13हर्मीशियन रूप

हल — अभ्यास 13.1.

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu - \iu = 0$: लांबिक। $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$। प्रसामान्य लांबिक आधार: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\; \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — अर्थात् सामान्यीकृत युग्म स्वयं।

हल — अभ्यास 13.2.

पहला: अपने संयुग्मी परिवर्त के बराबर (वास्तविक विकर्ण, $\conj{\iu} = -\iu$ आपस में बदले हुए): अतः हर्मीशियन (इसलिए प्रसामान्य); पर एकात्मक नहीं ($A^\dagger A \neq I$: स्तंभ इकाई नहीं)।

दूसरा: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$: अतः एकात्मक (इसलिए प्रसामान्य); हर्मीशियन नहीं।

तीसरा: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$: अतः प्रसामान्य नहीं (इसलिए न हर्मीशियन न एकात्मक) — यही मानक शून्यंभावी प्रतिउदाहरण है।

हल — अभ्यास 13.3.

अद्वितीयता: $H^\dagger = H$, $K^\dagger = K$ के साथ $A = H + \iu K$ $A^\dagger = H - \iu K$ को बाध्य कर देता है, अतः $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$, $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$; और ये सूत्र हर्मीशियन हैं (जाँच: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{ A^\dagger - A}{-2\iu} = K$) तथा $A$ को पुनः बना देते हैं: अर्थात् अस्तित्व।

प्रसामान्यता: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$: यह लुप्त होता है तभी जब $HK = KH$।

हल — अभ्यास 13.4.

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$: अभिलक्षणिक मान $3$ और $1$। अभिलक्षणिक सदिश, सीधे परिकलन से:

प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (अभिलक्षणिक मान $3$), $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (अभिलक्षणिक मान $1$); और लांबिकता अभ्यास 13.1 की तरह। वर्णक्रमीय प्रक्षेपों $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\, u_2u_2^\dagger$ के द्वारा घातें:

($k = 1$ जाँचिए: $A$ पुनः मिल जाता है।)

हल — अभ्यास 13.5.

संहत: $\leq 1$ में संवृत (संतत $U \mapsto U^\dagger U$ के अंतर्गत $I$ का पूर्वप्रतिबिंब) और परिबद्ध (स्तंभ इकाई सदिश हैं: प्रविष्टियों का मापांक $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$)।

अभिलक्षणिक मान: किसी भी $\abs\lambda = 1$ के लिए $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ एकात्मक है। सारणिक: $\abs{\det U}^2 = \det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ ($\det A^\dagger = \conj{\det A}$ का उपयोग करते हुए): अतः $\det U$ इकाई वृत्त पर पड़ता है।

हल — अभ्यास 13.6.

वर्णक्रमीय प्रमेय से $H$ के किसी प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार में काम कीजिए: सब कुछ अदिशों $\lambda \in \R$ (अर्थात् अभिलक्षणिक मानों) तक सिमट जाता है। $H + \iu I$ के अभिलक्षणिक मान $\lambda + \iu \neq 0$ हैं: अतः प्रतिलोमनीय। $U$ के अभिलक्षणिक मान $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ हैं, जिनका मापांक $1$ है (वास्तविक $\lambda$ के लिए $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$): और $U^\dagger U = I$ सत्य है क्योंकि $U$ इकाई-मापांक अभिलक्षणिक मानों के साथ एकात्मक रूप से विकर्णनीय है (वह चुने हुए प्रसामान्य लांबिक आधार में विकर्ण है)। और $\mu = 1$ $-\iu = \iu$ को बाध्य कर देता, जो असंभव है, अतः $1 \notin \operatorname{Sp} U$। (केली रूपांतरण हर्मीशियन को एकात्मक-में-से-एक-बिंदु पर भेजता है — अर्थात् $\R$ से वृत्त पर जाने वाले प्रतिचित्रण का आव्यूह-रूप।)

हल — अभ्यास 13.7.

किसी अभिलक्षणिक युग्म $Ax = \lambda x$ ($x \neq 0$) के लिए: $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$, अतः $\lambda > 0$ (जो पहले से ही वास्तविक है, प्रतिज्ञप्ति 13.6)। वर्गमूल: किसी वर्णक्रमीय आधार में $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$: यह हर्मीशियन, धनात्मक निश्चित है और $B^2 = A$। सारणिक: धनात्मक अभिलक्षणिक मानों का गुणनफल।

हल — अभ्यास 13.8.

1. $\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x, u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle = \norm{u^*(x)}^2$। इसे प्रसामान्य $u - \lambda\,\mathrm{id}$ पर लगाइए (उसका सहसंलग्न $u^* - \conj\lambda$ है, और प्रसामान्यता विरासत में मिलती है): $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$, अतः दोनों केंद्रक मेल खाते हैं।

2. अभिलक्षणिक सदिशों $u(x) = \lambda x$, $u(y) = \mu y$ ($\lambda \neq \mu$) के लिए: (1) का उपयोग करके $u^*(x) = \conj\lambda x$; फिर

   $$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle = \mu \langle y, x\rangle ,$$

   अतः $\langle y, x\rangle = 0$। $E_\lambda^\perp$ का स्थायित्व: $x \perp E_\lambda$ और $z \in E_\lambda$ के लिए $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$।

3. विमा पर आगमन: $\C$ पर $u$ का कोई अभिलक्षणिक सदिश $e_1$ है (उसे सामान्यीकृत कीजिए); उसका लांबिक पूरक $u$ के अंतर्गत स्थायी है ((2) से) और $u^*$ के अंतर्गत भी (भूमिकाएँ बदलकर वही तर्क), अतः प्रतिबंधन प्रसामान्य है: आगमन कीजिए और प्रसामान्य लांबिक अभिलक्षणिक आधार जोड़ते जाइए। विलोमतः एकात्मक रूप से विकर्णनीय $u = UDU^\dagger$ $u^*u = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ पूरा करता है: अर्थात् प्रसामान्य।

हल — अभ्यास 13.9.

अभिलक्षणिक मान: $u(x) = \lambda x$, $x \neq 0$ के लिए

अतः $\lambda = -\conj\lambda$: अर्थात् विशुद्ध काल्पनिक। और चूँकि $(\iu u)^* = -\iu\,u^*$ (सहसंलग्न अदिशों में संयुग्मी-रैखिक है), $u^* = u$ $(\iu u)^* = -\iu u$ देता है: अतः प्रतिचित्रण $u \mapsto \iu u$ हर्मीशियन को विषम-हर्मीशियन पर भेजता है और उसका प्रतिलोम $w \mapsto -\iu w$ है: यानी एकैकी आच्छादक। और कोई विषम-हर्मीशियन $u$ $u^*u = -u^2 = uu^*$ पूरा करता है: अर्थात् प्रसामान्य, इसलिए अभ्यास 13.8 से एकात्मक रूप से विकर्णनीय।

हल — अभ्यास 13.10.

1. $S$ किसी प्रसामान्य लांबिक आधार का क्रमचय करता है: $\norm{Sx} = \norm x$, अतः $S$ एकात्मक है। निर्देशांकों को $n$ के सापेक्ष $j = 0, \dots, n-1$ से अंकित कीजिए: $(Sx)_j = x_{j-1}$, अतः $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$ के लिए:

   $$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n} = \omega^{-k}\,(f_k)_j : \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$$

   प्रसामान्य लांबिकता: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (किसी अतुच्छ इकाई-मूल का गुणोत्तर योग लुप्त हो जाता है)।

2. $Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$: अर्थात् हर चक्रीय आव्यूह प्रसामान्य लांबिक फूरिये आधार में विकर्ण है, इसलिए प्रसामान्य, और उसका वर्णक्रम $\{\widehat c(k)\}$ है। (आधार-परिवर्तन विविक्त फूरिये रूपांतरण है: संवलन गुणन बन जाता है।)

हल — अभ्यास 13.11.

($\Leftarrow$) मान लीजिए $P^2 = P = P^*$। हर $v$ $Pv \in \operatorname{im} P$ तथा $P(v - Pv) = 0$ के साथ $v = Pv + (v - Pv)$ में बँट जाता है। दोनों टुकड़े लांबिक हैं: किसी भी $x, y$ के लिए

$\ker P \perp \operatorname{im} P$, अतः $P$ अपने प्रतिबिंब पर लांबिक प्रक्षेप है। ($\Rightarrow$) यदि $P$ $F = \operatorname{im}P$ पर लांबिक प्रक्षेप हो: तो सभी $x, y$ के लिए $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (घटक $y - Py \perp F$ हट जाता है) और सममित रूप से $\langle x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$: $\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle$, अर्थात् $P^* = P$। आव्यूह: $\C v$ ($\norm v = 1$) पर: $Px = v\,\langle v, x\rangle$, अर्थात् $P = vv^\dagger$; और प्रसामान्य लांबिक $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ वाली उपसमष्टि पर: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$।

हल — अभ्यास 13.12.

$A = U D U^\dagger$ का विकर्णन कीजिए (वर्णक्रमीय प्रमेय), जहाँ $D$ विकर्ण है और उसकी प्रविष्टियाँ $\lambda_i$ में से हैं। तब $P_i = L_i(A) = U L_i(D)U^\dagger$, और $L_i(D)$ विकर्ण है जिसकी प्रविष्टियाँ $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ हैं: अर्थात् ठीक $E_i$ के खाँचों पर एक। अतः $P_i$ हर्मीशियन ($L_i$ वास्तविक, $D$ वास्तविक), वर्गसम है, जिसका प्रतिबिंब $E_i$ और केंद्रक $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ है (अभिलक्षणिक समष्टियों की लांबिकता): यानी $E_i$ पर लांबिक प्रक्षेप (अभ्यास 13.11)। असंयुक्त विकर्ण-प्रतिरूप $P_iP_j = 0$ देते हैं ($i \neq j$); $\sum_i L_i = 1$ (घात $< p$, और $p$ बिंदुओं पर मान $1$), अतः $\sum P_i = I$; और $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ $A = \sum \lambda_iP_i$ देता है। किसी भी बहुपद $f$ के लिए: $f(D)$ का विकर्ण $f(\lambda_j)$ है, अतः