क्षेत्रफल क्या है? — गणित

परिभाषा 43.5 प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · अध्याय 43 — परिमाप, क्षेत्रफल, आयतन

किसी आकृति का क्षेत्रफल बताता है कि वह कितनी सतह ढकती है: उसके भीतर कितने इकाई वर्ग समाते हैं। मात्रक: cm $^2$ ( $1$ cm भुजा वाला वर्ग), m $^2$ , km $^2$ , … सावधान:

1 \text{ m}^2 = 100 \times 100 \text{ cm}^2 = 10\,000 \text{ cm}^2

— एक वर्ग मीटर $100$ cm गुणा $100$ cm का वर्ग है, इसलिए मात्रक की सीढ़ी का हर कदम $100$ का है, $10$ का नहीं।

आयत का क्षेत्रफल: 4-4 इकाई वर्गों के 7 स्तंभ, यानी कुल 7 × 4 = 28 वर्ग। इसीलिए क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। — आयत का क्षेत्रफल: $4$ - $4$ इकाई वर्गों के $7$ स्तंभ, यानी कुल $7 \times 4 = 28$ वर्ग। इसीलिए क्षेत्रफल $=$ लंबाई $\times$ चौड़ाई।

उदाहरण

उदाहरण 43.7 (जोड़-तोड़ वाली आकृतियाँ)

L-आकार का कमरा $6$ m $\times$ $4$ m का आयत है जिसमें से $2$ m $\times$ $2$ m का वर्गाकार कोना हटा दिया गया है। उसका क्षेत्रफल, कदम-दर-कदम:

पूरा आयत: $6 \times 4 = 24$ m $^2$ ;
हटाया गया वर्ग: $2 \times 2 = 4$ m $^2$ ;
बचा क्षेत्रफल: $24 - 4 = 20$ m $^2$ ।

उसका परिमाप $20$ किसी चीज़ का नहीं है: L के चारों ओर चलने पर सीमा फिर भी $6 + 4 + 6 + 4 = 20$ m नापती है — कोने की दोनों कटाइयाँ दीवार के दो बराबर टुकड़ों की जगह ले लेती हैं। संख्या संयोग से वही है, पर एक के लिए वर्ग मीटर और दूसरे के लिए मीटर!

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परिभाषा 19.20 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 19 — पृष्ठ

मान लीजिए $\sigma \colon U \to \R^3$ कोई नियमित एकैकी $\mathcal{C}^1$ पृष्ठ है और $K \subseteq U$ कोई संहत प्रांत, जिस पर द्विक समाकल अर्थपूर्ण हों (अध्याय 20)। टुकड़े $\sigma(K)$ का क्षेत्रफल है

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

मूल बिंदु के निकट काठी z = x2 - y2, उसके निर्देशांक वक्रों (u-वक्र नीले, v-वक्र हरे), M_0 = (0,0,0) पर स्पर्श समतल (बिंदुकित) तथा इकाई अभिलंब n के साथ। पृष्ठ अपने स्पर्श समतल को पार करता है — नति-परिवर्तन का द्विविमीय प्रतिरूप। — **आकृति 19.1.** मूल बिंदु के निकट काठी $z = x^2 - y^2$ , उसके निर्देशांक वक्रों ( $u$ -वक्र नीले, $v$ -वक्र हरे), $M_0 = (0,0,0)$ पर स्पर्श समतल (बिंदुकित) तथा इकाई अभिलंब $n$ के साथ। पृष्ठ अपने स्पर्श समतल को पार करता है — नति-परिवर्तन का द्विविमीय प्रतिरूप।

सप्ताहांत समस्या में वर्गीकृत नौ द्विघातज पृष्ठों में से चार, अपनी छायाकृतियों तथा एक स्तर वक्र (लाल) से रेखांकित: परिबद्ध दीर्घवृत्तज, अपनी कमर वाला द्विगुण रेखित एकपृष्ठी अतिपरवलयज, दीर्घवृत्तीय परवलयज का कटोरा, और काठी, जिसके दोनों परवलयी परिच्छेद विपरीत दिशाओं में मुड़ते हैं।

उदाहरण

उदाहरण 19.22 (दो अलग ग्राफ़, एक ही क्षेत्रफल)

इकाई चक्रिका के ऊपर कटोरे $z = \frac12(x^2 + y^2)$ और काठी $z = xy$ की तुलना कीजिए। उनके क्षेत्रफल-समाकल्य (अभ्यास 19.5) हैं

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{तथा}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

अर्थात् एक ही। दोनों पृष्ठ — एक हर दिशा में एक ही ओर मुड़ता हुआ, दूसरा काठी के आकार का — हर प्रांत पर ठीक बराबर क्षेत्रफल रखते हैं, इकाई चक्रिका के ऊपर $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ । क्षेत्रफल-अवयव केवल प्रवणक की लंबाई देखता है, मुड़ाव की व्यवस्था नहीं; कटोरे को काठी से अलग पहचानने के लिए द्वितीय-कोटि आँकड़े चाहिए (आकृति 19.1 में दिखाई चिह्न-संरचना), जिन्हें कितना भी क्षेत्रफल-मापन नहीं पकड़ पाता। प्रथम आधारभूत रूप: दूरिक, आकार के प्रति अंधा; आकार देखने वाला द्वितीय रूप तृतीय वर्ष का है।

उदाहरण 19.23 (गोले का क्षेत्रफल)

उदाहरण 19.2 के गोलीय चार्ट के लिए:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

अतः $E = R^2\cos^2\varphi$ , $F = 0$ , $G = R^2$ और $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ । इसलिए

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

उदाहरण 19.24 (शंकु, स्कूली सूत्र के सामने जाँचा गया)

वलय $a \leq \rho \leq b$ के ऊपर शंकु $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ के लिए अभ्यास 19.5 का ग्राफ़-सूत्र $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ देता है (परिकलित कीजिए $f_x = x/\rho$ , $f_y = y/\rho$ ), अतः

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

तिर्यक-ऊँचाई सूत्र $\pi\rho\ell$ (उदाहरण 19.26 का) के सामने संगति-जाँच: आधार त्रिज्या $b$ तथा $a$ वाले पूरे शंकुओं के पार्श्व क्षेत्रफल $\pi b\cdot b\sqrt2$ तथा $\pi a\cdot a\sqrt2$ हैं, जिनका अंतर ठीक $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ है। दो चार्ट, दो सूत्र, एक ही क्षेत्रफल — अभ्यास 19.8 में सिद्ध अपरिवर्त्यता, खुले में देखी हुई।

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उदाहरण

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