विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · Bachelor Year 2

14फूरिये श्रेणियाँ

क्या हर आवर्ती संकेत को शुद्ध ज्याओं और कोज्याओं से फिर से खड़ा किया जा सकता है? फूरिये के साहसिक “हाँ” ने विश्लेषण की एक पूरी सदी रच दी। यह अध्याय इस स्तर पर पहुँच में आने वाले दोनों स्तंभ सिद्ध करता है: डिरिक्ले की प्रमेय (डिरिक्ले कर्नेल के द्वारा, खंडशः $C^1$ फलनों के लिए बिंदुवार पुनर्निर्माण) और पारसेवाल की सर्वसमिका (किसी संकेत की ऊर्जा उसकी संनादियों की ऊर्जाओं का योग होती है); और फिर क्लासिक संख्यात्मक श्रेणियाँ काटता है — सबसे पहले बाज़ल का $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ ।

आगे सर्वत्र फलन $2\pi$ -आवर्ती, खंडशः संतत और सम्मिश्र-मान वाले हैं; और $\mathcal{C}$ संतत फलनों को दर्शाता है।

14.1 फूरिये गुणांक

परिभाषा 14.1

$f$ के फूरिये गुणांक

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

हैं, तथा वास्तविक-रूप गुणांक $a_n = c_n + c_{-n}$ , $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ , जिससे फूरिये आंशिक योग

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

बनते हैं। $\mathcal{C}$ पर हर्मीशियन अंतर्गुणन $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ परिभाषित कीजिए: तब चरघातांकी $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ प्रसामान्य लांबिक हैं ( $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ , सीधा परिकलन), और $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : अर्थात् फूरिये विश्लेषण अनंत विमा में हर्मीशियन ज्यामिति (अध्याय 13) ही है।

प्रतिज्ञप्ति 14.2 (बेसेल असमिका)

$S_N(f)$ $f$ का घात $\leq N$ वाले त्रिकोणमितीय बहुपदों की समष्टि $\mathcal{T}_N$ पर लांबिक प्रक्षेप है, और

\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :

अतः श्रेणी $\sum \abs{c_n}^2$ अभिसरित होती है, और $\abs n \to \infty$ होने पर $c_n(f) \to 0$ (गुणांकों के लिए रीमान–लेबेग)।

उपपत्ति. $f - S_N(f)$ हर $e_k$ , $\abs k \leq N$ के लांबिक है ( $\langle e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$ ): अतः $S_Nf$ $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)$ पर लांबिक प्रक्षेप है (प्रथम वर्ष के खंड की प्रक्षेप प्रमेय, हर्मीशियन परिवेश में अक्षरशः)। पाइथागोरस: $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$ ; अब $N \to \infty$ लीजिए। ∎

उदाहरण 14.3 (सर्वोत्तम सन्निकटन, मापा हुआ)

द्विघात माध्य के अर्थ में निम्न घात के त्रिकोणमितीय बहुपद आरे-दाँत $f(t) = t$ ( $\intoo{-\pi}{\pi}$ पर) का कितना अच्छा सन्निकटन करते हैं? प्रतिज्ञप्ति 14.2 के अनुसार घात $N$ का सर्वोत्तम सन्निकटन $S_N(f)$ ही है, और वर्ग-त्रुटि

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

है। यहाँ $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ , और $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (उदाहरण 14.12) से: $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ । अतः

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: संख्यात्मक रूप से } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

$N = 1, 2, 3, 4$ के लिए — अर्थात् घटती हुई, पर धीरे-धीरे: पुच्छ $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ गुणांकों के धीमे $\frac1n$ क्षय से शासित है, और वह क्षय स्वयं उस उछाल का हस्ताक्षर है (अभ्यास 14.6 को उलटकर पढ़िए)। समापन दृष्टि: पारसेवाल सन्निकटन की गुणवत्ता को किसी संख्यात्मक श्रेणी की पुच्छ में बदल देती है — और किसी भी चित्र से पहले बता देती है कि उछाल फूरिये श्रेणियों को अनिच्छा से अभिसरित कराते हैं।

विधि 14.4 (फूरिये गुणांक कुशलता से परिकलित करना)

कुछ भी समाकलित करने से पहले:

सम-विषमता: सम $f$ के लिए $b_n = 0$ , विषम $f$ के लिए $a_n = 0$ , और बचे हुए समाकल $\frac2\pi \int_0^\pi$ तक सिमट जाते हैं — आधा श्रम, दुगुनी विश्वसनीयता।
त्रिकोणमितीय बहुपद पहले से ही हो चुके हैं: गुणनफलों को रैखिक कीजिए ( $\cos^3$ , $\sin^2\cos$ , …) और गुणांक सीधे पढ़ लीजिए (अभ्यास 14.9); प्रसामान्य लांबिकता किसी और समाकलन को अनावश्यक बना देती है।
चरघातांकियों के लिए सम्मिश्र चरघातांकी: गुणनखंड $\eu^{at}$ अथवा अवमंदित दोलनों के लिए $c_n$ सीधे परिकलित कीजिए — $\eu^{(a - \iu n)t}$ का एक ही समाकल दो खंडशः समाकलनों को हरा देता है (अभ्यास 14.10)।
किसी ज्ञात प्रसार का अवकलन: यदि $f'$ के गुणांक ज्ञात हों और $f$ संतत हो, तो $c_n(f) = \frac{c_n(f')}{\iu n}$ ( $n \neq 0$ ) $c_0$ को छोड़कर सब कुछ पुनः दे देता है, और वह तो माध्य ही है — यह प्रायः सबसे तेज़ रास्ता है, और ठीक प्रमेय 14.10 (1) की परिकल्पनाओं के अंतर्गत वैध।

14.2 डिरिक्ले की प्रमेय

प्रमेयिका 14.5 (डिरिक्ले कर्नेल)

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd u$ , जहाँ

D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu} = \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} \quad (u \notin 2\pi\Z), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .

उपपत्ति. $S_N$ में $c_n$ की परिभाषा डालिए और योग तथा समाकल आपस में बदल दीजिए (वैध: योग परिमित है):

S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;

$u = t - x$ प्रतिस्थापित कीजिए और समाकल्य की $2\pi$ -आवर्तिता से समाकलन-खंड को वापस $\intcc{-\pi}{\pi}$ पर सरका दीजिए; और सममित सूचकांक-परिसर $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$ बना देता है। बंद रूप: अनुपात $\eu^{\iu u}$ वाला गुणोत्तर योग,

D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} - 1} = \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}} {\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,

जो वही ज्या-भागफल है। और उसका माध्य $1$ है: केवल $n = 0$ योगदान देता है। ∎

प्रमेय 14.6 (रीमान–लेबेग प्रमेयिका)

किसी खंड पर खंडशः संतत $g$ के लिए $\lambda \to +\infty$ होने पर $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ ।

उपपत्ति. $g$ का सोपान फलनों से एकसमान सन्निकटन कीजिए (प्रमेय 10.16 की आवश्यकता नहीं — खंडशः संतत फलनों का प्रारंभिक सोपान-फलन सन्निकटन पर्याप्त है) और हर सोपान का स्पष्ट समाकलन कीजिए: हर टुकड़ा $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$ का योगदान देता है, और सन्निकटन त्रुटि $\varepsilon(b - a)$ का। यह तर्क प्रथम वर्ष के खंड के समाकलन अध्याय के अंतिम अभ्यास के रूप में पूरा किया जा चुका है; और $C^1$ टुकड़ों के लिए इसके बदले खंडशः समाकलन करके $\frac C\lambda$ से परिबद्ध किया जा सकता है। ∎

उदाहरण 14.7 (गुणांक कितनी तेज़ी से मरते हैं?)

रीमान–लेबेग कहती है कि गुणांक $0$ की ओर जाते हैं; और उनकी दर चिकनाई का मापक है। इस अध्याय तथा उसके अभ्यासों से तीन नमूने:

\text{वर्ग तरंग: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{विषम}), \qquad \abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{विषम}), \qquad \abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .

$f$ में कोई उछाल (वर्ग तरंग, आरे-दाँत) कोटि $\frac1n$ के गुणांक छोड़ जाता है: अतः न सामान्य अभिसरण, और उछालों पर गिब्स अतिक्रमण। और संततता के साथ कोई कोना — अर्थात् केवल $f'$ में उछाल — कोटि को $\frac{1}{n^2}$ तक सुधार देता है: अतः सामान्य अभिसरण, एकसमान पुनर्निर्माण। सामान्य रूप में $k$ अवकलज $c_n = O(n^{-k})$ (अभ्यास 14.6) ख़रीद लेते हैं, और विलोमतः हर घात से तेज़ क्षय वाला वर्णक्रम $f$ को $C^\infty$ होने पर बाध्य कर देता है (अब वैध रूप से पद-दर-पद अवकलन कीजिए)। समापन दृष्टि: संकेत की नियमितता और वर्णक्रम का क्षय एक ही सूचना हैं — कोई अभियंता बिना फलन का आलेख बनाए एक को दूसरे की ढाल से पढ़ लेता है।

प्रमेय 14.8 (डिरिक्ले)

मान लीजिए $f$ $2\pi$ -आवर्ती और खंडशः $C^1$ है। तब प्रत्येक $x$ के लिए

S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

(अर्थात् एकपक्षीय सीमाओं का माध्य) — और विशेष रूप से हर संततता-बिंदु पर $S_N(f)(x) \to f(x)$ ।

उपपत्ति. कर्नेल प्रमेयिका और उसके इकाई माध्य से, समाकल को $u > 0$ तथा $u < 0$ आधों में बाँटने पर (हर एक का माध्य $\frac12$ ):

\begin{align*} S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\ &\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u . \end{align*}

पहले को निपटाइए (दूसरा सममित है)। लिखिए

\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u) = \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\, \sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .

फलन $g$ $\intoc{0}{\pi}$ पर खंडशः संतत है और उसकी $0^+$ पर परिमित सीमा है: क्योंकि

g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,

लिखने पर पहला गुणनखंड $f'(x^+)$ की ओर जाता है (खंडशः $C^1$ होने से एकपक्षीय अवकलनीयता) और दूसरा $2$ की ओर ( $v = \frac u2$ पर मानक सीमा $\frac{\sin v}{v} \to 1$ ): अतः $g(0^+) = 2f'(x^+)$ विद्यमान है। इसलिए $g$ $\intcc{0}{\pi}$ तक खंडशः संततता के साथ बढ़ जाता है, और रीमान–लेबेग (प्रमेय 14.6) समाकल को $0$ पर भेज देती है। परिकल्पना का पूरा उद्देश्य यही है: एकपक्षीय अवकलजों के बिना गुणनखंड $\frac{1}{\sin(u/2)}$ $0$ पर इतनी तेज़ी से फट जाता है कि रीमान–लेबेग उसकी भरपाई नहीं कर सकती, और केवल संतत $f$ के लिए बिंदुवार अभिसरण सचमुच विफल हो सकता है — और यही वह दरार है जिसे फेयेर की प्रमेय (सप्ताहांत समस्या) औसत लेकर पाट देती है। ∎

उदाहरण 14.9 (किसी उछाल पर डिरिक्ले)

$\intoo{-\pi}{\pi}$ पर आरे-दाँत $f(t) = t$ (उदाहरण 14.12 नीचे) के लिए आवर्ती विस्तार $t = \pi$ पर $f(\pi^-) = \pi$ से $f(\pi^+) = -\pi$ तक उछलता है। डिरिक्ले वहाँ मान $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ का वचन देती है, और वास्तव में $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ का हर पद $t = \pi$ पर लुप्त होता है: श्रेणी शालीनता से मध्यबिंदु पर अभिसरित होती है और दोनों एकपक्षीय मानों की उपेक्षा कर देती है। और मूल्यांकन-बिंदु को $t = \frac\pi2$ (कोई संततता-बिंदु) पर ले जाने से वही श्रेणी लाइब्नित्स की $\frac\pi4$ बन जाती है। एक ही श्रेणी, दो व्यवहार — अर्थात् ठीक प्रमेय के दोनों उपवाक्य।

प्रमेय 14.10 ( $C^1$ के लिए सामान्य अभिसरण; पारसेवाल)

यदि $f$ संतत, $2\pi$ -आवर्ती और खंडशः $C^1$ हो, तो $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ , $f$ की फूरिये श्रेणी $\R$ पर सामान्य रूप से अभिसरित होती है, और उसका योग $f$ है।
(पारसेवाल) प्रत्येक खंडशः संतत $2\pi$ -आवर्ती $f$ के लिए:

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2 = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$

(यहाँ $f$ के संतत तथा खंडशः $C^1$ होने पर सिद्ध; सामान्य स्थिति में स्वीकृत।)

उपपत्ति. (1) हर $C^1$ टुकड़े पर खंडशः समाकलन (सीमा-पद संततता और आवर्तिता से कट जाते हैं): $c_n(f') = \iu n c_n(f)$ । फिर दोनों वर्ग-योग्य कुलों पर कोशी–श्वार्ज़ ( $f'$ के लिए प्रतिज्ञप्ति 14.2):

\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0} \frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :

अर्थात् फूरिये श्रेणी का सामान्य अभिसरण। उसका योग संतत है और डिरिक्ले (प्रमेय 14.8: $f$ संतत है) से हर बिंदु पर $f$ से मेल खाता है: अतः श्रेणी $f$ पर एकसमान रूप से अभिसरित होती है।

(2) ऐसे $f$ के लिए: एकसमान रूप से $S_N f \to f$ , अतः $\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$ , और पाइथागोरस ( $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ ) सीमा तक चला जाता है। वास्तविक रूप $a_n, b_n$ के साथ केवल लेखा-जोखा है। ∎

उदाहरण 14.11 ( $C^1$ पुच्छ-परिबंध, परिमाणात्मक रूप में)

प्रमेय 14.10 (1) की उपपत्ति में एक काम आने वाला आकलन छिपा है। संतत खंडशः- $C^1$ $f$ के लिए वही कोशी–श्वार्ज़ केवल पुच्छ पर लगाने से

\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)} = \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2} \Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,

मिलता है, जिसमें $f'$ के लिए बेसेल और $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$ का उपयोग हुआ। अतः आंशिक योगों की एकसमान त्रुटि

\norm{f - S_Nf}_\infty \leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .

का पालन करती है। $f(t) = \abs t$ के लिए: $\norm{f'}_2 = 1$ (अवकलज $\pm1$ है), अतः दस पद ही $\abs t$ को एकसमान रूप से $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ के भीतर पुनर्निर्मित कर देते हैं, और $N = 10^4$ $0.015$ के भीतर। समापन दृष्टि: एक अवकलज $\frac{1}{\sqrt N}$ वाली एकसमान दर ख़रीद लेता है; और वर्ग तरंग की $\frac1n$ -गुणांक वाली दुनिया (जहाँ एकसमान अभिसरण है ही नहीं) से तुलना करने पर उदाहरण 14.7 के शब्दकोश को संख्याएँ मिल जाती हैं।

उदाहरण 14.12 (बाज़ल और साथी)

$\intoo{-\pi}{\pi}$ पर $f(t) = t$ लीजिए, और उसे $2\pi$ -आवर्ती रूप से बढ़ा दीजिए (आरे-दाँत, खंडशः $C^1$ )। परिकलन करने पर $a_n = 0$ (विषमता से) और

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .

$t = \frac\pi2$ पर डिरिक्ले लाइब्नित्स का $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$ लौटा देती है; और पारसेवाल देती है

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

— अर्थात् ऑयलर का बाज़ल योग, दो पंक्तियों में। फलन $f(t) = t^2$ इसी तरह $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ देता है (अभ्यास 14.3)।

उदाहरण 14.13 (अंतर्निहित जाँच के साथ एक पूरा प्रसार: $\abs{\sin t}$ )

फलन $f(t) = \abs{\sin t}$ संतत, सम, $\pi$ -आवर्ती (अतः $2\pi$ -आवर्ती) और खंडशः $C^1$ है। समता $b_n$ मार देती है; $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$ ; और $n \geq 1$ के लिए गुणनफल-से-योग देता है

a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t + \sin(1-n)t\bigr)\dd t = \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}

$n \neq 1$ के लिए (और $a_1 = 0$ सीधे): विषम $n$ के लिए शून्य, और $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$ । प्रमेय 14.10 (1) के अनुसार अभिसरण सामान्य है, और

\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1} \qquad (t \in \R) .

$t = 0$ पर अंतर्निहित जाँच: सर्वसमिका $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$ माँगती है, जिसकी पुष्टि क्रमिक निरसन कर देता है:

\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark

समापन दृष्टि: $\abs{\sin}$ का वर्णक्रम केवल सम आवृत्तियों पर बसता है — किसी ज्या को दिष्ट करने से उसकी आवृत्ति-सामग्री दुगुनी हो जाती है, और इसीलिए पूर्ण-तरंग दिष्टकारी $100$ या $120$ हर्ट्ज़ पर गूँजते हैं, यानी मुख्य आवृत्ति से दुगुने पर।

उदाहरण 14.14 (परिकलन के यंत्र के रूप में पारसेवाल)

पारसेवाल प्रसारों को थोक में संख्यात्मक श्रेणियों में बदल देती है। उसे $f(t) = \abs t$ पर लगाइए (अभ्यास 14.2: $a_0 = \pi$ , विषम $n$ के लिए $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ , शेष शून्य):

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ विषम}} a_n^2 = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ विषम}}\frac{1}{n^4} ,

जिससे

\sum_{n\text{ विषम}}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .

अभ्यास 14.3 के विरुद्ध प्रतिजाँच: $\sum\frac1{n^4}$ को विषम और सम भागों में बाँटने पर $\zeta$ -प्रकार का लेखा-जोखा $S = S_{\mathrm{odd}} + \frac{S}{16}$ मिलता है, अतः $S = \frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ — ठीक वही मान जो वहाँ किसी दूसरे फलन से मिला था। दो प्रसार, एक संख्या: और यह संगति पारसेवाल की समदूरिकता का काम है। समापन दृष्टि: हर नया फूरिये प्रसार श्रेणी-सर्वसमिकाएँ उत्पन्न करने वाली मशीन है; और सप्ताहांत समस्या का भाग II समझाता है कि यह मशीन स्वयं का खंडन कभी क्यों नहीं कर सकती।

वर्ग तरंग (धूसर) और फूरिये आंशिक योग S_1 (नीला) तथा S_9 (लाल): हर संततता-बिंदु पर अभिसरण, परंतु उछालों के पास टिका हुआ 9\% अतिक्रमण — अर्थात् गिब्स परिघटना। एकसमान अभिसरण ठीक इसलिए विफल है कि सीमा असंतत है। — वर्ग तरंग (धूसर) और फूरिये आंशिक योग $S_1$ (नीला) तथा $S_9$ (लाल): हर संततता-बिंदु पर अभिसरण, परंतु उछालों के पास टिका हुआ $\sim 9\%$ अतिक्रमण — अर्थात् *गिब्स परिघटना*। एकसमान अभिसरण ठीक इसलिए विफल है कि सीमा असंतत है।

उदाहरण 14.15 (स्थानांतरण और मॉडुलन)

एक-एक पंक्ति के दो नियम एक ही प्रसार से अनेक प्रसार उत्पन्न कर देते हैं। $a \in \R$ के लिए $s = t - a$ प्रतिस्थापित करने पर:

c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t = \eu^{-\iu na}\,c_n(f) \qquad\text{(स्थानांतरण वर्णक्रम का मॉडुलन करता है)},

और सीधे परिभाषा से,

c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f) \qquad\text{(मॉडुलन वर्णक्रम का स्थानांतरण करता है)}.

किया हुआ उदाहरण: $\pi$ से खिसकाया गया आरे-दाँत, अर्थात् $f(t) = t$ के साथ $g(t) = f(t - \pi)$ , जिसके $b_n$ -गुणांक $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$ हैं: अर्थात् $0$ के बदले $\pi$ पर उछलने वाले आरे-दाँत का प्रसार $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ — और कोई समाकल फिर से नहीं करना पड़ा। समापन दृष्टि: समय के खिसकाव केवल कला बदलते हैं, आयाम कभी नहीं ( $\abs{c_n}$ खिसकाव-अपरिवर्त्य है), और इसीलिए ऊर्जा (पारसेवाल) तथा अभिसरण-वर्ग संकेत के आकार के गुणधर्म हैं, इस बात के नहीं कि घड़ी कहाँ से चलनी शुरू हुई।

टिप्पणी 14.16 (सामान्य भूलें)

(क) तीन अभिसरण, तीन मुद्राएँ: बिंदुवार (डिरिक्ले: खंडशः $C^1$ चाहिए, और हर उछाल पर मध्यबिंदु देती है — कभी एकपक्षीय मान नहीं), एकसमान (संतत सीमा चाहिए; उछाल के पार असंभव, और गिब्स उसका दिखाई देने वाला लक्षण है), और द्विघात माध्य (पारसेवाल: सबसे मज़बूत, और अलग-अलग बिंदुओं के प्रति अंधा)। सदा बताइए कि आप कौन-सा दावा कर रहे हैं। (ख) अपने आप पद-दर-पद अवकलन नहीं: उदाहरण 14.12 की आरे-दाँत श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$ देता है, जिसके पद $0$ की ओर तक नहीं जाते — फलन-अनुक्रम वाले अध्याय की स्थानांतरण प्रमेयों को व्युत्पन्न श्रेणी का एकसमान अभिसरण चाहिए, जिसे उछाल नष्ट कर देता है। पहले चिकनाई, फिर अवकलन (अभ्यास 14.6 शब्दकोश है)। (ग) सममित आंशिक योग: डिरिक्ले की प्रमेय $S_N = \sum_{-N}^{N}$ के बारे में है; और पुनर्विन्यास अथवा पहले एक ही ओर का योग लेने से अपसरण अभिसरण में और वापस बदल सकता है। (घ) सामान्यीकरण का बहाव: परिपाटियाँ पुस्तकों में भिन्न होती हैं (आगे $\frac{1}{2\pi}$ अथवा $\frac1\pi$ , आवर्तकाल $2\pi$ अथवा $1$ ); भरोसेमंद अपरिवर्त्य प्रसामान्य लांबिकता के संबंध हैं — किसी भी सूत्र पर भरोसा करने से पहले उपस्थित परिपाटी में $\langle e_m, e_n\rangle$ फिर से परिकलित कीजिए।

टिप्पणी 14.17 (यह कहाँ काम आता है)

पारसेवाल फूरिये श्रेणियों के $L^2$ सिद्धांत का बीज है: तृतीय वर्ष का खंड चित्र पूरा कर देता है (चरघातांकी $L^2$ का हिल्बर्ट आधार हैं, और प्रतिचित्रण $f \mapsto (c_n)$ एकैकी आच्छादक समदूरिक है)। इसी खंड के भीतर सप्ताहांत समस्या फेयेर की प्रमेय सिद्ध करती है — हर संतत आवर्ती $f$ के लिए फूरिये श्रेणी के चेज़ारो माध्य एकसमान रूप से अभिसरित होते हैं — जो स्वीकृत सामान्य पारसेवाल को प्रमेय बना देती है, त्रिकोणमितीय वाइरश्ट्रास प्रमेय देती है, और दो शानदार लाभ चुकाती है: वाइल की समवितरण प्रमेय और समपरिमापी असमिका। अनुप्रयुक्त गणित इस अध्याय को रोज़ पढ़ता है: संकेतों के वर्णक्रम, कंपित निकायों की संनादियाँ, और तीव्र फूरिये रूपांतरण (जिसका परिमित अवतार अभ्यास 13.10 था)।

टिप्पणी 14.18 (इसी खंड के भीतर के परिप्रेक्ष्य)

तीन अध्याय इससे बातचीत करते हैं। पीछे की ओर: हर्मीशियन अध्याय ने ज्यामिति दी (प्रसामान्य लांबिक कुल, प्रक्षेप, बेसेल), और फलन-अनुक्रम अध्याय ने विश्लेषण (एकसमान अभिसरण, स्थानांतरण प्रमेयें, सन्निकट तत्समक — फेयेर कर्नेल फूरिये श्रेणियों के लिए वही है जो बर्नस्टाइन बहुपद वाइरश्ट्रास के लिए थे)। बग़ल में: घात-श्रेणी अध्याय का सीमा-सिद्धांत आबेल योग के द्वारा लौटता है, जिसे यहाँ प्वासों कर्नेल साकार करता है (अभ्यास 14.12) — जहाँ चक्रिका की त्रिज्या $r$ योग-प्राचल की भूमिका निभाती है। और आगे की ओर: अवकल समीकरणों वाला अध्याय आवर्ती प्रणोदन को संनादियों में तोड़कर हर एक को दोलक की आवृत्ति-प्रतिक्रिया में डालता है; अनुनाद तब होता है जब निवेश की कोई फूरिये विधा किसी प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खा जाए, और इसीलिए उसकी सप्ताहांत समस्या और इस अध्याय की समस्या एक ही कहानी के दो आधे हैं।

डिरिक्ले कर्नेल D_8 (नीला) दोलन करता है और ऋणात्मक मान लेता है; जबकि फेयेर कर्नेल F_8 (लाल) अऋणात्मक है, 0 पर संकेंद्रित होता है, और उसका माध्य 1 है: अर्थात् एक सन्निकट तत्समक। डिरिक्ले कर्नेल में ठीक धनात्मकता की कमी है, और वही फेयेर की प्रमेय को सप्ताहांत समस्या में अशर्त बना देती है। — डिरिक्ले कर्नेल $D_8$ (नीला) दोलन करता है और ऋणात्मक मान लेता है; जबकि फेयेर कर्नेल $F_8$ (लाल) अऋणात्मक है, $0$ पर संकेंद्रित होता है, और उसका माध्य $1$ है: अर्थात् एक *सन्निकट तत्समक*। डिरिक्ले कर्नेल में ठीक धनात्मकता की कमी है, और वही फेयेर की प्रमेय को सप्ताहांत समस्या में अशर्त बना देती है।

14.3 अभ्यास

अभ्यास 14.1 ★

वर्ग तरंग ( $\intoo{-\pi}{0}$ पर $f = -1$ , $\intoo{0}{\pi}$ पर $+1$ ) के फूरिये गुणांक परिकलित कीजिए, $t = \frac\pi2$ पर तथा उछाल $t = 0$ पर डिरिक्ले का निष्कर्ष बताइए, और लाइब्नित्स की श्रेणी पुनः प्राप्त कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 14.1.

विषमता $a_n$ को मार देती है। $n \geq 1$ के लिए:

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ विषम},\\ 0 & n \text{ सम}. \end{cases}

अतः $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t \bigr)}{2k+1}$ । $t = \frac\pi2$ (कोई संततता-बिंदु, मान $1$ ) पर डिरिक्ले: $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$ , जिससे

1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} \quad\text{(लाइब्नित्स)}.

और उछाल $t = 0$ पर: श्रेणी का योग $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$ है, जैसा डिरिक्ले निर्धारित करती है (हर पद लुप्त हो जाता है: संगत)।

अभ्यास 14.2 ★

$f(t) = \abs t$ ( $\abs t \leq \pi$ , $2\pi$ -आवर्ती) का फूरिये श्रेणी में प्रसार कीजिए; सामान्य अभिसरण न्यायोचित ठहराइए; $t = 0$ पर मूल्यांकन करके $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ प्राप्त कीजिए, और उससे बाज़ल पुनः निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 14.2.

समता $b_n$ को मार देती है; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs t\,\dd t = \pi$ , और $n \geq 1$ के लिए:

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ विषम},\\ 0 & n \text{ सम}, \end{cases}

(एक खंडशः समाकलन)। अतः

\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,

और अभिसरण सामान्य है ( $\sum (2k+1)^{-2} < \infty$ ) — जैसा प्रमेय 14.10 (1) इस संतत खंडशः- $C^1$ फलन के लिए बताती है। $t = 0$ पर:

0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

$\sum \frac{1}{n^2}$ को विषम और सम भागों में बाँटने पर: $S = \frac{\pi^2}{8} + \frac S4$ , अतः $S = \frac{\pi^2}{6}$ : फिर बाज़ल।

अभ्यास 14.3 ★

$f(t) = t^2$ ( $\abs t \leq \pi$ ) का प्रसार कीजिए और निष्कर्ष रूप में निकालिए

\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad\text{(पारसेवाल)}.

हल

हल — अभ्यास 14.3.

समता: $b_n = 0$ ; $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 = \frac{2\pi^2}{3}$ ; और दो खंडशः समाकलन $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ देते हैं ( $n \geq 1$ )। अतः

t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt \qquad (\abs t \leq \pi),

जो सामान्य रूप से अभिसारी है। $t = 0$ पर: $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ , अर्थात् $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ । पारसेवाल:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2 = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,

अतः $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$ ।

अभ्यास 14.4 ★★

मान लीजिए $f$ संतत $2\pi$ -आवर्ती है और सभी $n$ के लिए $c_n(f) = 0$ । सिद्ध कीजिए कि $f = 0$ (पारसेवाल — यहाँ वह किस वर्ग के लिए सिद्ध हुई है? न्यायोचित ठहराइए कि सामान्य पारसेवाल स्वीकार कर लेने पर संततता तथा खंडशः $C^1$ की शर्त हटाई जा सकती है, अथवा सघनता वाला तर्क रूपरेखा में दीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 14.4.

यदि इसके अतिरिक्त $f$ खंडशः $C^1$ हो: तो (सिद्ध) पारसेवाल $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$ देती है, और संतत $\abs f^2$ के समाकल की यथार्थ धनात्मकता $f = 0$ को बाध्य कर देती है।

और केवल संतत $f$ के लिए सामान्य पारसेवाल स्वीकार कर लीजिए: वही एक पंक्ति की उपपत्ति। (सघनता वाले रास्ते की रूपरेखा: फेयेर/वाइरश्ट्रास-प्रकार का त्रिकोणमितीय सन्निकटन दिखाता है कि संतत आवर्ती फलनों में त्रिकोणमितीय बहुपद $\norm\cdot_2$ -सघन हैं; और चूँकि $f \perp$ उन सबको, अतः सन्निकटकों $P$ के लिए $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ , जो $\norm f_2 = 0$ को बाध्य कर देता है।)

अभ्यास 14.5 ★★

$\alpha \notin \Z$ के लिए $f(t) = \cos(\alpha t)$ ( $\abs t \leq \pi$ ) का प्रसार कीजिए और कोस्पर्शज्या का आंशिक-भिन्न प्रसार निष्कर्ष रूप में निकालिए:

\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .

हल

हल — अभ्यास 14.5.

समता: $b_n = 0$ ;

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}

(गुणनफल-से-योग, फिर समाकलन; $a_0 = \frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$ )। $t = \pi$ पर डिरिक्ले (जो आवर्ती विस्तार का संततता-बिंदु है, क्योंकि समता से उसके एकपक्षीय मान मेल खाते हैं):

\cos(\pi\alpha) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 - n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),

जिसमें $(-1)^n\cos n\pi = 1$ का उपयोग हुआ। $\sin(\pi\alpha)/\pi$ से भाग देने पर कोस्पर्शज्या का प्रसार मिल जाता है।

अभ्यास 14.6 ★★

सिद्ध कीजिए कि यदि $f$ $2\pi$ -आवर्ती और $C^k$ हो, जहाँ $f^{(k)}$ खंडशः संतत है, तो $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$ : अर्थात् संकेत की चिकनाई $=$ उसके वर्णक्रम का क्षय।

हल

हल — अभ्यास 14.6.

$c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ को दोहराने पर ( $k$ बार, मेल खाते सीमा-मानों के साथ $C^{k}$ टुकड़ों पर खंडशः समाकलन): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$ । और खंडशः संतत $f^{(k)}$ के गुणांक परिबद्ध हैं (वस्तुतः $\to 0$ , बेसेल):

\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k} = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .

अभ्यास 14.7 ★★★

(विर्टिंगर असमिका) मान लीजिए $f$ $C^1$ , $2\pi$ -आवर्ती है और $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$ । सिद्ध कीजिए

\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,

और समता तभी जब $f(t) = a\cos t + b\sin t$ । (दोनों पक्षों पर पारसेवाल; $\abs{c_n}^2$ और $n^2\abs{c_n}^2$ की तुलना कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 14.7.

$f$ तथा $f'$ के लिए पारसेवाल (दोनों वैध: $f$ $C^1$ है, और $f'$ खंडशः संतत — वस्तुतः संतत):

\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2 \quad (c_0 = 0 \text{ माध्य-शून्य परिकल्पना से}), \qquad \frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .

पद-दर-पद $\abs n \geq 1$ के लिए $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ : अतः असमिका निकल आती है। और समता सभी $n$ के लिए $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ को बाध्य कर देती है, अर्थात् $\abs n \geq 2$ के लिए $c_n = 0$ : $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (वास्तविक रूप); विलोमतः ऐसे $f$ समता देते हैं।

अभ्यास 14.8 ★★★

(गिब्स अचर) अभ्यास 14.1 की वर्ग तरंग के लिए आंशिक योग का $x_N = \frac{\pi}{2N}$ पर मूल्यांकन कीजिए: $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ और $\Delta u = \frac{\pi}{N}$ लिखकर दिखाइए कि

S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :

जो मध्यबिंदुओं पर $\intcc{0}{\pi}$ पर $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ का रीमान योग है। निष्कर्ष निकालिए कि उछाल के मान $1$ से आगे का अतिक्रमण $N \to \infty$ होने पर भी लुप्त नहीं होता।

हल

हल — अभ्यास 14.8.

अभ्यास 14.1 से $S_{2N-1}(x) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ । $x_N = \frac{\pi}{2N}$ पर, $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ के साथ:

S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{\pi}{N},

क्योंकि $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$ । बिंदु $u_k$ $\intcc{0}{\pi}$ के $N$ उपअंतरालों (लंबाई $\frac{\pi}{N}$ ) के मध्यबिंदु हैं: अतः यह योग संतत $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$ का मध्यबिंदु रीमान योग है, इसलिए वह

\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .

पर अभिसरित होता है। उछाल के पास आंशिक योग मान $1$ से अर्ध-उछाल का $\approx 18\%$ सदा के लिए पार कर जाते हैं: यही गिब्स की परिघटना है, परिमाणित।

अभ्यास 14.9 ★

$\cos^3 t$ और $\sin^2 t\,\cos t$ का फूरिये श्रेणी में प्रसार कीजिए (रैखिक कीजिए; गुणांकों की अद्वितीयता से कोई त्रिकोणमितीय बहुपद अपनी ही फूरिये श्रेणी होता है)। हर एक के लिए $c_n$ , $a_n$ , $b_n$ क्या हैं?

हल

हल — अभ्यास 14.9.

$\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$ से:

\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}, \qquad \sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t = \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .

हर एक त्रिकोणमितीय बहुपद है, अतः अपनी ही फूरिये श्रेणी के बराबर (गुणांकों की अद्वितीयता: दो प्रसारों का अंतर ऐसा त्रिकोणमितीय बहुपद होता जिसके सारे गुणांक शून्य हों)। $\cos^3t$ के लिए: $a_1 = \frac34$ , $a_3 = \frac14$ , और शेष सारे $a_n$ तथा सारे $b_n$ शून्य; $c_{\pm1} = \frac38$ , $c_{\pm3} = \frac18$ । और $\sin^2t\cos t$ के लिए: $a_1 = \frac14$ , $a_3 = -\frac14$ ; $c_{\pm1} = \frac18$ , $c_{\pm3} = -\frac18$ ।

अभ्यास 14.10 ★★

मान लीजिए $a > 0$ और $\intoc{-\pi}{\pi}$ पर $f(t) = \eu^{at}$ , जिसे $2\pi$ -आवर्ती रूप से बढ़ाया गया है।

c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

परिकलित कीजिए, उछाल $t = \pi$ पर डिरिक्ले की प्रमेय लगाइए, और अतिपरवलयिक कोस्पर्शज्या का आंशिक-भिन्न प्रसार निष्कर्ष रूप में निकालिए:

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1} \frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .

हल

हल — अभ्यास 14.10.

सीधा परिकलन:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t = \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}} {2\pi(a - \iu n)} = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

जिसमें $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$ का उपयोग हुआ। $t = \pi$ पर आवर्ती विस्तार $\eu^{a\pi}$ से $\eu^{-a\pi}$ तक उछलता है; और डिरिक्ले (सममित आंशिक योग) देती है

\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\, = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} + \frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,

जहाँ युग्मित पदों के काल्पनिक भाग कट जाते हैं। $\sinh(a\pi)$ से भाग दीजिए:

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,

अर्थात् अभ्यास 14.5 का अतिपरवलयिक जुड़वाँ।

अभ्यास 14.11 ★★

(संवलन) संतत $2\pi$ -आवर्ती $f, g$ के लिए

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\, \dd t .

परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि $f * g = g * f$ , कि $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ (किसी संतत समाकल्य के दोनों समाकल आपस में बदलने के लिए ऊपरी सीमा के दोनों फलनों की तुलना कीजिए: दोनों बाएँ अंत्यबिंदु पर लुप्त हैं और संततता तथा समाकल-चिह्न के भीतर अवकलन से उनके अवकलज एक ही हैं), और यह कि डिरिक्ले कर्नेल के लिए $S_N(f) = f * D_N$ । (सप्ताहांत समस्या के फेयेर माध्य भी इसी तरह संवलन हैं, $\sigma_N(f) = f * F_N$ ।)

हल

हल — अभ्यास 14.11.

क्रमविनिमेयता: $s = x - t$ प्रतिस्थापित कीजिए और समाकल्य की आवर्तिता का उपयोग कीजिए। $c_n(f * g)$ के लिए समाकल्य $(x, t) \mapsto f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ संतत है; और दोनों क्रमिक समाकल मेल खाते हैं (बाहरी चर की ऊपरी सीमा के फलनों के रूप में दोनों बाएँ अंत्यबिंदु पर लुप्त हैं और उनके अवकलज एक ही हैं — संततता तथा प्रमेय 9.10 क्रमिक समाकल के अवकलन को न्यायोचित ठहराते हैं)। अतः

c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt} \Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t = c_n(f)\,c_n(g),

जहाँ भीतरी समाकल प्रत्येक $t$ के लिए $c_n(f)$ है (प्रतिस्थापन और आवर्तिता)। अंत में प्रमेयिका 14.5 कहता है $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$ ; और प्रतिस्थापन $u \mapsto -t$ तथा $D_N$ की समता इसे $(f * D_N)(x)$ में बदल देते हैं।

अभ्यास 14.12 ★★★

(प्वासों कर्नेल: फूरिये श्रेणियों के आबेल माध्य) $0 \leq r < 1$ के लिए $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$ रखिए।

दोनों गुणोत्तर श्रेणियों का योग लीजिए और दिखाइए

$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$
दिखाइए कि $\delta \leq \abs t \leq \pi$ के लिए $r \to 1^-$ होने पर एकसमान रूप से $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ ।
निष्कर्ष निकालिए कि प्रत्येक संतत $2\pi$ -आवर्ती $f$ के लिए $r \to 1^-$ होने पर आबेल माध्य $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ एकसमान रूप से $f$ पर अभिसरित होते हैं — अर्थात् फेयेर की प्रमेय का संतत-प्राचल वाला भाई, और घात-श्रेणी अध्याय के आबेल योग का फूरिये अवतार।

हल

हल — अभ्यास 14.12.

$w = r\eu^{\iu t}$ के साथ:

$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w} = \Re\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$

माध्य $1$ : सामान्य अभिसारी श्रेणी का पद-दर-पद समाकलन केवल $n = 0$ बचाता है।
$\delta \leq \abs t \leq \pi$ के लिए: $\cos t \leq \cos\delta$ , अतः $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2}$ , जिसका हर $2 - 2\cos\delta > 0$ की ओर जाता है जबकि अंश $0$ की ओर: अर्थात् $0$ के किसी भी प्रतिवेश से बाहर $0$ पर एकसमान अभिसरण।
पद-दर-पद समाकलन ( $t$ में सामान्य अभिसरण) $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$ देता है। सन्निकट तत्समक वाला तर्क: माध्य $1$ और धनात्मकता के साथ

$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$

इसे $\abs t = \delta$ पर बाँटिए: अधिकतम $\varepsilon$ (हाइने) जमा $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$ : अतः $r \to 1^-$ होने पर एकसमान अभिसरण। यह फूरिये श्रेणी का आबेल योग है — घात-श्रेणी अध्याय के सीमा-सिद्धांत का फूरिये जुड़वाँ।

14.4 समस्या: फेयेर की प्रमेय और उसके लाभ

समस्या 14.1

डिरिक्ले की प्रमेय को $f$ का खंडशः $C^1$ होना चाहिए; और केवल संतत $f$ के लिए आंशिक योग $S_N(f)$ बिगड़ सकते हैं। फेयेर की खोज: उनके चेज़ारो माध्य कभी नहीं बिगड़ते। इंजन फेयेर कर्नेल की धनात्मकता है, और फ़सल विशाल है: एकसमान त्रिकोणमितीय सन्निकटन (वाइरश्ट्रास), फूरिये गुणांकों की अद्वितीयता, इस अध्याय के हर फलन के लिए पारसेवाल (प्रमेय 14.10 का “स्वीकृत” हटाते हुए), वाइल की समवितरण प्रमेय, और — सदी भर की ज्यामिति पर मुकुट रखते हुए — समपरिमापी असमिका। आगे सर्वत्र $f$ $2\pi$ -आवर्ती और खंडशः संतत है, तथा

\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots + S_{N-1}(f)}{N} .

भाग I — फेयेर कर्नेल।

दिखाइए कि $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ सहित $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ , और यह कि $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ ।
$u \notin 2\pi\Z$ के लिए बंद रूप सिद्ध कीजिए:

$F_N(u) = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)} {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$

( $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ का योग किसी गुणोत्तर श्रेणी के काल्पनिक भाग के रूप में लीजिए)।
संकेंद्रण-आकलन दिखाइए: $0 < \delta \leq \abs u \leq \pi$ के लिए

$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \quad\text{एकसमान रूप से} :$

अर्थात् $(F_N)$ धनात्मक सन्निकट तत्समक है।
(फेयेर की प्रमेय) सिद्ध कीजिए: यदि $f$ संतत और $2\pi$ -आवर्ती हो, तो $\R$ पर एकसमान रूप से $\sigma_N(f) \to f$ ( $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ के समाकल को $\abs u = \delta$ पर बाँटिए; हाइने तथा प्रश्न 1–3 का उपयोग कीजिए)।
खंडशः संतत $f$ के लिए हर $x$ पर बिंदुवार रूप $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ दिखाइए, और एकसमान परिबंध $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ भी (धनात्मकता!)।

भाग II — वाइरश्ट्रास, अद्वितीयता, पारसेवाल।

(त्रिकोणमितीय वाइरश्ट्रास) निष्कर्ष निकालिए: हर संतत $2\pi$ -आवर्ती फलन त्रिकोणमितीय बहुपदों की एकसमान सीमा है।
(अद्वितीयता) निष्कर्ष निकालिए: जिस संतत $f$ के लिए सभी $n$ हेतु $c_n(f) = 0$ हो वह सर्वथा शून्य है — अर्थात् समान फूरिये गुणांकों वाले दो संतत आवर्ती फलन मेल खाते हैं (अभ्यास 14.4, और अब बिना किसी स्वीकृति के)।
(पारसेवाल, संतत स्थिति) $S_N$ के प्रक्षेप-गुणधर्म (प्रतिज्ञप्ति 14.2) तथा $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ का उपयोग करके सिद्ध कीजिए

$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$

और प्रत्येक संतत $2\pi$ -आवर्ती $f$ के लिए पारसेवाल की सर्वसमिका निष्कर्ष रूप में निकालिए।
(पारसेवाल, खंडशः संतत स्थिति) खंडशः संतत $f$ और $\varepsilon > 0$ दिए हों तो $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ वाला कोई संतत आवर्ती $g$ बनाइए (उछालों के चारों ओर अति छोटे अंतरालों पर $f$ के स्थान पर आनत अंतर्वेशन रखिए), और $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ निष्कर्ष रूप में निकालिए (बेसेल का उपयोग कीजिए: $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$ ): इस प्रकार पारसेवाल प्रमेय 14.10 में कही गई पूरी व्यापकता में सत्य है — और “स्वीकृत” हट गया।
(फेयेर के लिए कोई गिब्स नहीं) अभ्यास 14.8 से विरोध कीजिए: दिखाइए कि वर्ग तरंग $f$ के लिए प्रत्येक $N$ और सर्वत्र $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ — अर्थात् चेज़ारो औसत उस अतिक्रमण को मिटा देता है जो $S_N$ को सताता है। एक वाक्य में बताइए कि $F_N$ का कौन-सा गुणधर्म इसके लिए उत्तरदायी है।

भाग III — दरें।

$0 < \abs u \leq \pi$ के लिए कर्नेल के दोनों परिबंध सिद्ध कीजिए:

$F_N(u) \leq N, \qquad F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$

(पहले के लिए आगमन से $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ ; और दूसरे के लिए $\intcc{0}{\pi}$ पर $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ )।
प्रथम-आघूर्ण आकलन

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N} \qquad (N \geq 2)$

किसी स्पष्ट अचर के साथ निष्कर्ष रूप में निकालिए ( $\abs u = \frac1N$ पर बाँटिए)।
निष्कर्ष निकालिए: यदि $f$ $L$ -लिप्शिट्स और $2\pi$ -आवर्ती हो, तो

$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$
(संतृप्ति) $e_1(t) = \eu^{\iu t}$ के लिए $\sigma_N(e_1)$ परिकलित कीजिए और दिखाइए कि $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ : अर्थात् सबसे चिकने फलनों के लिए भी फेयेर $\frac1N$ से तेज़ अभिसरित नहीं होता — ठीक फलन-अनुक्रम अध्याय की सप्ताहांत समस्या वाली बर्नस्टाइन संतृप्ति का अनुरूप।
(स्थानीयकरण) दिखाइए: यदि (खंडशः संतत) $f$ $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ पर लुप्त हो, तो $\sigma_N(f)(x) \to 0$ , चाहे $f$ अन्यत्र कितना ही उग्र क्यों न हो — अर्थात् $x$ पर माध्यों का अभिसरण $x$ के पास वाले $f$ को ही देखता है।

भाग IV — वाइल की समवितरण प्रमेय। $\intco{0}{1}$ में कोई अनुक्रम $(x_n)_{n\geq1}$ समवितरित कहलाता है जब प्रत्येक अंतराल $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$ के लिए

\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .

दिखाइए कि $(x_n)$ तभी समवितरित हो जाता है जब प्रत्येक संतत $1$ -आवर्ती $f$ के लिए $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ हो ( $\intcc ab$ के सूचक को ऐसे दो संतत खंडशः-आनत फलनों के बीच निचोड़िए जिनके समाकल $\varepsilon$ से भिन्न हों)।
(वाइल की कसौटी, पर्याप्तता) मान लीजिए

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \qquad\text{प्रत्येक } k \in \Z\setminus\{0\} . \text{ के लिए}$

दिखाइए कि पहले त्रिकोणमितीय बहुपदों के लिए $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ , और फिर प्रश्न 6 (आवर्तकाल $1$ तक ले जाकर) से सभी संतत $1$ -आवर्ती $f$ के लिए: अतः प्रश्न 16 के साथ $(x_n)$ समवितरित है।
मान लीजिए $\alpha$ अपरिमेय है और $x_n = \{n\alpha\}$ (भिन्नात्मक भाग)। गुणोत्तर योग

$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}} \qquad (k \neq 0),$

को परिबद्ध कीजिए और वाइल की प्रमेय निष्कर्ष रूप में निकालिए: $(\{n\alpha\})$ $\intco{0}{1}$ में समवितरित है।
इससे निष्कर्ष निकालिए कि अपरिमेय $\alpha$ के लिए $(\{n\alpha\})$ $\intcc{0}{1}$ में सघन है, और एक वाक्य में समझाइए कि समवितरण सघनता से यथार्थतः अधिक मज़बूत क्यों है।
(अग्र अंक) सिद्ध कीजिए कि ऐसे पूर्णांकों $n \leq N$ का अनुपात, जिनके लिए $2^n$ का अग्र (दशमलव) अंक $1$ हो, $\log_{10}2 \approx 0.301$ की ओर जाता है (अग्र अंक $1$ का अर्थ है $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ ; दिखाइए कि $\log_{10}2$ अपरिमेय है)।

भाग V — समपरिमापी असमिका। मान लीजिए $\Gamma$ लंबाई $L$ का कोई संवृत सरल $C^1$ वक्र है जो चिह्नित क्षेत्रफल $A$ घेरता है, और उसका प्राचलन मापित चापलंबाई से किया गया है: $z(t) = x(t) + \iu y(t)$ , $2\pi$ -आवर्ती, जहाँ $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ अचर है; और घिरा हुआ क्षेत्रफल

A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t = \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t

है (यहाँ इसे ही चिह्नित क्षेत्रफल की परिभाषा माना गया है; बहु समाकलों वाला अध्याय ग्रीन के सूत्र से सिद्ध करता है कि वह सहज परिभाषा से मेल खाता है)।

$z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ का प्रसार कीजिए ( $C^1$ फलन की श्रेणी, जो सामान्य रूप से अभिसारी है) और $z'$ पर लगाई गई पारसेवाल से सिद्ध कीजिए:

$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$
इसी प्रकार $A = \pi\sum_{n\in\Z} n\,\abs{c_n}^2$ सिद्ध कीजिए (पारसेवाल का ध्रुवित रूप: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$ , जिसे $f = z$ , $g = z'$ पर लगाइए)।
(हुर्विट्स) निष्कर्ष निकालिए:

$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z} (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$

और समता तभी जब $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ — अर्थात् कोई वृत्त। यही समपरिमापी असमिका है: लंबाई $L$ के संवृत वक्रों में केवल वृत्त $\frac{L^2}{4\pi}$ क्षेत्रफल घेरता है।
तर्कसंगति की जाँचें: त्रिज्या $R$ के वृत्त के लिए समता और भुजा $a$ के वर्ग के लिए यथार्थ असमिका सत्यापित कीजिए; समझाइए कि प्रत्येक पूर्णांक $n$ के लिए (ऋणात्मक सहित) $n^2 - n \geq 0$ क्यों, और प्राचलन की अचर चाल कहाँ काम आई।
संश्लेषण। एक-एक वाक्य में: (क) $F_N$ का वह अकेला गुणधर्म जिससे भाग I से III तक बहते हैं और जिसकी $D_N$ में कमी है; (ख) यहाँ का चेज़ारो योग घात-श्रेणी अध्याय की सप्ताहांत समस्या (फ्रोबेनियस) से कैसे जुड़ता है; (ग) कौन-सा लाभ केवल वाइरश्ट्रास (प्रश्न 6) से मिला और किसे पूरी पारसेवाल चाहिए थी; (घ) तृतीय वर्ष का खंड क्या जोड़ता है, एक वाक्य में ( $L^2$ पूर्णता: हिल्बर्ट आधार के रूप में फूरिये श्रेणी)।

हल

हल — समस्या 14.1.

1. $n = 0, \dots, N-1$ पर प्रमेयिका 14.5 का औसत लेने से (समाकल की रैखिकता) $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$ मिलता है; और हर $D_n$ का माध्य $1$ है, अतः $F_N$ का माध्य $1$ ।

2. $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$ के साथ:

\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr) = \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u} - 1}\Bigr] = \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2} = \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2} = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .

$N\sin\frac u2$ से भाग देने पर:

F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .

3. $\delta \leq \abs u \leq \pi$ पर: $\sin^2\frac u2 \geq \sin^2\frac\delta2$ और $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$ : अतः वहाँ एकसमान रूप से $F_N \leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ ।

4. इकाई माध्य से $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$ । $\varepsilon$ दिया हो तो हाइने $\abs{f(x+u) - f(x)} \leq \varepsilon$ वाला $\delta$ देती है ( $\abs u \leq \delta$ के लिए, $x$ में एकसमान)। फिर $F_N \geq 0$ तथा उसके इकाई माध्य का उपयोग करके बड़े $N$ के लिए, $x$ में एकसमान रूप से,

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \varepsilon + 2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi} \int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N \leq \varepsilon + \frac{2\norm f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2} \leq 2\varepsilon

अर्थात् फेयेर की प्रमेय।

5. $F_N$ सम है और उसका माध्य $1$ है: अतः हर आधा $\intcc{0}{\pi}$ , $\intcc{-\pi}{0}$ माध्य $\frac12$ वहन करता है। तब

\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;

हर आधे पर, $\abs u = \delta$ पर बाँटिए जहाँ एकपक्षीय सीमा $\varepsilon$ -निकट है, और दूर वाले भाग को प्रश्न 3 से मार दीजिए: दोनों समाकल $0$ की ओर जाते हैं। परिबंध: $F_N \geq 0$ $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$ देता है।

6. हर $\sigma_N(f)$ त्रिकोणमितीय बहुपद है ( $S_n(f)$ , $n < N$ का औसत), और एकसमान रूप से $\sigma_N(f) \to f$ : अर्थात् त्रिकोणमितीय वाइरश्ट्रास प्रमेय।

7. सभी $n$ के लिए $c_n(f) = 0$ हर $S_n(f) = 0$ को, अतः हर $\sigma_N(f) = 0$ को शून्य बना देता है; और फेयेर से $f = \lim\sigma_Nf = 0$ । इसे किसी अंतर पर लगाइए: संतत आवर्ती फलन अपने फूरिये गुणांकों से निर्धारित हो जाते हैं।

8. $S_Nf$ $f$ का $\mathcal T_N$ (प्रतिज्ञप्ति 14.2) पर लांबिक प्रक्षेप है, अतः वह $P \in \mathcal T_N$ पर $\norm{f - P}_2$ को न्यूनतम करता है; और चूँकि $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ :

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0

(बीच वाली असमिका इसलिए कि $\abs\cdot^2$ का माध्य अधिकतम उच्चतम का वर्ग है)। पाइथागोरस $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ फिर सीमा तक चला जाता है: अर्थात् प्रत्येक संतत आवर्ती $f$ के लिए पारसेवाल।

9. मान लीजिए $t_1, \dots, t_p$ किसी आवर्तकाल में $f$ के उछाल हैं, $M = \norm f_\infty$ । छोटे $\eta$ के लिए $g = f$ को अंतरालों $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ के बाहर वही रखिए और हर ऐसे अंतराल पर आनत जीवा से परिभाषित कीजिए: तब $g$ संतत, आवर्ती है, $\norm g_\infty \leq M$ , और छोटे $\eta$ के लिए

\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta \leq \varepsilon^2

बेसेल $S_N$ को $\norm\cdot_2$ के लिए संकुचन बना देता है, अतः

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g - f)}_2 \leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,

और प्रश्न 8 प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ देता है: $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ , और पाइथागोरस प्रत्येक खंडशः संतत $f$ के लिए पारसेवाल दे देता है: इस प्रकार प्रमेय 14.10 का “स्वीकृत” अब प्रमेय है।

10. वर्ग तरंग के लिए $\norm f_\infty = 1$ , अतः प्रश्न 5 प्रत्येक $N$ के लिए और सर्वत्र $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ देता है — कोई अतिक्रमण कभी नहीं — जबकि अभ्यास 14.8 दिखाता है कि $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx 1.179$ । उत्तरदायी गुणधर्म: $F_N \geq 0$ , अतः $\sigma_Nf(x)$ $f$ के मानों का भारित औसत है और $\intcc{\min f}{\max f}$ से कभी बाहर नहीं जा सकता; जबकि $D_N$ ऋणात्मक मान लेता है, इसलिए $S_N$ जा सकता है।

11. आगमन से $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ ( $\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq (N+1)\abs{\sin\theta}$ ): $\theta = \frac u2$ के साथ,

F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2} \leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .

और $\intcc{0}{\frac\pi2}$ पर $\sin$ की अवतलता $0 \leq u \leq \pi$ के लिए $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ देती है, अतः $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$ ।

12. समता तथा $\frac1N$ पर विभाजन से:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N = \frac1\pi\int_0^\pi uF_N \leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u + \int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr) = \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .

$N \geq 2$ के लिए: $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 + \frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ और $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$ , अतः आघूर्ण $\leq \frac{9\ln N}{N}$ है।

13. $L$ -लिप्शिट्स $f$ के लिए:

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u \leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N \leq \frac{9L\ln N}{N},

और यह $x$ में एकसमान है।

14. $c_0(e_1) = 0$ $S_0(e_1) = 0$ देता है, जबकि $n \geq 1$ के लिए $S_n(e_1) = e_1$ : $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$ , अतः $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ । इस पूर्ण, बैंड-सीमित संकेत के लिए भी दर $\frac1N$ है: अर्थात् फेयेर संतृप्त हो जाता है, ठीक वैसे ही जैसे बर्नस्टाइन संकारक $\frac1n$ पर संतृप्त होता है (वोरोनोव्स्काया, फलन-अनुक्रम अध्याय की सप्ताहांत समस्या में)।

15. यदि $f$ $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$ पर लुप्त हो, तो $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$ , जिसका निरपेक्ष मान अधिकतम $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ है: अतः $x$ पर चेज़ारो माध्य केवल $x$ के पास वाले $f$ को देखते हैं।

16. $\intcc ab$ और $\varepsilon$ दिए हों तो ऐसे संतत $1$ -आवर्ती खंडशः-आनत $\varphi^\pm$ चुनिए कि $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ और $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ हो (कुल लंबाई $\varepsilon$ वाले अंतरालों पर ढाल वाले समलंब)। तब

\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n) = \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,

और सममित रूप से $\liminf \geq b - a - \varepsilon$ : अतः अनुपात $b - a$ की ओर जाता है।

17. $k \neq 0$ वाले $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ के लिए परिकल्पना सीमा $0 = \int_0^1f$ देती है; और $k = 0$ के लिए दोनों पक्ष $1$ हैं; तथा रैखिकता हर त्रिकोणमितीय बहुपद निपटा देती है। संतत $1$ -आवर्ती $f$ और $\varepsilon > 0$ के लिए प्रश्न 6 ( $t = 2\pi x$ से ले जाकर) $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$ वाला कोई त्रिकोणमितीय बहुपद $P$ दे देता है:

\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr| \leq 2\varepsilon + \Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr| \longrightarrow 2\varepsilon .

प्रश्न 16 के साथ: $(x_n)$ समवितरित है।

18. $k \neq 0$ और अपरिमेय $\alpha$ के लिए $w = \eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr| = \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,

और यह परिबंध $N$ से स्वतंत्र है; $N$ से भाग देने पर वाइल की कसौटी मिल जाती है, और प्रश्न 17 निष्कर्ष दे देता है: $(\{n\alpha\})$ समवितरित है।

19. हर उपअंतराल को उसकी लंबाई के बराबर अनंतस्पर्शी अनुपात मिलता है, विशेष रूप से अपरिमित बिंदु: अतः $(\{n\alpha\})$ सघन है। समवितरण अधिक मज़बूत है: कोई अनुक्रम सघन होते हुए भी अपना लगभग सारा समय किसी एक कोने में बिता सकता है (सघनता कहती है कि अनुक्रम कहाँ जाता है, समवितरण कहता है कितनी बार)।

20. $2^n$ का अग्र अंक $1$ है यदि और केवल यदि किसी $m$ के लिए $10^m \leq 2^n < 2\cdot10^m$ , अर्थात् यदि और केवल यदि $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ । अपरिमेयता: $\log_{10}2 = \frac pq$ से $2^q = 10^p = 2^p5^p$ मिलता, जो अनन्य गुणनखंडन के कारण $p \geq 1$ के लिए असंभव है। वाइल की प्रमेय (प्रश्न 18, $\alpha = \log_{10}2$ के साथ; अर्ध-विवृत अंतराल को समीप की लंबाइयों वाले संवृत अंतरालों के बीच निचोड़ा जाता है) अनुपात $\log_{10}2 \approx 0.301$ दे देती है: अर्थात् $2^n$ के पहले अंक बेनफर्ड के नियम का पालन करते हैं।

21. $z$ $C^1$ है, अतः उसकी फूरिये श्रेणी सामान्य रूप से अभिसरित होती है और उसका योग $z$ है (प्रमेय 14.10 (1)), तथा $c_n(z') = \iu n\,c_n$ । और चूँकि $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ अचर है,

\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2} = \frac{L^2}{2\pi} ,

और संतत $z'$ पर लगाई गई पारसेवाल $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$ देती है, अर्थात् $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$ ।

22. ध्रुवित पारसेवाल $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ $f + g$ और $f + \iu g$ पर लगाई गई पारसेवाल से निकलती है (ध्रुवण सर्वसमिका), और दोनों संतत हैं। $f = z$ , $g = z'$ के साथ:

A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z' = \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n) = \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .

23. प्रश्न 21–22 मिलाने पर:

L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 - 4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2 = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,

क्योंकि हर पूर्णांक के लिए $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ । और समता सभी $n \notin \{0, 1\}$ के लिए $c_n = 0$ को बाध्य कर देती है: $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ , अर्थात् केंद्र $c_0$ और त्रिज्या $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ वाला वृत्त (अचर चाल)। यही समपरिमापी असमिका की हुर्विट्स वाली उपपत्ति है: $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ , और केवल वृत्त।

24. त्रिज्या $R$ का वृत्त: $L = 2\pi R$ , $A = \pi R^2$ : $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$ : अर्थात् समता। भुजा $a$ का वर्ग: $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ ( $16 > 4\pi \approx 12.57$ के रूप में)। और ऋणात्मक $n$ के लिए $n^2 - n = n(n - 1)$ दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणनफल है: अर्थात् धनात्मक — इसलिए पीछे घूमने वाली विधाएँ क्षेत्रफल की दुगुनी क़ीमत लेती हैं। अचर चाल प्रश्न 21 में आई, जहाँ उसने $\int\abs{z'}^2$ को $\frac{L^2}{2\pi}$ में बदला; और अनचर चाल के लिए कोशी–श्वार्ज़ $\int\abs{z'}^2 \geq \frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$ देता है, अतः असमिका बची रहती है और समता की एकमात्र स्थिति अब भी वृत्त ही है।

25. (क) सब कुछ $F_N \geq 0$ से बहता है (इकाई माध्य और संकेंद्रण के साथ); $D_N$ का माध्य इकाई है और दोलन का संकेंद्रण भी, पर धनात्मकता नहीं, और गिब्स उसकी क़ीमत है। (ख) फूरिये श्रेणी की चेज़ारो योग्यता से उसी योग के साथ उसकी आबेल योग्यता निकलती है (फ्रोबेनियस, जो घात-श्रेणी अध्याय की सप्ताहांत समस्या में सिद्ध है) — और अभ्यास 14.12 का प्वासों-कर्नेल वाला रास्ता ठीक आबेल की विधि ही है। (ग) वाइल की प्रमेय को केवल एकसमान सन्निकटन चाहिए था (प्रश्न 6); जबकि समपरिमापी असमिका को स्वयं पारसेवाल चाहिए थी (प्रश्न 8, 21–22)। (घ) तृतीय वर्ष का खंड पूर्णता सिद्ध करता है: चरघातांकी $L^2$ का हिल्बर्ट आधार बनाते हैं, पारसेवाल हिल्बर्ट समष्टियों की समदूरिकता बन जाती है, और फेयेर की प्रमेय यह कथन बन जाती है कि वह समदूरिकता धनात्मक औसतों से परिकलनीय है।