^\dagger$ कोटि $3$ तक सन्निकटनीय है, और लिउविल असमिका से निकालिए कि $x^\dagger$ न परिमेय है और न कोई द्विघात अपरिमेय। समझाइए कि विधि वहीं क्यों अटक जाती है: कोटि $3$ घात $\geq 3$ की बीजीयता के अनुरूप है, और उस अंतर को पाटना (प्रत्येक बीजीय संख्या के लिए कोई भी घातांक $> 2$ पर्याप्त है) रोथ की प्रमेय है, जो इस खंड से बहुत परे है।
कैंटर को परिमाणित कीजिए: दिखाइए कि $\intint{-H}{H}$ में गुणांकों वाले बहुपदों से मिलने वाली घात $\leq d$ की बीजीय संख्याएँ अधिक से अधिक $d\,(2H + 1)^{d+1}$ हैं। (यही परिमितता प्रश्न 17 को काम करने देती है।)
संश्लेषण, एक-एक वाक्य में: (क) लिउविल की उपपत्ति की एकमात्र विश्लेषणात्मक सामग्री बताइए (इस अध्याय की कौन-सी प्रमेय, कहाँ प्रयुक्त); (ख) उसे चलाने वाला तनाव कहिए (पूर्णांकता $\abs{P(p/q)} \geq q^{-d}$ पर बाध्य करती है, और चिकनाई $\abs{P(p/q)} > M\abs{x - p/q}$ को वर्जित करती है); (ग) अबीजीय संख्याओं के अस्तित्व की लिउविल और कैंटर की उपपत्तियों की तुलना कीजिए; (घ) बताइए कि इस खंड में यही विषय फिर कहाँ मिलता है — अध्याय 15 की सप्ताहांत समस्या $\pi$ की अपरिमेयता उसी पूर्णांकता-बनाम-लघुता वाले दबाव से सिद्ध करती है, बस अवकलजों के स्थान पर समाकल रखकर।

हल

हल — समस्या 14.1.

1. $\bigl|\frac ab - \frac pq\bigr| = \frac{\abs{aq - bp}}{bq}$ , और भिन्नें भिन्न होने पर $aq - bp$ अशून्य पूर्णांक है: अतः दूरी $\geq \frac{1}{bq}$ है। इसलिए $x$ के चारों ओर त्रिज्या $\frac{1}{bq}$ के छिद्रित अंतराल में $x = \frac ab$ के अतिरिक्त कोई परिमेय संख्या नहीं आती।

2. यदि $\bigl|\sqrt2 - \frac pq\bigr| \geq 1 \geq \frac{1}{4q^2}$ , तो काम पूरा। अन्यथा $\frac pq \in \intoo{\sqrt2 - 1}{\sqrt2 + 1}$ , अतः $0 < \sqrt2 + \frac pq < 2\sqrt2 + 1 < 4$ । चूँकि $\sqrt 2 \notin \Q$ , $p^2 - 2q^2$ अशून्य पूर्णांक है, और

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{\abs{2q^2 - p^2}}{q^2\,\bigl(\sqrt2 + \frac pq\bigr)} \geq \frac{1}{4q^2} .

3. $(p + 2q)^2 - 2(p + q)^2 = -(p^2 - 2q^2)$ : मान $\pm1$ आगे बढ़ता जाता है। $(1,1)$ से:

(3,2),\ (7,5),\ (17,12),\ (41,29),\ (99,70),

जहाँ $p^2 - 2q^2$ $-1, +1, \dots$ एकांतरित करता है। इनके लिए $\frac pq \geq 1$ , अतः $\sqrt2 + \frac pq > 2$ और

\Bigl|\sqrt2 - \frac pq\Bigr| = \frac{1}{q^2(\sqrt2 + p/q)} < \frac{1}{2q^2} ,

जहाँ $q \to \infty$ : अर्थात् कोटि- $2$ के अनंत कितने सन्निकटन। प्रश्न 2 के साथ, $\sqrt 2$ के लिए घातांक $2$ यथार्थ है।

4. $N + 1$ संख्याएँ $kx - \lfloor kx\rfloor$ ( $0 \leq k \leq N$ ) $N$ डिब्बों $\intco{\frac jN}{\frac{j+1}{N}}$ में हैं: दो एक ही डिब्बा साझा करती हैं (उपप्रमेय 2.3), मान लीजिए $i < j$ के लिए। $q = j - i \leq N$ और $p = \lfloor jx\rfloor - \lfloor ix\rfloor$ के साथ: $\abs{qx - p} < \frac1N$ , अतः $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{Nq} \leq \frac{1}{q^2}$ । $N \to \infty$ लेने पर: चूँकि $x$ अपरिमेय है, हर नियत भिन्न की $x$ से दूरी धनात्मक है, जबकि $\frac{1}{Nq} \leq \frac 1N \to 0$ नई भिन्नों को प्रकट होने पर बाध्य कर देता है: अर्थात् $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{1}{q^2}$ वाली अनंत कितनी भिन्न $\frac pq$ ।

5. $P_0(x) = 0$ वाले किसी भी अशून्य पूर्णांक $P_0$ से आरंभ कीजिए। यदि $P_0$ का कोई परिमेय मूल $\frac ab$ है, तो गुणनखंड प्रमेय (प्रमेय 8.7) $Q \in \Q[X]$ के साथ $P_0 = \bigl(X - \frac ab\bigr)Q$ लिख देती है; और चूँकि $x \neq \frac ab$ ( $x$ अपरिमेय), $Q(x) = 0$ , तथा हर हटाने पर $x$ पर लुप्त होने वाला छोटी घात का अशून्य पूर्णांक बहुपद मिल जाता है। हर पद पर घात गिरती है, अतः प्रक्रिया रुक जाती है: हम $P \in \Z[X]$ , $P(x) = 0$ तक पहुँचते हैं, जिसका कोई परिमेय मूल नहीं है और जिसकी घात कोई $d$ है। यदि $d \leq 1$ , तो $P = uX + v$ $x = -\frac vu$ को परिमेय बना देता: अतः $d \geq 2$ ।

6. $q^d\,P\bigl(\frac pq\bigr) = a_d p^d + a_{d-1} p^{d-1} q + \dots + a_0 q^d$ पूर्णांक है, और वह अशून्य है क्योंकि $P$ का कोई परिमेय मूल नहीं: $\bigl|P\bigl(\frac pq\bigr)\bigr| \geq q^{-d}$ ।

7. ध्यान दीजिए $M > 0$ : $P'$ अशून्य बहुपद है ( $d \geq 2$ ), अतः वह $\intcc{x-1}{x+1}$ पर तत्समक रूप से लुप्त नहीं हो सकता। यदि $\bigl|x - \frac pq\bigr| > 1$ , तो वह तुच्छ रूप से $\frac{C}{q^d}$ से बड़ा है। अन्यथा $\frac pq \in \intcc{x-1}{x+1}$ , और माध्य मान प्रमेय (प्रमेय 14.9) $x$ तथा $\frac pq$ के बीच ऐसा $c$ देती है कि

\Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr)\Bigr| = \Bigl|P\Bigl(\frac pq\Bigr) - P(x)\Bigr| = \abs{P'(c)}\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| \leq M\,\Bigl|x - \frac pq\Bigr| ,

अतः प्रश्न 6 के साथ: $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{1}{Mq^d} \geq \frac{C}{q^d}$ ।

8. मान लीजिए $x = \frac ab$ लिउविल है। $2^{n-1} > b$ वाला $n$ और उसके तदनुरूप $\frac pq$ , $q \geq 2$ चुनिए:

0 < \Bigl|x - \frac pq\Bigr| < \frac{1}{q^n} = \frac{1}{q^{n-1}\,q} \leq \frac{1}{2^{n-1} q} < \frac{1}{bq} ,

जो प्रश्न 1 का विरोध करता है। अतः लिउविल संख्याएँ अपरिमेय होती हैं।

9. यदि कोई लिउविल $x$ बीजीय होती: वह अपरिमेय है (प्रश्न 8), अतः प्रश्न 5–7 ऐसे $d \geq 2$ और $C > 0$ देते हैं कि सदा $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^d}$ । प्रत्येक $n$ के लिए लिउविल सन्निकटक $\frac{C}{q^d} < q^{-n}$ देता है, अर्थात् $C < q^{d-n} \leq 2^{d-n}$ (क्योंकि $q \geq 2$ )। बड़े $n$ के लिए $2^{d-n} < C$ : विरोधाभास। अतः लिउविल संख्याएँ अबीजीय हैं।

10. स्थानों $1, 2, 6, 24$ पर इकाइयाँ; पहले $25$ में शेष सभी अंक लुप्त:

L = 0.1100010000\,0000000000\,00010\dots

11. $m > k$ के लिए $n > k$ वाले स्थान $n!$ भिन्न पूर्णांक $\geq (k+1)!$ हैं, अतः परिमित गुणोत्तर योग देता है

t_m - t_k = \sum_{n=k+1}^{m} 10^{-n!} \leq \sum_{j = (k+1)!}^{m!} 10^{-j} < 10^{-(k+1)!}\,\frac{1}{1 - \frac1{10}} = \frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} ;

और $m$ पर उच्चतम लेने पर: $L - t_k \leq \frac{10}{9}10^{-(k+1)!} < 2\cdot10^{-(k+1)!}$ । निचला परिबंध: $L \geq t_{k+1} = t_k + 10^{-(k+1)!}$ ।

12. $p_k = 10^{k!}\,t_k \in \N$ , $q_k = 10^{k!}$ , और $(k+1)! = (k+1)\,k!$ $10^{-(k+1)!} = q_k^{-(k+1)}$ देता है: अतः प्रश्न 11 कहता है

0 < L - \frac{p_k}{q_k} < \frac{2}{q_k^{\,k+1}} .

$n$ दिया हो: $k \geq n$ के लिए $2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ (वस्तुतः $q_k^{\,k+1-n} \geq q_k \geq 10 > 2$ ), और $q_k \geq 2$ : अतः प्रश्न 8 की परिभाषा पूरी हो जाती है। $L$ एक लिउविल संख्या है।

13. प्रश्न 9 से $L$ अबीजीय है — इतिहास की पहली संख्या जिसकी अबीजीयता सिद्ध हुई (लिउविल, 1844)। अंकों से प्रति-जाँच: उस माला में अनंत कितनी इकाइयाँ हैं जिनके क्रमागत अंतराल $(k+1)! - k! = k\cdot k! \to \infty$ हैं, अतः वह अंततः आवर्ती नहीं है, और समस्या 10.1 (प्रश्न 18) की आवर्तिता कसौटी से $L \notin \Q$ — जो संगत है।

14. क्रमगुणित स्थानों पर अंक $d_n \in \intint{1}{9}$ के साथ: प्रश्न 11 का पूँछ-परिबंध अधिक से अधिक $9$ से मापित होता है: $0 < L' - t'_k \leq 9\cdot\frac{10}{9}\,10^{-(k+1)!} = 10\,q_k^{-(k+1)}$ (धनात्मकता इसलिए कि स्थान $(k+1)!$ का अंक अशून्य है)। $k \geq n$ के लिए: $10\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ , क्योंकि $q_k^{\,k+1-n} \geq 10$ : अतः फिर एक लिउविल संख्या, इसलिए अबीजीय। भिन्न अंक-चयनों के लिए ये मान जोड़ों में भिन्न हैं (मालाएँ उचित हैं — शून्य भरे पड़े हैं — और उचित मालाएँ अपना मान निर्धारित कर देती हैं, समस्या 10.1, प्रश्न 10)। इनकी कोई भी सूची $k \mapsto x_k$ दी हो, तो $\intint{1}{9}$ में $k$ -वाँ क्रमगुणित अंक $x_k$ के अंक से भिन्न चुनिए: उसी आकार की एक संख्या जो सूची से बाहर है। अर्थात् अगणनीय कितनी स्पष्ट अबीजीय संख्याएँ।

15. पहले एक प्रमेयिका: यदि सभी $\frac pq \neq x$ के लिए $\bigl|x - \frac pq\bigr| \geq \frac{C}{q^s}$ , तो $x$ किसी भी कोटि $\mu > s$ तक सन्निकटनीय नहीं है। वस्तुतः $\bigl|x - \frac pq\bigr| < \frac{c}{q^\mu}$ वाली अनंत कितनी $\frac pq \neq x$ $\frac{C}{q^s} < \frac{c}{q^\mu}$ पर बाध्य कर देतीं, अर्थात् $q^{\mu - s} < \frac cC$ : अतः $q$ परिबद्ध हैं, और $x$ से $1$ दूरी के भीतर परिबद्ध कितनी ही भिन्नें आती हैं — अर्थात् परिमित कितने उम्मीदवार, अनंत नहीं। अब सोपान-रचना: परिमेय संख्याएँ कोटि $1$ तक सन्निकटनीय हैं ( $p = \lfloor qx\rfloor + 1$ के साथ $\frac pq$ त्रुटि $\leq \frac1q < \frac2q$ देता है) और किसी कोटि $\mu > 1$ तक नहीं (प्रश्न 1 $s = 1$ , $C = \frac1b$ के साथ प्रमेयिका की परिकल्पना देता है); $\sqrt2$ : कोटि $2$ (प्रश्न 3) और उससे आगे नहीं (प्रश्न 2 और प्रमेयिका); प्रत्येक अपरिमेय: कम से कम $2$ (प्रश्न 4); घात $d$ की बीजीय: अधिक से अधिक $d$ (प्रश्न 7 और प्रमेयिका); लिउविल संख्याएँ: हर कोटि (प्रश्न 12 का प्रदर्शन, $c = 2$ के साथ)।

16. $r = \frac ab$ के साथ: $\frac{p_k}{q_k} + \frac ab = \frac{b p_k + a q_k}{b q_k} =: \frac{P_k}{Q_k}$ , $Q_k = b q_k \geq 2$ , और

\Bigl|(L + r) - \frac{P_k}{Q_k}\Bigr| = L - \frac{p_k}{q_k} < 2\,q_k^{-(k+1)} = 2\,b^{\,k+1} Q_k^{-(k+1)} .

$n$ दिया हो: बड़े $k$ के लिए $Q_k^{\,k+1-n} \geq Q_k = b\,10^{k!} \geq 2\,b^{\,k+1}$ (क्रमगुणित घात को कुचल देता है), अतः त्रुटि $< Q_k^{-n}$ है: $L + r$ लिउविल है। और चूँकि $\Q$ सघन है तथा प्रत्येक $L + r$ अबीजीय है, अबीजीय संख्याएँ $\R$ में सघन हैं।

17. $h \geq 1$ के लिए $\deg P + \sum_i \abs{a_i} \leq h$ वाले $P \in \Z[X]$ परिमित कितने हैं (घात $\leq h$ और प्रत्येक गुणांक $\intint{-h}{h}$ में: अधिक से अधिक $(2h+1)^{h+1}$ )। प्रत्येक अशून्य पूर्णांक बहुपद की ऐसी ऊँचाई है, और उसके अधिक से अधिक $\deg P$ वास्तविक मूल हैं: अतः बीजीय संख्याएँ ( $h$ पर) परिमित समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन बनाती हैं और इसलिए एक ही अनुक्रम के रूप में सूचीबद्ध की जा सकती हैं। यदि अबीजीय संख्याएँ भी सूचीबद्ध हो पातीं, तो दोनों सूचियों को गुँथकर $\R$ सूचीबद्ध हो जाता, जो समस्या 10.1 (प्रश्न 22) का विरोध करता। अतः अबीजीय संख्याएँ अगणनीय समुच्चय बनाती हैं। तुलना: कैंटर सिद्ध करता है कि अधिकांश वास्तविक संख्याएँ अबीजीय हैं पर एक भी प्रस्तुत नहीं करता; लिउविल एक प्रस्तुत करता है, और वह भी प्रभावी अचरों के साथ (भाग V) — अर्थात् प्रचुरता से अस्तित्व बनाम रचना से अस्तित्व।

18. प्रश्न 2 से प्रमेयिका की परिकल्पना $s = 2$ , $C = \frac14$ के साथ सत्य है। यदि $\sqrt2$ लिउविल होती, तो $n = 3$ के लिए: $\frac{1}{4q^2} < q^{-3}$ $q < 4$ पर बाध्य करता, अतः $q \in \{2, 3\}$ ; और इन $q$ वाली परिमित कितनी $\frac pq$ ही $\sqrt2$ के $1$ के भीतर हैं, जिनमें से हर एक किसी धनात्मक दूरी $\geq \varepsilon_0$ पर है ( $\sqrt2$ अपरिमेय); अतः $2^{-n} < \varepsilon_0$ वाला $n$ चुनने पर कोई स्वीकार्य $\frac pq$ बचता ही नहीं: विरोधाभास। $\frac{C}{q^d}$ के साथ वही तर्क दिखाता है कि कोई भी बीजीय संख्या लिउविल नहीं है — अर्थात् प्रश्न 9, प्रभावी वस्त्रों में।

19. $99^2 - 2\cdot70^2 = 9801 - 9800 = 1$ । अतः

\sqrt2 - \frac{99}{70} = \frac{2 - (99/70)^2}{\sqrt2 + 99/70} = \frac{-1}{4900\,\bigl(\sqrt2 + \tfrac{99}{70}\bigr)} , \qquad \Bigl|\sqrt2 - \frac{99}{70}\Bigr| = \frac{1}{4900 \times 2.8284\dots} \approx 7.2\cdot10^{-5} :

$\sqrt2 = 1.414213\dots$ के सामने $\frac{99}{70} = 1.414285\dots$ — अर्थात् पाँच सही अंक।

20. $P = X^3 - 2$ के लिए परिमेय-मूल परीक्षण: उम्मीदवार $\pm1, \pm2, \pm\frac12$ , जिनमें कोई मूल नहीं है। अतः $d = 3$ , और भाग II $x = 2^{1/3} = 1.2599\dots$ पर लागू होता है। $\intcc{x - 1}{x + 1} \subseteq \intcc{0.25}{2.26}$ पर: $\abs{P'(t)} = 3t^2 \leq 3\,(1 + 2^{1/3})^2 < 3\times(2.26)^2 = 15.32 < 16$ , अतः $M < 16$ और $C \geq \frac{1}{16}$ :

\Bigl|2^{1/3} - \frac pq\Bigr| \geq \frac{1}{16\,q^3} \qquad\text{सभी परिमेय संख्याओं के लिए।}

21. यदि $\bigl|2^{1/3} - \frac pq\bigr| < 10^{-6}$ , तो $\frac{1}{16 q^3} < 10^{-6}$ , अर्थात् $q^3 > \frac{10^6}{16} = 62\,500$ ; और चूँकि $39^3 = 59\,319 < 62\,500 \leq 64\,000 = 40^3$ : $q \geq 40$ ।

22. भाग III को आधार $2$ में चलाइए: $B = \sup_k \sum_{n\leq k} 2^{-n!}$ , $q_k = 2^{k!}$ , और गुणोत्तर पूँछ (अनुपात $\frac12$ ) $k \geq n$ के लिए $0 < B - \frac{p_k}{q_k} \leq 2\cdot2^{-(k+1)!} = 2\,q_k^{-(k+1)} \leq q_k^{-n}$ देती है। अतः $B$ लिउविल है, इसलिए अबीजीय: तर्क में दशमलव जैसा कुछ भी नहीं है।

23. स्थानों $3^k$ पर इकाइयों के साथ: $q_k = 10^{3^k}$ , और पूँछ-परिबंध $0 < x^\dagger - \frac{p_k}{q_k} < 2\cdot10^{-3^{k+1}} = 2\,q_k^{-3}$ देता है (क्योंकि $3^{k+1} = 3\cdot3^k$ ): अर्थात् कोटि $3$ के अनंत कितने सन्निकटन। प्रश्न 15 की प्रमेयिका से: कोटि $3 > 1$ परिमेयता को हटा देती है, और कोटि $3 > 2$ द्विघात अपरिमेय होने को (जिसकी लिउविल असमिका में $s = d = 2$ है)। पर घात $\geq 3$ की बीजीय संख्या केवल कोटि $d \geq 3$ पर दूर धकेली जाती है: अतः लिउविल की विधि $x^\dagger$ को त्रिघातों से अलग नहीं कर सकती। यह अंतर रोथ की प्रमेय पाटती है — प्रत्येक बीजीय अपरिमेय संख्या का सन्निकटन-क्रम ठीक $2$ है — जो बीसवीं शताब्दी का परिणाम है और इस खंड से बहुत परे; उसे मान लें तो $x^\dagger$ भी अबीजीय है।

24. $\intint{-H}{H}$ में प्रविष्टियों वाली उपक्रम $(a_0, \dots, a_d)$ अधिक से अधिक $(2H+1)^{d+1}$ हैं, और उनमें से प्रत्येक अशून्य बहुपद के अधिक से अधिक $d$ वास्तविक मूल हैं: अतः अधिक से अधिक $d\,(2H+1)^{d+1}$ बीजीय संख्याएँ उत्पन्न होती हैं — यही परिमितता प्रश्न 17 को उन सबकी गणना करने देती है।

25. (क) एकमात्र विश्लेषणात्मक सामग्री माध्य मान प्रमेय है, प्रश्न 7 में, जो लुप्त होते $P(x) = 0$ को लिप्शिट्ज़ प्रतिकर्षण $\abs{P(p/q)} \leq M\abs{x - p/q}$ में बदल देती है। (ख) तनाव: पूर्णांकता $\abs{P(p/q)}$ को $q^{-d}$ तक ऊपर धकेलती है, और चिकनाई उसे $M\abs{x - p/q}$ तक नीचे खींचती है — $x$ के बहुत निकट आने वाली कोई परिमेय संख्या इन दोनों के बीच कुचल दी जाती। (ग) लिउविल प्रभावी अचरों के साथ एक अबीजीय संख्या बना देता है; कैंटर दिखाता है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अबीजीय हैं, पर एक का भी नाम नहीं लेता: अर्थात् रचना बनाम गणनांक। (घ) अध्याय 15 की सप्ताहांत समस्या उसी दबाव से $\pi$ की अपरिमेयता सिद्ध करती है — ऐसा समाकल जो धनात्मक पूर्णांक होता, फिर भी $\intoo{0}{1}$ में फँसा हुआ है — जहाँ विश्लेषणात्मक आधे भाग में अवकलन के स्थान पर समाकलन है।